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MATEMÁTICAS I (Curso 2011-2012)
Primer Curso del Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica
Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla
PROYECTO DOCENTE
Índice
1. Información general
1
2. Objetivos y desarrollo de la asignatura
2
3. Profesorado
2
4. Programa de la asignatura
2
5. Bibliografía y material docente
4
6. Evaluación
5
7. Tribunales de evaluación y apelación
5
1.
Información general
Esta asignatura es troncal, está asignada al Departamento de Matemática Aplicada II y se
imparte durante el primer cuatrimestre del curso. Tiene una asignación lectiva de 6 créditos (dos
clases semanales de una hora y cincuenta minutos de duración cada una) con un perl docente de
clases teórico-prácticas. El horario del único grupo se detalla a continuación:
Lunes
17:10-19:00
Martes
17:10-19:00
Miércoles
Jueves
Viernes
Además de las clases teórico-prácticas, los alumnos disponen de seis horas semanales de tutoría
donde se pueden consultar aspectos relativos a la asignatura, así como disponer de una atención
personalizada por parte de su profesor. El horario de tutorías se publicará durante la primera semana
del curso en el tablón de anuncios del Departamento (está frente a la copistería de la Escuela) y
también, completamente actualizado, en la página web del Departamento, cuya dirección es
http://www.matematicaaplicada2.es/
.
Además, en dicha página web se podrá obtener información adicional sobre la asignatura, así como
descargar material relacionado con ella.
Con el objetivo de hacer una lista de distribución para la asignatura, se pide y se recomienda
a todos los alumnos que envíen, a comienzos de curso, un correo electrónico indicando su nombre
1
a la dirección [email protected]. La intención es que estas listas de distribución sean un cauce para
proporcionar una información totalmente actualizada en cada momento a todos los alumnos que
cursen la asignatura.
2.
Ob jetivos y desarrollo de la asignatura
El objetivo fundamental de la asignatura es cubrir los contenidos de cualquier asignatura de álgebra lineal y geometría en el nivel de primer curso de universidad, con el añadido de ciertos recursos
previos como números complejos y factorización de polinomios. La relación entre los aspectos de
álgebra lineal con los geométricos estará omnipresente en el desarrollo de los contenidos. Además,
dicha relación será esencial para la asimilación de los conceptos y las técnicas que se presentan.
Aunque a lo largo de la asignatura puedan citarse algunos, caen fuera del alcance de la asignatura
los aspectos computacionales y numéricos de los temas que se desarrollan.
El desarrollo de la asignatura será fundamentalmente expositivo y deductivo. Los objetivos
fundamentales, plasmados en el programa de la asignatura, son el estudio detallado de los sistemas de
ecuaciones lineales y de las matrices, no sólo desde el punto de vista de conceptos independientes sino
desde el punto de vista de la representación y manipulación de las transformaciones lineales. Uno de
los tópicos esenciales en cualquier curso de álgebra lineal es el cálculo de autovalores y autovectores
y el estudio de la diagonalizabilidad de matrices. La inclusión del tema dedicado a los números
complejos (que en muchos textos suele incluirse como apéndice) obedece, casi exclusivamente, a que
constituyen una herramienta necesaria para dicho estudio.
3.
Profesorado
El profesor de esta asignatura es Santiago Díaz Madrigal y pertenece al Departamento de Matemática Aplicada II, en cuyas dependencias tiene ubicado el despacho. Su dirección de correo
electrónico es [email protected].
4.
Programa de la asignatura
En esta sección se detallan las principales líneas argumentales de cada tema y su previsible
duración. De acuerdo con el actual calendario escolar, el primer cuatrimestre tienen asignado quince
semanas (del 26 de Septiembre de 2010 al 20 de Enero de 2011), con un total de ventiocho sesiones
de clase.
2
Tema 1. Los números complejos. Polinomios.
[2 sesiones]
1.1 Los números complejos. Forma binómica. Operaciones y propiedades. Forma exponencial.
Potencias y raíces. Aplicaciones geométricas en el plano.
1.2 Polinomios. Factorización de polinomios. El Teorema fundamental del Álgebra. Las raíces de
un polinomio real.
Tema 2. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
[3 sesiones]
2.1 Matrices. Operaciones. Propiedades.
2.2 Determinantes. Denición y propiedades.
2.3 Sistemas de ecuaciones lineales. Notación matricial. Reducción por las y formas escalonadas. Teorema de Rouché-Frobenius. Regla de Cramer.
2.4 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss-Jordan. Cálculo de la
inversa de una matriz cuadrada.
2.5 El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Combinaciones lineales.
Sistemas homogéneos. Sistemas completos.
2.6 Transformaciones matriciales. Transformación asociada a una matriz. Ejemplos geométricos.
Tema 3. Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
[5 sesiones]
3.1 Espacios y subespacios vectoriales.
3.2 Espacios vectoriales de coordenadas. Espacio nulo y espacio columna de una matriz. De-
pendencia e independencia lineal. Ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas de un subespacio.
3.3 Transformaciones lineales. Denición y propiedades. Matriz asociada.
3.4 Bases de un subespacio. Coordenadas. Dimensión. Rango de una matriz. El teorema del
rango. Cambios de base.
3.5 Suma e intersección de subespacios.
Tema 4. Diagonalización de endomorsmos.
[5 sesiones]
4.1 Autovalores y autovectores. Denición y propiedades. La ecuación característica. El teorema de Cayley-Hamilton.
4.2 Diagonalización. Criterios.
4.3 Introducción a la diagonalización por bloques y matriz exponencial.
4.4 Aplicaciones del cálculo de autovalores y autovectores.
Tema 5. Espacio vectorial euclídeo y unitario.
[5 sesiones]
5.1 El producto escalar. Ortogonalidad y mejor aproximación. Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad. Desigualdad de Cauchy-Schwarz, desigualdad triangular, teorema de Pitágoras.
5.2 El complemento ortogonal de un subespacio.
3
5.3 Bases ortogonales. Bases ortogonales de un subespacio. El método de Gram-Schmidt. Matrices ortogonales.
5.4 La proyección ortogonal. Proyección ortogonal sobre un subespacio. El teorema de la mejor
aproximación.
Tema 6. Matrices simétricas reales y formas cuadráticas.
[5 sesiones]
6.1 Formas cuadráticas. Denición y matriz simétrica asociada. Rango y signo. Reducciones a
suma de cuadrados. Ley de inercia de Sylvester. Clasicación.
6.2 Matrices simétricas y hermíticas. Diagonalización ortogonal (resp. unitaria) de matrices
simétricas (resp. hermíticas). El teorema de los ejes principales.
Tema 7. Espacio afín euclídeo. Movimientos. Cónicas y cuádricas.
[5 sesiones]
7.1 Espacio afín euclídeo. Movimientos.
7.2 Movimientos en el plano. Traslaciones. Homotecias. Giros. Proyecciones. Simetrías. Sime-
trías deslizantes. Transformaciones lineales en el plano.
7.3 Movimientos en el espacio. Traslaciones. Proyecciones. Homotecias. Simetrías. Rotaciones.
Movimientos helicoidales. Transformaciones lineales en el espacio.
7.4 Las cónicas. Ecuaciones reducidas. Las secciones cónicas. Denición métrica y elementos
notables. La propiedad focal. Ecuación reducida de una cónica no girada. Ecuaciones paramétricas.
7.5 Las cuádricas. Ecuaciones reducidas. Ecuación reducida de una cuádrica no girada. Los
elipsoides. Los hiperboloides y el cono. Los paraboloides. Los cilindros y las cuádricas degeneradas.
7.6 Cónicas y cuádricas generales. Reducción de una cónica girada. Reducción de una cuádrica
girada.
5.
Bibliografía y material docente
Casi cualesquiera de los textos citados en la bibliografía, y muchos otros con el título de álgebra
lineal o álgebra lineal y geometría o algo similar, incluyen la mayor parte de los contenidos de
la asignatura, con la posible excepción del tratamiento elemental que se hace de las cónicas y las
cuádricas no giradas o el enfoque geométrico que se hace de las operaciones con números complejos.
Las diferencias esenciales entre los diferentes textos y los contenidos de la asignatura pueden estar
en: (1) el orden en el que se consideren los distintos conceptos y resultados; (2) la nomenclatura que
se utiliza, que puede ser más o menos abstracta y puede estar más referida a matrices o hacer más
referencia a transformaciones lineales y (3) en la utilización que se hace de los números complejos.
En cualquier caso, como referencias bastante apropiadas para seguir la asignatura, proponemos
las siguientes:
[En español]
1. P. Alberca Bjerregaard y D. Martín Barquero. Métodos Matemáticos. Álgebra lineal y Geometría. Ediciones Aljibe. 2001.
2. J. De Burgos, Curso de Álgebra lineal y Geometría. Alhambra. 1990.
4
3. F. Granero. Álgebra lineal y Geometría Analítica. McGraw-Hill. 1991.
4. E. Hernández. Álgebra y Geometría. Addison Wesley. Universidad Autónoma de Madrid. 1994.
5. B. Kolman y D.R. Hill. Álgebra lineal. Octava edición. Ed. Pearson-Prentice Hall. 2006.
6. D.C. Lay. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 2a Edición, actualizada. Ed. Prentice-Hall. 2001.
7. L. Merino y E. Santos. Álgebra lineal con métodos elementales. Ed. Paraninfo. 2006.
[En inglés]
1. H. Anton. Elementary Linear Algebra. John Wiley and Sons, Inc. 2010.
2. J.B. Fraleigh and R.A. Beauregard. Linear Algebra. Addison Wesley. 1995.
3. W.K. Nicholson. Linear algebra with applications. McGraw-Hill Higher Education, 5th Edition. 2006.
Independientemente de los libros citados, habrá un guión para cada una de las lecciones del
curso. En cada uno de ellos se incluirá una exposición de los aspectos teóricos del tema junto con
una cierta colección de problemas propuestos. Si bien algunos de ellos se trabajarán en clase, es
muy recomendable abordar y resolver el máximo número, sino todos, de dichos problemas.
6.
Evaluación
Los alumnos dispondrán de dos formas de aprobar la asignatura: Convocatorias Ociales y
Evaluación Alternativa. Las fechas de las Convocatorias Ociales están publicadas en la página
web de la ETSI y, conforme se vayan acercando, se informará del lugar y hora de dichos exámenes.
Cada una de estas Convocatorias Ociales consistirán en un examen de toda la asignatura con
varios ejercicios teórico-prácticos. Cada ejercicio irá acompañado de su correspondiente criterio de
ecalicación. Un alumno estará aprobado por curso en cualquiera de las Convocatorias Ociales si
la calicación del examen es mayor o igual que cinco.
La Evaluación Alternativa consistirá en la resolución de seis ejercicios teórico-prácticos (puntuados sobre 10), de los que se obtendrá una única calicación realizando la media aritmética de
todos ellos. Para facilitar la preparación de dicha prueba, ésta se realizará en dos partes. La primera parte constará de tres ejercicios y se realizará a últimos de Noviembre (aproximadamente).
La segunda también constará de tres ejercicios y se realizará sobre la última semana de clase del
primer cuatrimestre. El resultado obtenido en la Evaluación Alternativa sólo afectará, en su caso,
a la calicación de la Primera Convocatoria Ocial. En concreto, un alumno estará aprobado por
curso mediante esta opción si la calicación de la prueba alternativa es mayor o igual que cinco.
7.
Tribunales de evaluación y apelación
Los componentes de los tribunales especícos de evaluación y apelación son idénticos y están
formados por los siguientes profesores:
5
Tribunal Titular: Manuela Basallote Gálvan, Fernando Mayoral Masa y Juan M. Virués Gavira.
Tribunal Suplente: Encarnación Álgaba Durán, Carmen Hernández Mancera y Carmen Sáez
Agulló.
6