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Instituto Superior de
Formación Técnica Nº 177
Ciudad de Libertad (Merlo)
Curso de Ingreso
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1
Matemática
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. NÚMEROS
A lo largo de esta primer etapa recorreremos los distintos conjuntos numéricos, recordando cómo
operar en cada uno de ellos y afianzando las propiedades de las operaciones. Estos temas son en
cierta manera el basamento sobre el cual construiremos las siguientes, y es por ello que debemos
brindarle mucha atención. Recordamos especialmente dejar de lado la calculadora por un
momento, a menos que sea estrictamente necesario. Esto permitirá que el repaso sea fructífero y
sirva de apoyo para futuras unidades.
A lo largo del módulo encontrarán una abundante y variada presentación de actividades, las cuales
permitirán adecuar el trabajo a las necesidades de cada estudiante. Por esto mismo, se han
marcado en algunos casos ciertos incisos como actividades complementarias.
Ahora bien, es claro que los números conviven con nosotros en el trabajo, al leer el diario, al ver
televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc. A continuación
analizaremos cada uno de los conjuntos numéricos que se presentan en Matemática.
1.1. Números Naturales
A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío
se los denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos números. N = {
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }.
Es claro que la suma y el producto de dos números naturales es un número
Los números
natural.
naturales
En símbolos, si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N.
también sirven
para ordenar.
Así, decimos que
la Tierra es el
tercer planeta a
partir del Sol,.
Observemos que..
1-1=0∉N
1 - 2 = -1 ∉ N
3–1=2∈N
Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números naturales es un número
natural. Así, si a y b ∈ N y b < a entonces a - b ∈ N.
Los números naturales están ordenados. Podemos representarlos en la recta
numérica Si al conjunto de los números naturales le agregamos el número
cero, obtenemos un nuevo conjunto que denotamos con:
N0 = N ∪ {0}.
( la U significa unión , mas, agregando.... etc.. el 0)
1.2. Números Enteros
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Definimos al conjunto de los números enteros como
Z = N 0 + ( el conjunto de los números negativos)
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Para pensar….
¿Existe un número entero que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o igual que
todos los demás?
¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos 2 y 3 ?, ¿y entre 5 y 6 ?, ¿y entre n y
n + 1 ?.
¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10 ?, ¿y entre -3 y 7 ?. ¿Qué puede afirmarse sobre la
cantidad de enteros que existen entre dos enteros dados?. ¿Cuántos números enteros existen entre
dos números enteros dados?.
Efectuar las siguientes operaciones:
a) 5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5=
b) 7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1)=
c) 6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3)=
“Recuerden que primero deben separar en término, y los signos operadores + y – son quienes
mandan primero”
Vamos con el primer ejercicio!!!
a)
5 - (-2) + (-8) : (-4) – 5=
El primer término es 5 no tengo nada para resolver
El segundo termino es - (-2) aquí hay que recordar las reglas de los signos..
Signos distintos
resultado “-”
( mas por menos o menos por mas →menos )
Signos iguales
resultado “+”
( mas por mas o menos por menos → mas)
En el tercer témino tenemos primero que realizar la operación de división, 8 dividido 4, teniendo
en cuenta para el resultado también la regla de los signos... - 8 - 4 = 2
Y en el cuarto término no debemos resolver nada...
Ahora bien, nuestro cálculo quedó así: 5 + 2 + 2 – 5=
Ahora solo resta sumar los de igual signo .... 5 + 2 + 2 =9
Nuestra operación se resumió a:
9 – 5= 4
Y terminamos...
No es necesario realizar todos estos pasos!!!
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Ahora les quedan para resolver los ejercicios b) y el c)
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Máximo común divisor:
Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el máximo
común divisor entre a y b, es el producto de los factores primos comunes, con el menor
exponente.
Se escribe mcd (a , b).
Recordemos que..
para realizar la
descomposición de un
número en factores
primos comenzamos
dividiendo, de ser
posible, por los
números primos 2, 3,
5, 7, 11, … hasta
obtener el número 1.
La segunda columna
obtenida presenta la
descomposición del
número en factores
primos.
Si a = 72 y b = 84 resulta
72
36
18
9
3
2
2
2
3
3
1
84
42
21
7
72= 2. 2. 2 . 3 . 3 . 1
23
72 = 23 . 32
32
2
2
3
7
1
84 = 2 . 2 . 3 .1
22
84 = 22 . 3
mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12,
o sea, 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84.
Mínimo común multiplo:
Si se descomponen dos números enteros positivos a y b en sus factores primos, el mínimo
común múltiplo entre a y b es el producto de los factores primos comunes y no comunes con
el mayor exponente.
Se escribe mcm (a , b)
Tomando los números del ejemplo anterior resulta
mcm (72 , 84) = 23 . 32 . 7 = 504
entonces 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.
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Recordando algunos signos
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Por ejemplo si en lenguaje matematico quiero expresar que 3 es menor que 5 la forma de escritura
es la siguiente:
Actividades de Aprendizaje
1. El número -12 es menor que -3, es decir -12 < - 3 .
a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ?
b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ?
2.
a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14.
b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492.
3. En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son
cada 4 años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para
presidente, gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?.
1.3 Números Racionales
Llamamos número racional a todo número que se puede expresar como fracción
Numerador
denominador
donde n y m son enteros y n ≠ 0. (distinto de cero, no puede ser cero) Con Q denotamos la
totalidad de los números racionales.
Para pensar….
¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o igual que
todos los demás?
 Hallar un número racional entre
 Hallar un número racional entre
Ejemplo:
El número racional tres cuartos puede expresarse como:
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forma fraccionaria
forma decimal
Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico.
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Ejemplos:
Cada parte de un número decimal tiene un nombre especial:
Parte
Parte
Entera decimal
Parte periódica
Parte no periódica
A continuación les indicaremos cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria
FORMA
DECIMAL
OBSERVACIÓN
En el numerador aparece en
la parte decimal, y en el
denominador tenemos el 1
seguido de tantos ceros como
cifras decimales tengo.
En el numerador aparece la
parte periódica, mientras que
en el denominador tenemos
tantos números 9 como cifras
tiene el período.
6
En el numerador aparece la
diferencia entre la parte
decimal y la parte decimal
no periódica, mientras que
en el denominador tenemos
tantos números 9 como cifras
tiene el período seguido de
tantos ceros como cifras
tiene la parte no periódica
.
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Mixtas
Puras
Exactas
Períodicas
EJEMPLO
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Más ejemplos
Forma decimal exacta
Forma decimal periódica pura
Forma decimal periódica mixta
Actividades de Aprendizaje
1. Escribir en forma decimal y fraccionaria:
a) 5 décimos b) 5 centésimos c) 123 centésimos d) 82 milésimos
Operaciones con fracciones
Suma o Resta
Igual denominador
Distinto denominador
Para efectuar la adición o la resta de fracciones de distinto denominador, se busca el mínimo
común múltiplo de los denominadores, luego se divide por el denominador de la primera fracción
y a este resultado se lo multiplica por el numerador de la fracción , se repite el porcedimiento para
todas las fracciones que debo sumar.
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buscamos el mcm ( 5,3,15)= 5.3=15
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6 = 3.2.1
8 = 23.1
2 = 2. 1
3. 23 = 24
Multiplicación y división
Para realizar la multiplicación de fracciones se multiplica numerador por numerador y
denominador por denominador.
Para realizar la división de fracciones se realizan los siguientes pasos:
1)
Se cambia el signo de división por el de multiplicación
2)
Se invierta la segunda fracción
Ejemplos:
1
:
2
3
5
×
5 = 1
4
:
2
8 =
3
7
5
×
4 =
4
5
10
7
8
=
:
:
2 = 2
2
5
21
40
Se cambia la división por multiplicación y se invierte la segunda fracción.
Simplificar
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Simplificar una fracción significa dividir por un mismo número tanto el numerador como el
denominador, para que la fracción (mostrada ahora con números distintos pero menores) mantenga
su proporcionalidad (que su valor se mantenga).
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Sólo se podrán simplificar fracciones cuando el numerador y denominador sean divisibles por un
número común.
Cada vez que se simplifique una fracción se debe llegar hasta la fracción irreductible, es decir,
aquella fracción que no se puede simplificar más (achicar más).
Ejemplos:
Actividades de Aprendizaje
1. Una aleación está compuesta por de cobre,
de estaño y
de cinc. ¿Cuántos kilogramos de
cada metal habrá en 348 kg. de aleación?.
2. Juan toma la mitad de una cuerda; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda,
María toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma
. Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la
longitud de la cuerda?
3. Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los
de la edad de su padre y Carlos los
.
¿Cuál es el mayor?.
4.
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9
5.
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1.4 Números Reales
A los números reales que no se los puede expresar
en forma de fracción, se los denomina números
irracionales. Es decir, un número irracional
expresado en forma decimal no es exacto ni
periódico
Ejemplos:
a) 0,1234567891011... La parte decimal de este
número irracional es la sucesión de los números
naturales.
b) π ≅ 3,141592654 El símbolo ≅ indica que se esto
representa una aproximación del número irracional
π . Notemos que también existen otras
aproximaciones para este número; por ejemplo: 3,14
; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc.
c) e ≅ 2,71 Representa una aproximación del número
irracional e. Al efectuar cálculos en los que
intervienen los números irracionales, tomamos una
cantidad finita (entre 3y5) de cifras decimales. Por lo
tanto, podemos considerar e ≅ 2,718 o bien e
≅ 2,71828.
La unión del conjunto Q de números racionales
y el conjunto de los números irracionales es el
conjunto R de los números reales
Curiosidades!!
El número π aparece al calcular la
longitud de una circunferencia y el área de
un círculo.
El número e se presenta en procesos de
crecimiento de una población animal o
vegetal, y en problemas de desintegración
radiactiva. Seguramente habrás visto en el
tendido de cables eléctricos que los cables
entre un poste y otro determinan una
curva en cuya ecuación también está
presente el número e.
Otro número irracional muy famoso,
llamado el número de oro, se obtiene si
realizas, por ejemplo, el cociente entre las
longitudes del lado menor y el lado mayor
de las hojas tamaño A4 que comúnmente
se utilizan en fotocopiadora, o realizando
el mismo cálculo con los lados de una
tarjeta de crédito.
¿No te parece curioso?
Observemos que...
No existe un número real que sea mayor o igual a todos los demás, ni uno que sea menor
o igual que todos los demás.
Además, entre dos números reales dados cualesquiera existen infinitos números
racionales, e infinitos números irracionales.
Actividades de Aprendizaje
1. Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional.
a)
b) 0,494949...
c) 3,75
d) 0,141144111444
e) 3,2222... f) 0,437537537... g) 0,101001000100001... h) 7
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2. Escribir:
a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2
b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2
c) Dos números irracionales entre 0,12 y 0,2
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3. Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no:
a) 3,2222........
b) 0,101001000100001.........
c) 0.43753753......... d) 0,12112111211112..........
4. Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar.
a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero.
c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional
Potenciación y Radicación en R
Recordemos que...
n veces
donde a es un número real al que denominaremos base y n es un número natural que
llamaremos exponente.
Ejemplo:
Por convención se tiene, para a ≠ 0 que
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Ejemplo:
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Algunas propiedades importantes que debemos recordar son:
Producto de potencias con la
misma base se suman el
exponente .
Cociente de potencias con la
misma base se restan los
exponentes.
Potencia de una potencia se
multiplica
Potencia de un producto se
distribuye el exponente
Potencia de un cociente se
distribuye
Definimos
= b si
donde: n es un número natural.
raíz, y a radicando.
=a
se lee raíz n-ésima de a Denominamos a n índice de la
Observemos que ...
para que la definición tenga sentido,
12
• si n es impar, a puede ser cualquier número real
• si n es par, a debe ser un número real positivo
Página
No tiene sentido
considerar
en el conjunto R,
dado que no
existe un
número real tal
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La raíz n-ésima de un número suele también denotarse como potencia
=
=
Actividades de Aprendizaje
1. Calcular las siguientes potencias
2.
3.
4.
5.
6.
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