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Matemática I. Ciclo técnico profesional. ITSA Atlántico
Profesor: Blas Torres Suárez. Versión 2.0
Unidad 3
ECUACIONES LINEALES O CUADRÁTICAS
Competencias a desarrollar:
•
Identificar las características de una ecuación lineal o cuadrática.
•
Hallar el conjunto solución de una ecuación lineal o cuadrática, de
diferentes formas.
•
Interpretar y resolver problemas mediante ecuaciones lineales o
cuadráticas.
•
Proponer situaciones problemáticas factibles de representar y resolver
mediante ecuaciones lineales o cuadráticas
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Unidad 3
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Ecuación lineal.
Una ecuación en la variable x es lineal si puede escribirse en la forma
ax + b = c,
en donde a, b y c son números reales, con a ≠ 0.
La ecuación lineal, en una variable, también se denomina ecuación de primer
grado, ya que la potencia más alta en la variable es uno.
Si la variable en una ecuación se reemplaza por un número real que hace que
la proposición sea verdadera, entonces ese número es una solución de la
ecuación. Por ejemplo, 8 es la solución de la ecuación y − 3 = 5, ya que al
reemplazar y con 8 se obtiene una proposición verdadera.
Una ecuación se resuelve determinando su conjunto solución, el conjunto de
todas las soluciones. El conjunto solución de la ecuación y − 3 = 5 es {8}.
Ecuaciones equivalentes: son ecuaciones con el mismo conjunto solución.
Por lo general, para resolver las ecuaciones se inicia con una ecuación
determinada y se produce una serie de ecuaciones equivalentes más sencillas.
Por ejemplo,
8 x + 1 = 17, 8 x = 16
y x=2
Todas son una ecuaciones equivalentes, ya que cada una tiene el mismo
conjunto solución, {2}.
Utilizamos las propiedades de suma y multiplicación de igualdades para
producir ecuaciones equivalentes.
Propiedades de la suma y la multiplicación de igualdades
Propiedades de la suma de igualdades
Para todos los números reales a, b y c, las ecuaciones
a=b
y
a + c = b + c son equivalentes.
O sea, si se suma (o se resta), el mismo número a ambos miembros de una
ecuación, el conjunto solución no cambia
Propiedad de la multiplicación de igualdades
Para todos los números reales a, b y c , donde c ≠ 0, las ecuaciones
a=b
y
ac = bc son equivalentes.
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O sea si se multiplican (o se dividen) ambos miembros de una ecuación por el
mismo número diferente de cero, el conjunto solución no cambia.
EJEMPLO Resuelva 4 x − 2 x − 5 = 4 + 6 x + 3 .
Primero, reduzca términos semejantes de manera separada en ambos lados de
la ecuación para obtener:
2x − 5 = 7 + 6x
Luego, utilice la propiedad de la suma para obtener los términos con x en el
mismo lado de la ecuación y los demás términos (los números) en el otro lado.
Una manera de hacerlo consiste en sumar primero 5 a ambos miembros.
2x − 5 + 5 = 7 + 6x + 5
2 x = 12 + 6 x
Ahora reste 6 x a ambos lados.
2 x − 6 x = 12 + 6 x − 6 x
− 4 x = 12
Por último, divida ambos entre -4 para obtener sólo la x en el lado izquierdo.
− 4 x 12
=
o sea x = −3
−4
−4
Para estar seguro de que -3 es la solución, verifíquela sustituyendo en la
ecuación original (no en una intermedia).
4x − 2x − 5 = 4 + 6x + 3
4(− 3) − 2(− 3) − 5 = 4 + 6(−3) + 3
− 12 + 6 − 5 = 4 − 18 + 3
− 11 = −11
Ecuación dada.
sea x = −3
Verdadera
Como se obtiene una proposición verdadera, -3 es la solución. El conjunto
solución es {− 3}
EJEMPLO: Resuelva 2(k − 5) + 3k = k + 6.
Comience por utilizar la propiedad distributiva para simplificar y reducir
términos del lado izquierdo de la ecuación.
2(k − 5) + 3k = k + 6
2k − 10 + 3k = k + 6
Propiedad distributiva
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5k − 10 = k + 6
Reduciendo términos semejantes.
5k − 10 + 10 = k + 6 + 10
Sumando 10 a ambos miembros
5k = k + 16
Reduciendo términos semejantes.
5k − k = k + 16 − k
Restando k a ambos miembros
4k = 16
Reduciendo términos semejantes.
4k 16
=
Dividiendo ambos miembros entre 4,
4
4
k = 4 Valor de k que satisface la ecuación
Verifique que el conjunto solución es
ecuación original.
{4},
sustituyendo 4 por la k en la
x + 7 2x − 8
+
= − 4.
6
2
Comience por eliminar las fracciones. Multiplique ambos lados por 6.
EJEMPLO: Resuelva
 x + 7 2x − 8 
6
+
= 6 ⋅ (− 4 )
2 
 6
 x + 7   2x − 8 
6
 + 6
 = 6 ⋅ (−4)
 6   2 
x + 7 + 3(2 x − 8) = −24
x + 7 + 6 x − 24 = −24
7 x − 17 = −24
7 x − 17 + 17 = −24 + 17
7 x = −7
7x − 7
=
7
7
x = −1
Verifique que {− 1} es el conjunto solución.
EJEMPLO: Resuelva 0.06 x + 0 ⋅ 09(15 − x ) = 0.07(15)
Como cada número decimal se da en centésimos, multiplique ambos miembros
de la ecuación por 100, para trabajar sólo con enteros,
0.06 x + 0.09(15 − x ) = 0.07(15)
6 x + 9(15 − x ) = 7(15)
6 x + 9(15) − 9 x = 105
− 3 x + 135 − 135 = 105 − 135
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− 3 x = −30
− 3 x − 30
=
−3
−3
x = 10
Verifique que el conjunto solución sea {10}.
Cada una de las ecuaciones anteriores tiene un conjunto solución que contiene
un elemento; por ejemplo, 2 x + 1 = 13 tiene el conjunto solución {6}, que
contiene número 6. Una ecuación que posee un número finito (pero distinto de
cero) de elementos en su conjunto solución es una ecuación condicional.
Algunas veces, una ecuación no tiene solución. En este caso, tal ecuación es
una contradicción y su solución es φ (vacía).
También es posible que una ecuación tenga un número infinito de soluciones.
Una ecuación a la que satisface cada número para el cual se definen ambos
lados se llama identidad.
El ejemplo siguiente muestra cómo reconocer estos tipos de ecuaciones.
EJEMPLO: Resuelva cada ecuación. Decida si es una ecuación condicional,
una identidad o una contradicción.
(a) 5 x − 9 = 4( x − 3)
Trabaje como en los ejemplos anteriores.
5 x − 9 = 4 x − 12
5 x − 9 − 4 x = 4 x − 12 − 4 x
x − 9 = −12
x − 9 + 9 = −12 + 9
x = −3
El conjunto solución, {− 3}, tiene un elemento, de modo que 5 x − 9 = 4( x − 3) es
una ecuación condicional.
(b) 5 x − 15 = 5( x − 3)
Utilice la propiedad distributiva en el lado derecho.
5 x − 15 = 5 x − 15
Ambos miembros de la ecuación son exactamente iguales, de modo que
cualquier número real hará a la ecuación verdadera. Por esta razón, el conjunto
solución es el conjunto de todos los números reales, y la ecuación
5 x − 15 = 5( x − 3) es una identidad
(c) 5 x − 15 = 5(x − 4)
Utilice la propiedad distributiva.
5 x − 15 = 5 x − 20
5 x − 15 − 5 x = 5 x − 20 − 5 x
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− 15 = −20
Como resultado − 15 = −20 es falso, la ecuación no tiene solución. El conjunto
solución es φ (vacío). La ecuación 5 x − 15 = 5( x − 4) es, pues, una contradicción.
***
La solución de un problema en el algebra con frecuencia depende del uso de
un enunciado matemático o fórmula, en la que se utiliza más de una letra para
expresar una relación. Ejemplos de fórmulas son:
A = π .r 2
L = 2π .r
y
P = 2 L + 2W .
El ejemplo siguiente muestra cómo despejar (o resolver) una fórmula para
cualquiera de sus variable. Este proceso se conoce como resolución para
una variable especifica. Observe lo similares que son los pasos utilizados en
estos ejemplos a los empleados en la resolución de una ecuación lineal. Tenga
presente que, cuando despejamos una variable específica, tratamos esa
variable como si fuera la única, y tratamos a todas las demás como si fueran
números.
EJEMPLO: Despeje A de la fórmula P = 2 L + 2 A.
Esta fórmula da la relación entre el perímetro de un rectángulo, P, la longitud
del mismo, L, y su ancho, A . (Véase la figura)
Solución:
Para empezar, reste 2 L a ambos lados.
P = 2L + 2 A
P − 2L = 2L + 2 A − 2L
P − 2L = 2 A
Ahora divida entre 2
P − 2L 2 A
=
2
2
P − 2L
O sea
= A , que es el despeje deseado.
2
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EJERCICIOS
PROPUESTOS
Decida si el número dado es una solución de la ecuación. Escriba sí (s) o no (n)
dentro del paréntesis.
2
1. − 6 x = −24 ; 4 ( )
2. 8r = 56 ; 7 ( )
3. 5 x + 2 = 3 ;
( )
5
1
( )
5. 9 x + 2 x = 6 x ; 0 ( ) 6. − 2 p + 10 p = 7 p , 0 ( )
4. 6 y − 4 = 4 ;
2
Resuelva la ecuación
9. 7 k + 8 = 1 10. 5m − 4 = 21
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
31.
33.
35.
7 y − 5 y + 15 = y + 8
12 w + 15w − 9 + 5 = −3w + 5 − 9
2( x + 3) = −4( x + 1
3(2w + 1) − 2(w − 2) = 5
2 x + 3( x − 4 ) = 2(x − 3)
6 p − 4(3 − 2 p ) = 5( p − 4) − 10
− [2 z − (5 z + 2)] = 2 + (2 z + 7 )
3x 5 x
+
= 13
4
2
x −8 8
x
+ =−
5
5
3
4t + 1 t + 5 t − 3
=
+
3
6
6
x
x
+1 = + 4
2
5
0.02(50) + 0.08r = 0.04(50 + r )
11. 8 − 8 x = −16
12. 9 − 2r = 15
14. 2 x + 4 − x = 4 x − 5
16. − 4t + 5t − 8 + 4 = 6t − 4
18. 4( y − 9) = 8( y + 3)
20. 4( x − 2) + 2( x + 3) = 6
22. 6 y − 3(5 y + 2) = 4(1 − y )
24. − 2k − 3(4 − 2k ) = 2(k − 3) + 2
26. − [6 x − (4 x + 8)] = 9 + (6 x + 3)
8y 2y
28.
−
= −13
3
4
2r − 3 3 r
30.
+ =
7
7 3
2 x + 5 3x + 1 − x + 7
32.
=
+
5
2
2
4x + 3 6x + 5
34.
=
2 x − 3 3x + 2
Resuelva la fórmula para la variable que se especifica.
d = rt ; para r (distancia)
I = prt ; para r (interés simple)
A = bh; para b (área de un paralelogramo)
P = 2 L + 2 A; para L (perímetro de un rectángulo)
P = a + b + c; para a (perímetro de un triángulo)
V = LWH ; para W (volumen de un sólido rectangular)
1
42. A = bh; para h (área de un triángulo)
2
43. C = 2πr ; para r (perímetro de un círculo)
36.
37.
38.
39.
40.
41.
44. S = 2πrh + 2πr 2 ; para h (área de la superficie de un cilindro recto)
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Problemas que se resuelven mediante ecuaciones:
Para resolver problemas mediante el uso de ecuaciones, se representa el (los)
elemento(s) desconocido(s) del problema, por una(s) variable(s) y se
representa la situación descrita en el problema mediante una ecuación.
A continuación algunos ejemplos de cómo representar relaciones o situaciones
utilizando variables:
Expresión verbal
La suma de un número y 7
6 más que un número
24 sumado a un número
Un número incrementado en 5
La suma de dos números
Un número menos 2
12 menos un número
La diferencia de dos números
Un número disminuido en 12
Un número restado de 10
16 veces un número
Algún número multiplicado por 6
2/3 de algún número
El doble (dos veces) de un número
El producto de dos números
El cociente de 8 y algún número
Un número dividido entre 13
La razón de dos números, o el
cociente de dos números
Expresión matemática
x+7
x+6
x + 24
x+5
x+ y
x−2
12 − x
x− y
x − 12
10 − x
16 x
6x
2
x
3
2x
xy
8
x
x
13
x
y
Resuelve cada uno de los siguientes problemas:
45. La edad de A es 5 veces la de B, la suma de ambas es 54 años. Hallar las
edades.
46. Hallar tres números naturales consecutivos cuya suma sea igual a 78.
47. El número de mujeres matriculadas en 1er. semestre de Electromecánica
del ITSA, es la octava parte del número de hombres. Si el programa tiene un
total de 72 estudiantes matriculados. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres?
48. El modelo matemático y = 420 x + 720 se aproxima a las pérdidas por
fraude con tarjetas de crédito en todo el mundo, entre los años 1989 y 1993,
donde x = 0 corresponde a 1989, x = 1 corresponde a 1990, etc., y y está en
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millones de dólares. Basado en este modelo, ¿Cuál sería la cantidad
aproximada de pérdidas por fraude con tarjetas de crédito en 1994? ¿En qué
año las pérdidas alcanzarían
3.660 millones de dólares (esto es,
3.660.000.000)?
49. De acuerdo con una investigación realizada por la Corporación de
Mercadotecnia de las Bebidas, las ventas de té helado listo para beber han
tenido un gran éxito en los últimos años. El modelo y = 310 x + 260 se aproxima
a los ingresos generales, donde x = 0 corresponde a 1991 y y está en
millones de dólares. Basándose en este modelo, ¿Cuál sería la ganancia
generada en 1992? ¿En qué año los ingresos serían de 2,430 millones de
dólares?
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Ecuaciones cuadráticas:
Una ecuación cuadrática en una variable, es cualquier ecuación que se pueda
escribir en la siguiente forma:
ax 2 + bx + c = 0 , donde x es una variable y a, b y c son constantes.
A la anterior ecuación se le llama forma general o forma estándar para la
ecuación cuadrática.
2
Ejemplos:
6 x − 19 x − 7 = 0 ,
2
1
5

x+  = .
2
4

2 x − 3x = 0 ,
2
Solución por factorización
Si los coeficientes a, b y c son enteros tales que ax 2 + bx + c se puedan escribir
como el producto de dos factores de primer grado, con coeficientes enteros,
entonces la ecuación cuadrática se puede resolver rápida y fácilmente. El
método de solución por factorización se apoya en la propiedad del cero de los
números reales.
Propiedades del cero
Si m y n son número reales, entonces, m.n = 0 si y sólo si m = 0 o n = 0
Ejemplo: Resuélvase por factorización, si es posible.
( A)
x 2 − 9 x − 10 = 0
(B )
x 2 − 8x + 6 = 0
(C )
2 x 2 = 3x
Solución
( A)
x 2 − 9 x − 10 = 0
(x − 10)(x + 1) = 0
(x − 10) = 0 ó (x + 1) = 0
por factorización
por propiedades del cero
Luego despejando x en cada paréntesis, se obtiene:
x = 10 ó x = −1 , estos dos valores son las soluciones de la ecuación.
(B )
(C )
x 2 − 8 x + 6 = 0 no se puede factorizar usando coeficientes enteros. Se
deben utilizar otros métodos para resolver esta ecuación.
2 x 2 = 3x
2 x 2 − 3x = 0
x(2 x − 3) = 0
x = 0 ó 2x − 3 = 0
restando 3 x a ambos lados de la igualdad
por factorización
por propiedades del cero
3
Entonces x = 0 ó x = , son las soluciones de la ecuación.
2
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Solución por raíz cuadrada
La solución de la ecuación ax 2 + c = 0 con
a ≠ 0 , se puede obtener
directamente de la definición de raíz cuadrada de un número real.
Ejemplo: Resuélvase aplicando la definición de raíz cuadrada.
( A)
(B )
2 x − 3 =0
2
3 x + 27 = 0
2
(C )
2
1
5

x+  =
2
4

Solución
( A)
2 x 2 − 3 =0
3
x2 =
2
3
x=±
2
(B )
3 x 2 + 27 = 0
x 2 = −9
x = ± −9
(C )
o
x = ±3i
2
1
5

x+  =
2
4

1
5
x+ =±
2
4
1
5
x=− ±
2 2
−1± 5
x=
2
Solución por completación de cuadrados
Los métodos de la raíz cuadrada y de la factorización son generalmente
rápidos cuando se pueden aplicar; sin embargo, existen ecuaciones como
x 2 − 8 x + 6 = 0 (véase Ejemplo (B) página anterior) que no pueden resolver por
estos métodos.
Se debe desarrollar un método más general para resolver este tipo de
ecuaciones. Tal método es el de compleción de cuadrados y se basa en el
proceso de transformación de la ecuación cuadrática modelo.
ax 2 + bx + c = 0
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En la forma
( x + A )2 = B
Donde A y B , son constantes. Esta última ecuación se puede resolver
fácilmente por el método de la raíz cuadrada ya descrito. Pero ¿cómo se
transforma la primera ecuación en la segunda? El siguiente examen breve da la
clave del proceso.
¿Qué número se suma a x 2 + bx para que el resultado sea el cuadrado de un
polinomio de primer gado? Hay una regla sencilla para encontrar tal número
que se basa en los cuadrados de los siguientes binomios:
(x + m )2 = x 2 + 2mx + m 2
(x − m )2 = x 2 − 2mx + m 2
En ambos casos se observa que, en el segundo miembro de la igualdad, el
tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x que aparece en el
segundo término. Esta observación conduce directamente a la regla de
compleción de cuadrados:
Para obtener el cuadrado en una expresión cuadrática de la forma x 2 + bx .
Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; es decir, se suma
2
2
b
b
b 
2
  . Así, x + bx +   = x + 
2
2
2 
2
Ejemplo: Complétese al cuadrado en cada una de las siguientes expresiones:
( A)
(B )
x2 + 6x
x 2 − 3x
Solución:
2
6
Súmese   = 32 es decir , 9.
2
2
2
x + 6 x + 9 = ( x + 3)
( A)
x2 + 6x
(B )
 3
x − 3 x , Súmese  
 2
2
2
es decir,
9 
3
x − 3x + =  x − 
4 
2
9
.
4
2
2
55
(C )
x 2 + bx
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(C )
b
x + bx , Súmese  
2
2
b2 
b
x + bx +
=x+ 
4 
2
2
b2
es decir,
.
4
2
2
Es importante observar que las reglas anteriores sólo se aplican a las
formas cuadráticas donde el coeficiente del término de segundo grado
es 1, ( a = 1 ).
Ejemplo: Resuélvase completando cuadrados.
( A)
(B )
x 2 + 6x − 2 = 0
2x 2 − 4x + 3 = 0
Solución
( A)
x 2 + 6x − 2 = 0
x 2 + 6x = 2
x 2 + 6x + 9 = 2 + 9
( x + 3) 2
2x 2 − 4x + 3 = 0
3
=0
2
3
x 2 − 2x = −
2
3
x 2 − 2x + 1 = − + 1
2
x 2 − 2x +
(x − 1)2
1
2
1
x −1 = ± −
2
x =1 ±
sumamos 9 a ambos miembros para completar el
cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación
= 11
x + 3 = ± 11
x = −3 ± 11
(B )
Sumamos 2 a ambos miembros, para agrupar las
x al lado izquierdo de la ecuación
=−
2
i
2
son las dos soluciones de la ecuación
Dividimos todos los términos por 2, para hacer que
el coeficiente de x 2 , sea 1, ( a = 1 )
−3
Sumamos
en ambos lados de la igualdad
2
2
 2
Sumamos   es decir 1, en ambos lados
 2
Factorizando y reduciendo términos semejantes
Sacando raíz cuadrada
Que finalmente son las raíces de la ecuación
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Solución por fórmula cuadrática
Se considera ahora la ecuación general cuadrática con coeficiente no
especificados.
ax2 + bx + c = 0
a≠0
y se resuelve al completar el cuadrado, exactamente como se hizo en los
ejemplos precedentes, en los cuales los coeficientes están especificados.
Para hacer que el coeficiente del término de segundo grado sea 1, dividimos
todo por a , o sea,
b
c
x+ =0
a
a
b
c
x2 + x = −
a
a
2
b
b
b2
c
x2 + x + 2 = 2 −
a
4a
4a
a
x2 +
b 
b 2 − 4ac

x+
 =
2a 
4ac

2
x+
b
b 2 − 4ac
=±
2a
4a 2
b
b 2 − 4ac
±
2a
2a
2
− b ± b − 4ac
x=
2a
x=−
Dividiendo por a
Sumando
−c
, en ambos lados
a
2
b2
 b 
sumamos   es decir
4a 2
 2a 
Factorizando el primer miembro
Resolviendo por el método de la raíz
cuadrada.
−b
a ambos lados
2a
Que es la llamada fórmula general
para la solución de la ecuación
cuadrática
Sumando
La última ecuación se denomina fórmula cuadrática. Debe ser memorizada y
usada para resolver ecuaciones cuadráticas cuando fallan todos los otros
métodos.
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EJERCICIOS
PROPUESTOS
Resuélvase por factorización si es posible.
1. x 2 + 7 x − 18 = 0
4. 3 x 2 + 7 x − 20 = 0
7. 15 x 2 − 12 = −8 x
2. x 2 − 5 x + 6 = 0
5. 2 x 2 − 3 x − 3 = 0
2x
5
18
8.
+ −4= 2
x+3 x
x + 3x
3. x 2 − 5 x − 6 = 0
6. 7 x 2 − 5 x = 0
3x
1
4
9.
+
= 2
x−2 x+2 x −4
Resuélvase por el método de la raíz cuadrada
2
10. 3 x − 5 = 0
2
1
2

12.  x +  =
3
9

11. 2 x + 8 = 0
2
Complétese el cuadrado en cada una de las siguientes expresiones:
13. x 2 + 10 x
14. x 2 + 5 x
15. x 2 + mx
Resuélvase completando cuadrados
16.
19.
x2 + 8x − 3 = 0
x 2 + 6x + 7 = 0
17.
20.
3 x 2 − 12 x + 13 = 0
4 x 2 − 12 x − 11 = 0
18.
2x 2 − 7 x + 5 = 0
Resuelva con la fórmula cuadrática
21.
24.
x 2 − 3x − 4 = 0
x 2 + 1 = 6x
22.
25.
2x + 2 = x 2
4 s 2 − 10 s + 5 = 0
23. 5 y 2 − 4 y − 2 = 0
26. x 2 + 2 x − 3 = 0
Despeja la variable dada
27.
29.
31.
2 gm
para (s > 0)
s2
3a 2 + 2b = 5b − 2a 2 x − 2 para a
K=
s e = s y 1 − rxy2 para s y (s y > 0 )
30.
2
V = πr 2 para (r > 0)
3
2
x − 6 xy + 5 y 2 = 0 para y
32.
s e = s y 1 − rxy2 para rxy
28.
Resuelve cada uno de los siguientes problemas:
13
. Determine los números.
6
9
2. El producto de dos números es 5. si su suma es
, determine los
2
números.
1. La suma de un número y su recíproco es
58
Matemática I. Ciclo técnico profesional. ITSA Atlántico
Profesor: Blas Torres Suárez. Versión 2.0
3. El largo de un rectángulo es 5 veces mas que el doble de su ancho. Si
su área es 75 m2, determine sus dimensiones.
4. Determine el área de un cuadrado si su diagonal es igual a 8 cms.
5. Una piscina cuadrada de 21 pies x 21 pies esta rodeada por un camino
de ancho uniforme. Si el área del camino es de 184 pies cuadrados,
determine el ancho del camino.
6. Al medio día tomas salio del punto A caminando hacia el norte; una hora
mas tarde, diego salio del punto A caminando hacia el este. Ambos
muchachos caminaron a 4 millas por hora y llevaban un radio de
comunicación con un alcance de 8 millas. ¿a qué hora perdieron
contacto?
7. Se desea construir una caja sin tapa cortando cuadros de 3 pulgadas de
una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble del ancho.
¿de qué tamaño debe ser una pieza de hojalata para hacer una caja que
tenga un volumen de 60 pulgadas cúbicas?
8. Una bola de béisbol es lanzada verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial de 64 m/s. El número de Pies S sobre el suelo después
de t segundos, está dado por la ecuación S = −17t 2 + 64t .
a) En cuanto tiempo alcaza la pelota una altura de 48 m sobre el suelo.
b) Cuando (en que tiempo) regresará al piso.
9. Un fabricante de latas desea construir una lata
cilíndrica circular recta de 20 cm. de altura y
un volumen de 3000 cm3. Encuentre el radio
interior r de la lata.
10. Se desea construir una caja de base cuadrada y sin tapa a partir de una
pieza cuadrada de lámina. Se practicará un corte de 3 pulgadas en cada
esquina y se doblarán los lados hacia arriba; si la caja debe tener un
volumen de 75 pulgadas cúbicas, ¿de qué tamaño será la pieza de
lámina?
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