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Clase-07
Operaciones con decimales finitos:
Los decimales finitos, por ejemplo: 0,75; 3,207; 5,1025 ; etc. se pueden operar
directamente, aplicando los siguientes procedimientos:
1) Adición: Se colocan los sumandos uno bajo de los otros, dejando coma bajo coma
para luego sumar y colocar en el resultado la coma bajo las otras.
Ejemplo: La suma de 0,03 con 14,075 con 0,56437 con 8,0345 es:
2) Sustracción: Se coloca el sustraendo bajo el minuendo, quedando coma bajo
coma, añadiendo ceros si fuese necesario para que el minuendo y el sustraendo
tengan igual número de cifras decimales, para luego restar y
colocar en el
resultado la coma bajo las otras.
Ejemplo: Al restar 16,8758 de 125,63 resulta:
3) Multiplicación: Para multiplicar decimales o un entero por un decimal, se
multiplican como si fuesen enteros, corriendo en el producto la coma de derecha a
izquierda tantos lugares como cifras decimales haya en los factores.
Ejemplo: El producto entre 25,315 y 7,36 es:
4) División: Para dividir dos decimales, deben tener igual número de cifras
decimales, añadiendo ceros a la que tenga menos cifras decimales, luego se
suprimen las comas y se dividen como enteros.
Ejemplo: El cuociente de 89,3148 : 3,156 =
(1)
Ejercicios:
1) Efectuar la operatoria indicada entre decimales finitos:
a)2,15 + 0,03  2,5 – 0,369 : 0,9 – 0,185 = b) (0,05  (6,12 – 0,1314)) : 0,09 =
2) Resolver los siguientes problemas:
a) La altura de una persona es de 1,85 metros y la de una torre es 26 veces la altura
de esta persona, menos 1,009 metros. ¿Cuál es la altura de la torre?
b) Un tonel lleno de vino pesa 614 kilos. Si el litro de vino pesa 0,98 kilogramos y el
peso del tonel es de 75 kilogramos. ¿Cuántos litros contiene el tonel?
Los Números Irracionales:
Sabemos que los elementos del conjunto Q de los números racionales son los
a
números de la forma
con b  0 , números que poseen una expresión decimal
b
finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.
Existen números que poseen expresión decimal infinita no periódica, los que
reciben el nombre de Números Irracionales (II) ; luego:
II = {x/x posee expresión decimal infinita no periódica}
Ejemplos:
(a)  = 3,141592654........
b)
2 = 1,414213562......
Son números irracionales al igual que todas las raíces inexactas, por tener expresión
decimal infinita no periódica.
Ejercicios:
Determine si  o  al conjunto I los siguientes números:
a)
3
II
d) 3 5
II
g) 4 12
II
b)
7
II
e) 3 3
II
h) 5 32
II
c)
9
II
f) 3 8
II
i) 4 81
II
(2)
Gráficamente a todo número irracional le corresponde un punto sobre la recta
numérica.
Ejemplo:
Ubiquemos en la recta
2 ;
3 ;  2 ;  3 ; para ello en el 1 se copia
perpendicularmente la misma unidad, luego unir con un trazo el punto 0 con el
extremo del trazo copiado, formándose un triángulo rectángulo de hipotenusa de
medida 2 medida que se lleva a la recta en ambos sentidos, ubicándose en esta
2 y  2.
Donde cae 2 se levanta perpendicularmente la unidad, unir el punto 0 con el
extremo del trazo copiado, formándose un segundo triángulo rectángulo de
hipotenusa de medida 3 , la que se lleva a la recta en ambos sentidos, ubicándose
en esta 3 y  3 .
Continuando con este método, se ubican todas las raíces cuadradas exactamente
en la recta.
-3
-2
-1
0
1
2
3
Notar que no todo punto de la recta numérica es un número irracional.
Aproximaciones:
Como los números irracionales poseen expresión decimal infinita no periódica, para
efectos de comparaciones y operatoria se hace necesario aproximar estos aplicando
los procedimientos de redondeo o de truncado:
Cuando redondeamos un número a una determinada cifra decimal, se debe
considerar la cifra decimal que esta a su derecha:
i) Si tal cifra es mayor o igual a 5, se aumenta en 1 la cifra decimal anterior.
ii) Si tal cifra es menor que 5 , se conserva la cifra decimal anterior.
Cuando truncamos un número en una determinada cifra decimal, se escribe este
hasta tal cifra, sin considerar las cifras posteriores.
(3)
Ejemplo:
Aproximar a tres cifras decimales (a la milésima) las siguientes cantidades,
aplicando procedimiento de redondeo y truncado:
Número:
Redondeo:
Truncado:
(a) 5,76382......
(b) 3,15726......
(c) 9,48253......
(d) 8,02647......
(e) 2,99999......
Aproximación por exceso y por defecto:
Cuando la aproximación es menor al valor real se dice que es por defecto a
diferencia de ser la aproximación mayor que el valor real donde es por exceso.
Ejemplo:
1,41 es una aproximación 1,42 es una aproximación
por .................................... por ....................................
Al truncar siempre resulta una aproximación por defecto mientras que al redondear
la aproximación puede ser por exceso o diferencia.
2  1,414213562....
Aproximación Tipo de aproximación
Valor real
7
7  2,645751.. Al truncar a la milésima:
15  3,872983.. Al redondear a la milésima:
33  5,744562.. Al redondear a la milésima:
15 
41  6,403124.. Al redondear a la milésima:
41 
73 
Comparando Irracionales:
Se debe apoyarse en su expresión decimal infinita no periódica o bien en una
aproximación de esta; preferentemente con igual número de cifras decimales para
facilitar las comparaciones.
Ejemplos: Comparemos ahora los siguientes irracionales aproximando a 3 cifras
decimales (a la milésima) por redondeo:
5
(a)

 = 3,141592654....... 
5 = 2,23606797........ 
(b)
3 7
5 6
7 = 2,64575131........ 
6 = 2,44948974........ 
(c)
13
3
23
2
13 = 3,6055512........ 
23 = 4,7958315........ 
Operaciones en II:
Como los números irracionales poseen expresión decimal infinita no periódica,
para operarlos se utilizan aproximaciones.
(4)
Ejemplos:
Al calcular aproximando a tres cifras decimales (a la milésima) por redondeo se
tiene que:
 +
Calculo
6 = ?
7 -
5 = ?
Valor
Aproximación
Resultado
Nota: Es común dejar sólo indicada estas operaciones, ya que el resultado que se
obtiene es sólo una aproximación.
Propiedades:
Las operaciones en II cumplen con las mismas propiedades que en Q; a excepción de
no cumplir con la clausura estas y de no existir elementos neutros ya que el 0 y 1 no
son números irracionales.
Complemento:
Para
aprender
a
calcular
raíces
cuadradas,
aplicaremos
el
siguiente
procedimiento:
"Separar la cantidad subradical en grupos de dos cifras de derecha a izquierda; el
valor de la raíz es inicialmente aquella cantidad cuyo cuadrado es menor o igual al
grupo de la izquierda en la cantidad subradical, cuadrado que se resta de ésta,
obteniéndose el primer resto el que se acompaña por el siguiente grupo de dos cifras
que se baja para dividir esta cantidad por el doble del valor de la raíz anterior,
cuociente que acompaña al valor de la raíz y al doble de ésta, el que se multiplicará
por tal cuociente, obteniéndose un producto el que se resta del resto anterior (si tal
producto es mayor que el resto se debe rebajar tal cuociente) obteniéndose el nuevo
resto, el que se acompaña por el siguiente grupo de dos cifras que se bajan y así
sucesivamente".
Ejemplos:
(a)
106929 = 327
(b)
-9
169 : 62
-124
4529 : 647
-4529
0
(5)
2.347 .024 =
Para calcular cifras decimales, se agrega a cada resto dos ceros por cada cifra
decimal que se calcule.
(b) 5 =
(a)
7  2,645
-4
300 : 46
-276
2400 : 524
-2096
30400 : 5285
-26425
3975
Ejercicios Complementarios:
1) Si a =  3 3 ; b =  2 5 y c =  7 ; 2) Si  3 2 < x <  2 3 ; luego x = ?
la alternativa correcta es:
A) a < b < c
B) a < c < b
C) b < a < c
D) b < c < a
E) c < b < a
A)  2 2
B)  3 3
2 3
5
5 2
D)
2
E) Ninguna de las anteriores.
C)
3) Si x , y son números primos positivos 4) Si “a” es número impar positivo; de las
con x  y. ¿Cuál(es) de las siguientes siguientes expresiones es (son) siempre
expresiones representan siempre a un un número irracional?
l) a
número irracional?
x
ll) 3 a
l) x  y
ll) x  y
lll)
y
lll) 4 a
A) Sólo l y ll
A) Sólo l
B) Sólo l y lll
B) Sólo ll
C) Sólo ll y lll
C) Sólo lll
D) Todas
D) Sólo l y ll
E) Ninguna.
E) Ninguna.
5) Se tiene que
a es irracional sólo si :
(1) “a” es número primo.
(2) “a” es racional irreductible.
A) (1) por si sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
6) Se tiene que a  2 es irracional si:
(1) Si “a” es número racional.
(2) Si “a” es número irracional.
A) (1) por si sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
(6)
Ejercicios Propuestos:
1) Efectuar la siguiente operatoria directa con decimales infinitos:
a) 0,345 + 1,72 – 0,8573 = b) 3,025 – 1,8 + 16,4987 =
c) 73,4  3,27 =
d) 6,731 : 5,3 =
f) (1,236 – 0,24) : 0,3 =
e) 4,72·(18,093 – 9,458) =
2) Resolver los siguientes problemas que involucran operatoria con decimales finitos:
a) Tengo 14 Kg. De mercadería y me
ofrecen comprármela pagándome $9,40
el Kg. Pero desisto de la venta y más
tarde un segundo comprador me pagó en
total $ 84,14. ¿Cuánto he perdido por
kilo?
b) Un depósito se llena por dos llaves; la
primera vierte 25,23 litros en 3 minutos y
la segunda 31,3 litros en 5 minutos.
¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el
estanque, si estando vacío se abren al
mismo tiempo las dos llaves, sabiendo
que la capacidad del estanque es de
425,43 litros?
3) Determine si  o  al conjunto 4) Aproximar a la cifra de la milésimas
indicado los siguientes números:
por:
Número
Q
II
Número
Redondeo Truncado
(a) 3/4
(a) 15,3548...
(b) 
(c) 16
(b) 12,4782...
(d) 3 5
(c) 0,8766.....
(e) 3,14
(f) 3  6
(d) 5,6785.....
(e) 75,5553...
(g) 0,13
(h) 3  8
(f) 0,7777.....
(g) 19,3784...
(i) 5  2
(7)
5) Si a 1 se le suma 0,5 ; se le resta 0,05 6) Si pierdo $19 en la venta de 95
y el resultado se multiplica por 2; se lápices a $9,65 cada uno. Hallar el costo
obtiene:
de cada lápiz.
A) 1,40
A) $9,25
B) 1,90
B) $9,58
C) 2
C) $9,85
D) 2,25
D) $10,06
E) 2,90
E) Otra cantidad.
7) a=  3 529 ; b=  2 625 ; c=  5 361 ;
luego el orden creciente es:
A) a , b , c
B) a , c , b
C) b , a , c
D) b , c , a
E) c , a , b
23
y c=
3
8) Si a = 2 13 ; b =
17 ;
Entonces se tiene que:
A) a > c > b
B) b > a > c
C) b > c > a
D) c > a > b
E) c > b > a
9) Si a = 3,14 ; b = 2 y c = 22/7 ; se
tiene que es (son) número irracional(es):
A) Sólo a
B) Sólo b
C) Sólo c
D) Sólo a y b
E) Los tres.
10) Si “a” es un número primo; entonces
es siempre número irracional:
A) a
B) a 2
C) a 3
D) a
E) 1/a
17
y c = - , la 12) Si x = 2 ; entonces es (son) números
10
irracional(es):
relación correcta entre estos números es:
l) x
ll) 2x
lll) 3x
A) c > a > b
A) Sólo l
B) a = b < c
B) Sólo ll
C) b > a > c
C) Sólo lll
D) a = c < b
D) Sólo l y lll
E) a > b > c
E) Todas
11) Si a =  3 ; b = 
Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-06
1) (a) 0,13
; infinita periódica
(b) 0,386 ; infinita semiperiódica
(c) 0,48 ; finita
(d) 0,26 ; infinita periódica
(e) 4,375 ; finita
(f) 1,53 ; infinita semiperiódica.
3) a) 8
4)
2
3
b)
54
65
c)
a) 12
2) (a)
2
3
47
180
1
31
(g) 1

30 30
8 19

(i) 1
11 11
(d)
9
20
d) 1
b) 45
16
45
13
(e)
40
1
20
2
(f)
111
9 109
(h) 2

50 50
(b)
e) 6
(c)
5
9
f)
c) 15
1
3
d) 8
5) C
6) A
7) C
8) B
9) C
10) A
11) D
12) D
13) C
14) B
15) A
16) E
17) C
18) C
19) D
20) D
(8)