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Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Matemáticas 2– MA 111
CIRCUNFERENCIA
Distintas estructuras de ruedas
La rueda, considerada uno de los inventos más
importantes de la historia, tiene más de 5 000 años
de antigüedad, y desde su nacimiento ha sido
crucial para los dispositivos mecánicos. Las ruedas
que vemos aquí son relativamente complejas en
comparación con los primeros modelos.
Los primeros rodamientos, que hacen que las
ruedas giren con más suavidad, aparecieron
alrededor de 100 a.C. Las primeras ruedas eran
discos macizos; después surgió el diseño de radios,
resistente y más ligero.
Giróscopo
Este giróscopo está diseñado de forma
que el volante y el eje puedan apuntar
en cualquier dirección. Los giróscopos
son útiles en navegación porque poseen
rigidez espacial: un giróscopo en
rotación montado en un vehículo
siempre apunta en la misma dirección,
por lo que permite determinar la
orientación sin recurrir a referencias
visuales, no siempre disponibles (de
noche o con niebla, por ejemplo).
1.
Definiciones
Circunferencia, es la curva plana en la que
cada uno de sus puntos equidista de un punto
fijo llamado centro de la circunferencia.
Círculo, es la superficie plana limitada por una
circunferencia.
_________________________________________________________________
CIRCUNFERENCIA
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2.
Elementos
Cualquier segmento que pasa por el centro y
cuyos extremos están en la circunferencia se
denomina _____________ .
Un __________ es un segmento que va desde
el centro hasta la circunferencia.
Una __________ es cualquier segmento cuyos
extremos están en la circunferencia.
Un _____________ de circunferencia es la
parte de esta, delimitada por dos puntos.
Un __________ __________ es un ángulo
cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos
radios.
La razón entre la longitud de la circunferencia y
su diámetro es una constante, representada por la
letra griega  (pi).  es una de las constantes
matemáticas más importantes y juega un papel
fundamental en muchos cálculos y
demostraciones en matemáticas, física y otras
ciencias, así como en ingeniería.  es
aproximadamente 3,141592.
El matemático griego Arquímedes encontró que el
Arquímedes (287-212 a.c.)
1
10
valor de  estaba entre 3 7 y 3 71 .
3.
Medida de un arco de circunferencia
Un arco de circunferencia se mide en grados:
4.
Propiedades importantes
1. Toda recta tangente a una circunferencia, es perpendicular al radio en el punto de
tangencia. En la figura, m es tangente, luego: m  OT
CIRCUNFERENCIA.
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2. Un diámetro perpendicular a una cuerda de una circunferencia, biseca a la cuerda y a
los arcos que subtiende.
3. Si se trazan dos cuerdas paralelas BE y GF , los arcos GB y EF son congruentes.
4.
Dos cuerdas de una circunferencia, que equidistan del centro, son congruentes.
CIRCUNFERENCIA.
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Longitud de una circunferencia y longitud de un arco de circunferencia
Comprueba:
Mida con un centímetro la circunferencia de cualquier objeto y su respectivo
diámetro, comprobará que el cociente de estas dos cantidades es:___________.
La longitud de la circunferencia se denota por C y es proporcional a su diámetro, es
decir, es igual al producto del diámetro por la constante  (3,14159…).
L   D  2 R
Un arco de circunferencia se mide en grados. La medida del arco correspondiente a
una circunferencia es 360 y el correspondiente a una semicircunferencia es 180.
La longitud de un arco de circunferencia será proporcional a la fracción de
circunferencia que representa dicho arco.
CIRCUNFERENCIA.
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Para calcular la longitud de un arco de circunferencia, basta con aplicar una regla
de tres simple:
Ángulo central
Longitud de arco
360

2R
x
L AB 
o
2 R
360
Ejemplo:
Para una circunferencia de 5cm de radio, calcule la longitud de un arco de 30°.
ÁREA DE UN CÍRCULO Y ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
El área de un círculo se denota por A y es proporcional al cuadrado de su radio.
A =  R2
El área de un sector circular se denota por AS.
AS =

 R2
360
Ejemplos de clase:
1. Se tiene una circunferencia de 5cm de radio; calcule la longitud de un arco de 30°.
2. Se tiene un círculo de 24m de radio; calcule el área de un sector circular de 72°.
3. Se tiene una circunferencia de 18m de radio; calcule la longitud de un arco de 265°.
4. Se tiene un círculo de 93,1cm de radio; calcule el área de un sector circular de 81°.
5. Un sector circular con un área de 1 472 m2 tiene un ángulo central de 49°; calcule el
radio.
6. Determine el número de vueltas que recorre una de las ruedas de una bicicleta, en una
pista horizontal, al desplazarse 11m. El radio de la rueda es de 25cm.
7. Calcule el perímetro de un sector circular de 6cm de radio y 3  cm2 de área.
8. Un atleta debe recorrer 1 200m en una pista circular de 15m de radio. ¿Cuál es el
menor número de vueltas que debe dar a la pista para cumplir con su meta?
Una tangente a una circunferencia es una recta que toca a la circunferencia en uno y
sólo un punto.
Propiedad de las tangentes
A
P
Los segmentos tangentes a un círculo
desde un punto exterior son
congruentes.
B
CIRCUNFERENCIA.
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Un polígono inscrito es un polígono tal que todos sus lados son cuerdas de una
circunferencia. Una circunferencia circunscrita es una circunferencia que pasa por
todos los vértices de un polígono.
Así, en la siguiente figura, los triángulos ABD, BCD y el cuadrilátero ABCD
son polígonos inscritos en la circunferencia. La circunferencia es una circunferencia
circunscrita sobre el cuadrilátero.
B
A
C
D
Polígonos inscritos
Circunferencia circunscrita
Un polígono circunscrito es un polígono tal que todos sus lados son tangentes a una
circunferencia. Una circunferencia inscrita es aquella que es tangente a todos los lados
de un polígono.
Así, el triángulo ABC es un polígono circunscrito a la circunferencia. La circunferencia
es una circunferencia inscrita en el triángulo ABC. B
C
A
Polígono circunscrito
Circunferencia inscrita
Ejercicios
1) Si PA, PB y PC son tangentes, siendo A, B y C los puntos de tangencia, se sabe que
PA  10cm . Calcule la medida del segmento PC
A
P
B
C
CIRCUNFERENCIA.
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2) En la siguiente figura, P es el punto de tangencia, calcule la longitud del segmento
PB.
2
C
P
B
12
4
D
3
A
3) En la figura mostrada PA  5
y B.
y
PD  15 , calcule la distancia entre los puntos A
B
A
P
C
D
4) Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC son tangentes a la circunferencia
inscrita en los puntos P, Q y S respectivamente, y miden 13cm, 14cm y 15cm
respectivamente. Calcule la longitud del segmento AP .
5) En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia, siendo H el punto de tangencia
en el lado AB . Calcule la longitud del segmento BH sabiendo que el lado AC
mide 10cm y el perímetro del triángulo es 42cm.
6) Se tiene un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia. Si tres de sus lados
consecutivos miden 5cm, 6cm y 11cm, calcule el perímetro del cuadrilátero.
7) La figura muestra dos circunferencias tangente exteriores. Si O1 y O2 son los
centros de las circunferencias, y la tangente común interior corta a la tangente
común exterior en “P”, calcule la medida del ángulo O1PO2 .
Circunferencias tangentes exteriores
Tangente común interior
Tangente común exterior
CIRCUNFERENCIA.
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8) O1 y O2 son los centros de dos circunferencias tangentes exteriores. La tangente
común interior corta a la tangente común exterior en el punto P, siendo A y B los
puntos de tangencia de la tangente común exterior con las circunferencias, y T el
punto de tangencia de la tangente común interior con las circunferencias. Calcule la
medida del ángulo ATB.
9) En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB, BC y AC son tangentes. Si AB
mide 6cm, BC mide 8cm y AC mide 10cm. calcule la longitud del radio (r).
B
¿Puede plantear alguna
conclusión?
r
C
A
10) En un triángulo rectángulo ABC de altura BH  h (B = 90°), calcule la suma de los
radios de las circunferencias inscritas al triángulo ABC y a los triángulos parciales
obtenidos al trazar la altura BH .
Respuestas
1. 10cm
2. 1
3. 10
4. 7cm
5. 11cm
6. 32cm
7. 90°
8. 90°
9. 2cm
10. h
CIRCUNFERENCIA.
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ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Ángulo central
Es aquel que tiene como vértice el centro de la circunferencia.
Observación:
Se suele decir que un arco mide
, asociándolo al ángulo central.
Ángulo inscrito
Es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados contienen dos
cuerdas de la misma y su medida es la mitad del arco comprendido.
Nota:
La medida del ángulo central es 2 veces la medida
del ángulo inscrito
En los siguientes ejercicios, determine x:
Ejercicio 1:
Ejercicio 2:
B
Ejercicio 3:
D
B
x
C
x
E
D
C
52°
60°
E
C
CB  CD y mBD =150°
mCB=60°;
x
B
mBE =150°
DB es bisectriz del
 CDE
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Ejercicio
En la circunferencia mostrada trace un diámetro,
y luego escoja cualquier punto de la
circunferencia y únalo con los extremos del
diámetro.
a. ¿Cuánto mide el ángulo inscrito así formado?
b. ¿Qué tipo de triángulo se forma?
c. Explique porqué siempre sucede lo mismo.
Angulo interior
Es aquel que tiene su vértice en el interior de la circunferencia y sus lados contienen dos
cuerdas de la misma circunferencia.
A
¿Cómo calcularía la medida de
dicho ángulo usando los arcos AC y
BD?
D
X
E
C
B
¿Qué trazo haría aparecer un
ángulo inscrito?
Angulo seminscrito
Es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia, uno de sus lados contiene una
cuerda de la misma circunferencia, mientras el otro lado es una recta tangente.
m
T
X
A
¿Cómo calcularía la medida de dicho
ángulo usando el arco TA (más
pequeño)?
¿Qué trazo haría aparecer a un ángulo
inscrito?
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Ejercicio
En la siguiente figura calcule la medida del ángulo x.
150°
B
C
A
x
60°
100°
D
E
1) Trace la cuerda BE .
2) Identifique qué triángulo aparece
3) Identifique qué ángulos inscritos aparecen, ¿cuál es la medida de cada uno de
ellos?
4) ¿El ángulo x es un ángulo interior de algún triángulo?
5) ¿Qué propiedad relacionada con los ángulos internos de un triángulo puede
plantearse para calcular x?
6) Entonces, ¿cuánto vale x?
7) Ahora, si en lugar de 60° el arco BD mide 80°, y en lugar de 100° el arco CE
mide 150°, ¿podrías calcular el mismo valor de x?
Ejercicios
1. Calcule las medidas de los ángulos interiores del triángulo ABC
A
110°
90°
C
B
2. Calcule las medidas de los ángulos internos del cuadrilátero ABCD
C
40°
B
60°
D
A
160°
3.
Calcule las medidas de los arcos AC, AB y BC
C
A
70°
50°
B
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4. En la figura AB = BC, además la medida del ángulo B̂ es 40°. Calcule las medidas
de los arcos AC y BC.
B
A
C
A
5. En la figura:
i.¿Cuántos ángulos inscritos existen?
ii.¿Cuánto mide cada uno de ellos?
iii.¿Cuánto(s) ángulos internos respecto
iv.de la circunferencia existen?
v.¿Cuánto mide cada uno de ellos?
m( NP) 3

m(MP) 4
6. Dado:
y
B
D
45°
C
m(MN ) 2

m( NP) 3
M
N
P
Encuentre la medida de los ángulos M, N y P.
7. Si m(AB) = 30° y m(CD) = 20°, calcule la medida del ángulo x.
A
B
160°
75°
X
D
C
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8. En la figura la medida del arco AXB es 190°, el ángulo  mide 107,5°. Calcule la
medida del arco CD.
B
X
A

D
C
9. Se trazan las cuerdas AB y CD perpendiculares, de tal manera que el punto de corte
M se encuentra en el interior de la circunferencia si se cumple: m (BD) = 20° y
m(AD) = 80°
¿Cuánto mide el arco AC?
A
C
D
B
10. En la siguiente figura AB es tangente al círculo de centro O (A es punto de
tangencia). Las medidas de los arcos AE, AD y DC son 160°, 50° y 60°
respectivamente. Encuentre las medidas de los ángulos  y 
E
O
A

B
C

D
11. En la figura se cumple que MN es tangente a la circunferencia de centro O, además
m(PQ) = 100° y m (MXQ) = 150°. M es punto de tangencia.
M
N
P
O
X
Q
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Halle las medidas de los ángulos: MNP PQM , MPQ PMQ
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12. Si A y C son puntos de tangencia, calcule la medida del ángulo .
A
D
50°

B
C
13. Se traza un ángulo exterior a una circunferencia, de tal manera que los lados de
dicho ángulo son tangentes a la circunferencia. Si dicho ángulo mide 80° ¿Cuánto
miden los arcos subtendidos?
Respuestas
1. mA  80
12. 65°
mB  55
13. 100° y 260°
mC  45
2. mA  50
mB  110
mC  130
mC  70
3. Medida del arco AC: 100°
Medida del arco AB: 140°
Medida del arco BC: 120°
4. Medida del arco AC: 80°
Medida del arco BC: 140
6. mM  60
mN  40
mP  40
7. 25°
8. 25°
9. 160°
10.
  55
  110
11. mMNP  20
mPQM  55
mMPQ  75
mPMQ  50
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