Download Transformaciones isométricas en el plano

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Centro Educacional San Carlos de Aragón.
Dpto. Matemática.
Prof. Ximena Gallegos H.
PSU Matemática NM-4 Guía 24: Isometrías
Nombre: _________________________________ Curso: _______ Fecha: ____-
Contenido: Isometrías.
Aprendizaje Esperado: Analiza diferentes transformaciones isométricas en el plano.
Transformaciones isométricas en el plano
Simetrías.
Las simetrías o reflexiones, son aquellas transformaciones isométricas que invierten los
puntos y figuras del plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (simetría
central) o respecto de una recta (simetría axial)
Simetría Central.
P
Dado un punto fijo O en el plano, se
llama simetría (reflexión) con respecto
a O a aquella isometría que lleva cada
punto P del plano a una posición P’,
de modo que P’ está en la recta OP, a
distinto lado con respecto a O.
Q
R
R'
O
OP = OP'
Q'
P'
O: Centro de Simetría
P, P': Puntos correspondientes u homólogos
Observaciones:
•
•
•
•
Una simetría (reflexión) respecto de un punto O equivale a una rotación en 180º de
centro O.
Los trazos de la figura original son paralelos con los trazos homólogos de la figura
transformada.
El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj.
Todo punto del plano cartesiano A(x , y) tiene su simétrico A' (− x , − y ) con respecto al
origen O(0 , 0).
1) Mediante una reflexión con respecto a
Esto se verifica mejor en:
a)
b)
c)
, cada figura se reflejó en su similar sombreada.
d)
e)
2
2) Al segmento AB de la figura se le aplica una simetría (reflexión) con respecto al punto P,
resultando un segmento A’B’, entonces las coordenadas de B’ son:
4
A
3
P
2
1
1
B
1
2
a) (2 , 2)
b) (2 , 5)
c) (5 , 2)
d) (2 , 3)
e) (2 , – 1)
3) A todos los puntos del plano cartesiano de la figura, se le aplica una simetría (reflexión)
con respecto al punto E de coordenadas (2 , 3); ¿cuáles son las coordenadas del punto
homólogo de B?
a) (1 , – 1)
b) (1 , 0)
c) (1 , 3)
d) (2 ,– 1)
e) (0 , 1)
4) En la Figura, PQRS es un cuadrado simétrico al cuadrado P’Q’R’S’ con respecto al eje Y.
¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las diagonales del cuadrado
P’Q’R’S’?
a)
( 2, −4 )
b) ( 4, 2 )
c) ( – 5 , 2)
d) ( −4, − 2 )
e) ( −4, 2 )
5) En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto A ( −1, −3) , con respecto a la recta x = 4?
a) ( – 1 , 3)
b) ( 8 , 3)
c) ( 8 , – 3)
d) ( 9 , 3)
e) ( 9 , – 3)
3
Simetría Axial
L
P
Dada una recta L fija del plano, se llama simetría
axial con respecto a L o reflexión con respecto a L
a aquella isometría tal que, si P y P’ son puntos
P'
Q
homólogos con respecto a ella, PP ' ⊥ L y además
el punto medio de PP ' está en L.
R
R'
OP = OP'
Q'
La figura siguiente muestra dos triángulos
simétricos con respecto a L.
P, P': Puntos correspondientes u homólogos
OBSERVACIONES
* En una simetría axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las manecillas
del reloj.
* No es posible superponer, mediante traslaciones y/o rotaciones, los triángulos congruentes
PQR y P’Q’R’.
* Los puntos de la recta L permanecen invariantes ante esta reflexión.
* Todo punto del plano cartesiano A(x , y) tiene su simétrico A’(x , – y) con respecto al eje
de las abscisas y un simétrico A’’(– x , y) con respecto al eje de las ordenadas.
6) ¿En cuál de los siguientes casos se verifica mejor una simetría axial con respecto a L?
a)
b)
c)
d)
L
L
L
L
L
e)
7) Al triángulo ABC de la figura, se le aplica una simetría (reflexión) respecto a la recta L ( L // ele
Y) , entonces las coordenadas del vértice C se transforman en :
5
4
B
3
2
11
-5
-4
-3
-2
1
1
-1
2
3
4
5
-1
-2
C
-3
-4
A
a) ( −7, −2 )
b) ( −7, 2 )
c) ( −3, −2 )
-5
d) ( −3, 2 )
e) ( 3, 2 )
8) ¿En cuál de las siguientes figuras NO se muestra una simetría con respecto a la Recta L?
a)
b)
c)
d )
e)
4
9) Si el gráfico de la función f(x) se obtiene por reflexión del gráfico de la función g(x) con
respecto al eje Y, ¿cuál(es) de los siguientes gráficos no representa esta situación?
b)
a)
c)
d)
e)
Eje de Simetría
Es aquella recta que atraviesa la figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto a
la recta.
Observaciones.
•
•
•
•
Existen figuras que no tienen ejes de simetría.
Existen figuras que tienen sólo un eje de simetría.
Existen figuras que tienen más de un eje de simetría.
La circunferencia tiene infinitos ejes de simetría.
10) ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado?
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
e) Infinitos
11) ¿Cuántos ejes de simetría tiene la letra
Z
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) Ninguno
12) ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) Ninguno
13) En la figura siguiente, el cuadrado ABCD es simétrico (reflejo) con el cuadrado EFGH
respecto a L, entonces, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas?
I) AC / / EG
a) Sólo I
II) ∆ DBH ≅ ∆ GEC
b) Sólo I y II
III) AF ⊥ L
c) Sólo I y III
d) Sólo II y III
e) I, II y III
5
14) Se tiene ABCD un cuadrado de diagonal 10 cm, al disminuir el lado en
2
2 cm,
3
entonces la diagonal disminuye en:
9
36
10 3
26
4
b)
c)
d)
e)
3
3
3
3
3
15) Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es geometría, el 10% es álgebra y el
resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía son:
a)
a) 4
b) 8
c) 10
d) 12
e) 28
16) Al romboide ABCD de la figura, se le han trazado las diagonales y numerado los cuatro
triángulos que se generan. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El ∆ 1 es una simetría (reflexión) con centro en P del ∆ 3 .
II) El ∆ 2 es una rotación de 180º y centro P del ∆ 4 .
III) El ∆ ABC es una simetría del ∆ CDA cuyo eje de simetría pasa por AC .
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d) Sólo II y III
e) I, II y III
17) Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, a partir de hoy?
a) Viernes
b) Sábado
c) Lunes
d) Miércoles
e) Jueves
18) En la figura hay un triángulo rectángulo isósceles con un rombo. ¿Cuál de las siguientes
opciones representa mejor una simetría axial de la figura con respecto a AB ?
a)
b)
c)
d)
e)
6
19) Dado el triángulo ABC rectángulo en B, BD ⊥ AC ; AD = 4 cm y AD : DC = 8 : 10 ,
entonces AB = ?
a) 36
b) 9
c) 6
d) 2 5
e) 4
20) En el triángulo isósceles MNT se traza TV, de modo que TV = NV; entonces si M, N y V
son colineales, el ángulo MTN=?
a) 30°
b) 45°
c) 30,5°
d) 32,5°
e) 22,5°
21) En la figura, se tiene que AB es tangente a la circunferencia, AD es secante y Arco (DB)
es ¼ de la circunferencia, además Arco(BC) es 1/5 de la circunferencia. Determinar medida
del ángulo BAD.
a) 90°
b) 72°
c) 27°
d) 18°
e) 9°
22) En la circunferencia, determine Arco(BD) y Arco(CA), respectivamente.
a) 25° y 55°
b) 65° y 35°
c) 1210° y 70°
d) 130° y 70°
23) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
e) 260° y 140°
I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos son congruentes.
II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes.
III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son congruentes.
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d) Sólo II y III
e) I, II y III
7
24) Se lanzan 5 monedas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos
una cara?
1
1
5
1
31
b)
c)
d)
e)
32
2
32
5
32
25) Si las edades de 8 personas se suman y se dividen por 8, ¿qué indicador estadístico se
obtiene?
a)
I) La Moda
II)) La Media aritmética o promedio
a) Sólo I
b) Sólo II
2
c) Sólo III
III) La Mediana
d) Todas las anteriores
e) Ninguna
2
2
26) Si a ⋅ b = 10 y a + b = 29, entonces el valor de ( a − b ) es :
a) 9
b) 19
c) 29
d) 49
e) No se puede determinar.
27) Si a un triángulo ABC de vértices A(1 , 2); B(– 2 , 1) y C(4 , 0), se le aplica la traslación
según el vector u = ( −5, 7 ) , ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A se transforma en A’( – 4 , 9)
B se transforma en B’( – 3 , 8)
C se transforma en C’( – 1 , 7)
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d) Sólo I y III
e) Sólo II y III
28) ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo en el cual la hipotenusa mide el doble de un
cateto?
2a 2
a2 3
2a 2
a2
b)
c)
d)
e) Otro valor
2
3
2
3
29) Dado un punto P de coordenadas (7,– 9) , ¿cuáles son las coordenadas del punto
simétrico de P con respecto al eje Y?
a)
a) ( – 7,– 9)
30)
b) ( 7, 9)
1− x
( 0, 25)
1
a)  
2
−x
c) ( – 7, 9)
d) (– 9 , 7)
e) (– 9,– 7)
=?
1
b)  
2
1−x
1
c)  
2
−
x
2
x
12
d)  
2
1
e)  
2
x
8
31) ¿Cuáles de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de y = x 2 + 5 + x 2 ?
I) (2 , 5)
II) (2 ,– 5)
III) (2 , – 1)
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) Sólo I, II y III
e) Ninguno de ellos
32) Según la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejantes?
I) ∆ ACD ∼ ∆ CBE
II) ∆ BEC ∼ ∆ AEB
III) ∆ ACD ∼ ∆ CAB
D
C
E
55º
35º
A
B
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo IIII
d) Sólo I y II
33) ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?
e) I, II y III
a) Que tienen igual área.
b) Que tienen igual perímetro.
c) Que sus lados son proporcionales
d) Que sus tres lados respectivos coinciden.
e) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno.
34) En una circunferencia de diámetro 20 cm, la distancia desde el centro hasta una cuerda
AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB mide:
a) 8 cm
b) 10 cm
c) 12 cm
d) 16 cm
e) 20 cm
35) ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 cm y BC = 4 cm. Si se ha dividido en cuadrados
congruentes como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
El área de la región sombreada es 13 cm2.
El perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de ABCD.
La suma de los perímetros de las zonas no sombreadas es mayor que el
perímetro del rectángulo ABCD.
D
C
A
B
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d) Sólo I y III
36) Se puede conocer el valor de los ángulos x e y si:
(1) Son ángulos complementarios
(2) y excede a x en 40º
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
e) Se requiere información adicional
e) I, II y III
9
37) Se puede conocer el valor de x 2 + y 2 si:
(2) x = 12 − y 2
(1) x – y = 4
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
e) Se requiere información adicional
a
38) El valor numérico de log ( ab ) + log   se puede determinar si:
b
(1) a = 1.000
b) b = 100
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
e) Se requiere información adicional
39) Se puede determinar cuanto mide cada segmento de una cuerda cortada en cuatro
partes proporcionales si:
(1) La cuerda mide 72 cm.
(2) La razón entre los segmentos es de 1 : 2 : 3: 6
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
e) Se requiere información adicional
40) En la figura, ABCD cuadrilátero y P es el punto de intersección de las diagonales. El
triángulo ABP es una simetría (reflexión) del triángulo CDP con centro en P si:
(1) ABCD es un paralelogramo
(2) DP = PB y CP = PA
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
e) Se requiere información adicional
1) d
11) e
21) e
31) a
2) b
12) c
22) e
32) c
3) a
13) d
23) c
33) e
Hoja de Respuestas.
4) e
5) e
6) c
7) a
14) e
15) e
16) b
17) a
24) e
25) b
26) a
27) d
34) d
35) e
36) c
37) b
8) e
18) c
28) b
38) a
9) d
19) d
29) a
39) c
10) c
20) e
30) b
40) d