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Rol y función de una clasificación jerárquica
de cuadriláteros
[1] [2]
MICHAEL DE VILLIERS
Introducción
Una bien conocida y útil distinción entre los diferentes tipos de
comprensión en matemáticas, es la de distinguir entre lo
instrumental, relacional y lógico [e.g Skemp, 1976; 1977,
Byers & Herscovics, 1977]. Mientras la “comprensión”
instrumental (el autor prefiere el término “competencia”), se
refiere a la habilidad de un individuo de manipular contenido
matemático correcta y eficientemente (e.g. usando algoritmos,
reglas y definiciones), las comprensiones relacional y lógica se
refieren respectivamente a comprender las relaciones
conceptuales entre contenidos y la lógica subyacente en las que
estas relaciones se basan.
Una deficiencia seria en este modelo, es que no se considera
una comprensión funcional, en otras palabras, comprender el
rol, función o valor de un determinado contenido matemático o
un proceso en particular [compárese Human, 1989]. Una
extensiva experiencia con niños en contextos de clase y
entrevistas, pareciera indicar que muchos de los problemas con
contenidos matemáticos y procesos, muchas veces no provienen
tanto de una pobre competencia instrumental o una inadecuada
comprensión relacional o lógica, sino de una pobre comprensión
de la utilidad o función del mismo. Debería notarse que esta
funcionalidad no se reduce sólo a aplicaciones en el mundo real,
sino que también incluye los valores relativos o funciones de los
contenidos y procesos dentro de las matemáticas.
En gran medida, pareciera que la ausencia, presencia, o el
nivel de comprensión funcional de un individuo determina su
motivación para estudiar y aprender matemáticas. Sin una
comprensión funcional, las matemáticas simplemente se
degeneran a un tema inútil, sin sentido y arbitrario,
desmotivando al aprendiz de intentar aprenderlas y explorarlas.
El desarrollo adecuado de la comprensión funcional es por lo
tanto un importante criterio para evaluar cualquier enfoque de la
enseñanza.
En este artículo se distinguirán diferentes tipos de
clasificación, como también se realizará un análisis teórico del
rol y función de una clasificación jerárquica en las matemáticas.
Finalmente, se entregarán breves comentarios con respecto a la
enseñanza de la clasificación jerárquica de los cuadriláteros.
Interludio
El siguiente extracto es un ejemplo bastante típico de varias
entrevistas y experiencias con niños de los estándares 7 al 10
(Grados 9 a 12) en los últimos años [véase De Villiers, 1987,
1990]:
I: i Si definimos un paralelogramo como cualquier cuadrilátero con
lados opuestos paralelos, ¿podemos decir que un rectángulo es un
paralelogramo?
S: Sí…. porque un rectángulo también tiene lados opuestos
paralelos… Pero no me gusta esta definición de paralelogramo…
Sé que se nos enseña en el colegio esta definición y que los
cuadrados y rectángulos son paralelogramos, pero no me gusta…
I: ¿Cómo definirías los paralelogramos en cambio?
S: Como cualquier cuadrilátero con lados opuestos paralelos, pero no
todos sus ángulos iguales.
I: ¿Y qué sucede con los rombos entonces?... ¿Dirías que un rombo es
un paralelogramo?
S: Hmm… según mi definición sí… pero no me gusta esto tampoco…
Yo diría, entonces, más bien que un paralelogramo es un
cuadrilátero con lados opuestos paralelos, pero no todos sus
ángulos o lados iguales.
Claramente este estudiante no tiene problemas para sacar
conclusiones correctas a partir de las definiciones ni para crear
clases de inclusión jerárquica, pero prefiere no hacerlo. Más
aun, este estudiante claramente exhibe la habilidad de formular
una definición. Clements & Battista [1992 63] ha reportado
similarmente estudiantes que son capaces de seguir la lógica de
una clasificación jerárquica de cuadrados y rectángulos, pero
tienen dificultades aceptándola. El problema, entonces, pareciera
no ser tanto una falta de comprensión relacional o lógica, sino
una falta de comprensión funcional (i.e. cuál es la función o valor
de la clasificación jerárquica de cuadriláteros).
Clasificaciones particional y jerárquica
Con el término clasificación jerárquica se quiere decir aquí la
clasificación de un conjunto de conceptos de tal manera que los
más particulares forman subconjuntos de los más generales.
Varios ejemplos como la clasificación de los números reales o la
clasificación de varias geometrías desde una perspectiva
transformacional (programa de Erlangen) se pueden entregar,
pero para el propósito de este artículo nos centraremos en la
clasificación de cuadriláteros.
En contraste con la clasificación jerárquica existe también la
posibilidad de una clasificación particional de conceptos. En tal
clasificación, en cambio, los diversos subconjuntos de conceptos
son considerados disjuntos unos de otros. Por ejemplo, en la
Figura 1 se contrasta una clasificación jerárquica de
paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados, con una
clasificación particional. (Se ilustran ambas clasificaciones.) En
la clasificación jerárquica claramente podemos ver que los
rectángulos y rombos son subconjuntos de los paralelogramos,
con los cuadrados como la intersección entre rectángulos y
Figura 1
rombos. En contraste, en la clasificación particional los
cuadrados no son rectángulos ni rombos, ni los rectángulos y
rombos son paralelogramos.
La relación entre clasificar y definir
La clasificación de cualquier conjunto de conceptos no ocurre de
manera independiente del proceso de definir. Por ejemplo, para
clasificar jerárquicamente un paralelogramo como un trapecio se
requiere definir el trapecio como “un cuadrilátero con al menos
un par de lados opuestos paralelos.” Si por otro lado queremos
excluir los paralelogramos de los trapecios necesitamos definir
un trapecio como un “cuadrilátero con sólo un par de lados
opuestos paralelos.”
Más aun, se debería subrayar inequívocamente que una
definición (y clasificación) particional no es matemáticamente
“incorrecta” simplemente por ser particional (dado por supuesto
que contenga suficiente información para asegurar que todos los
casos no deseados sean excluidos). Por ejemplo, la definición
particional de paralelogramo dada anteriormente por el
estudiante (i.e. un cuadrilátero con lados opuestos paralelos,
pero no todos sus ángulos o lados iguales) puede ser poco
convencional, pero definitivamente no es incorrecta. De hecho,
es una definición correcta y económica, dado que contiene sólo
las propiedades necesarias y suficientes. Por supuesto, tan
comúnmente a que los estudiantes provean definiciones
jerárquicas que son correctas pero no económicas (i.e.
conteniendo información superflua) el autor los ha encontrado
también dando definiciones particionales correctas pero no
económicas, como la que sigue:
Un paralelogramo es un cuadrilátero con lados opuestos iguales y
paralelos, ángulos opuestos iguales, diagonales de diferente
longitud, pero no perpendiculares.
(Es quizás necesario indicar que incluso los matemáticos no
siempre adhieren estrictamente a la economía de definiciones y
axiomas. Por ejemplo, en la definición de un grupo sólo es
necesario un inverso por la izquierda, dado que el inverso por la
derecha se desprende del primero, pero normalmente afirmamos
simplemente que existen inversos para todos los elementos. La
razón de esto es simplemente conveniencia, i.e. para evitar
demostraciones adicionales un tanto complicadas. Similarmente,
se acostumbra usar cinco axiomas para el Álgebra de Boole,
aunque de hecho sólo tres axiomas son necesarios.)
Figura 2
A veces una clasificación particional y sus correspondientes
definiciones son útiles y necesarias para distinguir claramente
entre conceptos. Por ejemplo, considérese la clasificación
particional de cuadriláteros cóncavos, convexos y cruzados
mostrada en la Figura 2 con las siguientes posibles definiciones:
Un cuadrilátero es cualquier figura cerrada de cuatro lados
con cuatro vértices en el plano.
Un cuadrilátero cerrado simple es un cuadrilátero con lados
que sólo se intersectan en los vértices.
Un cuadrilátero cruzado es un cuadrilátero con dos lados que
se intersectan en un punto distinto de un vértice.
Un cuadrilátero convexo es un cuadrilátero simple cerrado
con ninguno de sus ángulos cóncavo ii.
Un cuadrilátero cóncavo es un cuadrilátero simple cerrado
con uno de sus ángulos cóncavo.
Similarmente, es útil y necesario particionar los deltoides en
convexos y cóncavos. Además, al clasificar un determinado
cuadrilátero, particionar es una estrategia espontánea y natural.
Por ejemplo, no diríamos normalmente cuando vemos un
determinado cuadrado: ajá! Tenemos aquí un rectángulo. En
cambio reservamos el término “cuadrado” para los cuadrados y
el término “rectángulo” sólo para los rectángulos no-cuadrados
(o generales). Similarmente, no emplearíamos el término
“rombo” sólo cuando se trate de uno no-cuadrado (o general).
Precisamente de la misma forma, Dennis [1978] usó particiones
para un programa computacional que clasifica cuadriláteros (de
acuerdo a coordenadas dadas).
De hecho, particionar es un método generalmente aceptado
en muchas áreas de las matemáticas, pero particularmente en el
estudio de superficies y espacios topológicos donde el problema
fundamental es la subdivisión de estos en diferentes tipos
Figura 3
disjuntos [e.g Patterson, 1956]. Más aun, dado que una
clasificación y sus correspondientes definiciones son arbitrarias y
no absolutas, deberíamos reconocer que la elección entre una
clasificación jerárquica o particional es usualmente un asunto de
opción personal y conveniencia. El autor, por ejemplo, se
encontró recientemente con la siguiente definición particional en
un antiguo texto de geometría de Wenworth [1881:58] el cual
fue ampliamente utilizado en colegios y universidades
norteamericanas durante el siglo pasado: Un rombo es un
paralelogramo que tiene sus lados iguales pero sus ángulos
oblicuos.
El asunto fundamental que se trata más adelante en este
artículo es, por lo tanto: ¿por qué (convencionalmente)
preferimos una clasificación jerárquica de los varios tipos de
cuadriláteros en vez de una clasificación particional? O dicho de
otra manera, ¿qué ventajas tiene una clasificación jerárquica por
sobre una particional?
Clasificaciones descriptiva y constructiva
Análogamente a distinciones similares para los procesos de
axiomatización y definición [e.g. Krygowska, 1971; Human
1978; De Villiers, 1986], es también posible distinguir entre
dos tipos esencialmente diferentes de clasificación, a saber,
clasificación descriptiva (a posteriori) o constructiva (a priori),
cada una de las cuales puede ser jerárquica o particional.
En contraste, por clasificación a priori se quiere decir que
los procesos matemáticos de generalización y especialización son
deliberadamente utilizados para producir nuevos conceptos que
son ubicados inmediatamente en una relación jerárquica o
particional con los otros conceptos preexistentes. Una
generalización ocurre cuando un concepto nuevo B, más general,
se construye a partir de un concepto A eliminando ciertas
propiedades (restricciones) o reemplazando algunas de ellas por
otras más generales. Durante la especialización sin embargo, un
nuevo concepto B, más específico iii, se construye a partir de un
concepto A, requiriendo propiedades (restricciones) adicionales
o reemplazando algunas de ellas por otras más específicas.
Generalización y especialización por supuesto no ocurren
necesariamente sólo de un concepto a otro, sino que también
pueden involucrar dos o más conceptos. Por ejemplo, un nuevo
concepto C puede generalizarse a partir de dos o más
conceptos, seleccionando una o más propiedades comunes
(restricciones) de estos conceptos. Similarmente, un nuevo
concepto C también se puede especializar a partir de dos o más
conceptos exigiendo que se combinen todas las propiedades
(restricciones) de estos conceptos. En general, la función más
importante de una clasificación a priori es claramente el
descubrimiento/creación de nuevos conceptos.
Veamos brevemente algunos ejemplos de clasificaciones a
priori y a posteriori en relación a los cuadriláteros. Una
clasificación a posteriori ocurriría, por ejemplo, si la clasificación
de cuadrados y rectángulos se considerara después de que se
hubieran conocido y sus propiedades examinado a fondo.
Por otro lado, con una clasificación a priori podríamos partir
del concepto más particular, el cuadrado, y generalizar el
rectángulo y el paralelogramo consecutivamente como nuevos
conceptos, como se muestra en la Figura 3. Por ejemplo, el
rectángulo se puede generalizar del cuadrado, eliminando iv el
requerimiento de que todos los lados deban ser iguales, pero
manteniendo la propiedad de ángulos iguales. Similarmente, el
paralelogramo se puede generalizar a partir del rectángulo
eliminando el requerimiento de que todos los ángulos sean
iguales, pero manteniendo la propiedad de lados opuestos
paralelos. De la misma forma, podemos generalizar el
paralelogramo a partir del rombo.
definición jerárquica de un cuadrilátero perpendicular sería
ahora simplemente que es un cuadrilátero con diagonales
perpendiculares. En contraste, una definición particional debería
excluir los deltoides añadiendo que dos pares de lados no
pueden ser iguales.
Figura 4
También podemos especializar los conceptos de cuadrilátero
inscriptible v y deltoide (convexo), para producir un nuevo
concepto, digamos un deltoide recto, exigiendo que sea su
intersección (i.e. cuenta con las propiedades de ambos) (véase
Figura 5). Como antes, se podrían ahora agregar condiciones
adicionales a los cuadriláteros inscriptibles (i.e. dos pares de
lados adyacentes podrían no ser iguales) y deltoides (i.e.
podrían no ser inscriptibles) si se quisiera excluir (particionar)
los deltoides rectos de los cuadriláteros inscriptibles y los
deltoides.
O viceversa, partiendo de un concepto más general, un
paralelogramo, podemos especializar imponiendo más y más
propiedades hasta eventualmente producir un cuadrado. Por
ejemplo, el rombo se puede especializar a partir del
paralelogramo requiriendo la propiedad adicional de lados
iguales. Similarmente, el cuadrado se puede especializar a partir
del rombo, requiriendo la propiedad adicional de ángulos iguales
(en otras palabras, combinando todas las propiedades de
rectángulos y rombos). Es, sin embargo, importante enfatizar
nuevamente que la generalización o especialización no necesitan
ser jerárquicas, pero podrían ser teóricamente particionales
(aunque en la práctica esto puede ser más la excepción que la
regla).
Similarmente podemos generalizar el concepto de deltoide a
un nuevo concepto, digamos por ejemplo un cuadrilátero
perpendicular, eliminando las condiciones de que dos pares de
lados adyacentes sean iguales, pero manteniendo la
perpendicularidad de las diagonales (véase Figura 4). (Nótese
que también podemos tener cuadriláteros perpendiculares,
cóncavos y cruzados. Una interesante propiedad de los
cuadriláteros perpendiculares, es que si conectamos los puntos
medios de lados adyacentes obtenemos un rectángulo. Una
Figura 5
Simplificación de la sistematización deductiva
Algunas funciones importantes de la
clasificación jerárquica
Esto nos trae finalmente al principal foco de este artículo, a
saber ¿cuál es el valor o la función de la clasificación jerárquica?
Algunas de las más importantes funciones son:
•
•
•
•
•
Lleva a definiciones y formulaciones de teoremas más
económicas.
Simplifica la sistematización deductiva y derivación de
propiedades o conceptos más específicos.
Provee a menudo de un útil esquema conceptual para
resolver problemas.
A veces sugiere definiciones alternativas y nuevas
proposiciones.
Provee de una perspectiva global útil.
Cada una de estas se discuten ahora en mayor detalle.
Definiciones y formulación de teoremas
económicas
Al clasificar (definir) un concepto A como un subconjunto (caso
especial) de un concepto B, se hace innecesario repetir cualquier
demostración de propiedades del concepto B para el concepto
A, dado que estas se implican automáticamente por inclusión
jerárquica. Por ejemplo, al clasificar un rombo como un deltoide,
todos los teoremas demostrados previamente para el deltoide
son inmediatamente aplicables para los rombos (y cuadrados).
En otras palabras, es innecesario demostrar, por ejemplo, que
las diagonales de un rombo (y cuadrado) son perpendiculares,
dado que esta es una propiedad que se demuestra fácilmente
para los deltoides.
En contraste, si los rombos (y cuadrados) fueran excluidos
de los deltoides, en rigor, uno debería demostrar nuevamente
que la propiedad antes mencionada también es cierta a partir de
la definición que se haya elegido para los rombos (y cuadrados),
cualquiera esta sea. Además de la economía de definición y
formulación, una clasificación jerárquica resulta por lo tanto
también en un sistema deductivo económico.
La economía de definiciones y de la formulación de teoremas es
probablemente una de las más importantes ventajas de una
clasificación jerárquica. Como hemos visto anteriormente con los
paralelogramos, una definición jerárquica es más corta que una
particional, la cual debe incluir propiedades adicionales para
excluir a los rombos, cuadrados y rectángulos. Para otro
ejemplo, considérese la definición particional de un trapecio
isósceles (véase Figura 6).
Figura 6
Una definición jerárquica que incluye rectángulos (y
cuadrados) como casos especiales sería, por ejemplo, el decir
que es cualquier cuadrilátero con (al menos) un eje de simetría
a través de un par de lados opuestos. (Nótese que entonces es
necesario particionar los trapecios isósceles en convexos y
cruzados.) Una definición particional, por otro lado, que excluya
los rectángulos y cuadrados, debería incluir la condición
adicional de que no puede tener un ángulo recto.
Una clasificación particional también hace frecuentemente
que la formulación de ciertos teoremas sea torpe y engorrosa.
Considérese, por ejemplo, las siguientes dos formulaciones de
resultados bien conocidos, desde una perspectiva particional:
Si los puntos medios E, F, G y H de los lados de un cuadrilátero
cualquiera ABCD se conectan consecutivamente, entonces EFGH es
un paralelogramo, un rectángulo, un rombo o un cuadrado.
El ángulo exterior de un cuadrilátero inscriptible, trapecio isósceles,
deltoide recto, rectángulo o cuadrado es igual al ángulo interior
opuesto.
Figura 7
Un útil esquema conceptual para resolver
problemas
Una inclusión de clases jerárquicas es también utilizada
frecuentemente al resolver problemas; en particular, para
ejercicios de demostración. Por ejemplo, supóngase que se
quiere demostrar que un deltoide con un par de lados opuestos
es un rombo. Usando la perspectiva jerárquica de que los
rombos son la intersección entre deltoides y paralelogramos, es
suficiente entonces demostrar que la figura es un paralelogramo,
dado que cualquier deltoide con ambos pares de lados opuestos
paralelos debe ser un rombo.
Otro ejemplo particularmente ilustrativo involucra el teorema
de Von Aubel en el que se afirma que si se construyen cuadrados
sobre los lados de cualquier cuadrilátero, entonces los
segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos son
iguales y perpendiculares. [Una demostración se entrega en
Yaglom, 1962: 95-96] Un interesante caso especial es aquel en
el que si se construyen cuadrados sobre los lados de un
paralelogramo, entonces los centros de estos también forman un
cuadrado (véase Figura 7). Aunque hay varias formas diferentes
de demostrar este caso especial, una forma elegante que utiliza
la clasificación jerárquica es simplemente mostrando que el
cuadrilátero EFGH es un paralelogramo, dado que el cuadrado
es el único paralelogramo con diagonales iguales y
perpendiculares (esto último se obtiene directamente de Von
Aubel).
Figura 8
Definiciones alternativas y nuevas proposiciones
El considerar una relación jerárquica entre conceptos puede
sugerir a veces definiciones alternativas y nuevas proposiciones.
Si, por ejemplo, el concepto A es la intersección de otros dos
conceptos B y C, entonces debe obviamente contar con todas las
propiedades de ambos. Al considerar ahora varios subconjuntos
del conjunto total de propiedades del concepto A, definiciones
alternativas para este, o nuevas proposiciones, se pueden
sugerir.
Por ejemplo, dado que un trapecio isósceles es inscriptible,
los trapecios isósceles se pueden considerar como la
intersección entre los trapecios y los cuadriláteros inscriptibles.
Esto por lo tanto sugiere inmediatamente que un cuadrilátero
inscriptible con al menos un par de lados opuestos paralelos
sería un trapecio isósceles (véase la figura 8a).
Similarmente, dado que las diagonales de un trapecio
isósceles son iguales, la siguiente definición alternativa (o
proposición) se puede sugerir:
Un trapecio isósceles es un cuadrilátero inscriptible con diagonales
iguales (véase Figura 8b).
La consideración de una clasificación jerárquica puede también a
veces permitir la generalización de ciertos resultados.
Supóngase, por ejemplo, que descubrimos por experimentación
que al conectar los centros de cuadrados construidos sobre los
lados de un triángulo con los vértices opuestos del mismo,
entonces estos tres segmentos concurren (Figura 9a). Dado que
todos los cuadrados son semejantes, y son también casos
especiales de rectángulos, uno podría ahora conjeturar que el
mismo resultado debería mantenerse para rectángulos
semejantes, como se muestra en la figura 9b. (Una demostración
del resultado en el que se basa, y una posterior generalización se
da en De Villiers, [1989].). Similarmente, en la figura 7,
conectando los centros (o los puntos correspondientes) de
figuras semejantes (cualesquiera) sobre los lados de un
paralelogramo, se produciría un paralelogramo.
Una perspectiva global útil
Una clasificación jerárquica provee de una perspectiva global útil
que puede llevar a una perspectiva más cohesiva de las
relaciones subyacentes entre conceptos, y por lo tanto a una
mejor retención. Adicionalmente, es estéticamente placentero e
interesante el observar cómo las varias intersecciones entre
conceptos más generales producen las propiedades de conceptos
más específicos.
Por ejemplo, dado que los rombos son la intersección entre
deltoides y paralelogramos, inmediatamente se obtiene a partir
de la propiedad de las diagonales de los deltoides y
paralelogramos que las diagonales de un rombo se bisecan
perpendicularmente entre si.
Figura 9
Similarmente, dado que los rectángulos son la intersección
entre paralelogramos y trapecios isósceles, se obtiene
inmediatamente que un rectángulo debe tener ángulos opuestos
iguales (propiedad de los paralelogramos) como también
ángulos adyacentes iguales (propiedad de los trapecios
isósceles), de lo que obtenemos la idea familiar de que todos sus
ángulos son iguales. De la misma forma, los rectángulos heredan
las diagonales iguales de los trapecios isósceles, como también
las diagonales bisectrices de los paralelogramos.
Algunos breves comentarios respecto a la
enseñanza de una clasificación jerárquica
de cuadriláteros
Desafortunadamente muchos profesores y autores de textos de
estudio aún mantienen la perspectiva de que sólo la convencional
clasificación jerárquica es matemáticamente aceptable, al mismo
tiempo que una clasificación particional sería ilógica y por lo
tanto inaceptable. Sin embargo, como se indica en este artículo,
una clasificación particional es igualmente aceptable y un método
frecuentemente empleado en las matemáticas. La única razón de
la preferencia convencional por una clasificación jerárquica de
cuadriláteros se sustenta en una mayor funcionalidad, como se
delineó previamente. La mayoría de los textos de estudio y
profesores, sin embargo, ignoran completamente el discutir este
aspecto fundamental, simplemente imponiendo una clasificación
jerárquica y definiciones en los estudiantes, por lo cual ellos
tienen poca o ninguna comprensión funcional.
Mucho estudios sobre la teoría de Van hiele en los últimos
años han mostrado claramente que muchos estudiantes tienen
problemas con la clasificación jerárquica de cuadriláteros [e.g.
Mayvberry, 1981; Ususkin 1982; Burfer & Shaughnessy, 1986;
Fuys, Geddes & Tischler, 1988]. Investigaciones del autor y
varios de sus alumnos [e.g. Malan, 1986; De Villiers & Njisane,
1987; Smith, 1989; De Villiers, 1987, 1990] van más allá
indicando que la dificultad de los niños con la inclusión de clases
jerárquicas (especialmente niños mayores) no reside
necesariamente en la lógica de la inclusión propiamente tal, sino
frecuentemente en el significado de tal actividad, tanto en lo
lingüístico como funcional: lo lingüístico en el sentido de
interpretar correctamente el lenguaje usado para las clases de
inclusión, y lo funcional en el sentido de comprender por qué es
más útil que una clasificación particional.
En el Nivel 1 (Visualización) y Nivel 2 (Exploración) de Van
Hiele, el uso de micromundos computacionales como Logo
Geometry [e.g. véase Battista & Clements, 1992], o software
de geometría dinámica como Cabri o Sketchpad, ofrecen un
gran potencial para habilitar conceptualmente a muchos niños en
visualizar y aceptar la posibilidad de inclusiones jerárquicas (por
ejemplo, permitirles construir un cuadrado con un procedimiento
para rectángulos en Logo, o arrastrar los vértices de un
paralelogramo dinámico en Cabri o Sketchpad para
transformarlo en un rectángulo, rombo o cuadrado).
Para que la clasificación jerárquica de cuadriláteros sea
significativa a estudiantes del Nivel 3 de Van Hiele (Ordenar), es
sin embargo, esencial que se lleve a cabo una apropiada
negociación de significados lingüísticos. De entrevistas
individuales con niños y contextos de clase, el autor ha
encontrado por ejemplo que muchos tienen dificultad con el
significado de la palabra “es” en la afirmación “un cuadrado es
un rectángulo”. Ellos parecieran interpretarlo como si se
quisiera decir que un cuadrado “es equivalente a” o “es lo
mismo que” un rectángulo, y por lo tanto (muy correctamente)
rechazan tal afirmación como ridícula o falsa. Usando el adjetivo
“especial”, por ejemplo: “un cuadrado es un rectángulo
especial” ayudó a muchos estudiantes a darse cuenta de que en
realidad se quería decir que uno es un subconjunto del otro.
Referencias a situaciones análogas cotidianas u otras situaciones
matemáticas donde un objeto puede verse como un subconjunto
especial de otro más grande y que por lo tanto tiene dos
“nombres” diferentes (e.g. “un mamífero es un vertebrado” y
“un caballo es un mamífero y un vertebrado”), también fueron
útiles.
En segundo lugar, es absolutamente vital en el Nivel 3 de
Van Hiele que se lleve a cabo una negociación de significados
funcionales, esto es, deberían darse suficiente oportunidad y
actividades apropiadas para discutir el valor o la función de una
clasificación jerárquica. El autor ha encontrado muy útil, por
ejemplo, el permitir a los estudiantes formular inicialmente sus
propias definiciones y clasificación de cuadrados, rectángulos y
rombos; muchos de ellos espontáneamente prefieren particionar.
Al consistentemente desafiarlos para continuar formulando
definiciones particionales de cuadriláteros más y más generales,
y comparándolas con las alternativas jerárquicas, pronto se
empiezan a dar cuenta y a apreciar la economía de estas últimas.
Simultáneamente insistiendo que demuestren todas las
propiedades de los cuadriláteros particionados, y pidiéndoles
que comparen críticamente sus sistemas de definiciones con un
sistema basado en una clasificación jerárquica, la mayoría de los
estudiantes ven la conveniencia de la inclusión jerárquica y
transitan en esa dirección.
La idea de que a los estudiantes no se les debieran entregar
definiciones y clasificaciones previamente preparadas, sino que
ellos debieran participar activamente en el proceso de definir y
clasificar, y críticamente comparar las alternativas, se apoya
fuertemente en la epistemología constructivista y su teoría del
aprendizaje. En vez de simplemente descartar e ignorar las
particiones que los niños hacen de los cuadriláteros, deberíamos
enfrentarlas con mucha mayor empatía, y reconocer que su
aproximación es un intento racional y significativo de hacer
sentido. Es un tanto alarmante ver a tantos profesores e incluso
investigadores solamente hablando del constructivismo (i.e.
profesando que reconocen la autonomía de los niños en su
aprendizaje y construcción de las matemáticas, pero cuando se
llega a la clasificación de cuadriláteros no aplicarlo en absoluto).
Notas
[1] Este artículo se presentó en la PME 17, Universidad de
Tsukuba, Japón, 18-23 de Julio de 1993. La participación en
esta conferencia fue posible con el patrocinio de la Fundación
para la Investigación y Desarrollo (FRD) del Consejo de
Investigación de Recursos Humanos (HSRC), Pretória,
Sudáfrica. Las opiniones expresadas en este artículo
corresponden al autor y no necesariamente al HSC.
[2] “The role and function of a hierarchical classification of
quadrilaterals”, traducido al español por Rafael Miranda Molina,
para GeometríaDinamica.cl, el 10 de Junio de 2012, previa
autorización del autor. Artículo original recuperado desde
http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/classify.pdf
Referencias
Battista, M.T. & Clements, D.H. [1993] Students'
cognitive construction of squares and rectangles in Logo
Geommetry.
Proceedings of 16th International PME Conference. University
of New Hampshire, 1, 57- 64
Burger, W.F., & Shaughnessy, J.M. [1986] Characterizing the
Van Hiele levels of development in geometry. Journal for
Research
in Mathematics Education, 17(1), 31-48
Malan F.R.P. [1986] Onderrigstrategiee vie die porgang van
partisie denke na hierarglese denke in die klassifikasi van
vierhoeke: enkele gewallestudies (Teaching strategies for the
transition from partition to hierarchical thinking in the
classification of quadrilaterals: some case studies.) Report no.
3, Research Unit for Mathematics Education: University of
Stellenbosch
Mayberry, J.W, [1981] An Investigation of the Van Hiele
levels of geometric thoughts in undergraduate preservice
teachers. Unpublished doctoral dissertation, University of
Georgia, Athens
Byers, V., & Herscovics, N. [1977] Understanding school
mathematics. Mathematics Teaching, 81
Petterson, E.M. [1956] Topology. Edinburgh: Oliver & Boyd
Skemp, R.R. [19761 Relational understanding and instrumental
understanding. Mathematics Teaching 77, 20-26
Dennis, J.R. [1978] Computer classification of triangles
and quadrilaterals - a challenging application. Mathematics
Teacher, 71(5), 452-458
Skemp, R.R. [1979] A quantitative and qualitative comparison
of two Van Hiele testing instruments. A paper presented at the
13th International PME Conference: Paris
De Villiers, M.D. [1986] The role of the axiomatization in
mathematics and mathematics teaching. Research Unit for
Mathematics Education, University of Stellenbosch
Usiskin, Z. [1982] Van Hiele levels and achievement in
secondary school geometry CDASSG-report, University of
Chicago
De Villiers, M.D. [1987] Research evidence on hierarchical
thinking, teaching strategies and the Van Hiele theory: some
critical comments. Report no. 10, Research Unit for
Mathematics Education University of Stellenbosch
Wentworth, G.A. [1881] Elements of plane and solid geometry.
Boston: Ginn & Heath
Yaglom, E.M, [19621 Geometric transformations
Washington: Mathematical Association of America,
1,
De Villiers , M.D. [1989] Meetkunde, verklaring en insig.
(Geometry, explanation and insight). Pythagoras, 21, 33-38
De Villiers, M.D. [1990] Leerlinge se betekenisgewing aan en
beheersing van deduksie en verwante wiskundige werkwyses in
die konteks van meetkunde, (Pupils’ construction of meaning for
and mastery of deduction and associated mathematical processes
within the context of geometry.) Unpublished doctoral
dissertation: University of Stellenbosch.
De Villiers, M.D., & Njisane, R.M.. [1987] The development of
geometric thinking among Black high school pupils in Kwazulu
(Rcpublic of South Africa). Proceedings of the 11th International
PME Conference. Montreal 3, 117-123
Fuys, D., Geddes, D. & Tischler, R. [1988] The van Hiele
model of thinking in geometry among adolescents. Monograph
no. 3.,
Reston: NCTM
Human, P.G. [1978] Wiskundige werkwyses in wiskundeonderwis.
(Mathematical
processes
in
mathematics
education. Unpublished doctoral dissertation: University of
Stellenbosch.
Human, P.G. [1989] Mastery of manipulative algebra,
Pythagoras 19, 3-6
Krygowska A.Z. (1971] Treatment of the axiomatic method in
class. In Servais, W. & Varga, T. Teaching school mathematics.
London. Penguin Unesco, 124-150
Notas del traductor
i
I por “Interviewer” (entrevistador) y S por “Student”
(estudiante).
El autor utiliza el término “reflejo” (reflex), pero se opta por el
término cóncavo, más común en el español.
ii
El autor utiliza el término “especial” (special), pero se opta
por el término “específico”.
iii
El autor utiliza el término “relajar” (relaxing), pero se opta por
“eliminar” en virtud de descripciones previas de los procesos de
generalización y especialización.
iv
El autor utiliza el término “cíclico” (cyclic), pero se opta por el
término “inscriptible”, más común en español. v