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1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
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TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.
FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
1.- MEDIDA DE ÁNGULOS.
Para medir ángulos se suelen usar dos sistemas de medida:
- El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto.
En este sistema el ángulo recto mide 90º y el ángulo llano 180º
- El sistema circular que usa como unidad de medida el radián. Un radián es el ángulo cuyo arco es igual al radio.
Para pasar de grados a radianes o viceversa, puedes usar la equivalencia:
180º ↔
π rad
La equivalencia entre grados y radianes de los ángulos más utilizados es:
grados
radianes
0º
0
180º
π
360º
2π
2
π
90º
4
π
45º
3
π
60º
6
π
30º
Ejercicios del libro: Tema 5 : Pág 142 : 1 y 3
2.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS DEL ÁNGULO

seno de α =





coseno de α




tangente de


sen α =
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS DEL ÁNGULO
α

cosecante de α = cosec





secante de α = sec α =





cotangente de α = cotg

cateto opuesto
hipotenusa
= cos α =
α = tg α =
cateto contiguo
hipotenusa
cateto opuesto
cateto contiguo
-1-
α =
1
sen α
1
cos α
α =
1
tg α
α
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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º.
cos
tg
π
rad
60º =
π
rad
3
1 2 32 33
sen
45º =
3 3
2 1 2
rad
4 2
2 22
6
π
30º =
1
Razones trigonométricas con la calculadora
Las r.t. de un ángulo agudo también se pueden hallar con la calculadora científica usando las teclas sin , cos y tan
- Cálculo de la razón trigonométrica de un ángulo
Para calcular, por ejemplo, sen 30º tecleamos:
sin
30 y obtenemos 0.5 . Luego sen 30º = 0,5
De igual forma se calcula el coseno y la tangente usando las teclas cos y tan.
En algunas calculadoras, en lugar de teclear sin 30 , se hace al revés, pulsando primero 30 y luego sin .
- Cálculo del ángulo conocida la razón trigonométrica
Para calcular el ángulo agudo α que cumple sen α = 0,5 tecleamos
SHIFT sin 0.5 y obtenemos 30 ; luego α = 30º
De igual forma se hace si nos dan cos α
o
tg α , usando las teclas cos y tan.
En algunas calculadoras, en lugar de teclear SHIFT sin 0.5 , se hace al revés, pulsando primero 0.5 y luego SHIFT sin .
Ejercicios del libro: Tema 4 : Pág 113: 4
Pág 122 : 10, 11, 13, 14 y 15
3.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. RELACIONES ENTRE LAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
Las r.t. de un ángulo cualquiera x se deducen a partir de las r.t. de un ángulo agudo estudiadas en el apartado anterior.
Para ello trazamos una circunferencia de radio 1 con centro en el origen de coordenadas (esta circunferencia se llama
circunferencia goniométrica o trigonométrica).
La circunferencia queda dividida en 4 cuadrantes
-2-
1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dibujamos el ángulo de forma que el vértice sea el origen de coordenadas y el lado inicial la parte positiva del eje X (se dice que
estamos dibujando el ángulo en posición normal). El lado final del ángulo corta a la circunferencia en un punto P(a,b)
Entonces:
sen x =
cateto opuesto
b
=
hipotenusa
=b
cos x =
cateto contiguo
1
=
hipotenusa
a
= a
cateto opuesto
tg x =
1
=
cateto contiguo
a
Esta misma definición se usa para calcular las r.t. de un ángulo cualquiera.
Cuando el ángulo va cambiando de cuadrante, los valores del seno, coseno y tangente van cambiando de signo, tomando
siempre valores reales entre -1 y 1.
Y
b
Y
b
x
P(a,b)
P(a,b)
1
x
1
X
Y
x
a
a
cos x = a < 0
sen x = b > 0
b
b
cos x = a < 0
cos x = a > 0
sen x = b < 0
Razones trigonométricas de ángulos especiales
0
1
0
π
rad
180º = π rad
1
0
No existe
0
-1
0
270º =
3 2
sen
cos
tg
90º =
2
0º = 0 rad
π
rad
360º = 2 π rad
-1
0
No existe
0
1
0
Relación entre las razones trigonométricas
c aa b
α=
cb
α=
g
t
o
c
ba
g
t
α=
α=
c
e
s
s
o
c
α=









c
e
s
o
c
α=
b ca c
n
e
s









2
2
Usando el teorema de Pitágoras: b + a = c
Relación entre el seno, coseno, tangente y cotangente:
sen α
= tg α
cos α
cos α
= cotg α
sen α
=
c c
a b
cos α
=
sen α
c c
b a
Demostración
sen α
=
cos α
=
-3-
a
X
1
1
sen x = b > 0
x
X
P(a,b)
cos x = a > 0
Y
a
X
b
= tg α
a
a
= cotg α
b
2
P(a,b)
sen x = b < 0
b
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2
sen α + cos α = 1
Relación fundamental de la trigonometría:
c c
=
2 2
c
+
2
=
a
2
b
2
a c
+
2 2
b c
 
 
2
2
2
2
sen α + cos α = (sen α) + (cos α) =   +   =
 
 
2 2
ac
2
2
bc
Demostración:
=1
Fórmulas que se deducen de la relación fundamental
=
1 2
n
e
s
α
α
2
+ 1 = sec α
α
n
e
s
n
e
s
+
2
2
2
α
s
o
c
2
n
e
s
2
α
2
2) Si dividimos todos los términos entre sen α, obtenemos
De donde:
α
s
o
c
+
2
s
o
c
tg α
=
s
o
c
2
De donde:
2
α
1 2
s
o
c
2
n
e
s
2
α
2
1) Si dividimos todos los términos entre cos α, obtenemos
α
α
2
1 + cotg α = cosec α
Relación entre las razones trigonométricas de dos ángulos complementarios.
Si α es un ángulo agudo, los ángulos
sen α =
α
y
90º - α
b
= cos (90º - α)
c
son complementarios (suman 90º)
cos α =
a
= sen (90º - α)
c
Ejercicios del libro: Tema 4 : Pág 122: 1 y 3
4.- CÁLCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS POR REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE.
Reducción de un ángulo a la primera vuelta
Para reducir un ángulo a la primera vuelta lo dividimos entre 360º para saber cuántas vueltas ha dado a la circunferencia, el lado
final del ángulo.
El resto de la división es un ángulo de la primera vuelta cuyas r.t. son iguales que las del ángulo inicial.
Por ejemplo, 2580º | 360
2580º = 7 vueltas + 60º . Luego las r.t. de 2580º coinciden con las de 60º
60
-------7
(Ojo: No se pueden eliminar los ceros del dividendo y divisor porque, aunque el cociente no varía, el resto sí varía)
Resumiendo: “Las r.t. de un ángulo mayor de 360º coinciden con las r.t. del resto de dividir dicho ángulo entre 360º”
-4-
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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reducción de un ángulo al primer cuadrante
Cuando un ángulo está en el II , III ó IV cuadrante, se pueden hallar sus r.t. comparándolas con las de otro ángulo del primer
cuadrante. A este proceso se le llama reducción del ángulo al I cuadrante.
Veamos como se hace:
sen x = sen (180º - x)
cos x = - cos (180º - x)
sen x = - sen (x - 180º)
cos x = - cos (x - 180º)
sen x = - sen (360º - x)
cos x = cos (360º - x)
Razones trigonométricas de dos ángulos opuestos
Ejercicios del libro: Tema 4 : Pág 122: 4, 5 y 6
Tema 5 : Pág 142 : 6 y 7
5.- TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO.
Consideremos un triángulo cualquiera de ángulos A , B y C y cuyos lados opuestos a dichos ángulos representaremos
por a, b y c.
=
C
cn
e
s
B
n
be
s
A
an
e
s
=
Teorema del seno:
.
Este teorema se puede aplicar para resolver triángulos cuando conozcamos:
a) 1 lado y 2 ángulos (o 1 lado y los 3 ángulos)
entre los lados conocidos)
ó
b) 2 lados y 1 ángulo (siempre que este ángulo no sea el comprendido
Teorema del coseno:
2
2
2
a = b + c – 2.b.c.cos A
Este teorema se puede aplicar para resolver triángulos cuando conozcamos:
a) Los 3 lados
ó
b) 2 lados y el ángulo comprendido entre los lados conocidos
Ejercicios del libro: Tema 4 : Pág 123: 19, 23, 24, 25, 26, 28 y 31
-5-
Pág 125: 5 y 9
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6.- FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS.
R.T. DE LA SUMA
Demostración
sen (x + y) = sen x cos y + sen y cos x
En el libro de texto
cos (x + y) = cos x cos y - sen x sen y
En el libro de texto
x
s
o
c
y
n
e
s
y
n
e
s
x
n
e
s
=
y
y g
g t
t
x
g
t
x
g
t
1
y
s
o
c
x
s
o
c
y
n
e
s
x
n
e
s
+
+
=
y
s
o
c
x
s
o
c
y
s
o
c
x
s
o
c
−
R.T. DE LA RESTA
+
−
x
s
o
c
y
n
e
s
y
s
o
c
x
s
o
c
=
y
s
o
c
x
s
o
c
x
s
o
c
y
s
o
c
x
s
o
c
+
−
y
s
o
c
x
n
e
s
y y
x
n
e
s
+)
=
+)
y
s
o
c
x
n
e
s
y
y g
g t
t
x
g
t
x
g
t
1
tg (x + y) =
(
(
tg (x+y) =
−
Demostración
sen (x - y) = sen [x + (-y)] = sen x cos (-y) + sen (-y) cos x =
sen (x - y) = sen x cos y - sen y cos x
= sen x cos y - sen y cos x
cos (x - y) = cos [x + (-y)] = cos x cos(-y) - sen x sen (-y) =
cos (x - y) = cos x cos y + sen x sen y
= cos x cos y + sen x sen y
+(
(
−
tg (x- y) = tg (x + (-y)) =
+
−)
=
−)
y
y g
g t
t
x
g
t
x
g
t
1
y y
g
g t
t
x
g
t
x
g
t
1
y
y g
g t
t
x
g
t
x
g
t
1
−
tg (x - y) =
−
+
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE
Demostración
sen (2x) = 2 senx cos x
sen (2x) = sen (x + x) = sen x cos x + sen x cos x = 2 senx cos x
2
2
cos (2x) = cos x - sen x
2
x
x 2
g
g t
t
2
n
e
s
x2
2
x
s
o 2
c
xx
ss
oo
cc
11
−
+
1
( ) =±
x
s
o 2
c
x2
( ) =±
1
x2
→
s
o
c
→
n
e
s
x
s
o 2
c
=±
−
( )
x
s
o
c 2
+
x
x
s
s
o 2
o 2 c
c
±
+
1
=
−
1
( )
±
1
( )
1
x2x2
-6-
( ) =
→
n s
e o
s c
g
t
x2
que esté
( ) =
x2
x
s
o
c
1
x2
2
s
o
c
2
-----------------------------( ) = +
x2
x
s
o
c
( ) =
2
s
o
c
1
x2
( ) −
2
n
e
s
x2
2
n
e
s
s
o
c
+
( ) =
−
1
x
s
o
c
x
s
o
c
1
2
n
e
s
x2
2
s
o
c
x2
2
( ) +
( ) −
( ) =
→
x2
1
x2
x2
( ) = −
x 2
El signo dependerá del
cuadrante en el
x2
x2
2
n
e
s
( ) =
) =
-----------------------------2
n
e
s
2
−
+
.
2
s
o
c
x
s
o
c
2
n
e
s
( ) −
( ) =
x x
s s
o o
c
c
1 1
g
t
x2
( ) = ±
s
o
c
x 2
que esté
x2
2
x
s
o 2
c
1
El signo dependerá del
cuadrante en el
s
o
c
x 2
x2
s
o
c
+
( ) =±
( ) +
-
(
x2
2
x
s
o 2
c
1
x2
n
e
s
que esté
=
2
s
o
c
Demostración
x2
2
n
e
s
x2
2
s
o
c
x
s
o
c
El signo dependerá del
cuadrante en el
=
−
−
R.T. DEL ÁNGULO MITAD
−
+
tg (2x) = tg (x + x) =
cos x en función de r.t. de x/2 :
= ( ) − ( )
( ) =±
x
x g
g t
t
x
g
t
x
g
t
1
x
x 2
g
g t
t
2
1
tg (2x) =
2
cos (2x) = cos (x + x) = cos x cos x - sen x sen x = cos x - sen x
−
+
1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Suma y resta de senos y cosenos
Suma de senos
sen (x+y) = sen x cos y + sen y cos x
Suma de cosenos
cos (x+y) = cos x cos y - sen x sen y
+
+
sen (x-y) = sen x cos y - sen y cos x
-----------------------------------------------------sen (x+y) + sen (x-y) = 2 sen x cos y
cos (x-y) = cos x cos y + sen x sen y
----------------------------------------------------cos (x+y) + cos (x-y) = 2cos x cos y
Resta de senos
sen (x+y) = sen x cos y + sen y cos x
Resta de cosenos
cos (x+y) = cos x cos y - sen x sen y
-
-
sen (x-y) = sen x cos y - sen y cos x
---------------------------------------------------sen (x+y) - sen (x-y) = 2sen y cos x
cos (x-y) = cos x cos y + sen x sen y
-----------------------------------------------------cos (x+y) - cos (x-y) = -2sen x sen y
2
2
−
B
A
B
, y=
−
2
2
−
B
A
sen
+
B
2
+
cos
B
A
2
cos A - cos B = -2 sen
A
2
B
A
+
+
B
cos A + cos B = 2 cos
2
2
cos
A
B
−
cos
B
A
−
A
+
2
sen A - sen B = 2 sen
B
A
sen A + sen B = 2 sen
A
A B
y y
x x
 + =
Si hacemos el cambio de variable: x+y = A ; x-y = B y resolvemos el sistema 
, obtenemos: x =
 − =
Las 4 fórmulas anteriores quedarían de la siguiente forma:
Ejercicios del libro
Tema 5 : Pág 133: 4, 5, 7 y 9
Pág 134 : 11, 13, 14 y 15
Pág 135: 17 y 18
Pág 142: 11
Pág 144: 29, 30, 31, 32 y 37
7.- ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.
1) sen x = b , siendo -1 ≤ b ≤ 1
∉ [-1,1] entonces la ecuación no tiene solución pues los valores del sen x siempre están entre -1 y 1
Si b
, α
2
1
Para resolver este tipo de ecuaciones, hallamos primero los ángulos α
de la primera vuelta cuyo seno vale b.
Las soluciones serán los ángulos que se obtengan al sumarle (o restarle) vueltas completas a dichos ángulos:
∈
Z
k
n
o
c
,
k
k º
.
.
º
0 0
6 6
3 3
1 2
x x
 = α +
S: 
 = α +
2) cos x = a , siendo -1 ≤ a ≤ 1
∉ [-1,1] entonces la ecuación no tiene solución pues los valores del cos x siempre están entre -1 y 1
Si a
2
1
Para resolver este tipo de ecuaciones, hallamos primero los ángulos α , α
de la primera vuelta cuyo coseno vale a.
Las soluciones serán los ángulos que se obtengan al sumarle (o restarle) vueltas completas a dichos ángulos:
∈
Para resolver este tipo de ecuaciones, hallamos primero los ángulos α , α
2
1
3) tg x = c
Z
k
n
o
c
,
k
k º
.
.
º
0 0
6 6
3 3
1 2
x x
 = α +
S: 
 = α +
de la primera vuelta cuya tangente vale c.
Las soluciones serán los ángulos que se obtengan al sumarle (o restarle) vueltas completas a dichos ángulos:
∈
Z
k
n
o
c
,
k
k º
.
.
º
0 0
6 6
3 3
1 2
x x
 = α +
S: 
 = α +
El resto de ecuaciones trigonométricas se resuelven haciendo transformaciones para llegar a las ecuaciones anteriores.
Ejercicios del libro: Tema 5 : Pág 137: 1, 2, 3, 4 y 5
-7-
Pág 143 : 18, 19, 20 y 21
1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Función seno: Es la función cuya fórmula es y = sen x
(x en rad)
y = sen x
Y
2
1
X
-2π -3π/2 -π
-π/2
π/2
π
3π/2 2π
-1
-2
2
Propiedades más importantes
- Dom (sen) = R
π
- Tiene máximo para x =
+ 2kπ
- Rec (sen) = [-1,1]
- Es continua
−π
- Es periódica de periodo 2π, porque se repite en intervalos de
y mínimo para x =
+ 2kπ
longitud 2π
- No tiene límite en ∞ ni en - ∞.
2
Función arco-seno:
Si consideramos
sen: [-π/2 , π/2] → [-1,1] , resulta ser inyectiva, luego tiene inversa.
Su función inversa se llama función arco-seno
arcosen : [-1 , 1 ] → [-π/2 , π/2] ,
arcosen (x) = único ángulo del intervalo [-π/2 , π/2] cuyo seno vale x
π/2
Gráfica de
y = arcsen(x)
Y
π/3
π/6
X
-1
-0.5
0.5
-π/6
-π/3
-π/2
Propiedades más importantes
- Dom (arcsen) = [-1,1]
- Rec (arcsen) = [-π/2 , π/2]
- Es continua
- Es creciente
-8-
1
1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Función coseno: Es la función cuya fórmula es y = cos x
(x en rad)
y = cos x
Y
2
1
X
-2π -3π/2 -π
-π/2
π/2
π
3π/2 2π
-1
-2
Propiedades más importantes
- Dom (cos) = R
- Rec (cos) = [-1,1]
- Es continua
- Tiene máximo para x = 2kπ
y mínimo para x = π + 2kπ
- Es periódica de periodo 2π, porque se repite en intervalos de
longitud 2π
- No tiene límite en ∞ ni en - ∞.
Función arco-coseno:
Si consideramos cos: [0 , π] → [-1,1] , resulta ser inyectiva, luego tiene inversa.
Su función inversa se llama función arco-coseno
arccos : [-1 , 1 ] → [0 , π] ,
arccos (x) = único ángulo del intervalo [-π/2 , π/2] cuyo coseno vale x
π
Y
5π/6
Gráfica de
y = arccos(x)
2π/3
π/2
π/3
π/6
X
-1
-0.5
0.5
Propiedades más importantes
- Dom (arccos) = [-1,1]
- Rec (arccos) = [0 , π]
- Es continua
- Es decreciente
-9-
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1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Función tangente: Es la función cuya fórmula es y = tg x
(x en rad)
y = tg x
Y
X
-3π/2
-π/2
π/2
+ kπ }
- Rec (tg) = R
π
- Es creciente
2
- Es discontinua en x =
3π/2
π
Propiedades más importantes
- Es periódica de periodo π, porque se repite en intervalos de
longitud π
2
- Dom (tg) = R – {
π
-π
+ kπ , con discontinuidad asintótica
π
- No tiene límite en ∞ ni en - ∞.
2
- Tiene asíntotas verticales en x =
+ kπ
Función arco-tangente:
Si consideramos
tg: (-π/2 , π/2) → R , resulta ser inyectiva, luego tiene inversa.
Su función inversa se llama función arco-tangente
arctg : R → (-π/2 , π/2) ,
arctg (x) = único ángulo del intervalo (-π/2 , π/2) cuya tangente vale x
π/2
Y
π/3
Gráfica de
y = arctg(x)
π/6
X
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-π/6
-π/3
-π/2
Propiedades más importantes
- Es creciente
- La recta y = π/2 es una asíntota horizontal en ∞
- La recta y = - π/2 es una asíntota horizontal en - ∞
- Dom (arctg) = R
- Rec (arctg) = (-π/2 , π/2)
- Es continua
Derivada de las funciones trigonométricas
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
−
y = arccos x → y´=
y = cos x → y´ = - sen x
y = tg x → y´ = 1 + tg x = sec x =
x
1 2
s
o
c
2
2
x 1 2
x
2
x
1
1 1
1
y = arcsen x → y´=
y = sen x → y´ = cos x
2
1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
−
−
y = arctg x → y´=
+
Ejercicios del libro:
Tema 12 : Pág 308: 5 y 6
Pág 309 : 13, 15 y 20
Pág 320: 16 y 19
- 10 -
Pág 321: 23, 28 b) , 31 b), 36, 37, 38 y 39 b)