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Lógica - CM0260
Introducción
Andrés Sicard Ramírez
Universidad EAFIT
Semestre 2015-2
Información inicial
Coordinador del curso de Lógica
Manuel Sierra Aristizábal
Jefe Departamento de Ciencias Matemáticas
Myladis Rocío Cogollo Flórez
Página web del curso
http://www1.eafit.edu.co/asr/courses/logic-CM0260/
Evaluación, bibliografía y horarios de atención
Ver la página web del curso.
Lógica - CM0260. Introducción
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Información inicial
Prerrequistios
El curso está diseñado para estudiantes que no tienen una formación en
Lógica.
Pacto pedagógico
Lógica - CM0260. Introducción
3/15
¿Qué es la Lógica?
1
2
Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, pág. 1.
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 15.
Lógica - CM0260. Introducción
4/15
¿Qué es la Lógica?
“One of the popular definitions of logic is that is the analysis of methods
of reasoning.”1
1
2
Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, pág. 1.
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 15.
Lógica - CM0260. Introducción
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¿Qué es la Lógica?
“One of the popular definitions of logic is that is the analysis of methods
of reasoning.”1
“El estudio de la Lógica, entonces, es el estudio de los métodos y
principios usados para distinguir entre los argumentos correctos (buenos) y
los argumentos incorrectos (malos).”2
1
2
Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, pág. 1.
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 15.
Lógica - CM0260. Introducción
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Lógica en las Ciencias de la Computación
Pronóstico
“It is reasonable to hope that the
relationship between computation
and mathematical logic will be as
fruitful in the next century as that
between analysis and physics in the
last.”3
John McCarthy4
(Sept. 4, 1927 – Oct. 24, 2011)
3
McCarthy, John (1963). A Basis for a Mathematical Theory of Computation,
pág. 69.
4
Photo courtesy of John McCarthy.
Lógica - CM0260. Introducción
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Lógica en las Ciencias de la Computación
Relaciones
The octopus of logic for computer science.5
(ver figura en la siguiente diapositiva)
5
Buss, Samuel, Alexander Kechris, Anand Pillay y Robert Shore (2001). The
Prospects for Mathematical Logic in Twenty-First Century, pág. 176.
Lógica - CM0260. Introducción
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Weak proof systems
Resolution
Logic programming
Constraint logic
programming
Theorem provers
Equational logics
Term rewriting
Behavioral logics
Nonmonotonic logics
AI
Model checking
Strong proof systems
Polymorphism
Object-oriented
languages
Abstract datatypes
ë-calculi
Combinatory logics
Functional programming
Category theory
Realizability
Real computation
Real closed fields
Geometry
Complexity of
real computation
Hybrid systems
Computer algebra
systems
Logic for
Computer
Science
Language design
Programming languages
Denotational semantics
Query languages
Grammars/parsing
Verification
Automata theory
Program correctness
Natural language
Hardware verification
processing
Fault-tolerance
Lógica - CM0260. Introducción
Proof-carrying code
Other logics
Database languages
Least fixed points
Modal logics
Dynamic logics
Theories of knowledge
Resource-aware logics
Linear logic
Complexity theory
Reducibility
Oracles
Feasible complexity
P vs. NP
Circuit complexity
Parallel complexity
Finite model theory
Diagonalization
Natural Proofs
Proof complexity
Craig interpolation
Learning theory
Bounded arithmetic
Probabilistic computation
Randomized
computation
Probabilistic proofs
Interactive proofs
PCP, Holographic proofs
Quantum computing
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Lógica en las Matemáticas
Lógica matemática6
“Mathematical logic is a subfield of mathematics exploring the applications
of formal logic to mathematics.”
6
Wikipedia: Mathematical logic. (2015-07-23).
Lógica - CM0260. Introducción
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Lógica en las Matemáticas
Lógica matemática6
“Mathematical logic is a subfield of mathematics exploring the applications
of formal logic to mathematics.”
“It bears close connections to metamathematics, the foundations of mathematics, and theoretical computer science.”
6
Wikipedia: Mathematical logic. (2015-07-23).
Lógica - CM0260. Introducción
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Lógica en las Matemáticas
Lógica matemática6
“Mathematical logic is a subfield of mathematics exploring the applications
of formal logic to mathematics.”
“It bears close connections to metamathematics, the foundations of mathematics, and theoretical computer science.”
“The unifying themes in mathematical logic include the study of the expressive power of formal systems and the deductive power of formal proof
systems.”
6
Wikipedia: Mathematical logic. (2015-07-23).
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Lógica en las Matemáticas
Áreas
03-XX Mathematical logic and foundations7
03Axx Philosophical aspects of logic and foundations
03Bxx General logic
03Cxx Model theory
03Dxx Computability and recursion theory
03Exx Set theory
03Fxx Proof theory and constructive mathematics
03Gxx Algebraic logic
03Hxx Nonstandard models
7
Mathematics Subject Classification (MSC2010) de la AMS (American Mathematical
Society).
Lógica - CM0260. Introducción
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Programa del curso
1
Semántica en la lógica proposicional
2
Inferencia en la lógica proposicional
3
Lógica de predicados monádicos
4
Lógica de las relaciones
5
Operaciones entre conjuntos
Lógica - CM0260. Introducción
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Referencias
Buss, Samuel y col. (2001). The Prospects for Mathematical Logic in
Twenty-First Century. The Bulletin of Symbolic Logic 7.2, págs. 169-196.
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.
McCarthy, John (1963). A Basis for a Mathematical Theory of Computation. En:
Computer Programming and Formal Systems. Ed. por P. Braffort
y D. Hirshberg. North-Holland, págs. 33-70.
Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic. 4.a ed. Chapman
& Hall.
Lógica - CM0260. Introducción
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Lógica - CM0260
Lógica proposicional: Semántica
Andrés Sicard Ramírez
Universidad EAFIT
Semestre 2015-2
Definiciones iniciales
Definición (Proposición o enunciado)
Una oración verdadera o falsa (diferente a las preguntas, órdenes y exclamaciones).
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Definiciones iniciales
Definición (Proposición o enunciado)
Una oración verdadera o falsa (diferente a las preguntas, órdenes y exclamaciones).
Definición (Argumento)
Conjunto finito de proposiciones de las cuales se afirma que hay una, denominada la conclusión, que se sigue de las demás, denominadas las premisas,
considerando éstas como fundamento de la verdad de la conclusión.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Definiciones iniciales
Definición (Argumento deductivo)
Un argumento donde las premisas proveen un
fundamento absolutamente concluyente para la
verdad de su conclusión.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
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Definiciones iniciales
Definición (Argumento deductivo)
Un argumento donde las premisas proveen un
fundamento absolutamente concluyente para la
verdad de su conclusión.
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Verdad y validez
Una proposición puede ser falsa o verdadera. Un argumento puede ser válido
o inválido.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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El problema central de la Lógica
El lógico responde a la pregunta: ¿Se sigue la conclusión de las premisas
que se han supuesto? Si afirmar la verdad de las premisas constituye una
verdadera garantía para afirmar la verdad de la conclusión entonces el
argumento es válido, de lo contrario es inválido. La distinción entre un
argumento válido y uno inválido es el problema central con el que trata la
lógica.1
1
Adaptado de Sierra A., Manuel (2010). Argumentación deductiva con diagramas y
árboles de forzamiento.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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la verdad o falsedad de sus premisas y de su conclusión, indicada por el condicional asociado al argumento. Los
2 argumentos pueden mostrar diferentes combinaciones de verdad y
falsedad de las premisas y conclusiones.
Verdad y validez
Argumentos válidos
Conclusión verdadera
[1] [Todos los números naturales son
números enteros], [2] [todos los númePremisas ros enteros son números racionales].
verdaderas Por lo tanto, [3] [todos los números
naturales son números racionales].
Premisas
falsas
[1] [Todos los presidentes son depredadores], [2] [todos los depredadores
son humanos]. Por lo que, [3] [Todos
los presidentes son humanos].
Conclusión falsa
Imposible
[1] [Algunos caballos vuelan], [2]
[todo el que vuela es un gran empresario]. Luego, [3] [algunos caballos
son grandes empresarios].
Se observa que la verdad o falsedad de la conclusión de un argumento no determina por
sí misma la validez o invalidez del argumento. Y el hecho de que un argumento sea válido
no garantiza la verdad de su conclusión.
Un punto de importancia fundamental: sí un argumento es válido y su conclusión es
falsa, no todas sus premisas pueden ser verdaderas. Y también: Si un argumento es válido
y sus premisas son verdaderas, con toda certeza la conclusión debe ser también verdadera.
Determinar la verdad o falsedad de las premisas es tarea de la ciencia en general,
2
Sierra A.,
Manuel (2010). Argumentación deductiva con diagramas y árboles de
puesto que las premisas pueden referirse a cualquier tema. Algunos argumentos perfectaforzamiento,
pág. 66.
mente válidos
tienen conclusiones falsas, pero tal género de argumentos debe al menos teLógica - CM0260.
Lógica proposicional:
Semántica
ner alguna
premisa falsa.
Cuando un argumento es válido y todas sus premisas son verdade-
7/160
y validez
3
Verdad2.5yVerdad
validez
Argumentos inválidos
Conclusión verdadera
Conclusión falsa
[1] [Cuando el sol agote su combustiPremisas ble entonces no irradiará calor]. [2] [el
verdaderas sol no agotó su combustible]. Por lo
tanto, [3] [el sol irradia calor].
[1] [Cuando el sol agote su combustible entonces no irradiará calor], [2] [el
sol irradia calor]. Por lo tanto, [3] [él
sol agotó su combustible].
[1] [Todos los presidentes son deprePremisas dadores], [2] [todos los depredadores
falsas
son humanos]. Por lo que, [3] [algunos
depredadores no son presidentes].
[1] [Todos los presidentes son depredadores], [2] [todos los depredadores
son humanos]. Por lo que, [3] [algunos presidentes no son humanos].
65
3
Sierra A., Manuel (2010). Argumentación deductiva con diagramas y árboles de
forzamiento, pág. 65.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación simbólica
Motivación
Lenguaje natural vs lenguaje simbólico artificial
4
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 23.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación simbólica
Motivación
Lenguaje natural vs lenguaje simbólico artificial
Definición (Enunciado simple)
“Un enunciado simple es uno que no contiene ningún otro enunciado como
parte componente...”4
Definición (Enunciado compuesto)
“...todo enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente.”4
4
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 23.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación simbólica
Motivación
Lenguaje natural vs lenguaje simbólico artificial
Definición (Enunciado simple)
“Un enunciado simple es uno que no contiene ningún otro enunciado como
parte componente...”4
Definición (Enunciado compuesto)
“...todo enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente.”4
Definición (Enunciado veritativo-funcional)
Su valor de verdad depende completamente del valor de verdad de sus enunciados componentes.
4
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 23.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación simbólica
Lógica bivalente
Cada enunciado simple toma exactamente uno de dos valores de verdad:
verdadero o falso.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación simbólica
Lógica bivalente
Cada enunciado simple toma exactamente uno de dos valores de verdad:
verdadero o falso.
Representación de enunciados simples
Los enunciados simples se representan por letras mayúsculas.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación simbólica
Lógica bivalente
Cada enunciado simple toma exactamente uno de dos valores de verdad:
verdadero o falso.
Representación de enunciados simples
Los enunciados simples se representan por letras mayúsculas.
Ejemplo
𝐻: Haskell es un lenguaje de programación
𝑃 : 2 es un número irracional
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Conjunción
Ejemplo
Enunciado compuesto: Las rosas son rojas y las violetas son azules.
𝑅: Las rosas son rojas
𝑉 : Las violetas son azules
El enunciado compuesto es representado por 𝑅 ∧ 𝑉 .
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Conjunción
Ejemplo
Enunciado compuesto: Las rosas son rojas y las violetas son azules.
𝑅: Las rosas son rojas
𝑉 : Las violetas son azules
El enunciado compuesto es representado por 𝑅 ∧ 𝑉 .
Notación: Copi [1998], Hurley [2012] y LogicCoach 11 usan el símbolo ‘·’
en lugar del símbolo ‘∧’.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Conjunción
Variables proposicionales
Las letras 𝑝, 𝑞, 𝑟, … representan variables proposicionales.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Conjunción
Variables proposicionales
Las letras 𝑝, 𝑞, 𝑟, … representan variables proposicionales.
Las conectivas lógicas son veritativo-funcionales
T: Verdadero
F: Falso
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Conjunción
Variables proposicionales
Las letras 𝑝, 𝑞, 𝑟, … representan variables proposicionales.
Las conectivas lógicas son veritativo-funcionales
T: Verdadero
F: Falso
Tabla de verdad para la conjunción
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝∧𝑞
T
F
F
F
La proposición 𝑝 ∧ 𝑞 es verdadera cuando tanto 𝑝
como 𝑞 son verdaderas y falsa en cualquier otro
caso.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Negación
Ejemplo
Enunciado compuesto: Hoy no es Viernes.
𝑉 : Hoy es Viernes
El enunciado compuesto es representado por ∼𝑉 .
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Negación
Ejemplo
Enunciado compuesto: Hoy no es Viernes.
𝑉 : Hoy es Viernes
El enunciado compuesto es representado por ∼𝑉 .
Tabla de verdad para la negación
𝑝
T
F
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
∼𝑝
F
T
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Conectivas lógicas: Disyunción inclusiva
Ejemplo
Enunciado compuesto: Prolog es un lenguaje de programación o Emacs es
un editor.
𝑃 : Prolog es un lenguaje de programación
𝐸: Emacs es un editor
El enunciado compuesto es representado por 𝑃 ∨ 𝐸.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Disyunción inclusiva
Tabla de verdad para la disyunción inclusiva
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝∨𝑞
T
T
T
F
La proposición 𝑝 ∨ 𝑞 es falsa cuando tanto 𝑝 como 𝑞
son falsas y verdadera en cualquier otro caso.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Condicional
(Implicación material)
Ejemplo
Enunciado compuesto: Si hoy hace sol entonces iremos a la playa.
𝑆: Hoy hace sol
𝑃 : Iremos a la playa
El enunciado compuesto es representado por 𝑆 ⊃ 𝑃 .
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Condicional
Ejemplo
Enunciado compuesto: Si hoy es Viernes entonces 2+3=5.
𝑉 : Hoy es Viernes
𝐴: 2+3 = 5
El enunciado compuesto es representado por 𝑉 ⊃ 𝐴.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Condicional
Tabla de verdad para el condicional
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝⊃𝑞
T
F
T
T
La proposición 𝑝 ⊃ 𝑞 es falsa cuando 𝑝 es verdadera
y 𝑞 es falsa y verdadera en cualquier otro caso. Las
proposiciones 𝑝 y 𝑞 son llamadas el antecedente y el
consecuente, respectivamente.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Bicondicional
(Equivalencia material)
Ejemplo
Enunciado compuesto: Él será presidente si y sólo si él gana las elecciones
presidenciales
𝑃 : Él será presidente
𝐺: Él gana las elecciones presidenciales
El enunciado compuesto es representado por 𝑃 ≡ 𝐺.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Bicondicional
Ejemplo
Enunciado compuesto: La Luna es un planeta si y sólo si 2+3=6.
𝐿: La Luna es un planeta
𝐴: 2+3 = 6
El enunciado compuesto es representado por 𝐿 ≡ 𝐴.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Bicondicional
Tabla de verdad para el bicondicional
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝≡𝑞
T
F
F
T
La proposición 𝑝 ≡ 𝑞 es verdadera cuando 𝑝 y 𝑞
tienen los mismos valores de verdad y falsa en los
otros casos.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Disyunción exclusiva
Ejemplo
Enunciado compuesto: El menú incluye té o café.
𝑇 : El menú incluye té
𝐶: El menú incluye café
El enunciado compuesto es representado por (𝑇 ∨ 𝐶) ∧ ∼(𝑇 ∧ 𝐶).
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Disyunción exclusiva
Ejemplo
Enunciado compuesto: El menú incluye té o café.
𝑇 : El menú incluye té
𝐶: El menú incluye café
El enunciado compuesto es representado por (𝑇 ∨ 𝐶) ∧ ∼(𝑇 ∧ 𝐶).
La proposición (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∼(𝑝 ∧ 𝑞) es verdadera cuando exactamente una de
las proposiciones 𝑝 y 𝑞 es verdadera y es falsa en cualquier otro caso.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Conectivas lógicas: Disyunción exclusiva
Ejemplo
Las Naciones Unidas se fortalecerán o habrá una tercera guerra mundial.
¿Qué clase de disyunción emplea el enunciado anterior?
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Puntuación
Usaremos paréntesis para eliminar la ambigüedad en las expresiones
lógicas.
Ejemplo
𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 es ambiguo y 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) es diferente a (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Puntuación
Usaremos paréntesis para eliminar la ambigüedad en las expresiones
lógicas.
Ejemplo
𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 es ambiguo y 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) es diferente a (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟.
Convención
La negación se aplicará a la componente más pequeña permitida por la
puntuación.
Ejemplo
∼𝑝 ∨ 𝑞 significa (∼𝑝) ∨ 𝑞.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Tablas de verdad de enunciados compuestos
Ejemplos
∼(𝑝 ∧ ∼𝑞) (condicional)
(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∼(𝑝 ∧ 𝑞) (disyunción exclusiva)
∼(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞) (teorema de De Morgan)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Tablas de verdad de enunciados compuestos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 29)
Si 𝐴 y 𝐵 son enunciados verdaderos y 𝑋 y 𝑌 son enunciados falsos,
determine si el siguiente enunciado compuesto es verdadero o falso.
[𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌 )] ∨ [(𝐴 ∧ 𝑋) ∨ (𝐴 ∧ 𝑌 )]
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Tablas de verdad de enunciados compuestos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 29)
Si 𝐴 y 𝐵 son enunciados verdaderos y 𝑋 y 𝑌 son enunciados falsos,
determine si el siguiente enunciado compuesto es verdadero o falso.
[𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌 )] ∨ [(𝐴 ∧ 𝑋) ∨ (𝐴 ∧ 𝑌 )]
𝐴 𝑋 𝑌
T F F
𝑋 ∨ 𝑌 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌 )
1er disyunto:
F
F
𝐴 ∧ 𝑋 𝐴 ∧ 𝑌 (𝐴 ∧ 𝑋) ∨ (𝐴 ∧ 𝑌 )
2do disyunto:
F
F
F
[𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌 )] ∨ [(𝐴 ∧ 𝑋) ∨ (𝐴 ∧ 𝑌 )]
El enunciado:
F
Proposiciones:
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación de enunciados
Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’,
‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación de enunciados
Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’,
‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción.
Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
39/160
Representación de enunciados
Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’,
‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción.
Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’
Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto
cuando se emplee ‘pero no ambas’).
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
40/160
Representación de enunciados
Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’,
‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción.
Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’
Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto
cuando se emplee ‘pero no ambas’).
Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
41/160
Representación de enunciados
Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’,
‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción.
Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’
Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto
cuando se emplee ‘pero no ambas’).
Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’
Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
42/160
Representación de enunciados
Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’,
‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción.
Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’
Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto
cuando se emplee ‘pero no ambas’).
Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’
Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵
Ni Alicia ni Beatriz serán elegidas: ∼(𝐴 ∨ 𝐵) o ∼𝐴 ∧ ∼𝐵
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación de enunciados
Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’,
‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción.
Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’
Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto
cuando se emplee ‘pero no ambas’).
Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’
Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵
Ni Alicia ni Beatriz serán elegidas: ∼(𝐴 ∨ 𝐵) o ∼𝐴 ∧ ∼𝐵
‘Ambos’, ‘no’:
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación de enunciados
Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’,
‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción.
Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’
Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto
cuando se emplee ‘pero no ambas’).
Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’
Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵
Ni Alicia ni Beatriz serán elegidas: ∼(𝐴 ∨ 𝐵) o ∼𝐴 ∧ ∼𝐵
‘Ambos’, ‘no’:
Alicia y Beatriz no serán ambas elegidas: ∼(𝐴 ∧ 𝐵)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación de enunciados
Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’,
‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción.
Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’
Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto
cuando se emplee ‘pero no ambas’).
Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’
Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵
Ni Alicia ni Beatriz serán elegidas: ∼(𝐴 ∨ 𝐵) o ∼𝐴 ∧ ∼𝐵
‘Ambos’, ‘no’:
Alicia y Beatriz no serán ambas elegidas: ∼(𝐴 ∧ 𝐵)
Alicia y Beatriz ambas no serán elegidas: ∼𝐴 ∧ ∼𝐵
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
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Representación de enunciados
Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’,
‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción.
Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’
Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto
cuando se emplee ‘pero no ambas’).
Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’
Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵
Ni Alicia ni Beatriz serán elegidas: ∼(𝐴 ∨ 𝐵) o ∼𝐴 ∧ ∼𝐵
‘Ambos’, ‘no’:
Alicia y Beatriz no serán ambas elegidas: ∼(𝐴 ∧ 𝐵)
Alicia y Beatriz ambas no serán elegidas: ∼𝐴 ∧ ∼𝐵
‘A menos que’ puede usarse para expresar la disyunción de dos
enunciados.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
47/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 30)
Dados los siguientes enunciados simples:
𝐴: Atlanta gana el campeonato de su división
𝐵: Baltimore gana el campeonato de su división
𝐶: Chicago gana el Supertazón
𝐷: Dallas gana el Supertazón
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Atlanta gana el campeonato de su división y o Baltimore gana el
campeonato de su división o Dallas no gana el Supertazón.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
48/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 30)
Dados los siguientes enunciados simples:
𝐴: Atlanta gana el campeonato de su división
𝐵: Baltimore gana el campeonato de su división
𝐶: Chicago gana el Supertazón
𝐷: Dallas gana el Supertazón
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Atlanta gana el campeonato de su división y o Baltimore gana el
campeonato de su división o Dallas no gana el Supertazón.
Representación: 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ ∼𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
49/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 30)
Dados los siguientes enunciados simples:
𝐴: Atlanta gana el campeonato de su división
𝐵: Baltimore gana el campeonato de su división
𝐶: Chicago gana el Supertazón
𝐷: Dallas gana el Supertazón
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Atlanta gana el campeonato de su división y o Baltimore gana el
campeonato de su división o Dallas no gana el Supertazón.
Representación: 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ ∼𝐷)
Observación: Un error común en la representación de “Dallas no gana el
Supertazón” es el siguente:
𝐷: Dallas no gana el Supertazón
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
50/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 30)
Dados los siguientes enunciados simples:
𝐴: Atlanta gana el campeonato de su división
𝐵: Baltimore gana el campeonato de su división
𝐶: Chicago gana el Supertazón
𝐷: Dallas gana el Supertazón
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
O Atlanta o Baltimore ganará el campeonato de su división, pero ni
Chicago ni Dallas ganarán el Supertazón.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
51/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 30)
Dados los siguientes enunciados simples:
𝐴: Atlanta gana el campeonato de su división
𝐵: Baltimore gana el campeonato de su división
𝐶: Chicago gana el Supertazón
𝐷: Dallas gana el Supertazón
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
O Atlanta o Baltimore ganará el campeonato de su división, pero ni
Chicago ni Dallas ganarán el Supertazón.
Representación: (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
52/160
Representación de enunciados
Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede
representar por:
si 𝑝, 𝑞
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
53/160
Representación de enunciados
Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede
representar por:
si 𝑝, 𝑞
𝑞 si 𝑝
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
54/160
Representación de enunciados
Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede
representar por:
si 𝑝, 𝑞
𝑞 si 𝑝
𝑝 sólo si 𝑞
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
55/160
Representación de enunciados
Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede
representar por:
si 𝑝, 𝑞
𝑞 si 𝑝
𝑝 sólo si 𝑞
𝑝 es una condición suficiente para 𝑞
𝑞 es una condición necesaria para 𝑝
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
56/160
Representación de enunciados
Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede
representar por:
si 𝑝, 𝑞
𝑞 si 𝑝
𝑝 sólo si 𝑞
𝑝 es una condición suficiente para 𝑞
𝑞 es una condición necesaria para 𝑝
Bicondicional: 𝑝 si y sólo si 𝑞 expresa
i) 𝑝 si 𝑞, y
ii) 𝑝 sólo si 𝑞.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
57/160
Representación de enunciados
Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede
representar por:
si 𝑝, 𝑞
𝑞 si 𝑝
𝑝 sólo si 𝑞
𝑝 es una condición suficiente para 𝑞
𝑞 es una condición necesaria para 𝑝
Bicondicional: 𝑝 si y sólo si 𝑞 expresa
i) 𝑝 si 𝑞, y
ii) 𝑝 sólo si 𝑞.
Es decir, 𝑝 ≡ 𝑞 puede expresarse como (𝑝
⊃ 𝑞) ∧ (𝑞
⊃ 𝑝).
⏟
⏟
𝑖𝑖)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝑖)
58/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Amherst gana su primer juego si o Colgate gana su primer juego o
Dartmouth gana su primer juego.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
59/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Amherst gana su primer juego si o Colgate gana su primer juego o
Dartmouth gana su primer juego.
Representación: (𝐶 ∨ 𝐷) ⊃ 𝐴
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
60/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Si Amherst no gana su primer juego, entonces no es el caso que o Colgate
o Dartmouth gana su primer juego.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
61/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Si Amherst no gana su primer juego, entonces no es el caso que o Colgate
o Dartmouth gana su primer juego.
Representación: ∼𝐴 ⊃ ∼(𝐶 ∨ 𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
62/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Si no es el caso que ambos Amherst y Colgate ganan su primer juego
entonces ambos Colgate y Dartmouth ganan su primer juego.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
63/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Si no es el caso que ambos Amherst y Colgate ganan su primer juego
entonces ambos Colgate y Dartmouth ganan su primer juego.
Representación: ∼(𝐴 ∧ 𝐶) ⊃ (𝐶 ∧ 𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
64/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Si Amherst gana su primer juego, entonces no es verdad que ambos
Colgate y Dartmouth ganan su primer juego.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
65/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Si Amherst gana su primer juego, entonces no es verdad que ambos
Colgate y Dartmouth ganan su primer juego.
Representación: 𝐴 ⊃ ∼(𝐶 ∧ 𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
66/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Si Amherst no gana su primer juego entonces ambos Colgate y Dartmouth
no ganan su primer juego.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
67/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Si Amherst no gana su primer juego entonces ambos Colgate y Dartmouth
no ganan su primer juego.
Representación: ∼𝐴 ⊃ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
68/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
O Amherst gana su primer juego y Colgate no gana su primer juego o si
Colgate gana su primer juego, entonces Dartmouth no gana su primer
juego.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
69/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
O Amherst gana su primer juego y Colgate no gana su primer juego o si
Colgate gana su primer juego, entonces Dartmouth no gana su primer
juego.
Representación: (𝐴 ∧ ∼𝐶) ∨ (𝐶 ⊃ ∼𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
70/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10*, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Si Amherst gana su primer juego, entonces Colgate no gana su primer
juego, pero si Colgate no gana su primer juego, entonces Dartmouth gana
su primer juego.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
71/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10*, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Si Amherst gana su primer juego, entonces Colgate no gana su primer
juego, pero si Colgate no gana su primer juego, entonces Dartmouth gana
su primer juego.
Representación: (𝐴 ⊃ ∼𝐶) ∧ (∼𝐶 ⊃ 𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
72/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.12, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
O Amherst y Colgate ganan su primer juego o no es el caso que si Colgate
gana su primer juego, entonces Darmouth gana su primer juego.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
73/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.12, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
O Amherst y Colgate ganan su primer juego o no es el caso que si Colgate
gana su primer juego, entonces Darmouth gana su primer juego.
Representación: (𝐴 ∧ 𝐶) ∨ ∼(𝐶 ⊃ 𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
74/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.13, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Amherst gana su primer juego sólo si o Colgate o Darmouth gana su
primer juego.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
75/160
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.13, pág. 34)
Dados los sugientes enunciados simples:
𝐴: Amherst gana su primer juego
𝐶: Colgate gana su primer juego
𝐷: Dartmouth gana su primer juego
Simbolizar el siguiente enunciado compuesto:
Amherst gana su primer juego sólo si o Colgate o Darmouth gana su
primer juego.
Representación: 𝐴 ⊃ (𝐶 ∨ 𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
76/160
Tautologías, contradicciones y contingencias
Una forma sentencial que:
sólo tiene instancias de sustitución verdaderas se llama una tautología,
sólo tiene instancias de sustitución falsas se llama una contradicción,
no es ni una tautología ni una contradicción se llama una
contingencia.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
77/160
Tautologías, contradicciones y contingencias
Ejemplos
Tautología
𝑝
T
F
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
∼𝑝
F
T
𝑝 ∨ ∼𝑝
T
T
78/160
Tautologías, contradicciones y contingencias
Ejemplos
Tautología
𝑝
T
F
∼𝑝
F
T
𝑝 ∨ ∼𝑝
T
T
𝑝
T
F
∼𝑝
F
T
𝑝 ∧ ∼𝑝
F
F
Contradicción
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
79/160
Tautologías, contradicciones y contingencias
Ejemplos (continuación)
Contingencia
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝⊃𝑞
T
F
T
T
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝑞⊃𝑝
T
T
F
T
(𝑝 ⊃ 𝑞) ≡ (𝑞 ⊃ 𝑝)
T
F
F
T
80/160
Tautologías, contradicciones y contingencias
Ejemplos (continuación)
Contingencia
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝⊃𝑞
T
F
T
T
𝑞⊃𝑝
T
T
F
T
(𝑝 ⊃ 𝑞) ≡ (𝑞 ⊃ 𝑝)
T
F
F
T
Pregunta
¿Un enunciado simple es una contingencia?
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
81/160
Formas argumentales
Ejemplo
Las Naciones Unidas serán reforzadas o habrá una tercera guerra mundial.
Las Naciones Unidas no serán reforzadas. Luego habrá una tercera guerra
mundial.
𝑅: Las Naciones Unidas serán reforzadas
𝑇 : Habrá una tercera guerra mundial
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
82/160
Formas argumentales
Ejemplo
Las Naciones Unidas serán reforzadas o habrá una tercera guerra mundial.
Las Naciones Unidas no serán reforzadas. Luego habrá una tercera guerra
mundial.
𝑅: Las Naciones Unidas serán reforzadas
𝑇 : Habrá una tercera guerra mundial
Representación del argumento:
1
𝑅∨𝑇
2
∼𝑅
/∴ 𝑇
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
83/160
Formas argumentales
Ejemplo
Las Naciones Unidas serán reforzadas o habrá una tercera guerra mundial.
Las Naciones Unidas no serán reforzadas. Luego habrá una tercera guerra
mundial.
𝑅: Las Naciones Unidas serán reforzadas
𝑇 : Habrá una tercera guerra mundial
Representación del argumento:
1
𝑅∨𝑇
2
∼𝑅
/∴ 𝑇
Forma argumental asociada:
1
𝑝∨𝑞
2
∼𝑝
/∴ 𝑞
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
84/160
Representación de argumentos
Proposiciones: Se emplea el punto seguido (‘.’) para separar las
proposiciones (simples o compuestas) de un argumento.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
85/160
Representación de argumentos
Proposiciones: Se emplea el punto seguido (‘.’) para separar las
proposiciones (simples o compuestas) de un argumento.
Conclusión: La conclusión se puede identificar como aquella
proposición (simple o compuesta) que aparece después de palabras
tales como ‘Luego’ o ‘Por lo tanto’, entre otras.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
86/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Alicia es elegida presidenta del grupo, entonces Bety es elegida
vicepresidenta y Carolina es elegida tesorera. Bety no es elegida
vicepresidenta. Por lo tanto, Alicia no es elegida presidenta del grupo.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
87/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Alicia es elegida presidenta del grupo, entonces Bety es elegida
vicepresidenta y Carolina es elegida tesorera. Bety no es elegida
vicepresidenta. Por lo tanto, Alicia no es elegida presidenta del grupo.
Representación de los enunciados simples:
𝐴: Alicia es elegida presidenta del grupo
𝐵: Bety es elegida vicepresidenta
𝐶: Carolina es elegida tesorera
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
88/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Alicia es elegida presidenta del grupo, entonces Bety es elegida
vicepresidenta y Carolina es elegida tesorera. Bety no es elegida
vicepresidenta. Por lo tanto, Alicia no es elegida presidenta del grupo.
Representación de los enunciados simples:
𝐴: Alicia es elegida presidenta del grupo
𝐵: Bety es elegida vicepresidenta
𝐶: Carolina es elegida tesorera
Representación del argumento:
1
𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶)
2
∼𝐵
/∴ ∼𝐴
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
89/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.5*, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores no se abren en
Julio. Por lo tanto, si las semillas se siembran en Abril, entonces el
catálogo de semillas es correcto.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
90/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.5*, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores no se abren en
Julio. Por lo tanto, si las semillas se siembran en Abril, entonces el
catálogo de semillas es correcto.
Representación de los enunciados simples:
𝐶: El catálogo de semillas es correcto
𝑆: Las semillas se siembran en Abril
𝐹 : Las flores se abren en Julio
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
91/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.5*, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores no se abren en
Julio. Por lo tanto, si las semillas se siembran en Abril, entonces el
catálogo de semillas es correcto.
Representación de los enunciados simples:
𝐶: El catálogo de semillas es correcto
𝑆: Las semillas se siembran en Abril
𝐹 : Las flores se abren en Julio
Representación del argumento:
1
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 )
2
∼𝐹
/∴ 𝑆 ⊃ 𝐶
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
92/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores se abren en Julio.
Por lo tanto, si el catálogo de semillas es correcto, entonces las semillas se
siembran en Abril.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
93/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores se abren en Julio.
Por lo tanto, si el catálogo de semillas es correcto, entonces las semillas se
siembran en Abril.
Representación de los enunciados simples:
𝐶: El catálogo de semillas es correcto
𝑆: Las semillas se siembran en Abril
𝐹 : Las flores se abren en Julio
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
94/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores se abren en Julio.
Por lo tanto, si el catálogo de semillas es correcto, entonces las semillas se
siembran en Abril.
Representación de los enunciados simples:
𝐶: El catálogo de semillas es correcto
𝑆: Las semillas se siembran en Abril
𝐹 : Las flores se abren en Julio
Representación del argumento:
1
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 )
2
𝐹
/∴ 𝐶 ⊃ 𝑆
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
95/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las semillas se siembran en
Abril. Luego, si las flores no se abren en Julio, entonces el catálogo de
semillas no es correcto.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
96/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las semillas se siembran en
Abril. Luego, si las flores no se abren en Julio, entonces el catálogo de
semillas no es correcto.
Representación de los enunciados simples:
𝐶: El catálogo de semillas es correcto
𝑆: Las semillas se siembran en Abril
𝐹 : Las flores se abren en Julio
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
97/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las semillas se siembran en
Abril. Luego, si las flores no se abren en Julio, entonces el catálogo de
semillas no es correcto.
Representación de los enunciados simples:
𝐶: El catálogo de semillas es correcto
𝑆: Las semillas se siembran en Abril
𝐹 : Las flores se abren en Julio
Representación del argumento:
1
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 )
2
𝑆
/∴ ∼𝐹 ⊃ ∼𝐶
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
98/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las plantas florecen en Julio. Las plantas no florecen en
Julio. Luego, si las semillas no se siembran en Abril, entonces el catálogo
de semillas no es correcto.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
99/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las plantas florecen en Julio. Las plantas no florecen en
Julio. Luego, si las semillas no se siembran en Abril, entonces el catálogo
de semillas no es correcto.
Representación de los enunciados simples:
𝐶: El catálogo de semillas es correcto
𝑆: Las semillas se siembran en Abril
𝐹 : Las flores se abren en Julio
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
100/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las plantas florecen en Julio. Las plantas no florecen en
Julio. Luego, si las semillas no se siembran en Abril, entonces el catálogo
de semillas no es correcto.
Representación de los enunciados simples:
𝐶: El catálogo de semillas es correcto
𝑆: Las semillas se siembran en Abril
𝐹 : Las flores se abren en Julio
Representación del argumento:
1
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝑃 )
2
∼𝑃
/∴ ∼𝑆 ⊃ ∼𝐶
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
101/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo
premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o
Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
102/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo
premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o
Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio.
Representación de los enunciados simples:
𝐸: Eduardo gana el primer premio
𝐹 : Federico gana el segundo premio
𝐽 : Jorge queda decepcionado
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
103/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo
premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o
Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio.
Representación de los enunciados simples:
𝐸: Eduardo gana el primer premio
𝐹 : Federico gana el segundo premio
𝐽 : Jorge queda decepcionado
Representación del argumento:
1
𝐸 ⊃ (𝐹 ∨ 𝐽 )
2
𝐸∨𝐽
/∴ ∼𝐹
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
104/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.10*, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo
premio o Jorge queda decepcionado. Federico no gana el segundo premio.
Por tanto, si Jorge queda decepcionado, entonces Eduardo no gana el
primer premio.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
105/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.10*, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo
premio o Jorge queda decepcionado. Federico no gana el segundo premio.
Por tanto, si Jorge queda decepcionado, entonces Eduardo no gana el
primer premio.
Representación de los enunciados simples:
𝐸: Eduardo gana el primer premio
𝐹 : Federico gana el segundo premio
𝐽 : Jorge queda decepcionado
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
106/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.10*, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo
premio o Jorge queda decepcionado. Federico no gana el segundo premio.
Por tanto, si Jorge queda decepcionado, entonces Eduardo no gana el
primer premio.
Representación de los enunciados simples:
𝐸: Eduardo gana el primer premio
𝐹 : Federico gana el segundo premio
𝐽 : Jorge queda decepcionado
Representación del argumento:
1
𝐸 ⊃ (𝐹 ∨ 𝐽 )
2
∼𝐹
/∴ 𝐽 ⊃ ∼𝐸
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
107/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo
premio, y si Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda
decepcionado. O Federico no gana el segundo premio o Jorge queda
decepcionado. Por tanto, Eduardo no gana el primer premio.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
108/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo
premio, y si Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda
decepcionado. O Federico no gana el segundo premio o Jorge queda
decepcionado. Por tanto, Eduardo no gana el primer premio.
Representación de los enunciados simples:
𝐸: Eduardo gana el primer premio
𝐹 : Federico gana el segundo premio
𝐽 : Jorge queda decepcionado
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
109/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo
premio, y si Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda
decepcionado. O Federico no gana el segundo premio o Jorge queda
decepcionado. Por tanto, Eduardo no gana el primer premio.
Representación de los enunciados simples:
𝐸: Eduardo gana el primer premio
𝐹 : Federico gana el segundo premio
𝐽 : Jorge queda decepcionado
Representación del argumento:
1
(𝐸 ⊃ 𝐹 ) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐽 )
2
∼𝐹 ∨ 𝐽
/∴ ∼𝐸
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
110/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.12, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo premio, y si
Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda decepcionado. O Eduardo
gana el primer premio o Federico no el segundo premio. Por lo tanto, o Federico
no gana el segundo premio o Jorge no queda decepcionado.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
111/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.12, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo premio, y si
Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda decepcionado. O Eduardo
gana el primer premio o Federico no el segundo premio. Por lo tanto, o Federico
no gana el segundo premio o Jorge no queda decepcionado.
Representación de los enunciados simples:
𝐸: Eduardo gana el primer premio
𝐹 : Federico gana el segundo premio
𝐽 : Jorge queda decepcionado
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
112/160
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.12, pág. 42)
Representar simbólicamente el siguiente argumento:
Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo premio, y si
Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda decepcionado. O Eduardo
gana el primer premio o Federico no el segundo premio. Por lo tanto, o Federico
no gana el segundo premio o Jorge no queda decepcionado.
Representación de los enunciados simples:
𝐸: Eduardo gana el primer premio
𝐹 : Federico gana el segundo premio
𝐽 : Jorge queda decepcionado
Representación del argumento:
1
(𝐸 ⊃ 𝐹 ) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐽 )
2
𝐸 ∨ ∼𝐹
/∴ ∼𝐹 ∨ ∼𝐽
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
113/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Criterio: Un argumento es válido si siempre que todas las premisas son
verdaderas la conclusión es verdadera. De lo contrario, el argumento es
inválido.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
114/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejemplo (Silogismo disyuntivo)
𝑝∨𝑞
∼𝑝
∴𝑞
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝∨𝑞
T
T
T
F
∼𝑝
F
F
T
T
✓
✓
✓
✓
Por lo tanto, la forma argumental es válida.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
115/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejemplo (Modus Ponens)
𝑝⊃𝑞
𝑝
∴𝑞
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝⊃𝑞
T
F
T
T
✓
✓
✓
✓
Por lo tanto, la forma argumental es válida.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
116/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejemplo
𝑝⊃𝑞
𝑞
∴𝑝
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝⊃𝑞
T
F
T
T
✓
✓
×
Por lo tanto, la forma argumental es inválida.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
117/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejemplo (Modus Tollens)
𝑝⊃𝑞
∼𝑞
∴ ∼𝑝
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝⊃𝑞
T
F
T
T
∼𝑞
F
T
F
T
∼𝑝
F
F
T
T
✓
✓
✓
✓
Por lo tanto, la forma argumental es válida.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
118/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejemplo (Silogismo hipotético)
𝑝⊃𝑞
𝑞⊃𝑟
∴𝑝⊃𝑟
𝑝
T
T
T
T
F
F
F
F
𝑞
T
T
F
F
T
T
F
F
𝑟
T
F
T
F
T
F
T
F
𝑝⊃𝑞
T
T
F
F
T
T
T
T
𝑞⊃𝑟
T
F
T
T
T
F
T
T
𝑝⊃𝑟
T
F
T
F
T
T
T
T
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
Por lo tanto, la forma argumental es válida.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
119/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Argumento
𝑃1
Condicional asociado
(𝑃1 ∧ 𝑃2 ) ⊃ 𝐶
𝑃2
∴𝐶
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
120/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Argumento
𝑃1
Condicional asociado
(𝑃1 ∧ 𝑃2 ) ⊃ 𝐶
𝑃2
∴𝐶
Argumento
Válido
Inválido
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
Condicional asociado
Tautología
Contradicción o Contingencia
121/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Argumento
𝑃1
Condicional asociado
(𝑃1 ∧ 𝑃2 ) ⊃ 𝐶
𝑃2
∴𝐶
Argumento
Válido
Inválido
Condicional asociado
Tautología
Contradicción o Contingencia
Observación: Lo anterior se generaliza a un argumento con 𝑛 premisas.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
122/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.14, pág. 41)
Utilizar tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de la forma
de argumento siguiente:
𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)
𝑝⊃𝑞
∴𝑝⊃𝑟
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
123/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
𝑝
T
T
T
T
F
F
F
F
𝑞
T
T
F
F
T
T
F
F
𝑟
T
F
T
F
T
F
T
F
𝑞⊃𝑟
T
F
T
T
T
F
T
T
𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)
T
F
T
T
T
T
T
T
𝑝⊃𝑞
T
T
F
F
T
T
T
T
𝑝⊃𝑟
T
F
T
F
T
T
T
T
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
La forma argumental es válida porque siempre que las premisas son
verdaderas, la conclusión es verdadera.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
124/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.15*, pág. 41)
Utilizar tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de la forma
de argumento siguiente:
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑝 ⊃ 𝑟)
𝑝
∴𝑞∨𝑟
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
125/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
𝑝
T
T
T
T
F
F
F
F
𝑞
T
T
F
F
T
T
F
F
𝑟
T
F
T
F
T
F
T
F
𝑝⊃𝑞
T
T
F
F
T
T
T
T
𝑝⊃𝑟
T
F
T
F
T
T
T
T
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑝 ⊃ 𝑟)
T
F
F
F
T
T
T
T
𝑞∨𝑟
T
T
T
F
T
T
T
F
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
La forma argumental es válida porque siempre que las premisas son
verdaderas, la conclusión es verdadera.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
126/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.16, pág. 41)
Utilizar tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de la forma
de argumento siguiente:
𝑝 ⊃ (𝑞 ∨ 𝑟)
𝑝 ⊃ ∼𝑞
∴𝑝∨𝑟
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
127/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
𝑝
T
T
T
T
F
F
F
F
𝑞
T
T
F
F
T
T
F
F
𝑟
T
F
T
F
T
F
T
F
𝑞∨𝑟
T
T
T
F
T
T
T
F
∼𝑞
F
F
T
T
F
F
T
T
𝑝 ⊃ (𝑞 ∨ 𝑟)
T
T
T
F
T
T
T
T
𝑝 ⊃ ∼𝑞
F
F
T
T
T
T
T
T
𝑝∨𝑟
T
T
T
T
T
F
T
F
✓
✓
✓
✓
✓
×
✓
×
La forma argumental es inválida porque existe al menos una fila en la cual
las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
128/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.19, pág. 41)
Utilizar tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de la forma
de argumento siguiente:
(𝑝 ∨ 𝑞) ⊃ (𝑝 ∧ 𝑞)
𝑝∧𝑞
∴𝑝∨𝑞
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
129/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
𝑝∧𝑞
T
F
F
F
𝑝∨𝑞
T
T
T
F
(𝑝 ∨ 𝑞) ⊃ (𝑝 ∧ 𝑞)
T
F
F
T
✓
✓
✓
✓
La forma argumental es válida porque siempre que las premisas son
verdaderas, la conclusión es verdadera.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
130/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.20, pág. 41)
Utilizar tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de la forma
de argumento siguiente:
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ∼𝑝)
𝑝
∴ ∼(𝑞 ∧ ∼𝑝)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
131/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
𝑝
T
T
F
F
𝑞
T
F
T
F
∼𝑝
F
F
T
F
𝑞 ∧ ∼𝑝
F
F
T
F
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ∼𝑝)
T
T
T
F
∼(𝑞 ∧ ∼𝑝)
T
T
F
T
✓
✓
✓
✓
La forma argumental es válida porque siempre que las premisas son
verdaderas, la conclusión es verdadera.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
132/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si Alicia es elegida presidenta del grupo, entonces Bety es elegida
vicepresidenta y Carolina es elegida tesorera. Bety no es elegida
vicepresidenta. Por lo tanto, Alicia no es elegida presidenta del grupo.
(𝐴: Alicia es elegida presidenta del grupo. 𝐵: Bety es elegida
vicepresidenta. 𝐶: Carolina es elegida tesorera)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
133/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si Alicia es elegida presidenta del grupo, entonces Bety es elegida
vicepresidenta y Carolina es elegida tesorera. Bety no es elegida
vicepresidenta. Por lo tanto, Alicia no es elegida presidenta del grupo.
(𝐴: Alicia es elegida presidenta del grupo. 𝐵: Bety es elegida
vicepresidenta. 𝐶: Carolina es elegida tesorera)
Representación del argumento:
1
𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶)
2
∼𝐵
/∴ ∼𝐴
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
134/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
Tabla de verdad asociada al argumento:
𝐴
T
T
T
T
F
F
F
F
𝐵
T
T
F
F
T
T
F
F
𝐶
T
F
T
F
T
F
T
F
𝐵∧𝐶
T
F
F
F
T
F
F
F
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶)
T
F
F
F
T
T
T
T
∼𝐵
F
F
T
T
F
F
T
T
∼𝐴
F
F
F
F
T
T
T
T
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
135/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
Tabla de verdad asociada al argumento:
𝐴
T
T
T
T
F
F
F
F
𝐵
T
T
F
F
T
T
F
F
𝐶
T
F
T
F
T
F
T
F
𝐵∧𝐶
T
F
F
F
T
F
F
F
𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶)
T
F
F
F
T
T
T
T
∼𝐵
F
F
T
T
F
F
T
T
∼𝐴
F
F
F
F
T
T
T
T
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
Conclusión: El argumento es válido!
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
136/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores se abren en Julio.
Por lo tanto, si el catálogo de semillas es correcto, entonces las semillas se
siembran en Abril. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las semillas
se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
137/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores se abren en Julio.
Por lo tanto, si el catálogo de semillas es correcto, entonces las semillas se
siembran en Abril. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las semillas
se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.)
Representación del argumento:
1
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 )
2
𝐹
/∴ 𝐶 ⊃ 𝑆
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
138/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
Tabla de verdad asociada al argumento:
𝐶
T
T
T
T
F
F
F
F
𝑆
T
T
F
F
T
T
F
F
𝐹
T
F
T
F
T
F
T
F
𝑆⊃𝐹
T
F
T
T
T
F
T
T
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 )
T
F
T
T
T
T
T
T
𝐶⊃𝑆
T
T
F
F
T
T
T
T
✓
✓
×
139/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
Tabla de verdad asociada al argumento:
𝐶
T
T
T
T
F
F
F
F
𝑆
T
T
F
F
T
T
F
F
𝐹
T
F
T
F
T
F
T
F
𝑆⊃𝐹
T
F
T
T
T
F
T
T
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 )
T
F
T
T
T
T
T
T
𝐶⊃𝑆
T
T
F
F
T
T
T
T
✓
✓
×
Conclusión: El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
140/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las semillas se siembran en
Abril. Luego, si las flores no se abren en Julio, entonces el catálogo de
semillas no es correcto. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las
semillas se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
141/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las semillas se siembran en
Abril. Luego, si las flores no se abren en Julio, entonces el catálogo de
semillas no es correcto. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las
semillas se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.)
Representación del argumento:
1
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 )
2
𝑆
/∴ ∼𝐹 ⊃ ∼𝐶
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
142/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
Tabla de verdad asociada al argumento:
𝐶
T
T
T
T
F
F
F
F
𝑆
T
T
F
F
T
T
F
F
𝐹
T
F
T
F
T
F
T
F
𝑆⊃𝐹
T
F
T
T
T
F
T
T
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 )
T
F
T
T
T
T
T
T
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
∼𝐹
F
T
F
T
F
T
F
T
∼𝐶
F
F
F
F
T
T
T
T
∼𝐹 ⊃ ∼𝐶
T
F
T
F
T
T
T
T
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
143/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
Tabla de verdad asociada al argumento:
𝐶
T
T
T
T
F
F
F
F
𝑆
T
T
F
F
T
T
F
F
𝐹
T
F
T
F
T
F
T
F
𝑆⊃𝐹
T
F
T
T
T
F
T
T
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 )
T
F
T
T
T
T
T
T
∼𝐹
F
T
F
T
F
T
F
T
∼𝐶
F
F
F
F
T
T
T
T
∼𝐹 ⊃ ∼𝐶
T
F
T
F
T
T
T
T
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
Conclusión: El argumento es válido!
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
144/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las plantas florecen en Julio. Las plantas no florecen en
Julio. Luego, si las semillas no se siembran en Abril, entonces el catálogo
de semillas no es correcto. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las
semillas se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
145/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran
en Abril, entonces las plantas florecen en Julio. Las plantas no florecen en
Julio. Luego, si las semillas no se siembran en Abril, entonces el catálogo
de semillas no es correcto. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las
semillas se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.)
Representación del argumento:
1
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝑃 )
2
∼𝑃
/∴ ∼𝑆 ⊃ ∼𝐶
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
146/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
Tabla de verdad asociada al argumento:
𝐶
T
T
T
T
F
F
F
F
𝑆
T
T
F
F
T
T
F
F
𝑃
T
F
T
F
T
F
T
F
𝑆⊃𝑃
T
F
T
T
T
F
T
T
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝑃 )
T
F
T
T
T
T
T
T
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
∼𝑃
F
T
F
T
F
T
F
T
∼𝑆
F
F
T
T
F
F
T
T
∼𝐶
F
F
F
F
T
T
T
T
∼𝑆 ⊃ ∼𝐶
T
T
F
F
T
T
T
T
✓
✓
✓
×
147/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
Tabla de verdad asociada al argumento:
𝐶
T
T
T
T
F
F
F
F
𝑆
T
T
F
F
T
T
F
F
𝑃
T
F
T
F
T
F
T
F
𝑆⊃𝑃
T
F
T
T
T
F
T
T
𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝑃 )
T
F
T
T
T
T
T
T
∼𝑃
F
T
F
T
F
T
F
T
∼𝑆
F
F
T
T
F
F
T
T
∼𝐶
F
F
F
F
T
T
T
T
∼𝑆 ⊃ ∼𝐶
T
T
F
F
T
T
T
T
✓
✓
✓
×
Conclusión: El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
148/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo
premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o
Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
149/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo
premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o
Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio.
Representación de los enunciados simples:
𝐸: Eduardo gana el primer premio
𝐹 : Federico gana el segundo premio
𝐽 : Jorge queda decepcionado
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
150/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42)
Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente
argumento.
Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo
premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o
Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio.
Representación de los enunciados simples:
𝐸: Eduardo gana el primer premio
𝐹 : Federico gana el segundo premio
𝐽 : Jorge queda decepcionado
Representación del argumento:
1
𝐸 ⊃ (𝐹 ∨ 𝐽 )
2
𝐸∨𝐽
/∴ ∼𝐹
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
151/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
Tabla de verdad asociada al argumento:
𝐸
T
T
T
T
F
F
F
F
𝐹
T
T
F
F
T
T
F
F
𝐽
T
F
T
F
T
F
T
F
𝐹 ∨𝐽
T
T
T
F
T
T
T
F
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝐸 ⊃ (𝐹 ∨ 𝐽 )
T
T
T
F
T
T
T
T
𝐸∨𝐽
T
T
T
T
T
F
T
F
∼𝐹
F
F
T
T
F
F
T
T
×
152/160
Validez de argumentos y tablas de verdad
Ejercicio (continuación)
Tabla de verdad asociada al argumento:
𝐸
T
T
T
T
F
F
F
F
𝐹
T
T
F
F
T
T
F
F
𝐽
T
F
T
F
T
F
T
F
𝐹 ∨𝐽
T
T
T
F
T
T
T
F
𝐸 ⊃ (𝐹 ∨ 𝐽 )
T
T
T
F
T
T
T
T
𝐸∨𝐽
T
T
T
T
T
F
T
F
∼𝐹
F
F
T
T
F
F
T
T
×
Conclusión: El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
153/160
Método alternativo para demostrar la invalidez de un
argumento
Ejemplo
Demostrar la invalidez del argumento:
𝑉 ⊃𝑂
𝐻⊃𝑂
∴𝑉 ⊃𝐻
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
154/160
Método alternativo para demostrar la invalidez de un
argumento
Ejemplo
Demostrar la invalidez del argumento:
𝑉 ⊃𝑂
𝐻⊃𝑂
∴𝑉 ⊃𝐻
𝑉
𝑂
𝐻
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝑉 ⊃𝑂
𝐻⊃𝑂
𝑉 ⊃𝐻
155/160
Método alternativo para demostrar la invalidez de un
argumento
Ejemplo
Demostrar la invalidez del argumento:
𝑉 ⊃𝑂
𝐻⊃𝑂
∴𝑉 ⊃𝐻
𝑉
𝑂
𝐻
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝑉 ⊃𝑂
𝐻⊃𝑂
𝑉 ⊃𝐻
F
156/160
Método alternativo para demostrar la invalidez de un
argumento
Ejemplo
Demostrar la invalidez del argumento:
𝑉 ⊃𝑂
𝐻⊃𝑂
∴𝑉 ⊃𝐻
𝑉
𝑂
𝐻
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝑉 ⊃𝑂
T
𝐻⊃𝑂
T
𝑉 ⊃𝐻
F
157/160
Método alternativo para demostrar la invalidez de un
argumento
Ejemplo
Demostrar la invalidez del argumento:
𝑉 ⊃𝑂
𝐻⊃𝑂
∴𝑉 ⊃𝐻
𝑉
T
𝑂
𝐻
F
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝑉 ⊃𝑂
T
𝐻⊃𝑂
T
𝑉 ⊃𝐻
F
158/160
Método alternativo para demostrar la invalidez de un
argumento
Ejemplo
Demostrar la invalidez del argumento:
𝑉 ⊃𝑂
𝐻⊃𝑂
∴𝑉 ⊃𝐻
𝑉
T
𝑂
T
𝐻
F
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
𝑉 ⊃𝑂
T
𝐻⊃𝑂
T
𝑉 ⊃𝐻
F
×
159/160
Referencias
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.
Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth,
Cengage Learning.
Sierra A., Manuel (2010). Argumentación deductiva con diagramas y árboles de
forzamiento. Fondo Editorial Universidad EAFIT.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica
160/160
Lógica - CM0260
Lógica proposicional: Método de deducción
Andrés Sicard Ramírez
Universidad EAFIT
Semestre 2015-2
Método de deducción
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
donde:
cada proposición 𝑆𝑖 se sigue de las proposiciones anteriores por un
argumento válido elemental y
la última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
2/109
Método de deducción
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
donde:
cada proposición 𝑆𝑖 se sigue de las proposiciones anteriores por un
argumento válido elemental y
la última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
Notación: Hurley [2012] usa el símbolo ‘/’ y LogicCoach 11 usa el
símbolo ‘//’ en lugar del símbolo ‘/ ∴’.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
3/109
Reglas de inferencia
1
Modus ponens (MP)
𝑝⊃𝑞
𝑝
𝑞
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
4/109
Reglas de inferencia
1
Modus ponens (MP)
𝑝⊃𝑞
𝑝
𝑞
2
Modus tollens (MT)
𝑝⊃𝑞
∼𝑞
∼𝑝
3
Hypothetical syllogism (HS)
𝑝⊃𝑞
𝑞⊃𝑟
𝑝⊃𝑟
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
5/109
Reglas de inferencia
1
Modus ponens (MP)
𝑝⊃𝑞
𝑝
𝑞
2
4
Disjunctive syllogism (DS)
𝑝∨𝑞
∼𝑝
𝑞
Modus tollens (MT)
𝑝⊃𝑞
∼𝑞
∼𝑝
3
Hypothetical syllogism (HS)
𝑝⊃𝑞
𝑞⊃𝑟
𝑝⊃𝑟
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
6/109
Reglas de inferencia
1
Modus ponens (MP)
4
𝑝⊃𝑞
𝑝
𝑞
2
Modus tollens (MT)
𝑝⊃𝑞
∼𝑞
∼𝑝
3
Disjunctive syllogism (DS)
𝑝∨𝑞
∼𝑝
𝑞
5
Constructive dilemma (CD)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)
𝑝∨𝑟
𝑞∨𝑠
Hypothetical syllogism (HS)
𝑝⊃𝑞
𝑞⊃𝑟
𝑝⊃𝑟
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
7/109
Reglas de inferencia
1
Modus ponens (MP)
4
𝑝⊃𝑞
𝑝
𝑞
2
Modus tollens (MT)
𝑝∨𝑞
∼𝑝
𝑞
5
𝑝⊃𝑞
∼𝑞
∼𝑝
3
Hypothetical syllogism (HS)
𝑝⊃𝑞
𝑞⊃𝑟
𝑝⊃𝑟
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
Disjunctive syllogism (DS)
Constructive dilemma (CD)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)
𝑝∨𝑟
𝑞∨𝑠
6
Simplification (Simp)
𝑝∧𝑞
𝑝
8/109
Reglas de inferencia
7
Conjunction (Conj)
𝑝
𝑞
𝑝∧𝑞
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
9/109
Reglas de inferencia
7
Conjunction (Conj)
𝑝
𝑞
𝑝∧𝑞
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
8
Addition (Add)
𝑝
𝑝∨𝑞
10/109
Reglas de inferencia
7
Conjunction (Conj)
𝑝
𝑞
𝑝∧𝑞
8
Addition (Add)
𝑝
𝑝∨𝑞
Observación: Uso de instancias de las reglas de inferencia.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
11/109
Reglas de inferencia
Sugerencias
Antes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebas
formales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 52
de Copi [1998].
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
12/109
Reglas de inferencia
Sugerencias
Antes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebas
formales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 52
de Copi [1998].
Hurley [2012] en las págs. 385 y 395 ilustra algunos de los errores
comunes en el uso de las reglas de inferencia.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
13/109
Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.2, pág. 54)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ ∼𝐺)
2
(𝐹 ∨ 𝐺) ⊃ 𝐻
3
𝐸
/∴ 𝐻
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
14/109
Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.2, pág. 54)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ ∼𝐺)
2
(𝐹 ∨ 𝐺) ⊃ 𝐻
3
𝐸
4
𝐹 ∧ ∼𝐺
MP 1, 3
5
𝐹
Simp 4
6
𝐹 ∨𝐺
Add 5
7
𝐻
MP 2, 6
/∴ 𝐻
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
15/109
Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 54)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝐽 ⊃𝐾
2
𝐽 ∨ (𝐾 ∨ ∼𝐿)
3
∼𝐾
/∴ ∼𝐿 ∧ ∼𝐾
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
16/109
Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 54)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝐽 ⊃𝐾
2
𝐽 ∨ (𝐾 ∨ ∼𝐿)
3
∼𝐾
4
∼𝐽
MT 1, 4
5
𝐾 ∨ ∼𝐿
DS 2, 4
6
∼𝐿
DS 5, 3
7
∼𝐿 ∧ ∼𝐾
Conj 6, 3
/∴ ∼𝐿 ∧ ∼𝐾
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
17/109
Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 54)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
3
4
𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶)
∼𝐴 ⊃ [(𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺)]
(𝐵 ∧ 𝐶) ∨ [(∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹 )]
∼(𝐵 ∧ 𝐶) ∧ ∼(𝐺 ∧ 𝐷) /∴ 𝐸 ∨ 𝐺
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
18/109
Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 54)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶)
∼𝐴 ⊃ [(𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺)]
(𝐵 ∧ 𝐶) ∨ [(∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹 )]
∼(𝐵 ∧ 𝐶) ∧ ∼(𝐺 ∧ 𝐷) /∴ 𝐸 ∨ 𝐺
∼(𝐵 ∧ 𝐶)
∼𝐴
(𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺)
𝐷⊃𝐸
(∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹 )
∼𝐴 ⊃ 𝐷
𝐷
𝐸
𝐸∨𝐺
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
Simp 4
MT 1, 5
MP 2, 6
Simp 7
DS 3, 5
Simp 9
MP 10, 6
MP 8, 11
Add 12
19/109
Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 54)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
3
4
(∼𝐻 ∨ 𝐼) ⊃ (𝐽 ⊃ 𝐾)
(∼𝐿 ∧ ∼𝑀 ) ⊃ (𝐾 ⊃ 𝑁 )
(𝐻 ⊃ 𝐿) ∧ (𝐿 ⊃ 𝐻)
(∼𝐿 ∧ ∼𝑀 ) ∧ ∼𝑂 /∴ 𝐽 ⊃ 𝑁
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
20/109
Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 54)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(∼𝐻 ∨ 𝐼) ⊃ (𝐽 ⊃ 𝐾)
(∼𝐿 ∧ ∼𝑀 ) ⊃ (𝐾 ⊃ 𝑁 )
(𝐻 ⊃ 𝐿) ∧ (𝐿 ⊃ 𝐻)
(∼𝐿 ∧ ∼𝑀 ) ∧ ∼𝑂 /∴ 𝐽 ⊃ 𝑁
∼𝐿 ∧ ∼𝑀
𝐾⊃𝑁
∼𝐿
𝐻⊃𝐿
∼𝐻
∼𝐻 ∨ 𝐼
𝐽 ⊃𝐾
𝐽 ⊃𝑁
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
Simp 4
MP 2, 5
Simp 5
Simp 3
MT 8, 7
Add 9
MP 1, 10
HS 11, 6
21/109
Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.10, pág. 54)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
3
4
5
(𝐵 ∨ 𝐶) ⊃ (𝐷 ∨ 𝐸)
((𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹 ) ⊃ (𝐺 ∨ 𝐻)
(𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ ∼𝐷
𝐸 ⊃ ∼𝐺
𝐵 /∴ 𝐻
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
22/109
Reglas de inferencia
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.10, pág. 54)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(𝐵 ∨ 𝐶) ⊃ (𝐷 ∨ 𝐸)
((𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹 ) ⊃ (𝐺 ∨ 𝐻)
(𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ ∼𝐷
𝐸 ⊃ ∼𝐺
𝐵 /∴ 𝐻
𝐵∨𝐶
𝐷∨𝐸
(𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹
𝐺∨𝐻
∼𝐷
𝐸
∼𝐺
𝐻
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
Add 5
MP 1, 6
Add 7
MP 2, 8
MP 3, 9
DS 7, 10
MP 4, 11
DS 9, 12
23/109
Regla de reemplazo
Motivación
Construir una prueba formal de validez para el argumento
𝐴∧𝐵
/∴ 𝐵
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
24/109
Regla de reemplazo
Motivación
Construir una prueba formal de validez para el argumento
𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵
No es posible con nuestras actuales reglas de inferencia.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
25/109
Regla de reemplazo
Motivación
Construir una prueba formal de validez para el argumento
𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵
No es posible con nuestras actuales reglas de inferencia.
Notación: 𝑝 ∷ 𝑞 significa que 𝑝 es lógicamente equivalente a 𝑞.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
26/109
Regla de reemplazo
Regla de reemplazo
Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes pueden
reemplazar a la otra en donde ocurran.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
27/109
Regla de reemplazo
Regla de reemplazo
Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes pueden
reemplazar a la otra en donde ocurran.
9
De Morgan’s rule (DM)
∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞)
∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
28/109
Regla de reemplazo
Regla de reemplazo
Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes pueden
reemplazar a la otra en donde ocurran.
9
De Morgan’s rule (DM)
10
Commutativity (Com)
∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞)
∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝)
(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝)
29/109
Regla de reemplazo
Regla de reemplazo
Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes pueden
reemplazar a la otra en donde ocurran.
9
De Morgan’s rule (DM)
∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞)
∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)
10
Commutativity (Com)
(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝)
(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝)
11
Associativity (Assoc)
[(𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟]
[𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟]
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
30/109
Regla de reemplazo
Regla de reemplazo
Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes pueden
reemplazar a la otra en donde ocurran.
9
De Morgan’s rule (DM)
∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞)
∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)
10
Commutativity (Com)
(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝)
(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝)
11
Associativity (Assoc)
[(𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟]
[𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟]
12
Distribution (Dist)
[𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)]
[𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)]
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
31/109
Regla de reemplazo
(continuación)
13
Double negation (DN)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
𝑝 ∷ ∼∼𝑝
32/109
Regla de reemplazo
(continuación)
13
Double negation (DN)
𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14
Transposition (Trans)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
33/109
Regla de reemplazo
(continuación)
13
Double negation (DN)
𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14
Transposition (Trans)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
15
Material implication (Impl)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
34/109
Regla de reemplazo
(continuación)
13
Double negation (DN)
𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14
Transposition (Trans)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
15
Material implication (Impl)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)
16
Material equivalence (Equiv)
(𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)]
(𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)]
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
35/109
Regla de reemplazo
(continuación)
13
Double negation (DN)
𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14
Transposition (Trans)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
15
Material implication (Impl)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)
16
Material equivalence (Equiv)
17
Exportation (Exp)
(𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)]
(𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)]
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
[(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)]
36/109
Regla de reemplazo
(continuación)
13
Double negation (DN)
𝑝 ∷ ∼∼𝑝
14
Transposition (Trans)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)
15
Material implication (Impl)
(𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)
16
Material equivalence (Equiv)
17
Exportation (Exp)
[(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)]
18
Tautology (Taut)
𝑝 ∷ (𝑝 ∨ 𝑝)
𝑝 ∷ (𝑝 ∧ 𝑝)
(𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)]
(𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)]
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
37/109
Regla de reemplazo
Observación: “La regla de reemplazo autoriza que expresiones lógicamente
equivalentes especificadas se reemplacen entre sí donde ocurran, aun en
donde no constituyan renglones enteros de demostración. Pero las nueve
primeras reglas de inferencia sólo pueden usarse tomando como premisas
renglones enteros de una demostración.”1
1
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 59.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
38/109
Regla de reemplazo
Ejemplo
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝐴∧𝐵
/∴ 𝐵
2
𝐵∧𝐴
Com 1
3
𝐵
Simp 2
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
39/109
Pruebas formales
Verificación vs construcción
Verificar una prueba formal es un proceso efectivo (algorítmico), pero construirla no lo es.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
40/109
Pruebas formales
Verificación vs construcción
Verificar una prueba formal es un proceso efectivo (algorítmico), pero construirla no lo es.
Convención
En cada línea de una prueba sólo se aplica una regla de inferencia o una
equivalencia lógica, pero no ambas.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
41/109
Pruebas formales
Verificación vs construcción
Verificar una prueba formal es un proceso efectivo (algorítmico), pero construirla no lo es.
Convención
En cada línea de una prueba sólo se aplica una regla de inferencia o una
equivalencia lógica, pero no ambas.
Sugerencia
Antes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebas
formales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 61 y 62
de Copi [1998].
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
42/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 62)
La siguiente es una prueba formal de validez para el argumento indicado.
Enuncie la “justificación” de cada renglón que no sea una premisa:
1
(𝑂 ⊃ ∼𝑃 ) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑄)
2
𝑄⊃𝑂
3
∼𝑅 ⊃ 𝑃
4
∼𝑄 ∨ 𝑂
5
𝑂 ∨ ∼𝑄
6
(𝑂 ⊃ ∼𝑃 ) ∧ (∼𝑄 ⊃ ∼𝑃 )
7
∼𝑃 ∨ ∼𝑃
8
∼𝑃
9
∼∼𝑅
10
/∴ 𝑅
𝑅
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
43/109
Pruebas formales
Ejercicio (continuación)
1
(𝑂 ⊃ ∼𝑃 ) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑄)
2
𝑄⊃𝑂
3
∼𝑅 ⊃ 𝑃
4
∼𝑄 ∨ 𝑂
Impl 2
5
𝑂 ∨ ∼𝑄
Com 4
6
(𝑂 ⊃ ∼𝑃 ) ∧ (∼𝑄 ⊃ ∼𝑃 )
Trans 1
7
∼𝑃 ∨ ∼𝑃
CD 6, 4
8
∼𝑃
Taut 7
9
∼∼𝑅
MT 3, 8
𝑅
DN 9
10
/∴ 𝑅
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
44/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 62)
La siguiente es una prueba formal de validez para el argumento indicado.
Enuncie la “justificación” de cada renglón que no sea una premisa:
1
𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)
2
𝐶≡𝐷
/∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
45/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 62)
La siguiente es una prueba formal de validez para el argumento indicado.
Enuncie la “justificación” de cada renglón que no sea una premisa:
1
𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)
2
𝐶≡𝐷
3
𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷)
4
𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷)
5
(𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷
6
𝐶 ⊃ ∼𝐷
7
∼𝐶 ∨ ∼𝐷
8
∼(𝐶 ∧ 𝐷)
9
(𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷)
10
/∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷
∼𝐶 ∧ ∼𝐷
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
46/109
Pruebas formales
Ejercicio (continuación)
1
𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)
2
𝐶≡𝐷
/∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
47/109
Pruebas formales
Ejercicio (continuación)
1
𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)
2
𝐶≡𝐷
3
𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷)
Trans 1
4
𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷)
DN 3
5
(𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷
Exp 4
6
𝐶 ⊃ ∼𝐷
Taut 5
7
∼𝐶 ∨ ∼𝐷
Impl 6
8
∼(𝐶 ∧ 𝐷)
DM 7
9
(𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷)
Equiv 2
∼𝐶 ∧ ∼𝐷
DS 9, 8
10
/∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
48/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 62)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝑁 ⊃𝑂
/∴ (𝑁 ∧ 𝑃 ) ⊃ 0
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
49/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 62)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
3
4
5
6
7
8
𝑁 ⊃ 𝑂 /∴ (𝑁 ∧ 𝑃 ) ⊃ 0
∼𝑁 ∨ 𝑂
(∼𝑁 ∨ 𝑂) ∨ ∼𝑃
∼𝑃 ∨ (∼𝑁 ∨ 𝑂)
(∼𝑃 ∨ ∼𝑁 ) ∨ 𝑂
∼(𝑃 ∧ 𝑁 ) ∨ 𝑂
∼(𝑁 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑂
(𝑁 ∧ 𝑃 ) ⊃ 0
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
Impl 1
Add 2
Com 3
Assoc. 4
DM 5
Com 6
Impl 7
50/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 63)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
(𝑄 ∨ 𝑅) ⊃ 𝑆
/∴ 𝑄 ⊃ 𝑆
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
51/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 63)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
(𝑄 ∨ 𝑅) ⊃ 𝑆
/∴ 𝑄 ⊃ 𝑆
2
∼(𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆
Impl 1
3
(∼𝑄 ∧ ∼𝑅) ∨ 𝑆
DM 2
4
𝑆 ∨ (∼𝑄 ∧ ∼𝑅)
Com 3
5
(𝑆 ∨ ∼𝑄) ∧ (𝑆 ∨ ∼𝑅)
Dist 4
6
𝑆 ∨ ∼𝑄
Simp 5
7
∼𝑄 ∨ 𝑆
Com 6
8
𝑄⊃𝑆
Impl 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
52/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 63)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝑇 ⊃ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 )
/∴ 𝑇 ⊃ 𝑈
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
53/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 63)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝑇 ⊃ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 )
/∴ 𝑇 ⊃ 𝑈
2
∼𝑇 ∨ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 )
Impl 1
3
∼𝑇 ∨ ∼(∼𝑈 ∨ 𝑉 )
Impl 2
4
∼𝑇 ∨ (∼∼𝑈 ∧ ∼𝑉 )
DM 3
5
∼𝑇 ∨ (𝑈 ∧ ∼𝑉 )
DN. 4
6
(∼𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ (∼𝑇 ∨ ∼𝑉 )
Dist 5
7
∼𝑇 ∨ 𝑈
Simp 6
8
𝑇 ⊃𝑈
Impl 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
54/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝐸⊃𝐹
2
𝐸⊃𝐺
/∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
55/109
Pruebas formales
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝐸⊃𝐹
2
𝐸⊃𝐺
3
∼𝐸 ∨ 𝐹
Impl 1
4
∼𝐸 ∨ 𝐺
Impl 2
5
(∼𝐸 ∨ 𝐹 ) ∧ (∼𝐸 ∨ 𝐺)
Conj 3, 4
6
∼𝐸 ∨ (𝐹 ∧ 𝐺)
Dist
7
𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)
Impl 6
/∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
56/109
Nuevas reglas de demostración
Regla de demostración condicional
Regla de demostración indirecta
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
57/109
Nuevas reglas de demostración
Regla de demostración condicional
Regla de demostración indirecta
Observación: Copi [1998] presenta la regla de demostración condicional
gradualmente. En § 3.5 presenta una primera versión de la regla y en § 3.8
presenta la versión general de la regla llamándola regla de demostración
condicional reforzada. Nuestra presentación corresponde a la versión
general de la regla y ésta será la versión evaluada.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
58/109
Regla de demostración condicional
Idea
Adicionar supuestos con alcance limitado.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
59/109
Regla de demostración condicional
Idea
Adicionar supuestos con alcance limitado.
Descarga de supuestos
Es necesario descargar cada supuesto adicionado.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
60/109
Regla de demostración condicional
Idea
Adicionar supuestos con alcance limitado.
Descarga de supuestos
Es necesario descargar cada supuesto adicionado.
Regla de demostración condicional
𝐴
ACP
⋮
𝐶
𝐴⊃𝐶
CP
CP: Conditional Proof
ACP: Assumption for Conditional Proof
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
61/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝐸⊃𝐹
2
𝐸⊃𝐺
/∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
62/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝐸⊃𝐹
2
𝐸⊃𝐺
3
𝐸
/∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
ACP
63/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝐸⊃𝐹
2
𝐸⊃𝐺
3
𝐸
ACP
4
𝐹
MP 1, 3
5
𝐺
MP 2, 3
6
𝐹 ∧𝐺
Conj 4, 5
7
𝐸 ⊃𝐹 ∧𝐺
/∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
CP 3–6
64/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], pág. 75)
Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 de
la pág. 65.
1
(𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿)
/∴ (𝑇 ∧ 𝑀 ) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
65/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], pág. 75)
Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 de
la pág. 65.
1
2
(𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿)
𝑇 ∧𝑀
/∴ (𝑇 ∧ 𝑀 ) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿)
ACP
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
66/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], pág. 75)
Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 de
la pág. 65.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿) /∴ (𝑇 ∧ 𝑀 ) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿)
𝑇 ∧𝑀
ACP
𝑇 ⊃𝐸
Simp 1
(𝑀 ⊃ 𝐿) ∧ (𝑇 ⊃ 𝐸)
Com 1
𝑀 ⊃𝐿
Simp 4
𝑇
Simp 2
𝑀 ∧𝑇
Com 2
𝑀
Simp 7
𝐸
MP 3, 6
𝐿
MP 5, 8
𝐸∧𝐿
Conj 9, 10
(𝑇 ∧ 𝑀 ) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿)
CP 2–11
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
67/109
Regla de demostración condicional
La regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
68/109
Regla de demostración condicional
La regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)
𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷)
/∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
69/109
Regla de demostración condicional
La regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
3
𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)
𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷)
𝐴
/∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
ACP
70/109
Regla de demostración condicional
La regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
3
4
𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)
𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷)
𝐴
𝐵
/∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
ACP
ACP
71/109
Regla de demostración condicional
La regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74)
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)
𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷)
𝐴
𝐵
𝐵⊃𝐶
𝐶
𝐶⊃𝐷
𝐷
𝐵⊃𝐷
𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)
/∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
ACP
ACP
MP 1, 3
MP 5, 4
MP 2, 4
MP 7, 6
CP 4–8
CP 3–9
72/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 84)
Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validez
del siguiente argumento:
1
(𝐸 ∨ 𝐹 ) ⊃ 𝐺
2
𝐻 ⊃ (𝐼 ∧ 𝐽)
/∴ (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
73/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 84)
Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validez
del siguiente argumento:
1
(𝐸 ∨ 𝐹 ) ⊃ 𝐺
2
𝐻 ⊃ (𝐼 ∧ 𝐽)
/∴ (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼)
3
𝐸
ACP
4
𝐸∨𝐹
Add 3
5
𝐺
MP 1, 4
6
𝐸⊃𝐺
CP 3–5
7
𝐻
ACP
8
𝐼∧𝐽
MP 2, 7
9
𝐼
Simp 8
10
𝐻⊃𝐼
CP 7–9
11
(𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼)
Conj 6, 10
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
74/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 4, pág. 84)
Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validez
del siguiente argumento:
1
𝑄 ∨ (𝑅 ⊃ 𝑆)
2
(𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆)) ⊃ (𝑇 ∨ 𝑈 )
3
(𝑇 ⊃ 𝑄) ∧ (𝑈 ⊃ 𝑉 )
/∴ 𝑄 ∨ 𝑉
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
75/109
Regla de demostración condicional
Ejercicio (continuación)
4
5
6
7
8
9
1
𝑄 ∨ (𝑅 ⊃ 𝑆)
10
2
(𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆)) ⊃ (𝑇 ∨ 𝑈)
11
3
(𝑇 ⊃ 𝑄) ∧ (𝑈 ⊃ 𝑉 )
12
∴𝑄∨𝑉
13
14
15
16
17
18
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 19
∼𝑄
𝑅⊃𝑆
𝑅
𝑆
𝑅∧𝑆
𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆)
𝑇 ∨𝑈
𝑇 ⊃𝑄
∼𝑇
𝑈
(𝑈 ⊃ 𝑉 ) ∧ (𝑇 ⊃ 𝑄)
𝑈⊃𝑉
𝑉
∼𝑄 ⊃ 𝑉
∼∼𝑄 ∨ 𝑉
𝑄∨𝑉
ACP
DS 1, 4
ACP
MP 5, 6
Conj 6, 7
CP 6-8
MP 2, 9
Simp 3
MT 11, 4
DS 10, 12
Com 3
Simp 14
MP 15, 13
CP 4–16
Impl 17
DN 18 76/109
Regla de demostración condicional y argumentos
Porqué empleando la regla de demostración condicional, podemos
demostramos el argumento
{𝑃 } /∴𝐴 ⊃ 𝐶
donde {𝑃 } representa un conjunto de premisas, por medio de la prueba
{𝑃 }
𝐴
ACP
⋮
𝐶
𝐴⊃𝐶
CP
?
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
77/109
Regla de demostración condicional y argumentos
Justificación
𝑃
𝐴
∴𝐶
condicional asociado
Exportación
CP
𝑃
∴𝐴⊃𝐶
(𝑃 ∧ 𝐴) ⊃ 𝐶
condicional asociado
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
𝑃 ⊃ (𝐴 ⊃ 𝐶)
78/109
Regla de demostración condicional
Más poder de demostración
La regla de demostración condicional aumenta el conjunto de argumentos
que podemos demostrar con nuestras reglas de inferencia.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
79/109
Regla de demostración indirecta
Preliminares
A partir de una contradicción podemos demostrar cualquier conclusión.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
80/109
Regla de demostración indirecta
Preliminares
A partir de una contradicción podemos demostrar cualquier conclusión.
Ejemplo
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝑝
2
∼𝑝
/∴ 𝑞
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
81/109
Regla de demostración indirecta
Preliminares
A partir de una contradicción podemos demostrar cualquier conclusión.
Ejemplo
Construir una prueba formal de validez para el argumento:
1
𝑝
2
∼𝑝
3
𝑝∨𝑞
Add 1
4
𝑞
DS 3, 2
/∴ 𝑞
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
82/109
Regla de demostración indirecta
Regla de demostración indirecta
𝐶
AIP
⋮
𝑞 ∧ ∼𝑞
∼𝐶
(contradicción)
IP
IP: Indirect Proof
AIP: Assumption for Indirect Proof
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
83/109
Regla de demostración indirecta
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 78)
Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento
empleando la regla de demostración indirecta:
1
(𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)
2
(∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹 ) /∴ 𝐺
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
84/109
Regla de demostración indirecta
Ejercicio (continuación)
1
2
(𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)
(∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹 ) /∴ 𝐺
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
85/109
Regla de demostración indirecta
Ejercicio (continuación)
1
2
3
(𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)
(∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹 ) /∴ 𝐺
∼𝐺
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
AIP
86/109
Regla de demostración indirecta
Ejercicio (continuación)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)
(∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹 ) /∴ 𝐺
∼𝐺
∼𝐺 ∨ 𝐻
𝐷∧𝐹
𝐹 ∧𝐷
𝐹
𝐷
𝐷∨𝐸
𝐹 ⊃𝐺
∼𝐹
𝐹 ∧ ∼𝐹
∼∼𝐺
𝐺
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
AIP
Add 3
MP 2, 4
Com 5
Simp 6
Simp 5
Add 8
MP 1, 9
MT 10, 3
Conj 7, 11
IP 3–12
DN 14
87/109
Regla de demostración indirecta
Las reglas de demostración condicional y demostración indirecta se pueden
usar simultáneamente.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
88/109
Regla de demostración indirecta
Ejemplo (Hurley (2012), pág. 434)
Demostrar el siguiente argumento.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
𝐿 ⊃ [∼𝑀 ⊃ (𝑁 ∧ 𝑂)]
∼𝑁 ∧ 𝑃
𝐿
∼𝑀 ⊃ (𝑁 ∧ 𝑂)
∼𝑀
𝑁 ∧𝑂
𝑁
∼𝑁
𝑁 ∧ ∼𝑁
∼∼𝑀
𝑀
𝑃 ∧ ∼𝑁
𝑃
𝑀 ∧𝑃
𝐿 ⊃ (𝑀 ∧ 𝑃 )
/∴ 𝐿 ⊃ (𝑀 ∧ 𝑃 )
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
ACP
MP 1,3
AIP
MP 4,5
Simp 6
Simp 2
Conj 7,8
IP 5-9
DN 10
Com 2
Simp 12
Conj 11, 13
CP 3–14
89/109
Regla de demostración indirecta y argumentos
Porqué empleando la regla de demostración indirecta, podemos
demostramos el argumento
{𝑃 }
/∴ 𝐶
por medio de la prueba
{𝑃 }
∼𝐶
AIP
⋮
𝑞 ∧ ∼𝑞
(contradicción)
∼∼𝐶
IP
𝐶
DN
?
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
90/109
Regla de demostración indirecta y argumentos
Justificación
𝑃
∼𝐶
∴𝐶
⋮
𝑞 ∧ ∼𝑞
⋮
𝐶
condicional asociado
(𝑃 ∧ ∼𝐶) ⊃ 𝐶
Exportación
𝑃 ⊃ (∼𝐶 ⊃ 𝐶)
Implicación material
𝑃 ⊃ (∼∼𝐶 ∨ 𝐶)
Doble negación
IP
𝑃 ⊃ (𝐶 ∨ 𝐶)
𝑃
∴𝐶
Tautología
condicional asociado
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
𝑃 ⊃𝐶
91/109
Demostración de tautologías
Tautología condicional (𝐴𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 ⊂ 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒)
Prueba empleando la regla de demostración condicional:
𝐴
ACP
⋮
𝐶
𝐴⊃𝐶
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
CP
92/109
Demostración de tautologías
Tautología bicondicional (𝐴 ≡ 𝐵)
Prueba empleando la regla de demostración condicional:
m
n
n+1
𝐴
⋮
𝐵
𝐴⊃𝐵
𝐵
⋮
𝐴
𝐵⊃𝐴
(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊃ 𝐴)
𝐴≡𝐵
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
ACP
CP
ACP
CP
Conj m,n
Equiv n+1
93/109
Demostración de tautologías
Tautología (𝑇 )
Prueba empleando la regla de demostración indirecta:
n
∼𝑇
⋮
𝑞 ∧ ∼𝑞
∼∼𝑇
𝑇
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
AIP
(contradicción)
IP
DN n
94/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
indirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶).
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
95/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
indirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶).
1
2
3
4
5
6
7
8
�
15
16
17
∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)]
∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶)
∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶)
∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶)
(∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶)
(∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶)
(𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶)
(𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (𝐵 ∧ 𝐶)
⋮
𝐵 ∧ ∼𝐵
∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)]
(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
AIP
DM 1
Impl 2
Impl 3
DM 4
DM 5
DN 6
DN 7
IP 1-15
DN 16
96/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
indirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶).
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
97/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
indirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)]
∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐴 ⊃ 𝐶)
∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼∼𝐴 ∨ 𝐶)
(∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶)
∼∼𝐴 ∧ [∼𝐵 ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶)]
∼∼𝐴 ∧ [(∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) ∧ ∼𝐵]
∼∼𝐴 ∧ [∼∼∼𝐴 ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵)]
(∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴) ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵)
∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴
∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)]
(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
AIP
DM 1
Impl 2
DM 3
Assoc 4
Com 5
Assoc 6
Assoc 7
Simp 8
IP 1-9
DN 10
98/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
indirecta: 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵).
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
99/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
indirecta: 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵).
1
∼(𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵))
AIP
2
∼𝐴 ∧ ∼(𝐴 ⊃ 𝐵)
DM 1
3
∼𝐴
Simp 2
4
∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼𝐴
Conm 2
5
∼(𝐴 ⊃ 𝐵)
Simp 4
6
∼(∼𝐴 ∨ 𝐵)
Impl 5
7
∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵
DM 6
8
∼∼𝐴
Simp 7
9
𝐴
DN 8
𝐴 ∧ ∼𝐴
Conj 3, 9
10
11
∼∼[𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)]
IP 1-10
12
𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)
DN 11
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
100/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
condicional: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
101/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
condicional: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .
1
𝑃
ACP
2
∼∼𝑃
DN 1
3
𝑃 ⊃ ∼∼𝑃
4
∼∼𝑃
ACP
5
𝑃
DN 4
CP 1-2
6
∼∼𝑃 ⊃ 𝑃
CP 4-5
7
(𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 ) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 )
Conj. 3, 6
8
𝑃 ≡ ∼∼𝑃
Equiv 7
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
102/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
indirecta: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
103/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
indirecta: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃 )
∼[(𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 ) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 )]
∼[(𝑃 ⊃ 𝑃 ) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 )]
∼[(𝑃 ⊃ 𝑃 ) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑃 )]
∼(𝑃 ⊃ 𝑃 ) ∨ ∼(𝑃 ⊃ 𝑃 )
∼(𝑃 ⊃ 𝑃 )
∼(∼𝑃 ∨ 𝑃 )
∼∼𝑃 ∧ ∼𝑃
𝑃 ∧ ∼𝑃
∼∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃 )
𝑃 ≡ ∼∼𝑃
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
AIP
Equiv 1
DN 2
DN 3
DM 4
Taut 5
Impl 6
DM 7
DN 8
IP 1-9
DN 10
104/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
indirecta: ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)].
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
105/109
Demostración de tautologías
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 80)
Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración
indirecta: ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)
𝐴 ⊃ ∼𝐴
(∼𝐴 ⊃ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊃ ∼𝐴)
∼𝐴 ⊃ 𝐴
∼𝐴 ∨ ∼𝐴
∼𝐴
𝐴
𝐴 ∧ ∼𝐴
∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)]
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
AIP
Simp 1
Com 1
Simp 3
Impl 2
Taut 5
MP 4, 6
Conj 7, 6
IP 1-8
106/109
Reglas de demostración condicional e indirecta
Pregunta
¿Porqué la regla de demostración indirecta es un caso particular de la regla
de demostración condicional?
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
107/109
Método de deducción y tautologías
Teorema (Completeness (completitud))
Toda tautología puede demostrarse por el método de deducción.
Teorema (Soundness (validez))
Si un argumento es válido empleando el método de deducción, entonces su
condicional asociado es tautológico.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
108/109
Referencias
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.
Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth,
Cengage Learning.
Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción
109/109
Lógica - CM0260
Lógica de predicados monádicos
Andrés Sicard Ramírez
Universidad EAFIT
Semestre 2015-2
Introducción
lógica proposicional
Introducción
lógica de predicados monádicos
lógica proposicional
Introducción
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados monádicos
lógica proposicional
Introducción
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados monádicos
lógica proposicional
Introducción
lógica de predicados de orden superior
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados monádicos
lógica proposicional
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
6/152
Motivación
Ejemplo
Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es
mortal.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
7/152
Motivación
Ejemplo
Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es
mortal.
𝑃 : Todos los hombres son mortales
𝐻: Socrátes es humano
𝑀 : Socrátes es mortal
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
8/152
Motivación
Ejemplo
Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es
mortal.
𝑃 : Todos los hombres son mortales
𝐻: Socrátes es humano
𝑀 : Socrátes es mortal
El argumento
1
𝑃
2
𝐻
/∴ 𝑀
es inválido.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
9/152
Motivación
Ejemplo
Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es
mortal.
𝑃 : Todos los hombres son mortales
𝐻: Socrátes es humano
𝑀 : Socrátes es mortal
El argumento
1
𝑃
2
𝐻
/∴ 𝑀
es inválido.
La validez del argumento depende de la estructura interna de los
enunciados simples.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
10/152
Proposiciones singulares
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
11/152
Proposiciones singulares
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Proposición singular
Sujeto + atributo/predicado
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
12/152
Proposiciones singulares
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Proposición singular
Sujeto + atributo/predicado
Ejemplos
Socrátes es mortal
𝑠: Sócrates
𝑀 𝑥: 𝑥 es mortal
𝑀 𝑠: Sócrates es mortal
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
13/152
Proposiciones singulares
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Proposición singular
Sujeto + atributo/predicado
Ejemplos
Socrátes es mortal
𝑠: Sócrates
𝑀 𝑥: 𝑥 es mortal
𝑀 𝑠: Sócrates es mortal
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐻𝑥: 𝑥 es humano
𝐻𝑎, 𝐻𝑏, 𝐻𝑐, …
14/152
Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen variables individuales. No son ni verdaderas ni
falsas.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
15/152
Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen variables individuales. No son ni verdaderas ni
falsas.
Lógica de predicados monádicos
Los predicados sólo tienen una variable.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
16/152
Funciones proposicionales: Instanciación
Instanciación
El proceso de obtener una proposición singular a partir de una función proposicional sustituyendo las variables por constantes.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
17/152
Funciones proposicionales: Instanciación
Instanciación
El proceso de obtener una proposición singular a partir de una función proposicional sustituyendo las variables por constantes.
Ejemplo
𝐻𝑥: 𝑥 es humano
𝐻𝑠 es una instancia de sustitución de 𝐻𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
18/152
Funciones proposicionales: Generalización
Proposición general
Una proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene a
partir de una función proposicional por generalización (cuantificación).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
19/152
Funciones proposicionales: Generalización
Proposición general
Una proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene a
partir de una función proposicional por generalización (cuantificación).
Cuantificadores
(∀𝑥): Cuantificador universal
(∃𝑥): Cuantificador existencial
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
20/152
Funciones proposicionales: Generalización
Proposición general
Una proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene a
partir de una función proposicional por generalización (cuantificación).
Cuantificadores
(∀𝑥): Cuantificador universal
(∃𝑥): Cuantificador existencial
Notación: Copi [1998], Hurley [2012] y LogicCoach 11 usan la
notación ‘(𝑥)’ en lugar de la notación ‘(∀𝑥)’.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
21/152
Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
22/152
Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
23/152
Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
24/152
Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
(∀𝑥)𝑀 𝑥.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
25/152
Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
(∀𝑥)𝑀 𝑥.
Ejemplo
Algo es mortal,
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
26/152
Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
(∀𝑥)𝑀 𝑥.
Ejemplo
Algo es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
27/152
Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
(∀𝑥)𝑀 𝑥.
Ejemplo
Algo es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀 𝑥,
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
28/152
Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
(∀𝑥)𝑀 𝑥.
Ejemplo
Algo es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀 𝑥,
(∃𝑥)𝑀 𝑥.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
29/152
Verdad de las proposiciones generales
La cuantificación universal de una función proposicional es verdadera
cuando todas sus instancias de sustitución son verdades.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
30/152
Verdad de las proposiciones generales
La cuantificación universal de una función proposicional es verdadera
cuando todas sus instancias de sustitución son verdades.
La cuantificación existencial de una función proposicional es
verdadera cuando al menos una instancia de sustitución es verdadera.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
31/152
Negación de las proposiciones generales
Ejemplos
Proposición general
Negación
Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
32/152
Negación de las proposiciones generales
Ejemplos
Proposición general
Negación
Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥
Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀 𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
33/152
Negación de las proposiciones generales
Ejemplos
Proposición general
Negación
Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥
Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀 𝑥
Algo es mortal: (∃𝑥)𝑀 𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
34/152
Negación de las proposiciones generales
Ejemplos
Proposición general
Negación
Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥
Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀 𝑥
Algo es mortal: (∃𝑥)𝑀 𝑥
Nada es mortal: (∀𝑥)∼𝑀 𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
35/152
Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
Convenciones
Existe al menos un individuo.
Φ: Representa cualquier símbolo de atributo/predicado (variable
predicativa).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
36/152
Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
(∀𝑥)Φ𝑥
contrarias
(∀𝑥)∼Φ𝑥
co
n
s
ria
o
icdt i
rad ctor
t
n
ias
co
tra
(∃𝑥)Φ𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
subcontrarias
(∃𝑥)∼Φ𝑥
37/152
Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
(∀𝑥)Φ𝑥
contrarias
(∀𝑥)∼Φ𝑥
co
n
s
ria
o
icdt i
rad ctor
t
n
ias
co
tra
(∃𝑥)Φ𝑥
subcontrarias
(∃𝑥)∼Φ𝑥
Relaciones
Proposiciones contrarias: Ambas pueden ser falsas, pero no pueden
ser ambas verdaderas.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
38/152
Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
(∀𝑥)Φ𝑥
contrarias
(∀𝑥)∼Φ𝑥
co
n
s
ria
o
icdt i
rad ctor
t
n
ias
co
tra
(∃𝑥)Φ𝑥
subcontrarias
(∃𝑥)∼Φ𝑥
Relaciones
Proposiciones subcontrarias: Ambas pueden ser verdaderas, pero no
pueden ambas ser falsas.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
39/152
Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
(∀𝑥)Φ𝑥
contrarias
(∀𝑥)∼Φ𝑥
co
n
s
ria
o
icdt i
rad ctor
t
n
ias
co
tra
(∃𝑥)Φ𝑥
subcontrarias
(∃𝑥)∼Φ𝑥
Relaciones
Proposiciones contradictorias: Una debe ser verdadera y la otra falsa.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
40/152
Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
(∀𝑥)Φ𝑥
contrarias
(∀𝑥)∼Φ𝑥
co
n
s
ria
o
icdt i
rad ctor
t
n
ias
co
tra
(∃𝑥)Φ𝑥
subcontrarias
(∃𝑥)∼Φ𝑥
Relaciones
En cada lado, la verdad de la proposición más baja es implicada por la
verdad de la proposición de arriba.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
41/152
Alcance de un cuantificador
Ejemplo
(1) es diferente a (2):
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(1)
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
(2)
42/152
Alcance de un cuantificador
Ejemplo
(1) es diferente a (2):
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(1)
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
(2)
La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏, …
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
43/152
Alcance de un cuantificador
Ejemplo
(1) es diferente a (2):
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(1)
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
(2)
La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏, …
(2) es una función proposicional
Instancias de substitución: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑎, (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑏, …
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
44/152
Alcance de un cuantificador
Ejemplo
(1) es diferente a (2):
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(1)
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
(2)
La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏, …
(2) es una función proposicional
Instancias de substitución: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑎, (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑏, …
Convención
Un cuantificador tiene como alcance, la más pequeña de las componentes
que la puntuación permita.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Proposiciones generales “tradicionales”
Afirmativa universal (A)
Negativa universal (E)
Afirmativa particular (I)
Negativa particular (O)
Ejemplos
(A)
(E)
(I)
(O)
Todos los humanos son mortales
Ningún humano es mortal
Algunos humanos son mortales
Algunos humanos no son mortales
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝑀 𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝑀 𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝑀 𝑥)
46/152
Proposiciones generales “tradicionales”
Afirmativa universal (A)
Negativa universal (E)
Afirmativa particular (I)
Negativa particular (O)
Ejemplos
(A)
(E)
(I)
(O)
Todos los humanos son mortales
Ningún humano es mortal
Algunos humanos son mortales
Algunos humanos no son mortales
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝑀 𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝑀 𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝑀 𝑥)
Observación: Mirar la figura en Copi [1998, pág. 92].
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Representación de enunciados
Ejemplo
Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Representación de enunciados
Ejemplo
Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los miembros son padres o ingenieros.
𝑀 𝑥: 𝑥 es miembro
𝑃 𝑥: 𝑥 es padre
𝐼𝑥: 𝑥 es ingeniero
(∀𝑥)[𝑀 𝑥 ⊃ (𝑃 𝑥 ∨ 𝐼𝑥)]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
49/152
Representación de enunciados
Ejemplo
Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Algunos senadores son o desleales o mal aconsejados.
𝑆𝑥: 𝑥 es senador
𝐷𝑥: 𝑥 es desleal
𝑀 𝑥: 𝑥 es mal aconsejado
(∃𝑥)[𝑆𝑥 ∧ (𝐷𝑥 ∨ 𝑀 𝑥)]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Representación de enunciados
Ejemplo
Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Las manzanas y los plátanos son nutritivos.
𝑀 𝑥: 𝑥 es una manzana
𝑃 𝑥: 𝑥 es un plátano
𝑁 𝑥: 𝑥 es nutritivo
[(∀𝑥)(𝑀 𝑥 ⊃ 𝑁 𝑥)] ∧ [(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝑁 𝑥)] (proposición general
compuesta)
(∀𝑥)[(𝑀 𝑥 ∨ 𝑃 𝑥) ⊃ 𝑁 𝑥] (proposición general simple)
(∀𝑥)[(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ 𝑁 𝑥] (incorrecta!)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
51/152
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Los ejecutivos todos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene
una secretaria.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Los ejecutivos todos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene
una secretaria.)
Representación: (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑆𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.5*, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Sólo los ejecutivos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene
una secretaria.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
54/152
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.5*, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Sólo los ejecutivos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene
una secretaria.)
Representación: (∀𝑥)(𝑆𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
55/152
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.12, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Ningún visitante se quedó a cenar. (𝑉 𝑥: 𝑥 es un visitante. 𝐶𝑥: 𝑥 se quedó
a cenar.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
56/152
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.12, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Ningún visitante se quedó a cenar. (𝑉 𝑥: 𝑥 es un visitante. 𝐶𝑥: 𝑥 se quedó
a cenar.)
Representación: ∼(∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝐶𝑥) o (∀𝑥)(𝑉 𝑥 ⊃ ∼𝐶𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
57/152
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.13, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Nada en la casa escapó a la destrucción. (𝐶𝑥: 𝑥 estaba en la casa. 𝐸𝑥: 𝑥
escapó a la destrucción.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.13, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Nada en la casa escapó a la destrucción. (𝐶𝑥: 𝑥 estaba en la casa. 𝐸𝑥: 𝑥
escapó a la destrucción.)
Representación: (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ ∼𝐸𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
59/152
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.16, pág. 95)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Algunos medicamentos son peligrosos sólo si se toman en cantidades
excesivas. (𝑀 𝑥: 𝑥 es un medicamento. 𝑃 𝑥: 𝑥 es peligroso. 𝐸𝑥: 𝑥 se toma
en cantidades excesivas.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
60/152
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.16, pág. 95)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Algunos medicamentos son peligrosos sólo si se toman en cantidades
excesivas. (𝑀 𝑥: 𝑥 es un medicamento. 𝑃 𝑥: 𝑥 es peligroso. 𝐸𝑥: 𝑥 se toma
en cantidades excesivas.)
Representación: (∃𝑥)[𝑀 𝑥 ∧ (𝑃 𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
61/152
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 95)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Todas las frutas y las verduras son sanas y nutritivas. (𝐹 𝑥: 𝑥 es una fruta.
𝑉 𝑥: 𝑥 es una verdura. 𝑆𝑥: 𝑥 es sana. 𝑁 𝑥: 𝑥 es nutritiva.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
62/152
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 95)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Todas las frutas y las verduras son sanas y nutritivas. (𝐹 𝑥: 𝑥 es una fruta.
𝑉 𝑥: 𝑥 es una verdura. 𝑆𝑥: 𝑥 es sana. 𝑁 𝑥: 𝑥 es nutritiva.)
Representación: (∀𝑥)[(𝐹 𝑥 ∨ 𝑉 𝑥) ⊃ (𝑆𝑥 ∧ 𝑁 𝑥)]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
63/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los novelistas son observadores. Algunos poetas no son
observadores. Por lo tanto, ningún novelista es poeta.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los novelistas son observadores. Algunos poetas no son
observadores. Por lo tanto, ningún novelista es poeta.
𝑁 𝑥: 𝑥 es un novelista
𝑂𝑥: 𝑥 es observador
𝑃 𝑥: 𝑥 es un poeta
Representación:
1
(∀𝑥)[𝑁 𝑥 ⊃ 𝑂𝑥]
2
(∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝑂𝑥) /∴ ∼(∃𝑥)(𝑁 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥)
Una forma alternativa de representar la conclusión es (∀𝑥)(𝑁 𝑥 ⊃ ∼𝑃 𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
65/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los estadistas son inteligentes. Algunos políticos son inteligentes. No
todos los políticos son inteligentes. Luego, todos los estadistas son
políticos.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
66/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los estadistas son inteligentes. Algunos políticos son inteligentes. No
todos los políticos son inteligentes. Luego, todos los estadistas son
políticos.
𝐸𝑥: 𝑥 es un estadista
𝐼𝑥: 𝑥 es inteligente
𝑃 𝑥: 𝑥 es un político
Representación:
1
(∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ 𝐼𝑥]
2
(∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ 𝐼𝑥)
3
∼(𝑉 𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐼𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
Una forma alternativa de representar la tercera premisa es
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
67/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los estadistas son políticos. Algunos estadistas son inteligentes.
Algunos políticos no son estadistas. Luego, algunos políticos no son
inteligentes.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
68/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los estadistas son políticos. Algunos estadistas son inteligentes.
Algunos políticos no son estadistas. Luego, algunos políticos no son
inteligentes.
𝐸𝑥: 𝑥 es un estadista
𝐼𝑥: 𝑥 es inteligente
𝑃 𝑥: 𝑥 es un político
Representación:
1
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
2
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝐼𝑥)
3
(∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝐸𝑥)
/∴ (∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
69/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Los caballos y las vacas son mamíferos. Algunos animales son mamíferos.
Algunos animales no son mamíferos. Luego todos los caballos son
animales.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
70/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Los caballos y las vacas son mamíferos. Algunos animales son mamíferos.
Algunos animales no son mamíferos. Luego todos los caballos son
animales.
𝐶𝑥: 𝑥 es un caballo
𝑉 𝑥: 𝑥 es una vaca
𝑀 𝑥: 𝑥 es una mamífero
𝐴𝑥: 𝑥 es un animal
Representación:
1
(∀𝑥)[(𝐶𝑥 ∨ 𝑉 𝑥) ⊃ 𝑀 𝑥]
2
(∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝑀 𝑥)
3
(∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ ∼𝑀 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐴𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
71/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 108)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Sólo los ciudadanos votan. No todos los residentes son ciudadanos. Luego
algunos que votan no son residentes.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
72/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 108)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Sólo los ciudadanos votan. No todos los residentes son ciudadanos. Luego
algunos que votan no son residentes.
𝐶𝑥: 𝑥 es un ciudadano
𝑉 𝑥: 𝑥 vota
𝑅𝑥: 𝑥 es residente
Representación:
1
(∀𝑥)[𝑉 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥]
2
∼(∀𝑥)(𝑅𝑥 ⊃ 𝐶𝑥)
/∴ (∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ ∼𝑅𝑥)
Una forma alternativa de representar la segunda premisa es
(∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝑅𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
73/152
Proposiciones generales y número de individuos
Supuesto de la lógica de predicados
Existe al menos un individuo.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
74/152
Proposiciones generales y número de individuos
Supuesto de la lógica de predicados
Existe al menos un individuo.
𝑐
Notación: 𝑝 ∷ 𝑞 significa que 𝑝 es condicionalmente lógicamente
equivalente a 𝑞.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
75/152
Proposiciones generales y número de individuos
Si hay exactamente un individuo 𝑎:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎,
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
76/152
Proposiciones generales y número de individuos
Si hay exactamente un individuo 𝑎:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎,
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎.
Si hay exactamente dos individuos 𝑎 y 𝑏:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏),
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
77/152
Proposiciones generales y número de individuos
Si hay exactamente un individuo 𝑎:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎,
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎.
Si hay exactamente dos individuos 𝑎 y 𝑏:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏),
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏).
Si hay exactamente 𝑘 individuos 𝑎, 𝑏, … , 𝑘:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏 ∧ ⋯ ∧ Φ𝑘),
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏 ∨ ⋯ ∨ Φ𝑘).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
78/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Validez de Argumentos
“Un argumento que involucra cuantificadores es válido si y sólo si es válido
no importando cuántos individuos hay, siempre que haya cuando menos
uno.”1
1
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 103.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
80/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
81/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
𝐵𝑎
𝐸𝑎
𝑃𝑎
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎
Validez
82/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
𝐵𝑎
𝐸𝑎
𝑃𝑎
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎
F
Validez
83/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
𝐵𝑎
T
𝐸𝑎
F
𝑃𝑎
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎
F
Validez
84/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
𝐵𝑎
T
𝐸𝑎
F
𝑃𝑎
T
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎
F
Validez
85/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
𝐵𝑎
T
𝐸𝑎
F
𝑃𝑎
T
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎
F
Validez
×
El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
86/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo
tanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
87/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo
tanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎 el argumento es válido.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
88/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo
tanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para dos individuos 𝑎 y 𝑏:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃 𝑏)
(𝐸𝑎 ∧ 𝑃 𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏)
89/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo
tanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para dos individuos 𝑎 y 𝑏:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃 𝑏)
(𝐸𝑎 ∧ 𝑃 𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏)
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏)
El argumento es inválido para la asignación:
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
90/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo
tanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para dos individuos 𝑎 y 𝑏:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃 𝑏)
(𝐸𝑎 ∧ 𝑃 𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏)
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏)
El argumento es inválido para la asignación:
𝐵𝑎
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐵𝑏
T
𝐸𝑎
F
𝐸𝑏
T
𝑃𝑎
T
𝑃𝑏
T
91/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 107)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝐼𝑥)
(∃𝑥)(𝐽 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐽 𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
92/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 107)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝐼𝑥)
(∃𝑥)(𝐽 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐽 𝑥)
El argumento es inválido con dos individuos 𝑎 y 𝑏 y la asignación:
𝐻𝑎
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐼𝑎
F
𝐽𝑎
F
𝐻𝑏
T
𝐼𝑏
F
𝐽𝑏
T
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Invalidez de argumentos empleando universos finitos
Ejemplo
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ (∀𝑥)𝑀 𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
/∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
94/152
Invalidez de argumentos empleando universos finitos
Ejemplo
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ (∀𝑥)𝑀 𝑥
/∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
El argumento es inválido con dos individuos 𝑎 y 𝑏:
𝐻𝑎
T
𝐻𝑏
F
𝑀𝑎
F
𝑀𝑏
F
(𝐻𝑎 ∧ 𝐻𝑏) ⊃ (𝑀 𝑎 ∧ 𝑀 𝑏)
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
(𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎) ∧ (𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏)
F
Validez
×
95/152
Decidibilidad de la lógica de predicados monádicos
Teorema
“Si un argumento contiene 𝑛 símbolos de predicados diferentes, entonces,
si es válido para un modelo que contenga 2𝑛 individuos, entonces es válido
en cualquier modelo, o universalmente válido.”2
2
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 106. Ackermann [1954, pág. 35]
menciona que la prueba original es de Löwenheim [1915].
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
96/152
Decidibilidad de la lógica de predicados monádicos
Teorema
“Si un argumento contiene 𝑛 símbolos de predicados diferentes, entonces,
si es válido para un modelo que contenga 2𝑛 individuos, entonces es válido
en cualquier modelo, o universalmente válido.”2
Observación: El teorema anterior sólo es válido para símbolos de
predicados monádicos.
2
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 106. Ackermann [1954, pág. 35]
menciona que la prueba original es de Löwenheim [1915].
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Variables libres y ligadas
Definición (Variable libre)
Una variable que no se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Definición (Variable ligada)
Una variable que se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Ejemplos
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥: La primera, segunda y tercera ocurrencia de 𝑥
están ligadas. La cuarta ocurrencia de 𝑥 está libre.3
3
Para Copi [1998], la primera ocurrencia de la variable 𝑥 ocurre en (∀𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Variables libres y ligadas
Definición (Variable libre)
Una variable que no se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Definición (Variable ligada)
Una variable que se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Ejemplos
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥: La primera, segunda y tercera ocurrencia de 𝑥
están ligadas. La cuarta ocurrencia de 𝑥 está libre.3
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐶𝑥): La primera, segunda y tercera
ocurrencia de 𝑥 están ligadas al cuantificador universal. La cuarta, quinta
y sexta ocurrencia de 𝑥 están ligadas al cuantificador existencial.
3
Para Copi [1998], la primera ocurrencia de la variable 𝑥 ocurre en (∀𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen al menos una variable libre.
Proposiciones
Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
100/152
Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen al menos una variable libre.
Proposiciones
Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
Ejemplos
Las funciones proposicionales pueden contener:
Proposiciones singulares: 𝐹 𝑎 ∧ 𝐺𝑎
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
101/152
Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen al menos una variable libre.
Proposiciones
Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
Ejemplos
Las funciones proposicionales pueden contener:
Proposiciones singulares: 𝐹 𝑎 ∧ 𝐺𝑎
Proposiciones generales: (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
102/152
Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen al menos una variable libre.
Proposiciones
Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
Ejemplos
Las funciones proposicionales pueden contener:
Proposiciones singulares: 𝐹 𝑎 ∧ 𝐺𝑎
Proposiciones generales: (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥
Varias variables libres: 𝐹 𝑢 ∧ 𝐺𝑣
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
103/152
Instanciación de funciones proposicionales
Regla
Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partir
de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cada
ocurrencia libre de la misma variable.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
104/152
Instanciación de funciones proposicionales
Regla
Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partir
de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cada
ocurrencia libre de la misma variable.
Ejemplo
Función proposicional:
𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
105/152
Instanciación de funciones proposicionales
Regla
Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partir
de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cada
ocurrencia libre de la misma variable.
Ejemplo
Función proposicional:
Instancia correcta:
𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)
𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
106/152
Instanciación de funciones proposicionales
Regla
Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partir
de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cada
ocurrencia libre de la misma variable.
Ejemplo
Función proposicional:
Instancia correcta:
Instancia incorrecta:
𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)
𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)
𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
107/152
Instanciación de funciones proposicionales
Regla
Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partir
de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cada
ocurrencia libre de la misma variable.
Ejemplo
Función proposicional:
Instancia correcta:
Instancia incorrecta:
Instancia correcta:
𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)
𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)
𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐)
𝐹 𝑐 ∨ (𝐺𝑐 ∧ 𝐻𝑐)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Generalización de funciones proposicionales
Ejemplo
Función proposicional: 𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
109/152
Generalización de funciones proposicionales
Ejemplo
Función proposicional: 𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
(∃𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∃𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∃𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
110/152
Generalización de funciones proposicionales
Ejemplo
Función proposicional: 𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
(∃𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∃𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∃𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
Ejemplo
Función proposicional: 𝐹 𝑥 ∧ 𝐺𝑦
y (∀𝑦)(𝐹 𝑥 ∧ 𝐺𝑦)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
111/152
Prueba formal de validez
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
112/152
Prueba formal de validez
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
113/152
Prueba formal de validez
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,
cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
114/152
Prueba formal de validez
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,
cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,
cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de las
proposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla de
inferencia o por una equivalencia lógica y
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
115/152
Prueba formal de validez
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,
cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,
cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de las
proposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla de
inferencia o por una equivalencia lógica y
la última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
116/152
Inferencias con funciones proposicionales
Nuestras reglas de inferencia trabajan con funciones proposicionales.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
117/152
Inferencias con funciones proposicionales
Nuestras reglas de inferencia trabajan con funciones proposicionales.
Ejemplo
Aunque 𝐹 𝑥 y 𝐺𝑥 son funciones proposicionales, la siguiente inferencia es
correcta:
42
𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥
43
𝐹𝑥
44
𝐺𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
MP 42, 43
118/152
Inferencias con funciones proposicionales
Acerca de la validez
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de otras funciones proposionales?
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
119/152
Inferencias con funciones proposicionales
Acerca de la validez
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de otras funciones proposionales?
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de ciertas proposiciones?
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
120/152
Inferencias con funciones proposicionales
Acerca de la validez
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de otras funciones proposionales?
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de ciertas proposiciones?
¿En qué sentido puede decirse que una proposición válidamente se sigue de
funciones proposionales?
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
121/152
Inferencias con funciones proposicionales
Acerca de la validez
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de otras funciones proposionales?
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de ciertas proposiciones?
¿En qué sentido puede decirse que una proposición válidamente se sigue de
funciones proposionales?
Respuesta: Cuando cualquier instancia de sustitución produce un argumento
válido.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
122/152
Reglas de inferencia
Observación: Copi y Hurley presentan las reglas de inferencia
gradualmente [Copi 1998, § 4.2 y § 4.5] y [Hurley 2012, § 8.2 y § 8.4].
Nuestra presentación corresponde a las reglas presentadas en Hurley [2012,
§ 8.4] (y usadas por LogicCoach) y éstas serán las reglas evaluadas.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
123/152
Reglas de inferencia
Instanciación de cuantificadores
“Instantiation is an operation that consists in deleting a quantifier and replacing every variable bound by that quantifier with the same instantial
letter.”[Hurley 2012, pág. 452]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
124/152
Reglas de inferencia
Instanciación de cuantificadores
“Instantiation is an operation that consists in deleting a quantifier and replacing every variable bound by that quantifier with the same instantial
letter.”[Hurley 2012, pág. 452]
Generalización de cuantificadores
“Generalization... is an operation that consists in (1) introducing a quantifier immediately prior to a statement, a statement function, or another
quantifier, and (2) replacing one or more occurrences of a certain instantial
letter in the statement or statement function with the same variable that
appears in the quantifier. For universal generalization, all occurrences of the
instantial letter must be replaced with the variable in the quantifier, and
for existential generalization, at least one of the instantial letters must be
replaced with the variable in the quantifier.”[Hurley 2012, pág. 454-5]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
125/152
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
126/152
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
127/152
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
128/152
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧
𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
129/152
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧
𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales
𝔉𝑎: Denota una proposición
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
130/152
Regla de inferencia: Instanciación universal
Instanciación universal (UI)
(∀𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
(∀𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑎
131/152
Regla de inferencia: Instanciación universal
Instanciación universal (UI)
(∀𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦
(∀𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑎
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 96)
Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es
mortal.
1
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
2
𝐻𝑠
3
𝐻𝑠 ⊃ 𝑀 𝑠
UI 1
4
𝑀𝑠
MP 3, 2
/∴ 𝑀 𝑠
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
132/152
Regla de inferencia: Generalización existencial
Generalización existencial (EG)
𝔉𝑎
(∃𝑥)𝔉𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝔉𝑦
(∃𝑥)𝔉𝑥
133/152
Regla de inferencia: Generalización existencial
Generalización existencial (EG)
𝔉𝑎
(∃𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦
(∃𝑥)𝔉𝑥
Ejemplo
1
(∀𝑥)𝐴𝑥 /∴ (∃𝑥)𝐴𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
134/152
Regla de inferencia: Generalización existencial
Generalización existencial (EG)
𝔉𝑎
(∃𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦
(∃𝑥)𝔉𝑥
Ejemplo
1
(∀𝑥)𝐴𝑥 /∴ (∃𝑥)𝐴𝑥
2
𝐴𝑥
UI 1
3
(∃𝑥)𝐴𝑥
EG 2
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
135/152
Regla de inferencia: Instanciación existencial
Instanciación existencial (EI)
(∃𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑎
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
Restricción: El individuo 𝑎 debe ser un
individuo nuevo que no aparece en ningún
renglón anterior (incluyendo el renglón de la
conclusión del argumento).
136/152
Regla de inferencia: Instanciación existencial
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 123)
1
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥)
2
(∃𝑦)𝐹 𝑦
3
𝐹𝑎
EI 2
4
𝐹 𝑎 ⊃ 𝐺𝑎
UI 1
5
𝐺𝑎
MP 4, 3
6
(∃𝑧)𝐺𝑧
EG 5
/∴ (∃𝑧)𝐺𝑧
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
137/152
Regla de inferencia: Generalización universal
Generalización universal (UG)
𝔉𝑦
(∀𝑥)𝔉𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
Restricción: UG no debe ser usada dentro
del alcance de un supuesto si la variable 𝑦
está libre en la línea donde se introdujo el
supuesto.
Restricción: UG no debe ser usada si la
variable 𝑦 está libre en cualquier línea
precedente obtenida por EI.
138/152
Regla de inferencia: Generalización universal
Ejemplo (Hurley (2012), pág. 453)
1
(∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐵𝑥)
2
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐶𝑥)
3
𝐴𝑦 ⊃ 𝐵𝑦
UI 1
4
𝐵𝑦 ⊃ 𝐶𝑦
UI 2
5
𝐴𝑦 ⊃ 𝐶𝑦
HS 3, 4
6
(∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐶𝑥)
UG 5
/∴ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐶𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
139/152
Regla de inferencia: Generalización universal
Ejemplo
1
(∃𝑥)𝐹 𝑥
2
𝐹𝑎
EI 1
3
(∀𝑥)𝐹 𝑥
UG 2 Error!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
/∴ (∀𝑥)𝐹 𝑥
140/152
Regla de inferencia: Generalización universal
Ejemplo
1
(∃𝑥)𝐹 𝑥
/∴ (∀𝑥)𝐹 𝑥
2
𝐹𝑎
EI 1
3
(∀𝑥)𝐹 𝑥
UG 2 Error!
Error: La letra instanciada es una constante.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
141/152
Reglas de inferencia
Observación: Las reglas de inferencia UI, UG, EI y EU son reglas de
“renglón completo”.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
142/152
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 101)
Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1
2
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ ∼𝐺𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝐺𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹 𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
143/152
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 101)
Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ ∼𝐺𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝐺𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹 𝑥)
𝐻𝑎 ∧ 𝐺𝑎
𝐹 𝑎 ⊃ ∼𝐺𝑎
𝐻𝑎
𝐺𝑎
∼∼𝐺𝑎
∼𝐹 𝑎
𝐻𝑎 ∧ ∼𝐹 𝑎
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹 𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
EI 2
UI 1
Simp 3
Simp 3
DN 6
MT 4, 7
Conj 5, 8
EG 9
144/152
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Hurley (2012), pág. 459)
Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1
2
3
[(∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥] ⊃ 𝐶𝑗
(∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥)
(∃𝑥)(𝐵𝑥 ∧ 𝐸𝑥) /∴ 𝐶𝑗
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
145/152
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Hurley (2012), pág. 459)
Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[(∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥] ⊃ 𝐶𝑗
(∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥)
(∃𝑥)(𝐵𝑥 ∧ 𝐸𝑥) /∴ 𝐶𝑗
𝐴𝑚 ∧ 𝐷𝑚
𝐵𝑛 ∧ 𝐸𝑛
𝐴𝑚
𝐵𝑛
(∃𝑥)𝐴𝑥
(∃𝑥)𝐵𝑥
(∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥
𝐶𝑗
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
EI 2
EI 3
Simp 4
Simp 5
EG 6
EG 7
Conj 8, 9
MP 1, 10
146/152
Regla de inferencia: Cambio de cuantificador
Cambio de cuantificador (CQ: Change of Quantifier)
(∀𝑥)𝔉𝑥 ∷ ∼(∃𝑥)∼𝔉𝑥
∼(∀𝑥)𝔉𝑥 ∷ (∃𝑥)∼𝔉𝑥
(∀𝑥)∼𝔉𝑥 ∷ ∼(∃𝑥)𝔉𝑥
∼(∀𝑥)∼𝔉𝑥 ∷ (∃𝑥)𝔉𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
147/152
Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 134)
Demostrar que [(∀𝑥)𝐹 𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥)] ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
148/152
Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 134)
Demostrar que [(∀𝑥)𝐹 𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥)] ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥).
Primera parte
1
(∀𝑥)𝐹 𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥
/∴ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
2
(∀𝑥)𝐹 𝑥
ACP
3
𝐹𝑦
UI 2
4
𝐹 𝑦 ∨ 𝐺𝑦
Add 3
5
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
UG 4
6
(∀𝑥)𝐹 𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
CP 2–5
149/152
Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (continuación)
Segunda parte
7
(∀𝑥)𝐺𝑥
ACP
8
𝐺𝑦
UI 7
9
𝐹 𝑦 ∨ 𝐺𝑦
Add 8
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
UG 9
10
11
(∀𝑥)𝐺𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
CP 7–10
150/152
Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (continuación)
Finalmente
12
[(∀𝑥)𝐹 𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)]
∧ [(∀𝑥)𝐺𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)]
Conj 6, 11
13
[(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)] ∨ [(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)]
CD 12, 1
14
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
Taut 13
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
151/152
Referencias
Ackermann, W. (1954). Solvable Cases of the Decision Problem. North-Holland
Publishing Company.
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.
Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth,
Cengage Learning.
Löwenheim, Leopold (1915). Über Möglichkeiten im Relativkalkül.
Mathematische Annalen 76.4, págs. 447-470.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Lógica - CM0260
La lógica de las relaciones
Andrés Sicard Ramírez
Universidad EAFIT
Semestre 2015-2
Contexto
Lógica de predicados (de primer orden)
Predicados monádicos (atributos)
Predicados poliádicos (relaciones)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
2/112
Motivación
Deaño [1994] comienza la sección acerca de la lógica de las relaciones con
el siguiente ejemplo:1
Ejemplo
“Soy detective privado y tengo mi licencia desde hace bastante tiempo. Soy
un tipo solitario, no estoy casado, estoy entrando en la edad madura y no
soy rico. He estado en la cárcel más de una vez y no me ocupo de divorcios.
Me gusta la bebida, las mujeres (…) y algunas otras cosas. No soy muy del
agrado de los polizontes (…). Soy hijo natural, mis padres han muerto, no
tengo hermanos ni hermanas, y si alguna vez llegan a dejarme tieso en una
callejuela oscura (…), nadie, ni hombre ni mujer, sentirá que ha desaparecido
el motivo y fundamento de su vida.”2
1
Deaño, Alfredo (1994). Introducción a la Lógica Formal, págs. 237–8.
Raymon Chandler (1972). El largo adiós. Versión castellana de J. A. Lara. Barral
Editores, pág. 114.
2
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
3/112
Motivación
Ejemplo (continuación)
Dicho de otro modo: 𝐷𝑎 ∧ 𝑇 𝑎 ∧ 𝑆𝑎 ∧ ∼(∀𝑥)𝐶𝑎𝑥 ∧ 𝐸𝑎 ∧ ∼𝑅𝑎 ∧ 𝐸 ′ 𝑎 ∧
(∀𝑥)(𝐷′ 𝑥 ⊃ ∼𝑂𝑎𝑥)∧(∃𝑥)(∃𝑦)(∃𝑧)(∃𝑤)(𝐵𝑥∧𝑀 𝑦 ∧∼𝐵𝑧 ∧∼𝑀 𝑧 ∧∼𝐵𝑤∧
∼𝑀 𝑤 ∧ 𝐺𝑥𝑎 ∧ 𝐺𝑦𝑎 ∧ 𝐺𝑧𝑎 ∧ 𝐺𝑤𝑎) ∧ (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ ∼𝐴𝑎𝑥) ∧ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥𝑎 ∧
𝑀 𝑦𝑎) ⊃ ∼𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝑀 ′ 𝑥 ∧ 𝑀 ′ 𝑦] ∧ ∼(∃𝑥)∼(∃𝑦)[𝐻𝑥 ∧ 𝑀 𝑦 ∧ (𝐻𝑥𝑎 ∨ 𝐻𝑦𝑎)] ∧
(∃𝑥)(𝑇 ′ 𝑥𝑎 ⊃ ∼(∃𝑦)[(𝐻𝑦 ∨ 𝑀 𝑦) ∧ 𝑆 ′ 𝑦)].
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
4/112
Motivación
Ejemplo (continuación)
Dicho de otro modo: 𝐷𝑎 ∧ 𝑇 𝑎 ∧ 𝑆𝑎 ∧ ∼(∀𝑥)𝐶𝑎𝑥 ∧ 𝐸𝑎 ∧ ∼𝑅𝑎 ∧ 𝐸 ′ 𝑎 ∧
(∀𝑥)(𝐷′ 𝑥 ⊃ ∼𝑂𝑎𝑥)∧(∃𝑥)(∃𝑦)(∃𝑧)(∃𝑤)(𝐵𝑥∧𝑀 𝑦 ∧∼𝐵𝑧 ∧∼𝑀 𝑧 ∧∼𝐵𝑤∧
∼𝑀 𝑤 ∧ 𝐺𝑥𝑎 ∧ 𝐺𝑦𝑎 ∧ 𝐺𝑧𝑎 ∧ 𝐺𝑤𝑎) ∧ (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ ∼𝐴𝑎𝑥) ∧ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥𝑎 ∧
𝑀 𝑦𝑎) ⊃ ∼𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝑀 ′ 𝑥 ∧ 𝑀 ′ 𝑦] ∧ ∼(∃𝑥)∼(∃𝑦)[𝐻𝑥 ∧ 𝑀 𝑦 ∧ (𝐻𝑥𝑎 ∨ 𝐻𝑦𝑎)] ∧
(∃𝑥)(𝑇 ′ 𝑥𝑎 ⊃ ∼(∃𝑦)[(𝐻𝑦 ∨ 𝑀 𝑦) ∧ 𝑆 ′ 𝑦)].
(𝐷𝑥: 𝑥 es detective privado. 𝑇 𝑥: 𝑥 tiene su licencia desde hace bastante
tiempo. 𝑆𝑥: 𝑥 es un tipo solitario. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 está casado con 𝑦. 𝐸𝑥: 𝑥 está
entrando en la edad madura. 𝑅𝑥: 𝑥 es rico. 𝐸 ′ 𝑥: 𝑥 ha estado en la cárcel
más de una vez. 𝐷′ 𝑥: 𝑥 es un divorcio. 𝑂𝑥𝑦: 𝑥 se ocupa de 𝑦. 𝐵𝑥: 𝑥 es una
bebida. 𝑀 𝑥: 𝑥 es una mujer. 𝐺𝑥𝑦: 𝑥 le gusta a 𝑦. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un polizonte.
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 no es muy del agrado de 𝑦. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es padre de 𝑦. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es madre
de 𝑦. 𝑀 ′ 𝑥: 𝑥 está muerto. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝐻𝑥𝑦: 𝑥 es hermano(a)
de 𝑦. 𝑇 𝑥𝑦: 𝑥 deja tieso a 𝑦 en una callejuela oscura. 𝑆 ′ 𝑥: 𝑥 siente que
ha desaparecido el motivo y fundamento de su vida. 𝑎: El individuo quien
habla.)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Motivación
Ejemplo (continuación)
“Es decir: 𝑎 es detective privado y 𝑎 tiene su licencia desde hace bastante
tiempo y 𝑎 es un tipo solitario y no hay ningún 𝑥 tal que 𝑎 esté casado
con 𝑥 y 𝑎 está entrando en la edad madura y 𝑎 no es rico y 𝑎 ha estado
en la cárcel más de una vez y para todo 𝑥, si 𝑥 es un divorcio entonces 𝑎
no se ocupa de 𝑥 y hay algún 𝑥 tal que 𝑥 es una bebida y 𝑥 gusta a 𝑎 y
hay algún 𝑦 tal que 𝑦 es una mujer e 𝑦 gusta a 𝑎 y hay algún 𝑧 y algún 𝑤
que no son bebidas ni mujeres y que gustan a 𝑎, y para todo 𝑥, si 𝑥 es
un polizonte, entonces 𝑎 no es muy del agrado de 𝑥, y para todo 𝑥 y para
todo 𝑦 si 𝑥 es padre de 𝑎 e 𝑦 es madre de 𝑎 entonces 𝑥 y 𝑦 no estuvieron
casados y 𝑥 está muerto e 𝑦 está muerta, y no hay ningún 𝑥 ni ningún 𝑦
tales que si 𝑥 es varón e 𝑦 mujer, 𝑥 sea hermano de 𝑎 o 𝑦 sea hermana de 𝑎,
y si hay algún 𝑥 tal que 𝑥 deja tieso a 𝑎 en una callejuela oscura, entonces
no habrá ningún 𝑦, sea varón o sea mujer, que sienta que ha desaparecido
el motivo y fundamento de su vida.”
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Motivación
Con base en el ejemplo anterior, Deaño [1994] concluye que si el lenguaje
lógico no dispusiera de predicados poliádicos:
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Motivación
Con base en el ejemplo anterior, Deaño [1994] concluye que si el lenguaje
lógico no dispusiera de predicados poliádicos:
nadie podría relatar en él su vida,
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Motivación
Con base en el ejemplo anterior, Deaño [1994] concluye que si el lenguaje
lógico no dispusiera de predicados poliádicos:
nadie podría relatar en él su vida,
tampoco sería posible traducir al simbolismo lógico los más sencillos
enunciados de la ciencia. No sería posible enunciar siquiera que 2 es
menor que 3,
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Motivación
Con base en el ejemplo anterior, Deaño [1994] concluye que si el lenguaje
lógico no dispusiera de predicados poliádicos:
nadie podría relatar en él su vida,
tampoco sería posible traducir al simbolismo lógico los más sencillos
enunciados de la ciencia. No sería posible enunciar siquiera que 2 es
menor que 3,
y muchos sería los razonamientos que, siendo formalmente válidos, se
verían privados de su reconocimiento como tales.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Relaciones
Predicados
Una variable libre: El predicado representa un atributo.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Relaciones
Predicados
Una variable libre: El predicado representa un atributo.
Dos variables libres: El predicado representa una relación binaria o
diádica.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Relaciones
Predicados
Una variable libre: El predicado representa un atributo.
Dos variables libres: El predicado representa una relación binaria o
diádica.
Tres variables libres: El predicado representa una relación ternaria o
triádica.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Relaciones
Predicados
Una variable libre: El predicado representa un atributo.
Dos variables libres: El predicado representa una relación binaria o
diádica.
Tres variables libres: El predicado representa una relación ternaria o
triádica.
𝑛 variables libres: El predicado representa una relación 𝑛-ádica.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones sin cuantificadores
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones sin cuantificadores
Ejemplo
Lincon y Grant fueron presidentes.
𝑃 𝑥: 𝑥 fue presidente
𝑙: Lincon
𝑔: Grant
Representación: 𝑃 𝑙 ∧ 𝑃 𝑔
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones sin cuantificadores
Ejemplo
Lincon y Grant fueron presidentes.
𝑃 𝑥: 𝑥 fue presidente
𝑙: Lincon
𝑔: Grant
Representación: 𝑃 𝑙 ∧ 𝑃 𝑔
Ejemplo
Lincon y Grant eran amigos.
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 y 𝑦 eran amigos.
Representación: 𝐴𝑙𝑔
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones sin cuantificadores
Ejemplo
Lincon y Grant fueron presidentes.
𝑃 𝑥: 𝑥 fue presidente
𝑙: Lincon
𝑔: Grant
Representación: 𝑃 𝑙 ∧ 𝑃 𝑔
Ejemplo
Lincon y Grant eran amigos.
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 y 𝑦 eran amigos.
Representación: 𝐴𝑙𝑔
Observación: 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 era amigo de 𝑦.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones con sólo un cuantificador
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
19/112
Representación de enunciados
Proposiciones con sólo un cuantificador
Ejemplo
A Elena le gusta David. A cualquiera que le guste David le gusta Tomás.
A Elena sólo le gustan los hombres bien parecidos. Por lo tanto, Tomás es
un hombre bien parecido.
𝑒: Elena
𝑑: David
𝑡: Tomás
𝐺𝑥𝑦: A 𝑥 le gusta 𝑦
𝑃 𝑥: 𝑥 es un hombre bien parecido
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones con sólo un cuantificador
Ejemplo
A Elena le gusta David. A cualquiera que le guste David le gusta Tomás.
A Elena sólo le gustan los hombres bien parecidos. Por lo tanto, Tomás es
un hombre bien parecido.
𝑒: Elena
𝑑: David
𝑡: Tomás
𝐺𝑥𝑦: A 𝑥 le gusta 𝑦
𝑃 𝑥: 𝑥 es un hombre bien parecido
1
𝐺𝑒𝑑
2
(∀𝑥)(𝐺𝑥𝑑 ⊃ 𝐺𝑥𝑡)
3
(∀𝑥)(𝐺𝑒𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) /∴ 𝑃 𝑡
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
21/112
Representación de enunciados
Proposiciones con sólo un cuantificador (continuación)
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
22/112
Representación de enunciados
Proposiciones con sólo un cuantificador (continuación)
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
𝑎 atrae todo (todo es atraído por 𝑎): (∀𝑥)𝐴𝑎𝑥
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
23/112
Representación de enunciados
Proposiciones con sólo un cuantificador (continuación)
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
𝑎 atrae todo (todo es atraído por 𝑎): (∀𝑥)𝐴𝑎𝑥
𝑎 atrae algo (algo es atraído por 𝑎): (∃𝑥)𝐴𝑎𝑥
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
24/112
Representación de enunciados
Proposiciones con sólo un cuantificador (continuación)
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
𝑎 atrae todo (todo es atraído por 𝑎): (∀𝑥)𝐴𝑎𝑥
𝑎 atrae algo (algo es atraído por 𝑎): (∃𝑥)𝐴𝑎𝑥
Todo atrae a 𝑎 (𝑎 es atraído por todo): (∀𝑥)𝐴𝑥𝑎
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
25/112
Representación de enunciados
Proposiciones con sólo un cuantificador (continuación)
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
𝑎 atrae todo (todo es atraído por 𝑎): (∀𝑥)𝐴𝑎𝑥
𝑎 atrae algo (algo es atraído por 𝑎): (∃𝑥)𝐴𝑎𝑥
Todo atrae a 𝑎 (𝑎 es atraído por todo): (∀𝑥)𝐴𝑥𝑎
Algo atrae a 𝑎 (𝑎 es atraído por algo): (∃𝑥)𝐴𝑥𝑎
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
26/112
Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
27/112
Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
1
Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
28/112
Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
1
Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦
2
Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
29/112
Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
1
Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦
2
Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦
3
Algo atrae algo: (∃𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
30/112
Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
1
Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦
2
Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦
3
Algo atrae algo: (∃𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦
4
Algo es atraído por algo: (∃𝑦)(∃𝑥)𝐴𝑥𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
31/112
Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
1
Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦
2
Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦
3
Algo atrae algo: (∃𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦
4
Algo es atraído por algo: (∃𝑦)(∃𝑥)𝐴𝑥𝑦
5
Nada atrae cosa alguna: (∀𝑥)(∀𝑦)∼𝐴𝑥𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
32/112
Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
1
Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦
2
Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦
3
Algo atrae algo: (∃𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦
4
Algo es atraído por algo: (∃𝑦)(∃𝑥)𝐴𝑥𝑦
5
Nada atrae cosa alguna: (∀𝑥)(∀𝑦)∼𝐴𝑥𝑦
6
Nada es atraído por cosa alguna: (∀𝑦)(∀𝑥)∼𝐴𝑥𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
1
Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦
2
Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦
3
Algo atrae algo: (∃𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦
4
Algo es atraído por algo: (∃𝑦)(∃𝑥)𝐴𝑥𝑦
5
Nada atrae cosa alguna: (∀𝑥)(∀𝑦)∼𝐴𝑥𝑦
6
Nada es atraído por cosa alguna: (∀𝑦)(∀𝑥)∼𝐴𝑥𝑦
Observación: El orden de cuantificadores iguales no importa. Las
proposiciones 1 y 2 , 3 y 4 , y 5 y 6 son lógicamente equivalentes.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador (continuación)
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
35/112
Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador (continuación)
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
7
Todo atrae algo: (∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
36/112
Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador (continuación)
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
7
Todo atrae algo: (∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦
8
Algo es atraído por todo: (∃𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador (continuación)
Ejemplo
𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦
7
Todo atrae algo: (∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦
8
Algo es atraído por todo: (∃𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦
Observación: El orden de cuantificadores diferentes importa. Las
proposiciones 7 y 8 no son lógicamente equivalentes.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador (continuación)
Ejemplo
Proposición
ℕ
ℤ
(∀𝑥)(∃𝑦) 𝑥 ≥ 𝑦
(∃𝑦)(∀𝑥) 𝑥 ≥ 𝑦
✓
✓
✓
×
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Proposiciones con más de un cuantificador (continuación)
Ejemplo
Proposición
ℕ
ℤ
Proposición
ℕ
ℤ
(∀𝑥)(∃𝑦) 𝑥 ≥ 𝑦
(∃𝑦)(∀𝑥) 𝑥 ≥ 𝑦
✓
✓
✓
×
(∀𝑦)(∃𝑥) 𝑥 ≥ 𝑦
(∃𝑥)(∀𝑦) 𝑥 ≥ 𝑦
✓
×
✓
×
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejemplo (Copi [1998], translación paso a paso, pág. 150)
1
Cualquiera que prometa todo a todos está seguro de decepcionar a
alguien.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejemplo (Copi [1998], translación paso a paso, pág. 150)
1
Cualquiera que prometa todo a todos está seguro de decepcionar a
alguien.
2
(∀𝑥){[(𝑥 es una persona) ∧ (𝑥 promete todo a todos)] ⊃
[𝑥 decepciona a alguien]}
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejemplo (Copi [1998], translación paso a paso, pág. 150)
1
Cualquiera que prometa todo a todos está seguro de decepcionar a
alguien.
2
(∀𝑥){[(𝑥 es una persona) ∧ (𝑥 promete todo a todos)] ⊃
[𝑥 decepciona a alguien]}
3
𝑥 promete todo a todos:
(∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃ (𝑥 promete todo a 𝑦)]
es decir
(∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃ (∀𝑧)(𝑥 promete 𝑧 a 𝑦)]
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejemplo (Copi [1998], translación paso a paso, pág. 150)
1
Cualquiera que prometa todo a todos está seguro de decepcionar a
alguien.
2
(∀𝑥){[(𝑥 es una persona) ∧ (𝑥 promete todo a todos)] ⊃
[𝑥 decepciona a alguien]}
3
𝑥 promete todo a todos:
(∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃ (𝑥 promete todo a 𝑦)]
es decir
(∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃ (∀𝑧)(𝑥 promete 𝑧 a 𝑦)]
4
𝑥 decepciona a alguien:
(∃𝑢)[(𝑢 es una persona) ∧ (𝑥 decepciona a 𝑢)]
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejemplo (continuación)
5
(∀𝑥){{(𝑥 es una persona) ∧ (∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃
(∀𝑧)(𝑥 promete 𝑧 a 𝑦)]} ⊃
(∃𝑢)[(𝑢 es una persona) ∧ (𝑥 decepciona a 𝑢)]}
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejemplo (continuación)
5
(∀𝑥){{(𝑥 es una persona) ∧ (∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃
(∀𝑧)(𝑥 promete 𝑧 a 𝑦)]} ⊃
(∃𝑢)[(𝑢 es una persona) ∧ (𝑥 decepciona a 𝑢)]}
6
(∀𝑥){{𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)[𝑃 𝑦 ⊃ (∀𝑧)𝑃 𝑥𝑧𝑦]} ⊃ (∃𝑢)(𝑃 𝑢 ∧ 𝐷𝑥𝑢)}
(𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝑃 𝑥𝑦𝑧: 𝑥 promete 𝑦 a 𝑧. 𝐷𝑥𝑦: 𝑥 decepciona
a 𝑦.)
Observación: Símbolos 𝑃 𝑥 y 𝑃 𝑥𝑦𝑧.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 154)
Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados.
Un león muerto es más peligroso que un perro vivo. (𝐿𝑥: 𝑥 es un león.
𝑉 𝑥: 𝑥 está vivo. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un perro. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es más peligro que 𝑦).
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 154)
Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados.
Un león muerto es más peligroso que un perro vivo. (𝐿𝑥: 𝑥 es un león.
𝑉 𝑥: 𝑥 está vivo. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un perro. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es más peligro que 𝑦).
Representación: (∀𝑥)(∀𝑦){[(𝐿𝑥 ∧ ∼𝑉 𝑥) ∧ (𝑃 𝑦 ∧ 𝑉 𝑦)] ⊃ 𝑃 𝑥𝑦}
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 154)
Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados.
Cualquiera que consulte a un psiquiatra debiera hacerse examinar de la
cabeza. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝑆𝑥: 𝑥 es un psiquiatra. 𝐷𝑥: 𝑥 debiera
hacerse examinar de la cabeza. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 consulta a 𝑦.)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 154)
Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados.
Cualquiera que consulte a un psiquiatra debiera hacerse examinar de la
cabeza. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝑆𝑥: 𝑥 es un psiquiatra. 𝐷𝑥: 𝑥 debiera
hacerse examinar de la cabeza. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 consulta a 𝑦.)
Representación: (∀𝑥){[𝑃 𝑥 ∧ (∃𝑦)(𝑆𝑦 ∧ 𝐶𝑥𝑦)] ⊃ 𝐷𝑥}
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.12, pág. 154)
Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados.
Todo estudiante hace algunos problemas pero ningún estudiante hace todos
los problemas (𝐸𝑥: 𝑥 es un estudiante. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un problema. 𝐻𝑥𝑦: 𝑥
hace 𝑦.)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.12, pág. 154)
Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados.
Todo estudiante hace algunos problemas pero ningún estudiante hace todos
los problemas (𝐸𝑥: 𝑥 es un estudiante. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un problema. 𝐻𝑥𝑦: 𝑥
hace 𝑦.)
Representación: La palabra ‘pero’ indica que debemos representar la oración
empleando una conjunción.
‘Todo estudiante hace algunos problemas’ se representa por:
(∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∃𝑦)(𝑃 𝑦 ∧ 𝐻𝑥𝑦)].
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.12, pág. 154)
Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados.
Todo estudiante hace algunos problemas pero ningún estudiante hace todos
los problemas (𝐸𝑥: 𝑥 es un estudiante. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un problema. 𝐻𝑥𝑦: 𝑥
hace 𝑦.)
Representación: La palabra ‘pero’ indica que debemos representar la oración
empleando una conjunción.
‘Todo estudiante hace algunos problemas’ se representa por:
(∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∃𝑦)(𝑃 𝑦 ∧ 𝐻𝑥𝑦)].
Observación: Una representación errónea sería
(∀𝑥)(∃𝑦)[(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑦) ⊃ 𝐻𝑥𝑦)]
(piense en un universo con un individuo 𝑎 tal que 𝐸𝑎 y ∼𝑃 𝑎).
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
53/112
Representación de enunciados
Ejercicio (continuación)
‘Ningún estudiante hace todos los problemas’ se representa por:
∼(∃𝑥)[𝐸𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝐻𝑥𝑦)] o
(∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∃𝑦)(𝑃 𝑦 ∧ ∼𝐻𝑥𝑦)].
Una representación de la oración es:
(∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∃𝑦)(𝑃 𝑦 ∧ 𝐻𝑥𝑦)] ∧ ∼(∃𝑥)[𝐸𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝐻𝑥𝑦)].
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.14, pág. 154)
Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados.
Todo hijo tiene un padre, pero no todo padre tiene un hijo (𝑃 𝑥: 𝑥 es una
persona. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es padre de 𝑦.)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.14, pág. 154)
Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados.
Todo hijo tiene un padre, pero no todo padre tiene un hijo (𝑃 𝑥: 𝑥 es una
persona. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es padre de 𝑦.)
Representación: La palabra ‘pero’ indica que debemos representar la oración
empleando una conjunción.
‘Todo hijo tiene un padre’ se representa por:
(∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐻𝑥) ⊃ (∃𝑦)𝑃 𝑦𝑥].
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
56/112
Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.14, pág. 154)
Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados.
Todo hijo tiene un padre, pero no todo padre tiene un hijo (𝑃 𝑥: 𝑥 es una
persona. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es padre de 𝑦.)
Representación: La palabra ‘pero’ indica que debemos representar la oración
empleando una conjunción.
‘Todo hijo tiene un padre’ se representa por:
(∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐻𝑥) ⊃ (∃𝑦)𝑃 𝑦𝑥].
Observación: Una representación errónea sería
(∀𝑥)(∃𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐻𝑥) ⊃ 𝑃 𝑦𝑥)]
(piense en un universo con dos individuos 𝑎 y 𝑏 tal que ∼𝐻𝑎, 𝐻𝑏, ∼𝑃 𝑎,
𝑃 𝑏, 𝑃 𝑎𝑎, ∼𝑃 𝑎𝑏, ∼𝑃 𝑏𝑎 y ∼𝑃 𝑏𝑏).
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de enunciados
Ejercicio (continuación)
‘No todo padre tiene un hijo’ se representa por:
(∃𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥𝑦) ⊃ ∼𝐻𝑦] o ∼(∀𝑥)(∃𝑦)(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥𝑦 ∧ 𝐻𝑦).
Una representación de la oración es:
(∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐻𝑥) ⊃ (∃𝑦)𝑃 𝑥𝑦] ∧ (∃𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥𝑦) ⊃ ∼𝐻𝑦].
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 159)
Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados.
Todos los círculos son figuras. Por lo tanto, todos los que trazan círculos
trazan figuras. (𝐶𝑥: 𝑥 es un círculo. 𝐹 𝑥: 𝑥 es una figura. 𝑇 𝑥𝑦: 𝑥 traza 𝑦.)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 159)
Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados.
Todos los círculos son figuras. Por lo tanto, todos los que trazan círculos
trazan figuras. (𝐶𝑥: 𝑥 es un círculo. 𝐹 𝑥: 𝑥 es una figura. 𝑇 𝑥𝑦: 𝑥 traza 𝑦.)
Representación:
1
(∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐹 𝑥)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
/∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)]
60/112
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 159)
Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados.
Cualquier amigo de Juan es un amigo de Pedro. Por lo tanto, cualquiera que
conozca a un amigo de Juan conoce a un amigo de Pedro. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una
persona. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 es un amigo de 𝑦. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 conoce a 𝑦. 𝑗: Juan. 𝑝: Pedro.)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
61/112
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 159)
Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados.
Cualquier amigo de Juan es un amigo de Pedro. Por lo tanto, cualquiera que
conozca a un amigo de Juan conoce a un amigo de Pedro. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una
persona. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 es un amigo de 𝑦. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 conoce a 𝑦. 𝑗: Juan. 𝑝: Pedro.)
Representación:
1
(∀𝑥)(𝐴𝑥𝑗 ⊃ 𝐴𝑥𝑝)
/∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)]
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 160)
Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados.
Todo lo que hay en mi escritorio es una obra maestra. Quienquiera que
escriba una obra maestra es un genio. Alguna persona desconocida escribió
alguna de las novelas que hay en mi escritorio. Por lo tanto, alguna persona
desconocida es un genio. (𝐸𝑥: 𝑥 está en mi escritorio. 𝑀 𝑥: 𝑥 es una obra
maestra. 𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐺𝑥: 𝑥 es un genio. 𝐷𝑥: 𝑥 es un desconocido.
𝑁 𝑥: 𝑥 es una novela. 𝐸𝑥𝑦: 𝑥 escribió 𝑦).
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
63/112
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 160)
Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados.
Todo lo que hay en mi escritorio es una obra maestra. Quienquiera que
escriba una obra maestra es un genio. Alguna persona desconocida escribió
alguna de las novelas que hay en mi escritorio. Por lo tanto, alguna persona
desconocida es un genio. (𝐸𝑥: 𝑥 está en mi escritorio. 𝑀 𝑥: 𝑥 es una obra
maestra. 𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐺𝑥: 𝑥 es un genio. 𝐷𝑥: 𝑥 es un desconocido.
𝑁 𝑥: 𝑥 es una novela. 𝐸𝑥𝑦: 𝑥 escribió 𝑦).
Representación:
1
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
2
(∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ (∃𝑦)(𝐸𝑥𝑦 ∧ 𝑀 𝑦)) ⊃ 𝐺𝑥]
3
(∃𝑥)(∃𝑦)(𝑃 𝑥 ∧ 𝐷𝑥 ∧ 𝑁 𝑦 ∧ 𝐸𝑦 ∧ 𝐸𝑥𝑦)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
/∴ (∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ 𝐷𝑥 ∧ 𝐺𝑥)
64/112
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejemplo
Demuestre semánticamente la invalidez del argumento
(∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 /∴ (∃𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
65/112
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejemplo
Demuestre semánticamente la invalidez del argumento
(∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 /∴ (∃𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦.
Para dos individuos 𝑎 y 𝑏:
(∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 ≡ (∃𝑦)𝐴𝑎𝑦 ∧ (∃𝑦)𝐴𝑏𝑦
≡ (𝐴𝑎𝑎 ∨ 𝐴𝑎𝑏) ∧ (𝐴𝑏𝑎 ∨ 𝐴𝑏𝑏)
(∃𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦 ≡ (∀𝑥)𝐴𝑥𝑎 ∨ (∀𝑥)𝐴𝑥𝑏
≡ (𝐴𝑎𝑎 ∧ 𝐴𝑏𝑎) ∨ (𝐴𝑎𝑏 ∧ 𝐴𝑏𝑏)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
66/112
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejemplo (continuación)
Proposiciones:
𝐴𝑎𝑎
1
𝐴𝑎𝑏
0
𝐴𝑏𝑎
0
𝐴𝑏𝑏
1
Premisa:
(𝐴𝑎𝑎 ∨ 𝐴𝑎𝑏) ∧ (𝐴𝑏𝑎 ∨ 𝐴𝑏𝑏)
1
Conclusión:
(𝐴𝑎𝑎 ∧ 𝐴𝑏𝑎) ∨ (𝐴𝑎𝑏 ∧ 𝐴𝑏𝑏)
0
Por lo tanto, el argumento es inválido!
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
67/112
Demostraciones de validez de argumentos
Reglas de inferencia
Para la demostración de argumentos que involucran relaciones es suficiente:
la regla de demostración condicional (incluye la regla de demostración
indirecta),
las 8 reglas de inferencia de la lógica proposicional,
la regla de reemplazo de la lógica proposicional (10 reglas de
equivalencias lógicas),
las 4 reglas de inferencia con cuantificadores,
adicionar una restricción adicional a la regla de generalización
universal y
la regla de cambio de cuantificadores (4 reglas de equivalencias
lógicas).
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
68/112
Demostraciones de validez de argumentos
El siguiente ejemplo ilustra la necesidad de una nueva restricción a la regla
de generalización universal (UG).
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
69/112
Demostraciones de validez de argumentos
El siguiente ejemplo ilustra la necesidad de una nueva restricción a la regla
de generalización universal (UG).
Ejemplo (Hurley [2012], ejemplo pág. 485)
Construir una demostración formal de validez para el argumento:
1
(∀𝑦)(∃𝑥)𝑀 𝑥𝑦
/∴ (∃𝑥)(∀𝑦)𝑀 𝑥𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
70/112
Demostraciones de validez de argumentos
El siguiente ejemplo ilustra la necesidad de una nueva restricción a la regla
de generalización universal (UG).
Ejemplo (Hurley [2012], ejemplo pág. 485)
Construir una demostración formal de validez para el argumento:
1
(∀𝑦)(∃𝑥)𝑀 𝑥𝑦
/∴ (∃𝑥)(∀𝑦)𝑀 𝑥𝑦
2
(∃𝑥)𝑀 𝑥𝑦
UI 1
3
𝑀 𝑎𝑦
EI 2
4
(∀𝑦)𝑀 𝑎𝑦
UG 3 Error!
5
(∃𝑥)(∀𝑦)𝑀 𝑥𝑦
EG 4
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
71/112
Demostraciones de validez de argumentos
Recomendaciones
Cuando sea necesario instanciar cuantificadores universales y
existenciales, instanciar primero los cuantificadores existenciales.
3
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 156.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
72/112
Demostraciones de validez de argumentos
Recomendaciones
Cuando sea necesario instanciar cuantificadores universales y
existenciales, instanciar primero los cuantificadores existenciales.
“Instanciar (siempre que sea legítimo) con respecto a la misma
variable que ha sido cuantificada y cuantificar con respecto a la
misma variable que ocurriese libre en la premisa.”3
3
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 156.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
73/112
Demostraciones de validez de argumentos
Recomendaciones
Cuando sea necesario instanciar cuantificadores universales y
existenciales, instanciar primero los cuantificadores existenciales.
“Instanciar (siempre que sea legítimo) con respecto a la misma
variable que ha sido cuantificada y cuantificar con respecto a la
misma variable que ocurriese libre en la premisa.”3
Es decir, en lugar de emplear
(∀𝑥)𝐹 𝑥
∴ 𝐹𝑦
𝐹𝑦
∴ (∃𝑥)𝐹 𝑥
𝐹𝑦
∴ (∀𝑥)𝐹 𝑥
es mejor emplear, cuando sea posible, respectivamente
(∀𝑥)𝐹 𝑥
∴ 𝐹𝑥
3
𝐹𝑥
∴ (∃𝑥)𝐹 𝑥
𝐹𝑥
∴ (∀𝑥)𝐹 𝑥
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 156.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
74/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.2, pág. 158)
Construir una demostración formal de validez para el argumento:
1
(∀𝑥)[(∃𝑦)𝐵𝑦𝑥 ⊃ (∀𝑧)𝐵𝑥𝑧]
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
/∴ (∀𝑦)(∀𝑧)(𝐵𝑦𝑧 ⊃ 𝐵𝑧𝑦)
75/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.2, pág. 158)
Construir una demostración formal de validez para el argumento:
1
(∀𝑥)[(∃𝑦)𝐵𝑦𝑥 ⊃ (∀𝑧)𝐵𝑥𝑧]
2
(∃𝑦)𝐵𝑦𝑥 ⊃ (∀𝑧)𝐵𝑥𝑧
/∴ (∀𝑦)(∀𝑧)(𝐵𝑦𝑧 ⊃ 𝐵𝑧𝑦)
UI 1
3
𝐵𝑦𝑥
ACP
4
(∃𝑦)𝐵𝑦𝑥
EG 3
5
(∀𝑧)𝐵𝑥𝑧
MP 2, 4
6
𝐵𝑥𝑦
UI 5
7
𝐵𝑦𝑥 ⊃ 𝐵𝑥𝑦
CP 3–6
8
(∀𝑧)(𝐵𝑦𝑧 ⊃ 𝐵𝑧𝑦)
UG 7
9
(∀𝑦)(∀𝑧)(𝐵𝑦𝑧 ⊃ 𝐵𝑧𝑦)
UG 8
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
76/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.3, pág. 159)
Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento:
1
(∀𝑥)(𝐶𝑎𝑥 ⊃ 𝐷𝑥𝑏)
2
(∃𝑥)𝐷𝑥𝑏 ⊃ (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
/∴ (∃𝑥)𝐶𝑎𝑥 ⊃ (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦
77/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (continuación)
1
(∀𝑥)(𝐶𝑎𝑥 ⊃ 𝐷𝑥𝑏)
2
(∃𝑥)𝐷𝑥𝑏 ⊃ (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦
/∴ (∃𝑥)𝐶𝑎𝑥 ⊃ (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦
3
(∃𝑥)𝐶𝑎𝑥
ACP
4
𝐶𝑎𝑐
EI 3
5
𝐶𝑎𝑐 ⊃ 𝐷𝑐𝑏
UI 1
6
𝐷𝑐𝑏
MP 5, 4
7
(∃𝑥)𝐷𝑥𝑏
EG 6
8
(∃𝑦)𝐷𝑏𝑦
MP 2, 7
9
(∃𝑥)𝐶𝑎𝑥 ⊃ (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
CP 3–9
78/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 159)
Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento:
1
(∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑥𝑦)]
2
(∃𝑥)[𝐸𝑥 ∧ (∃𝑦)∼𝐺𝑥𝑦]
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
/∴ (∃𝑥)∼𝐹 𝑥
79/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (continuación)
1
(∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑥𝑦)]
2
(∃𝑥)[𝐸𝑥 ∧ (∃𝑦)∼𝐺𝑥𝑦]
3
𝐸𝑎 ∧ (∃𝑦)∼𝐺𝑎𝑦
EI 2
4
(∃𝑦)∼𝐺𝑎𝑦
Simp 3
5
∼𝐺𝑎𝑏
EI 4
6
𝐸𝑎 ⊃ (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑎𝑦)
UI 1
7
𝐸𝑎
Simp 3
8
(∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑎𝑦)
MP 6, 7
9
𝐹 𝑏 ⊃ 𝐺𝑎𝑏
UI 8
10
∼𝐹 𝑏
MT 9, 5
11
(∃𝑥)∼𝐹 𝑥
EG 10
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
/∴ (∃𝑥)∼𝐹 𝑥
80/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.5*, pág. 159)
Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento:
1
(∃𝑥)[𝐻𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝐼𝑦 ⊃ 𝐽 𝑥𝑦)]
∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐼𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝐼𝑦 ∧ 𝐽 𝑦𝑦)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
81/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (continuación)
1
(∃𝑥)[𝐻𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝐼𝑦 ⊃ 𝐽𝑥𝑦)] /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐼𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝐼𝑦 ∧ 𝐽𝑦𝑦)
2
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐼𝑥)
ACP
3
𝐻𝑎 ∧ (∀𝑦)(𝐼𝑦 ⊃ 𝐽𝑎𝑦)
EI 1
4
𝐻𝑎
Simp 3
5
𝐻𝑎 ⊃ 𝐼𝑎
UI 2
6
𝐼𝑎
MP 5, 4
7
(∀𝑦)(𝐼𝑦 ⊃ 𝐽𝑎𝑦)
Simp 3
8
𝐼𝑎 ⊃ 𝐽𝑎𝑎
UI 7
9
𝐽𝑎𝑎
MP 8, 6
10
𝐼𝑎 ∧ 𝐽𝑎𝑎
Conj 6, 9
11
(∃𝑦)(𝐼𝑦 ∧ 𝐽𝑦𝑦)
EG 10
12
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐼𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝐼𝑦 ∧ 𝐽𝑦𝑦)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
CP 2–12
82/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.6, pág. 159)
Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento:
1
(∀𝑥){𝐾𝑥 ⊃ [(∃𝑦)𝐿𝑥𝑦 ⊃ (∃𝑧)𝐿𝑧𝑥]}
2
(∀𝑥)[(∃𝑧)𝐿𝑧𝑥 ⊃ 𝐿𝑥𝑥]
3
∼(∃𝑥)𝐿𝑥𝑥 /∴ (∀𝑥)(𝐾𝑥 ⊃ (∀𝑦)∼𝐿𝑥𝑦)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
83/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (continuación)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(∀𝑥){𝐾𝑥 ⊃ [(∃𝑦)𝐿𝑥𝑦 ⊃ (∃𝑧)𝐿𝑧𝑥]}
(∀𝑥)[(∃𝑧)𝐿𝑧𝑥 ⊃ 𝐿𝑥𝑥]
∼(∃𝑥)𝐿𝑥𝑥 /∴ (∀𝑥)(𝐾𝑥 ⊃ (∀𝑦)∼𝐿𝑥𝑦)
𝐾𝑥
(∀𝑥)∼𝐿𝑥𝑥
∼𝐿𝑥𝑥
(∃𝑧)𝐿𝑧𝑥 ⊃ 𝐿𝑥𝑥
∼(∃𝑧)𝐿𝑧𝑥
𝐾𝑥 ⊃ [(∃𝑦)𝐿𝑥𝑦 ⊃ (∃𝑧)𝐿𝑧𝑥]
(∃𝑦)𝐿𝑥𝑦 ⊃ (∃𝑧)𝐿𝑧𝑥
∼(∃𝑦)𝐿𝑥𝑦
(∀𝑦)∼𝐿𝑥𝑦
𝐾𝑥 ⊃ (∀𝑦)∼𝐿𝑥𝑦
(∀𝑥)(𝐾𝑥 ⊃ (∀𝑦)∼𝐿𝑥𝑦)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
ACP
CQ 3
UI 5
UI 2
MT 7, 6
UI 1
MP 9, 4
MT 10, 8
CQ 11
CP 4–12
UG 13
84/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.7, pág. 159)
Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento:
1
(∀𝑥)[𝑀 𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑂𝑥𝑦)]
2
(∀𝑥)[𝑃 𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝑂𝑥𝑦 ⊃ 𝑄𝑦)]
∴ (∃𝑥)(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑄𝑦)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
85/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (continuación)
1
(∀𝑥)[𝑀 𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑂𝑥𝑦)]
2
(∀𝑥)[𝑃 𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝑂𝑥𝑦 ⊃ 𝑄𝑦)]
∴ (∃𝑥)(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑄𝑦)
3
(∃𝑥)(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥)
ACP
4
𝑀𝑎 ∧ 𝑃 𝑎
EI 3
5
𝑀 𝑎 ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑂𝑎𝑦)
UI 1
6
𝑀𝑎
Simp 4
7
(∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑂𝑎𝑦)
MP 5, 6
Continua en la siguiente diapositiva...
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
86/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (continuación)
8
𝑁 𝑦 ⊃ 𝑂𝑎𝑦
UI 7
9
𝑃 𝑎 ⊃ (∀𝑦)(𝑂𝑎𝑦 ⊃ 𝑄𝑦)
UI 2
10
𝑃𝑎
Simp 4
11
(∀𝑦)(𝑂𝑎𝑦 ⊃ 𝑄𝑦)
MP 9, 10
12
𝑂𝑎𝑦 ⊃ 𝑄𝑦
UI 11
13
𝑁 𝑦 ⊃ 𝑄𝑦
HS 8, 12
14
(∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑄𝑦)
UG 13
15
(∃𝑥)(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑄𝑦)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
CP 3–15
87/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.8, pág. 159)
Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento:
1
(∀𝑥)[(𝑅𝑥 ∧ ∼𝑆𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝑇 𝑥𝑦 ∧ 𝑈 𝑦)]
2
(∃𝑥)[𝑉 𝑥 ∧ 𝑅𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑇 𝑥𝑦 ⊃ 𝑉 𝑦)]
3
(∀𝑥)(𝑉 𝑥 ⊃ ∼𝑆𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝑈 𝑥)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
88/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (continuación)
1
(∀𝑥)[(𝑅𝑥 ∧ ∼𝑆𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝑇 𝑥𝑦 ∧ 𝑈𝑦)]
2
(∃𝑥)[𝑉 𝑥 ∧ 𝑅𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑇 𝑥𝑦 ⊃ 𝑉 𝑦)]
3
(∀𝑥)(𝑉 𝑥 ⊃ ∼𝑆𝑥)
4
𝑉 𝑎 ∧ 𝑅𝑎 ∧ (∀𝑦)(𝑇 𝑎𝑦 ⊃ 𝑉 𝑦)
EI 2
5
𝑉 𝑎 ⊃ ∼𝑆𝑎
UI 3
6
𝑉𝑎
Simp 4
7
∼𝑆𝑎
MP 5, 6
8
𝑅𝑎
Simp 4
9
𝑅𝑎 ∧ ∼𝑆𝑎
Conj 8, 7
(𝑅𝑎 ∧ ∼𝑆𝑎) ⊃ (∃𝑦)(𝑇 𝑎𝑦 ∧ 𝑈𝑦)
UI 1
10
/∴ (∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝑈𝑥)
Continua en la siguiente diapositiva...
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
89/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (continuación)
11
(∃𝑦)(𝑇 𝑎𝑦 ∧ 𝑈𝑦)
MP 10, 9
12
𝑇 𝑎𝑏 ∧ 𝑈𝑏
EI 11
13
(∀𝑦)(𝑇 𝑎𝑦 ⊃ 𝑉 𝑦)
Simp 4
14
𝑇 𝑎𝑏 ⊃ 𝑉 𝑏
UI 13
15
𝑇 𝑎𝑏
Simp 12
16
𝑉𝑏
MP 14, 15
17
𝑈𝑏
Simp 12
18
𝑉 𝑏 ∧ 𝑈𝑏
Conj 16, 17
19
(∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝑈𝑥)
EG 18
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
90/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 159)
Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento:
Todos los círculos son figuras. Por lo tanto, todos los que trazan círculos
trazan figuras. (𝐶𝑥: 𝑥 es un círculo. 𝐹 𝑥: 𝑥 es una figura. 𝑇 𝑥𝑦: 𝑥 traza 𝑦.)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
91/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 159)
Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento:
Todos los círculos son figuras. Por lo tanto, todos los que trazan círculos
trazan figuras. (𝐶𝑥: 𝑥 es un círculo. 𝐹 𝑥: 𝑥 es una figura. 𝑇 𝑥𝑦: 𝑥 traza 𝑦.)
Representación:
1
(∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐹 𝑥)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
/∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)]
92/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (continuación)
1
(∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐹 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)]
2
𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥
ACP
3
𝐶𝑥
Simp 2
4
𝐶𝑥 ⊃ 𝐹 𝑥
UI 1
5
𝐹𝑥
MP 4, 3
6
𝑇 𝑦𝑥
Simp 2
7
𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥
Conj 5, 6
8
(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)
CP 2–7
9
(∀𝑦)[(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)]
UG 8
(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)]
UG 9
10
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
93/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 159)
Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento:
Cualquier amigo de Juan es un amigo de Pedro. Por lo tanto, cualquiera que
conozca a un amigo de Juan conoce a un amigo de Pedro. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una
persona. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 es un amigo de 𝑦. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 conoce a 𝑦. 𝑗: Juan. 𝑝: Pedro.)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 159)
Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento:
Cualquier amigo de Juan es un amigo de Pedro. Por lo tanto, cualquiera que
conozca a un amigo de Juan conoce a un amigo de Pedro. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una
persona. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 es un amigo de 𝑦. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 conoce a 𝑦. 𝑗: Juan. 𝑝: Pedro.)
Representación:
1
(∀𝑥)(𝐴𝑥𝑗 ⊃ 𝐴𝑥𝑝)
/∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)]
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
95/112
Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (continuación)
1
(∀𝑥)(𝐴𝑥𝑗 ⊃ 𝐴𝑥𝑝)
/∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)]
2
𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗
ACP
3
𝐴𝑦𝑗
Simp 2
4
𝐴𝑦𝑗 ⊃ 𝐴𝑦𝑝
UI 1
5
𝐴𝑦𝑝
MP 4, 3
6
𝐶𝑥𝑦
Simp 2
7
𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝
Conj 6, 7
8
(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)
CP 2–7
9
(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)]
UG 8
(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)]
UG 9
10
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
96/112
Algunos atributos de las relaciones diádicas
𝑅𝑥𝑦 es una relación simétrica si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ 𝑅𝑦𝑥).
𝑅𝑥𝑦 es un relación asimétrica si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ ∼𝑅𝑦𝑥).
𝑅𝑥𝑦 es un relación no simétrica si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que
no es ni simétrica ni asimétrica.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
97/112
Algunos atributos de las relaciones diádicas
𝑅𝑥𝑦 es una relación simétrica si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ 𝑅𝑦𝑥).
𝑅𝑥𝑦 es un relación asimétrica si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ ∼𝑅𝑦𝑥).
𝑅𝑥𝑦 es un relación no simétrica si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que
no es ni simétrica ni asimétrica.
Ejemplos
En los números naturales, = es una relación simétrica, < es una relación
asimétrica y ≤ es una relación no simétrica.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
98/112
Algunos atributos de las relaciones diádicas
𝑅𝑥𝑦 es una relación transitiva si y sólo si
(∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑅𝑥𝑦 ∧ 𝑅𝑦𝑧) ⊃ 𝑅𝑥𝑧].
𝑅𝑥𝑦 es una relación intransitiva si y sólo si
(∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑅𝑥𝑦 ∧ 𝑅𝑦𝑧) ⊃ ∼𝑅𝑥𝑧].
𝑅𝑥𝑦 es una relación no transitiva si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que
no es ni transitiva ni intransitiva.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
99/112
Algunos atributos de las relaciones diádicas
𝑅𝑥𝑦 es una relación transitiva si y sólo si
(∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑅𝑥𝑦 ∧ 𝑅𝑦𝑧) ⊃ 𝑅𝑥𝑧].
𝑅𝑥𝑦 es una relación intransitiva si y sólo si
(∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑅𝑥𝑦 ∧ 𝑅𝑦𝑧) ⊃ ∼𝑅𝑥𝑧].
𝑅𝑥𝑦 es una relación no transitiva si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que
no es ni transitiva ni intransitiva.
Ejemplos
La relación ≠ es transitiva en un conjunto unitario y es no transitiva en
un conjunto de al menos tres elementos. El juego “piedra, papel o tijeras”
establece una relación intransitiva 𝑅𝑥𝑦: 𝑥 le gana a 𝑦.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Algunos atributos de las relaciones diádicas
𝑅𝑥𝑦 es una relación (totalmente) reflexiva si y sólo si (∀𝑥)𝑅𝑥𝑥.
𝑅𝑥𝑦 es una relación irreflexiva si y sólo si (∀𝑥)∼𝑅𝑥𝑥.
𝑅𝑥𝑦 es una relación no reflexiva si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que
no es ni reflexiva ni irreflexiva.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
101/112
Algunos atributos de las relaciones diádicas
𝑅𝑥𝑦 es una relación (totalmente) reflexiva si y sólo si (∀𝑥)𝑅𝑥𝑥.
𝑅𝑥𝑦 es una relación irreflexiva si y sólo si (∀𝑥)∼𝑅𝑥𝑥.
𝑅𝑥𝑦 es una relación no reflexiva si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que
no es ni reflexiva ni irreflexiva.
Ejemplos
En los números enteros positivos, la relación | (divisibilidad) es una
relación reflexiva, la relación < es una relación irreflexiva y la relación
‘𝑥 · 𝑦 es un número par’ es un relación no reflexiva.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Algunos atributos de las relaciones diádicas
Ejemplo (Relaciones reflexivas y simétricas pero no transitivas)
Sea 𝐴 el conjunto 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝑅 la relación en 𝐴 definida por
𝑅 = {(𝑎, 𝑎), (𝑎, 𝑏), (𝑏, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑏), (𝑐, 𝑐)}.
|𝑥 − 𝑦| ≤ 1
𝑅𝑥𝑦: 𝑥 vive a menos de un kilometro de distancia de 𝑦
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
103/112
Algunos atributos de las relaciones diádicas
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 164)
Demuestre que si un relación binaria es asimétrica entonces la relación es
irreflexiva.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Algunos atributos de las relaciones diádicas
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 164)
Demuestre que si un relación binaria es asimétrica entonces la relación es
irreflexiva.
1
(∀𝑥)(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ ∼𝑅𝑦𝑥)
2
(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ ∼𝑅𝑦𝑥)
UI 1
3
𝑅𝑥𝑥 ⊃ ∼𝑅𝑥𝑥
UI 2
4
∼𝑅𝑥𝑥 ∨ ∼𝑅𝑥𝑥
Impl 3
5
∼𝑅𝑥𝑥
Taut 4
6
(∀𝑥)∼𝑅𝑥𝑥
UG 5
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
/∴ (∀𝑥)∼𝑅𝑥𝑥
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Algunos atributos de las relaciones diádicas
Ejercicio
En el ejemplo de la pág. 104 demostramos que si un relación binaria es
asimétrica entonces la relación es irreflexiva. Si se intercambian la premisa
y la conclusión es el nuevo argumento válido? Es decir, si una relación
binaria es irreflexiva entonces la relación es asimétrica?
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Algunos atributos de las relaciones diádicas
Ejercicio
En el ejemplo de la pág. 104 demostramos que si un relación binaria es
asimétrica entonces la relación es irreflexiva. Si se intercambian la premisa
y la conclusión es el nuevo argumento válido? Es decir, si una relación
binaria es irreflexiva entonces la relación es asimétrica?
Respuesta: El argumento es inválido. Por ejemplo, en los números
naturales la relación 𝑥 < 𝑦 o 𝑥 > 𝑦 es una relación irreflexiva, pero no es
una relación asimétrica.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Atributos de las relaciones y argumentos relacionales
Ejemplo
Al es mayor que Bill. Bill es mayor que Charlie. Por lo tanto, Al es mayor
que Charlie (𝑎: Al. 𝑏: Bill. 𝑐: Charlie. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es mayor que 𝑦.)
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Atributos de las relaciones y argumentos relacionales
Ejemplo
Al es mayor que Bill. Bill es mayor que Charlie. Por lo tanto, Al es mayor
que Charlie (𝑎: Al. 𝑏: Bill. 𝑐: Charlie. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es mayor que 𝑦.)
Argumento inválido
𝑀 𝑎𝑏
𝑀 𝑏𝑐
∴ 𝑀 𝑎𝑐
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Atributos de las relaciones y argumentos relacionales
Ejemplo
Al es mayor que Bill. Bill es mayor que Charlie. Por lo tanto, Al es mayor
que Charlie (𝑎: Al. 𝑏: Bill. 𝑐: Charlie. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es mayor que 𝑦.)
Argumento inválido
𝑀 𝑎𝑏
𝑀 𝑏𝑐
∴ 𝑀 𝑎𝑐
Argumento válido
𝑀 𝑎𝑏
𝑀 𝑏𝑐
(∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑀 𝑥𝑦 ∧ 𝑀 𝑦𝑧) ⊃ 𝑀 𝑥𝑧]
∴ 𝑀 𝑎𝑐
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
(premisa implícita)
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Entimemas
Definición (Entimema)
“Un argumento que está expresado de manera incompleta, siendo “sobreentendida” una parte del mismo.”4
4
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 164.
Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones
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Referencias
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.
Deaño, Alfredo (1994). Introducción a la Lógica Formal. 11.a reimpresión.
Alianza Universidad Textos.
Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth,
Cengage Learning.
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Lógica - CM0260
Lógica de predicados de primer orden con identidad
Andrés Sicard Ramírez
Universidad EAFIT
Semestre 2015-2
Identidad
Principio de la identidad de los indiscernibles de Leibniz
Gottfried Wilhelm von Leibniz
(1646–1716)
“𝑥 = 𝑦 si y soló si cada atributo de 𝑥 es
una atributo de 𝑦 y recíprocamente.”1
1
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 168.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
2/83
Relación de identidad
Representación
La relación de identidad la representaremos por el signo igual (=).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
3/83
Relación de identidad
Representación
La relación de identidad la representaremos por el signo igual (=).
Notación: 𝑥 ≠ 𝑦 significa ∼(𝑥 = 𝑦).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
4/83
Representación de enunciados simples que involucran
identidad
Ejemplo
Septimus es Gabriel García Márquez.
(𝑠: Septimus. 𝑔: Gabriel García Márquez)
Representación: 𝑠 = 𝑔.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
5/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
‘sólo’, ‘el único’, ‘nadie... excepto’
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
Sólo Juan ama a María. (𝑗: Juan. 𝑚: María. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 ama a 𝑦)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
6/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
‘sólo’, ‘el único’, ‘nadie... excepto’
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
Sólo Juan ama a María. (𝑗: Juan. 𝑚: María. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 ama a 𝑦)
Versión incorrecta: 𝐴𝑗𝑚
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
7/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
‘sólo’, ‘el único’, ‘nadie... excepto’
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
Sólo Juan ama a María. (𝑗: Juan. 𝑚: María. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 ama a 𝑦)
Versión incorrecta: 𝐴𝑗𝑚
Versión incorrecta: 𝐴𝑗𝑚 ∧ (∀𝑥)∼𝐴𝑥𝑚
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
8/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
‘sólo’, ‘el único’, ‘nadie... excepto’
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
Sólo Juan ama a María. (𝑗: Juan. 𝑚: María. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 ama a 𝑦)
Versión incorrecta: 𝐴𝑗𝑚
Versión incorrecta: 𝐴𝑗𝑚 ∧ (∀𝑥)∼𝐴𝑥𝑚
Versión correcta: 𝐴𝑗𝑚 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥𝑚 ⊃ 𝑥 = 𝑗)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
9/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
‘sólo’, ‘el único’, ‘nadie... excepto’
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
La única opera escrita por Beethoven es Fidelio. (𝑂𝑥: 𝑥 es una opera.
𝐵𝑥: Beethoven escribió 𝑥. 𝑓: Fidelio).
Representación: 𝑂𝑓 ∧ 𝐵𝑓 ∧ (∀𝑥)[(𝑂𝑥 ∧ 𝐵𝑥) ⊃ 𝑥 = 𝑓]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
10/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Superlativos
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
El municipio más pequeño está en Chocó.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
11/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Superlativos
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
El municipio más pequeño está en Chocó.
Versión incorrecta:
𝑀 𝑥: 𝑥 es un municipio.
𝐶𝑥: 𝑥 está en el Chocó.
𝑃 𝑥: 𝑥 es el más pequeño.
Representación: (∃𝑥)(𝑀 𝑥 ∧ 𝐶𝑥 ∧ 𝑃 𝑥)
Error: 𝑃 𝑥 no es una función proposicional.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
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Representación de enunciados que involucran identidad:
Superlativos
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
El municipio más pequeño está en Chocó.
Versión correcta:
𝑀 𝑥: 𝑥 es un municipio.
𝐶𝑥: 𝑥 está en el Chocó.
𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es más pequeño que 𝑦.
Representación: (∃𝑥){𝑀 𝑥 ∧ 𝐶𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝑀 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ⊃ 𝑃 𝑥𝑦]}
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
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Representación de enunciados que involucran identidad:
Descripciones definidas
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
El autor del texto “Lógica simbólica” fue un buen pedagogo. (𝐴𝑥: 𝑥
escribió el texto “Lógica simbólica”. 𝑃 𝑥: 𝑥 fue un buen pedagogo.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
14/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Descripciones definidas
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
El autor del texto “Lógica simbólica” fue un buen pedagogo. (𝐴𝑥: 𝑥
escribió el texto “Lógica simbólica”. 𝑃 𝑥: 𝑥 fue un buen pedagogo.)
El enunciado afirma 3 cosas:
1
hay un individuo que escribió el texto “Lógica simbólica”,
2
a lo más, un individuo escribió el texto “Lógica simbólica” y
3
este individuo fue buen pedagogo.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
15/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Descripciones definidas
Ejemplo
Representar formalmente el enunciado:
El autor del texto “Lógica simbólica” fue un buen pedagogo. (𝐴𝑥: 𝑥
escribió el texto “Lógica simbólica”. 𝑃 𝑥: 𝑥 fue un buen pedagogo.)
El enunciado afirma 3 cosas:
1
hay un individuo que escribió el texto “Lógica simbólica”,
2
a lo más, un individuo escribió el texto “Lógica simbólica” y
3
este individuo fue buen pedagogo.
Representación: (∃𝑥)[𝐴𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝐴𝑦 ⊃ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝑃 𝑥]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
16/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o
de la regla común.2
2
Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición
(versión electrónica).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
17/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o
de la regla común.2
Ejemplos (Al menos)
2
Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición
(versión electrónica).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
18/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o
de la regla común.2
Ejemplos (Al menos)
Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
2
Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición
(versión electrónica).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
19/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o
de la regla común.2
Ejemplos (Al menos)
Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)𝑃 𝑥
2
Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición
(versión electrónica).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
20/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o
de la regla común.2
Ejemplos (Al menos)
Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)𝑃 𝑥
Hay al menos dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
2
Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición
(versión electrónica).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
21/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o
de la regla común.2
Ejemplos (Al menos)
Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)𝑃 𝑥
Hay al menos dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)(∃𝑦)(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)
2
Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición
(versión electrónica).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
22/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o
de la regla común.2
Ejemplos (Al menos)
Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)𝑃 𝑥
Hay al menos dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)(∃𝑦)(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)
Hay al menos tres individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
2
Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición
(versión electrónica).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
23/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o
de la regla común.2
Ejemplos (Al menos)
Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)𝑃 𝑥
Hay al menos dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)(∃𝑦)(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)
Hay al menos tres individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)(∃𝑦)(∃𝑧)(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑃 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)
2
Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición
(versión electrónica).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
24/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (A lo sumo)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
25/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (A lo sumo)
Hay a lo sumo un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
26/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (A lo sumo)
Hay a lo sumo un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
27/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (A lo sumo)
Hay a lo sumo un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦]
Hay a lo sumo dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
28/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (A lo sumo)
Hay a lo sumo un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦]
Hay a lo sumo dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
(∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑃 𝑧) ⊃ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑧 ∨ 𝑦 = 𝑧)]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
29/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (Exactamente)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
30/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (Exactamente)
Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
31/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (Exactamente)
Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
32/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (Exactamente)
Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)]
Hay exactamente dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
33/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (Exactamente)
Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)]
Hay exactamente dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)(∃𝑦)[𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (∀𝑧)[𝑃 𝑧 ⊃ (𝑧 = 𝑥 ∨ 𝑧 = 𝑦)]]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
34/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (Exactamente)
Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)]
Hay exactamente dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)(∃𝑦)[𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (∀𝑧)[𝑃 𝑧 ⊃ (𝑧 = 𝑥 ∨ 𝑧 = 𝑦)]]
Hay exactamente tres individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
35/83
Representación de enunciados que involucran identidad:
Enunciados exceptivos
Ejemplos (Exactamente)
Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)]
Hay exactamente dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑥)(∃𝑦)[𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (∀𝑧)[𝑃 𝑧 ⊃ (𝑧 = 𝑥 ∨ 𝑧 = 𝑦)]]
Hay exactamente tres individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥.
(∃𝑤)(∃𝑥)(∃𝑦)
[𝑃 𝑤 ∧ 𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑤 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦
∧ (∀𝑧)[𝑃 𝑧 ⊃ (𝑧 = 𝑤 ∨ 𝑧 = 𝑥 ∨ 𝑧 = 𝑦)]]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
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Representación de argumentos que involucran identidad
Ejemplo (Hurley [2012], ejemplo pág. 499)
Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las
abreviaciones indicadas:
La única amiga que tengo es Elizabeth. Elizabeth no es Nancy. Nancy es
Canadiense. Por lo tanto, existe una Canadiense quien no es mi amiga.
(𝐴𝑥: 𝑥 es mi amiga. 𝐶𝑥: 𝑥 es Canadiense. 𝑒: Elizabet. 𝑛: Nancy.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
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Representación de argumentos que involucran identidad
Ejemplo (Hurley [2012], ejemplo pág. 499)
Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las
abreviaciones indicadas:
La única amiga que tengo es Elizabeth. Elizabeth no es Nancy. Nancy es
Canadiense. Por lo tanto, existe una Canadiense quien no es mi amiga.
(𝐴𝑥: 𝑥 es mi amiga. 𝐶𝑥: 𝑥 es Canadiense. 𝑒: Elizabet. 𝑛: Nancy.)
Representación:
1
𝐴𝑒 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝑥 = 𝑒)
2
𝑒≠𝑛
3
𝐶𝑛
/∴ (∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝐴𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
38/83
Representación de argumentos que involucran identidad
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 176)
Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las
abreviaciones indicadas:
El estado más pequeño está en Nueva Inglaterra. Todos los estados de
Nueva Inglaterra son primordialmente industriales. Por lo tanto, el estado
más pequeño es primordialmente industrial. (𝐸𝑥: 𝑥 es un estado. 𝑁 𝑥: 𝑥
está en Nueva Inglaterra. 𝐼𝑥: 𝑥 es primordialmente industrial. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es
más pequeño que 𝑦.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
39/83
Representación de argumentos que involucran identidad
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 176)
Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las
abreviaciones indicadas:
El estado más pequeño está en Nueva Inglaterra. Todos los estados de
Nueva Inglaterra son primordialmente industriales. Por lo tanto, el estado
más pequeño es primordialmente industrial. (𝐸𝑥: 𝑥 es un estado. 𝑁 𝑥: 𝑥
está en Nueva Inglaterra. 𝐼𝑥: 𝑥 es primordialmente industrial. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es
más pequeño que 𝑦.)
Representación:
1
(∃𝑥){[𝐸𝑥 ∧ 𝑁 𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝐸𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ⊃ 𝑀 𝑥𝑦]}
2
(∀𝑥)((𝐸𝑥 ∧ 𝑁 𝑥) ⊃ 𝐼𝑥)
∴ (∃𝑥){𝐸𝑥 ∧ 𝐼𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝐸𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ⊃ 𝑀 𝑥𝑦]}
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
40/83
Representación de argumentos que involucran identidad
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 4*, pág. 176)
Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las
abreviaciones indicadas:
El corredor más rápido es un escandinavo. Por lo tanto, cualquiera que no sea
escandinavo puede ser vencido en una carrera por alguna persona. (𝑃 𝑥: 𝑥 es
una persona. 𝐸𝑥: 𝑥 es escandinavo. 𝑅𝑥𝑦: 𝑥 corre más rápidamente que 𝑦.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
41/83
Representación de argumentos que involucran identidad
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 4*, pág. 176)
Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las
abreviaciones indicadas:
El corredor más rápido es un escandinavo. Por lo tanto, cualquiera que no sea
escandinavo puede ser vencido en una carrera por alguna persona. (𝑃 𝑥: 𝑥 es
una persona. 𝐸𝑥: 𝑥 es escandinavo. 𝑅𝑥𝑦: 𝑥 corre más rápidamente que 𝑦.)
Representación:
1
(∃𝑥){𝑃 𝑥 ∧ 𝐸𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝑃 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ⊃ 𝑅𝑥𝑦]}
/∴ (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝐸𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝑃 𝑦 ∧ 𝑅𝑦𝑥)]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
42/83
Representación de argumentos que involucran identidad
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 5, pág. 176)
Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las
abreviaciones indicadas:
Todos los participantes serán vencedores. Habrá cuando más un vencedor.
Hay cuando menos un participante. Por lo tanto, hay exactamente un participante. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un participante. 𝑉 𝑥: 𝑥 será vencedor.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
43/83
Representación de argumentos que involucran identidad
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 5, pág. 176)
Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las
abreviaciones indicadas:
Todos los participantes serán vencedores. Habrá cuando más un vencedor.
Hay cuando menos un participante. Por lo tanto, hay exactamente un participante. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un participante. 𝑉 𝑥: 𝑥 será vencedor.)
Representación:
1
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝑉 𝑥)
2
(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑉 𝑥 ∧ 𝑉 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦]
3
(∃𝑥)𝑃 𝑥
/∴ (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
44/83
Representación de argumentos que involucran identidad
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 7, pág. 176)
Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
Adams y Brown fueron los únicos invitados al banquete que bebieron. Todos los
invitados al banquete que llevaron licor bebieron. Adam no llevó licor. Si algún
invitado al banquete bebió entonces algún invitado al banquete que bebió debió
llevar licor. Todos los que bebieron se embriagaron. Por lo tanto, el invitado al
banquete que llevó licor se embriagó. (𝑎: Adams. 𝑏: Brown. 𝐼𝑥: 𝑥 fue un invitado
al banquete. 𝐵𝑥: 𝑥 bebió. 𝐿𝑥: 𝑥 llevó licor. 𝐸𝑥: 𝑥 se embriagó.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
45/83
Representación de argumentos que involucran identidad
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 7, pág. 176)
Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
Adams y Brown fueron los únicos invitados al banquete que bebieron. Todos los
invitados al banquete que llevaron licor bebieron. Adam no llevó licor. Si algún
invitado al banquete bebió entonces algún invitado al banquete que bebió debió
llevar licor. Todos los que bebieron se embriagaron. Por lo tanto, el invitado al
banquete que llevó licor se embriagó. (𝑎: Adams. 𝑏: Brown. 𝐼𝑥: 𝑥 fue un invitado
al banquete. 𝐵𝑥: 𝑥 bebió. 𝐿𝑥: 𝑥 llevó licor. 𝐸𝑥: 𝑥 se embriagó.)
Representación:
1
(∀𝑥)[(𝐼𝑥 ∧ 𝐵𝑥) ⊃ (𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = 𝑏)]
2
(∀𝑥)[(𝐼𝑥 ∧ 𝐿𝑥) ⊃ 𝐵𝑥]
3
∼𝐿𝑎
4
(∃𝑥)(𝐼𝑥 ∧ 𝐵𝑥) ⊃ (∃𝑥)(𝐼𝑥 ∧ 𝐵𝑥 ∧ 𝐿𝑥)
5
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
/∴ (∀𝑥)[(𝐼𝑥 ∧ 𝐿𝑥) ⊃ 𝐸𝑥]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
46/83
Reglas de inferencia para la identidad
Notación
Las letras 𝑎 y 𝑏 representan cualquier constante individual.
Reglas de inferencia3
𝑎 = 𝑎 (Id1)
𝑎 = 𝑏 ∷ 𝑏 = 𝑎 (Id2)
𝔉𝑎
𝑎 = 𝑏 (Id3)
𝔉𝑏
3
Hurley [2012, p. 498] en la presentación de la regla Id1 introduce una
premisa 𝑝𝑟𝑒𝑚.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 168)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
Henry era William Sidney Porter. Henry era un escritor. Por lo tanto, William
Sidney Porter era un escritor. (ℎ: Henry. 𝑠: William Sidney Porter. 𝐸𝑥: 𝑥
era un escritor.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
48/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 168)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
Henry era William Sidney Porter. Henry era un escritor. Por lo tanto, William
Sidney Porter era un escritor. (ℎ: Henry. 𝑠: William Sidney Porter. 𝐸𝑥: 𝑥
era un escritor.)
1
ℎ=𝑠
2
𝐸ℎ
/∴ 𝐸𝑠
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
49/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 168)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
Henry era William Sidney Porter. Henry era un escritor. Por lo tanto, William
Sidney Porter era un escritor. (ℎ: Henry. 𝑠: William Sidney Porter. 𝐸𝑥: 𝑥
era un escritor.)
1
ℎ=𝑠
2
𝐸ℎ
3
𝐸𝑠
/∴ 𝐸𝑠
Id3 2, 1
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 169)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
Sólo un hombre calvo porta una peluca. Kaplan es un hombre que porta una
peluca. Este hombre no es calvo. Por lo tanto, este hombre no es Kaplan.
(𝑘: Kaplan. 𝑒: Este hombre. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝐶𝑥: 𝑥 es calvo. 𝑃 𝑥: 𝑥
porta una peluca.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 169)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
Sólo un hombre calvo porta una peluca. Kaplan es un hombre que porta una
peluca. Este hombre no es calvo. Por lo tanto, este hombre no es Kaplan.
(𝑘: Kaplan. 𝑒: Este hombre. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝐶𝑥: 𝑥 es calvo. 𝑃 𝑥: 𝑥
porta una peluca.)
Representación:
1
(∀𝑥)[(𝐻𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ 𝐶𝑥]
2
𝐻𝑘 ∧ 𝑃 𝑘
3
∼𝐶𝑒
/∴ ∼(𝑒 = 𝑘)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
52/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (continuación)
1
(∀𝑥)[(𝐻𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ 𝐶𝑥]
2
𝐻𝑘 ∧ 𝑃 𝑘
3
∼𝐶𝑒
/∴ ∼(𝑒 = 𝑘)
4
𝑒=𝑘
AIP
5
𝑘=𝑒
Id2 4
6
(𝐻𝑘 ∧ 𝑃 𝑘) ⊃ 𝐶𝑘
UI 1
7
𝐶𝑘
MP 6, 2
8
𝐶𝑒
Id3 7, 2
9
𝐶𝑒 ∧ ∼𝐶𝑒
Conj 8, 3
10
∼(𝑒 = 𝑘)
IP 4–9
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
53/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Hurley [2012], ejemplo pág. 499)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
La única amiga que tengo es Elizabeth. Elizabeth no es Nancy. Nancy es
Canadiense. Por lo tanto, existe una Canadiense quien no es mi amiga.
(𝐴𝑥: 𝑥 es mi amiga. 𝐶𝑥: 𝑥 es Canadiense. 𝑒: Elizabet. 𝑛: Nancy.)
Representación:
1
𝐴𝑒 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝑥 = 𝑒)
2
𝑒≠𝑛
3
𝐶𝑛
/∴ (∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝐴𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
54/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (continuación)
1
𝐴𝑒 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝑥 = 𝑒)
2
𝑒≠𝑛
3
𝐶𝑛
4
(∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝑥 = 𝑒)
Simp 1
5
𝐴𝑛 ⊃ 𝑛 = 𝑒
UI 4
6
𝑛≠𝑒
ID2 2
7
∼𝐴𝑛
MT 5, 6
8
𝐶𝑛 ∧ ∼𝐴𝑛
Conj 3, 7
9
(∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝐴𝑥)
EG 8
/∴ (∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝐴𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
55/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 1, pág. 176)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
El arquitecto que diseño el Tappan Hall solamente diseña edificios de oficinas. Por lo tanto, el Tappan Hall es un edificio de oficinas. (𝐴𝑥: 𝑥 es
arquitecto. 𝑡: Tappan Hall. 𝐷𝑥𝑦: 𝑥 diseño a 𝑦. 𝑂𝑥: 𝑥 es un edificio de
oficinas.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
56/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 1, pág. 176)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
El arquitecto que diseño el Tappan Hall solamente diseña edificios de oficinas. Por lo tanto, el Tappan Hall es un edificio de oficinas. (𝐴𝑥: 𝑥 es
arquitecto. 𝑡: Tappan Hall. 𝐷𝑥𝑦: 𝑥 diseño a 𝑦. 𝑂𝑥: 𝑥 es un edificio de
oficinas.)
Representación:
1
(∃𝑥)[𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥𝑡 ∧ (∀𝑦)[(𝐴𝑦 ∧ 𝐷𝑦𝑡) ⊃ 𝑦 = 𝑥] ∧ (∀𝑧)(𝐷𝑥𝑧 ⊃ 𝑂𝑧)]
/∴ 𝑂𝑡
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
57/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (continuación)
1
(∃𝑥)[𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥𝑡 ∧ (∀𝑦)[(𝐴𝑦 ∧ 𝐷𝑦𝑡) ⊃ 𝑦 = 𝑥] ∧ (∀𝑧)(𝐷𝑥𝑧 ⊃ 𝑂𝑧)]
/∴ 𝑂𝑡
2
𝐴𝑎 ∧ 𝐷𝑎𝑡 ∧ (∀𝑦)[(𝐴𝑦 ∧ 𝐷𝑦𝑡) ⊃ 𝑦 = 𝑎] ∧ (∀𝑧)(𝐷𝑎𝑧 ⊃ 𝑂𝑧)
EI 1
3
(∀𝑧)(𝐷𝑎𝑧 ⊃ 𝑂𝑧)
Simp 2
4
𝐷𝑎𝑡 ⊃ 𝑂𝑡
UI 3
5
𝐷𝑎𝑡
Simp 2
6
𝑂𝑡
MP 4, 5
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
58/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (continuación)
En la demostración de la validez del argumento
(∃𝑥)[𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥𝑡 ∧ (∀𝑦)[(𝐴𝑦 ∧ 𝐷𝑦𝑡) ⊃ 𝑦 = 𝑥] ∧ (∀𝑧)(𝐷𝑥𝑧 ⊃ 𝑂𝑧)]
/∴ 𝑂𝑡
la información (∀𝑦)[(𝐴𝑦 ∧ 𝐷𝑦𝑡) ⊃ 𝑦 = 𝑥] no fue empleada.
En la diapositiva de la pág. 60 se muestra un ejemplo donde este tipo de
información es necesaria para demostrar la validez del argumento.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
59/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 2*, pág. 176)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
El profesor de griego de la Escuela Preparatoria es muy instruido. Por lo
tanto, todos los profesores de griego de la Escuela Preparatoria son muy
instruidos. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un profesor de griego. 𝑆𝑥: 𝑥 está en la Escuela Preparatoria. 𝐼𝑥: 𝑥 es muy instruido.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
60/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 2*, pág. 176)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
El profesor de griego de la Escuela Preparatoria es muy instruido. Por lo
tanto, todos los profesores de griego de la Escuela Preparatoria son muy
instruidos. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un profesor de griego. 𝑆𝑥: 𝑥 está en la Escuela Preparatoria. 𝐼𝑥: 𝑥 es muy instruido.)
Representación:
1
(∃𝑥){𝑃 𝑥 ∧ 𝑆𝑥 ∧ 𝐼𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝑃 𝑦 ∧ 𝑆𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦]}
/∴ (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑆𝑥) ⊃ 𝐼𝑥]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
61/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (continuación)
1
(∃𝑥){𝑃 𝑥 ∧ 𝑆𝑥 ∧ 𝐼𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝑃 𝑦 ∧ 𝑆𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦]}
/∴ (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑆𝑥) ⊃ 𝐼𝑥
2
𝑃 𝑧 ∧ 𝑆𝑧
ACP
3
𝑃 𝑎 ∧ 𝑆𝑎 ∧ 𝐼𝑎 ∧ (∀𝑦)[(𝑃 𝑦 ∧ 𝑆𝑦) ⊃ 𝑎 = 𝑦]
EI 1
4
(∀𝑦)[(𝑃 𝑦 ∧ 𝑆𝑦) ⊃ 𝑎 = 𝑦]
Simp 3
5
(𝑃 𝑧 ∧ 𝑆𝑧) ⊃ 𝑎 = 𝑧
UI 4
6
𝑎=𝑧
MP 5, 2
7
𝐼𝑎
Simp 3
8
𝐼𝑧
Id3 7, 6
9
10
(𝑃 𝑧 ∧ 𝑆𝑧) ⊃ 𝐼𝑧
CP 2–10
(∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑆𝑥) ⊃ 𝐼𝑥]
UG 11
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
62/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 5, pág. 176)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
Todos los participantes serán vencedores. Habrá cuando más un vencedor.
Hay cuando menos un participante. Por lo tanto, hay exactamente un participante. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un participante. 𝑉 𝑥: 𝑥 será vencedor.)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
63/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 5, pág. 176)
Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas:
Todos los participantes serán vencedores. Habrá cuando más un vencedor.
Hay cuando menos un participante. Por lo tanto, hay exactamente un participante. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un participante. 𝑉 𝑥: 𝑥 será vencedor.)
Representación:
1
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝑉 𝑥)
2
(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑉 𝑥 ∧ 𝑉 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦]
3
(∃𝑥)𝑃 𝑥
/∴ (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
64/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (continuación)
1
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝑉 𝑥)
2
(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑉 𝑥 ∧ 𝑉 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦]
3
(∃𝑥)𝑃 𝑥
4
𝑃𝑎
/∴ (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)]
EI 3
5
𝑃𝑦
ACP
6
𝑃𝑎 ⊃ 𝑉 𝑎
UI 1
7
𝑃𝑦 ⊃ 𝑉 𝑦
UI 1
8
𝑉𝑎
MP 6, 4
9
𝑉𝑦
MP 7, 5
𝑉𝑎∧𝑉𝑦
Conj 7, 9
10
Continua en la siguiente diapositiva...
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
65/83
Demostraciones de validez de argumentos
Ejemplo (continuación)
11
(∀𝑦)[(𝑉 𝑎 ∧ 𝑉 𝑦) ⊃ 𝑎 = 𝑦]
UI 2
12
(𝑉 𝑎 ∧ 𝑉 𝑦) ⊃ 𝑎 = 𝑦
UI 11
13
𝑎=𝑦
MP 10, 9
14
𝑃𝑦 ⊃ 𝑎 = 𝑦
CP 5–13
15
(∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑎 = 𝑦)
UG 14
16
𝑃 𝑎 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑎 = 𝑦)
Conj 4, 15
17
(∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)]
EG 16
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
66/83
Diapositivas extras
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
67/83
Más allá de la lógica de predicados de primer orden
Características de la lógica de predicados de primer orden
Cuantificación sobre individuos.
Los predicados (atributos y las relaciones) tienen como argumentos
individuos.
4
Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, pág. 56.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
68/83
Más allá de la lógica de predicados de primer orden
Características de la lógica de predicados de primer orden
Cuantificación sobre individuos.
Los predicados (atributos y las relaciones) tienen como argumentos
individuos.
Características de las lógicas de orden superior orden
“The adjective ‘first-order’ is used to distinguish the languages…from those
in which are predicates having other predicates or functions as arguments,
or quantification over functions or predicates, or both.”4
4
Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, pág. 56.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
69/83
Lógica de segundo orden
Notación
𝑋: Variable predicativa (atributo o relación)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
70/83
Lógica de segundo orden
Notación
𝑋: Variable predicativa (atributo o relación)
Ejemplo (Principio de inducción matemática)
Representación empleando la lógica de predicados de primer orden:
Sea 𝐴𝑥 una función proposicional, entonces
[𝐴0 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐴(𝑥 + 1))] ⊃ (∀𝑥)𝐴𝑥.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
71/83
Lógica de segundo orden
Notación
𝑋: Variable predicativa (atributo o relación)
Ejemplo (Principio de inducción matemática)
Representación empleando la lógica de predicados de primer orden:
Sea 𝐴𝑥 una función proposicional, entonces
[𝐴0 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐴(𝑥 + 1))] ⊃ (∀𝑥)𝐴𝑥.
Representación empleando la lógica de predicados de segundo orden:
(∀𝑋){[𝑋0 ∧ (∀𝑥)(𝑋𝑥 ⊃ 𝑋(𝑥 + 1))] ⊃ (∀𝑥)𝑋𝑥}.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
72/83
Lógica de segundo orden
Ejemplo (Principio de sustitutividad)
(∀𝑋)(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑋𝑥 ∧ 𝑥 = 𝑦) ⊃ 𝑋𝑦].
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
73/83
Lógica de segundo orden
Ejemplo (Principio de sustitutividad)
(∀𝑋)(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑋𝑥 ∧ 𝑥 = 𝑦) ⊃ 𝑋𝑦].
Ejemplo (Principio de la identidad de los indiscernibles de Leibniz)
(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑥 = 𝑦) ≡ (∀𝑋)(𝑋𝑥 ≡ 𝑋𝑦)].
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
74/83
Lógica de segundo orden
Ejemplo (Principio de sustitutividad)
(∀𝑋)(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑋𝑥 ∧ 𝑥 = 𝑦) ⊃ 𝑋𝑦].
Ejemplo (Principio de la identidad de los indiscernibles de Leibniz)
(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑥 = 𝑦) ≡ (∀𝑋)(𝑋𝑥 ≡ 𝑋𝑦)].
Ejemplo (Principio de bivalencia)
(∀𝑋)(∀𝑥)(𝑋𝑥 ∨ ∼𝑋𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
75/83
Lógica de segundo orden
Ejemplos
Sócrates tiene todos los atributos: (∀𝑋)𝑋𝑠
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
76/83
Lógica de segundo orden
Ejemplos
Sócrates tiene todos los atributos: (∀𝑋)𝑋𝑠
Sócrates tiene algún atributo: (∃𝑋)𝑋𝑠
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
77/83
Lógica de segundo orden
Ejemplos
Sócrates tiene todos los atributos: (∀𝑋)𝑋𝑠
Sócrates tiene algún atributo: (∃𝑋)𝑋𝑠
Toda cosa tiene todos los atributos: (∀𝑥)(∀𝑋)𝑋𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
78/83
Lógica de segundo orden
Ejemplos
Sócrates tiene todos los atributos: (∀𝑋)𝑋𝑠
Sócrates tiene algún atributo: (∃𝑋)𝑋𝑠
Toda cosa tiene todos los atributos: (∀𝑥)(∀𝑋)𝑋𝑥
Alguna cosa tiene todos los atributos: (∃𝑥)(∀𝑋)𝑋𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
79/83
Lógicas de orden superior
Notación
𝒜, … , 𝒵: Atributo de atributos
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
80/83
Lógicas de orden superior
Notación
𝒜, … , 𝒵: Atributo de atributos
Ejemplos
Todos los atributos útiles son deseables:
𝒰𝑋: 𝑋 es un atributo útil
𝒟𝑋: 𝑋 es un atributo deseable
Representación: (∀𝑋)(𝒰𝑋 ⊃ 𝒟𝑋)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
81/83
Lógicas de orden superior
Notación
𝒜, … , 𝒵: Atributo de atributos
Ejemplos
Todos los atributos útiles son deseables:
𝒰𝑋: 𝑋 es un atributo útil
𝒟𝑋: 𝑋 es un atributo deseable
Representación: (∀𝑋)(𝒰𝑋 ⊃ 𝒟𝑋)
Algunos atributos deseables no son útiles: (∃𝑋)(𝒟𝑋 ∧ ∼𝒰𝑋)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
82/83
Referencias
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.
Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth,
Cengage Learning.
Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic. 4.a ed. Chapman
& Hall.
Real Academia Española, ed. (2012). Diccionario de la Lengua Española. 22.a ed.
Espasa Calpe, S. A. url: http://www.rae.es/drae/ (visitado 14-04-2015).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad
83/83
Lógica - CM0260
Teoría de conjuntos
Andrés Sicard Ramírez
Universidad EAFIT
Semestre 2015-2
Introducción
Georg Cantor (1845 – 1918)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
2/143
Introducción
“Set theory was invented by Georg Cantor…It
was however Cantor who realized the significance of one-to-one functions between sets
and introduced the notion of cardinality of a
set.” (pág. 15)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Introducción
“Set theory was born on that December
1873 day when Cantor established that
the reals are uncountable, i.e. there is no
one-to-one correspondence between the
reals and the natural numbers.” (pág. XII)
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Notación lógica
Símbolo
Conjunción
Disyunción
Negación
Condicional
Bicondicional
Cuantificación universal
Cuantificación existencial
Copi1 y Hurley2
·
∨
∼
⊃
≡
(𝑥)𝑃 𝑥
(∃𝑥)𝑃 𝑥
Rosen3
∧
∨
¬
→
↔
∀𝑥𝑃 (𝑥)
∃𝑥𝑃 (𝑥)
Sierra4
∧
∨
∼
→
↔
∀𝑥𝑃 (𝑥)
∃𝑥𝑃 (𝑥)
1
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica.
Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic.
3
Rosen, Kenneth H. (2004). Matemática Discreta y sus Aplicaciones, 5ª ed.
4
Sierra A., Manuel (2010). Conjuntos y Relaciones.
2
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Conjuntos
Definición (Conjunto)
Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Conjuntos
Definición (Conjunto)
Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros.
Relación (binaria) de pertenencia
𝑥 ∈ 𝐴:
def
𝑥 ∉ 𝐴 = ¬(𝑥 ∈ 𝐴):
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
El elemento 𝑥 pertenece al conjunto 𝐴.
El elemento 𝑥 no pertenece al conjunto 𝐴.
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Conjuntos
Definición (Conjunto)
Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros.
Relación (binaria) de pertenencia
𝑥 ∈ 𝐴:
def
𝑥 ∉ 𝐴 = ¬(𝑥 ∈ 𝐴):
El elemento 𝑥 pertenece al conjunto 𝐴.
El elemento 𝑥 no pertenece al conjunto 𝐴.
Ejemplos
Listando sus elementos: 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}.
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Conjuntos
Definición (Conjunto)
Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros.
Relación (binaria) de pertenencia
𝑥 ∈ 𝐴:
def
𝑥 ∉ 𝐴 = ¬(𝑥 ∈ 𝐴):
El elemento 𝑥 pertenece al conjunto 𝐴.
El elemento 𝑥 no pertenece al conjunto 𝐴.
Ejemplos
Listando sus elementos: 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}.
Empleando puntos suspensivos: 𝐷 = {0, 1, … , 9}.
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Conjuntos
Definición (Conjunto)
Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros.
Relación (binaria) de pertenencia
𝑥 ∈ 𝐴:
El elemento 𝑥 pertenece al conjunto 𝐴.
def
𝑥 ∉ 𝐴 = ¬(𝑥 ∈ 𝐴):
El elemento 𝑥 no pertenece al conjunto 𝐴.
Ejemplos
Listando sus elementos: 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}.
Empleando puntos suspensivos: 𝐷 = {0, 1, … , 9}.
Empleando una propiedad:
𝐴 = {𝑥 ∣ 𝑥 es un entero positivo menor que 10}.
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Conjuntos
Ejemplos (Conjuntos comunes en Matemáticas)
ℕ = el conjunto de los números naturales
= {0, 1, 2, …}
ℤ = el conjunto de los números enteros
= {… , −2, −1, 0, 1, 2, …}
ℤ+ = el conjunto de los números enteros positivos
= {1, 2, …}
ℚ = el conjunto de los números racionales
= {𝑝/𝑞 ∣ 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0}
ℝ = el conjunto de los números reales
=?
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Conjuntos
Ejemplos
𝐴 = {∅, {∅}, {{∅}}},
𝐵 = {ℕ, ℤ, ℝ},
𝐶 = {ℕ, 𝑎}.
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Tipos de datos
Observación: “Note that the concept of a datatype, or type, in computer
science is built upon the concept of a set. In particular, a datatype or
type is the name of a set, together with a set of operations that can be
performed on objects from that set. For example, boolean is the name of
the set {0, 1} together with operators on one or more elements of this set,
such as AND, OR, and NOT.”5
5
Rosen, Kenneth H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications, pág. 117.
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Igualdad entre conjuntos
Definición (Igualdad entre conjuntos)
Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales si, y sólo si, tienen los mismos elementos,
es decir,
𝐴 = 𝐵 sii ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵).
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Igualdad entre conjuntos
Definición (Igualdad entre conjuntos)
Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales si, y sólo si, tienen los mismos elementos,
es decir,
𝐴 = 𝐵 sii ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵).
La anterior definición proviene del axioma
∀𝐴∀𝐵[∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵]
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
(axioma de extensionalidad)
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Igualdad entre conjuntos
Definición (Igualdad entre conjuntos)
Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales si, y sólo si, tienen los mismos elementos,
es decir,
𝐴 = 𝐵 sii ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵).
La anterior definición proviene del axioma
∀𝐴∀𝐵[∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵]
(axioma de extensionalidad)
Por lo tanto, que dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son diferentes se expresa por
𝐴 ≠ 𝐵 sii ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴).
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Igualdad entre conjuntos
No importa el orden
{𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} = {𝑖, 𝑜, 𝑎, 𝑒, 𝑢}
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Igualdad entre conjuntos
No importa el orden
{𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} = {𝑖, 𝑜, 𝑎, 𝑒, 𝑢}
No importa los elementos repetidos (convención de Rosen [2004])
{𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑏}
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El conjunto vacío y el conjunto universal
Definición (Conjunto vacío)
El conjunto vacío, denotado ∅, es el conjunto que no tiene elementos, es
decir,
∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ≠ 𝑥}.
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El conjunto vacío y el conjunto universal
Definición (Conjunto vacío)
El conjunto vacío, denotado ∅, es el conjunto que no tiene elementos, es
decir,
∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ≠ 𝑥}.
La anterior definición proviene del axioma
∃𝐴∀𝑥(𝑥 ∉ 𝐴)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
(axioma del conjunto vacío)
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El conjunto vacío y el conjunto universal
Definición (Conjunto vacío)
El conjunto vacío, denotado ∅, es el conjunto que no tiene elementos, es
decir,
∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ≠ 𝑥}.
La anterior definición proviene del axioma
∃𝐴∀𝑥(𝑥 ∉ 𝐴)
(axioma del conjunto vacío)
Observación: ∅ ≠ {∅}
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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El conjunto vacío y el conjunto universal
Definición (Conjunto vacío)
El conjunto vacío, denotado ∅, es el conjunto que no tiene elementos, es
decir,
∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ≠ 𝑥}.
La anterior definición proviene del axioma
∃𝐴∀𝑥(𝑥 ∉ 𝐴)
(axioma del conjunto vacío)
Observación: ∅ ≠ {∅}
Definición (Conjunto universal)
El conjunto universal, denotado 𝑈 , contiene todos los objetos bajo consideración.
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Relación de pertenencia
Ejercicio (Rosen [2004], problema 8, pág. 78)
Determinar si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa.
a. ∅ ∈ {∅}
b. ∅ ∈ {∅, {∅}}
c. {∅} ∈ {∅}
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Relación de pertenencia
Ejercicio (Rosen [2004], problema 8, pág. 78)
Determinar si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa.
a. ∅ ∈ {∅} (verdadera)
b. ∅ ∈ {∅, {∅}} (verdadera)
c. {∅} ∈ {∅} (falsa)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Definición (Subconjunto)
El conjunto 𝐴 se dice que es un subconjunto del conjunto 𝐵 (denotado
𝐴 ⊆ 𝐵) si, y sólo si, todo elemento de 𝐴 es también elemento de 𝐵, es
decir
𝐴 ⊆ 𝐵 sii ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵).
Por lo tanto, si el conjunto 𝐴 no es subconjunto del conjunto 𝐵 significa
que algún elemento de 𝐴 no es elemento de 𝐵, es decir,
¬(𝐴 ⊆ 𝐵) sii ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵).
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Definición (Subconjunto)
El conjunto 𝐴 se dice que es un subconjunto del conjunto 𝐵 (denotado
𝐴 ⊆ 𝐵) si, y sólo si, todo elemento de 𝐴 es también elemento de 𝐵, es
decir
𝐴 ⊆ 𝐵 sii ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵).
Por lo tanto, si el conjunto 𝐴 no es subconjunto del conjunto 𝐵 significa
que algún elemento de 𝐴 no es elemento de 𝐵, es decir,
¬(𝐴 ⊆ 𝐵) sii ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵).
Teorema
Para cualquier conjunto 𝐴, ∅ ⊆ 𝐴 y 𝐴 ⊆ 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Igualdad entre conjuntos
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos, entonces
𝐴 = 𝐵 sii 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Igualdad entre conjuntos
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos, entonces
𝐴 = 𝐵 sii 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴.
Definición (Subconjunto propio)
El conjunto 𝐴 se dice que es un subconjunto propio del conjunto 𝐵 (denotado 𝐴 ⊂ 𝐵) cuando
𝐴 ⊂ 𝐵 sii 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 8, pág. 78)
Determinar si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa.
e. {∅} ⊂ {∅, {∅}}
f. {{∅}} ⊂ {∅, {∅}}
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 8, pág. 78)
Determinar si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa.
e. {∅} ⊂ {∅, {∅}} (verdadera)
f. {{∅}} ⊂ {∅, {∅}} (verdadera)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Ejemplo
Formulación 1 (Rosen [2004], problema 11, pág. 78)
Supongamos que 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos tales 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐶.
Demostrar que 𝐴 ⊆ 𝐶.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Ejemplo
Formulación 1 (Rosen [2004], problema 11, pág. 78)
Supongamos que 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos tales 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐶.
Demostrar que 𝐴 ⊆ 𝐶.
Formulación 2 (Sierra A. [2010], ejercicio 1.1, pág. 3)
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos arbitrarios. Demostrar que
𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Ejemplo
Formulación 1 (Rosen [2004], problema 11, pág. 78)
Supongamos que 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos tales 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐶.
Demostrar que 𝐴 ⊆ 𝐶.
Formulación 2 (Sierra A. [2010], ejercicio 1.1, pág. 3)
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos arbitrarios. Demostrar que
𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶.
Formulación 3
Demostrar la validez del siguiente argumento:
𝐴⊆𝐵
𝐵⊆𝐶
/∴ 𝐴 ⊆ 𝐶
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Ejemplo (continuación)
Solución de Rosen [2004]
Supongamos que 𝑥 ∈ 𝐴. Como 𝐴 ⊆ 𝐵 esto implica que
𝑥 ∈ 𝐵. Como 𝐵 ⊆ 𝐶, vemos
que 𝑥 ∈ 𝐶. Como 𝑥 ∈ 𝐴 implica que 𝑥 ∈ 𝐶, se deduce
que 𝐴 ⊆ 𝐶.
(Rosen [2004, §1.5] presenta
varios ejemplos de este tipo de
pruebas)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Ejemplo (continuación)
Solución de Rosen [2004]
Supongamos que 𝑥 ∈ 𝐴. Como 𝐴 ⊆ 𝐵 esto implica que
𝑥 ∈ 𝐵. Como 𝐵 ⊆ 𝐶, vemos
que 𝑥 ∈ 𝐶. Como 𝑥 ∈ 𝐴 implica que 𝑥 ∈ 𝐶, se deduce
que 𝐴 ⊆ 𝐶.
Prueba formal
1
2
3
4
5
6
(Rosen [2004, §1.5] presenta 7
varios ejemplos de este tipo de 8
pruebas)
9
10
11
12
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
𝐴⊆𝐵
𝐵 ⊆ 𝐶 /∴ 𝐴 ⊆ 𝐶
∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶)
𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐵
𝑥∈𝐵→𝑥∈𝐶
𝑥∈𝐴
𝑥∈𝐵
𝑥∈𝐶
𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐶
∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶)
𝐴⊆𝐶
Def. ⊆, 1
Def. ⊆, 2
UI 3
UI 4
ACP
MP 5, 7
MP 6, 8
CP 7–9
UG 10
Def. ⊆, 11
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Subconjuntos
Observación
Recordar que
1
no se puede demostrar empleando un ejemplo y
2
un contraejemplo se puede usar para refutar.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Observación
Recordar que
1
no se puede demostrar empleando un ejemplo y
2
un contraejemplo se puede usar para refutar.
Ejemplo (Sierra A. [2010], ejercicio 1.2, pág. 3)
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos arbitrarios. Demostrar o refutar que
𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 → ¬(𝐴 ⊆ 𝐶).
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Ejercicio (Sierra A. [2010], ejercicio 1.17, pág. 3)
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos arbitrarios. Demostrar formalmente o refutar el
siguiente argumento:
1
𝐴≠𝐵
2
𝐴⊆𝐵
/∴ ¬(𝐵 ⊆ 𝐴)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
38/143
Subconjuntos
Ejercicio (Sierra A. [2010], ejercicio 1.17, pág. 3)
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos arbitrarios. Demostrar formalmente o refutar el
siguiente argumento:
1
𝐴≠𝐵
2
𝐴⊆𝐵
3
(∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)
Def. ≠, 1
4
(∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
Def. ⊆, 2
5
¬(∃𝑥)¬(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)
CQ 4
6
¬(∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵)
Impl, DM 5
7
(∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)
DS 3, 6
8
¬(𝐵 ⊆ 𝐴)
Def. ⊆, 7
/∴ ¬(𝐵 ⊆ 𝐴)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Ejercicio (Sierra A. [2010], ejercicio 1.32, pág. 3)
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos arbitrarios. Demostrar o refutar que
𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Subconjuntos
Ejercicio (Sierra A. [2010], ejercicio 1.32, pág. 3)
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos arbitrarios. Demostrar o refutar que
𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵.
Refutación (contraejemplo): Sea 𝐴 = {1} y 𝐵 = {{1}, 2}. Entonces
𝐴 ∈ 𝐵, pero 𝐴 no es subconjunto de 𝐵.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Conjuntos finitos e infinitos
Definición (Cardinalidad)
El número de elementos distintos en un conjunto 𝐴, denotado |𝐴|, es llamado la cardinalidad de 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Conjuntos finitos e infinitos
Definición (Cardinalidad)
El número de elementos distintos en un conjunto 𝐴, denotado |𝐴|, es llamado la cardinalidad de 𝐴.
Definición (Conjuntos finito e infinitos)
Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛, con 𝑛 ∈ ℕ, entonces 𝐴 es un conjunto
finito, de lo contrario, 𝐴 es un conjunto infinito.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Conjuntos finitos e infinitos
Definición (Cardinalidad)
El número de elementos distintos en un conjunto 𝐴, denotado |𝐴|, es llamado la cardinalidad de 𝐴.
Definición (Conjuntos finito e infinitos)
Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛, con 𝑛 ∈ ℕ, entonces 𝐴 es un conjunto
finito, de lo contrario, 𝐴 es un conjunto infinito.
Ejemplos
|∅| = 0,
|{𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}| = |{𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}|
= 5.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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El conjunto de partes de un conjunto
Definición (Conjunto de partes)
El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto 𝐴, denotado 𝑃 (𝐴),
es llamado el conjunto de partes (o conjunto potencia) de 𝐴, es decir,
𝑃 (𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
45/143
El conjunto de partes de un conjunto
Definición (Conjunto de partes)
El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto 𝐴, denotado 𝑃 (𝐴),
es llamado el conjunto de partes (o conjunto potencia) de 𝐴, es decir,
𝑃 (𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}.
La anterior definición proviene del axioma
∀𝐴∃𝐵∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
(axioma del conjunto potencia)
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El conjunto de partes de un conjunto
Definición (Conjunto de partes)
El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto 𝐴, denotado 𝑃 (𝐴),
es llamado el conjunto de partes (o conjunto potencia) de 𝐴, es decir,
𝑃 (𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}.
La anterior definición proviene del axioma
∀𝐴∃𝐵∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
(axioma del conjunto potencia)
Ejemplo
𝑃 ({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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El conjunto de partes de un conjunto
Teorema
Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛 ∈ ℕ, entonces |𝑃 (𝐴)| = 2𝑛 .
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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El conjunto de partes de un conjunto
Teorema
Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛 ∈ ℕ, entonces |𝑃 (𝐴)| = 2𝑛 .
(La demostración de este teorema emplea inducción matemática la cual será
vista en un curso posterior.)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
49/143
El conjunto de partes de un conjunto
Teorema
Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛 ∈ ℕ, entonces |𝑃 (𝐴)| = 2𝑛 .
(La demostración de este teorema emplea inducción matemática la cual será
vista en un curso posterior.)
Ejercicio (Rosen [2004], problema 15, pág. 79)
Hallar el conjunto de partes de {∅, {∅}}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
50/143
El conjunto de partes de un conjunto
Teorema
Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛 ∈ ℕ, entonces |𝑃 (𝐴)| = 2𝑛 .
(La demostración de este teorema emplea inducción matemática la cual será
vista en un curso posterior.)
Ejercicio (Rosen [2004], problema 15, pág. 79)
Hallar el conjunto de partes de {∅, {∅}}.
Solución: 𝑃 ({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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El conjunto de partes de un conjunto
Ejercicio (Rosen [2004], problema complementario 35, pág. 107)
Supongamos que 𝐴 y 𝐵 son conjuntos tales que el conjunto de las partes
de 𝐴 es subconjunto del conjunto de las partes de 𝐵. ¿Se puede concluir
que 𝐴 es subconjunto de 𝐵? Justificar su respuesta.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
52/143
El conjunto de partes de un conjunto
Ejercicio (Rosen [2004], problema complementario 35, pág. 107)
Supongamos que 𝐴 y 𝐵 son conjuntos tales que el conjunto de las partes
de 𝐴 es subconjunto del conjunto de las partes de 𝐵. ¿Se puede concluir
que 𝐴 es subconjunto de 𝐵? Justificar su respuesta.
Respuesta: Si se puede concluir que 𝐴 ⊆ 𝐵.
Justificación: Supongamos que 𝐴 no es subconjunto de 𝐵, es decir, existe
un 𝑥 tal que 𝑥 ∈ 𝐴 y 𝑥 ∉ 𝐵. Entonces {𝑥} ∈ 𝑃 (𝐴) pero {𝑥} ∉ 𝑃 (𝐵), es
decir, 𝑃 (𝐴) no es subconjunto de 𝑃 (𝐵). Lo anterior contradice el
supuesto de que 𝑃 (𝐴) ⊆ 𝑃 (𝐵).
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Tuplas ordenadas
Definición (𝑛-tupla ordenada)
La 𝑛-tupla ordenada (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) es la colección ordenada en la que 𝑎1
es su primer elemento, 𝑎2 es el segundo elemento,… y 𝑎𝑛 es el 𝑛-ésimo
elemento.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Tuplas ordenadas
Definición (𝑛-tupla ordenada)
La 𝑛-tupla ordenada (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) es la colección ordenada en la que 𝑎1
es su primer elemento, 𝑎2 es el segundo elemento,… y 𝑎𝑛 es el 𝑛-ésimo
elemento.
Definición (Igualdad de 𝑛-tuplas ordenadas)
Dos 𝑛-tuplas ordenadas son iguales si, y sólo si, cada par correspondiente
de sus elementos son iguales. Es decir,
(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) sii 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Producto cartesiano
Definición (Producto cartesiano de 2 conjuntos)
El producto cartesiano de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, denotado 𝐴 × 𝐵, es el
conjunto de pares ordenados
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) ∣ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Producto cartesiano
Definición (Producto cartesiano de 2 conjuntos)
El producto cartesiano de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, denotado 𝐴 × 𝐵, es el
conjunto de pares ordenados
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) ∣ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}.
Ejemplo
Sea 𝐴 = {𝑎, 𝑏} y 𝐵 = {1, 2}. Entonces
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 1), (𝑎, 2), (𝑏, 1), (𝑏, 2)}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Producto cartesiano
Ejercicio (Rosen [2004], problema 22, pág. 79)
Supongamos que 𝐴 × 𝐵 = ∅, donde 𝐴 y 𝐵 son conjuntos. ¿Qué se puede
concluir?
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Producto cartesiano
Ejercicio (Rosen [2004], problema 22, pág. 79)
Supongamos que 𝐴 × 𝐵 = ∅, donde 𝐴 y 𝐵 son conjuntos. ¿Qué se puede
concluir?
Solución: 𝐴 y/o 𝐵 son el conjunto vacío.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Producto cartesiano
Teorema (Rosen [2004], problema 23, pág. 79)
Sea 𝐴 un conjunto, entonces 𝐴 × ∅ = ∅ × 𝐴 = ∅.
Demostración.
𝐴 × ∅ = {(𝑥, 𝑦) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∅}
(def. producto cartesiano)
=∅
(def. conjunto vacío)
= {(𝑥, 𝑦) ∣ 𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴}
(def. conjunto vacío)
=∅×𝐴
(def. producto cartesiano)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
60/143
Producto cartesiano
Ejercicio
Supongamos que 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴, donde 𝐴 y 𝐵 son conjuntos. ¿Qué se
puede concluir?
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
61/143
Producto cartesiano
Ejercicio
Supongamos que 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴, donde 𝐴 y 𝐵 son conjuntos. ¿Qué se
puede concluir?
Solución: 𝐴 y/o 𝐵 son el conjunto vacío o 𝐴 = 𝐵.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Producto cartesiano
Teorema (Rosen [2004], problema 26, pág. 79)
El producto cartesiano no es conmutativo, es decir, 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 para
conjuntos 𝐴 y 𝐵 no vacíos, a no ser que 𝐴 = 𝐵.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Producto cartesiano
Definición (Producto cartesiano de 𝑛 conjuntos)
El producto cartesiano de 𝑛 conjuntos 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 , denotado 𝐴1 × 𝐴2 ×
⋯ × 𝐴𝑛 , es el conjunto de 𝑛-tuplas
{(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) ∣ 𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Uso de notación de conjunto con cuantificadores
Escribir explícitamente el dominio de cuantificación
∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑃 (𝑥): Cuantificación universal de 𝑃 (𝑥) donde el dominio es
el conjunto 𝐴.
∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑃 (𝑥): Cuantificación existencial de 𝑃 (𝑥) donde el dominio es
el conjunto 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Uso de notación de conjunto con cuantificadores
Escribir explícitamente el dominio de cuantificación
∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑃 (𝑥): Cuantificación universal de 𝑃 (𝑥) donde el dominio es
el conjunto 𝐴.
∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑃 (𝑥): Cuantificación existencial de 𝑃 (𝑥) donde el dominio es
el conjunto 𝐴.
Ejemplos
∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥2 ≥ 0)
∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥2 = 1)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory)
Definición (Conjunto)
Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros.
Especificación de conjuntos por predicados
Sea 𝑃 (𝑥) un predicado, entonces definimos un conjunto 𝑆 por
𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑃 (𝑥)}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory)
Definición (Conjunto)
Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros.
Especificación de conjuntos por predicados
Sea 𝑃 (𝑥) un predicado, entonces definimos un conjunto 𝑆 por
𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑃 (𝑥)}.
Ejemplo
𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 es un entero positivo menor que 10}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory)
Gottlob Frege
Bertrand Russell
(1848 – 1925)
(1872 – 1970)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory)
Carta de Russell a van Heijenoort6
Penrhyndeudraeth, 23 November 1962
Dear Professor van Heijenoort,
As I think about acts of integrity and grace, I realise there is nothing in my knowledge to compare with Frege’s dedication to truth. His entire life’s work was on
the verge of completion, much of his work had been ignored to the benefit of men
infinitely less capable, his second volume was about to be published, and upon finding that his fundamental assumption was in error, he responded with intellectual
pleasure clearly submerging any feelings of personal disappointment. It was almost
superhuman and a telling indication of that of which men are capable if their dedication is to creative work and knowledge instead of cruder efforts to dominate and
be known.
Yours sincerely
Bertrand Russell
6
van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical
Logic, 1879-1931, pág. 127.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory)
Paradoja de Russell
Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se
contienen a si mismos.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory)
Paradoja de Russell
Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se
contienen a si mismos.
Si 𝑆 ∈ 𝑆, esto conduce a una contradicción.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory)
Paradoja de Russell
Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se
contienen a si mismos.
Si 𝑆 ∈ 𝑆, esto conduce a una contradicción.
Si 𝑆 ∉ 𝑆, esto conduce a una contradicción.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory)
Paradoja de Russell
Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se
contienen a si mismos.
Si 𝑆 ∈ 𝑆, esto conduce a una contradicción.
Si 𝑆 ∉ 𝑆, esto conduce a una contradicción.
Por lo tanto, el conjunto 𝑆 no se puede definir.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory)
Paradoja de Russell
Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se
contienen a si mismos.
Si 𝑆 ∈ 𝑆, esto conduce a una contradicción.
Si 𝑆 ∉ 𝑆, esto conduce a una contradicción.
Por lo tanto, el conjunto 𝑆 no se puede definir.
Problema: 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑃 (𝑥)}, para cualquier 𝑃 (𝑥).
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory)
Paradoja de Russell
Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se
contienen a si mismos.
Si 𝑆 ∈ 𝑆, esto conduce a una contradicción.
Si 𝑆 ∉ 𝑆, esto conduce a una contradicción.
Por lo tanto, el conjunto 𝑆 no se puede definir.
Problema: 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑃 (𝑥)}, para cualquier 𝑃 (𝑥).
Algunas soluciones:
Teoría de tipos acumulativa
Teoría de conjuntos axiomática de Zermelo-Fraenkel con axioma de
elección (ZFC)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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2. The following figure illustrates Venn diagrams for two and thre
Operaciones
entrefigure
conjuntos
3. The following
gives the Venn diagrams for sets construct
operations.
Diagramas de Venn7
A
B
A
B
U
A
B
A
A
B
A∩B
(A ∪ B)
A
A-B
c 2000 by CRC Press LLC
7
Figura tomada de Rosen, Kenneth H. (2000). Handbook of Discrete and
Combinatorial Mathematics.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Operaciones entre conjuntos
Operaciones
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
(unión)
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
(intersección)
𝐴 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝐴}
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
(complemento)
(diferencia)
donde
def
1
𝑥 ∉ 𝐴 = ¬(𝑥 ∈ 𝐴) y
2
𝐴 está definido respecto a un conjunto universal 𝑈 dado.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Operaciones entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 22.a, pág. 88)
¿Se puede concluir que 𝐴 = 𝐵 si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos tales que
𝐴 ∪ 𝐶 = 𝐵 ∪ 𝐶? Justificar su respuesta.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Operaciones entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 22.a, pág. 88)
¿Se puede concluir que 𝐴 = 𝐵 si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos tales que
𝐴 ∪ 𝐶 = 𝐵 ∪ 𝐶? Justificar su respuesta.
Respuesta: No.
Justificación (contraejemplo): Sea 𝐴 = {1}, 𝐵 = {2} y 𝐶 = {1, 2}.
Entonces 𝐴 ∪ 𝐶 = 𝐵 ∪ 𝐶, pero 𝐴 ≠ 𝐵.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Operaciones entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 21.c, pág. 88)
Se puede concluir que 𝐵 = ∅ si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos tales que
𝐴 − 𝐵 = 𝐴? Justificar su respuesta.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Operaciones entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 21.c, pág. 88)
Se puede concluir que 𝐵 = ∅ si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos tales que
𝐴 − 𝐵 = 𝐴? Justificar su respuesta.
Respuesta: No.
Justificación (contraejemplo): Sea 𝐴 = {1} y 𝐵 = {2}. Entonces
𝐴 − 𝐵 = 𝐴, pero 𝐵 ≠ ∅.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Álgebras Booleanas
Teoría de conjuntos
∪
∩
−
∅
𝑈
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
Lógica proposicional
∨
∧
¬
F
V
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Equivalencias lógicas
Notación
Símbolo
V
F
𝑝≡𝑞
Significado
Tautología
Contradicción
𝑝 y 𝑞 son lógicamente equivalentes
(es decir, 𝑝 ↔ 𝑞 es una tautología)
Observación: Rosen [2004] introduce las constantes lógicas V y F.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Equivalencias lógicas
Equivalencia lógica
𝑝∨𝑝 ≡𝑝
𝑝∧𝑝 ≡𝑝
¬(¬𝑝) ≡ 𝑝
𝑝∨𝑞 ≡𝑞∨𝑝
𝑝∧𝑞 ≡𝑞∧𝑝
(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)
(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)
¬(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞
¬(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
Nombre
Leyes idempotentes
Ley de la doble negación
Leyes conmutativas
Leyes asociativas
Leyes distributivas
Leyes de De Morgan
85/143
Equivalencias lógicas
Equivalencia lógica
𝑝∧V ≡𝑝
𝑝∨F≡𝑝
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
Nombre
Leyes de identidad
86/143
Equivalencias lógicas
Equivalencia lógica
𝑝∧V ≡𝑝
𝑝∨F≡𝑝
𝑝∨V ≡V
𝑝∧F≡F
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
Nombre
Leyes de identidad
Leyes de dominación
87/143
Equivalencias lógicas
Equivalencia lógica
𝑝∧V ≡𝑝
𝑝∨F≡𝑝
𝑝∨V ≡V
𝑝∧F≡F
𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝
𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
Nombre
Leyes de identidad
Leyes de dominación
Leyes de absorción
88/143
Equivalencias lógicas
Equivalencia lógica
𝑝∧V ≡𝑝
𝑝∨F≡𝑝
𝑝∨V ≡V
𝑝∧F≡F
𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝
𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝
𝑝 ∨ ¬𝑝 ≡ V
𝑝 ∧ ¬𝑝 ≡ F
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
Nombre
Leyes de identidad
Leyes de dominación
Leyes de absorción
Leyes de negación
89/143
Equivalencias lógicas
Equivalencia lógica
𝑝∧V ≡𝑝
𝑝∨F≡𝑝
𝑝∨V ≡V
𝑝∧F≡F
𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝
𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝
𝑝 ∨ ¬𝑝 ≡ V
𝑝 ∧ ¬𝑝 ≡ F
¬V ≡ F
¬F ≡ V
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
Nombre
Leyes de identidad
Leyes de dominación
Leyes de absorción
Leyes de negación
Ley de negación de tautología
Ley de negación de contradicción
90/143
Identidades básicas entre conjuntos
Identidad básica
𝐴∪𝐴=𝐴
𝐴∩𝐴=𝐴
Nombre
Leyes idempotentes
(𝐴) = 𝐴
𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴
𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
Ley de complementación
Leyes conmutativas
𝐴∩𝐵 =𝐴∪𝐵
𝐴∪𝐵 =𝐴∩𝐵
Leyes de De Morgan
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
Leyes asociativas
Leyes distributivas
91/143
Identidades básicas entre conjuntos
Identidad básica
𝐴∩𝑈 =𝐴
𝐴∪∅=𝐴
𝐴∪𝑈 =𝑈
𝐴∩∅=∅
𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴
Nombre
Leyes de identidad
𝐴∪𝐴=𝑈
𝐴∩𝐴=∅
Leyes de complemento
𝑈 =∅
∅=𝑈
Ley del complemento del conjunto universal
Ley del complemento del conjunto vacío
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
Leyes de dominación
Leyes de absorción
92/143
Identidades básicas entre conjuntos
Las identidades básicas entre conjuntos se pueden demostrar empleando las
definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
93/143
Identidades básicas entre conjuntos
Las identidades básicas entre conjuntos se pueden demostrar empleando las
definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas.
Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.a, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de identidad 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
94/143
Identidades básicas entre conjuntos
Las identidades básicas entre conjuntos se pueden demostrar empleando las
definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas.
Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.a, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de identidad 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴.
Demostración.
𝐴 ∪ ∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅}
(def. unión)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ F}
(def. conjunto vacío)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
(ley lógica de identidad)
=𝐴
(def. 𝐴)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
95/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.c, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de idempotencia 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
96/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.c, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de idempotencia 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴.
Demostración.
𝐴 ∪ 𝐴 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴}
(def. unión)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
(ley lógica de idempotencia)
=𝐴
(def. 𝐴)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
97/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.g, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de identidad 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
98/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.g, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de identidad 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴.
Demostración.
𝐴 ∩ 𝑈 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 }
(def. intersección)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ V}
(def. conjunto universal)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
(ley lógica de identidad)
=𝐴
(def. 𝐴)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
99/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.f, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de dominación 𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈 .
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
100/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.f, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de dominación 𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈 .
Demostración.
𝐴 ∪ 𝑈 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝑈 }
(def. unión)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ V}
(def. conjunto universal)
= {𝑥 ∣ V}
(ley lógica de dominancia)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝑈 }
(def. conjunto universal)
=𝑈
(def. 𝑈 )
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
101/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 5, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de complementación (𝐴) = 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
102/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 5, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de complementación (𝐴) = 𝐴.
Demostración.
(𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝐴}
(def. complemento)
= {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∈ 𝐴)}
(def. ∉)
= {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∉ 𝐴)}
(def. complemento)
= {𝑥 ∣ ¬[¬(𝑥 ∈ 𝐴)]}
(def. ∉)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
(ley lógica de la doble negación)
=𝐴
(def. 𝐴)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
103/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 11, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de De Morgan 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
104/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 11, pág. 87)
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley de De Morgan 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵.
Demostración.
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵}
(def. complemento)
= {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵}
(def. ∉)
= {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)}
(def. unión)
= {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬(𝑥 ∈ 𝐵)}
(ley lógica de De Morgan)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
(def. ∉)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
(def. complemento)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵}
(def. intersección)
=𝐴∩𝐵
(def. 𝐴 ∩ 𝐵)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
105/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejemplo
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley del complemento del conjunto
universal 𝑈 = ∅.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
106/143
Identidades básicas entre conjuntos
Ejemplo
Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y
las equivalencias lógicas la ley del complemento del conjunto
universal 𝑈 = ∅.
Demostración.
𝑈 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑈 }
(def. complemento)
= {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∈ 𝑈 )}
(def. ∉)
= {𝑥 ∣ ¬V}
(def. conjunto universal)
= {𝑥 ∣ F}
(ley lógica de negación de tautología)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ∅}
(def. conjunto vacío)
=∅
(def. ∅)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
107/143
Nuevas identidades entre conjuntos
Empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las
equivalencias lógicas podemos demostrar nuevas identidades entre
conjuntos.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
108/143
Nuevas identidades entre conjuntos
Empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las
equivalencias lógicas podemos demostrar nuevas identidades entre
conjuntos.
Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.e, pág. 87)
Sea 𝐴 un conjunto. Demostrar empleando las definiciones de las
operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que 𝐴 − ∅ = 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
109/143
Nuevas identidades entre conjuntos
Empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las
equivalencias lógicas podemos demostrar nuevas identidades entre
conjuntos.
Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.e, pág. 87)
Sea 𝐴 un conjunto. Demostrar empleando las definiciones de las
operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que 𝐴 − ∅ = 𝐴.
Demostración.
𝐴 − ∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ ∅}
(def. diferencia)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ V}
(def. conjunto vacío)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
(ley lógica de identidad)
=𝐴
(def. 𝐴)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
110/143
Nuevas identidades entre conjuntos
Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.h, pág. 87)
Sea 𝐴 un conjunto. Demostrar empleando las definiciones de las
operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que ∅ − 𝐴 = ∅.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
111/143
Nuevas identidades entre conjuntos
Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.h, pág. 87)
Sea 𝐴 un conjunto. Demostrar empleando las definiciones de las
operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que ∅ − 𝐴 = ∅.
Demostración.
∅ − 𝐴 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}
(def. diferencia)
= {𝑥 ∣ F ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}
(def. conjunto vacío)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝐴 ∧ F}
(ley lógica conmutativa)
= {𝑥 ∣ F}
(ley lógica de dominación)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ∅}
(def. conjunto vacío)
=∅
(def. ∅)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
112/143
Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 12.d, pág. 87)
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las definiciones de las
operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que
𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐴) = ∅.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
113/143
Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (continuación)
Demostración.
𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 − 𝐴)}
(def. intersección)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)}
(def. diferencia)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)}
(ley conmutativa)
= {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
(ley asociativa)
= {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬(𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} (def. ∉)
= {𝑥 ∣ F ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
(ley de negación)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ F}
(ley de conmutativa)
= {𝑥 ∣ F}
(ley de dominancia)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ∅}
(def. conjunto vacío)
=∅
(def. conjunto vacío)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
114/143
Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 12.e, pág. 87)
Sea 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las definiciones de las
operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que
𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐴 ∪ 𝐵.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
115/143
Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 12.e, pág. 87)
Sea 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las definiciones de las
operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que
𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐴 ∪ 𝐵.
Demostración.
𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 − 𝐴)}
(def. unión)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)}
(def. diferencia)
= {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∉ 𝐴)}
(ley distributiva)
= {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬(𝑥 ∈ 𝐴))}
(def. ∉)
= {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ V}
(ley de negación)
= {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
(ley de identidad)
=𝐴∪𝐵
(def. unión)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
116/143
Nuevas identidades entre conjuntos
Dadas las identidades básicas entre conjuntos, éstas se pueden emplear
para obtener nuevas identidades entre conjuntos.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Dadas las identidades básicas entre conjuntos, éstas se pueden emplear
para obtener nuevas identidades entre conjuntos.
Ejemplo (Rosen [2004], problema 16, pág. 87)
Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que si 𝐴 y 𝐵
son conjuntos, entonces (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Dadas las identidades básicas entre conjuntos, éstas se pueden emplear
para obtener nuevas identidades entre conjuntos.
Ejemplo (Rosen [2004], problema 16, pág. 87)
Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que si 𝐴 y 𝐵
son conjuntos, entonces (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴.
Demostración.
(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
(ley distributiva)
=𝐴∩𝑈
(ley de complemento)
=𝐴
(ley de identidad)
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejemplo (continuación)
Una prueba diferente que (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴.
Demostración.
(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = [(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐴] ∩ [(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐵]
(ley distributiva)
= [𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)] ∩ [(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐵]
(ley conmutativa)
= 𝐴 ∩ [(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐵]
(ley de absorción)
= 𝐴 ∩ [𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)]
(ley conmutativa)
= 𝐴 ∩ [(𝐵 ∪ 𝐴) ∩ (𝐵 ∪ 𝐵)]
(ley distributiva)
= 𝐴 ∩ [(𝐵 ∪ 𝐴) ∩ 𝑈]
(ley de complemento)
= 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐴)
(ley de identidad)
= 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)
(ley commutativa)
=𝐴
(ley de absorción)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Diferencia en términos de unión e intersección
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 14.e, pág. 87)
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas
entre conjuntos que (𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐶 − 𝐴) = (𝐵 ∪ 𝐶) − 𝐴.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 14.e, pág. 87)
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas
entre conjuntos que (𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐶 − 𝐴) = (𝐵 ∪ 𝐶) − 𝐴.
Demostración.
(𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐶 − 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐶 ∩ 𝐴)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
(def. diferencia)
= (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐶 ∩ 𝐴)
(ley conmutativa)
= (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
(ley conmutativa)
= 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
(ley distributiva)
= (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ 𝐴
(ley conmutativa)
= (𝐵 ∪ 𝐴) − 𝐴
(def. diferencia)
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 18, pág. 88)
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas
entre conjuntos que (𝐴 − 𝐵) − 𝐶 = (𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶).
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 18, pág. 88)
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas
entre conjuntos que (𝐴 − 𝐵) − 𝐶 = (𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶).
(𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶)
= (𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵 − 𝐶
(def. diferencia)
= (𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
(def. diferencia)
= (𝐴 − 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
(leyes de De Morgan)
= (𝐴 − 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
(ley de complementación)
= ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵) ∪ ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐶)
(ley distributiva)
= ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵) ∪ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ 𝐶)
(def. diferencia)
= ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ 𝐶))
(ley asociativa)
⋮
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (continuación)
⋮
= ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ ∅)
(ley de complemento)
= ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵) ∪ ∅
(ley de complemento)
= (𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵
(ley de complemento)
= (𝐴 ∩ 𝐶) ∩ 𝐵
(def. diferencia)
= 𝐴 ∩ (𝐶 ∩ 𝐵)
(ley asociativa)
= 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
(ley conmutativa)
= (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
(ley asociativa)
= (𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐶
(def. diferencia)
= (𝐴 − 𝐵) − 𝐶
(def. diferencia)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Definición (Diferencia simétrica)
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. La diferencia simétrica de 𝐴 y 𝐵, denotada por
𝐴 ⊕ 𝐵, es el conjunto que contiene aquellos elementos que bien están en 𝐴
o bien están en 𝐵, pero no en ambos.
𝐴 ⊕ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵).
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 28, pág. 88)
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas entre
conjuntos que 𝐴 ⊕ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴).
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (continuación)
Demostración.
𝐴 ⊕ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)
(def. dif. simétrica)
= (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)
(def. diferencia)
= (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)
(ley commutativa)
= [(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐴] ∪ [(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐵]
(ley distributiva)
= [(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐴] ∪ [(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐵]
(leyes de De Morgan)
= [𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)] ∪ [𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)]
(leyes commutativa)
= [(𝐴 ∩ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)] ∪ [(𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐵)] (ley distributiva)
= [∅ ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)] ∪ [(𝐵 ∩ 𝐴) ∪ ∅]
(ley de complemento)
= (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)
(ley de identidad
= (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)
(def. diferencia)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 29.d, pág. 88)
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas entre
conjuntos que 𝐴 ⊕ 𝐴 = 𝑈 .
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 29.d, pág. 88)
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas entre
conjuntos que 𝐴 ⊕ 𝐴 = 𝑈 .
Demostración.
𝐴 ⊕ 𝐴 = (𝐴 − 𝐴) ∪ (𝐴 − 𝐴)
(ejercicio pág. 128)
= (𝐴 ∩ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐴)
(def. diferencia)
= (𝐴 ∩ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐴)
(ley de complementación)
=𝐴∪𝐴
(ley de idempotencia)
=𝑈
(ley de complemento)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (Rosen [2004], problema 30.d, pág. 88)
La diferencia simétrica entre conjuntos satisface las siguientes propiedades:
𝐴 ⊕ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴),
(1)
𝐴 ⊕ 𝐴 = ∅,
(2)
(3)
(𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐶 = 𝐴 ⊕ (𝐵 ⊕ 𝐶).
Empleando las propiedades anteriores demostrar que (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐵 = 𝐴.
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Nuevas identidades entre conjuntos
Ejercicio (continuación)
Demostración.
(𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐵 = 𝐴 ⊕ (𝐵 ⊕ 𝐵)
(Eq. 3)
=𝐴⊕∅
(Eq. 2)
= (𝐴 − ∅) ∪ (∅ − 𝐴)
(Eq. 1)
= (𝐴 ∩ ∅) ∪ (∅ ∩ 𝐴)
(def. diferencia)
= (𝐴 ∩ 𝑈 ) ∪ (∅ ∩ 𝐴)
(ley del complemento de ∅)
= 𝐴 ∪ (∅ ∩ 𝐴)
(ley de identidad)
=𝐴∪∅
(ley de dominancia)
=𝐴
(ley de identidad)
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Uniones e intersecciones generalizadas
Definición (Unión e intersección de una colección indexada de conjuntos)
Sea 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 una colección indexada de conjuntos. Entonces
𝑛
⋃ 𝐴𝑖 = 𝐴 1 ∪ ⋯ ∪ 𝐴 𝑛 ,
𝑖=1
𝑛
⋂ 𝐴𝑖 = 𝐴 1 ∩ ⋯ ∩ 𝐴 𝑛 .
𝑖=1
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Uniones e intersecciones generalizadas
Ejemplo
Sea 𝐴𝑖 = [𝑖, ∞), con 1 ≤ 𝑖 < ∞. Es decir, 𝐴1 = [1, ∞), 𝐴2 = [2, ∞), …
Hallar el valor de:
𝑛
1
⋃ 𝐴𝑖
𝑖=1
𝑛
2
⋂ 𝐴𝑖
𝑖=1
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Uniones e intersecciones generalizadas
Ejemplo
Sea 𝐴𝑖 = [𝑖, ∞), con 1 ≤ 𝑖 < ∞. Es decir, 𝐴1 = [1, ∞), 𝐴2 = [2, ∞), …
Hallar el valor de:
𝑛
1
⋃ 𝐴𝑖
𝑖=1
𝑛
2
⋂ 𝐴𝑖
𝑖=1
Solución:
𝑛
𝑛
⋃ 𝐴𝑖 = [1, ∞)
⋂ 𝐴𝑖 = [𝑛, ∞)
𝑖=1
𝑖=1
= 𝐴1 .
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
= 𝐴𝑛 .
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Sucesor de un conjunto
Definición (Sucesor de un conjunto)
El sucesor del conjunto 𝐴 es el conjunto 𝐴 ∪ {𝐴}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Sucesor de un conjunto
Definición (Sucesor de un conjunto)
El sucesor del conjunto 𝐴 es el conjunto 𝐴 ∪ {𝐴}.
Ejercicio (Rosen [2004], problema 47.c, pág. 89)
Hallar el sucesor del conjunto {∅}.
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
138/143
Sucesor de un conjunto
Definición (Sucesor de un conjunto)
El sucesor del conjunto 𝐴 es el conjunto 𝐴 ∪ {𝐴}.
Ejercicio (Rosen [2004], problema 47.c, pág. 89)
Hallar el sucesor del conjunto {∅}.
Solución: {∅} ∪ {{∅}}
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Sucesor de un conjunto
Definición (Sucesor de un conjunto)
El sucesor del conjunto 𝐴 es el conjunto 𝐴 ∪ {𝐴}.
Ejercicio (Rosen [2004], problema 47.c, pág. 89)
Hallar el sucesor del conjunto {∅}.
Solución: {∅} ∪ {{∅}}
Ejercicio (Rosen [2004], problema 48, pág. 89)
¿Cuántos elementos tiene el sucesor de un conjunto de 𝑛 elementos?
Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos
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Sucesor de un conjunto
Definición (Sucesor de un conjunto)
El sucesor del conjunto 𝐴 es el conjunto 𝐴 ∪ {𝐴}.
Ejercicio (Rosen [2004], problema 47.c, pág. 89)
Hallar el sucesor del conjunto {∅}.
Solución: {∅} ∪ {{∅}}
Ejercicio (Rosen [2004], problema 48, pág. 89)
¿Cuántos elementos tiene el sucesor de un conjunto de 𝑛 elementos?
Solución: 𝑛 + 1 elementos
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Representación de conjuntos en un ordenador
Leer Rosen [2004, págs. 85–87].
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Referencias
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.
Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth,
Cengage Learning.
Rosen, Kenneth H. (2000). Handbook of Discrete and Combinatorial
Mathematics. CRC Press.
– (2004). Matemática Discreta y sus Aplicaciones. 5.a ed. McGraw-Hill.
– (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. 7.a ed. McGraw-Hill.
Sierra A., Manuel (2010). Conjuntos y Relaciones. MS-Print.
van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in
Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.
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