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Unidad 6: Modelos probabilísticos discretos 1. 2. 3. 4. Variable aleatoria discreta. Distribución de probabilidad discreta. Parámetros de una variable aleatoria discreta. Distribución de Bernuilli, Binomial y algunas otras. 1. Variable aleatoria discreta Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas. Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros. Ejemplos: El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado, el número de caras que se obtiene al lanzar una moneda tres veces. Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos: La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila. 2. Distribución de probabilidad discreta. Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la función que asocia a cada valor de x i de la variable su probabilidad p i . 0 ≤ pi ≤ 1 p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1 Ejemplo: Calcular la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado. xi 1 2 3 4 5 6 pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 1 La representación gráfica de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de barras. Función de distribución Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función: F(x) = p(X ≤ x) La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor. Ejemplo: Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado. xi X<1 1≤x<2 2≤x<3 3≤x<4 4≤x<5 5≤x<6 x≥6 F(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1 La representación de una función de distribución es una gráfica escalonada. 2 3. Parámetros de una distribución de probabilidad discreta. 3.1. Esperanza matemática o media 3.2. Varianza 3.3. Desviación típica Ejemplo: Calcular la esperanza matemática, la varianza, y la desviación típica, de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado. xi pi X i ·p i X i 2 ·p i 1 1/6 1/6 1/6 2 1/6 2/6 4/6 3 1/6 3/6 9/6 4 1/6 4/6 16/6 5 1/6 5/6 25/6 6 1/6 1 6 21/6 91/6 3 4. Algunas distribuciones discretas. 4.1. Distribución de Bornouilli Un experimento aleatorio sigue un modelo de Bernouilli si: Solo se realiza una vez Solo tiene dos posibles resultados, que llamaremos éxito y fracaso. Sea E un experimento aleatorio de Bernouilli y X la variable aleatoria definida de la siguiente forma: X=1 si al realizar el experimente se ha obtenido éxito X=0 si al realizar el experimento se ha obtenido fracaso En estas circunstancias se dice que X sigue una distribución de Bernouilli , X→B(p), donde p es la probabilidad de éxito y q=1 – p es la probabilidad de fracaso. Ejemplos: 1. El experimento E= lanzar una moneda es un experimento de Bernouilli, ya que solo admite dos resultados, cara y cruz. La variable aleatoria X que asigna el valor 1 si se obtiene cara y el valor 0 si se obtiene cruz sigue una distribución de Bernouilli, X→B(1/2) 2. El experimento E= sacar una bola de una urna con 3 bolas blancas y 5 bolas negras es un experimento de Bernouill i, ya que solo admite las posibilidades sacar bola blanca y sacar bola negra. La variable aleatoria que asigna el valor 1 si se extrae una bola blanca y 0 si se extrae una bola negra sigue una Bernouilli de parámetro 3/8, X→B(3/8) 4 4.1.1. Parámetros de una Distribución de Bernouilli Esperanza matemática o media 1·p 0·q p Varianza 2 (12 ·p 0 2 ·q) p 2 p p 2 p (1 p) p·q Desviación típica p·q En los ejemplos anteriores: 1. 1 / 2 , 2 1 / 4 , 1 / 2 2. 3 / 8 , 2 15 / 64 , 15 / 8 4.2. Distribución Binomial. Consideremos la variable aleatoria X que se define como el número de éxitos que se obtiene al repetir un experimento de Bernouilli n veces. Los valores de esta variable aleatoria pueden ser X 1,2,3,..., n Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso. 2. La probabilidad de éxito es constante, es decir, no varía de una prueba a otra, se representa por p. La probabilidad de fracaso, también constante se representa por q = 1 – p. 3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La distribución binomial se representa por B(n,p) Cálculo de probabilidades de una distribución binomial : Sea X una variable B(n,p). n PX k · p k ·q nk k 5 Ejemplo La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2 personas? n = 4, p = 0.8, q = 0.2 X= nº de personas que han leído la novela X→B(4, 0.8) 2. ¿Y como máximo 2? Parámetros de una distribución binomial Media: Varianza: Desviación típica: Ejemplo La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica. Para facilitar el cálculo, los valores de las probabilidades de una variable binomial B(n,p) se encuentran tabulados. A continuación se explica el uso de la tabla: 6 7 8 4.3. Distribución de Poisson. Se define la variable aleatoria X como el número de sucesos que ocurren en un intervalo continuo de tiempo, longitud o espacio, de un tamaño determinado. Sea λ el número medio de sucesos que ocurren en estos intervalos. La variable aleatoria así definida sigue una distribución de Poisson de parámetro λ. X→P(λ) La función de probabilidad de una variable X que sigue una distribución de Poisson es la siguiente: 9 Se puede comprobar que k 0 k o k P X k e · k! 1 Donde: λ = n * p (es decir, el número de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo) k es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando . Ejemplos: 1. Nº de leucocitos en una gota de sangre 2. Nº de veces que una planta de energía nuclear emite gases radiactivos en un periodo de tres meses. 3. Número de bacterias nocivas por cada cm 3 de agua. 4. Número de partículas radiactivas emitidas cada hora por una cierta sustancia. Aproximación de una distribución Binomial a una distribución de Poisson: Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson: Se tiene que cumplir que: p<0,10 y que n·p<10. Ejemplo 1: La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cuá l es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson. Luego P (x = 3) = 0,0892 Ejemplo 2. La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recien nacidos haya 5 pelirrojos? Luego P (x = 5) = 4,602 10 Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recien nacidos es del 4,6%. Ejemplo 3. (ejercicio propuesto) La probabilidad de reacción negativa ante un fármaco de un individuo es 0.05. Si hay 100 individuos, X: “nº individuos con reacción negativa” Ejemplo 4. (ejercicio propuesto) La probabilidad de que un individuo tenga un accidente es 0.01. Si hay 3500 individuos, X: “nº de accidentados” Ejemplo 5. (ejercicio propuesto) Se estima que sólo uno de cada 50 loro s capturados en la cuenca del Amazonas, para su utilización como animales domésticos, sobrevive al cambio. Se capturan 700 pájaros en un día, X: “nº de loros que sobreviven” 11