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Capítulo 16.
Derivadas Trigonométricas
CAPÍTULO 16 DERIVADAS TRIGONOMETRICAS
La Trigonometría es la ciencia que estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo y aplica dichas
relaciones a obtener los elementos desconocidos de dicho triángulo.
En la antigüedad antes del año 100 a. C. los griegos inventaron la trigonometría para resolver problemas de astronomía,
navegación y geografía. La palabra Trigonometría viene del griego y significa ”medida de triángulo”.
Funciones Trigonométricas
Las diferentes razones entre los lados de un triangulo rectángulo constituyen las funciones trigonométricas y se definen como
sigue:
P
o
q
M
MP seno del ángulo POM, puede escribirse como seno del ángulo q igual a cateto opuesto sobre hipotenusa

OP
sen q = co
hip
OM coseno del ángulo POM, puede escribirse como seno del ángulo q igual a cateto adyacente sobre hipotenusa cos q = ca

OP
hip
MP tangente del ángulo POM, puede escribirse como tangente del ángulo q igual a cateto opuesto sobre cateto adyacente tan q = co

OM
ca
OM cotangente del ángulo POM, puede escribirse como cotangente del ángulo q igual a cateto adyacente sobre cateto opuesto cot q = ca

MP
co
OP secante del ángulo POM, puede escribirse como secante del ángulo q igual a hipotenusa sobre cateto adyacente sec q = hip

OM
ca
OP cosecante del ángulo POM, puede escribirse como cosecante del ángulo q igual a hipotenusa sobre cateto opuesto cosec q = hip

MP
co
Ahora veamos algunas aplicaciones. Una torre de 135 pies de altura esta situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la
torre, el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago es de 36.30 ¿Cuál es la anchura del lago?
36.6
Apliquemos la tangente : tan36.3 = co = 135 , despejando x, tenemos
0
ca
x= 135 =178.7pies
tan 36.6
119
x
Capítulo 16.
Derivadas Trigonométricas
100 m
Ejercicio: ¿A que distancia de la costa se encuentra el bote?
5
500 m
Ejercicio: Desde un globo estacionario de aire caliente, situado a 500 pies sobre el suelo, se tienen dos observaciones de un
lago. ¿Cuál es la longitud del lago?
Resp839.1pies
500pies
25
o
65
o
Ejercicio: Utilice la información de la figura para la altura de la montaña.
y
25
o
42
o
x
1 Km
Ejercicio: Utilice la información de la figura y calcule la extensión x de la isla.
43
Altura
2850 m
o
52o
120
Capítulo 16.
Derivadas Trigonométricas
RADIANES. El radian es el ángulo que intercepta un arco igual al radio en longitud.
A
Ángulo A= un Radian
Radio
Tenemos la siguiente fórmula que relaciona los radianes y los grados
Ángulo A en radianes Ángulo A en grados

2
360
Por ejemplo transformar 30o a radianes
Tenemos 30o =  30o (
2radianes 2radianes radianes 
)


12
6
6
360o
Transforma: 12 o, 18 o, 120 o, 90 o, 330 o, 710 o a radianes
De ahora en adelante trabajaremos con radianes.
Derivadas de las funciones trigonométricas
La derivada de la función y=senx
Primer paso: valor final
y f  f ( x  x)  sen( x  x)
Segundo paso: incremento de la función y  y f  yi  f ( x  x)  f ( x)  sen( x  x)  sen( x)
Apliquemos la identidad trigonométrica senA  senB  2 cos A  B sen A  B
2
2
Tenemos sen( x  x)  senx  2 cos x  x  x sen x  x  x
2
2
2
x


x

x
x 
x

Es decir sen( x  x)  senx  2 cos
sen
 2 cos x 
 sen
2
2
2
2


x 
x

x
2 cos x 
 sen
sen
y

y

x
2
2




2
Tercer paso: cociente:
, tenemos :

 2 cos x 

x
x
x
2  x

x
sen

y

x


2
Cuarto paso: Aplicar el límite Lim
 2 Lim cos x 
 Lim
x 0 x
x 0
2  x0 x

Como y=cosx es una función continua tenemos Lim cos x  x   cos Lim x  x    cos x
 x0
x 0
2 
2  



x
sen
x
2 hacemos la sustitución
 z , entonces x  2z , y tenemos, z  0 si x  0
Para hallar Lim
x  0
2
x
x
sen
2  Lim senz  1 Lim senz  1  1  1
Lim
x  0
z 0 2 z
x
2 z 0 z
2
2
Así tenemos la derivada:
dsenx
y
1
 Lim
 2 cos x  cos x
x 0 x
dx
2
En general tenemos:
dsenu
du
 cosu
dx
dx
121
Capítulo 16.
Derivadas Trigonométricas
La derivada de la función y=cosx
Para esto podemos tomar cosx=sen(
Así

-x)
2
d cos x dsen( / 2  x)
d ( / 2  x)

 cos( / 2  x)
 cos( / 2  x)(1)   senx
dx
dx
dx
Pues tenemos:
d ( / 2  x)
 1 , cos( / 2  x)  senx
dx
d cos x
Así:
  senx
dx
En general tenemos:
d cosu
du
  senu
dx
dx
Ejercicio: calcula la derivada de y 
senx
, utiliza la derivada del cociente
cos x
DERIVADAS TRIGONOMETRICAS
Continuando con la reglas para derivar funciones trigonométricas directas, en la siguiente tabla se muestran.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
d senu
du
 cosu *
dx
dx
d cos u 
du
  senu
dx
dx
d tan u 
du
 sec2 u
dx
dx
d cot u 
du
  csc2 u *
dx
dx
d sec u 
du
 sec u * tan u *
dx
dx
d csc u 
du
  csc u * cot u *
dx
dx
Ejemplos de derivadas trigonométricas :
1) Obtenga la derivada de la función: y
 7sen6x
Aplicamos las fórmulas :
dcf
df
c
dx
dx
dsen u
du
 cos u
dx
dx
122
Capítulo 16.
Solución:
Derivadas Trigonométricas
dy
dsen6x
d6x
7
 7 cos 6x
 7 cos 6x(6)  42 cos 6x
dx
dx
dx
2) Obtenga la derivada de la función: y
 8sen2x  5 cos 3x
Aplicamos las fórmulas :
Solución:
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
d( f  g ) d f d g


dx
dx dx
dcf
df
c
dx
dx
dsen u
du
 cos u
dx
dx
d cos u
du
 sen u
dx
dx
dsen2 x
d cos 3x
5
dx
dx
d2x
d 3x
 7 cos 2 x
 5(sen3x)
dx
dx
8
 7 cos 2 x(2)  5(sen3x)(3)
 14 cos 2 x  15sen3x
3) Hallar la derivada de la función: y
 cos 10x 4  7
dy d cos 10x 4 d7


dx
dx
dx
dy
d10x 4
  sen10x 4
0
Solución:
dx
dx
 dx 4 
dy
  sen10x 4 40x 3
  sen10x 4  10

dx
dx


dy
 40x 3 sen10x 4
dx

Aplicamos las fórmulas :
d ( f  g) d f d g


dx
dx
dx
d cos u
du
  sen u
dx
dx
dC
0
dx
dv n
dv
 nv n 1
dx
dx

4) Hallar la derivada de la función: y  3sen(x 2  8x  5)
dy d 3sen(x 2  8x  5)
d(x 2  8x  5)

 3 cos(x 2  8x  5)
dx
dx
dx
Solución: dy
2
 3 cos(9x  8x  5)2 x  8
dx
dy
 6x  4  cos(9x 2  8x  5)
dx
Ejercicio
Obtenga la derivada de la función:
a)
y  11sen3x
b) y=9sen(4x-1)
c) y=sen x2
d) y=10sen6x3
123
Capítulo 16.
Derivadas Trigonométricas
e) y=23cos16x
f) y=9cos(4x-1)
x
2
h) y  3sen( )
g) y=sen18x + 4sen17x + 9cos12x
i) y  8sen(
k)
7x
2x
)  5 cos( )
4
5
j) y
 7sen(x  1)  6 cos(1  4x)
y  15 cos 3x 4  cos(8x  5)  2sen7 x  9
l) y=3sec2x + 5sec7x -11sec2x
n) y=tan8x4
m) y= 9 sec(8x-1) –tan(3x+1)- tan(x-4)
ñ) w=3tan4z6+ 6tan3z2 +4 tan7x5
p)v=csc(4x-8)
o) y= cot3x-cot7x-9cotx
q) v=csc(1-z)+7csc(1-5z)
124
Capítulo 16.
Derivadas Trigonométricas
r) y=xsen2x
s) y=3x cos11x
t) y= 5x3sen7x
u) s=2x tan(3-4x)
v) y 
senx
x
a) y= xsen(3x) - 3x +5
c) y= xtan(3x)
w) y 
senx
cos x
b) y= 4xcos(8w -1)
2
d) y= 9x tan(2x)
125
Capítulo 16.
Derivadas Trigonométricas
Otros ejemplos de derivadas trigonométricas:
1) Obtenga la derivada de la función: y  sen2 7 x
dy
dsen7 x
d7 x
 2(sen7 x) 2  1
 2(sen7 x) 1 cos 7 x
dx
dx
dx
dy
 2(sen7 x) 1 cos 7 x(7 )  14sen7 x cos 7 x
dx
Solución:
Aplicamos las fórmulas :
d vn
dv
 n v n 1
dx
dx
dsen u
du
 cos u
dx
dx
2) Obtenga la derivada de la función: y  tan4 8x
dy
dTan8x
d 8x
 4(Tan8x) 4  1
 4(Tan8x) 3 sec2 8x
dx
dx
dx
dy
 32Tan 3 8x sec2 8x
dx
Solución:
Aplicamos las fórmulas :
d vn
dv
 n v n 1
dx
dx
dTan u
du
2
 sec u
dx
dx
3) Obtenga la derivada de la función: y  3 sec5x  12
1
1
 1 d(3 sec 5x  12)

dy 1
1
 (3 sec 5x  12) 2
 (3 sec 5x  12) 2 15 sec 5x tan 5x 
dx 2
dx
2
dy 15 sec 5x tan 5x

dx 2 3 sec 5x  12
Solución:
Ejercicio
Obtenga las siguientes derivadas:
2
a) y=(3cosx - 5)
b) T(x) =12(4-sen7x)
d)
3
y=8sec (2x-9)
2
+5
4
c) y=5tan 9x
e) y=(1+cos2x)5
126
Capítulo 16.
f)
y  sen3x  2
Derivadas Trigonométricas
g)
y  sen417u  Tan312u
Ejemplo: veamos un ejemplo en donde se utilice la fórmula del cociente.
Derivar: y  senx  1
cos x  2
u
v
Tenemos en su forma más simple, la fórmula de la derivada de un cociente es: ( )´
(
senx  1
( senx  1)(cos x  2)´(cos x  2)(senx  1)´
)´
cos x  2
(cos x  2) 2

( senx  1)( senx)  (cos x  2)(cos x)
(cos x  2) 2

 sen2 x  senx  cos2 x  2 cos x
(cos x  2) 2
 ( sen2 x  cos2 x)  senx  2 cos x
, como sen2 x  cos2 x  1, tenemos :
2
(cos x  2)
 1  senx  2 cos x
y' 
(cos x  2) 2
Ejercicio

Obtenga las siguientes derivadas:
a) y  cos5 x
sen5 x
c) y  2  sec 4 x
tan x
b) y  1  senx
cos x
d) y  2  tan 2 x
127
uv´vu´
v2
Capítulo 16.
Derivadas Trigonométricas
Ejercicio
1.- El pistón. Un brazo de 10cm que conecta un pistón con una biela de 4cm de radio, la cual gira en sentido
contrario a las manecillas del reloj a un ritmo de 200 revoluciones por minuto. Hallar la velocidad del pistón
cuando q  450 , q  600 , q  700, q  00
q
Aplica la ley de cosenos para el triangulo
4
q
1
0
2.-La patrulla. Un coche de patrulla esta estacionada a 15m de un muro y su reflector gira a 30 revoluciones
por minuto. ¿A qué velocidad en m/s se desplaza la luz sobre el muro cuando el rayo forma los siguientes
ángulos? q  300 , q  450 , q  600 , q  700
15
q
x
128
Capítulo 16.
Derivadas Trigonométricas
Máximos y Mínimos
1. La altura de un proyectil lanzado con una velocidad inicial constante v0 y de un ángulo de elevación q0 está
dada por y =(tan q0) x - (g / 2v20 cos2 q0)x2 , en donde x es su desplazamiento. Demuestre que la altura
máxima alcanzada por el proyectil es : h= (v20/2g)sen2q0.
2. La temperatura media diaria (en grados Fahrenheit) de una ciudad viene dada por
 2 (t  32)  Donde t se mide en días, con t=1 siendo el 1 de enero. Hallar la fecha esperada del
T  45  23cos

 365 
día a)más caluroso, b)más frío
3. La iluminación E en cualquier punto P sobre el borde de una mesa circular, proporcionada por una lámpara
colocada directamente arriba de su centro está dada por
E= (I cos q ) /r2 .Dado que el radio de la mesa sea 1m e Y=100 , encuentre la altura a la que debe
colocarse la luz para que E sea máxima.
129
Capítulo 16.
Derivadas Trigonométricas
4. La base de un cuadro sobre la pared esta a pies por encima del ojo de un observador. El lado vertical del
cuadro mide b pies. A qué distancia de la pared ha de colocarse el observador para maximizar el ángulo
visual que ese cuadro subtiende.
5. Se desea fabricar un recipiente de forma que su sección transversal sea un trapecio isósceles con las
dimensiones indicadas en la figura. Determine el valor de q de manera que el volumen sea máximo.
lg
pu
10
q
10 pulg
130