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Rol y función de una clasificación jerárquica de cuadriláteros [1] [2] MICHAEL DE VILLIERS Introducción Una bien conocida y útil distinción entre los diferentes tipos de comprensión en matemáticas, es la de distinguir entre lo instrumental, relacional y lógico [e.g Skemp, 1976; 1977, Byers & Herscovics, 1977]. Mientras la “comprensión” instrumental (el autor prefiere el término “competencia”), se refiere a la habilidad de un individuo de manipular contenido matemático correcta y eficientemente (e.g. usando algoritmos, reglas y definiciones), las comprensiones relacional y lógica se refieren respectivamente a comprender las relaciones conceptuales entre contenidos y la lógica subyacente en las que estas relaciones se basan. Una deficiencia seria en este modelo, es que no se considera una comprensión funcional, en otras palabras, comprender el rol, función o valor de un determinado contenido matemático o un proceso en particular [compárese Human, 1989]. Una extensiva experiencia con niños en contextos de clase y entrevistas, pareciera indicar que muchos de los problemas con contenidos matemáticos y procesos, muchas veces no provienen tanto de una pobre competencia instrumental o una inadecuada comprensión relacional o lógica, sino de una pobre comprensión de la utilidad o función del mismo. Debería notarse que esta funcionalidad no se reduce sólo a aplicaciones en el mundo real, sino que también incluye los valores relativos o funciones de los contenidos y procesos dentro de las matemáticas. En gran medida, pareciera que la ausencia, presencia, o el nivel de comprensión funcional de un individuo determina su motivación para estudiar y aprender matemáticas. Sin una comprensión funcional, las matemáticas simplemente se degeneran a un tema inútil, sin sentido y arbitrario, desmotivando al aprendiz de intentar aprenderlas y explorarlas. El desarrollo adecuado de la comprensión funcional es por lo tanto un importante criterio para evaluar cualquier enfoque de la enseñanza. En este artículo se distinguirán diferentes tipos de clasificación, como también se realizará un análisis teórico del rol y función de una clasificación jerárquica en las matemáticas. Finalmente, se entregarán breves comentarios con respecto a la enseñanza de la clasificación jerárquica de los cuadriláteros. Interludio El siguiente extracto es un ejemplo bastante típico de varias entrevistas y experiencias con niños de los estándares 7 al 10 (Grados 9 a 12) en los últimos años [véase De Villiers, 1987, 1990]: I: i Si definimos un paralelogramo como cualquier cuadrilátero con lados opuestos paralelos, ¿podemos decir que un rectángulo es un paralelogramo? S: Sí…. porque un rectángulo también tiene lados opuestos paralelos… Pero no me gusta esta definición de paralelogramo… Sé que se nos enseña en el colegio esta definición y que los cuadrados y rectángulos son paralelogramos, pero no me gusta… I: ¿Cómo definirías los paralelogramos en cambio? S: Como cualquier cuadrilátero con lados opuestos paralelos, pero no todos sus ángulos iguales. I: ¿Y qué sucede con los rombos entonces?... ¿Dirías que un rombo es un paralelogramo? S: Hmm… según mi definición sí… pero no me gusta esto tampoco… Yo diría, entonces, más bien que un paralelogramo es un cuadrilátero con lados opuestos paralelos, pero no todos sus ángulos o lados iguales. Claramente este estudiante no tiene problemas para sacar conclusiones correctas a partir de las definiciones ni para crear clases de inclusión jerárquica, pero prefiere no hacerlo. Más aun, este estudiante claramente exhibe la habilidad de formular una definición. Clements & Battista [1992 63] ha reportado similarmente estudiantes que son capaces de seguir la lógica de una clasificación jerárquica de cuadrados y rectángulos, pero tienen dificultades aceptándola. El problema, entonces, pareciera no ser tanto una falta de comprensión relacional o lógica, sino una falta de comprensión funcional (i.e. cuál es la función o valor de la clasificación jerárquica de cuadriláteros). Clasificaciones particional y jerárquica Con el término clasificación jerárquica se quiere decir aquí la clasificación de un conjunto de conceptos de tal manera que los más particulares forman subconjuntos de los más generales. Varios ejemplos como la clasificación de los números reales o la clasificación de varias geometrías desde una perspectiva transformacional (programa de Erlangen) se pueden entregar, pero para el propósito de este artículo nos centraremos en la clasificación de cuadriláteros. En contraste con la clasificación jerárquica existe también la posibilidad de una clasificación particional de conceptos. En tal clasificación, en cambio, los diversos subconjuntos de conceptos son considerados disjuntos unos de otros. Por ejemplo, en la Figura 1 se contrasta una clasificación jerárquica de paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados, con una clasificación particional. (Se ilustran ambas clasificaciones.) En la clasificación jerárquica claramente podemos ver que los rectángulos y rombos son subconjuntos de los paralelogramos, con los cuadrados como la intersección entre rectángulos y Figura 1 rombos. En contraste, en la clasificación particional los cuadrados no son rectángulos ni rombos, ni los rectángulos y rombos son paralelogramos. La relación entre clasificar y definir La clasificación de cualquier conjunto de conceptos no ocurre de manera independiente del proceso de definir. Por ejemplo, para clasificar jerárquicamente un paralelogramo como un trapecio se requiere definir el trapecio como “un cuadrilátero con al menos un par de lados opuestos paralelos.” Si por otro lado queremos excluir los paralelogramos de los trapecios necesitamos definir un trapecio como un “cuadrilátero con sólo un par de lados opuestos paralelos.” Más aun, se debería subrayar inequívocamente que una definición (y clasificación) particional no es matemáticamente “incorrecta” simplemente por ser particional (dado por supuesto que contenga suficiente información para asegurar que todos los casos no deseados sean excluidos). Por ejemplo, la definición particional de paralelogramo dada anteriormente por el estudiante (i.e. un cuadrilátero con lados opuestos paralelos, pero no todos sus ángulos o lados iguales) puede ser poco convencional, pero definitivamente no es incorrecta. De hecho, es una definición correcta y económica, dado que contiene sólo las propiedades necesarias y suficientes. Por supuesto, tan comúnmente a que los estudiantes provean definiciones jerárquicas que son correctas pero no económicas (i.e. conteniendo información superflua) el autor los ha encontrado también dando definiciones particionales correctas pero no económicas, como la que sigue: Un paralelogramo es un cuadrilátero con lados opuestos iguales y paralelos, ángulos opuestos iguales, diagonales de diferente longitud, pero no perpendiculares. (Es quizás necesario indicar que incluso los matemáticos no siempre adhieren estrictamente a la economía de definiciones y axiomas. Por ejemplo, en la definición de un grupo sólo es necesario un inverso por la izquierda, dado que el inverso por la derecha se desprende del primero, pero normalmente afirmamos simplemente que existen inversos para todos los elementos. La razón de esto es simplemente conveniencia, i.e. para evitar demostraciones adicionales un tanto complicadas. Similarmente, se acostumbra usar cinco axiomas para el Álgebra de Boole, aunque de hecho sólo tres axiomas son necesarios.) Figura 2 A veces una clasificación particional y sus correspondientes definiciones son útiles y necesarias para distinguir claramente entre conceptos. Por ejemplo, considérese la clasificación particional de cuadriláteros cóncavos, convexos y cruzados mostrada en la Figura 2 con las siguientes posibles definiciones: Un cuadrilátero es cualquier figura cerrada de cuatro lados con cuatro vértices en el plano. Un cuadrilátero cerrado simple es un cuadrilátero con lados que sólo se intersectan en los vértices. Un cuadrilátero cruzado es un cuadrilátero con dos lados que se intersectan en un punto distinto de un vértice. Un cuadrilátero convexo es un cuadrilátero simple cerrado con ninguno de sus ángulos cóncavo ii. Un cuadrilátero cóncavo es un cuadrilátero simple cerrado con uno de sus ángulos cóncavo. Similarmente, es útil y necesario particionar los deltoides en convexos y cóncavos. Además, al clasificar un determinado cuadrilátero, particionar es una estrategia espontánea y natural. Por ejemplo, no diríamos normalmente cuando vemos un determinado cuadrado: ajá! Tenemos aquí un rectángulo. En cambio reservamos el término “cuadrado” para los cuadrados y el término “rectángulo” sólo para los rectángulos no-cuadrados (o generales). Similarmente, no emplearíamos el término “rombo” sólo cuando se trate de uno no-cuadrado (o general). Precisamente de la misma forma, Dennis [1978] usó particiones para un programa computacional que clasifica cuadriláteros (de acuerdo a coordenadas dadas). De hecho, particionar es un método generalmente aceptado en muchas áreas de las matemáticas, pero particularmente en el estudio de superficies y espacios topológicos donde el problema fundamental es la subdivisión de estos en diferentes tipos Figura 3 disjuntos [e.g Patterson, 1956]. Más aun, dado que una clasificación y sus correspondientes definiciones son arbitrarias y no absolutas, deberíamos reconocer que la elección entre una clasificación jerárquica o particional es usualmente un asunto de opción personal y conveniencia. El autor, por ejemplo, se encontró recientemente con la siguiente definición particional en un antiguo texto de geometría de Wenworth [1881:58] el cual fue ampliamente utilizado en colegios y universidades norteamericanas durante el siglo pasado: Un rombo es un paralelogramo que tiene sus lados iguales pero sus ángulos oblicuos. El asunto fundamental que se trata más adelante en este artículo es, por lo tanto: ¿por qué (convencionalmente) preferimos una clasificación jerárquica de los varios tipos de cuadriláteros en vez de una clasificación particional? O dicho de otra manera, ¿qué ventajas tiene una clasificación jerárquica por sobre una particional? Clasificaciones descriptiva y constructiva Análogamente a distinciones similares para los procesos de axiomatización y definición [e.g. Krygowska, 1971; Human 1978; De Villiers, 1986], es también posible distinguir entre dos tipos esencialmente diferentes de clasificación, a saber, clasificación descriptiva (a posteriori) o constructiva (a priori), cada una de las cuales puede ser jerárquica o particional. En contraste, por clasificación a priori se quiere decir que los procesos matemáticos de generalización y especialización son deliberadamente utilizados para producir nuevos conceptos que son ubicados inmediatamente en una relación jerárquica o particional con los otros conceptos preexistentes. Una generalización ocurre cuando un concepto nuevo B, más general, se construye a partir de un concepto A eliminando ciertas propiedades (restricciones) o reemplazando algunas de ellas por otras más generales. Durante la especialización sin embargo, un nuevo concepto B, más específico iii, se construye a partir de un concepto A, requiriendo propiedades (restricciones) adicionales o reemplazando algunas de ellas por otras más específicas. Generalización y especialización por supuesto no ocurren necesariamente sólo de un concepto a otro, sino que también pueden involucrar dos o más conceptos. Por ejemplo, un nuevo concepto C puede generalizarse a partir de dos o más conceptos, seleccionando una o más propiedades comunes (restricciones) de estos conceptos. Similarmente, un nuevo concepto C también se puede especializar a partir de dos o más conceptos exigiendo que se combinen todas las propiedades (restricciones) de estos conceptos. En general, la función más importante de una clasificación a priori es claramente el descubrimiento/creación de nuevos conceptos. Veamos brevemente algunos ejemplos de clasificaciones a priori y a posteriori en relación a los cuadriláteros. Una clasificación a posteriori ocurriría, por ejemplo, si la clasificación de cuadrados y rectángulos se considerara después de que se hubieran conocido y sus propiedades examinado a fondo. Por otro lado, con una clasificación a priori podríamos partir del concepto más particular, el cuadrado, y generalizar el rectángulo y el paralelogramo consecutivamente como nuevos conceptos, como se muestra en la Figura 3. Por ejemplo, el rectángulo se puede generalizar del cuadrado, eliminando iv el requerimiento de que todos los lados deban ser iguales, pero manteniendo la propiedad de ángulos iguales. Similarmente, el paralelogramo se puede generalizar a partir del rectángulo eliminando el requerimiento de que todos los ángulos sean iguales, pero manteniendo la propiedad de lados opuestos paralelos. De la misma forma, podemos generalizar el paralelogramo a partir del rombo. definición jerárquica de un cuadrilátero perpendicular sería ahora simplemente que es un cuadrilátero con diagonales perpendiculares. En contraste, una definición particional debería excluir los deltoides añadiendo que dos pares de lados no pueden ser iguales. Figura 4 También podemos especializar los conceptos de cuadrilátero inscriptible v y deltoide (convexo), para producir un nuevo concepto, digamos un deltoide recto, exigiendo que sea su intersección (i.e. cuenta con las propiedades de ambos) (véase Figura 5). Como antes, se podrían ahora agregar condiciones adicionales a los cuadriláteros inscriptibles (i.e. dos pares de lados adyacentes podrían no ser iguales) y deltoides (i.e. podrían no ser inscriptibles) si se quisiera excluir (particionar) los deltoides rectos de los cuadriláteros inscriptibles y los deltoides. O viceversa, partiendo de un concepto más general, un paralelogramo, podemos especializar imponiendo más y más propiedades hasta eventualmente producir un cuadrado. Por ejemplo, el rombo se puede especializar a partir del paralelogramo requiriendo la propiedad adicional de lados iguales. Similarmente, el cuadrado se puede especializar a partir del rombo, requiriendo la propiedad adicional de ángulos iguales (en otras palabras, combinando todas las propiedades de rectángulos y rombos). Es, sin embargo, importante enfatizar nuevamente que la generalización o especialización no necesitan ser jerárquicas, pero podrían ser teóricamente particionales (aunque en la práctica esto puede ser más la excepción que la regla). Similarmente podemos generalizar el concepto de deltoide a un nuevo concepto, digamos por ejemplo un cuadrilátero perpendicular, eliminando las condiciones de que dos pares de lados adyacentes sean iguales, pero manteniendo la perpendicularidad de las diagonales (véase Figura 4). (Nótese que también podemos tener cuadriláteros perpendiculares, cóncavos y cruzados. Una interesante propiedad de los cuadriláteros perpendiculares, es que si conectamos los puntos medios de lados adyacentes obtenemos un rectángulo. Una Figura 5 Simplificación de la sistematización deductiva Algunas funciones importantes de la clasificación jerárquica Esto nos trae finalmente al principal foco de este artículo, a saber ¿cuál es el valor o la función de la clasificación jerárquica? Algunas de las más importantes funciones son: • • • • • Lleva a definiciones y formulaciones de teoremas más económicas. Simplifica la sistematización deductiva y derivación de propiedades o conceptos más específicos. Provee a menudo de un útil esquema conceptual para resolver problemas. A veces sugiere definiciones alternativas y nuevas proposiciones. Provee de una perspectiva global útil. Cada una de estas se discuten ahora en mayor detalle. Definiciones y formulación de teoremas económicas Al clasificar (definir) un concepto A como un subconjunto (caso especial) de un concepto B, se hace innecesario repetir cualquier demostración de propiedades del concepto B para el concepto A, dado que estas se implican automáticamente por inclusión jerárquica. Por ejemplo, al clasificar un rombo como un deltoide, todos los teoremas demostrados previamente para el deltoide son inmediatamente aplicables para los rombos (y cuadrados). En otras palabras, es innecesario demostrar, por ejemplo, que las diagonales de un rombo (y cuadrado) son perpendiculares, dado que esta es una propiedad que se demuestra fácilmente para los deltoides. En contraste, si los rombos (y cuadrados) fueran excluidos de los deltoides, en rigor, uno debería demostrar nuevamente que la propiedad antes mencionada también es cierta a partir de la definición que se haya elegido para los rombos (y cuadrados), cualquiera esta sea. Además de la economía de definición y formulación, una clasificación jerárquica resulta por lo tanto también en un sistema deductivo económico. La economía de definiciones y de la formulación de teoremas es probablemente una de las más importantes ventajas de una clasificación jerárquica. Como hemos visto anteriormente con los paralelogramos, una definición jerárquica es más corta que una particional, la cual debe incluir propiedades adicionales para excluir a los rombos, cuadrados y rectángulos. Para otro ejemplo, considérese la definición particional de un trapecio isósceles (véase Figura 6). Figura 6 Una definición jerárquica que incluye rectángulos (y cuadrados) como casos especiales sería, por ejemplo, el decir que es cualquier cuadrilátero con (al menos) un eje de simetría a través de un par de lados opuestos. (Nótese que entonces es necesario particionar los trapecios isósceles en convexos y cruzados.) Una definición particional, por otro lado, que excluya los rectángulos y cuadrados, debería incluir la condición adicional de que no puede tener un ángulo recto. Una clasificación particional también hace frecuentemente que la formulación de ciertos teoremas sea torpe y engorrosa. Considérese, por ejemplo, las siguientes dos formulaciones de resultados bien conocidos, desde una perspectiva particional: Si los puntos medios E, F, G y H de los lados de un cuadrilátero cualquiera ABCD se conectan consecutivamente, entonces EFGH es un paralelogramo, un rectángulo, un rombo o un cuadrado. El ángulo exterior de un cuadrilátero inscriptible, trapecio isósceles, deltoide recto, rectángulo o cuadrado es igual al ángulo interior opuesto. Figura 7 Un útil esquema conceptual para resolver problemas Una inclusión de clases jerárquicas es también utilizada frecuentemente al resolver problemas; en particular, para ejercicios de demostración. Por ejemplo, supóngase que se quiere demostrar que un deltoide con un par de lados opuestos es un rombo. Usando la perspectiva jerárquica de que los rombos son la intersección entre deltoides y paralelogramos, es suficiente entonces demostrar que la figura es un paralelogramo, dado que cualquier deltoide con ambos pares de lados opuestos paralelos debe ser un rombo. Otro ejemplo particularmente ilustrativo involucra el teorema de Von Aubel en el que se afirma que si se construyen cuadrados sobre los lados de cualquier cuadrilátero, entonces los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos son iguales y perpendiculares. [Una demostración se entrega en Yaglom, 1962: 95-96] Un interesante caso especial es aquel en el que si se construyen cuadrados sobre los lados de un paralelogramo, entonces los centros de estos también forman un cuadrado (véase Figura 7). Aunque hay varias formas diferentes de demostrar este caso especial, una forma elegante que utiliza la clasificación jerárquica es simplemente mostrando que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo, dado que el cuadrado es el único paralelogramo con diagonales iguales y perpendiculares (esto último se obtiene directamente de Von Aubel). Figura 8 Definiciones alternativas y nuevas proposiciones El considerar una relación jerárquica entre conceptos puede sugerir a veces definiciones alternativas y nuevas proposiciones. Si, por ejemplo, el concepto A es la intersección de otros dos conceptos B y C, entonces debe obviamente contar con todas las propiedades de ambos. Al considerar ahora varios subconjuntos del conjunto total de propiedades del concepto A, definiciones alternativas para este, o nuevas proposiciones, se pueden sugerir. Por ejemplo, dado que un trapecio isósceles es inscriptible, los trapecios isósceles se pueden considerar como la intersección entre los trapecios y los cuadriláteros inscriptibles. Esto por lo tanto sugiere inmediatamente que un cuadrilátero inscriptible con al menos un par de lados opuestos paralelos sería un trapecio isósceles (véase la figura 8a). Similarmente, dado que las diagonales de un trapecio isósceles son iguales, la siguiente definición alternativa (o proposición) se puede sugerir: Un trapecio isósceles es un cuadrilátero inscriptible con diagonales iguales (véase Figura 8b). La consideración de una clasificación jerárquica puede también a veces permitir la generalización de ciertos resultados. Supóngase, por ejemplo, que descubrimos por experimentación que al conectar los centros de cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo con los vértices opuestos del mismo, entonces estos tres segmentos concurren (Figura 9a). Dado que todos los cuadrados son semejantes, y son también casos especiales de rectángulos, uno podría ahora conjeturar que el mismo resultado debería mantenerse para rectángulos semejantes, como se muestra en la figura 9b. (Una demostración del resultado en el que se basa, y una posterior generalización se da en De Villiers, [1989].). Similarmente, en la figura 7, conectando los centros (o los puntos correspondientes) de figuras semejantes (cualesquiera) sobre los lados de un paralelogramo, se produciría un paralelogramo. Una perspectiva global útil Una clasificación jerárquica provee de una perspectiva global útil que puede llevar a una perspectiva más cohesiva de las relaciones subyacentes entre conceptos, y por lo tanto a una mejor retención. Adicionalmente, es estéticamente placentero e interesante el observar cómo las varias intersecciones entre conceptos más generales producen las propiedades de conceptos más específicos. Por ejemplo, dado que los rombos son la intersección entre deltoides y paralelogramos, inmediatamente se obtiene a partir de la propiedad de las diagonales de los deltoides y paralelogramos que las diagonales de un rombo se bisecan perpendicularmente entre si. Figura 9 Similarmente, dado que los rectángulos son la intersección entre paralelogramos y trapecios isósceles, se obtiene inmediatamente que un rectángulo debe tener ángulos opuestos iguales (propiedad de los paralelogramos) como también ángulos adyacentes iguales (propiedad de los trapecios isósceles), de lo que obtenemos la idea familiar de que todos sus ángulos son iguales. De la misma forma, los rectángulos heredan las diagonales iguales de los trapecios isósceles, como también las diagonales bisectrices de los paralelogramos. Algunos breves comentarios respecto a la enseñanza de una clasificación jerárquica de cuadriláteros Desafortunadamente muchos profesores y autores de textos de estudio aún mantienen la perspectiva de que sólo la convencional clasificación jerárquica es matemáticamente aceptable, al mismo tiempo que una clasificación particional sería ilógica y por lo tanto inaceptable. Sin embargo, como se indica en este artículo, una clasificación particional es igualmente aceptable y un método frecuentemente empleado en las matemáticas. La única razón de la preferencia convencional por una clasificación jerárquica de cuadriláteros se sustenta en una mayor funcionalidad, como se delineó previamente. La mayoría de los textos de estudio y profesores, sin embargo, ignoran completamente el discutir este aspecto fundamental, simplemente imponiendo una clasificación jerárquica y definiciones en los estudiantes, por lo cual ellos tienen poca o ninguna comprensión funcional. Mucho estudios sobre la teoría de Van hiele en los últimos años han mostrado claramente que muchos estudiantes tienen problemas con la clasificación jerárquica de cuadriláteros [e.g. Mayvberry, 1981; Ususkin 1982; Burfer & Shaughnessy, 1986; Fuys, Geddes & Tischler, 1988]. Investigaciones del autor y varios de sus alumnos [e.g. Malan, 1986; De Villiers & Njisane, 1987; Smith, 1989; De Villiers, 1987, 1990] van más allá indicando que la dificultad de los niños con la inclusión de clases jerárquicas (especialmente niños mayores) no reside necesariamente en la lógica de la inclusión propiamente tal, sino frecuentemente en el significado de tal actividad, tanto en lo lingüístico como funcional: lo lingüístico en el sentido de interpretar correctamente el lenguaje usado para las clases de inclusión, y lo funcional en el sentido de comprender por qué es más útil que una clasificación particional. En el Nivel 1 (Visualización) y Nivel 2 (Exploración) de Van Hiele, el uso de micromundos computacionales como Logo Geometry [e.g. véase Battista & Clements, 1992], o software de geometría dinámica como Cabri o Sketchpad, ofrecen un gran potencial para habilitar conceptualmente a muchos niños en visualizar y aceptar la posibilidad de inclusiones jerárquicas (por ejemplo, permitirles construir un cuadrado con un procedimiento para rectángulos en Logo, o arrastrar los vértices de un paralelogramo dinámico en Cabri o Sketchpad para transformarlo en un rectángulo, rombo o cuadrado). Para que la clasificación jerárquica de cuadriláteros sea significativa a estudiantes del Nivel 3 de Van Hiele (Ordenar), es sin embargo, esencial que se lleve a cabo una apropiada negociación de significados lingüísticos. De entrevistas individuales con niños y contextos de clase, el autor ha encontrado por ejemplo que muchos tienen dificultad con el significado de la palabra “es” en la afirmación “un cuadrado es un rectángulo”. Ellos parecieran interpretarlo como si se quisiera decir que un cuadrado “es equivalente a” o “es lo mismo que” un rectángulo, y por lo tanto (muy correctamente) rechazan tal afirmación como ridícula o falsa. Usando el adjetivo “especial”, por ejemplo: “un cuadrado es un rectángulo especial” ayudó a muchos estudiantes a darse cuenta de que en realidad se quería decir que uno es un subconjunto del otro. Referencias a situaciones análogas cotidianas u otras situaciones matemáticas donde un objeto puede verse como un subconjunto especial de otro más grande y que por lo tanto tiene dos “nombres” diferentes (e.g. “un mamífero es un vertebrado” y “un caballo es un mamífero y un vertebrado”), también fueron útiles. En segundo lugar, es absolutamente vital en el Nivel 3 de Van Hiele que se lleve a cabo una negociación de significados funcionales, esto es, deberían darse suficiente oportunidad y actividades apropiadas para discutir el valor o la función de una clasificación jerárquica. El autor ha encontrado muy útil, por ejemplo, el permitir a los estudiantes formular inicialmente sus propias definiciones y clasificación de cuadrados, rectángulos y rombos; muchos de ellos espontáneamente prefieren particionar. Al consistentemente desafiarlos para continuar formulando definiciones particionales de cuadriláteros más y más generales, y comparándolas con las alternativas jerárquicas, pronto se empiezan a dar cuenta y a apreciar la economía de estas últimas. Simultáneamente insistiendo que demuestren todas las propiedades de los cuadriláteros particionados, y pidiéndoles que comparen críticamente sus sistemas de definiciones con un sistema basado en una clasificación jerárquica, la mayoría de los estudiantes ven la conveniencia de la inclusión jerárquica y transitan en esa dirección. La idea de que a los estudiantes no se les debieran entregar definiciones y clasificaciones previamente preparadas, sino que ellos debieran participar activamente en el proceso de definir y clasificar, y críticamente comparar las alternativas, se apoya fuertemente en la epistemología constructivista y su teoría del aprendizaje. En vez de simplemente descartar e ignorar las particiones que los niños hacen de los cuadriláteros, deberíamos enfrentarlas con mucha mayor empatía, y reconocer que su aproximación es un intento racional y significativo de hacer sentido. Es un tanto alarmante ver a tantos profesores e incluso investigadores solamente hablando del constructivismo (i.e. profesando que reconocen la autonomía de los niños en su aprendizaje y construcción de las matemáticas, pero cuando se llega a la clasificación de cuadriláteros no aplicarlo en absoluto). Notas [1] Este artículo se presentó en la PME 17, Universidad de Tsukuba, Japón, 18-23 de Julio de 1993. La participación en esta conferencia fue posible con el patrocinio de la Fundación para la Investigación y Desarrollo (FRD) del Consejo de Investigación de Recursos Humanos (HSRC), Pretória, Sudáfrica. Las opiniones expresadas en este artículo corresponden al autor y no necesariamente al HSC. [2] “The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals”, traducido al español por Rafael Miranda Molina, para GeometríaDinamica.cl, el 10 de Junio de 2012, previa autorización del autor. Artículo original recuperado desde http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/classify.pdf Referencias Battista, M.T. & Clements, D.H. [1993] Students' cognitive construction of squares and rectangles in Logo Geommetry. Proceedings of 16th International PME Conference. University of New Hampshire, 1, 57- 64 Burger, W.F., & Shaughnessy, J.M. [1986] Characterizing the Van Hiele levels of development in geometry. Journal for Research in Mathematics Education, 17(1), 31-48 Malan F.R.P. [1986] Onderrigstrategiee vie die porgang van partisie denke na hierarglese denke in die klassifikasi van vierhoeke: enkele gewallestudies (Teaching strategies for the transition from partition to hierarchical thinking in the classification of quadrilaterals: some case studies.) Report no. 3, Research Unit for Mathematics Education: University of Stellenbosch Mayberry, J.W, [1981] An Investigation of the Van Hiele levels of geometric thoughts in undergraduate preservice teachers. 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El autor utiliza el término “reflejo” (reflex), pero se opta por el término cóncavo, más común en el español. ii El autor utiliza el término “especial” (special), pero se opta por el término “específico”. iii El autor utiliza el término “relajar” (relaxing), pero se opta por “eliminar” en virtud de descripciones previas de los procesos de generalización y especialización. iv El autor utiliza el término “cíclico” (cyclic), pero se opta por el término “inscriptible”, más común en español. v