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NIVELACIÓN EN
MATEMÁTICA
Nora B. Marrone
Facultad de Ciencias Económicas
UNaM – AÑO 2015
Contenido
NÚMEROS REALES ......................................................................................................... 3
I – TRABAJO INICIAL ................................................................................................... 3
EJERCICIOS ............................................................................................................. 3
II - TRABAJO INICIAL ................................................................................................... 4
EJERCICIOS ............................................................................................................. 6
III - TRABAJO INICIAL .................................................................................................. 7
EJERCICIOS ............................................................................................................. 9
IV TRABAJO INICIAL .................................................................................................. 10
EJERCICIOS ........................................................................................................... 11
V – TRABAJO INICIAL ................................................................................................ 12
EJERCICIOS ........................................................................................................... 14
VI – TRABAJO INICIAL ............................................................................................... 16
EJERCICIOS ........................................................................................................... 16
VII – TRABAJO INICIAL .............................................................................................. 17
EJERCICIOS ........................................................................................................... 18
VIII – TRABAJO INICIAL ............................................................................................. 19
EJERCICIOS ........................................................................................................... 21
COMPLEMENTO TEÓRICO – ECUACIONES E INECUACIONES..................................... 24
ECUACIONES ............................................................................................................ 24
ECUACIONES EQUIVALENTES................................................................................... 24
ECUACIONES LINEALES ............................................................................................ 26
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS .................................................... 32
INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA..................................................... 39
BIBLIOGRAFÍA/WEBGRAFÍA ..................................................................................... 44
ESTUDIO DE FUNCIONES Y MODELIZACIÓN ................................................................ 46
I – TRABAJO INICIAL ................................................................................................. 46
EJERCICIOS ........................................................................................................... 48
II – TRABAJO INICIAL ................................................................................................ 50
EJERCICIOS ........................................................................................................... 52
III – I – TRABAJO INICIAL .......................................................................................... 53
EJERCICIOS ........................................................................................................... 54
COMPLEMENTO TEÓRICO - FUNCIONES ..................................................................... 57
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 1
CONCEPTO DE FUNCIÓN .......................................................................................... 57
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN ....................................................... 62
MODELOS DE EXÁMENES ............................................................................................ 66
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA ................................................................................. 70
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Página 2
NÚMEROS REALES
I – TRABAJO INICIAL
1. Para realizar un viaje de estudios del último año de la escuela se contratará un
colectivo que cuesta $ 4600. El 45% del valor del viaje lo pagará la cooperadora
de la escuela, 2/5 partes de lo que falta estará a cargo de los padres y para pagar
el resto se organizará un evento deportivo.
a) ¿Cuánto dinero aporta la cooperadora?
b) ¿Qué porcentaje deben pagar los padres?
c) ¿Cuánto dinero deberán recaudar en el evento deportivo?
2. Un vendedor de telas gana el 30% sobre cada producto que vende. (a) Si un
producto A le costó $560 ¿a cuánto debe venderlo? (b) Y si a otro producto B lo
vendió a $1800, ¿Cuál fue el precio de costo?
3. La municipalidad de la ciudad de Posadas está realizando obras de
pavimentación y cordón cuneta en las calles del Barrio Norte A. Una cuadrilla de
obreros ha hecho las 3/5 partes de la cuneta de la calle Nº3 y otra cuadrilla el
20% de la calle Nº81. Realiza una representación gráfica esquemática de cada
calle y pinta la parte realizada por cada grupo de trabajadores considerando que
las calles miden 100 m de largo cada una.
4. Trace un segmento de 4 cm (AB) y otro de 10 cm (CD) y responde:
a) ¿Es la longitud de AB el 60% de la longitud de CD?
b) ¿El 20% de AB es mayor, menor o igual al 30% de CD?
c) ¿3/4 de AB es mayor, menor o igual a 3/4 de CD?
EJERCICIOS
5. Indique como fracción y porcentaje cuánto representan dos porciones de una
pizza que está dividida en 8 partes iguales. Representa gráficamente.
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Página 3
6. Ordene los siguientes números de mayor a menor y represéntelos en la recta
real:
1/3; 4/5; -2/3; -3; 6; -0,5; 0,75; -6.
7. Encuentre el valor de x en la recta real:
8. Dos amigos decidieron comprar un billete de lotería que les costó $250. Juan
pagó 15% menos que Bruno. ¿Cuánto pagó cada uno?
9. ¿Cuántas vacas formaban un lote si el dueño sacó primero la cuarta parte de los
animales para llevarlos a otro potrero, a la semana vendió la mitad de lo que
quedaba, pasados 5 días murieron tres y actualmente quedan 27?
10.
Juan y Lucía compraron un libro de Contabilidad al cursar la materia en el año
2011 que les costó $120, Juan puso el 37% del valor y Lucía el resto. Al año
siguiente lo vendieron por 2/3 del valor original y se repartieron el dinero en las
mismas proporciones de lo invertido. ¿Cuánto recibió Lucía?
11.
Trace un segmento AB que esté dividido en 6 partes iguales:
a) Señale sobre AB un segmento PQ que mida 1/6 de AB
b) Señale sobre AB un segmento RS que mida 1/3 de AB
c) Señale sobre AB un segmento MN que mida 2/3 de AB
d) Señale sobre AB un segmento CD que mida 3/2 de AB
----------------------------------------------------------------------------------
II - TRABAJO INICIAL
12.
¿Verdadero o falso?
a) Entre 14 y 15 no hay números enteros (excluidos 14 y 15)
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Página 4
b) Entre 3 y 8 sin considerar 3 y 8, hay 3 números enteros
c) Entre 3,1 y 3,2 hay infinitos números reales
d) 3,5555555... es un número periódico (los puntos suspensivos indican que
continúa el 5)
13.
Escriba como fracción: 0,75;
14.
¿Cuántos números reales hay entre 10 y 12 (excluidos ellos):
2,45;
1,2;
1,666…;
;
4
a) dos b) Infinitos c) Ninguna respuesta es correcta.
15.
De dos expresiones decimales distintas para el número 5/4.
16.
Escriba en notación científica:
a)
4.000.000.000
b) -2.530.000.000
c) 0,0000000000324
d) -
0,000004635
17.
Escriba en forma decimal:
a) 3,45.10 6
18.
b) 8,9.10 -12
¿Cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas?
a) a) 0,0025.102 = 2,5.10-1
b) 0,0025.102 = 0,25.100
c) 75 =
7,5.100
19.
Dos amigos están preparando una torta de cumpleaños. La receta indica que
se deben utilizar 10 huevos por cada 2,5 kg. de harina. ¿Cuántos huevos se
deberán usar si harán una torta que insume 2,5.106 mg de harina? (1kg = 1000 g)
20.
Coloque el signo “ < = ó > ” entre cada pareja de números.
1/2.....…3/10
7
9
3, 9̂ ……..4
2
4
……. −
5
3
3,99 …...3, 9̂
0,7………..
−
3/10 …..1/3
2.619 …….2.6
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5/2 ………2,5
Página 5
21.
Complete el siguiente cuadro, agregando los subconjuntos de números reales
que faltan y agregue algunos ejemplos para cada uno.
EJERCICIOS
22.
Ordene de menor a mayor los siguientes números:
)
1
4
0; − ; 1; − 1; 0,378 ; − 2; ; 2,5; 1,32; 0,4
2
3
23.
Resuelva y escriba el resultado en notación científica. (Use la calculadora)
a)
10 −3.10 5
10
(
b) 357.000 x 32.000
)
c) 5,4.10 2 .( 0,67 .10 4 )
24.
d)
(1,32.109 ).(7.8.10 −2 )
10 6.10 −9
Si un metro equivale a 1000 milímetros, coloque el signo “>,< o =” entre las
medidas de longitud:
a) 3,05.102 m………....305.105 mm
25.
b) 3,05.102 m………....3,05.105 mm
La tierra tiene aproximadamente 1,3.104 km de diámetro y la luna 3,5.102 km.
a) ¿cuántas veces es el diámetro de la tierra respecto del de la luna? b) ¿Qué
porcentaje representa el diámetro de la tierra respecto del de la luna? c) Calcule
el diámetro aproximado del sol si es 100 veces el de la tierra.
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Página 6
26.
Estime la cantidad kilos de basura que genera diariamente cada habitante en
un país si se sabe que la producción total anual es de 15,5 millones de toneladas
y que el total de habitantes es de 23 millones.
27.
Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas
a) Existen cuatro números reales entre 3 y 6 (incluidos 3 y 6).
b) Existen infinitos números entre 8 y 10.
c) 7,55 es menor que 7,51
d) 2,5 es mayor que 2,5
28.
Indique al menos un número igual al dado:
3 = …….
29.
7/5 = …….
0,32 = …….
)
1, 4 = …….
Trabaje con un compañero/a y complete la siguiente tabla que corresponde a
las propiedades de los números reales:
--------------------------------------------------------------------------
III - TRABAJO INICIAL
30.
Señale cuál o cuáles de los siguientes números son racionales:
a)1/3
b) - 1/2 c) - 4 d)0,321321321….. d)0.1333
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e) 3
f) 2
8
Página 7
31.
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. (Los puntos
suspensivos indican que se repite la tendencia)
32.
Encuentre:
a) Dos números racionales entre 1 y 3. Excluya a 1 y a 3.
b) Dos números irracionales entre 1 y 3. Excluya a 1 y a 3.
c) El mayor número racional menor o igual a 1/3.
d) El menor número irracional mayor o igual
33.
5
Indique cuando sea posible:
a) El mayor número racional menor o igual a 7
b) El mayor número racional menor o igual a 7,4
c) El mayor número racional menor 7
34.
Indique en cada caso, cuáles son los números enteros x que verifican:
3 < x < −2
35.
3,105 < x < −1,995
c) − 2,999 ≤ x ≤ −2,0001
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
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36.
Indique si son correctas las siguientes simplificaciones, para aquellas que no lo
sean corrija los errores cometidos.
1
37.
Resuelva:
2
5 12 1 2
 1
  +   −  +  + −  :3/ 4
2 4
3 5
 4
EJERCICIOS
38.
Ubique sobre la recta real los siguientes números:
1
3
a) 0; − ; 2; − 3;
39.
4
; 2,5 ; 0,3 2̂; 2
3
− 2;
Indique si los siguientes números son positivos o negativos:
a)
Si x < − 1 , entonces x + 1 es……………
Si − 2 < x , entonces x + 4 es…………
Si 2 < x < 3 entonces x - 2 es…………y x – 3 es………………
40.
Escriba los siguientes números con exponentes positivos:
a) 1/6.6
41.
42.
b) 2.2.2.2
c) 1/3
d)(1/4).(1/4)
Escriba los siguientes números con exponentes negativos
a)
b)
c)
d)
1/25
1/5
(1 / 3) 2
(1/6).(1/6)
En caso de ser posible, resuelva las siguientes expresiones:
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Página 9
a) 3−1.31
( )(
e) 5a 4 . − 2a 2
i) −
43.
)
(4 − 4)0
40
22
b) 3
3
2 −1 − 3−1
c) −1
2 + 3−1
34
3− 2
g) − 4.a 2 b 3 . 3a.b −2
f)
(
)(
01
10
j)
k)
)
(3abc)3
(a.b.c)2
d)
(
(− 1)3
(− 1)3
h) 4a 2 .b −3
l)
)
3
(3 )
2 5
Resuelva:
2
a)
1 − (− 2 )− 2 ÷ (− 1 / 2 )3 + (− 4 + 1)(
. − 2 )


b)
2
−1
 3  2 
2 1
 1
 −  −    +  − 
 3 6
 4
 2  
c)
1 2  1 5  1 
 5

 −  ÷ (− 15) + 1 ÷  2 +  −   ÷  − 
4
 2

 32 
 4
d)
(0,025 − 0,12). (5,1 − 0,3)
2
1
1
2
÷ 2,3
2 − 2/3
------------------------------------------------------------------------------------
IV TRABAJO INICIAL
44.
Analice si las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justifique su respuesta.
a) a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0
d) a ⋅ b = 0 , entonces a = 0 ó
b) (-3)(-b) = -3b
e)
b = 0 (o ambas son 0)
g)
−
h)
2x
=2
x
0
2
a +1
c) a – b = a + (-b)
f) -(-6) = - 6
=0
i) -a = (-1) a
a −a
a
=
=
b
b
−b
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Página 10
1 a
j) a ÷ b = a   =  
b b
k)
2x
2x
=
−1
a −1 a
l) (a.b) = (-a)b = a(-b)
a2+1
5x
o) (2 – 3b) = (3b – 2)
cuando b ≠ 0
m) 3x+(4.a) = (3x+4).(3x+a)
n)
5x
a2 +1
=
45.
Justifique la verdad de las siguientes afirmaciones:
46.
Indique para qué valores de “a” es verdadera la expresión:
a) (a + 2 )2 =(a+2).(a+2)
c)
47.
5 1
= .
a a
a
b) (a + 6).0 = 0
5
2
d) (a + 1)(a − 2) = 0
Encuentre el conjunto solución de la ecuación y verifique el resultado:
a) 3z - 4 = 7z - 4z +2 – 6
b)
3x − 1 x − 1
=1
−
4
2
1

c) − 2 x +  = −2 x − 2
2

Nota: En el complemento teórico encontrará desarrollado algunos aspectos que conciernen
a este tema y que pueden resultarle útiles.
EJERCICIOS
48.
Encuentre una expresión equivalente a la dada:
a) (− a )(2 + 5)
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b) (2a+ 3). (x -1)
Página 11
c)
49.
− (− a )
−b
Analice si las siguientes expresiones son equivalentes:
a)
c)
(3 y)(2 x ) − 2(yx− 2)
; 4(yx+ 1)
b)
a+ b
;
c
a
+b
c
3 ab(y+ 1) + a (y− 3 b) ; ay(3 b+ 1)
d)
a
;
b+ c
a c
+
b d
e)
50.
d) (5x + 2). (x - 3)
a+ b
;
c
a b
+
c c
f)(a – 5).3 + 2a ; 5(a – 3)
Complete la línea punteada para obtener una expresión equivalente a la dada:
a)
b)
c)
d)
f) 3b4 – 6b3 + 12 b5 =… (… -2+….)
e)
h) 4x2 – 8x = 4x (…..-……)
g)
51.
Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) x − 2 x + 3 = x − 1 b)
d)
2
1
2
x−2= x+
3
4
3
e)
3x − 1 x + 1
+
= x −1
3
6
2
1
y−3
( y − 2)
3
3
=
3
4
c) (2y)2 + 3y - 7 = 4y2 + 3y + 2 – 9
f)
f)
-----------------------------------------------------------------------------
V – TRABAJO INICIAL
52.
Al comprar una remera que cuesta $125, me ofrecen tres opciones de pagos
Opción 1: Si pago de contado me harán un descuento del 15%.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 12
Opción 2: Si pago con tarjeta de débito abonaré $143,75.
Opción 3: Si financio el pago en 5 cuotas, el recargo total será del 10% y en cada
cuota abonaré 1/5 del valor total.
Con esa información, responda:
a) Si dispusiera de $ 725, ¿Cuántas remeras podré comprar si pago de contado?
b) ¿A cuánto ascenderá cada cuota si opto por la opción 3 e invierto $1.000?
c) Con $650 ¿Cuál es el número máximo de remeras que podré adquirir según la
opción 2?
d) ¿Cuánto ahorro si compro 10 remeras de contado?
e) Opto por la opción 1 y compro 2 remeras: ¿el descuento será del 15% o del
30% sobre el total? Justifique.
53.
Carla cobró el sueldo (S), y gastó $175 en un libro. Un cuarto de lo que le
quedó luego de adquirir el libro lo utilizó para realizar compras en el
supermercado. Si aún le quedan $2400. ¿Cuáles de las opciones siguientes son
verdaderas?
a)
Si S representa el sueldo, luego de ir a la librería a Carla le quedarán $
(S – 175)
b)
Si Carla gastó ¼ de lo que le quedaba en el supermercado, la ecuación
que representa el gasto es:
b.1) (s – 1/4s)
b.2) 1/4 (s – 175)
b.3) (s – 175) – (1/4s)
b.4) Ninguna
c) El sueldo de Carla se puede representar por la ecuación:
c.1)
s = (s – 175) - 1/4 (s – 175) + 2400
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 13
54.
c.2)
2400 = S – 175 – ¼(s – 175)
c.3)
Ninguna
A partir de las siguientes expresiones, identifique aquellas que sean
ecuaciones y resuélvalas.
55.
a)
4 – 5x = 8
b)
El doble de un número más dicho número es igual a 42.
c)
2.8 = 16
d)
3x – 1
e)
1/2 x > 10
f)
2a +5 = 9
A partir de los siguientes enunciados, agregue una pregunta y resuelva la
ecuación que queda planteada:
a)
“El precio de 5 kilos de pan es de $64”
b)
“El 10% de un número es 40”
c)
“ La suma de un número natural más su consecutivo es 65”
Nota: En el complemento teórico encontrará desarrollado algunos aspectos que
conciernen a este tema y que pueden resultarle útiles.
EJERCICIOS
56.
Magia: Un mago realiza el siguiente truco: Le pide a un integrante del público
que piense un número y lo multiplique por 2; al resultado le sume el número
siguiente al que pensó, luego sume 8 y divida por 3. Finalmente reste el número
que pensó. Le queda 3. Explique por qué este truco funciona siempre.
57.
El granjero: Un repartidor de soda lleva en el camión botellas llenas, con tan
mala suerte que tropieza y se le rompe 2/5 de la mercancía. Entonces vuelve al
depósito y recoge 21 sifones más, con lo que ahora tiene 1/8 más de la cantidad
inicial. ¿Cuántos sifones tenía al principio?
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 14
58.
El recargo por pago con tarjeta de un producto es del 15%. Indique cuál o
cuáles de las siguientes expresiones simbólicas representan la situación
planteada.
(Para P: precio de venta con tarjeta y C: precio de venta de contado)
P = C + 15%
59.
b) P = C + 15% P
c) P = C + 15% C
d) P = C (1,15)
Un negocio de venta de ropas ofrece en su vidriera: Liquidación de fin de
temporada: 15% descuento sobre los trajes de baño. A los 15 días promociona
una nueva liquidación del 20% sobre el último
precio.
a)
¿Cuál
es
el
descuento
final
en
porcentaje?
b)
¿Si se aplicasen los dos descuentos
juntos, (35%) el precio final sería el mismo que
cuando se aplican los descuentos en forma sucesiva?
c)
Compruebe si un cliente que entró al negocio para aprovechar los
precios de la vidriera pagó según los descuentos ofrecidos.
60.
Un mayorista de muebles gana 25% sobre el costo de cada artículo que vende:
a) Si un escritorio lo compró a $250 ¿A cuánto deberá venderlo?
b) Si vendió una silla giratoria a $350 ¿cuál fue el precio de costo?
61.
Si el precio de costo de un auto es de $73.000 y la concesionaria lo vende a
$87.000 ¿cuál es la variación porcentual de aumento con respecto al costo?
62.
El gato hidráulico1: El dibujo muestra un modelo orientativo de gato de los
que se utilizan para levantar coches. La altura en centímetros que alcanza
el coche es igual a la mitad del número de vueltas completas que se dé a
la manivela aumentado en tres (3).
a) ¿Qué altura alcanza el coche cuando se han dado 10 vueltas a la
1
http://funes.uniandes.edu.co/1891/1/Capitulo3_G2_EcuacionesLinealesUnaIncognita.pdf 26/08/2013
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 15
manivela? ¿y cuándo se han dado 35 vueltas?
b) ¿Cuántas vueltas se han dado a la manivela si el coche ha alcanzado
una altura de 46 cm?
63.
Un cartel indica que los días martes el Supermercado A realiza descuentos del
15% en productos de almacén. Indique cuál o cuáles de las siguientes
expresiones simbólicas representan la situación para un bidón de cinco litros de
aceite que cuesta $46. (Para: D: precio de venta con descuento y C: precio de sin
descuento).
a) D = 45 -15%
b) D = C - 15% D
c) D = C - 15% C
d) D = C (0,85)
---------------------------------------------------------------------------
VI – TRABAJO INICIAL
64.
Traduzca los siguientes enunciados del lenguaje coloquial al lenguaje
simbólico:
a)
El triple de un número natural más ese número es menor o igual a 15.
b)
El cuádruplo de un número natural es por lo menos 36.
c)
El producto entre un número par y su consecutivo es inferior a 15.
65.
¿Cuáles son los números cuyo doble excede a su mitad más treinta?
66.
La bodega “los Paraísos” paga a sus viajantes $10 por botella de vino
vendidos más una cantidad fija de $500. La bodega “Las Conde” de la
competencia paga $15 por artículo y $300 fijos. ¿Cuántas botellas debe vender el
viajante de Las Conde para ganar más dinero que uno de los Paraísos?
EJERCICIOS
67.
Exprese simbólicamente los siguientes enunciados:
a) a es un número que puede valer a lo sumo 3.
b) b es un número mayor que 7.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 16
c) El número de inscriptos al torneo fue inferior a 34 jugadores.
d) El triple de un número más cuarto unidades es menor a quince.
68.
Un contratista le ofrece a un pintor pagarle por un trabajo: $300 más
$11/metro cuadrado pintado ó directamente $18,50/ metro cuadrado. Si debe
pintar carteles cuya superficie “x” es variable, entonces ¿para qué valores de “x”
es mejor para el pintor la segunda opción?
69.
70.
Determine si los valores de x indicados satisfacen las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 3 > 0
b) -x –3 > - 15/2 x
para x = 2 ; x =-5; x = -3/2
para x = 2; x = 0; x = -9
Cuando sea posible, resuelva las siguientes inecuaciones y represente el
conjunto solución en la recta real:
71.
6x + 10 < 5
-3x < 7
x<x-5
– 2s +8 > -8 + s
Calcule cuántos canastos de mimbre debe hacer y vender un artesano si
pretende ganar no menos de $500/mes.
Considere: Costos de producción: C = 130 + 8x
Precio de la venta de un canasto: $25
72.
La suma de dos números naturales pares y consecutivos es menor a 35, cuáles
pueden ser los números?
Nota: En el complemento teórico encontrará desarrollado algunos aspectos que
conciernen a este tema y que pueden resultarle útiles.
.
VII – TRABAJO INICIAL
73.
Si al doble de un número positivo le restamos la mitad de su cuadrado y da
por resultado cero ¿Cuál es ese número?
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 17
74.
Si a un número par lo nombramos “2x”, entonces a un número impar lo
nombramos como (2x+1) ó (2x-1). Con esa información halle dos números
impares consecutivos cuyo producto de por resultado 323.
75.
El perímetro de un triángulo rectángulo es de 48 cm y la hipotenusa mide 20
cm. Encuentre cuanto miden los lados. Grafique la situación planteada.
76.
Indique si las siguientes expresiones algebraicas son ecuaciones de segundo
grado:
x2- 5x + 8 = -2x + 3
a)
77.
b) x2 + 4x + 4 = (x – 2) (x + 3)
c) x2 +3x +2
Indique si la afirmación siguiente es verdadera o falsa. ”Existe una única
ecuación de segundo grado cuyas raíces son 1 y -5.”
78.
Resuelva las ecuaciones siguientes (De ser posible hágalo de diferentes
maneras)
79.
Resuelva las siguientes ecuaciones de la forma que considere conveniente:
a) – 10x =16 - x2
b) 2(x-1)2 = 0
c) 9 + x2 = 5x
EJERCICIOS
80.
81.
Resuelva de la forma que considere conveniente:
a) x(x2 - 1) -3(x2 - 1) = 0
b) (x + 2)2 = 4
c) 4x2 -20x +25=0
d) x(x + 2) = 6x
e) -16 + x2=-25-10x
f) 12x – 3x2 = 0
Dada la ecuación x2 – 2x - 3 = 0, indique si x = 3; x = 2; x = –1; x = 1 son raíces
de la ecuación.
82.
Señale la opción correcta: La expresión algebraica (x-2)2 = x2 - 22
a) Es una identidad (se cumple para todos los números reales)
b) Existen algunos números reales que la verifican.
c) Ningún número real verifica la ecuación
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 18
83.
Señale la opción correcta: La expresión algebraica (x+2)2 = x2 + 22 :
a) Es una identidad (se cumple para todos los números reales)
b) Existen algunos números reales que la verifican.
c) Para ningún valor.
84.
Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
a) (a + b)2 = a2 +2ab + b2 se cumple sólo para algunos números reales
b) (3 + x)2 = 32+2.3.x + x2 se cumple sólo para algunos números reales
c) (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 es una identidad (se cumple para todos los números
reales)
d) (a + b).(a – b) = a2 - b2 se cumple sólo para algunos números reales.
85.
Encuentre:
a) una ecuación de segundo grado cuya raíz doble sea 3.
b) dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 506
c) todos los números tales que al sumarles su cuadrado se obtenga el número 42
86.
Si el área de un rectángulo es 160 cm2, calcule cuánto mide la base y la altura
sabiendo que la altura es 12 cm más corta que la base. Graficar la figura le será
de gran utilidad.
87.
Resuelva:
a)
88.
b)
c)
=5-
Calcule las medidas de un terreno rectangular que ocupa 128 m2, sabiendo
que el largo del mismo es el doble del frente.
89.
Calcule el área de un cuadrado cuyo único dato es que al aumentar en 2 cm
un lado, la superficie es de 529 cm2
-----------------------------------------------------------------
VIII – TRABAJO INICIAL
90.
Una con flechas las expresiones equivalentes:
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Página 19
Forma Logarítmica
Forma Exponencial
log 2 16 = 4
10
-2
= 0,01
log 1000 = 3
e0 = 1
log 0
3 = 81
ln 1 = 0
2 4 = 16
4
log 3 81 = 4
1/2
-3
=8
3
log 0,01 = -2
10 = 1000
log 1/2 8 = -3
No está definido
7
b) log x 27 = 3
91.
Calcule: a) log 6 x = 2.
92.
Calcule: a) 5 x = 625
93.
Verifique si las expresiones siguientes son equivalentes. En caso de no serlo,
c) ln e = x
b) e3x = 20
realice las correcciones necesarias para que lo sean:
 a.b 
a) log z 

 c 
es equivalente a
b) log a + 3log b – (1/5 log c)
log z a + log z b − log z c
log( a.b 3 )
es equivalente a
5
c) log 2 2b – ln c
94.
c
(log 2b)2 – ln c
es equivalente a
Utilice las leyes de los logaritmos para encontrar expresiones equivalentes a
las dadas. ( w, x, y , z pertenecen a los números reales positivos):
a)
d)
95.
log ( x 2 / y)
log (x / y ) 2 / 3
b)
log x 3 y 5
e)
log
x y4
w 3z3
c)
log ( x
f)
log
5
y)
x5
y3
Resuelva los siguientes logaritmos:
log 1000 =
log 0.01 =
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log 8 4 =
log4 (-4) =
Página 20
ln 25 =
96.
ln e =
ln 1000 =
log 7
3
7=
Resuelva las ecuaciones y verifique los resultados
a)
log ( x - 5 ) + log (x + 4 ) = 1 ; b) ln (2x +3 ) = 0 ;
c) e3x = 20;
d) log 2 x = 5 – log 2 (x + 4)
Nota: En el complemento teórico encontrará desarrollado algunos aspectos que
conciernen a este tema y que pueden resultarle útiles.
.
EJERCICIOS
4( x − 3)
=1
( x − 3)
97.
Analice por qué la ecuación siguiente no tiene solución: log 3
98.
Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En caso de ser
falsas, de la opción correcta:
a)
log a 1 = 0
log 2 (3+5) = log 2 3+ log 2
log 2 (8.2) = log 28. log 22
5
d)
log 6(1/y) = - log 6 y
g)
99.
e)
log a a
=
log b b
log 2 24 = 4
f)
log 1/2 0 = 0
h) log 1/2 (24/3) = (log 1/2 24) /(log
1/2
3)
Señale la respuesta correcta: La expresión log0,1100 = x es equivalente a la
expresión: a) 0,01x = 100
b) 0,1x = 10 2
c) Ninguna
100. Complete el siguiente cuadro:
Forma logarítmica
Forma exponencial
log 2 8 = 3 por definición de logaritmos
log 3 81 = 4 por definición de logaritmos
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Página 21
por definición de logaritmos
10 0 = 1
por definición de logaritmos
2-4 = 1/16
101. Indique para qué valores de x el logaritmo está definido :
a)
log 2 (x –5 )
d)
log x 81
log x 2
b)
e)
ln ( 4 5 x )
c)
log x − 2
102. Transforme las siguientes expresiones exponenciales en logarítmicas:
a) 52 = 25
d) 0-2 = 0,01
b) 161/2 = 4
c) 5-2 = 1/25
e) 27 4 / 3 = 81
f) 10 0, 7781 = 6
103. Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique los resultados:
104. Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. En caso de ser
falsas, formule una opción verdadera:
a) La base de un logaritmo puede cualquier número real
b) Sólo existen el logaritmo de números positivo y de cero.
105. Complete las siguientes expresiones para que resulten verdaderas::
a) El logaritmo de 1 en base a es…………
b) El logaritmo de 0 en base a es………….
c) El log 5 es………………………………………..
d) El número 6 como un logaritmo en base 2 es………………..
e) El número 2 como un logaritmo en base 12 es………………
106. Complete la siguiente tabla:
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Página 22
n
1
2
4
log2 n
1/16
8
1/2
-2
-3
log1/2 n
107. Resuelva las siguientes operaciones aplicando las propiedades trabajadas.
a) log 2 (8 : 32 ) =
9

b) log 3  27.  =
81 

c) log 4 (64 6 ) =
d) log3
( 81) =
3
5
108. Busque en Internet ejemplos de aplicación de los logaritmos donde se registre
su uso para calcular el monto a interés compuesto, para medir el crecimiento de
una colonia de bacterias y el uso de escalas logarítmicas en diferentes gráficos,
etcétera.
Nota: Si no ha podido realizar algún ejercicio o tiene dudas, concurra al horario
de consulta de la Cátedra.
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Página 23
COMPLEMENTO TEÓRICO – ECUACIONES E INECUACIONES
En este apartado se desarrollan algunos aspectos teóricos, que junto a la
bibliografía recomendada le resultarán de gran utilidad.
ECUACIONES
Una ecuación en una variable es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas que se verifica solamente para determinados valores de
esa variable.
Ejemplo:
2x + 3 = 0
“x” es la variable o incógnita. En general son las letras que aparecen en la
ecuación y representan una cantidad desconocida (x, y, z, etc.) En el ejemplo:
(-3/2) es la raíz o solución de la ecuación. Las raíces son los valores que al
reemplazarlos por la variable, transforman a la ecuación en una igualdad.
En este material trabajaremos con las siguientes ecuaciones:
Lineales. Ej. 4x + 3 = 11
Cuadráticas. Ej. X2 + 3 = 9
Exponenciales. Ej. 2x = 8
Logarítmicas. Ej. Log (x + 7) = 1
Analicemos el primer ejemplo: “4x + 3” es el primer miembro de la ecuación,
“11” es el segundo miembro y si substituimos a “x” por 2, la ecuación se
transforma en una igualdad. Entonces “2”es la raíz o solución de la ecuación.
Las raíces de una ecuación forman el “conjunto solución” y para encontrarlo
utilizaremos el concepto de “ecuaciones equivalentes”.
ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el
mismo conjunto solución.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 24
Analice las ecuaciones:
4 x + 1 = 9 y 4x + 3 = 11
Son ecuaciones equivalentes porque ambas tienen el mismo conjunto
solución S = {2}
Para encontrar las raíces se substituye a la ecuación original por otra
equivalente más simple y cuyas raíces sean evidentes. Para lograrlo
utilizaremos las propiedades de los números reales:
Propiedad.1: “Al sumar o restar a ambos miembros de una ecuación un
mismo número real, se obtiene una ecuación equivalente a la dada”.
Propiedad 2: “Al multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por
un mismo número real distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente
a la dada”.
Ejemplo:
4x+1=9
4x+1–1=9–1
Se suma a ambos miembros (- 1). Propiedad 1
4x = 9 – 1
4x = 8
(1/4) 4x = (1/4) 8
Se multiplica a ambos miembros por ¼. Propiedad 2
x = 8/4
x=2
2 es la raíz de la ecuación.
Observe: x = 2 es una ecuación equivalente a la dada, ambas tienen el mismo
conjunto solución: S = {2}
Verificación: Una vez encontrado el o los valores de “x” se procede a
reemplazarlos en la ecuación original para corroborar que el resultado la
transforma en una igualdad:
2 (4) + 1 = 9 ⇒ 9 = 9
Para resolver una ecuación usaremos reglas prácticas que facilitarán la tarea.
Entre ellas, el pasaje de términos, que no es más que una simplificación de las
propiedades de los números reales que se enunciaron más arriba.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 25
ECUACIONES LINEALES
Una ecuación de primer grado o lineal es de la forma
ax + b = 0
con a ≠ 0 ; a,b ∈ ℝ y "x" es la variable
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación lineal:
3x – 9 = 0
3x=9
x = 9/3
x=3
Para resolver una ecuación lineal con una incógnita aplique las propiedades
de los números reales y busque una ecuación equivalente que le permita
llegar al valor de “x”.
Otras situaciones que se pueden presentar:
• Algunas ecuaciones no tienen solución.
3x -5 = 3x + 3
3x – 3x = 8
0≠8
No tiene solución
• Algunas ecuaciones tienen infinitas soluciones
4x + 2x – 6 = -11 – 2x + 8x + 5
6x – 6 = 6x – 6
x=x
Cualquier número real es solución
S=ℝ
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 26
Interpretación de enunciados
Permanentemente nos encontramos frente a situaciones cotidianas donde
debemos resolver ecuaciones; pero sucede que no se presentan como
ecuaciones sino en lenguaje coloquial. Para poder resolverlas lo primero que
debemos hacer es pasarlas al lenguaje matemático, armando una ecuación o
modelo, el que al aplicarle las propiedades de los números reales, nos
permitirá conocer el valor incógnitas de la situación inicial planteada.
Ejemplo: El precio de 3,5 kilos de lentejas es de $42. ¿Cuánto cuesta el kilo?
Para resolver la ecuación primero debemos expresarla en lenguaje
matemático, y luego buscar la solución.
La siguiente es una guía sucinta de los pasos que le pueden facilitar la
resolución de un problema:
a) Identificar la incógnita y nombrarla: x = kilo de lenteja
b) Traducir al lenguaje matemático y presentar en forma de ecuación: 3,5 x =
42
c) Resolver: 3,5 x = 42 ⇒ x = 42 / 3,5 = 12
d) Traducir la respuesta al lenguaje coloquial: El kilo de lenteja cuesta $12.
Problemas que involucran porcentaje
Ejemplo: Analice tres opciones de pago que le ofrecen cuando va a comprar
una remera que cuesta $25.
Opción 1: Por pago de contado: 20% de descuento.
Opción 2: Por pago con tarjeta de crédito: 10% de recargo.
Opción 3: Por pago con tarjeta de débito debe abonar $26, 25.
►
Análisis de la opción 1: Pago de contado, descuento: 20%.
Calcule el 20% del precio de la remera y luego descuente el valor obtenido al
precio de venta.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 27
Para calcular el 20% de $25 puede realizarlo por diferentes caminos:
a)
Como una regla de tres simple:
El descuento es de $5, y se resta al precio inicial de la remera x = 25 – 5 = 20
Precio final de la remera: $20
b)
Expresar el tanto por ciento en forma decimal y multiplicar por el
 20 

.25 = 0,2 . 25 = 5
 100 
precio de la remera:
El descuento es de $5: 25 – 5 = 20
Precio final de la remera: $20
c)
Calcular directamente y en un solo paso el valor final utilizando
ecuaciones y expresando el porcentaje en forma decimal:
Para “x” que es el precio final de la remera:
$25 − 20%(25) = x
$25 − (0,20) 25 = x
Aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma
$ 25 (1 − 0 , 20 ) = x
⇒ x = $20
Precio final de la remera: $20
►
Análisis de la opción 2: Pago con tarjeta de crédito, recargo del 10%.
Utilizando ecuaciones y expresando el porcentaje en forma decimal (o de otra
forma, según usted decida)
25 + 0,10.(25) = x
(Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: factor común)
25 (1 + 0,10) = x ⇒ x = 27,7
Precio final de la remera: $27,5
►
Análisis de la opción 3: Pago con tarjeta de débito.
Precio final de la remera: $26,25
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 28
Usted decide de qué manera quiere pagar. Ya conoce los recargos y los
descuentos que sufrirá la prenda de acuerdo a la opción de pago que elija.
Le interesaría saber ¿cuál es la variación porcentual del aumento si paga con
tarjeta de débito?
Descuentos e Incrementos porcentuales sucesivos
Si se aplican descuentos (o aumentos) sucesivos sobre una determinada
cantidad, el valor final se obtendrá multiplicando los coeficientes de aumento
o de disminución por el valor inicial.
Ejemplo: Un negocio de venta de ropas ofrece en su vidriera: Liquidación de
fin de temporada: 15% descuento sobre los trajes de baño. A los 15 días
promociona una nueva liquidación del 20% sobre el último precio. Se desea
saber (a) ¿Cuál fue el descuento final en porcentaje?. Precio inicial de la malla.
$150
►
Primera liquidación: P – (15/100).P = P (1- 0,15) = P (0,85) = 150. 0,85 =
127.5
Segunda liquidación: Se repite el proceso sobre el precio que quedó luego de
la primera liquidación:
127.5 – (20/100) 127.5 = 102
Precio final: $102
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 29
►
Para calcular los descuentos sucesivos en una sola operación
(Descuentos sucesivos):
P (0,85) – (20/100).(0,85) =
Aplicando Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:
P (0,85).(1 – 0,20) = P (0,85).(0,80) = P(0,68) = 120 . 0.68 = 102
Precio final: $102
Demuestre que si se aplican los dos descuentos juntos, (35%= 15% + 20%) el
precio final no es $102. Encuentre el error cometido.
►
En general: Para calcular el precio final (x) de un producto (P) cuando
se aplica un descuento y/o recargo:
a)
un descuento D en un artículo cuyo precio es P
x = P (1 – D/100)
b)
un recargo de R sobre un artículo cuyo precio es P
x = P (1 + R/100)
c)
descuentos sucesivos de D1 y luego de D2
(Lo mismo para recargos
sucesivos)
x = P (1 – D1/100) (1-D2/100)
Problemas que se resuelven aplicando ecuaciones
Para resolver un problema puede resultarle útil la siguiente metodología:
-Identifique las cantidades conocidas y desconocidas.
-Asigne letras a las cantidades desconocidas o variable: x, y, etc
-Realice, en lo posible, un esquema o representación gráfica de la situación
planteada
-Exprese el enunciado en lenguaje matemático (Ecuación)
-Resuelva la ecuación y verifique el resultado.
-Exprese la solución en lenguaje corriente.
Problema: ¿Cuántas vacas formaban un lote si el dueño sacó primero la cuarta
parte de los animales para llevarlos a otro potrero, a la semana vendió la mitad
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 30
de lo que quedaba, pasados 5 días murieron tres y actualmente quedan 27?
Variables: x = cantidad de vacas
Esquema de la situación:
Enunciado en lenguaje matemático:
Cantidad de vacas en el lote al comenzar el conteo: x
Cantidad de vacas a pastoreo: ¼ x
1
Cantidad de vacas que quedan:  x − x 

4 

1 
  x − x 
4 

Mitad de vacas que le quedaban: 

2




Ecuación y resolución

1 
x − x 
1  
4 

− 3 = 27
 x − x  − 

4 
2





3
x
3
x − 4 − 3 = 27
4
2
x = 80
Verificación
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Página 31
1 

 80 − 80 
1


4  − 3 = 27 ⇒ 60 − 30 − 3 = 27 ⇒ 27 = 27
 80 − 80  − 
4
2








Respuesta en lenguaje corriente: El lote estaba conformado por 80
vacas.
Problema: Un ciclista salió de Posadas a las 7 de la mañana, recorrió la cuarta
parte del trayecto en 4 horas, luego pedaleó 2 horas y cubrió 1/6 de la
distancia que le faltaba y todavía le faltan recorrer 150 Km. Calcule la
distancia que pretende recorrer.
Identificar la variable: x = kilómetros a recorrer
Realizar un esquema del camino, desde la largada hasta la llegada (Dibuje)
Expresar el enunciado en lenguaje matemático:
¼ x: “…la cuarta parte del camino…”
1/6 x: “…la sexta parte del camino….”
Armar y resolver la ecuación:
¼ x + 1/6 x + 150 = x
¼ x + 1/6 x – x = -150
5/12 x – x = -150
- 7/12 x = - 150
x = - 150 (- 12/7)
x = 257,14 km.
Verificar: (para que complete el alumno)
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 32
ECUACIONES EXPONENCIALES
Una ecuación exponencial es aquella que contiene a
la incógnita en el exponente
Ejemplos
2 x = 16
a)
c)
3 x+1 = 9 x+2
b)
10 x =
d)
5
x
= 16
1000
Para resolver ecuaciones exponenciales es conveniente que repase algunas
propiedades de los números reales (leyes de los exponentes):
a ) a na m = a n +m
d ) ( a )n / m =
m n
a
b) a n / a m = a n − m
c) (a n ) m = a n .m
e ) a 0 = 1 (a ≠ 0)
f ) 1/ a m = a −m
Ahora podemos resolver las ecuaciones planteadas al comienzo de esta
sección:
a)
2 x = 16 ⇒ 2 x = 24 ⇒ x = 4
b)
3 x+1 = 9 x+2 ⇒ 3 x+1 = (32) x+2 ⇒ 3 x+1 = 3 2x+4 ⇒ x+1 = 2x + 4
c)
10 x = 1000 ⇒ x = 3
d)
5 x = 16 Observe: 16 no puede expresarse como potencia de 5.
⇒ x = -3
En este caso deberá usar “logaritmos”, tema que desarrollaremos a continuación.
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
LOGARITMOS
Definición de logaritmo:
log a b = x ⇔ a x = b
( a > 0 y a ≠ 1 y b > 0)
Donde “a” es la base del logaritmo y “x” es el logaritmo del número “b” en
base “a”.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 33
Concepto de Logaritmo: Según la proposición planteada, para determinar el
logaritmo del número b en base a, se debe calcular el exponente x al que
hay que elevar la base a para obtener por resultado al número b.
Es importante que reconozca que a y b deben ser positivos, a debe ser distinto
de 1 y x puede tomar cualquier valor real.
Ejemplos:
a)
log 2 8 = 3 ⇔ 2 3 = 8
b)
log 4 4 = 1 ⇔ 4 1 = 4
c)
log
-2
16 No está definido. La base no pertenece a los números
reales positivos.
En síntesis, calcular un logaritmo, es calcular un exponente.
La importancia de los logaritmos es que convierte operaciones complejas en
otras más sencillas. Además, la función logaritmo, como se verá
oportunamente, representa un sin número de fenómenos naturales tales
como crecimiento poblacional, colonias de bacterias, substancias radioactivas
además de modelos de aplicación a la Matemática
Financiera como Monto a interés compuesto, Monto Máximo, etc.
Las bases más utilizadas son la base 10 y la base e y son las únicas bases con
las que se puede operar en las calculadoras científicas. :
a)
Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos decimales y
generalmente se expresan como:
log b = x ⇔ 10 x = b
(La base 10 no se escribe, queda en forma implícita)
b)
Los logaritmos en base
e
(2,71828182845904523530…..), se
denominan logaritmos naturales o Neperianos y se expresan como:
ln b = x ⇔ e x = b
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 34
Para operar en estas bases use las teclas “log” y “ln” de su calculadora
Propiedades de los logaritmos
Importante: Los logaritmos no distribuyen respecto de ninguna operación
definida en el conjunto de los números reales (producto, cociente,
potenciación, radicación, otras).
Analice:
-
¿Por qué la base no puede tomar el valor 1?
-
¿Por qué no existe el logaritmo de un número negativo?
Ejercicio de aplicación: Los siguientes ejercicios se resolverán usando
logaritmos con el único fin de ejemplificar el uso las propiedades:
1) x = 12 . 5
Para resolver la ecuación dada basta multiplicar los dos números y se obtiene
por resultado x = 60, pero resolveremos a través de logaritmos al sólo efecto
de aplicar las propiedades.
X = 12. 5
Se aplica logaritmos a ambos miembros
log x = log ( 12 . 5 )
Por propiedad (a)
log x = log 12 + log 5
log x = 1,0792… + 0,6990…
Se obtienen los valores en la calculadora
log x = 1,7782….
10 1,7782 = x
Por definición de logaritmo
x = 60
2) x = 23
Como en el ejercicio anterior, aplicaremos logaritmos sólo para trabajar con
sus propiedades, ya que para resolver la ecuación basta elevar el número 2 al
cubo, y se obtiene el número 8
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 35
x=23
Se aplica logaritmos a ambos miembros
log x = log 2 3
Por propiedad (c)
log x = 3 log 2
Se obtienen los valores en la calculadora
log x = 3 . 0,301
log x = 0,903
Por definición de logaritmo
10 0,903 = x
x=8
Cambio de base
Los logaritmos en base 10 y en base e se calculan fácilmente usando la
calculadora.
¿Pero si la base es diferente?
Log a b = x (para a
≠ 10 y a ≠ e)
Se puede recurrir a un “cambio de base” según la siguiente regla práctica:
log a b =
log10 b
log10 a
ó
log a b =
ln b
ln a
Ejemplo: Resuelva la ecuación:
a ) log 5 3 12 2 = log 5 5, 2414
=
log 5, 2414
log 5
=
0 ,7194
0 ,6989
= 1,0293 ......
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 36
b )Resuelva el mismo ejercicio pero use la base “e” y compruebe que obtiene
el mismo resultado.
Ejercicios
a) 5 x = 16
Retomando los ejemplos dados en la primera parte de este trabajo práctico, la
ecuación (d) había quedado pendiente de resolución. Ahora estamos en
condiciones de resolverla: 5 x = 16
Aplicando logaritmo en base 10 a ambos miembros y las propiedades
log 5 x = log 16
x log 5 = log 16
x=
log 5
log16
x =…….
b) e3x = 20
Aplicando logaritmo en base e a ambos miembros y las propiedades de los
logaritmos:
ln e3x = ln 20
3x ln e = ln 20
en la calculadora se busca ln 20, que es 2,995…y como ln e = 1
3x =2,995…
x = 2,995 / 3
x = 0,998… (Verifique el resultado)
Ecuaciones Logarítmicas
Una ecuación se denomina logarítmica cuando la incógnita se
encuentra en una expresión logarítmica
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 37
Ejemplos
a) log 2 x = 3
b) log 1 = x
c) log x 81 = 4
d) ln 2 1/16 = -4
Para
resolver
una
ecuación logarítmica se aplica la definición de logaritmo y se la transforma en
una ecuación exponencial:
Ejemplos
Forma logarítmica
Forma exponencial
log 2 8 = 3
por definición de logaritmos
23=8
log 3 81 = 4
por definición de logaritmos
3 4 = 81
log 101 = 0
por definición de logaritmos
10 0 = 1
log 2 1/16 = -4
por definición de logaritmos
2-4 = 1/16
Ejercicio
1)
log ( x – 5 ) + log (x + 4 ) = 1
Se escribe el primer miembro como un logaritmo único, aplicando las
propiedades
log [ (x – 5 ) . (x + 4 ) ]= 1
Aplicando la definición de logaritmo
10 1 = (x – 5) . (x + 4 ) ⇔ 10 = x2 – x – 20 ⇔ 0 = x2 –x – 30
Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen las raíces
x1 = 6 y x2 = -5
Al verificar en la ecuación original:
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 38
Para x = 6: log ( 6 – 5 ) + log (6 + 4 ) = log 1 + log 10 ) = 0 + 1 = 1
Para x =-5: Los logaritmos de números negativos no están definidos, x
= -5 no es solución de la ecuación
S={6}
2)
log 2 x = 5 – log 2 ( x + 4 )
log x + log (x + 4) = 5
2
2
log 2 x(x + 4) = 5
2 5 = x(x + 4)
0 = −32 + x 2 + 4x
x = 4 o x = −8
1
2
S = {.......}
3)
Verifique siempre los resultados
ln (x 2 +2 ) – ln x 2 = 8
ln
x2 + 2
=8
x2
e8 =
x2 + 2
x2
Por propiedades de la suma de log aritmos
Por definición de log aritmo
Pr opiedad distributiva
Re solución de una ecuación cuadrática
Completar
Por propiedad de los logaritmos:
Por definición de logaritmos:
Aplicando propiedades de los números reales:
e 8 . x 2 = x2 + 2 ⇒ e 8 . x 2 – x2 = 2 ⇒ x2 (e 8 - 1) = 2 ⇒ x2 = 2 / ( e
8
-1 )
x 2 = 6,7115…x10 –4
x = ± 0,00259….
S = {.......}
Verifique: ln (0,025 2 + 2) – ln 0,025 2
≅8
INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Suponemos que ya conocemos los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor
que), “≥” (mayor o igual que) y “≤” (menor o igual que) que usamos para
relacionar un número con otro.
Entonces, si queremos indicar que “3 es mayor que 1” escribimos 3 > 1. Si
queremos señalar que “-2 es menor que 5”, escribimos – 2 < 5.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 39
Así como vimos que una igualdad entre expresiones algebraicas define a una
ecuación, una desigualdad define a una inecuación.
Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la
inecuación es lineal.
Por ejemplo para expresar que “el doble de un número natural es menor que
16” utilizaremos la inecuación: 2x < 16 cuyo conjunto solución S =
{1,2,3,4,5,6,7} . Así podemos expresar una inecuación en el lenguaje coloquial
o en el lenguaje simbólico.
Ejemplo: 3x -1 < 10
En una inecuación:
Los miembros están vinculados por los signos “< , > , > , <”
“x” es la incógnita.
Si 3 x + 1 < 10, entonces 3 x + 1 es el primer miembro y 10 es el segundo
miembro.
Los valores de “x” que la verifican son elementos del conjunto solución o
raíces de la inecuación. Por ejemplo: x = 2 es una raíz
Como resolver una inecuación
Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los
cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 40
general, un intervalo de números reales que se puede representar en la recta
numérica.
•
¿Cuáles son los números reales menores a 4?
La inecuación queda planteada:
X < 4. La solución es el conjunto formado por todos los números reales
menores que 4 sin incluir al cuatro.
Gráficamente, a esta solución la representamos así:
Esto significa que en la recta numérica, desde el número 4 (sin incluirlo) hacia
la izquierda, todos los valores hasta el infinito negativo (- ∞) resuelven la
inecuación.
•
¿Cuáles son los números reales menores que 12 y mayores que -5?
•
La inecuación queda planteada: -3 < x < 5
La solución es el conjunto formado por todos los números reales mayores o
iguales que (-3) y menor o iguales a 5,.
Si se representa a la solución en la recta real, se obtiene:
Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita
Las siguientes propiedades de las desigualdades se utilizan para resolver
inecuaciones de primer grado con una incógnita:
Para a, b, c є R:
a) a < b entonces a + c < b + c
“Al sumar a ambos miembros de una desigualdad un número real, el sentido
de la desigualdad se mantiene”.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 41
4 < 8 entonces 4 + 3 < 8 + 3
2. a < b y c > 0 entonces ac < bc
“Al multiplicar a ambos miembros de una desigualdad por un número real
positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene”.
3 < 5 entonces 3.4 < 5.4
3. a < b y c < 0 entonces ambos miembros de una desigualdad por un
número real negativo, la desigualdad cambia de sentido”.
4 < 7 entonces 4. (- 2) > 7(-2)
4. a < b y b < c entonces a < c
-4 < 5 y 5 < 12 entonces -4 < 12
Observe cuidadosamente la propiedad 3: La desigualdad cambia de sentido al
multiplicarla por un número real negativo. Entonces, nunca multiplique una
inecuación por un número cuyo signo desconozca.
Ejemplo: Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad: 3x + 1 < 10
3x+1
< 10
3x+1–1
<10 – 1
<9
3x
(1/3) 3x
< (1/3) 9
Sume (-1) a ambos miembros :
Propiedad 1
Multiplique por (1/3) a ambos miembros:
Propiedad 2
x
< 9/3
x
<3
Para verificar, se toma un valor cualquiera que pertenezca al conjunto
solución hallado y se comprueba: Por ejemplo x = - 5 es una posible solución
de la desigualdad, porque al reemplazar “x” por -5 la desigualdad se
mantiene:
3 x + 1 < 10
3 (-5) < 10
-15 < 10
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 42
Ejemplo:
-5 x + 2
> 2x
-5x -2x
> -2
-7x
>-2
(-1/7)(-7x)
Sume a ambos miembros (-2) y (-2x): Propiedad 1
< (-1/7) 2
Multiplique ambos miembros por (-1/7). Como (-1/7)
es negativo, cambia el sentido de la
x
< -2/7
Desigualdad: Propiedad 3
Para comprobar, le damos valores a la variable:
x = -10
-5 x + 2
> .2x
-5 (-10) +
> 2(-10)
2
52
> -20
Verdadero
x=3
-5 x + 2
> 2x
-5 (3) + 2
> 2(3)
-13
> 6 Falso
En la recta numérica:
Justifique la resolución de las siguientes inecuaciones, indicando la
propiedad utilizada en cada paso y represente al conjunto solución en la recta
real. Si la inecuación no tiene solución, justifique la respuesta.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 43
•
Ejercicio 1
x−4
≥3
2
x−4≥6
Propiedad……………………
x ≥ 10
S =……………….
•
Ejercicio 2
4 − 2x > 6 − 2x
Se plantea un absurdo. No existe ningún
número real que satisfaga esta inecuación.
¿Por qué?
4 − 2x + 2x > 6
4>6
•
Ejercicio 3
2x + 4 > 2 x + 1
0 > -3
….............................. S = R
BIBLIOGRAFÍA/WEBGRAFÍA
En el programa encontrarás la bibliografía general para la materia y en las
páginas siguientes hallarás páginas específicas para algunos temas de esta
unidad.
Fracciones, decimales y porcentaje
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Fraccio
nes_decimales_porcentajes/
Consulta: 25/10/2013
Números reales. Propiedades:
http://www.vitutor.com/di/re/r3.html#to
Consulta: 25/10/2013
Conjuntos Numéricos
http://www.youtube.com/watch?v=EKNI09evFBs
Consulta: 25/10/2013
Potenciación. Propiedades
http://www.youtube.com/watch?v=PqWFvBsec5A
Consulta: 25/10/2013
Logaritmos
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo&veaction=edit
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 44
Consulta: 24/11/2014
http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=14967
Consulta: 24/11/2014
http://www.vitutor.com/al/log/g_e.html
Consulta: 24/11/2014
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/mod_f
un_expolog_macr/CINCO.htm
Consulta: 24/11/2014
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/logaritmos/log_02.htm
Consulta: 24/11/2014
http://www.vadenumeros.es/primero/propiedades-de-los-logaritmos.htm
Consulta: 24/11/2014
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 45
ESTUDIO DE FUNCIONES Y MODELIZACIÓN
I – TRABAJO INICIAL
1. La evolución de las exportaciones de yerba mate y aceite de tung en la provincia
de Misiones entre los años 1980 y 1991 se muestra en el siguiente gráfico
confeccionado con datos aportados por el INDEC:
P
Según la información representada en la gráfica, responda:
a) ¿Cuántas toneladas de yerba mate se exportaron en 1985?
b) ¿En qué año las toneladas exportadas de yerba mate superan a las de aceite de
tung?
c) ¿Cuál fue el año de mayor y de menor exportación de aceite de tung?
d) ¿Qué datos aporta el punto de coordenadas (1982, 7000)?
e) ¿En qué años las toneladas exportadas de ambos productos son iguales?
f) ¿Qué significan los puntos de intersección de las curvas con el eje vertical o eje
de las ordenadas? ¿Cuáles son las coordenadas de esos puntos?
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 46
g) Analice las exportaciones de ambos productos en el año 1987-1988.
h) ¿Por qué las curvas no cortan al eje x o de las abscisas?
i) ¿Cuál es el rango de toneladas exportadas de tung que puede observarse en el
gráfico?
j) ¿Cuál es el período de tiempo sobre el que informa el gráfico?
k) ¿Podría estimar las toneladas de yerba mate exportadas aproximadamente en
julio del año 1990?
2. Suponga que usted es el gerente de una pequeña empresa y le presenta al
directorio de la misma el siguiente gráfico en donde vuelca la información de las
ganancias obtenidas según el plan fijado oportunamente:
Las preguntas de los integrantes del directorio fueron:
a) ¿Cuál es el período informado?
b) ¿Qué significa el punto P?
c) ¿A cuánto ascienden las ganancias aproximadas en el año 2003?
d) Además, usted les informa que debido a fallas ajenas a su trabajo, no se poseen
datos de un determinado período de tiempo. Uno de los directores pregunta:
¿Cuál es el período de tiempo del cuál no se posee información?
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 47
e) Así mismo, le preguntaron. ¿Puede estimar si las ganancias decrecieron o
crecieron en el período no informado?
f) ¿En cuáles años se obtuvo una ganancia igual o mayor a $400.000?
g) En un determinado momento el sub gerente trae un nuevo dato: en el año 2011
la ganancia fue 30% más que en el año 2008, entonces los directores le solicitan
a usted que complete el gráfico.
3. Si invierte $1500 en una cuenta bancaria que proporciona 12% de interés
compuesto anual, el monto a retirar dependerá del tiempo que deje el dinero
depositado según la siguiente tabla:
Tiempo
1
2
3
4
5
6
7
8
1881
2107
2360
2643
2960
3316
3713
(años)
Monto a 1680
retirar
Nota: En la cifra del monto a retirar no se consideraron los decimales.
a) Represente gráficamente la situación planteada en un sistema de coordenadas
cartesianas.
b) ¿Cuáles son las variables que se relacionan?
c) ¿Por qué se puede asegurar que las variables se relacionan a través de una
función?
d) Indique Dominio e Imagen de la función, según contexto del problema.
EJERCICIOS
4. Complete la tabla teniendo en cuenta los puntos señalados en el gráfico:
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 48
Punto
Coordenadas
Cuadrante
Punto
P
T
Q
U
Coordenadas
Eje
R
S
5. Represente gráficamente cinco funciones en sendos sistemas de coordenadas
cartesianas que cumplan con las siguientes condiciones:
a) Que la gráfica de la función 1 contenga al punto P (2,3), sea creciente y corte al
eje de las ordenadas en y = -1.
b) Que la gráfica de la función 2 contenga al punto Q (0,0), y sea decreciente en el
intervalo ]-4, 3[.
c) Que la gráfica de la función 3 no contenga al punto R(0,0), y contenga a los
puntos S (3,3) y T (-3,-3).
d) Sea f , la función 5, entonces f(2) = 4
e) Que la gráfica de la función 4 contenga un punto cuya imagen sea-4 para 5, pase
por el origen, y sea decreciente.
6. Analice el siguiente gráfico y extraiga la información solicitada:
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 49
a) ¿En qué meses el consumo crece, decrece y es nulo?
b) ¿Cuál es el mes de máximo consumo? ¿y de mínimo consumo?
c) ¿En qué meses el consumo fue superior a 200 Kwh?
d) ¿Cuáles fueron los meses de consumo similares?
e) De dos puntos que pertenezcan a la gráfica e indique sus coordenadas.
f) Si llamamos f a la función consumo, ¿cuál es el valor aproximado de f(5)?
g) Dar el valor del par ordenado que corresponde al consumo en agosto.
II – TRABAJO INICIAL
7. Un supermercado saca una promoción para incrementar la venta de agua con
gas y en la propaganda anuncia: “Cada dos unidades de agua con gas, lleva de
regalo una”. Precio de cada unidad $7. Máximo 13 unidades”.
a) ¿Cuántas gaseosas llevarán los clientes cuando pagan: $14, $28, $49?
b) Un cliente lleva 13 botellas, el vendedor le cobra $63 y el cliente reclama
sosteniendo que debe pagar $56. ¿Quién tiene razón?
c) Ayude al vendedor a evitar confusiones y confeccione una tabla donde indica
cuanto debe pagar el cliente según la cantidad de botellas que lleva. Con los
datos de la tabla realice un gráfico cartesiano.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 50
d) Indique cuáles son las variables que se relacionan. ¿Se relacionan a través de una
función? En caso afirmativo dar dominio y conjunto de las imágenes (Rango) de
la función.
e) Indique si los pares siguientes pertenecen a la gráfica de la función: (0; 7); (6; 42);
(12; 56); (13; 95).
8. Un club cobra a los no-socios $50 por el uso diario de la pileta más $80 por el
carnet sanitario mensual.
a) Indique cuál de las dos gráficas representadas en el siguiente sistema de
coordenadas cartesianas representa a la función “Costo diario de uso de la
pileta” (Cp).
b) Para la gráfica elegida, indique cuáles son las variables que se relacionan.
c) La relación encontrada ¿es función? En caso afirmativo indique dominio,
conjunto de las imágenes (Rango) y relación vinculante o regla de
correspondencia (fórmula de la función “Costo diario de uso de la pileta” (Cp).
9. Para el problema anterior “Costo diario de uso de la pileta” (Cp).
a) Encuentre el costo de concurrir a la pileta un día, tres días y cinco días
respectivamente para un mismo invitado. Vuelque la información en una tabla.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 51
b) Indique si la función es creciente o decreciente y justifique su respuesta.
c) ¿Para qué valor de “y” el grafico de la función corta al eje vertical (ordenada al
origen)? ¿Qué representa en el problema?
d) Si Carla pagó $580 ¿Cuántos días concurrió a la pileta?
e) Gustavo usó la pileta en el mes de enero y calculó que debía abonar $1250
descontando los 6 días que no fue. ¿Qué error cometió en el cálculo?
10.
Represente gráficamente a la función lineal g: R
R / g(x) = x – 5 usando la
raíz y la ordenada al origen:
Raíz
y=0
x =……..
Ordenada al origen
x=0
y =……..
EJERCICIOS
11.
Determine si las siguientes tablas definen una función cuyo dominio está
formado por x y el conjunto de las imágenes por y. Justifique la respuesta:
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 52
12.
Función Interés
Por cada $100 que se invierten en un banco, se gana $5 de interés simple en un
año. Calcule:
a) ¿Cuánto dinero se retirará al cabo de 7 años si depositan $1500?
b) Analice si la relación planteada es función. En caso afirmativo identifique las
variables que se relacionan.
c) Elija alguna de las siguientes fórmulas que sirva para representar la relación
entre las variables (I representa al interés en pesos y T al tiempo en años):
d) I = 1.500. 0,5. T ii) I = 1.500 . 0,05. T iii)
13.
Analice la función f: R
T = 1.000 . 0,05. I
R, f(x) = -2x
a) Indique si es creciente o decreciente. Justifique su respuesta.
x
y
b) Complete la tabla de valores e identifique en ella a la raíz y a la -2
ordenada al origen
-1/2
c) Grafique la función en un sistema de coordenadas cartesianas.
0
d) Indique los intervalos de positividad y negatividad.
3/2
III – I – TRABAJO INICIAL
14.
Se ha constatado que para distancias de hasta 5 kilómetros la bicicleta se
presenta como el modo de transporte más rápido en los desplazamientos puerta
a puerta (incluidos tiempos de acceso y dispersión). En medio urbano puede
considerarse que la velocidad media de la bicicleta está en torno a los 12-15
km/h2.
a) Arme una tabla en donde muestre la relación entre kilómetros recorridos y horas
pedaleadas, considerando la velocidad media de la bicicleta 15 km/h a los fines
del problema y suponiendo que el ciclista pedalea no más de seis horas.
2
http://www.ciclismourbano.org/estadisticas/index.html (Recuperado
14/02/2013)
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 53
b) Represente gráficamente la situación planteada, de tal forma que muestre la
relación entre horas pedaleadas y distancia recorrida en kilómetros (elija escalas
razonables para los ejes).
c) Si se tratará de un ciclista entrenado ¿cuántas horas pedaleó si recorrió 142,5
kms?
d) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas y 45 minutos?
EJERCICIOS
15.
Candelaria se ubica en el sudoeste de la Provincia de Misiones a 25 kilómetros
de la ciudad de Posadas. Otras de las ciudades cercanas, todas sobre la RN12,
son: Garupá, a 16 kilómetros de distancia; Santa Ana a 47 kilómetros y San
Ignacio, a 60 kilómetros.
a) Calcule cuánto tiempo tarda un ciclista que circula a 15km/h, para arribar a
Candelaria desde esas localidades.
b) Si el ciclista sale a las 06 AM ¿a qué hora llegará a Santa Ana?
16.
Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
a) Si aumenta la distancia recorrida por el ciclista, aumenta el tiempo utilizado en
recorrerla.
b) Si pedalea dos horas, entonces recorre 40 kilómetros.
c) La razón entre el tiempo y la distancia recorrida es constante.
d) Si se duplica el tiempo pedaleado, entonces se triplica la distancia recorrida.
e) Si se multiplica el tiempo por una constante positiva cualquiera, entonces la
distancia recorrida correspondiente al nuevo tiempo resulta de multiplicar la
distancia por la misma constante.
f) La relación entre las horas pedaleadas y la distancia recorrida es una función de
proporcionalidad directa.
g) La constante de proporcionalidad es 15.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 54
17.
En un almacén de productos naturales se vende granola (alimento formado
por nueces, copos de avena mezclados con miel y otros ingredientes naturales) a
$25.
a) ¿Cuánto cuesta la granola si se vende por un cuarto, medio kilo y tres cuartos de
kilo?
b) ¿Cuánta granola deberá pesar si un cliente compra $ 40 del producto?
c) Confeccione un gráfico cartesiano en el que se describa el precio pagado en
función de la cantidad vendida. ¿Por qué la gráfica pasa por el origen?
d) ¿Es la relación entre la cantidad vendida y el precio una función?
e) En caso de ser función, analice si es de proporcionalidad directa. ¿Puede
determinar la constante de proporcionalidad?
18.
Lucio recibió una herencia de $10.000 y desea invertir el dinero a un plazo no
mayor a cinco años. Para ello consulta a dos bancos:
En el banco A le ofrecen realizar el depósito a una tasa de interés del 8% anual y si
deposita el dinero durante un año ganará $800 en concepto de interés, si lo hace
por 2 años retirará $ $1.600, y por 5 años $ 4.000.
En el Banco B le ofrecen la misma tasa de interés. Si deposita el dinero durante un
año retirará la misma cifra que en A: $800, a partir del segundo se presentan
diferencias. Si la inversión es por dos años, se retirarán $1.664 y si es por cinco
años $4.693 (redondeado al entero más cercano).
a) Represente gráficamente ambas opciones en el mismo sistema de coordenadas
cartesianas.
b) Analice si alguna de las dos funciones graficadas es de proporcionalidad directa y
justifique su respuesta. Si alguna lo es, entonces dé el valor de la constante de
proporcionalidad.
c) En la función Interés correspondiente al Banco A:
I.
¿Qué significa los puntos de coordenadas (0,0) y (7;5600)?
II.
¿Cuál es la imagen de 3?
III.
Calcule f(10)
IV.
Indique el dominio de la función.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 55
19.
Sea la función g: A
B cuya gráfica y tabla se presentan a continuación:
Nota: La gráfica se corta sólo por razones de espacio, pero continúa
indefinidamente.
a) Indique dominio y el conjunto de las imágenes.
b) Encuentre intervalos de positividad y negatividad de la función.
c) De el valor de la o las raíces (aproximado) y de la ordenada al origen.
d) De las coordenadas de un punto que se encuentre en el segundo cuadrante y
pertenezca a la función.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 56
COMPLEMENTO TEÓRICO - FUNCIONES
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Entender el concepto de función es esencial para abordar la matemática aplicada a
las operaciones financieras. En forma sencilla decimos que una función es un tipo
especial de relación que expresa que una cantidad depende de otra.
Ejemplo: Función Sueldo
El sueldo de un vendedor de seguros es de $ 1100 por mes más $50 por cada póliza
vendida. Entonces para calcular cuánto cobrará por mes bastará conocer cuántas
pólizas vendió. Elsueldo del vendedor depende de la cantidad de rifas vendidas.
Simbólicamente esta relación puede expresarse como:
S = $1100 + 50 p
Donde “S” representa al sueldo del vendedor expresado en pesos y “p” cantidad de
pólizas vendidas. Por ejemplo, si vende 18 pólizas, el sueldo será:
S = 1100 + 50(18) = $2.000
Observe que existe una relación de correspondencia entre el sueldo y la cantidad de
pólizas vendidas, esta relación es una “función”.
La ecuación S = $1100 + 50p define a S en función de p.
A cada valor de p le corresponde uno sólo valor de S, luego S depende de p.
S es la variable dependiente y p es la variable independiente en la función “Sueldo”
La cantidad de pólizas vendidas siempre será un número mayor o igual a cero ( p >
0). Los posibles valores que puede tomar la variable independiente “p” constituyen
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 57
el Dominio de la función. Los valores que toma la variable dependiente “S”
conforman el conjunto de las imágenes de la función.
Frecuentemente se designa a los elementos del Dominio con la letra “x” (variable
independiente) y a las imágenes con la letra y (variable dependiente), aunque
resulta indiferente la letra asignada.
En general la letra f se usa para representar funciones, de tal forma que
y = f(x) representan a una función con variable independiente x y variable
dependiente es y. Otras letras usadas: g (x); h(x); etc.
No todas las ecuaciones definen una función:
y2 = x
“y” no es función de “x” porque para un valor dado del dominio le corresponden
dos imágenes. Por ejemplo para x = 16, y puede tomar el valor 4 y -4.
y=
2
x
Si “x” toma el valor cero la ecuación carece de sentido, entonces “y” no es función
de “x” hasta tanto no se excluya a x = 0 del dominio.
Dominio de una función: Corresponde al mayor conjunto de números reales para
los cuales la relación está definida, de tal forma que para cada elemento del
Dominio exista uno y sólo un resultado real. La mayoría de las ecuaciones con las
que hemos trabajado a lo largo de este curso son funciones, y si bien no se indica el
Dominio, se usa el criterio dado.
Observe el dominio de las funciones analizadas:
y = 2x + 3
Dominio: todos los números reales.
y = x2 – 3x + 2
Dominio: todos los números reales.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
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y=
2
x −1
Dominio: todos los números reales menos el 1.
Se excluye al uno para que el denominador
no se convierta en cero.
y=
Dominio: todos los números reales mayores o
x −5
iguales a 5, así se evita la raíz cuadrada de
números negativos que nos daría por resultado un número que
no es real.
Ejemplo: La siguiente ecuación define a “y como función de x” porque a cada x
permitido le corresponde uno y sólo un valor de y.
y=
2
x −3
D = R − {3}
Al decir “x permitidos” nos referimos al dominio (D) de la función, que corresponde
a todos los números reales excepto el tres. (Si x = 3, entonces el denominador se
hace cero y la operación no está definida).
Ejemplo: En la ecuación
y = 2−x
D = [2,+∞[
“y es función de x” siempre que x > 2. Con esta restricción se evita la raíz cuadrada
de números negativos.
Justifique las siguientes afirmaciones:
a)
En un supermercado: “A cada producto de la góndola le corresponde un
solo precio”. Es función porque........................................................
b)
y = x , para x ∈R . No es función porque....................................
c)
y = 2x – 3
d)
y=
2x
x −1
D = R. Es función porque.................................
D = R − {1} Es función porque........................
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 59
Analicemos los siguientes ejemplos:
Para la función y = 3x
“x” es la variable independiente
“y” es la variable dependiente
“y = 3x” representa la ecuación o fórmula que transforma a x en y.
Si se quiere indicar que “f” le hace corresponder al número 2 el número 6, entonces
se escribe 2→6 ó
f2) = 6 (se lee f de 2 es igual a 6)
Para la función y = 2 x + 3
Para x = 2 → f (2) = 7
Para x = -1→ f (-1) = 1
Para x = 5 → f (x) = 13
Ejemplo:
Un vendedor de rifas cobra un sueldo mensual de $100, y una comisión por ventas
de $10 por producto vendido ¿Cuánto ganará al vender 10 rifas? ¿Y si vende 20?
La función Sueldo es: y = 10 x + 100
Si vende 10 unidades (x = 10), el sueldo mensual (y) será de $200; f (10) = 200
Si vende 20 unidades (x = 20), el sueldo mensual (y) será de $300; f (20) = 300
Otros ejemplos de funciones:
y = x2
y = 2x + 3
D=R
I=R
D=R
D: dominio
y = log x
I = R 0+
D = R+
I=R
I: Conjunto de las imágenes
Una función queda definida cuando se conoce:
•
Conjunto de partida o Dominio
•
Conjunto de Imágenes
•
Relación "que vincula a "x" con "y", generalmente dado por la fórmula
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 60
Cuando el dominio no se menciona en una función, se da por supuesto que
corresponde al mayor subconjunto de números reales para el cual tenga sentido la
relación. En este curso solo trabajaremos con funciones cuyo dominio está
integrado por subconjuntos de números reales y cuyas imágenes son números
reales.
Una función no sólo se define a través de una fórmula, también puede hacerse por
medio de una tabla de valores, o de un gráfico en dónde se muestra la
correspondencia entre las variables inclusive en lenguaje coloquial.
Ejemplo: Función Interés
Si se invierten $1.000 a una tasa de interés simple del 5% anual, el interés generado
dependerá del tiempo durante el cual el dinero estuvo invertido.
(Para I = Co.r.t; con Co: capital inicial invertido; r tasa de interés en decimales o al
tanto por uno y t: tiempo)
Por fórmula:
I = 1.000 . 0,05. t
t representa a la variable independiente tiempo y se mide en años.
I representa a la variable dependiente Interés y se mide en pesos;
tabla:
X (tiempo) 0
1
3
5
Y (Interés) 0
50
150
250
Por gráfico (en un sistema de coordenadas cartesianas)
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 61
Compare, analice e indique cuál es la expresión correcta:
a)
f(0) = 0
b)
f(- 3) = -f(3)
c)
2f(5) ≠ f(10)
d)
f(5) + f(3) ≠ f(8)
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La representación gráfica de una función, se realiza en un sistema de coordenadas
rectangulares o simplemente sistema de coordenadas: en un plano donde se
introduce dos rectas numéricas perpendiculares, que se cortan en un punto llamado
origen que es el “cero” de ambas rectas.
La recta horizontal es el eje de las abscisas (eje x), y la recta vertical es el eje de las
ordenadas (eje y). Los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro regiones o
cuadrantes numerados en sentido contrario a las agujas del reloj y las flechas
indican el sentido positivo de los mismos. Mientras no se indique lo contrario, la
unidad de longitud será la misma en ambas rectas.
Plano Cartesiano. Sistema de coordenadas cartesianas
El plano cartesiano está formado por infinitos puntos, que se ubican en relación a
los ejes y quedan definidos por un " par ordenado" de valores (x , y). Los puntos se
nombran con letras mayúscula, por ejemplo P(x , y) tal que representa al primer
elemento del par ordenado y se lo denomina abscisa o coordenada "x", e "y" es el
segundo elemento del par ordenado y se lo denomina ordenada o coordenada "y".
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 62
Sistema de coordenadas rectangulares o simplemente
sistema de coordenadas, es llamado también sistema de
coordenadas cartesianas en honor al matemático francés
René Descartes (1596-1650) quien uniera al Álgebra y a la
Geometría.
Observe la siguiente gráfica:
El par ordenado (2,4) corresponde a un punto P del plano que se obtiene cuando se
cortan una recta vertical que pasa por 2 y una recta horizontal que pasa por 4.
(2,4) son las “coordenadas” del punto P.
Los puntos ubicados sobre los ejes se designan con un número, sobreentendiendo
que la coordenada faltante es 0.
Ejemplo: Represente gráficamente la función y = 2x + 3.
Para cada valor de x obtendrá un valor de y. Por ejemplo, si x = 5 y = 13.
El par ordenado (5,13) satisface a la ecuación y = 2x + 3.
Para construir la gráfica habrá que ubicar en el plano cartesiano los puntos cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación.
Infinitos pares ordenados satisfacen la ecuación y = 2x + 3, y todos se ubican sobre
una línea recta. Al confeccionar una tabla de valores, se obtiene:
x
-2
0
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
1
2
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y
-1
3
5
7
Con esos valores construimos una gráfica como la siguiente:
La gráfica de y = 2x + 3 es una línea recta y la ecuación que le da origen es una
ecuación lineal.
Para graficar una recta bastan dos puntos, y una forma fácil de graficar es
identificando la ordenada al origen y la abscisa al origen:
Ordenada al origen: Es el punto donde la gráfica corta al eje de las
ordenadas (eje y).
¿Cómo se calcula? Se da a x el valor 0 y se obtiene f (0) = y
Raíz: Es el punto donde la gráfica corta al eje de las abscisas (eje x).
¿Cómo se calcula? Se da a “y” el valor 0 y se calcula x. x es la raíz de la
ecuación que representa a la función.
En la función f: R
R / f (x) = 2x + 3:
-
Ordenada al origen: Para x = 0 → y = 3
-
Raíz: Para y = 0 → x = -3/2
Función Creciente y Decreciente
Función creciente: x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 )
En el gráfico se observa que la función asciende de izquierda a derecha, desde el
tercer cuadrante al primero.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
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En el ejemplo anterior f: R
R / f (x) = 2 x + 3
x1 < x 2 ⇒ f ( x1) < f ( x 2 ) . Verifica: 2 < 5 ⇒ f (2) < f (5) ⇒ 7 < 13
Constate en el gráfico.
Función decreciente: x1 < x 2 ⇒ f ( x1) > f ( x 2 )
Gráficamente se observa que la función desciende de izquierda a derecha, pasando
del segundo al cuarto cuadrante.
Ejemplo:
f: R
R / f (x) = -3 x + 5
x1 < x 2 ⇒ f ( x1) > f ( x 2 ) . Verifica: 1 < 3 ⇒ f (1) > f (3) ⇒ 2 > −4
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
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MODELOS DE EXÁMENES
Examen Promocional. Ciclo de Nivelación TUAC–14/03/2013
Ejercicio 1: a) Una heladera cuyo precio era de $5.000- hace un año, cuesta en
la actualidad $7350-. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? b) Con el precio
actual de $7350-, si se paga de contado, me hacen el 22% de descuento
¿cuánto debo abonar? c) Si hoy quiero comprar la heladera en cuotas debo
realizar una entrega de $800 y sobre el saldo, cobran un 12% de interés,
divididos en 10 cuotas iguales ¿Cuál es el importe de cada cuota?
Ejercicio 2: a) En caso de ser posible, resuelva las siguientes expresiones:
b) (1,28 . 1012) .(0,000000026) =…………….
a) a + a =…….
 (3 − 3)0 
d) −
 =…………..
30 

c) -(-b)/-bc = …..
b) Resuelva aplicando propiedades:
[(5)
−5
] ( )
5
.5 −  5 


6
2
5
=
Ejercicio 3: Resuelva las ecuaciones y verifique si los resultados obtenidos son
posibles soluciones.
(a)
12 x
2x
=
( −4).(−3) 2
(b) log 3 (x+1)=2
(c)
x ( x + 5) = 2 ( x + 5)
Ejercicio 4: Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas
(F). Justifique las falsas corrigiendo el segundo miembro:
a)
( x − 3) 2 = x 2 − 9
b)
4 x 3 + 3 + x = 5x 4 + 3
d)
x+2
=2
x
e)
x3 − x 2 + x = x ⋅ x 2 − x + 1
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
(
c)
−
x+3 − x+3
=
2
2
)
Página 66
Ejercicio 5: El siguiente gráfico muestra el movimiento de dinero en caja (en
miles de pesos) de un negocio de venta al por mayor a lo largo de un día:
a) i- ¿Cuál es el horario de atención al público? ii- ¿Qué movimiento tuvo el
negocio entre las 8.30 y las 11 hs?
iii- Marque en el gráfico el punto de
coordenadas (13 , 16) ¿qué información brinda?
b) i- ¿Cómo interpreta el dinero en caja marcado a las 8 hs y a las 15 hs? ii- Al
mediodía, el gerente retira la recaudación de la mañana ¿cuánto dinero
retira?
c) ¿En qué porcentaje superó el dinero en caja al finalizar la mañana al
alcanzado al finalizar la tarde?
d) i- Indique cuáles son las variables involucradas. ii- ¿Cuál es la variable
independiente y cuál la variable dependiente? iii- ¿Existe una relación
funcional?
Examen Promocional. Ciclo de Nivelación TUAC– 09/08/2013
Ejercicio 1: Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique el resultado. (3p)
a)
x −1 x − 3
-1
=
6
2
b)2 2x = 4
c) log 2 (x+1) = 6
Ejercicio 2: Complete los siguientes enunciados para que resulten verdaderos:
(1,5p)
a)
El número 0,000825 escrito en notación científica
es..............................
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 67
b)
El número 7,23 x 105 escrito en notación normal
es.......................................
c)
log4 (a/b) = ……………..
Ejercicio 3: Indique si las siguientes igualdades son verdaderas. Para las que
no lo sean, de el resultado correcto:
(2,5p)
a) a.0/a = 0
d) (a-b) 2 = a2 – b2
b) a-b/b = a -1
e)
c) -2(a+b) = -2a + b
pertenece a los reales siempre que “a” sea un
número real
Ejercicio 4: Eva, Ana y Carla pagaron $150 por una caja que contiene 60
bombones. Eva se comió 1/5, Ana el 40% y Carla el resto. Se desea conocer:
(a) ¿Cuántos bombones comió Carla? (b) ¿Qué porcentaje del total de
bombones se comieron Eva y Ana? (c) Si cada una pagó en función de lo que
comió ¿Cuánto pagó Eva?
Examen Promocional. Ciclo de Nivelación TUAC–11/03/2014
Alumno…………………………………………………………………………DNI:……………….Fecha:
1) Resuelva: (5p)
5x + 1 ≥ 2x - 8
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 68
2) El valor de una computadora en un negocio de insumos informáticos es de
$4505- pero si nos lo tienen que llevar a casa e instalarlo su valor se incrementa el
6%. a) Calcule el incremento del costo inicial y cuánto tendremos que pagar si
queremos que lo lleven e instalen en casa. b) En otro negocio de informática, en el
que está de rebaja la misma computadora del ejercicio anterior, tiene un 5% de
descuento. ¿Cuál será su precio en este negocio? c) En este último negocio, si
queremos comprar la computadora a crédito, debemos realizar una entrega del
15%, y lo faltante se pagan en 6 cuotas iguales con un 20% de recargo sobre saldo.
¿Cuál es el importe de la cuota a pagar?
3) La siguiente gráfica nos da el precio por unidad de un cierto producto,
dependiendo del número de unidades que compremos de dicho producto (la
compra está limitada a 10 unidades como máximo):
a) ¿Cuánto nos costará comprar una unidad de dicho producto?
b) ¿Cuál es el precio máximo por unidad? ¿Y el mínimo?
c) Explique lo que ocurre con el precio por unidad cuando se incrementa el número
de unidades compradas.
d) ¿A partir de cuántas unidades el precio se estabiliza? ¿Cuál es ese precio?
e) ¿Cuál es el porcentaje de variación del precio por unidad cuando se compran 2
unidades en lugar de 1? ¿Y 3 en lugar de 2?
f) La relación graficada ¿es función? Justifique su respuesta.
g) ¿Por qué no unimos los puntos de la función?
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
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Facultad de Ciencias Económicas
Universidad Nacional de Misiones
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA
Carrera
Técnico Universitario Administrativo Contable
Ubicación del espacio curricular en el Plan de Estudio
Pre-requisito para el cursado de la asignatura ELEMA correspondiente al
primer tramo de la Carrera de Técnico Universitario Administrativo Contable.
Res. CD Nº 026/2011.
Tiempo asignado: 8 horas semanales durante seis semanas en el
mes de febrero y primera quincena de marzo de cada año académico.
Contenidos
Unidad I: Números Reales
Revisión de los campos numéricos. Operaciones y propiedades. Interpretación
de enunciados y su traducción al lenguaje matemático. Representación en la
recta. Notación exponencial.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
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Ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Conjunto
solución. Ecuaciones equivalentes. Inecuaciones. Problemas de aplicación.
Cálculo de porcentaje.
Unidad II: Estudio de funciones y modelización
Concepto de variable. Relaciones. Representaciones.
Conceptos básicos de funciones. Diferentes representaciones, tablas de
valores, pares ordenados. Ejes cartesianos. Escalas. Modelización. Relaciones
de proporcionalidad directa e inversa.
Metodología de trabajo
El desarrollo del curso involucra actividades presenciales y virtuales. Los
encuentros presenciales se realizan durante 8 semanas y consisten en dos
clases semanales de cuatro horas cada una durante el mes de febrero y
primera quincena de marzo de cada año académico. En la clase el docente
promoverá la resolución de situaciones problemáticas, a partir de las cuales
surgirá actividad matemática.
Para acompañar a los alumno/as en sus actividades se ofrecen tutorías
presenciales que se realizan semanalmente en día y hora previamente
acordada.
Los espacios virtuales de aprendizaje son abiertos, y el alumno/a
podrá informarse y operar sus saberes según sus tiempos de
aprendizajes, generando un ambiente colaborativo conformado
por docentes y estudiantes, y mediado por las Tecnologías de Comunicación e
Información. El soporte virtual lo provee la Facultad a través del Aula Virtual y
cuyo sitio Web es: www.fce.unam.edu.ar/alumno/aulavirtual
Curso: TUAC - Nivelación en Matemática (TUACMA)
Se utiliza material impreso (guías de trabajos prácticos de la Cátedra),
bibliografía provista por la Biblioteca de la Facultad,
graficadores
computacionales, publicaciones en Internet, herramientas propias del Aula
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
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Virtual (Descripción, Documentos y Enlaces, Ejercicios, Tareas, Foros, Grupos,
Chat, Anuncios grupales, otros) y correos electrónicos personales.
Toda la información que se genere se publica en el Aula Virtual, en función de
ello es recomendable que los alumnos/as consulten la página de la Cátedra en
forma frecuente.
Evaluación
Al finalizar el período de cursado se prevé una evaluación con
opción a recuperatorio. En función de los resultados los
alumnos/as quedan en condición de Promocionados o Libres. Los alumnos/as
en condición de libres rinden evaluación final teórico-práctica en las mesas
examinadoras según el calendario académico correspondiente al año en
curso.
Condiciones de Alumno/a Promocional
Para promocionar el Curso el alumno/a debe aprobar la evaluación final con
una calificación no inferior a 6 (seis), con opción a un recuperatorio por
ausencia o por no haber alcanzado la nota mínima, en sentido excluyente.
Bibliografía
-
Textos de la escuela secundaria
-
Bello, I. (1999). Álgebra Elemental. Mexico: Thompson Editores.(*)
-
Carnelli G, F. M. (2007). Matemática para el aprestamiento Universitario.
Los Polvorines: Universidad Nacional General Sarmiento.
-
Kaseberg, A. (2000). Álgebra Elemental. Un enfoque justo a tiempo.
Thompson Editores. 2000, México) (*)
-
Livigni, E. (2004). Matemática preuniversitaria. Trelew, Argentina: Ed.
U.N.P.S.J.Bosco.
NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA - TUAC
Página 72
-
Musomecci F, H. H. (2004). Matemática para ingresantes a la Universidad.
Tucumán. Argentina. Ed. UNSTA.
(*) Ejemplares disponibles en la biblioteca de la Facultad de Ciencias
Económicas.
Webgrafía
-
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~29700989/departamentos/de
partamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/
Consulta: 17/09/2012
-
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/
Consulta:
03/01/2013
http://www.mcgrawhill.es/bcv/guide/capitulo/8448177207.pdf
Consulta: 18/01/2013
-
http://www.educa2.madrid.org/web/educamadrid/principal/files/23dc5e
2d-a2bd-4549-93e5-7cde9a6fb61f/MaterialApoyo/ecu2g.pdf
Consulta:
21/08/2013
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