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Lógica - CM0260 Introducción Andrés Sicard Ramírez Universidad EAFIT Semestre 2015-2 Información inicial Coordinador del curso de Lógica Manuel Sierra Aristizábal Jefe Departamento de Ciencias Matemáticas Myladis Rocío Cogollo Flórez Página web del curso http://www1.eafit.edu.co/asr/courses/logic-CM0260/ Evaluación, bibliografía y horarios de atención Ver la página web del curso. Lógica - CM0260. Introducción 2/15 Información inicial Prerrequistios El curso está diseñado para estudiantes que no tienen una formación en Lógica. Pacto pedagógico Lógica - CM0260. Introducción 3/15 ¿Qué es la Lógica? 1 2 Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, pág. 1. Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 15. Lógica - CM0260. Introducción 4/15 ¿Qué es la Lógica? “One of the popular definitions of logic is that is the analysis of methods of reasoning.”1 1 2 Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, pág. 1. Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 15. Lógica - CM0260. Introducción 5/15 ¿Qué es la Lógica? “One of the popular definitions of logic is that is the analysis of methods of reasoning.”1 “El estudio de la Lógica, entonces, es el estudio de los métodos y principios usados para distinguir entre los argumentos correctos (buenos) y los argumentos incorrectos (malos).”2 1 2 Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, pág. 1. Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 15. Lógica - CM0260. Introducción 6/15 Lógica en las Ciencias de la Computación Pronóstico “It is reasonable to hope that the relationship between computation and mathematical logic will be as fruitful in the next century as that between analysis and physics in the last.”3 John McCarthy4 (Sept. 4, 1927 – Oct. 24, 2011) 3 McCarthy, John (1963). A Basis for a Mathematical Theory of Computation, pág. 69. 4 Photo courtesy of John McCarthy. Lógica - CM0260. Introducción 7/15 Lógica en las Ciencias de la Computación Relaciones The octopus of logic for computer science.5 (ver figura en la siguiente diapositiva) 5 Buss, Samuel, Alexander Kechris, Anand Pillay y Robert Shore (2001). The Prospects for Mathematical Logic in Twenty-First Century, pág. 176. Lógica - CM0260. Introducción 8/15 Weak proof systems Resolution Logic programming Constraint logic programming Theorem provers Equational logics Term rewriting Behavioral logics Nonmonotonic logics AI Model checking Strong proof systems Polymorphism Object-oriented languages Abstract datatypes ë-calculi Combinatory logics Functional programming Category theory Realizability Real computation Real closed fields Geometry Complexity of real computation Hybrid systems Computer algebra systems Logic for Computer Science Language design Programming languages Denotational semantics Query languages Grammars/parsing Verification Automata theory Program correctness Natural language Hardware verification processing Fault-tolerance Lógica - CM0260. Introducción Proof-carrying code Other logics Database languages Least fixed points Modal logics Dynamic logics Theories of knowledge Resource-aware logics Linear logic Complexity theory Reducibility Oracles Feasible complexity P vs. NP Circuit complexity Parallel complexity Finite model theory Diagonalization Natural Proofs Proof complexity Craig interpolation Learning theory Bounded arithmetic Probabilistic computation Randomized computation Probabilistic proofs Interactive proofs PCP, Holographic proofs Quantum computing 9/15 Lógica en las Matemáticas Lógica matemática6 “Mathematical logic is a subfield of mathematics exploring the applications of formal logic to mathematics.” 6 Wikipedia: Mathematical logic. (2015-07-23). Lógica - CM0260. Introducción 10/15 Lógica en las Matemáticas Lógica matemática6 “Mathematical logic is a subfield of mathematics exploring the applications of formal logic to mathematics.” “It bears close connections to metamathematics, the foundations of mathematics, and theoretical computer science.” 6 Wikipedia: Mathematical logic. (2015-07-23). Lógica - CM0260. Introducción 11/15 Lógica en las Matemáticas Lógica matemática6 “Mathematical logic is a subfield of mathematics exploring the applications of formal logic to mathematics.” “It bears close connections to metamathematics, the foundations of mathematics, and theoretical computer science.” “The unifying themes in mathematical logic include the study of the expressive power of formal systems and the deductive power of formal proof systems.” 6 Wikipedia: Mathematical logic. (2015-07-23). Lógica - CM0260. Introducción 12/15 Lógica en las Matemáticas Áreas 03-XX Mathematical logic and foundations7 03Axx Philosophical aspects of logic and foundations 03Bxx General logic 03Cxx Model theory 03Dxx Computability and recursion theory 03Exx Set theory 03Fxx Proof theory and constructive mathematics 03Gxx Algebraic logic 03Hxx Nonstandard models 7 Mathematics Subject Classification (MSC2010) de la AMS (American Mathematical Society). Lógica - CM0260. Introducción 13/15 Programa del curso 1 Semántica en la lógica proposicional 2 Inferencia en la lógica proposicional 3 Lógica de predicados monádicos 4 Lógica de las relaciones 5 Operaciones entre conjuntos Lógica - CM0260. Introducción 14/15 Referencias Buss, Samuel y col. (2001). The Prospects for Mathematical Logic in Twenty-First Century. The Bulletin of Symbolic Logic 7.2, págs. 169-196. Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental. McCarthy, John (1963). A Basis for a Mathematical Theory of Computation. En: Computer Programming and Formal Systems. Ed. por P. Braffort y D. Hirshberg. North-Holland, págs. 33-70. Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic. 4.a ed. Chapman & Hall. Lógica - CM0260. Introducción 15/15 Lógica - CM0260 Lógica proposicional: Semántica Andrés Sicard Ramírez Universidad EAFIT Semestre 2015-2 Definiciones iniciales Definición (Proposición o enunciado) Una oración verdadera o falsa (diferente a las preguntas, órdenes y exclamaciones). Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 2/160 Definiciones iniciales Definición (Proposición o enunciado) Una oración verdadera o falsa (diferente a las preguntas, órdenes y exclamaciones). Definición (Argumento) Conjunto finito de proposiciones de las cuales se afirma que hay una, denominada la conclusión, que se sigue de las demás, denominadas las premisas, considerando éstas como fundamento de la verdad de la conclusión. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 3/160 Definiciones iniciales Definición (Argumento deductivo) Un argumento donde las premisas proveen un fundamento absolutamente concluyente para la verdad de su conclusión. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 ∴𝐶 4/160 Definiciones iniciales Definición (Argumento deductivo) Un argumento donde las premisas proveen un fundamento absolutamente concluyente para la verdad de su conclusión. 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 ∴𝐶 Verdad y validez Una proposición puede ser falsa o verdadera. Un argumento puede ser válido o inválido. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 5/160 El problema central de la Lógica El lógico responde a la pregunta: ¿Se sigue la conclusión de las premisas que se han supuesto? Si afirmar la verdad de las premisas constituye una verdadera garantía para afirmar la verdad de la conclusión entonces el argumento es válido, de lo contrario es inválido. La distinción entre un argumento válido y uno inválido es el problema central con el que trata la lógica.1 1 Adaptado de Sierra A., Manuel (2010). Argumentación deductiva con diagramas y árboles de forzamiento. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 6/160 la verdad o falsedad de sus premisas y de su conclusión, indicada por el condicional asociado al argumento. Los 2 argumentos pueden mostrar diferentes combinaciones de verdad y falsedad de las premisas y conclusiones. Verdad y validez Argumentos válidos Conclusión verdadera [1] [Todos los números naturales son números enteros], [2] [todos los númePremisas ros enteros son números racionales]. verdaderas Por lo tanto, [3] [todos los números naturales son números racionales]. Premisas falsas [1] [Todos los presidentes son depredadores], [2] [todos los depredadores son humanos]. Por lo que, [3] [Todos los presidentes son humanos]. Conclusión falsa Imposible [1] [Algunos caballos vuelan], [2] [todo el que vuela es un gran empresario]. Luego, [3] [algunos caballos son grandes empresarios]. Se observa que la verdad o falsedad de la conclusión de un argumento no determina por sí misma la validez o invalidez del argumento. Y el hecho de que un argumento sea válido no garantiza la verdad de su conclusión. Un punto de importancia fundamental: sí un argumento es válido y su conclusión es falsa, no todas sus premisas pueden ser verdaderas. Y también: Si un argumento es válido y sus premisas son verdaderas, con toda certeza la conclusión debe ser también verdadera. Determinar la verdad o falsedad de las premisas es tarea de la ciencia en general, 2 Sierra A., Manuel (2010). Argumentación deductiva con diagramas y árboles de puesto que las premisas pueden referirse a cualquier tema. Algunos argumentos perfectaforzamiento, pág. 66. mente válidos tienen conclusiones falsas, pero tal género de argumentos debe al menos teLógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica ner alguna premisa falsa. Cuando un argumento es válido y todas sus premisas son verdade- 7/160 y validez 3 Verdad2.5yVerdad validez Argumentos inválidos Conclusión verdadera Conclusión falsa [1] [Cuando el sol agote su combustiPremisas ble entonces no irradiará calor]. [2] [el verdaderas sol no agotó su combustible]. Por lo tanto, [3] [el sol irradia calor]. [1] [Cuando el sol agote su combustible entonces no irradiará calor], [2] [el sol irradia calor]. Por lo tanto, [3] [él sol agotó su combustible]. [1] [Todos los presidentes son deprePremisas dadores], [2] [todos los depredadores falsas son humanos]. Por lo que, [3] [algunos depredadores no son presidentes]. [1] [Todos los presidentes son depredadores], [2] [todos los depredadores son humanos]. Por lo que, [3] [algunos presidentes no son humanos]. 65 3 Sierra A., Manuel (2010). Argumentación deductiva con diagramas y árboles de forzamiento, pág. 65. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 8/160 Representación simbólica Motivación Lenguaje natural vs lenguaje simbólico artificial 4 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 23. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 9/160 Representación simbólica Motivación Lenguaje natural vs lenguaje simbólico artificial Definición (Enunciado simple) “Un enunciado simple es uno que no contiene ningún otro enunciado como parte componente...”4 Definición (Enunciado compuesto) “...todo enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente.”4 4 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 23. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 10/160 Representación simbólica Motivación Lenguaje natural vs lenguaje simbólico artificial Definición (Enunciado simple) “Un enunciado simple es uno que no contiene ningún otro enunciado como parte componente...”4 Definición (Enunciado compuesto) “...todo enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente.”4 Definición (Enunciado veritativo-funcional) Su valor de verdad depende completamente del valor de verdad de sus enunciados componentes. 4 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 23. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 11/160 Representación simbólica Lógica bivalente Cada enunciado simple toma exactamente uno de dos valores de verdad: verdadero o falso. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 12/160 Representación simbólica Lógica bivalente Cada enunciado simple toma exactamente uno de dos valores de verdad: verdadero o falso. Representación de enunciados simples Los enunciados simples se representan por letras mayúsculas. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 13/160 Representación simbólica Lógica bivalente Cada enunciado simple toma exactamente uno de dos valores de verdad: verdadero o falso. Representación de enunciados simples Los enunciados simples se representan por letras mayúsculas. Ejemplo 𝐻: Haskell es un lenguaje de programación 𝑃 : 2 es un número irracional Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 14/160 Conectivas lógicas: Conjunción Ejemplo Enunciado compuesto: Las rosas son rojas y las violetas son azules. 𝑅: Las rosas son rojas 𝑉 : Las violetas son azules El enunciado compuesto es representado por 𝑅 ∧ 𝑉 . Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 15/160 Conectivas lógicas: Conjunción Ejemplo Enunciado compuesto: Las rosas son rojas y las violetas son azules. 𝑅: Las rosas son rojas 𝑉 : Las violetas son azules El enunciado compuesto es representado por 𝑅 ∧ 𝑉 . Notación: Copi [1998], Hurley [2012] y LogicCoach 11 usan el símbolo ‘·’ en lugar del símbolo ‘∧’. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 16/160 Conectivas lógicas: Conjunción Variables proposicionales Las letras 𝑝, 𝑞, 𝑟, … representan variables proposicionales. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 17/160 Conectivas lógicas: Conjunción Variables proposicionales Las letras 𝑝, 𝑞, 𝑟, … representan variables proposicionales. Las conectivas lógicas son veritativo-funcionales T: Verdadero F: Falso Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 18/160 Conectivas lógicas: Conjunción Variables proposicionales Las letras 𝑝, 𝑞, 𝑟, … representan variables proposicionales. Las conectivas lógicas son veritativo-funcionales T: Verdadero F: Falso Tabla de verdad para la conjunción 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝∧𝑞 T F F F La proposición 𝑝 ∧ 𝑞 es verdadera cuando tanto 𝑝 como 𝑞 son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 19/160 Conectivas lógicas: Negación Ejemplo Enunciado compuesto: Hoy no es Viernes. 𝑉 : Hoy es Viernes El enunciado compuesto es representado por ∼𝑉 . Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 20/160 Conectivas lógicas: Negación Ejemplo Enunciado compuesto: Hoy no es Viernes. 𝑉 : Hoy es Viernes El enunciado compuesto es representado por ∼𝑉 . Tabla de verdad para la negación 𝑝 T F Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica ∼𝑝 F T 21/160 Conectivas lógicas: Disyunción inclusiva Ejemplo Enunciado compuesto: Prolog es un lenguaje de programación o Emacs es un editor. 𝑃 : Prolog es un lenguaje de programación 𝐸: Emacs es un editor El enunciado compuesto es representado por 𝑃 ∨ 𝐸. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 22/160 Conectivas lógicas: Disyunción inclusiva Tabla de verdad para la disyunción inclusiva 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝∨𝑞 T T T F La proposición 𝑝 ∨ 𝑞 es falsa cuando tanto 𝑝 como 𝑞 son falsas y verdadera en cualquier otro caso. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 23/160 Conectivas lógicas: Condicional (Implicación material) Ejemplo Enunciado compuesto: Si hoy hace sol entonces iremos a la playa. 𝑆: Hoy hace sol 𝑃 : Iremos a la playa El enunciado compuesto es representado por 𝑆 ⊃ 𝑃 . Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 24/160 Conectivas lógicas: Condicional Ejemplo Enunciado compuesto: Si hoy es Viernes entonces 2+3=5. 𝑉 : Hoy es Viernes 𝐴: 2+3 = 5 El enunciado compuesto es representado por 𝑉 ⊃ 𝐴. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 25/160 Conectivas lógicas: Condicional Tabla de verdad para el condicional 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝⊃𝑞 T F T T La proposición 𝑝 ⊃ 𝑞 es falsa cuando 𝑝 es verdadera y 𝑞 es falsa y verdadera en cualquier otro caso. Las proposiciones 𝑝 y 𝑞 son llamadas el antecedente y el consecuente, respectivamente. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 26/160 Conectivas lógicas: Bicondicional (Equivalencia material) Ejemplo Enunciado compuesto: Él será presidente si y sólo si él gana las elecciones presidenciales 𝑃 : Él será presidente 𝐺: Él gana las elecciones presidenciales El enunciado compuesto es representado por 𝑃 ≡ 𝐺. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 27/160 Conectivas lógicas: Bicondicional Ejemplo Enunciado compuesto: La Luna es un planeta si y sólo si 2+3=6. 𝐿: La Luna es un planeta 𝐴: 2+3 = 6 El enunciado compuesto es representado por 𝐿 ≡ 𝐴. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 28/160 Conectivas lógicas: Bicondicional Tabla de verdad para el bicondicional 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝≡𝑞 T F F T La proposición 𝑝 ≡ 𝑞 es verdadera cuando 𝑝 y 𝑞 tienen los mismos valores de verdad y falsa en los otros casos. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 29/160 Conectivas lógicas: Disyunción exclusiva Ejemplo Enunciado compuesto: El menú incluye té o café. 𝑇 : El menú incluye té 𝐶: El menú incluye café El enunciado compuesto es representado por (𝑇 ∨ 𝐶) ∧ ∼(𝑇 ∧ 𝐶). Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 30/160 Conectivas lógicas: Disyunción exclusiva Ejemplo Enunciado compuesto: El menú incluye té o café. 𝑇 : El menú incluye té 𝐶: El menú incluye café El enunciado compuesto es representado por (𝑇 ∨ 𝐶) ∧ ∼(𝑇 ∧ 𝐶). La proposición (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∼(𝑝 ∧ 𝑞) es verdadera cuando exactamente una de las proposiciones 𝑝 y 𝑞 es verdadera y es falsa en cualquier otro caso. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 31/160 Conectivas lógicas: Disyunción exclusiva Ejemplo Las Naciones Unidas se fortalecerán o habrá una tercera guerra mundial. ¿Qué clase de disyunción emplea el enunciado anterior? Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 32/160 Puntuación Usaremos paréntesis para eliminar la ambigüedad en las expresiones lógicas. Ejemplo 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 es ambiguo y 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) es diferente a (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 33/160 Puntuación Usaremos paréntesis para eliminar la ambigüedad en las expresiones lógicas. Ejemplo 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 es ambiguo y 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) es diferente a (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟. Convención La negación se aplicará a la componente más pequeña permitida por la puntuación. Ejemplo ∼𝑝 ∨ 𝑞 significa (∼𝑝) ∨ 𝑞. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 34/160 Tablas de verdad de enunciados compuestos Ejemplos ∼(𝑝 ∧ ∼𝑞) (condicional) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∼(𝑝 ∧ 𝑞) (disyunción exclusiva) ∼(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞) (teorema de De Morgan) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 35/160 Tablas de verdad de enunciados compuestos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 29) Si 𝐴 y 𝐵 son enunciados verdaderos y 𝑋 y 𝑌 son enunciados falsos, determine si el siguiente enunciado compuesto es verdadero o falso. [𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌 )] ∨ [(𝐴 ∧ 𝑋) ∨ (𝐴 ∧ 𝑌 )] Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 36/160 Tablas de verdad de enunciados compuestos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 29) Si 𝐴 y 𝐵 son enunciados verdaderos y 𝑋 y 𝑌 son enunciados falsos, determine si el siguiente enunciado compuesto es verdadero o falso. [𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌 )] ∨ [(𝐴 ∧ 𝑋) ∨ (𝐴 ∧ 𝑌 )] 𝐴 𝑋 𝑌 T F F 𝑋 ∨ 𝑌 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌 ) 1er disyunto: F F 𝐴 ∧ 𝑋 𝐴 ∧ 𝑌 (𝐴 ∧ 𝑋) ∨ (𝐴 ∧ 𝑌 ) 2do disyunto: F F F [𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌 )] ∨ [(𝐴 ∧ 𝑋) ∨ (𝐴 ∧ 𝑌 )] El enunciado: F Proposiciones: Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 37/160 Representación de enunciados Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’, ‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 38/160 Representación de enunciados Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’, ‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción. Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’ Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 39/160 Representación de enunciados Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’, ‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción. Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’ Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto cuando se emplee ‘pero no ambas’). Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 40/160 Representación de enunciados Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’, ‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción. Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’ Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto cuando se emplee ‘pero no ambas’). Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’ Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 41/160 Representación de enunciados Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’, ‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción. Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’ Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto cuando se emplee ‘pero no ambas’). Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’ Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 42/160 Representación de enunciados Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’, ‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción. Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’ Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto cuando se emplee ‘pero no ambas’). Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’ Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵 Ni Alicia ni Beatriz serán elegidas: ∼(𝐴 ∨ 𝐵) o ∼𝐴 ∧ ∼𝐵 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 43/160 Representación de enunciados Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’, ‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción. Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’ Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto cuando se emplee ‘pero no ambas’). Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’ Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵 Ni Alicia ni Beatriz serán elegidas: ∼(𝐴 ∨ 𝐵) o ∼𝐴 ∧ ∼𝐵 ‘Ambos’, ‘no’: Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 44/160 Representación de enunciados Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’, ‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción. Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’ Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto cuando se emplee ‘pero no ambas’). Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’ Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵 Ni Alicia ni Beatriz serán elegidas: ∼(𝐴 ∨ 𝐵) o ∼𝐴 ∧ ∼𝐵 ‘Ambos’, ‘no’: Alicia y Beatriz no serán ambas elegidas: ∼(𝐴 ∧ 𝐵) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 45/160 Representación de enunciados Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’, ‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción. Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’ Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto cuando se emplee ‘pero no ambas’). Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’ Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵 Ni Alicia ni Beatriz serán elegidas: ∼(𝐴 ∨ 𝐵) o ∼𝐴 ∧ ∼𝐵 ‘Ambos’, ‘no’: Alicia y Beatriz no serán ambas elegidas: ∼(𝐴 ∧ 𝐵) Alicia y Beatriz ambas no serán elegidas: ∼𝐴 ∧ ∼𝐵 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 46/160 Representación de enunciados Conjunción: Además de la ‘y’, palabras tales como ‘además’, ‘también’, ‘pero’, entre otras, pueden simbolizar una conjunción. Énfasis para una disyunción exclusiva: ‘pero no ambas’ Convención: La ‘o’ simbolizará una disyunción inclusiva (excepto cuando se emplee ‘pero no ambas’). Negación de una disyunción: ‘... ni... ni...’ Alicia o Beatriz serán elegidas: 𝐴 ∨ 𝐵 Ni Alicia ni Beatriz serán elegidas: ∼(𝐴 ∨ 𝐵) o ∼𝐴 ∧ ∼𝐵 ‘Ambos’, ‘no’: Alicia y Beatriz no serán ambas elegidas: ∼(𝐴 ∧ 𝐵) Alicia y Beatriz ambas no serán elegidas: ∼𝐴 ∧ ∼𝐵 ‘A menos que’ puede usarse para expresar la disyunción de dos enunciados. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 47/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 30) Dados los siguientes enunciados simples: 𝐴: Atlanta gana el campeonato de su división 𝐵: Baltimore gana el campeonato de su división 𝐶: Chicago gana el Supertazón 𝐷: Dallas gana el Supertazón Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Atlanta gana el campeonato de su división y o Baltimore gana el campeonato de su división o Dallas no gana el Supertazón. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 48/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 30) Dados los siguientes enunciados simples: 𝐴: Atlanta gana el campeonato de su división 𝐵: Baltimore gana el campeonato de su división 𝐶: Chicago gana el Supertazón 𝐷: Dallas gana el Supertazón Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Atlanta gana el campeonato de su división y o Baltimore gana el campeonato de su división o Dallas no gana el Supertazón. Representación: 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ ∼𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 49/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 30) Dados los siguientes enunciados simples: 𝐴: Atlanta gana el campeonato de su división 𝐵: Baltimore gana el campeonato de su división 𝐶: Chicago gana el Supertazón 𝐷: Dallas gana el Supertazón Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Atlanta gana el campeonato de su división y o Baltimore gana el campeonato de su división o Dallas no gana el Supertazón. Representación: 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ ∼𝐷) Observación: Un error común en la representación de “Dallas no gana el Supertazón” es el siguente: 𝐷: Dallas no gana el Supertazón Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 50/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 30) Dados los siguientes enunciados simples: 𝐴: Atlanta gana el campeonato de su división 𝐵: Baltimore gana el campeonato de su división 𝐶: Chicago gana el Supertazón 𝐷: Dallas gana el Supertazón Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: O Atlanta o Baltimore ganará el campeonato de su división, pero ni Chicago ni Dallas ganarán el Supertazón. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 51/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 30) Dados los siguientes enunciados simples: 𝐴: Atlanta gana el campeonato de su división 𝐵: Baltimore gana el campeonato de su división 𝐶: Chicago gana el Supertazón 𝐷: Dallas gana el Supertazón Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: O Atlanta o Baltimore ganará el campeonato de su división, pero ni Chicago ni Dallas ganarán el Supertazón. Representación: (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 52/160 Representación de enunciados Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede representar por: si 𝑝, 𝑞 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 53/160 Representación de enunciados Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede representar por: si 𝑝, 𝑞 𝑞 si 𝑝 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 54/160 Representación de enunciados Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede representar por: si 𝑝, 𝑞 𝑞 si 𝑝 𝑝 sólo si 𝑞 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 55/160 Representación de enunciados Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede representar por: si 𝑝, 𝑞 𝑞 si 𝑝 𝑝 sólo si 𝑞 𝑝 es una condición suficiente para 𝑞 𝑞 es una condición necesaria para 𝑝 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 56/160 Representación de enunciados Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede representar por: si 𝑝, 𝑞 𝑞 si 𝑝 𝑝 sólo si 𝑞 𝑝 es una condición suficiente para 𝑞 𝑞 es una condición necesaria para 𝑝 Bicondicional: 𝑝 si y sólo si 𝑞 expresa i) 𝑝 si 𝑞, y ii) 𝑝 sólo si 𝑞. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 57/160 Representación de enunciados Condicional: Además de ‘si 𝑝 entonces 𝑞’ este condicional se puede representar por: si 𝑝, 𝑞 𝑞 si 𝑝 𝑝 sólo si 𝑞 𝑝 es una condición suficiente para 𝑞 𝑞 es una condición necesaria para 𝑝 Bicondicional: 𝑝 si y sólo si 𝑞 expresa i) 𝑝 si 𝑞, y ii) 𝑝 sólo si 𝑞. Es decir, 𝑝 ≡ 𝑞 puede expresarse como (𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝). ⏟ ⏟ 𝑖𝑖) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝑖) 58/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Amherst gana su primer juego si o Colgate gana su primer juego o Dartmouth gana su primer juego. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 59/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Amherst gana su primer juego si o Colgate gana su primer juego o Dartmouth gana su primer juego. Representación: (𝐶 ∨ 𝐷) ⊃ 𝐴 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 60/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Si Amherst no gana su primer juego, entonces no es el caso que o Colgate o Dartmouth gana su primer juego. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 61/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Si Amherst no gana su primer juego, entonces no es el caso que o Colgate o Dartmouth gana su primer juego. Representación: ∼𝐴 ⊃ ∼(𝐶 ∨ 𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 62/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Si no es el caso que ambos Amherst y Colgate ganan su primer juego entonces ambos Colgate y Dartmouth ganan su primer juego. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 63/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Si no es el caso que ambos Amherst y Colgate ganan su primer juego entonces ambos Colgate y Dartmouth ganan su primer juego. Representación: ∼(𝐴 ∧ 𝐶) ⊃ (𝐶 ∧ 𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 64/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Si Amherst gana su primer juego, entonces no es verdad que ambos Colgate y Dartmouth ganan su primer juego. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 65/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Si Amherst gana su primer juego, entonces no es verdad que ambos Colgate y Dartmouth ganan su primer juego. Representación: 𝐴 ⊃ ∼(𝐶 ∧ 𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 66/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Si Amherst no gana su primer juego entonces ambos Colgate y Dartmouth no ganan su primer juego. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 67/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Si Amherst no gana su primer juego entonces ambos Colgate y Dartmouth no ganan su primer juego. Representación: ∼𝐴 ⊃ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 68/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: O Amherst gana su primer juego y Colgate no gana su primer juego o si Colgate gana su primer juego, entonces Dartmouth no gana su primer juego. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 69/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: O Amherst gana su primer juego y Colgate no gana su primer juego o si Colgate gana su primer juego, entonces Dartmouth no gana su primer juego. Representación: (𝐴 ∧ ∼𝐶) ∨ (𝐶 ⊃ ∼𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 70/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10*, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Si Amherst gana su primer juego, entonces Colgate no gana su primer juego, pero si Colgate no gana su primer juego, entonces Dartmouth gana su primer juego. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 71/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10*, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Si Amherst gana su primer juego, entonces Colgate no gana su primer juego, pero si Colgate no gana su primer juego, entonces Dartmouth gana su primer juego. Representación: (𝐴 ⊃ ∼𝐶) ∧ (∼𝐶 ⊃ 𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 72/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.12, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: O Amherst y Colgate ganan su primer juego o no es el caso que si Colgate gana su primer juego, entonces Darmouth gana su primer juego. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 73/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.12, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: O Amherst y Colgate ganan su primer juego o no es el caso que si Colgate gana su primer juego, entonces Darmouth gana su primer juego. Representación: (𝐴 ∧ 𝐶) ∨ ∼(𝐶 ⊃ 𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 74/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.13, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Amherst gana su primer juego sólo si o Colgate o Darmouth gana su primer juego. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 75/160 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.13, pág. 34) Dados los sugientes enunciados simples: 𝐴: Amherst gana su primer juego 𝐶: Colgate gana su primer juego 𝐷: Dartmouth gana su primer juego Simbolizar el siguiente enunciado compuesto: Amherst gana su primer juego sólo si o Colgate o Darmouth gana su primer juego. Representación: 𝐴 ⊃ (𝐶 ∨ 𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 76/160 Tautologías, contradicciones y contingencias Una forma sentencial que: sólo tiene instancias de sustitución verdaderas se llama una tautología, sólo tiene instancias de sustitución falsas se llama una contradicción, no es ni una tautología ni una contradicción se llama una contingencia. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 77/160 Tautologías, contradicciones y contingencias Ejemplos Tautología 𝑝 T F Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica ∼𝑝 F T 𝑝 ∨ ∼𝑝 T T 78/160 Tautologías, contradicciones y contingencias Ejemplos Tautología 𝑝 T F ∼𝑝 F T 𝑝 ∨ ∼𝑝 T T 𝑝 T F ∼𝑝 F T 𝑝 ∧ ∼𝑝 F F Contradicción Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 79/160 Tautologías, contradicciones y contingencias Ejemplos (continuación) Contingencia 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝⊃𝑞 T F T T Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝑞⊃𝑝 T T F T (𝑝 ⊃ 𝑞) ≡ (𝑞 ⊃ 𝑝) T F F T 80/160 Tautologías, contradicciones y contingencias Ejemplos (continuación) Contingencia 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝⊃𝑞 T F T T 𝑞⊃𝑝 T T F T (𝑝 ⊃ 𝑞) ≡ (𝑞 ⊃ 𝑝) T F F T Pregunta ¿Un enunciado simple es una contingencia? Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 81/160 Formas argumentales Ejemplo Las Naciones Unidas serán reforzadas o habrá una tercera guerra mundial. Las Naciones Unidas no serán reforzadas. Luego habrá una tercera guerra mundial. 𝑅: Las Naciones Unidas serán reforzadas 𝑇 : Habrá una tercera guerra mundial Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 82/160 Formas argumentales Ejemplo Las Naciones Unidas serán reforzadas o habrá una tercera guerra mundial. Las Naciones Unidas no serán reforzadas. Luego habrá una tercera guerra mundial. 𝑅: Las Naciones Unidas serán reforzadas 𝑇 : Habrá una tercera guerra mundial Representación del argumento: 1 𝑅∨𝑇 2 ∼𝑅 /∴ 𝑇 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 83/160 Formas argumentales Ejemplo Las Naciones Unidas serán reforzadas o habrá una tercera guerra mundial. Las Naciones Unidas no serán reforzadas. Luego habrá una tercera guerra mundial. 𝑅: Las Naciones Unidas serán reforzadas 𝑇 : Habrá una tercera guerra mundial Representación del argumento: 1 𝑅∨𝑇 2 ∼𝑅 /∴ 𝑇 Forma argumental asociada: 1 𝑝∨𝑞 2 ∼𝑝 /∴ 𝑞 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 84/160 Representación de argumentos Proposiciones: Se emplea el punto seguido (‘.’) para separar las proposiciones (simples o compuestas) de un argumento. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 85/160 Representación de argumentos Proposiciones: Se emplea el punto seguido (‘.’) para separar las proposiciones (simples o compuestas) de un argumento. Conclusión: La conclusión se puede identificar como aquella proposición (simple o compuesta) que aparece después de palabras tales como ‘Luego’ o ‘Por lo tanto’, entre otras. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 86/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Alicia es elegida presidenta del grupo, entonces Bety es elegida vicepresidenta y Carolina es elegida tesorera. Bety no es elegida vicepresidenta. Por lo tanto, Alicia no es elegida presidenta del grupo. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 87/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Alicia es elegida presidenta del grupo, entonces Bety es elegida vicepresidenta y Carolina es elegida tesorera. Bety no es elegida vicepresidenta. Por lo tanto, Alicia no es elegida presidenta del grupo. Representación de los enunciados simples: 𝐴: Alicia es elegida presidenta del grupo 𝐵: Bety es elegida vicepresidenta 𝐶: Carolina es elegida tesorera Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 88/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Alicia es elegida presidenta del grupo, entonces Bety es elegida vicepresidenta y Carolina es elegida tesorera. Bety no es elegida vicepresidenta. Por lo tanto, Alicia no es elegida presidenta del grupo. Representación de los enunciados simples: 𝐴: Alicia es elegida presidenta del grupo 𝐵: Bety es elegida vicepresidenta 𝐶: Carolina es elegida tesorera Representación del argumento: 1 𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶) 2 ∼𝐵 /∴ ∼𝐴 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 89/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.5*, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores no se abren en Julio. Por lo tanto, si las semillas se siembran en Abril, entonces el catálogo de semillas es correcto. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 90/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.5*, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores no se abren en Julio. Por lo tanto, si las semillas se siembran en Abril, entonces el catálogo de semillas es correcto. Representación de los enunciados simples: 𝐶: El catálogo de semillas es correcto 𝑆: Las semillas se siembran en Abril 𝐹 : Las flores se abren en Julio Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 91/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.5*, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores no se abren en Julio. Por lo tanto, si las semillas se siembran en Abril, entonces el catálogo de semillas es correcto. Representación de los enunciados simples: 𝐶: El catálogo de semillas es correcto 𝑆: Las semillas se siembran en Abril 𝐹 : Las flores se abren en Julio Representación del argumento: 1 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 ) 2 ∼𝐹 /∴ 𝑆 ⊃ 𝐶 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 92/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores se abren en Julio. Por lo tanto, si el catálogo de semillas es correcto, entonces las semillas se siembran en Abril. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 93/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores se abren en Julio. Por lo tanto, si el catálogo de semillas es correcto, entonces las semillas se siembran en Abril. Representación de los enunciados simples: 𝐶: El catálogo de semillas es correcto 𝑆: Las semillas se siembran en Abril 𝐹 : Las flores se abren en Julio Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 94/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores se abren en Julio. Por lo tanto, si el catálogo de semillas es correcto, entonces las semillas se siembran en Abril. Representación de los enunciados simples: 𝐶: El catálogo de semillas es correcto 𝑆: Las semillas se siembran en Abril 𝐹 : Las flores se abren en Julio Representación del argumento: 1 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 ) 2 𝐹 /∴ 𝐶 ⊃ 𝑆 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 95/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las semillas se siembran en Abril. Luego, si las flores no se abren en Julio, entonces el catálogo de semillas no es correcto. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 96/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las semillas se siembran en Abril. Luego, si las flores no se abren en Julio, entonces el catálogo de semillas no es correcto. Representación de los enunciados simples: 𝐶: El catálogo de semillas es correcto 𝑆: Las semillas se siembran en Abril 𝐹 : Las flores se abren en Julio Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 97/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las semillas se siembran en Abril. Luego, si las flores no se abren en Julio, entonces el catálogo de semillas no es correcto. Representación de los enunciados simples: 𝐶: El catálogo de semillas es correcto 𝑆: Las semillas se siembran en Abril 𝐹 : Las flores se abren en Julio Representación del argumento: 1 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 ) 2 𝑆 /∴ ∼𝐹 ⊃ ∼𝐶 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 98/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las plantas florecen en Julio. Las plantas no florecen en Julio. Luego, si las semillas no se siembran en Abril, entonces el catálogo de semillas no es correcto. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 99/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las plantas florecen en Julio. Las plantas no florecen en Julio. Luego, si las semillas no se siembran en Abril, entonces el catálogo de semillas no es correcto. Representación de los enunciados simples: 𝐶: El catálogo de semillas es correcto 𝑆: Las semillas se siembran en Abril 𝐹 : Las flores se abren en Julio Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 100/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las plantas florecen en Julio. Las plantas no florecen en Julio. Luego, si las semillas no se siembran en Abril, entonces el catálogo de semillas no es correcto. Representación de los enunciados simples: 𝐶: El catálogo de semillas es correcto 𝑆: Las semillas se siembran en Abril 𝐹 : Las flores se abren en Julio Representación del argumento: 1 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝑃 ) 2 ∼𝑃 /∴ ∼𝑆 ⊃ ∼𝐶 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 101/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 102/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio. Representación de los enunciados simples: 𝐸: Eduardo gana el primer premio 𝐹 : Federico gana el segundo premio 𝐽 : Jorge queda decepcionado Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 103/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio. Representación de los enunciados simples: 𝐸: Eduardo gana el primer premio 𝐹 : Federico gana el segundo premio 𝐽 : Jorge queda decepcionado Representación del argumento: 1 𝐸 ⊃ (𝐹 ∨ 𝐽 ) 2 𝐸∨𝐽 /∴ ∼𝐹 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 104/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.10*, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. Federico no gana el segundo premio. Por tanto, si Jorge queda decepcionado, entonces Eduardo no gana el primer premio. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 105/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.10*, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. Federico no gana el segundo premio. Por tanto, si Jorge queda decepcionado, entonces Eduardo no gana el primer premio. Representación de los enunciados simples: 𝐸: Eduardo gana el primer premio 𝐹 : Federico gana el segundo premio 𝐽 : Jorge queda decepcionado Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 106/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.10*, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. Federico no gana el segundo premio. Por tanto, si Jorge queda decepcionado, entonces Eduardo no gana el primer premio. Representación de los enunciados simples: 𝐸: Eduardo gana el primer premio 𝐹 : Federico gana el segundo premio 𝐽 : Jorge queda decepcionado Representación del argumento: 1 𝐸 ⊃ (𝐹 ∨ 𝐽 ) 2 ∼𝐹 /∴ 𝐽 ⊃ ∼𝐸 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 107/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo premio, y si Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda decepcionado. O Federico no gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. Por tanto, Eduardo no gana el primer premio. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 108/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo premio, y si Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda decepcionado. O Federico no gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. Por tanto, Eduardo no gana el primer premio. Representación de los enunciados simples: 𝐸: Eduardo gana el primer premio 𝐹 : Federico gana el segundo premio 𝐽 : Jorge queda decepcionado Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 109/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo premio, y si Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda decepcionado. O Federico no gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. Por tanto, Eduardo no gana el primer premio. Representación de los enunciados simples: 𝐸: Eduardo gana el primer premio 𝐹 : Federico gana el segundo premio 𝐽 : Jorge queda decepcionado Representación del argumento: 1 (𝐸 ⊃ 𝐹 ) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐽 ) 2 ∼𝐹 ∨ 𝐽 /∴ ∼𝐸 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 110/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.12, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo premio, y si Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o Federico no el segundo premio. Por lo tanto, o Federico no gana el segundo premio o Jorge no queda decepcionado. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 111/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.12, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo premio, y si Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o Federico no el segundo premio. Por lo tanto, o Federico no gana el segundo premio o Jorge no queda decepcionado. Representación de los enunciados simples: 𝐸: Eduardo gana el primer premio 𝐹 : Federico gana el segundo premio 𝐽 : Jorge queda decepcionado Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 112/160 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.12, pág. 42) Representar simbólicamente el siguiente argumento: Si Eduardo gana el primer premio, entonces Federico gana el segundo premio, y si Federico gana el segundo premio, entonces Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o Federico no el segundo premio. Por lo tanto, o Federico no gana el segundo premio o Jorge no queda decepcionado. Representación de los enunciados simples: 𝐸: Eduardo gana el primer premio 𝐹 : Federico gana el segundo premio 𝐽 : Jorge queda decepcionado Representación del argumento: 1 (𝐸 ⊃ 𝐹 ) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐽 ) 2 𝐸 ∨ ∼𝐹 /∴ ∼𝐹 ∨ ∼𝐽 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 113/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Criterio: Un argumento es válido si siempre que todas las premisas son verdaderas la conclusión es verdadera. De lo contrario, el argumento es inválido. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 114/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejemplo (Silogismo disyuntivo) 𝑝∨𝑞 ∼𝑝 ∴𝑞 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝∨𝑞 T T T F ∼𝑝 F F T T ✓ ✓ ✓ ✓ Por lo tanto, la forma argumental es válida. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 115/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejemplo (Modus Ponens) 𝑝⊃𝑞 𝑝 ∴𝑞 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝⊃𝑞 T F T T ✓ ✓ ✓ ✓ Por lo tanto, la forma argumental es válida. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 116/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejemplo 𝑝⊃𝑞 𝑞 ∴𝑝 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝⊃𝑞 T F T T ✓ ✓ × Por lo tanto, la forma argumental es inválida. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 117/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejemplo (Modus Tollens) 𝑝⊃𝑞 ∼𝑞 ∴ ∼𝑝 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝⊃𝑞 T F T T ∼𝑞 F T F T ∼𝑝 F F T T ✓ ✓ ✓ ✓ Por lo tanto, la forma argumental es válida. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 118/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejemplo (Silogismo hipotético) 𝑝⊃𝑞 𝑞⊃𝑟 ∴𝑝⊃𝑟 𝑝 T T T T F F F F 𝑞 T T F F T T F F 𝑟 T F T F T F T F 𝑝⊃𝑞 T T F F T T T T 𝑞⊃𝑟 T F T T T F T T 𝑝⊃𝑟 T F T F T T T T ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ Por lo tanto, la forma argumental es válida. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 119/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Argumento 𝑃1 Condicional asociado (𝑃1 ∧ 𝑃2 ) ⊃ 𝐶 𝑃2 ∴𝐶 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 120/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Argumento 𝑃1 Condicional asociado (𝑃1 ∧ 𝑃2 ) ⊃ 𝐶 𝑃2 ∴𝐶 Argumento Válido Inválido Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica Condicional asociado Tautología Contradicción o Contingencia 121/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Argumento 𝑃1 Condicional asociado (𝑃1 ∧ 𝑃2 ) ⊃ 𝐶 𝑃2 ∴𝐶 Argumento Válido Inválido Condicional asociado Tautología Contradicción o Contingencia Observación: Lo anterior se generaliza a un argumento con 𝑛 premisas. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 122/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.14, pág. 41) Utilizar tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de la forma de argumento siguiente: 𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟) 𝑝⊃𝑞 ∴𝑝⊃𝑟 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 123/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) 𝑝 T T T T F F F F 𝑞 T T F F T T F F 𝑟 T F T F T F T F 𝑞⊃𝑟 T F T T T F T T 𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟) T F T T T T T T 𝑝⊃𝑞 T T F F T T T T 𝑝⊃𝑟 T F T F T T T T ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ La forma argumental es válida porque siempre que las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 124/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.15*, pág. 41) Utilizar tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de la forma de argumento siguiente: (𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑝 ⊃ 𝑟) 𝑝 ∴𝑞∨𝑟 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 125/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) 𝑝 T T T T F F F F 𝑞 T T F F T T F F 𝑟 T F T F T F T F 𝑝⊃𝑞 T T F F T T T T 𝑝⊃𝑟 T F T F T T T T (𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑝 ⊃ 𝑟) T F F F T T T T 𝑞∨𝑟 T T T F T T T F ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ La forma argumental es válida porque siempre que las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 126/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.16, pág. 41) Utilizar tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de la forma de argumento siguiente: 𝑝 ⊃ (𝑞 ∨ 𝑟) 𝑝 ⊃ ∼𝑞 ∴𝑝∨𝑟 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 127/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) 𝑝 T T T T F F F F 𝑞 T T F F T T F F 𝑟 T F T F T F T F 𝑞∨𝑟 T T T F T T T F ∼𝑞 F F T T F F T T 𝑝 ⊃ (𝑞 ∨ 𝑟) T T T F T T T T 𝑝 ⊃ ∼𝑞 F F T T T T T T 𝑝∨𝑟 T T T T T F T F ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ × ✓ × La forma argumental es inválida porque existe al menos una fila en la cual las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 128/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.19, pág. 41) Utilizar tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de la forma de argumento siguiente: (𝑝 ∨ 𝑞) ⊃ (𝑝 ∧ 𝑞) 𝑝∧𝑞 ∴𝑝∨𝑞 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 129/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F 𝑝∧𝑞 T F F F 𝑝∨𝑞 T T T F (𝑝 ∨ 𝑞) ⊃ (𝑝 ∧ 𝑞) T F F T ✓ ✓ ✓ ✓ La forma argumental es válida porque siempre que las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 130/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.20, pág. 41) Utilizar tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de la forma de argumento siguiente: 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ∼𝑝) 𝑝 ∴ ∼(𝑞 ∧ ∼𝑝) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 131/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) 𝑝 T T F F 𝑞 T F T F ∼𝑝 F F T F 𝑞 ∧ ∼𝑝 F F T F 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ∼𝑝) T T T F ∼(𝑞 ∧ ∼𝑝) T T F T ✓ ✓ ✓ ✓ La forma argumental es válida porque siempre que las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 132/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si Alicia es elegida presidenta del grupo, entonces Bety es elegida vicepresidenta y Carolina es elegida tesorera. Bety no es elegida vicepresidenta. Por lo tanto, Alicia no es elegida presidenta del grupo. (𝐴: Alicia es elegida presidenta del grupo. 𝐵: Bety es elegida vicepresidenta. 𝐶: Carolina es elegida tesorera) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 133/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si Alicia es elegida presidenta del grupo, entonces Bety es elegida vicepresidenta y Carolina es elegida tesorera. Bety no es elegida vicepresidenta. Por lo tanto, Alicia no es elegida presidenta del grupo. (𝐴: Alicia es elegida presidenta del grupo. 𝐵: Bety es elegida vicepresidenta. 𝐶: Carolina es elegida tesorera) Representación del argumento: 1 𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶) 2 ∼𝐵 /∴ ∼𝐴 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 134/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) Tabla de verdad asociada al argumento: 𝐴 T T T T F F F F 𝐵 T T F F T T F F 𝐶 T F T F T F T F 𝐵∧𝐶 T F F F T F F F Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶) T F F F T T T T ∼𝐵 F F T T F F T T ∼𝐴 F F F F T T T T ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ 135/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) Tabla de verdad asociada al argumento: 𝐴 T T T T F F F F 𝐵 T T F F T T F F 𝐶 T F T F T F T F 𝐵∧𝐶 T F F F T F F F 𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶) T F F F T T T T ∼𝐵 F F T T F F T T ∼𝐴 F F F F T T T T ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ Conclusión: El argumento es válido! Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 136/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores se abren en Julio. Por lo tanto, si el catálogo de semillas es correcto, entonces las semillas se siembran en Abril. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las semillas se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 137/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las flores se abren en Julio. Por lo tanto, si el catálogo de semillas es correcto, entonces las semillas se siembran en Abril. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las semillas se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.) Representación del argumento: 1 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 ) 2 𝐹 /∴ 𝐶 ⊃ 𝑆 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 138/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) Tabla de verdad asociada al argumento: 𝐶 T T T T F F F F 𝑆 T T F F T T F F 𝐹 T F T F T F T F 𝑆⊃𝐹 T F T T T F T T Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 ) T F T T T T T T 𝐶⊃𝑆 T T F F T T T T ✓ ✓ × 139/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) Tabla de verdad asociada al argumento: 𝐶 T T T T F F F F 𝑆 T T F F T T F F 𝐹 T F T F T F T F 𝑆⊃𝐹 T F T T T F T T 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 ) T F T T T T T T 𝐶⊃𝑆 T T F F T T T T ✓ ✓ × Conclusión: El argumento es inválido! Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 140/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las semillas se siembran en Abril. Luego, si las flores no se abren en Julio, entonces el catálogo de semillas no es correcto. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las semillas se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 141/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las flores se abren en Julio. Las semillas se siembran en Abril. Luego, si las flores no se abren en Julio, entonces el catálogo de semillas no es correcto. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las semillas se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.) Representación del argumento: 1 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 ) 2 𝑆 /∴ ∼𝐹 ⊃ ∼𝐶 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 142/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) Tabla de verdad asociada al argumento: 𝐶 T T T T F F F F 𝑆 T T F F T T F F 𝐹 T F T F T F T F 𝑆⊃𝐹 T F T T T F T T 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 ) T F T T T T T T Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica ∼𝐹 F T F T F T F T ∼𝐶 F F F F T T T T ∼𝐹 ⊃ ∼𝐶 T F T F T T T T ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ 143/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) Tabla de verdad asociada al argumento: 𝐶 T T T T F F F F 𝑆 T T F F T T F F 𝐹 T F T F T F T F 𝑆⊃𝐹 T F T T T F T T 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝐹 ) T F T T T T T T ∼𝐹 F T F T F T F T ∼𝐶 F F F F T T T T ∼𝐹 ⊃ ∼𝐶 T F T F T T T T ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ Conclusión: El argumento es válido! Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 144/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las plantas florecen en Julio. Las plantas no florecen en Julio. Luego, si las semillas no se siembran en Abril, entonces el catálogo de semillas no es correcto. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las semillas se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 145/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si el catálogo de semillas es correcto, entonces si las semillas se siembran en Abril, entonces las plantas florecen en Julio. Las plantas no florecen en Julio. Luego, si las semillas no se siembran en Abril, entonces el catálogo de semillas no es correcto. (𝐶: El catálogo de semillas es correcto. 𝑆: Las semillas se siembran en Abril. 𝐹 : Las flores se abren en Julio.) Representación del argumento: 1 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝑃 ) 2 ∼𝑃 /∴ ∼𝑆 ⊃ ∼𝐶 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 146/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) Tabla de verdad asociada al argumento: 𝐶 T T T T F F F F 𝑆 T T F F T T F F 𝑃 T F T F T F T F 𝑆⊃𝑃 T F T T T F T T 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝑃 ) T F T T T T T T Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica ∼𝑃 F T F T F T F T ∼𝑆 F F T T F F T T ∼𝐶 F F F F T T T T ∼𝑆 ⊃ ∼𝐶 T T F F T T T T ✓ ✓ ✓ × 147/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) Tabla de verdad asociada al argumento: 𝐶 T T T T F F F F 𝑆 T T F F T T F F 𝑃 T F T F T F T F 𝑆⊃𝑃 T F T T T F T T 𝐶 ⊃ (𝑆 ⊃ 𝑃 ) T F T T T T T T ∼𝑃 F T F T F T F T ∼𝑆 F F T T F F T T ∼𝐶 F F F F T T T T ∼𝑆 ⊃ ∼𝐶 T T F F T T T T ✓ ✓ ✓ × Conclusión: El argumento es inválido! Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 148/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 149/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio. Representación de los enunciados simples: 𝐸: Eduardo gana el primer premio 𝐹 : Federico gana el segundo premio 𝐽 : Jorge queda decepcionado Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 150/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.9, pág. 42) Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez del siguiente argumento. Si Eduardo gana el primer premio, entonces o Federico gana el segundo premio o Jorge queda decepcionado. O Eduardo gana el primer premio o Jorge queda decepcionado. Luego, Federico no gana el segundo premio. Representación de los enunciados simples: 𝐸: Eduardo gana el primer premio 𝐹 : Federico gana el segundo premio 𝐽 : Jorge queda decepcionado Representación del argumento: 1 𝐸 ⊃ (𝐹 ∨ 𝐽 ) 2 𝐸∨𝐽 /∴ ∼𝐹 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 151/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) Tabla de verdad asociada al argumento: 𝐸 T T T T F F F F 𝐹 T T F F T T F F 𝐽 T F T F T F T F 𝐹 ∨𝐽 T T T F T T T F Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝐸 ⊃ (𝐹 ∨ 𝐽 ) T T T F T T T T 𝐸∨𝐽 T T T T T F T F ∼𝐹 F F T T F F T T × 152/160 Validez de argumentos y tablas de verdad Ejercicio (continuación) Tabla de verdad asociada al argumento: 𝐸 T T T T F F F F 𝐹 T T F F T T F F 𝐽 T F T F T F T F 𝐹 ∨𝐽 T T T F T T T F 𝐸 ⊃ (𝐹 ∨ 𝐽 ) T T T F T T T T 𝐸∨𝐽 T T T T T F T F ∼𝐹 F F T T F F T T × Conclusión: El argumento es inválido! Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 153/160 Método alternativo para demostrar la invalidez de un argumento Ejemplo Demostrar la invalidez del argumento: 𝑉 ⊃𝑂 𝐻⊃𝑂 ∴𝑉 ⊃𝐻 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 154/160 Método alternativo para demostrar la invalidez de un argumento Ejemplo Demostrar la invalidez del argumento: 𝑉 ⊃𝑂 𝐻⊃𝑂 ∴𝑉 ⊃𝐻 𝑉 𝑂 𝐻 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝑉 ⊃𝑂 𝐻⊃𝑂 𝑉 ⊃𝐻 155/160 Método alternativo para demostrar la invalidez de un argumento Ejemplo Demostrar la invalidez del argumento: 𝑉 ⊃𝑂 𝐻⊃𝑂 ∴𝑉 ⊃𝐻 𝑉 𝑂 𝐻 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝑉 ⊃𝑂 𝐻⊃𝑂 𝑉 ⊃𝐻 F 156/160 Método alternativo para demostrar la invalidez de un argumento Ejemplo Demostrar la invalidez del argumento: 𝑉 ⊃𝑂 𝐻⊃𝑂 ∴𝑉 ⊃𝐻 𝑉 𝑂 𝐻 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝑉 ⊃𝑂 T 𝐻⊃𝑂 T 𝑉 ⊃𝐻 F 157/160 Método alternativo para demostrar la invalidez de un argumento Ejemplo Demostrar la invalidez del argumento: 𝑉 ⊃𝑂 𝐻⊃𝑂 ∴𝑉 ⊃𝐻 𝑉 T 𝑂 𝐻 F Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝑉 ⊃𝑂 T 𝐻⊃𝑂 T 𝑉 ⊃𝐻 F 158/160 Método alternativo para demostrar la invalidez de un argumento Ejemplo Demostrar la invalidez del argumento: 𝑉 ⊃𝑂 𝐻⊃𝑂 ∴𝑉 ⊃𝐻 𝑉 T 𝑂 T 𝐻 F Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 𝑉 ⊃𝑂 T 𝐻⊃𝑂 T 𝑉 ⊃𝐻 F × 159/160 Referencias Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental. Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth, Cengage Learning. Sierra A., Manuel (2010). Argumentación deductiva con diagramas y árboles de forzamiento. Fondo Editorial Universidad EAFIT. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Semántica 160/160 Lógica - CM0260 Lógica proposicional: Método de deducción Andrés Sicard Ramírez Universidad EAFIT Semestre 2015-2 Método de deducción Argumento 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 ∴𝐶 Prueba formal de validez 1 n n+1 n+m 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 /∴ 𝐶 𝑆1 ⋮ 𝑆𝑚 donde: cada proposición 𝑆𝑖 se sigue de las proposiciones anteriores por un argumento válido elemental y la última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 2/109 Método de deducción Argumento 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 ∴𝐶 Prueba formal de validez 1 n n+1 n+m 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 /∴ 𝐶 𝑆1 ⋮ 𝑆𝑚 donde: cada proposición 𝑆𝑖 se sigue de las proposiciones anteriores por un argumento válido elemental y la última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶. Notación: Hurley [2012] usa el símbolo ‘/’ y LogicCoach 11 usa el símbolo ‘//’ en lugar del símbolo ‘/ ∴’. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 3/109 Reglas de inferencia 1 Modus ponens (MP) 𝑝⊃𝑞 𝑝 𝑞 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 4/109 Reglas de inferencia 1 Modus ponens (MP) 𝑝⊃𝑞 𝑝 𝑞 2 Modus tollens (MT) 𝑝⊃𝑞 ∼𝑞 ∼𝑝 3 Hypothetical syllogism (HS) 𝑝⊃𝑞 𝑞⊃𝑟 𝑝⊃𝑟 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 5/109 Reglas de inferencia 1 Modus ponens (MP) 𝑝⊃𝑞 𝑝 𝑞 2 4 Disjunctive syllogism (DS) 𝑝∨𝑞 ∼𝑝 𝑞 Modus tollens (MT) 𝑝⊃𝑞 ∼𝑞 ∼𝑝 3 Hypothetical syllogism (HS) 𝑝⊃𝑞 𝑞⊃𝑟 𝑝⊃𝑟 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 6/109 Reglas de inferencia 1 Modus ponens (MP) 4 𝑝⊃𝑞 𝑝 𝑞 2 Modus tollens (MT) 𝑝⊃𝑞 ∼𝑞 ∼𝑝 3 Disjunctive syllogism (DS) 𝑝∨𝑞 ∼𝑝 𝑞 5 Constructive dilemma (CD) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠) 𝑝∨𝑟 𝑞∨𝑠 Hypothetical syllogism (HS) 𝑝⊃𝑞 𝑞⊃𝑟 𝑝⊃𝑟 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 7/109 Reglas de inferencia 1 Modus ponens (MP) 4 𝑝⊃𝑞 𝑝 𝑞 2 Modus tollens (MT) 𝑝∨𝑞 ∼𝑝 𝑞 5 𝑝⊃𝑞 ∼𝑞 ∼𝑝 3 Hypothetical syllogism (HS) 𝑝⊃𝑞 𝑞⊃𝑟 𝑝⊃𝑟 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción Disjunctive syllogism (DS) Constructive dilemma (CD) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠) 𝑝∨𝑟 𝑞∨𝑠 6 Simplification (Simp) 𝑝∧𝑞 𝑝 8/109 Reglas de inferencia 7 Conjunction (Conj) 𝑝 𝑞 𝑝∧𝑞 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 9/109 Reglas de inferencia 7 Conjunction (Conj) 𝑝 𝑞 𝑝∧𝑞 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 8 Addition (Add) 𝑝 𝑝∨𝑞 10/109 Reglas de inferencia 7 Conjunction (Conj) 𝑝 𝑞 𝑝∧𝑞 8 Addition (Add) 𝑝 𝑝∨𝑞 Observación: Uso de instancias de las reglas de inferencia. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 11/109 Reglas de inferencia Sugerencias Antes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebas formales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 52 de Copi [1998]. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 12/109 Reglas de inferencia Sugerencias Antes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebas formales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 52 de Copi [1998]. Hurley [2012] en las págs. 385 y 395 ilustra algunos de los errores comunes en el uso de las reglas de inferencia. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 13/109 Reglas de inferencia Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.2, pág. 54) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ ∼𝐺) 2 (𝐹 ∨ 𝐺) ⊃ 𝐻 3 𝐸 /∴ 𝐻 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 14/109 Reglas de inferencia Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.2, pág. 54) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ ∼𝐺) 2 (𝐹 ∨ 𝐺) ⊃ 𝐻 3 𝐸 4 𝐹 ∧ ∼𝐺 MP 1, 3 5 𝐹 Simp 4 6 𝐹 ∨𝐺 Add 5 7 𝐻 MP 2, 6 /∴ 𝐻 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 15/109 Reglas de inferencia Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 54) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝐽 ⊃𝐾 2 𝐽 ∨ (𝐾 ∨ ∼𝐿) 3 ∼𝐾 /∴ ∼𝐿 ∧ ∼𝐾 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 16/109 Reglas de inferencia Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.3, pág. 54) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝐽 ⊃𝐾 2 𝐽 ∨ (𝐾 ∨ ∼𝐿) 3 ∼𝐾 4 ∼𝐽 MT 1, 4 5 𝐾 ∨ ∼𝐿 DS 2, 4 6 ∼𝐿 DS 5, 3 7 ∼𝐿 ∧ ∼𝐾 Conj 6, 3 /∴ ∼𝐿 ∧ ∼𝐾 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 17/109 Reglas de inferencia Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 54) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 3 4 𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶) ∼𝐴 ⊃ [(𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺)] (𝐵 ∧ 𝐶) ∨ [(∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹 )] ∼(𝐵 ∧ 𝐶) ∧ ∼(𝐺 ∧ 𝐷) /∴ 𝐸 ∨ 𝐺 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 18/109 Reglas de inferencia Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 54) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶) ∼𝐴 ⊃ [(𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺)] (𝐵 ∧ 𝐶) ∨ [(∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹 )] ∼(𝐵 ∧ 𝐶) ∧ ∼(𝐺 ∧ 𝐷) /∴ 𝐸 ∨ 𝐺 ∼(𝐵 ∧ 𝐶) ∼𝐴 (𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺) 𝐷⊃𝐸 (∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹 ) ∼𝐴 ⊃ 𝐷 𝐷 𝐸 𝐸∨𝐺 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción Simp 4 MT 1, 5 MP 2, 6 Simp 7 DS 3, 5 Simp 9 MP 10, 6 MP 8, 11 Add 12 19/109 Reglas de inferencia Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 54) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 3 4 (∼𝐻 ∨ 𝐼) ⊃ (𝐽 ⊃ 𝐾) (∼𝐿 ∧ ∼𝑀 ) ⊃ (𝐾 ⊃ 𝑁 ) (𝐻 ⊃ 𝐿) ∧ (𝐿 ⊃ 𝐻) (∼𝐿 ∧ ∼𝑀 ) ∧ ∼𝑂 /∴ 𝐽 ⊃ 𝑁 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 20/109 Reglas de inferencia Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 54) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (∼𝐻 ∨ 𝐼) ⊃ (𝐽 ⊃ 𝐾) (∼𝐿 ∧ ∼𝑀 ) ⊃ (𝐾 ⊃ 𝑁 ) (𝐻 ⊃ 𝐿) ∧ (𝐿 ⊃ 𝐻) (∼𝐿 ∧ ∼𝑀 ) ∧ ∼𝑂 /∴ 𝐽 ⊃ 𝑁 ∼𝐿 ∧ ∼𝑀 𝐾⊃𝑁 ∼𝐿 𝐻⊃𝐿 ∼𝐻 ∼𝐻 ∨ 𝐼 𝐽 ⊃𝐾 𝐽 ⊃𝑁 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción Simp 4 MP 2, 5 Simp 5 Simp 3 MT 8, 7 Add 9 MP 1, 10 HS 11, 6 21/109 Reglas de inferencia Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.10, pág. 54) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 3 4 5 (𝐵 ∨ 𝐶) ⊃ (𝐷 ∨ 𝐸) ((𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹 ) ⊃ (𝐺 ∨ 𝐻) (𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ ∼𝐷 𝐸 ⊃ ∼𝐺 𝐵 /∴ 𝐻 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 22/109 Reglas de inferencia Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.10, pág. 54) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (𝐵 ∨ 𝐶) ⊃ (𝐷 ∨ 𝐸) ((𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹 ) ⊃ (𝐺 ∨ 𝐻) (𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ ∼𝐷 𝐸 ⊃ ∼𝐺 𝐵 /∴ 𝐻 𝐵∨𝐶 𝐷∨𝐸 (𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹 𝐺∨𝐻 ∼𝐷 𝐸 ∼𝐺 𝐻 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción Add 5 MP 1, 6 Add 7 MP 2, 8 MP 3, 9 DS 7, 10 MP 4, 11 DS 9, 12 23/109 Regla de reemplazo Motivación Construir una prueba formal de validez para el argumento 𝐴∧𝐵 /∴ 𝐵 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 24/109 Regla de reemplazo Motivación Construir una prueba formal de validez para el argumento 𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵 No es posible con nuestras actuales reglas de inferencia. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 25/109 Regla de reemplazo Motivación Construir una prueba formal de validez para el argumento 𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵 No es posible con nuestras actuales reglas de inferencia. Notación: 𝑝 ∷ 𝑞 significa que 𝑝 es lógicamente equivalente a 𝑞. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 26/109 Regla de reemplazo Regla de reemplazo Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes pueden reemplazar a la otra en donde ocurran. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 27/109 Regla de reemplazo Regla de reemplazo Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes pueden reemplazar a la otra en donde ocurran. 9 De Morgan’s rule (DM) ∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞) ∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 28/109 Regla de reemplazo Regla de reemplazo Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes pueden reemplazar a la otra en donde ocurran. 9 De Morgan’s rule (DM) 10 Commutativity (Com) ∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞) ∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción (𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝) (𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝) 29/109 Regla de reemplazo Regla de reemplazo Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes pueden reemplazar a la otra en donde ocurran. 9 De Morgan’s rule (DM) ∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞) ∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞) 10 Commutativity (Com) (𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝) (𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝) 11 Associativity (Assoc) [(𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟] [𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟] Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 30/109 Regla de reemplazo Regla de reemplazo Cualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes pueden reemplazar a la otra en donde ocurran. 9 De Morgan’s rule (DM) ∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞) ∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞) 10 Commutativity (Com) (𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝) (𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝) 11 Associativity (Assoc) [(𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟] [𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟] 12 Distribution (Dist) [𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)] [𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)] Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 31/109 Regla de reemplazo (continuación) 13 Double negation (DN) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 𝑝 ∷ ∼∼𝑝 32/109 Regla de reemplazo (continuación) 13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝 14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 33/109 Regla de reemplazo (continuación) 13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝 14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝) 15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 34/109 Regla de reemplazo (continuación) 13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝 14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝) 15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞) 16 Material equivalence (Equiv) (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)] (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)] Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 35/109 Regla de reemplazo (continuación) 13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝 14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝) 15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞) 16 Material equivalence (Equiv) 17 Exportation (Exp) (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)] (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)] Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción [(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)] 36/109 Regla de reemplazo (continuación) 13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝 14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝) 15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞) 16 Material equivalence (Equiv) 17 Exportation (Exp) [(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)] 18 Tautology (Taut) 𝑝 ∷ (𝑝 ∨ 𝑝) 𝑝 ∷ (𝑝 ∧ 𝑝) (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)] (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)] Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 37/109 Regla de reemplazo Observación: “La regla de reemplazo autoriza que expresiones lógicamente equivalentes especificadas se reemplacen entre sí donde ocurran, aun en donde no constituyan renglones enteros de demostración. Pero las nueve primeras reglas de inferencia sólo pueden usarse tomando como premisas renglones enteros de una demostración.”1 1 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 59. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 38/109 Regla de reemplazo Ejemplo Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝐴∧𝐵 /∴ 𝐵 2 𝐵∧𝐴 Com 1 3 𝐵 Simp 2 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 39/109 Pruebas formales Verificación vs construcción Verificar una prueba formal es un proceso efectivo (algorítmico), pero construirla no lo es. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 40/109 Pruebas formales Verificación vs construcción Verificar una prueba formal es un proceso efectivo (algorítmico), pero construirla no lo es. Convención En cada línea de una prueba sólo se aplica una regla de inferencia o una equivalencia lógica, pero no ambas. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 41/109 Pruebas formales Verificación vs construcción Verificar una prueba formal es un proceso efectivo (algorítmico), pero construirla no lo es. Convención En cada línea de una prueba sólo se aplica una regla de inferencia o una equivalencia lógica, pero no ambas. Sugerencia Antes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebas formales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 61 y 62 de Copi [1998]. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 42/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 62) La siguiente es una prueba formal de validez para el argumento indicado. Enuncie la “justificación” de cada renglón que no sea una premisa: 1 (𝑂 ⊃ ∼𝑃 ) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑄) 2 𝑄⊃𝑂 3 ∼𝑅 ⊃ 𝑃 4 ∼𝑄 ∨ 𝑂 5 𝑂 ∨ ∼𝑄 6 (𝑂 ⊃ ∼𝑃 ) ∧ (∼𝑄 ⊃ ∼𝑃 ) 7 ∼𝑃 ∨ ∼𝑃 8 ∼𝑃 9 ∼∼𝑅 10 /∴ 𝑅 𝑅 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 43/109 Pruebas formales Ejercicio (continuación) 1 (𝑂 ⊃ ∼𝑃 ) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑄) 2 𝑄⊃𝑂 3 ∼𝑅 ⊃ 𝑃 4 ∼𝑄 ∨ 𝑂 Impl 2 5 𝑂 ∨ ∼𝑄 Com 4 6 (𝑂 ⊃ ∼𝑃 ) ∧ (∼𝑄 ⊃ ∼𝑃 ) Trans 1 7 ∼𝑃 ∨ ∼𝑃 CD 6, 4 8 ∼𝑃 Taut 7 9 ∼∼𝑅 MT 3, 8 𝑅 DN 9 10 /∴ 𝑅 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 44/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 62) La siguiente es una prueba formal de validez para el argumento indicado. Enuncie la “justificación” de cada renglón que no sea una premisa: 1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶) 2 𝐶≡𝐷 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 45/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 62) La siguiente es una prueba formal de validez para el argumento indicado. Enuncie la “justificación” de cada renglón que no sea una premisa: 1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶) 2 𝐶≡𝐷 3 𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷) 4 𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷) 5 (𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷 6 𝐶 ⊃ ∼𝐷 7 ∼𝐶 ∨ ∼𝐷 8 ∼(𝐶 ∧ 𝐷) 9 (𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷) 10 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷 ∼𝐶 ∧ ∼𝐷 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 46/109 Pruebas formales Ejercicio (continuación) 1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶) 2 𝐶≡𝐷 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 47/109 Pruebas formales Ejercicio (continuación) 1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶) 2 𝐶≡𝐷 3 𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷) Trans 1 4 𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷) DN 3 5 (𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷 Exp 4 6 𝐶 ⊃ ∼𝐷 Taut 5 7 ∼𝐶 ∨ ∼𝐷 Impl 6 8 ∼(𝐶 ∧ 𝐷) DM 7 9 (𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷) Equiv 2 ∼𝐶 ∧ ∼𝐷 DS 9, 8 10 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 48/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 62) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝑁 ⊃𝑂 /∴ (𝑁 ∧ 𝑃 ) ⊃ 0 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 49/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 62) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 3 4 5 6 7 8 𝑁 ⊃ 𝑂 /∴ (𝑁 ∧ 𝑃 ) ⊃ 0 ∼𝑁 ∨ 𝑂 (∼𝑁 ∨ 𝑂) ∨ ∼𝑃 ∼𝑃 ∨ (∼𝑁 ∨ 𝑂) (∼𝑃 ∨ ∼𝑁 ) ∨ 𝑂 ∼(𝑃 ∧ 𝑁 ) ∨ 𝑂 ∼(𝑁 ∧ 𝑃 ) ∨ 𝑂 (𝑁 ∧ 𝑃 ) ⊃ 0 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción Impl 1 Add 2 Com 3 Assoc. 4 DM 5 Com 6 Impl 7 50/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 63) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 (𝑄 ∨ 𝑅) ⊃ 𝑆 /∴ 𝑄 ⊃ 𝑆 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 51/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 63) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 (𝑄 ∨ 𝑅) ⊃ 𝑆 /∴ 𝑄 ⊃ 𝑆 2 ∼(𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆 Impl 1 3 (∼𝑄 ∧ ∼𝑅) ∨ 𝑆 DM 2 4 𝑆 ∨ (∼𝑄 ∧ ∼𝑅) Com 3 5 (𝑆 ∨ ∼𝑄) ∧ (𝑆 ∨ ∼𝑅) Dist 4 6 𝑆 ∨ ∼𝑄 Simp 5 7 ∼𝑄 ∨ 𝑆 Com 6 8 𝑄⊃𝑆 Impl 7 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 52/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 63) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝑇 ⊃ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) /∴ 𝑇 ⊃ 𝑈 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 53/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 63) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝑇 ⊃ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) /∴ 𝑇 ⊃ 𝑈 2 ∼𝑇 ∨ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) Impl 1 3 ∼𝑇 ∨ ∼(∼𝑈 ∨ 𝑉 ) Impl 2 4 ∼𝑇 ∨ (∼∼𝑈 ∧ ∼𝑉 ) DM 3 5 ∼𝑇 ∨ (𝑈 ∧ ∼𝑉 ) DN. 4 6 (∼𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ (∼𝑇 ∨ ∼𝑉 ) Dist 5 7 ∼𝑇 ∨ 𝑈 Simp 6 8 𝑇 ⊃𝑈 Impl 7 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 54/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝐸⊃𝐹 2 𝐸⊃𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 55/109 Pruebas formales Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝐸⊃𝐹 2 𝐸⊃𝐺 3 ∼𝐸 ∨ 𝐹 Impl 1 4 ∼𝐸 ∨ 𝐺 Impl 2 5 (∼𝐸 ∨ 𝐹 ) ∧ (∼𝐸 ∨ 𝐺) Conj 3, 4 6 ∼𝐸 ∨ (𝐹 ∧ 𝐺) Dist 7 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺) Impl 6 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 56/109 Nuevas reglas de demostración Regla de demostración condicional Regla de demostración indirecta Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 57/109 Nuevas reglas de demostración Regla de demostración condicional Regla de demostración indirecta Observación: Copi [1998] presenta la regla de demostración condicional gradualmente. En § 3.5 presenta una primera versión de la regla y en § 3.8 presenta la versión general de la regla llamándola regla de demostración condicional reforzada. Nuestra presentación corresponde a la versión general de la regla y ésta será la versión evaluada. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 58/109 Regla de demostración condicional Idea Adicionar supuestos con alcance limitado. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 59/109 Regla de demostración condicional Idea Adicionar supuestos con alcance limitado. Descarga de supuestos Es necesario descargar cada supuesto adicionado. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 60/109 Regla de demostración condicional Idea Adicionar supuestos con alcance limitado. Descarga de supuestos Es necesario descargar cada supuesto adicionado. Regla de demostración condicional 𝐴 ACP ⋮ 𝐶 𝐴⊃𝐶 CP CP: Conditional Proof ACP: Assumption for Conditional Proof Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 61/109 Regla de demostración condicional Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝐸⊃𝐹 2 𝐸⊃𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 62/109 Regla de demostración condicional Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝐸⊃𝐹 2 𝐸⊃𝐺 3 𝐸 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción ACP 63/109 Regla de demostración condicional Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝐸⊃𝐹 2 𝐸⊃𝐺 3 𝐸 ACP 4 𝐹 MP 1, 3 5 𝐺 MP 2, 3 6 𝐹 ∧𝐺 Conj 4, 5 7 𝐸 ⊃𝐹 ∧𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción CP 3–6 64/109 Regla de demostración condicional Ejercicio (Copi [1998], pág. 75) Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 de la pág. 65. 1 (𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿) /∴ (𝑇 ∧ 𝑀 ) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 65/109 Regla de demostración condicional Ejercicio (Copi [1998], pág. 75) Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 de la pág. 65. 1 2 (𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿) 𝑇 ∧𝑀 /∴ (𝑇 ∧ 𝑀 ) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿) ACP Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 66/109 Regla de demostración condicional Ejercicio (Copi [1998], pág. 75) Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 de la pág. 65. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿) /∴ (𝑇 ∧ 𝑀 ) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿) 𝑇 ∧𝑀 ACP 𝑇 ⊃𝐸 Simp 1 (𝑀 ⊃ 𝐿) ∧ (𝑇 ⊃ 𝐸) Com 1 𝑀 ⊃𝐿 Simp 4 𝑇 Simp 2 𝑀 ∧𝑇 Com 2 𝑀 Simp 7 𝐸 MP 3, 6 𝐿 MP 5, 8 𝐸∧𝐿 Conj 9, 10 (𝑇 ∧ 𝑀 ) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿) CP 2–11 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 67/109 Regla de demostración condicional La regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 68/109 Regla de demostración condicional La regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez. Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶) 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 69/109 Regla de demostración condicional La regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez. Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 3 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶) 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) 𝐴 /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción ACP 70/109 Regla de demostración condicional La regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez. Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 3 4 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶) 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) 𝐴 𝐵 /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción ACP ACP 71/109 Regla de demostración condicional La regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez. Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74) Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶) 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) 𝐴 𝐵 𝐵⊃𝐶 𝐶 𝐶⊃𝐷 𝐷 𝐵⊃𝐷 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción ACP ACP MP 1, 3 MP 5, 4 MP 2, 4 MP 7, 6 CP 4–8 CP 3–9 72/109 Regla de demostración condicional Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 84) Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validez del siguiente argumento: 1 (𝐸 ∨ 𝐹 ) ⊃ 𝐺 2 𝐻 ⊃ (𝐼 ∧ 𝐽) /∴ (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 73/109 Regla de demostración condicional Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 84) Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validez del siguiente argumento: 1 (𝐸 ∨ 𝐹 ) ⊃ 𝐺 2 𝐻 ⊃ (𝐼 ∧ 𝐽) /∴ (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼) 3 𝐸 ACP 4 𝐸∨𝐹 Add 3 5 𝐺 MP 1, 4 6 𝐸⊃𝐺 CP 3–5 7 𝐻 ACP 8 𝐼∧𝐽 MP 2, 7 9 𝐼 Simp 8 10 𝐻⊃𝐼 CP 7–9 11 (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼) Conj 6, 10 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 74/109 Regla de demostración condicional Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 4, pág. 84) Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validez del siguiente argumento: 1 𝑄 ∨ (𝑅 ⊃ 𝑆) 2 (𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆)) ⊃ (𝑇 ∨ 𝑈 ) 3 (𝑇 ⊃ 𝑄) ∧ (𝑈 ⊃ 𝑉 ) /∴ 𝑄 ∨ 𝑉 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 75/109 Regla de demostración condicional Ejercicio (continuación) 4 5 6 7 8 9 1 𝑄 ∨ (𝑅 ⊃ 𝑆) 10 2 (𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆)) ⊃ (𝑇 ∨ 𝑈) 11 3 (𝑇 ⊃ 𝑄) ∧ (𝑈 ⊃ 𝑉 ) 12 ∴𝑄∨𝑉 13 14 15 16 17 18 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 19 ∼𝑄 𝑅⊃𝑆 𝑅 𝑆 𝑅∧𝑆 𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆) 𝑇 ∨𝑈 𝑇 ⊃𝑄 ∼𝑇 𝑈 (𝑈 ⊃ 𝑉 ) ∧ (𝑇 ⊃ 𝑄) 𝑈⊃𝑉 𝑉 ∼𝑄 ⊃ 𝑉 ∼∼𝑄 ∨ 𝑉 𝑄∨𝑉 ACP DS 1, 4 ACP MP 5, 6 Conj 6, 7 CP 6-8 MP 2, 9 Simp 3 MT 11, 4 DS 10, 12 Com 3 Simp 14 MP 15, 13 CP 4–16 Impl 17 DN 18 76/109 Regla de demostración condicional y argumentos Porqué empleando la regla de demostración condicional, podemos demostramos el argumento {𝑃 } /∴𝐴 ⊃ 𝐶 donde {𝑃 } representa un conjunto de premisas, por medio de la prueba {𝑃 } 𝐴 ACP ⋮ 𝐶 𝐴⊃𝐶 CP ? Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 77/109 Regla de demostración condicional y argumentos Justificación 𝑃 𝐴 ∴𝐶 condicional asociado Exportación CP 𝑃 ∴𝐴⊃𝐶 (𝑃 ∧ 𝐴) ⊃ 𝐶 condicional asociado Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 𝑃 ⊃ (𝐴 ⊃ 𝐶) 78/109 Regla de demostración condicional Más poder de demostración La regla de demostración condicional aumenta el conjunto de argumentos que podemos demostrar con nuestras reglas de inferencia. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 79/109 Regla de demostración indirecta Preliminares A partir de una contradicción podemos demostrar cualquier conclusión. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 80/109 Regla de demostración indirecta Preliminares A partir de una contradicción podemos demostrar cualquier conclusión. Ejemplo Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝑝 2 ∼𝑝 /∴ 𝑞 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 81/109 Regla de demostración indirecta Preliminares A partir de una contradicción podemos demostrar cualquier conclusión. Ejemplo Construir una prueba formal de validez para el argumento: 1 𝑝 2 ∼𝑝 3 𝑝∨𝑞 Add 1 4 𝑞 DS 3, 2 /∴ 𝑞 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 82/109 Regla de demostración indirecta Regla de demostración indirecta 𝐶 AIP ⋮ 𝑞 ∧ ∼𝑞 ∼𝐶 (contradicción) IP IP: Indirect Proof AIP: Assumption for Indirect Proof Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 83/109 Regla de demostración indirecta Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 78) Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento empleando la regla de demostración indirecta: 1 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺) 2 (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹 ) /∴ 𝐺 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 84/109 Regla de demostración indirecta Ejercicio (continuación) 1 2 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺) (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹 ) /∴ 𝐺 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 85/109 Regla de demostración indirecta Ejercicio (continuación) 1 2 3 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺) (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹 ) /∴ 𝐺 ∼𝐺 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción AIP 86/109 Regla de demostración indirecta Ejercicio (continuación) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺) (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹 ) /∴ 𝐺 ∼𝐺 ∼𝐺 ∨ 𝐻 𝐷∧𝐹 𝐹 ∧𝐷 𝐹 𝐷 𝐷∨𝐸 𝐹 ⊃𝐺 ∼𝐹 𝐹 ∧ ∼𝐹 ∼∼𝐺 𝐺 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción AIP Add 3 MP 2, 4 Com 5 Simp 6 Simp 5 Add 8 MP 1, 9 MT 10, 3 Conj 7, 11 IP 3–12 DN 14 87/109 Regla de demostración indirecta Las reglas de demostración condicional y demostración indirecta se pueden usar simultáneamente. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 88/109 Regla de demostración indirecta Ejemplo (Hurley (2012), pág. 434) Demostrar el siguiente argumento. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 𝐿 ⊃ [∼𝑀 ⊃ (𝑁 ∧ 𝑂)] ∼𝑁 ∧ 𝑃 𝐿 ∼𝑀 ⊃ (𝑁 ∧ 𝑂) ∼𝑀 𝑁 ∧𝑂 𝑁 ∼𝑁 𝑁 ∧ ∼𝑁 ∼∼𝑀 𝑀 𝑃 ∧ ∼𝑁 𝑃 𝑀 ∧𝑃 𝐿 ⊃ (𝑀 ∧ 𝑃 ) /∴ 𝐿 ⊃ (𝑀 ∧ 𝑃 ) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción ACP MP 1,3 AIP MP 4,5 Simp 6 Simp 2 Conj 7,8 IP 5-9 DN 10 Com 2 Simp 12 Conj 11, 13 CP 3–14 89/109 Regla de demostración indirecta y argumentos Porqué empleando la regla de demostración indirecta, podemos demostramos el argumento {𝑃 } /∴ 𝐶 por medio de la prueba {𝑃 } ∼𝐶 AIP ⋮ 𝑞 ∧ ∼𝑞 (contradicción) ∼∼𝐶 IP 𝐶 DN ? Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 90/109 Regla de demostración indirecta y argumentos Justificación 𝑃 ∼𝐶 ∴𝐶 ⋮ 𝑞 ∧ ∼𝑞 ⋮ 𝐶 condicional asociado (𝑃 ∧ ∼𝐶) ⊃ 𝐶 Exportación 𝑃 ⊃ (∼𝐶 ⊃ 𝐶) Implicación material 𝑃 ⊃ (∼∼𝐶 ∨ 𝐶) Doble negación IP 𝑃 ⊃ (𝐶 ∨ 𝐶) 𝑃 ∴𝐶 Tautología condicional asociado Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 𝑃 ⊃𝐶 91/109 Demostración de tautologías Tautología condicional (𝐴𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 ⊂ 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒) Prueba empleando la regla de demostración condicional: 𝐴 ACP ⋮ 𝐶 𝐴⊃𝐶 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción CP 92/109 Demostración de tautologías Tautología bicondicional (𝐴 ≡ 𝐵) Prueba empleando la regla de demostración condicional: m n n+1 𝐴 ⋮ 𝐵 𝐴⊃𝐵 𝐵 ⋮ 𝐴 𝐵⊃𝐴 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊃ 𝐴) 𝐴≡𝐵 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción ACP CP ACP CP Conj m,n Equiv n+1 93/109 Demostración de tautologías Tautología (𝑇 ) Prueba empleando la regla de demostración indirecta: n ∼𝑇 ⋮ 𝑞 ∧ ∼𝑞 ∼∼𝑇 𝑇 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción AIP (contradicción) IP DN n 94/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración indirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶). Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 95/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración indirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶). 1 2 3 4 5 6 7 8 � 15 16 17 ∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)] ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶) ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶) ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶) (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶) (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶) (𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶) (𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) ⋮ 𝐵 ∧ ∼𝐵 ∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)] (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción AIP DM 1 Impl 2 Impl 3 DM 4 DM 5 DN 6 DN 7 IP 1-15 DN 16 96/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración indirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶). Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 97/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración indirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)] ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐴 ⊃ 𝐶) ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼∼𝐴 ∨ 𝐶) (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) ∼∼𝐴 ∧ [∼𝐵 ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶)] ∼∼𝐴 ∧ [(∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) ∧ ∼𝐵] ∼∼𝐴 ∧ [∼∼∼𝐴 ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵)] (∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴) ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵) ∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴 ∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)] (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶) Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción AIP DM 1 Impl 2 DM 3 Assoc 4 Com 5 Assoc 6 Assoc 7 Simp 8 IP 1-9 DN 10 98/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración indirecta: 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵). Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 99/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración indirecta: 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵). 1 ∼(𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)) AIP 2 ∼𝐴 ∧ ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) DM 1 3 ∼𝐴 Simp 2 4 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼𝐴 Conm 2 5 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) Simp 4 6 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) Impl 5 7 ∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵 DM 6 8 ∼∼𝐴 Simp 7 9 𝐴 DN 8 𝐴 ∧ ∼𝐴 Conj 3, 9 10 11 ∼∼[𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)] IP 1-10 12 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵) DN 11 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 100/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración condicional: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 . Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 101/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración condicional: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 . 1 𝑃 ACP 2 ∼∼𝑃 DN 1 3 𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 4 ∼∼𝑃 ACP 5 𝑃 DN 4 CP 1-2 6 ∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 CP 4-5 7 (𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 ) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 ) Conj. 3, 6 8 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 Equiv 7 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 102/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración indirecta: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 . Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 103/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración indirecta: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃 ) ∼[(𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 ) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 )] ∼[(𝑃 ⊃ 𝑃 ) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 )] ∼[(𝑃 ⊃ 𝑃 ) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑃 )] ∼(𝑃 ⊃ 𝑃 ) ∨ ∼(𝑃 ⊃ 𝑃 ) ∼(𝑃 ⊃ 𝑃 ) ∼(∼𝑃 ∨ 𝑃 ) ∼∼𝑃 ∧ ∼𝑃 𝑃 ∧ ∼𝑃 ∼∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃 ) 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción AIP Equiv 1 DN 2 DN 3 DM 4 Taut 5 Impl 6 DM 7 DN 8 IP 1-9 DN 10 104/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración indirecta: ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)]. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 105/109 Demostración de tautologías Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 80) Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostración indirecta: ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴) 𝐴 ⊃ ∼𝐴 (∼𝐴 ⊃ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∼𝐴 ⊃ 𝐴 ∼𝐴 ∨ ∼𝐴 ∼𝐴 𝐴 𝐴 ∧ ∼𝐴 ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)] Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción AIP Simp 1 Com 1 Simp 3 Impl 2 Taut 5 MP 4, 6 Conj 7, 6 IP 1-8 106/109 Reglas de demostración condicional e indirecta Pregunta ¿Porqué la regla de demostración indirecta es un caso particular de la regla de demostración condicional? Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 107/109 Método de deducción y tautologías Teorema (Completeness (completitud)) Toda tautología puede demostrarse por el método de deducción. Teorema (Soundness (validez)) Si un argumento es válido empleando el método de deducción, entonces su condicional asociado es tautológico. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 108/109 Referencias Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental. Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth, Cengage Learning. Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 109/109 Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos Andrés Sicard Ramírez Universidad EAFIT Semestre 2015-2 Introducción lógica proposicional Introducción lógica de predicados monádicos lógica proposicional Introducción lógica de predicados de primer orden lógica de predicados monádicos lógica proposicional Introducción lógica de predicados de primer orden lógica de predicados monádicos lógica proposicional Introducción lógica de predicados de orden superior lógica de predicados de primer orden lógica de predicados monádicos lógica proposicional Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 6/152 Motivación Ejemplo Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es mortal. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 7/152 Motivación Ejemplo Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es mortal. 𝑃 : Todos los hombres son mortales 𝐻: Socrátes es humano 𝑀 : Socrátes es mortal Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 8/152 Motivación Ejemplo Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es mortal. 𝑃 : Todos los hombres son mortales 𝐻: Socrátes es humano 𝑀 : Socrátes es mortal El argumento 1 𝑃 2 𝐻 /∴ 𝑀 es inválido. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 9/152 Motivación Ejemplo Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es mortal. 𝑃 : Todos los hombres son mortales 𝐻: Socrátes es humano 𝑀 : Socrátes es mortal El argumento 1 𝑃 2 𝐻 /∴ 𝑀 es inválido. La validez del argumento depende de la estructura interna de los enunciados simples. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 10/152 Proposiciones singulares Convenciones Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡 Atributos (predicados): Letras mayúsculas Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 11/152 Proposiciones singulares Convenciones Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡 Atributos (predicados): Letras mayúsculas Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧 Proposición singular Sujeto + atributo/predicado Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 12/152 Proposiciones singulares Convenciones Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡 Atributos (predicados): Letras mayúsculas Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧 Proposición singular Sujeto + atributo/predicado Ejemplos Socrátes es mortal 𝑠: Sócrates 𝑀 𝑥: 𝑥 es mortal 𝑀 𝑠: Sócrates es mortal Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 13/152 Proposiciones singulares Convenciones Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡 Atributos (predicados): Letras mayúsculas Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧 Proposición singular Sujeto + atributo/predicado Ejemplos Socrátes es mortal 𝑠: Sócrates 𝑀 𝑥: 𝑥 es mortal 𝑀 𝑠: Sócrates es mortal Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 𝐻𝑥: 𝑥 es humano 𝐻𝑎, 𝐻𝑏, 𝐻𝑐, … 14/152 Funciones proposicionales Función proposicional Expresiones que contienen variables individuales. No son ni verdaderas ni falsas. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 15/152 Funciones proposicionales Función proposicional Expresiones que contienen variables individuales. No son ni verdaderas ni falsas. Lógica de predicados monádicos Los predicados sólo tienen una variable. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 16/152 Funciones proposicionales: Instanciación Instanciación El proceso de obtener una proposición singular a partir de una función proposicional sustituyendo las variables por constantes. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 17/152 Funciones proposicionales: Instanciación Instanciación El proceso de obtener una proposición singular a partir de una función proposicional sustituyendo las variables por constantes. Ejemplo 𝐻𝑥: 𝑥 es humano 𝐻𝑠 es una instancia de sustitución de 𝐻𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 18/152 Funciones proposicionales: Generalización Proposición general Una proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene a partir de una función proposicional por generalización (cuantificación). Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 19/152 Funciones proposicionales: Generalización Proposición general Una proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene a partir de una función proposicional por generalización (cuantificación). Cuantificadores (∀𝑥): Cuantificador universal (∃𝑥): Cuantificador existencial Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 20/152 Funciones proposicionales: Generalización Proposición general Una proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene a partir de una función proposicional por generalización (cuantificación). Cuantificadores (∀𝑥): Cuantificador universal (∃𝑥): Cuantificador existencial Notación: Copi [1998], Hurley [2012] y LogicCoach 11 usan la notación ‘(𝑥)’ en lugar de la notación ‘(∀𝑥)’. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 21/152 Funciones proposicionales: Generalización Ejemplo Todo es mortal, Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 22/152 Funciones proposicionales: Generalización Ejemplo Todo es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal, Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 23/152 Funciones proposicionales: Generalización Ejemplo Todo es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥, Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 24/152 Funciones proposicionales: Generalización Ejemplo Todo es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥, (∀𝑥)𝑀 𝑥. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 25/152 Funciones proposicionales: Generalización Ejemplo Todo es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥, (∀𝑥)𝑀 𝑥. Ejemplo Algo es mortal, Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 26/152 Funciones proposicionales: Generalización Ejemplo Todo es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥, (∀𝑥)𝑀 𝑥. Ejemplo Algo es mortal, existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal, Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 27/152 Funciones proposicionales: Generalización Ejemplo Todo es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥, (∀𝑥)𝑀 𝑥. Ejemplo Algo es mortal, existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal, existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀 𝑥, Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 28/152 Funciones proposicionales: Generalización Ejemplo Todo es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal, dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥, (∀𝑥)𝑀 𝑥. Ejemplo Algo es mortal, existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal, existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀 𝑥, (∃𝑥)𝑀 𝑥. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 29/152 Verdad de las proposiciones generales La cuantificación universal de una función proposicional es verdadera cuando todas sus instancias de sustitución son verdades. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 30/152 Verdad de las proposiciones generales La cuantificación universal de una función proposicional es verdadera cuando todas sus instancias de sustitución son verdades. La cuantificación existencial de una función proposicional es verdadera cuando al menos una instancia de sustitución es verdadera. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 31/152 Negación de las proposiciones generales Ejemplos Proposición general Negación Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 32/152 Negación de las proposiciones generales Ejemplos Proposición general Negación Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥 Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀 𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 33/152 Negación de las proposiciones generales Ejemplos Proposición general Negación Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥 Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀 𝑥 Algo es mortal: (∃𝑥)𝑀 𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 34/152 Negación de las proposiciones generales Ejemplos Proposición general Negación Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥 Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀 𝑥 Algo es mortal: (∃𝑥)𝑀 𝑥 Nada es mortal: (∀𝑥)∼𝑀 𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 35/152 Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y existencial Convenciones Existe al menos un individuo. Φ: Representa cualquier símbolo de atributo/predicado (variable predicativa). Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 36/152 Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y existencial (∀𝑥)Φ𝑥 contrarias (∀𝑥)∼Φ𝑥 co n s ria o icdt i rad ctor t n ias co tra (∃𝑥)Φ𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos subcontrarias (∃𝑥)∼Φ𝑥 37/152 Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y existencial (∀𝑥)Φ𝑥 contrarias (∀𝑥)∼Φ𝑥 co n s ria o icdt i rad ctor t n ias co tra (∃𝑥)Φ𝑥 subcontrarias (∃𝑥)∼Φ𝑥 Relaciones Proposiciones contrarias: Ambas pueden ser falsas, pero no pueden ser ambas verdaderas. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 38/152 Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y existencial (∀𝑥)Φ𝑥 contrarias (∀𝑥)∼Φ𝑥 co n s ria o icdt i rad ctor t n ias co tra (∃𝑥)Φ𝑥 subcontrarias (∃𝑥)∼Φ𝑥 Relaciones Proposiciones subcontrarias: Ambas pueden ser verdaderas, pero no pueden ambas ser falsas. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 39/152 Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y existencial (∀𝑥)Φ𝑥 contrarias (∀𝑥)∼Φ𝑥 co n s ria o icdt i rad ctor t n ias co tra (∃𝑥)Φ𝑥 subcontrarias (∃𝑥)∼Φ𝑥 Relaciones Proposiciones contradictorias: Una debe ser verdadera y la otra falsa. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 40/152 Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y existencial (∀𝑥)Φ𝑥 contrarias (∀𝑥)∼Φ𝑥 co n s ria o icdt i rad ctor t n ias co tra (∃𝑥)Φ𝑥 subcontrarias (∃𝑥)∼Φ𝑥 Relaciones En cada lado, la verdad de la proposición más baja es implicada por la verdad de la proposición de arriba. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 41/152 Alcance de un cuantificador Ejemplo (1) es diferente a (2): Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥) (1) (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥 (2) 42/152 Alcance de un cuantificador Ejemplo (1) es diferente a (2): (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥) (1) (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥 (2) La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥 Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏, … Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 43/152 Alcance de un cuantificador Ejemplo (1) es diferente a (2): (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥) (1) (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥 (2) La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥 Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏, … (2) es una función proposicional Instancias de substitución: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑎, (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑏, … Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 44/152 Alcance de un cuantificador Ejemplo (1) es diferente a (2): (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥) (1) (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥 (2) La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥 Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏, … (2) es una función proposicional Instancias de substitución: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑎, (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑏, … Convención Un cuantificador tiene como alcance, la más pequeña de las componentes que la puntuación permita. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 45/152 Proposiciones generales “tradicionales” Afirmativa universal (A) Negativa universal (E) Afirmativa particular (I) Negativa particular (O) Ejemplos (A) (E) (I) (O) Todos los humanos son mortales Ningún humano es mortal Algunos humanos son mortales Algunos humanos no son mortales Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥) (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝑀 𝑥) (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝑀 𝑥) (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝑀 𝑥) 46/152 Proposiciones generales “tradicionales” Afirmativa universal (A) Negativa universal (E) Afirmativa particular (I) Negativa particular (O) Ejemplos (A) (E) (I) (O) Todos los humanos son mortales Ningún humano es mortal Algunos humanos son mortales Algunos humanos no son mortales (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥) (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝑀 𝑥) (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝑀 𝑥) (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝑀 𝑥) Observación: Mirar la figura en Copi [1998, pág. 92]. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 47/152 Representación de enunciados Ejemplo Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 48/152 Representación de enunciados Ejemplo Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Todos los miembros son padres o ingenieros. 𝑀 𝑥: 𝑥 es miembro 𝑃 𝑥: 𝑥 es padre 𝐼𝑥: 𝑥 es ingeniero (∀𝑥)[𝑀 𝑥 ⊃ (𝑃 𝑥 ∨ 𝐼𝑥)] Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 49/152 Representación de enunciados Ejemplo Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Algunos senadores son o desleales o mal aconsejados. 𝑆𝑥: 𝑥 es senador 𝐷𝑥: 𝑥 es desleal 𝑀 𝑥: 𝑥 es mal aconsejado (∃𝑥)[𝑆𝑥 ∧ (𝐷𝑥 ∨ 𝑀 𝑥)] Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 50/152 Representación de enunciados Ejemplo Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Las manzanas y los plátanos son nutritivos. 𝑀 𝑥: 𝑥 es una manzana 𝑃 𝑥: 𝑥 es un plátano 𝑁 𝑥: 𝑥 es nutritivo [(∀𝑥)(𝑀 𝑥 ⊃ 𝑁 𝑥)] ∧ [(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝑁 𝑥)] (proposición general compuesta) (∀𝑥)[(𝑀 𝑥 ∨ 𝑃 𝑥) ⊃ 𝑁 𝑥] (proposición general simple) (∀𝑥)[(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ 𝑁 𝑥] (incorrecta!) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 51/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 94) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Los ejecutivos todos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene una secretaria.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 52/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 94) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Los ejecutivos todos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene una secretaria.) Representación: (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑆𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 53/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.5*, pág. 94) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Sólo los ejecutivos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene una secretaria.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 54/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.5*, pág. 94) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Sólo los ejecutivos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene una secretaria.) Representación: (∀𝑥)(𝑆𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 55/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.12, pág. 94) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Ningún visitante se quedó a cenar. (𝑉 𝑥: 𝑥 es un visitante. 𝐶𝑥: 𝑥 se quedó a cenar.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 56/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.12, pág. 94) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Ningún visitante se quedó a cenar. (𝑉 𝑥: 𝑥 es un visitante. 𝐶𝑥: 𝑥 se quedó a cenar.) Representación: ∼(∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝐶𝑥) o (∀𝑥)(𝑉 𝑥 ⊃ ∼𝐶𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 57/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.13, pág. 94) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Nada en la casa escapó a la destrucción. (𝐶𝑥: 𝑥 estaba en la casa. 𝐸𝑥: 𝑥 escapó a la destrucción.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 58/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.13, pág. 94) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Nada en la casa escapó a la destrucción. (𝐶𝑥: 𝑥 estaba en la casa. 𝐸𝑥: 𝑥 escapó a la destrucción.) Representación: (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ ∼𝐸𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 59/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.16, pág. 95) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Algunos medicamentos son peligrosos sólo si se toman en cantidades excesivas. (𝑀 𝑥: 𝑥 es un medicamento. 𝑃 𝑥: 𝑥 es peligroso. 𝐸𝑥: 𝑥 se toma en cantidades excesivas.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 60/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.16, pág. 95) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Algunos medicamentos son peligrosos sólo si se toman en cantidades excesivas. (𝑀 𝑥: 𝑥 es un medicamento. 𝑃 𝑥: 𝑥 es peligroso. 𝐸𝑥: 𝑥 se toma en cantidades excesivas.) Representación: (∃𝑥)[𝑀 𝑥 ∧ (𝑃 𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)] Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 61/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 95) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Todas las frutas y las verduras son sanas y nutritivas. (𝐹 𝑥: 𝑥 es una fruta. 𝑉 𝑥: 𝑥 es una verdura. 𝑆𝑥: 𝑥 es sana. 𝑁 𝑥: 𝑥 es nutritiva.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 62/152 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 95) Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren. Todas las frutas y las verduras son sanas y nutritivas. (𝐹 𝑥: 𝑥 es una fruta. 𝑉 𝑥: 𝑥 es una verdura. 𝑆𝑥: 𝑥 es sana. 𝑁 𝑥: 𝑥 es nutritiva.) Representación: (∀𝑥)[(𝐹 𝑥 ∨ 𝑉 𝑥) ⊃ (𝑆𝑥 ∧ 𝑁 𝑥)] Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 63/152 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 107) Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Todos los novelistas son observadores. Algunos poetas no son observadores. Por lo tanto, ningún novelista es poeta. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 64/152 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 107) Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Todos los novelistas son observadores. Algunos poetas no son observadores. Por lo tanto, ningún novelista es poeta. 𝑁 𝑥: 𝑥 es un novelista 𝑂𝑥: 𝑥 es observador 𝑃 𝑥: 𝑥 es un poeta Representación: 1 (∀𝑥)[𝑁 𝑥 ⊃ 𝑂𝑥] 2 (∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝑂𝑥) /∴ ∼(∃𝑥)(𝑁 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) Una forma alternativa de representar la conclusión es (∀𝑥)(𝑁 𝑥 ⊃ ∼𝑃 𝑥). Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 65/152 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 107) Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Todos los estadistas son inteligentes. Algunos políticos son inteligentes. No todos los políticos son inteligentes. Luego, todos los estadistas son políticos. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 66/152 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 107) Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Todos los estadistas son inteligentes. Algunos políticos son inteligentes. No todos los políticos son inteligentes. Luego, todos los estadistas son políticos. 𝐸𝑥: 𝑥 es un estadista 𝐼𝑥: 𝑥 es inteligente 𝑃 𝑥: 𝑥 es un político Representación: 1 (∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ 𝐼𝑥] 2 (∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ 𝐼𝑥) 3 ∼(𝑉 𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐼𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) Una forma alternativa de representar la tercera premisa es Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 67/152 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 107) Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Todos los estadistas son políticos. Algunos estadistas son inteligentes. Algunos políticos no son estadistas. Luego, algunos políticos no son inteligentes. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 68/152 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 107) Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Todos los estadistas son políticos. Algunos estadistas son inteligentes. Algunos políticos no son estadistas. Luego, algunos políticos no son inteligentes. 𝐸𝑥: 𝑥 es un estadista 𝐼𝑥: 𝑥 es inteligente 𝑃 𝑥: 𝑥 es un político Representación: 1 (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) 2 (∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝐼𝑥) 3 (∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝐸𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 69/152 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 107) Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Los caballos y las vacas son mamíferos. Algunos animales son mamíferos. Algunos animales no son mamíferos. Luego todos los caballos son animales. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 70/152 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 107) Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Los caballos y las vacas son mamíferos. Algunos animales son mamíferos. Algunos animales no son mamíferos. Luego todos los caballos son animales. 𝐶𝑥: 𝑥 es un caballo 𝑉 𝑥: 𝑥 es una vaca 𝑀 𝑥: 𝑥 es una mamífero 𝐴𝑥: 𝑥 es un animal Representación: 1 (∀𝑥)[(𝐶𝑥 ∨ 𝑉 𝑥) ⊃ 𝑀 𝑥] 2 (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝑀 𝑥) 3 (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ ∼𝑀 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐴𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 71/152 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 108) Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Sólo los ciudadanos votan. No todos los residentes son ciudadanos. Luego algunos que votan no son residentes. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 72/152 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 108) Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos. Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas. Sólo los ciudadanos votan. No todos los residentes son ciudadanos. Luego algunos que votan no son residentes. 𝐶𝑥: 𝑥 es un ciudadano 𝑉 𝑥: 𝑥 vota 𝑅𝑥: 𝑥 es residente Representación: 1 (∀𝑥)[𝑉 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥] 2 ∼(∀𝑥)(𝑅𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ ∼𝑅𝑥) Una forma alternativa de representar la segunda premisa es (∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝑅𝑥). Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 73/152 Proposiciones generales y número de individuos Supuesto de la lógica de predicados Existe al menos un individuo. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 74/152 Proposiciones generales y número de individuos Supuesto de la lógica de predicados Existe al menos un individuo. 𝑐 Notación: 𝑝 ∷ 𝑞 significa que 𝑝 es condicionalmente lógicamente equivalente a 𝑞. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 75/152 Proposiciones generales y número de individuos Si hay exactamente un individuo 𝑎: 𝑐 (∀𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎, 𝑐 (∃𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 76/152 Proposiciones generales y número de individuos Si hay exactamente un individuo 𝑎: 𝑐 (∀𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎, 𝑐 (∃𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎. Si hay exactamente dos individuos 𝑎 y 𝑏: 𝑐 (∀𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏), 𝑐 (∃𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏). Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 77/152 Proposiciones generales y número de individuos Si hay exactamente un individuo 𝑎: 𝑐 (∀𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎, 𝑐 (∃𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎. Si hay exactamente dos individuos 𝑎 y 𝑏: 𝑐 (∀𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏), 𝑐 (∃𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏). Si hay exactamente 𝑘 individuos 𝑎, 𝑏, … , 𝑘: 𝑐 (∀𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏 ∧ ⋯ ∧ Φ𝑘), 𝑐 (∃𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏 ∨ ⋯ ∨ Φ𝑘). Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 78/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Validez de Argumentos “Un argumento que involucra cuantificadores es válido si y sólo si es válido no importando cuántos individuos hay, siempre que haya cuando menos uno.”1 1 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 103. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 79/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 80/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Para un individuo 𝑎: (𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) (𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 81/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Para un individuo 𝑎: (𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) (𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) 𝐵𝑎 𝐸𝑎 𝑃𝑎 /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 Validez 82/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Para un individuo 𝑎: (𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) (𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) 𝐵𝑎 𝐸𝑎 𝑃𝑎 /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎 T Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎 T 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 F Validez 83/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Para un individuo 𝑎: (𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) (𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) 𝐵𝑎 T 𝐸𝑎 F 𝑃𝑎 /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎 T Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎 T 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 F Validez 84/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Para un individuo 𝑎: (𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) (𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) 𝐵𝑎 T 𝐸𝑎 F 𝑃𝑎 T /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎 T Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎 T 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 F Validez 85/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Para un individuo 𝑎: (𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) (𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) 𝐵𝑎 T 𝐸𝑎 F 𝑃𝑎 T /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎 T 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎 T 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 F Validez × El argumento es inválido! Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 86/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo tanto, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 87/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo tanto, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Para un individuo 𝑎 el argumento es válido. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 88/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo tanto, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Para dos individuos 𝑎 y 𝑏: (𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃 𝑏) (𝐸𝑎 ∧ 𝑃 𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏) 89/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo tanto, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Para dos individuos 𝑎 y 𝑏: (𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃 𝑏) (𝐸𝑎 ∧ 𝑃 𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏) El argumento es inválido para la asignación: Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 90/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo tanto, todas las ballenas son elefantes. (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) (∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) Para dos individuos 𝑎 y 𝑏: (𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃 𝑏) (𝐸𝑎 ∧ 𝑃 𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏) El argumento es inválido para la asignación: 𝐵𝑎 T Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 𝐵𝑏 T 𝐸𝑎 F 𝐸𝑏 T 𝑃𝑎 T 𝑃𝑏 T 91/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 107) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝐼𝑥) (∃𝑥)(𝐽 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐽 𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 92/152 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 107) Demuestre que el siguiente argumento es inválido: (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝐼𝑥) (∃𝑥)(𝐽 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐽 𝑥) El argumento es inválido con dos individuos 𝑎 y 𝑏 y la asignación: 𝐻𝑎 T Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 𝐼𝑎 F 𝐽𝑎 F 𝐻𝑏 T 𝐼𝑏 F 𝐽𝑏 T 93/152 Invalidez de argumentos empleando universos finitos Ejemplo Demuestre que el siguiente argumento es inválido: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ (∀𝑥)𝑀 𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥) 94/152 Invalidez de argumentos empleando universos finitos Ejemplo Demuestre que el siguiente argumento es inválido: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ (∀𝑥)𝑀 𝑥 /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥) El argumento es inválido con dos individuos 𝑎 y 𝑏: 𝐻𝑎 T 𝐻𝑏 F 𝑀𝑎 F 𝑀𝑏 F (𝐻𝑎 ∧ 𝐻𝑏) ⊃ (𝑀 𝑎 ∧ 𝑀 𝑏) T Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos (𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎) ∧ (𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏) F Validez × 95/152 Decidibilidad de la lógica de predicados monádicos Teorema “Si un argumento contiene 𝑛 símbolos de predicados diferentes, entonces, si es válido para un modelo que contenga 2𝑛 individuos, entonces es válido en cualquier modelo, o universalmente válido.”2 2 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 106. Ackermann [1954, pág. 35] menciona que la prueba original es de Löwenheim [1915]. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 96/152 Decidibilidad de la lógica de predicados monádicos Teorema “Si un argumento contiene 𝑛 símbolos de predicados diferentes, entonces, si es válido para un modelo que contenga 2𝑛 individuos, entonces es válido en cualquier modelo, o universalmente válido.”2 Observación: El teorema anterior sólo es válido para símbolos de predicados monádicos. 2 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 106. Ackermann [1954, pág. 35] menciona que la prueba original es de Löwenheim [1915]. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 97/152 Variables libres y ligadas Definición (Variable libre) Una variable que no se encuentra dentro del alcance de un cuantificador. Definición (Variable ligada) Una variable que se encuentra dentro del alcance de un cuantificador. Ejemplos (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥: La primera, segunda y tercera ocurrencia de 𝑥 están ligadas. La cuarta ocurrencia de 𝑥 está libre.3 3 Para Copi [1998], la primera ocurrencia de la variable 𝑥 ocurre en (∀𝑥). Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 98/152 Variables libres y ligadas Definición (Variable libre) Una variable que no se encuentra dentro del alcance de un cuantificador. Definición (Variable ligada) Una variable que se encuentra dentro del alcance de un cuantificador. Ejemplos (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥: La primera, segunda y tercera ocurrencia de 𝑥 están ligadas. La cuarta ocurrencia de 𝑥 está libre.3 (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐶𝑥): La primera, segunda y tercera ocurrencia de 𝑥 están ligadas al cuantificador universal. La cuarta, quinta y sexta ocurrencia de 𝑥 están ligadas al cuantificador existencial. 3 Para Copi [1998], la primera ocurrencia de la variable 𝑥 ocurre en (∀𝑥). Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 99/152 Funciones proposicionales Función proposicional Expresiones que contienen al menos una variable libre. Proposiciones Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 100/152 Funciones proposicionales Función proposicional Expresiones que contienen al menos una variable libre. Proposiciones Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada. Ejemplos Las funciones proposicionales pueden contener: Proposiciones singulares: 𝐹 𝑎 ∧ 𝐺𝑎 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 101/152 Funciones proposicionales Función proposicional Expresiones que contienen al menos una variable libre. Proposiciones Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada. Ejemplos Las funciones proposicionales pueden contener: Proposiciones singulares: 𝐹 𝑎 ∧ 𝐺𝑎 Proposiciones generales: (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 102/152 Funciones proposicionales Función proposicional Expresiones que contienen al menos una variable libre. Proposiciones Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada. Ejemplos Las funciones proposicionales pueden contener: Proposiciones singulares: 𝐹 𝑎 ∧ 𝐺𝑎 Proposiciones generales: (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥 Varias variables libres: 𝐹 𝑢 ∧ 𝐺𝑣 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 103/152 Instanciación de funciones proposicionales Regla Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partir de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cada ocurrencia libre de la misma variable. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 104/152 Instanciación de funciones proposicionales Regla Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partir de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cada ocurrencia libre de la misma variable. Ejemplo Función proposicional: 𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 105/152 Instanciación de funciones proposicionales Regla Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partir de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cada ocurrencia libre de la misma variable. Ejemplo Función proposicional: Instancia correcta: 𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥) 𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 106/152 Instanciación de funciones proposicionales Regla Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partir de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cada ocurrencia libre de la misma variable. Ejemplo Función proposicional: Instancia correcta: Instancia incorrecta: 𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥) 𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎) 𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 107/152 Instanciación de funciones proposicionales Regla Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partir de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cada ocurrencia libre de la misma variable. Ejemplo Función proposicional: Instancia correcta: Instancia incorrecta: Instancia correcta: 𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥) 𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎) 𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐) 𝐹 𝑐 ∨ (𝐺𝑐 ∧ 𝐻𝑐) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 108/152 Generalización de funciones proposicionales Ejemplo Función proposicional: 𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥 (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), … Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 109/152 Generalización de funciones proposicionales Ejemplo Función proposicional: 𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥 (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), … (∃𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∃𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∃𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), … Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 110/152 Generalización de funciones proposicionales Ejemplo Función proposicional: 𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥 (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), … (∃𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∃𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∃𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), … Ejemplo Función proposicional: 𝐹 𝑥 ∧ 𝐺𝑦 y (∀𝑦)(𝐹 𝑥 ∧ 𝐺𝑦) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 111/152 Prueba formal de validez Argumento 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 ∴𝐶 Prueba formal de validez 1 n n+1 n+m Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 /∴ 𝐶 𝑆1 ⋮ 𝑆𝑚 112/152 Prueba formal de validez Argumento 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 ∴𝐶 Prueba formal de validez 1 n n+1 n+m 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 /∴ 𝐶 𝑆1 ⋮ 𝑆𝑚 𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones, Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 113/152 Prueba formal de validez Argumento 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 ∴𝐶 Prueba formal de validez 1 n n+1 n+m 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 /∴ 𝐶 𝑆1 ⋮ 𝑆𝑚 𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones, cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional, Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 114/152 Prueba formal de validez Argumento 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 ∴𝐶 Prueba formal de validez 1 n n+1 n+m 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 /∴ 𝐶 𝑆1 ⋮ 𝑆𝑚 𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones, cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional, cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de las proposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla de inferencia o por una equivalencia lógica y Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 115/152 Prueba formal de validez Argumento 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 ∴𝐶 Prueba formal de validez 1 n n+1 n+m 𝑃1 ⋮ 𝑃𝑛 /∴ 𝐶 𝑆1 ⋮ 𝑆𝑚 𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones, cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional, cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de las proposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla de inferencia o por una equivalencia lógica y la última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 116/152 Inferencias con funciones proposicionales Nuestras reglas de inferencia trabajan con funciones proposicionales. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 117/152 Inferencias con funciones proposicionales Nuestras reglas de inferencia trabajan con funciones proposicionales. Ejemplo Aunque 𝐹 𝑥 y 𝐺𝑥 son funciones proposicionales, la siguiente inferencia es correcta: 42 𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥 43 𝐹𝑥 44 𝐺𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos MP 42, 43 118/152 Inferencias con funciones proposicionales Acerca de la validez ¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente se sigue de otras funciones proposionales? Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 119/152 Inferencias con funciones proposicionales Acerca de la validez ¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente se sigue de otras funciones proposionales? ¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente se sigue de ciertas proposiciones? Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 120/152 Inferencias con funciones proposicionales Acerca de la validez ¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente se sigue de otras funciones proposionales? ¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente se sigue de ciertas proposiciones? ¿En qué sentido puede decirse que una proposición válidamente se sigue de funciones proposionales? Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 121/152 Inferencias con funciones proposicionales Acerca de la validez ¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente se sigue de otras funciones proposionales? ¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente se sigue de ciertas proposiciones? ¿En qué sentido puede decirse que una proposición válidamente se sigue de funciones proposionales? Respuesta: Cuando cualquier instancia de sustitución produce un argumento válido. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 122/152 Reglas de inferencia Observación: Copi y Hurley presentan las reglas de inferencia gradualmente [Copi 1998, § 4.2 y § 4.5] y [Hurley 2012, § 8.2 y § 8.4]. Nuestra presentación corresponde a las reglas presentadas en Hurley [2012, § 8.4] (y usadas por LogicCoach) y éstas serán las reglas evaluadas. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 123/152 Reglas de inferencia Instanciación de cuantificadores “Instantiation is an operation that consists in deleting a quantifier and replacing every variable bound by that quantifier with the same instantial letter.”[Hurley 2012, pág. 452] Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 124/152 Reglas de inferencia Instanciación de cuantificadores “Instantiation is an operation that consists in deleting a quantifier and replacing every variable bound by that quantifier with the same instantial letter.”[Hurley 2012, pág. 452] Generalización de cuantificadores “Generalization... is an operation that consists in (1) introducing a quantifier immediately prior to a statement, a statement function, or another quantifier, and (2) replacing one or more occurrences of a certain instantial letter in the statement or statement function with the same variable that appears in the quantifier. For universal generalization, all occurrences of the instantial letter must be replaced with the variable in the quantifier, and for existential generalization, at least one of the instantial letters must be replaced with the variable in the quantifier.”[Hurley 2012, pág. 454-5] Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 125/152 Convenciones Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 126/152 Convenciones Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤 Atributos (predicados): Letras mayúsculas Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 127/152 Convenciones Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤 Atributos (predicados): Letras mayúsculas Variables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 128/152 Convenciones Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤 Atributos (predicados): Letras mayúsculas Variables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧 𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 129/152 Convenciones Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤 Atributos (predicados): Letras mayúsculas Variables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧 𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales 𝔉𝑎: Denota una proposición Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 130/152 Regla de inferencia: Instanciación universal Instanciación universal (UI) (∀𝑥)𝔉𝑥 𝔉𝑦 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos (∀𝑥)𝔉𝑥 𝔉𝑎 131/152 Regla de inferencia: Instanciación universal Instanciación universal (UI) (∀𝑥)𝔉𝑥 𝔉𝑦 (∀𝑥)𝔉𝑥 𝔉𝑎 Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 96) Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es mortal. 1 (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥) 2 𝐻𝑠 3 𝐻𝑠 ⊃ 𝑀 𝑠 UI 1 4 𝑀𝑠 MP 3, 2 /∴ 𝑀 𝑠 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 132/152 Regla de inferencia: Generalización existencial Generalización existencial (EG) 𝔉𝑎 (∃𝑥)𝔉𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 𝔉𝑦 (∃𝑥)𝔉𝑥 133/152 Regla de inferencia: Generalización existencial Generalización existencial (EG) 𝔉𝑎 (∃𝑥)𝔉𝑥 𝔉𝑦 (∃𝑥)𝔉𝑥 Ejemplo 1 (∀𝑥)𝐴𝑥 /∴ (∃𝑥)𝐴𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 134/152 Regla de inferencia: Generalización existencial Generalización existencial (EG) 𝔉𝑎 (∃𝑥)𝔉𝑥 𝔉𝑦 (∃𝑥)𝔉𝑥 Ejemplo 1 (∀𝑥)𝐴𝑥 /∴ (∃𝑥)𝐴𝑥 2 𝐴𝑥 UI 1 3 (∃𝑥)𝐴𝑥 EG 2 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 135/152 Regla de inferencia: Instanciación existencial Instanciación existencial (EI) (∃𝑥)𝔉𝑥 𝔉𝑎 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos Restricción: El individuo 𝑎 debe ser un individuo nuevo que no aparece en ningún renglón anterior (incluyendo el renglón de la conclusión del argumento). 136/152 Regla de inferencia: Instanciación existencial Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 123) 1 (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥) 2 (∃𝑦)𝐹 𝑦 3 𝐹𝑎 EI 2 4 𝐹 𝑎 ⊃ 𝐺𝑎 UI 1 5 𝐺𝑎 MP 4, 3 6 (∃𝑧)𝐺𝑧 EG 5 /∴ (∃𝑧)𝐺𝑧 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 137/152 Regla de inferencia: Generalización universal Generalización universal (UG) 𝔉𝑦 (∀𝑥)𝔉𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos Restricción: UG no debe ser usada dentro del alcance de un supuesto si la variable 𝑦 está libre en la línea donde se introdujo el supuesto. Restricción: UG no debe ser usada si la variable 𝑦 está libre en cualquier línea precedente obtenida por EI. 138/152 Regla de inferencia: Generalización universal Ejemplo (Hurley (2012), pág. 453) 1 (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐵𝑥) 2 (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) 3 𝐴𝑦 ⊃ 𝐵𝑦 UI 1 4 𝐵𝑦 ⊃ 𝐶𝑦 UI 2 5 𝐴𝑦 ⊃ 𝐶𝑦 HS 3, 4 6 (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) UG 5 /∴ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 139/152 Regla de inferencia: Generalización universal Ejemplo 1 (∃𝑥)𝐹 𝑥 2 𝐹𝑎 EI 1 3 (∀𝑥)𝐹 𝑥 UG 2 Error! Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos /∴ (∀𝑥)𝐹 𝑥 140/152 Regla de inferencia: Generalización universal Ejemplo 1 (∃𝑥)𝐹 𝑥 /∴ (∀𝑥)𝐹 𝑥 2 𝐹𝑎 EI 1 3 (∀𝑥)𝐹 𝑥 UG 2 Error! Error: La letra instanciada es una constante. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 141/152 Reglas de inferencia Observación: Las reglas de inferencia UI, UG, EI y EU son reglas de “renglón completo”. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 142/152 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 101) Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento: 1 2 (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ ∼𝐺𝑥) (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝐺𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹 𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 143/152 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 101) Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ ∼𝐺𝑥) (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝐺𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹 𝑥) 𝐻𝑎 ∧ 𝐺𝑎 𝐹 𝑎 ⊃ ∼𝐺𝑎 𝐻𝑎 𝐺𝑎 ∼∼𝐺𝑎 ∼𝐹 𝑎 𝐻𝑎 ∧ ∼𝐹 𝑎 (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹 𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos EI 2 UI 1 Simp 3 Simp 3 DN 6 MT 4, 7 Conj 5, 8 EG 9 144/152 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Hurley (2012), pág. 459) Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento: 1 2 3 [(∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥] ⊃ 𝐶𝑗 (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥) (∃𝑥)(𝐵𝑥 ∧ 𝐸𝑥) /∴ 𝐶𝑗 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 145/152 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Hurley (2012), pág. 459) Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [(∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥] ⊃ 𝐶𝑗 (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥) (∃𝑥)(𝐵𝑥 ∧ 𝐸𝑥) /∴ 𝐶𝑗 𝐴𝑚 ∧ 𝐷𝑚 𝐵𝑛 ∧ 𝐸𝑛 𝐴𝑚 𝐵𝑛 (∃𝑥)𝐴𝑥 (∃𝑥)𝐵𝑥 (∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥 𝐶𝑗 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos EI 2 EI 3 Simp 4 Simp 5 EG 6 EG 7 Conj 8, 9 MP 1, 10 146/152 Regla de inferencia: Cambio de cuantificador Cambio de cuantificador (CQ: Change of Quantifier) (∀𝑥)𝔉𝑥 ∷ ∼(∃𝑥)∼𝔉𝑥 ∼(∀𝑥)𝔉𝑥 ∷ (∃𝑥)∼𝔉𝑥 (∀𝑥)∼𝔉𝑥 ∷ ∼(∃𝑥)𝔉𝑥 ∼(∀𝑥)∼𝔉𝑥 ∷ (∃𝑥)𝔉𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 147/152 Verdades lógicas que involucran cuantificadores Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 134) Demostrar que [(∀𝑥)𝐹 𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥)] ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥). Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 148/152 Verdades lógicas que involucran cuantificadores Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 134) Demostrar que [(∀𝑥)𝐹 𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥)] ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥). Primera parte 1 (∀𝑥)𝐹 𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥 /∴ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥) 2 (∀𝑥)𝐹 𝑥 ACP 3 𝐹𝑦 UI 2 4 𝐹 𝑦 ∨ 𝐺𝑦 Add 3 5 (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥) UG 4 6 (∀𝑥)𝐹 𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos CP 2–5 149/152 Verdades lógicas que involucran cuantificadores Ejemplo (continuación) Segunda parte 7 (∀𝑥)𝐺𝑥 ACP 8 𝐺𝑦 UI 7 9 𝐹 𝑦 ∨ 𝐺𝑦 Add 8 (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥) UG 9 10 11 (∀𝑥)𝐺𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos CP 7–10 150/152 Verdades lógicas que involucran cuantificadores Ejemplo (continuación) Finalmente 12 [(∀𝑥)𝐹 𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)] ∧ [(∀𝑥)𝐺𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)] Conj 6, 11 13 [(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)] ∨ [(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)] CD 12, 1 14 (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥) Taut 13 Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 151/152 Referencias Ackermann, W. (1954). Solvable Cases of the Decision Problem. North-Holland Publishing Company. Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental. Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth, Cengage Learning. Löwenheim, Leopold (1915). Über Möglichkeiten im Relativkalkül. Mathematische Annalen 76.4, págs. 447-470. Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 152/152 Lógica - CM0260 La lógica de las relaciones Andrés Sicard Ramírez Universidad EAFIT Semestre 2015-2 Contexto Lógica de predicados (de primer orden) Predicados monádicos (atributos) Predicados poliádicos (relaciones) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 2/112 Motivación Deaño [1994] comienza la sección acerca de la lógica de las relaciones con el siguiente ejemplo:1 Ejemplo “Soy detective privado y tengo mi licencia desde hace bastante tiempo. Soy un tipo solitario, no estoy casado, estoy entrando en la edad madura y no soy rico. He estado en la cárcel más de una vez y no me ocupo de divorcios. Me gusta la bebida, las mujeres (…) y algunas otras cosas. No soy muy del agrado de los polizontes (…). Soy hijo natural, mis padres han muerto, no tengo hermanos ni hermanas, y si alguna vez llegan a dejarme tieso en una callejuela oscura (…), nadie, ni hombre ni mujer, sentirá que ha desaparecido el motivo y fundamento de su vida.”2 1 Deaño, Alfredo (1994). Introducción a la Lógica Formal, págs. 237–8. Raymon Chandler (1972). El largo adiós. Versión castellana de J. A. Lara. Barral Editores, pág. 114. 2 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 3/112 Motivación Ejemplo (continuación) Dicho de otro modo: 𝐷𝑎 ∧ 𝑇 𝑎 ∧ 𝑆𝑎 ∧ ∼(∀𝑥)𝐶𝑎𝑥 ∧ 𝐸𝑎 ∧ ∼𝑅𝑎 ∧ 𝐸 ′ 𝑎 ∧ (∀𝑥)(𝐷′ 𝑥 ⊃ ∼𝑂𝑎𝑥)∧(∃𝑥)(∃𝑦)(∃𝑧)(∃𝑤)(𝐵𝑥∧𝑀 𝑦 ∧∼𝐵𝑧 ∧∼𝑀 𝑧 ∧∼𝐵𝑤∧ ∼𝑀 𝑤 ∧ 𝐺𝑥𝑎 ∧ 𝐺𝑦𝑎 ∧ 𝐺𝑧𝑎 ∧ 𝐺𝑤𝑎) ∧ (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ ∼𝐴𝑎𝑥) ∧ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥𝑎 ∧ 𝑀 𝑦𝑎) ⊃ ∼𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝑀 ′ 𝑥 ∧ 𝑀 ′ 𝑦] ∧ ∼(∃𝑥)∼(∃𝑦)[𝐻𝑥 ∧ 𝑀 𝑦 ∧ (𝐻𝑥𝑎 ∨ 𝐻𝑦𝑎)] ∧ (∃𝑥)(𝑇 ′ 𝑥𝑎 ⊃ ∼(∃𝑦)[(𝐻𝑦 ∨ 𝑀 𝑦) ∧ 𝑆 ′ 𝑦)]. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 4/112 Motivación Ejemplo (continuación) Dicho de otro modo: 𝐷𝑎 ∧ 𝑇 𝑎 ∧ 𝑆𝑎 ∧ ∼(∀𝑥)𝐶𝑎𝑥 ∧ 𝐸𝑎 ∧ ∼𝑅𝑎 ∧ 𝐸 ′ 𝑎 ∧ (∀𝑥)(𝐷′ 𝑥 ⊃ ∼𝑂𝑎𝑥)∧(∃𝑥)(∃𝑦)(∃𝑧)(∃𝑤)(𝐵𝑥∧𝑀 𝑦 ∧∼𝐵𝑧 ∧∼𝑀 𝑧 ∧∼𝐵𝑤∧ ∼𝑀 𝑤 ∧ 𝐺𝑥𝑎 ∧ 𝐺𝑦𝑎 ∧ 𝐺𝑧𝑎 ∧ 𝐺𝑤𝑎) ∧ (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ ∼𝐴𝑎𝑥) ∧ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥𝑎 ∧ 𝑀 𝑦𝑎) ⊃ ∼𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝑀 ′ 𝑥 ∧ 𝑀 ′ 𝑦] ∧ ∼(∃𝑥)∼(∃𝑦)[𝐻𝑥 ∧ 𝑀 𝑦 ∧ (𝐻𝑥𝑎 ∨ 𝐻𝑦𝑎)] ∧ (∃𝑥)(𝑇 ′ 𝑥𝑎 ⊃ ∼(∃𝑦)[(𝐻𝑦 ∨ 𝑀 𝑦) ∧ 𝑆 ′ 𝑦)]. (𝐷𝑥: 𝑥 es detective privado. 𝑇 𝑥: 𝑥 tiene su licencia desde hace bastante tiempo. 𝑆𝑥: 𝑥 es un tipo solitario. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 está casado con 𝑦. 𝐸𝑥: 𝑥 está entrando en la edad madura. 𝑅𝑥: 𝑥 es rico. 𝐸 ′ 𝑥: 𝑥 ha estado en la cárcel más de una vez. 𝐷′ 𝑥: 𝑥 es un divorcio. 𝑂𝑥𝑦: 𝑥 se ocupa de 𝑦. 𝐵𝑥: 𝑥 es una bebida. 𝑀 𝑥: 𝑥 es una mujer. 𝐺𝑥𝑦: 𝑥 le gusta a 𝑦. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un polizonte. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 no es muy del agrado de 𝑦. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es padre de 𝑦. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es madre de 𝑦. 𝑀 ′ 𝑥: 𝑥 está muerto. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝐻𝑥𝑦: 𝑥 es hermano(a) de 𝑦. 𝑇 𝑥𝑦: 𝑥 deja tieso a 𝑦 en una callejuela oscura. 𝑆 ′ 𝑥: 𝑥 siente que ha desaparecido el motivo y fundamento de su vida. 𝑎: El individuo quien habla.) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 5/112 Motivación Ejemplo (continuación) “Es decir: 𝑎 es detective privado y 𝑎 tiene su licencia desde hace bastante tiempo y 𝑎 es un tipo solitario y no hay ningún 𝑥 tal que 𝑎 esté casado con 𝑥 y 𝑎 está entrando en la edad madura y 𝑎 no es rico y 𝑎 ha estado en la cárcel más de una vez y para todo 𝑥, si 𝑥 es un divorcio entonces 𝑎 no se ocupa de 𝑥 y hay algún 𝑥 tal que 𝑥 es una bebida y 𝑥 gusta a 𝑎 y hay algún 𝑦 tal que 𝑦 es una mujer e 𝑦 gusta a 𝑎 y hay algún 𝑧 y algún 𝑤 que no son bebidas ni mujeres y que gustan a 𝑎, y para todo 𝑥, si 𝑥 es un polizonte, entonces 𝑎 no es muy del agrado de 𝑥, y para todo 𝑥 y para todo 𝑦 si 𝑥 es padre de 𝑎 e 𝑦 es madre de 𝑎 entonces 𝑥 y 𝑦 no estuvieron casados y 𝑥 está muerto e 𝑦 está muerta, y no hay ningún 𝑥 ni ningún 𝑦 tales que si 𝑥 es varón e 𝑦 mujer, 𝑥 sea hermano de 𝑎 o 𝑦 sea hermana de 𝑎, y si hay algún 𝑥 tal que 𝑥 deja tieso a 𝑎 en una callejuela oscura, entonces no habrá ningún 𝑦, sea varón o sea mujer, que sienta que ha desaparecido el motivo y fundamento de su vida.” Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 6/112 Motivación Con base en el ejemplo anterior, Deaño [1994] concluye que si el lenguaje lógico no dispusiera de predicados poliádicos: Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 7/112 Motivación Con base en el ejemplo anterior, Deaño [1994] concluye que si el lenguaje lógico no dispusiera de predicados poliádicos: nadie podría relatar en él su vida, Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 8/112 Motivación Con base en el ejemplo anterior, Deaño [1994] concluye que si el lenguaje lógico no dispusiera de predicados poliádicos: nadie podría relatar en él su vida, tampoco sería posible traducir al simbolismo lógico los más sencillos enunciados de la ciencia. No sería posible enunciar siquiera que 2 es menor que 3, Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 9/112 Motivación Con base en el ejemplo anterior, Deaño [1994] concluye que si el lenguaje lógico no dispusiera de predicados poliádicos: nadie podría relatar en él su vida, tampoco sería posible traducir al simbolismo lógico los más sencillos enunciados de la ciencia. No sería posible enunciar siquiera que 2 es menor que 3, y muchos sería los razonamientos que, siendo formalmente válidos, se verían privados de su reconocimiento como tales. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 10/112 Relaciones Predicados Una variable libre: El predicado representa un atributo. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 11/112 Relaciones Predicados Una variable libre: El predicado representa un atributo. Dos variables libres: El predicado representa una relación binaria o diádica. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 12/112 Relaciones Predicados Una variable libre: El predicado representa un atributo. Dos variables libres: El predicado representa una relación binaria o diádica. Tres variables libres: El predicado representa una relación ternaria o triádica. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 13/112 Relaciones Predicados Una variable libre: El predicado representa un atributo. Dos variables libres: El predicado representa una relación binaria o diádica. Tres variables libres: El predicado representa una relación ternaria o triádica. 𝑛 variables libres: El predicado representa una relación 𝑛-ádica. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 14/112 Representación de enunciados Proposiciones sin cuantificadores Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 15/112 Representación de enunciados Proposiciones sin cuantificadores Ejemplo Lincon y Grant fueron presidentes. 𝑃 𝑥: 𝑥 fue presidente 𝑙: Lincon 𝑔: Grant Representación: 𝑃 𝑙 ∧ 𝑃 𝑔 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 16/112 Representación de enunciados Proposiciones sin cuantificadores Ejemplo Lincon y Grant fueron presidentes. 𝑃 𝑥: 𝑥 fue presidente 𝑙: Lincon 𝑔: Grant Representación: 𝑃 𝑙 ∧ 𝑃 𝑔 Ejemplo Lincon y Grant eran amigos. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 y 𝑦 eran amigos. Representación: 𝐴𝑙𝑔 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 17/112 Representación de enunciados Proposiciones sin cuantificadores Ejemplo Lincon y Grant fueron presidentes. 𝑃 𝑥: 𝑥 fue presidente 𝑙: Lincon 𝑔: Grant Representación: 𝑃 𝑙 ∧ 𝑃 𝑔 Ejemplo Lincon y Grant eran amigos. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 y 𝑦 eran amigos. Representación: 𝐴𝑙𝑔 Observación: 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 era amigo de 𝑦. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 18/112 Representación de enunciados Proposiciones con sólo un cuantificador Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 19/112 Representación de enunciados Proposiciones con sólo un cuantificador Ejemplo A Elena le gusta David. A cualquiera que le guste David le gusta Tomás. A Elena sólo le gustan los hombres bien parecidos. Por lo tanto, Tomás es un hombre bien parecido. 𝑒: Elena 𝑑: David 𝑡: Tomás 𝐺𝑥𝑦: A 𝑥 le gusta 𝑦 𝑃 𝑥: 𝑥 es un hombre bien parecido Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 20/112 Representación de enunciados Proposiciones con sólo un cuantificador Ejemplo A Elena le gusta David. A cualquiera que le guste David le gusta Tomás. A Elena sólo le gustan los hombres bien parecidos. Por lo tanto, Tomás es un hombre bien parecido. 𝑒: Elena 𝑑: David 𝑡: Tomás 𝐺𝑥𝑦: A 𝑥 le gusta 𝑦 𝑃 𝑥: 𝑥 es un hombre bien parecido 1 𝐺𝑒𝑑 2 (∀𝑥)(𝐺𝑥𝑑 ⊃ 𝐺𝑥𝑡) 3 (∀𝑥)(𝐺𝑒𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥) /∴ 𝑃 𝑡 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 21/112 Representación de enunciados Proposiciones con sólo un cuantificador (continuación) Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 22/112 Representación de enunciados Proposiciones con sólo un cuantificador (continuación) Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 𝑎 atrae todo (todo es atraído por 𝑎): (∀𝑥)𝐴𝑎𝑥 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 23/112 Representación de enunciados Proposiciones con sólo un cuantificador (continuación) Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 𝑎 atrae todo (todo es atraído por 𝑎): (∀𝑥)𝐴𝑎𝑥 𝑎 atrae algo (algo es atraído por 𝑎): (∃𝑥)𝐴𝑎𝑥 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 24/112 Representación de enunciados Proposiciones con sólo un cuantificador (continuación) Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 𝑎 atrae todo (todo es atraído por 𝑎): (∀𝑥)𝐴𝑎𝑥 𝑎 atrae algo (algo es atraído por 𝑎): (∃𝑥)𝐴𝑎𝑥 Todo atrae a 𝑎 (𝑎 es atraído por todo): (∀𝑥)𝐴𝑥𝑎 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 25/112 Representación de enunciados Proposiciones con sólo un cuantificador (continuación) Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 𝑎 atrae todo (todo es atraído por 𝑎): (∀𝑥)𝐴𝑎𝑥 𝑎 atrae algo (algo es atraído por 𝑎): (∃𝑥)𝐴𝑎𝑥 Todo atrae a 𝑎 (𝑎 es atraído por todo): (∀𝑥)𝐴𝑥𝑎 Algo atrae a 𝑎 (𝑎 es atraído por algo): (∃𝑥)𝐴𝑥𝑎 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 26/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 27/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 1 Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 28/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 1 Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦 2 Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 29/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 1 Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦 2 Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦 3 Algo atrae algo: (∃𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 30/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 1 Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦 2 Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦 3 Algo atrae algo: (∃𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 4 Algo es atraído por algo: (∃𝑦)(∃𝑥)𝐴𝑥𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 31/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 1 Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦 2 Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦 3 Algo atrae algo: (∃𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 4 Algo es atraído por algo: (∃𝑦)(∃𝑥)𝐴𝑥𝑦 5 Nada atrae cosa alguna: (∀𝑥)(∀𝑦)∼𝐴𝑥𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 32/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 1 Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦 2 Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦 3 Algo atrae algo: (∃𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 4 Algo es atraído por algo: (∃𝑦)(∃𝑥)𝐴𝑥𝑦 5 Nada atrae cosa alguna: (∀𝑥)(∀𝑦)∼𝐴𝑥𝑦 6 Nada es atraído por cosa alguna: (∀𝑦)(∀𝑥)∼𝐴𝑥𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 33/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 1 Todo atrae todo: (∀𝑥)(∀𝑦)𝐴𝑥𝑦 2 Todo es atraído por todo: (∀𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦 3 Algo atrae algo: (∃𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 4 Algo es atraído por algo: (∃𝑦)(∃𝑥)𝐴𝑥𝑦 5 Nada atrae cosa alguna: (∀𝑥)(∀𝑦)∼𝐴𝑥𝑦 6 Nada es atraído por cosa alguna: (∀𝑦)(∀𝑥)∼𝐴𝑥𝑦 Observación: El orden de cuantificadores iguales no importa. Las proposiciones 1 y 2 , 3 y 4 , y 5 y 6 son lógicamente equivalentes. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 34/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador (continuación) Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 35/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador (continuación) Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 7 Todo atrae algo: (∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 36/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador (continuación) Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 7 Todo atrae algo: (∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 8 Algo es atraído por todo: (∃𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 37/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador (continuación) Ejemplo 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 atrae a 𝑦 7 Todo atrae algo: (∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 8 Algo es atraído por todo: (∃𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦 Observación: El orden de cuantificadores diferentes importa. Las proposiciones 7 y 8 no son lógicamente equivalentes. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 38/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador (continuación) Ejemplo Proposición ℕ ℤ (∀𝑥)(∃𝑦) 𝑥 ≥ 𝑦 (∃𝑦)(∀𝑥) 𝑥 ≥ 𝑦 ✓ ✓ ✓ × Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 39/112 Representación de enunciados Proposiciones con más de un cuantificador (continuación) Ejemplo Proposición ℕ ℤ Proposición ℕ ℤ (∀𝑥)(∃𝑦) 𝑥 ≥ 𝑦 (∃𝑦)(∀𝑥) 𝑥 ≥ 𝑦 ✓ ✓ ✓ × (∀𝑦)(∃𝑥) 𝑥 ≥ 𝑦 (∃𝑥)(∀𝑦) 𝑥 ≥ 𝑦 ✓ × ✓ × Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 40/112 Representación de enunciados Ejemplo (Copi [1998], translación paso a paso, pág. 150) 1 Cualquiera que prometa todo a todos está seguro de decepcionar a alguien. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 41/112 Representación de enunciados Ejemplo (Copi [1998], translación paso a paso, pág. 150) 1 Cualquiera que prometa todo a todos está seguro de decepcionar a alguien. 2 (∀𝑥){[(𝑥 es una persona) ∧ (𝑥 promete todo a todos)] ⊃ [𝑥 decepciona a alguien]} Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 42/112 Representación de enunciados Ejemplo (Copi [1998], translación paso a paso, pág. 150) 1 Cualquiera que prometa todo a todos está seguro de decepcionar a alguien. 2 (∀𝑥){[(𝑥 es una persona) ∧ (𝑥 promete todo a todos)] ⊃ [𝑥 decepciona a alguien]} 3 𝑥 promete todo a todos: (∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃ (𝑥 promete todo a 𝑦)] es decir (∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃ (∀𝑧)(𝑥 promete 𝑧 a 𝑦)] Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 43/112 Representación de enunciados Ejemplo (Copi [1998], translación paso a paso, pág. 150) 1 Cualquiera que prometa todo a todos está seguro de decepcionar a alguien. 2 (∀𝑥){[(𝑥 es una persona) ∧ (𝑥 promete todo a todos)] ⊃ [𝑥 decepciona a alguien]} 3 𝑥 promete todo a todos: (∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃ (𝑥 promete todo a 𝑦)] es decir (∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃ (∀𝑧)(𝑥 promete 𝑧 a 𝑦)] 4 𝑥 decepciona a alguien: (∃𝑢)[(𝑢 es una persona) ∧ (𝑥 decepciona a 𝑢)] Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 44/112 Representación de enunciados Ejemplo (continuación) 5 (∀𝑥){{(𝑥 es una persona) ∧ (∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃ (∀𝑧)(𝑥 promete 𝑧 a 𝑦)]} ⊃ (∃𝑢)[(𝑢 es una persona) ∧ (𝑥 decepciona a 𝑢)]} Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 45/112 Representación de enunciados Ejemplo (continuación) 5 (∀𝑥){{(𝑥 es una persona) ∧ (∀𝑦)[(𝑦 es una persona) ⊃ (∀𝑧)(𝑥 promete 𝑧 a 𝑦)]} ⊃ (∃𝑢)[(𝑢 es una persona) ∧ (𝑥 decepciona a 𝑢)]} 6 (∀𝑥){{𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)[𝑃 𝑦 ⊃ (∀𝑧)𝑃 𝑥𝑧𝑦]} ⊃ (∃𝑢)(𝑃 𝑢 ∧ 𝐷𝑥𝑢)} (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝑃 𝑥𝑦𝑧: 𝑥 promete 𝑦 a 𝑧. 𝐷𝑥𝑦: 𝑥 decepciona a 𝑦.) Observación: Símbolos 𝑃 𝑥 y 𝑃 𝑥𝑦𝑧. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 46/112 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 154) Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados. Un león muerto es más peligroso que un perro vivo. (𝐿𝑥: 𝑥 es un león. 𝑉 𝑥: 𝑥 está vivo. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un perro. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es más peligro que 𝑦). Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 47/112 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 154) Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados. Un león muerto es más peligroso que un perro vivo. (𝐿𝑥: 𝑥 es un león. 𝑉 𝑥: 𝑥 está vivo. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un perro. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es más peligro que 𝑦). Representación: (∀𝑥)(∀𝑦){[(𝐿𝑥 ∧ ∼𝑉 𝑥) ∧ (𝑃 𝑦 ∧ 𝑉 𝑦)] ⊃ 𝑃 𝑥𝑦} Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 48/112 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 154) Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados. Cualquiera que consulte a un psiquiatra debiera hacerse examinar de la cabeza. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝑆𝑥: 𝑥 es un psiquiatra. 𝐷𝑥: 𝑥 debiera hacerse examinar de la cabeza. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 consulta a 𝑦.) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 49/112 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 154) Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados. Cualquiera que consulte a un psiquiatra debiera hacerse examinar de la cabeza. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝑆𝑥: 𝑥 es un psiquiatra. 𝐷𝑥: 𝑥 debiera hacerse examinar de la cabeza. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 consulta a 𝑦.) Representación: (∀𝑥){[𝑃 𝑥 ∧ (∃𝑦)(𝑆𝑦 ∧ 𝐶𝑥𝑦)] ⊃ 𝐷𝑥} Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 50/112 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.12, pág. 154) Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados. Todo estudiante hace algunos problemas pero ningún estudiante hace todos los problemas (𝐸𝑥: 𝑥 es un estudiante. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un problema. 𝐻𝑥𝑦: 𝑥 hace 𝑦.) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 51/112 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.12, pág. 154) Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados. Todo estudiante hace algunos problemas pero ningún estudiante hace todos los problemas (𝐸𝑥: 𝑥 es un estudiante. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un problema. 𝐻𝑥𝑦: 𝑥 hace 𝑦.) Representación: La palabra ‘pero’ indica que debemos representar la oración empleando una conjunción. ‘Todo estudiante hace algunos problemas’ se representa por: (∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∃𝑦)(𝑃 𝑦 ∧ 𝐻𝑥𝑦)]. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 52/112 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.12, pág. 154) Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados. Todo estudiante hace algunos problemas pero ningún estudiante hace todos los problemas (𝐸𝑥: 𝑥 es un estudiante. 𝑃 𝑥: 𝑥 es un problema. 𝐻𝑥𝑦: 𝑥 hace 𝑦.) Representación: La palabra ‘pero’ indica que debemos representar la oración empleando una conjunción. ‘Todo estudiante hace algunos problemas’ se representa por: (∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∃𝑦)(𝑃 𝑦 ∧ 𝐻𝑥𝑦)]. Observación: Una representación errónea sería (∀𝑥)(∃𝑦)[(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑦) ⊃ 𝐻𝑥𝑦)] (piense en un universo con un individuo 𝑎 tal que 𝐸𝑎 y ∼𝑃 𝑎). Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 53/112 Representación de enunciados Ejercicio (continuación) ‘Ningún estudiante hace todos los problemas’ se representa por: ∼(∃𝑥)[𝐸𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝐻𝑥𝑦)] o (∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∃𝑦)(𝑃 𝑦 ∧ ∼𝐻𝑥𝑦)]. Una representación de la oración es: (∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∃𝑦)(𝑃 𝑦 ∧ 𝐻𝑥𝑦)] ∧ ∼(∃𝑥)[𝐸𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝐻𝑥𝑦)]. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 54/112 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.14, pág. 154) Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados. Todo hijo tiene un padre, pero no todo padre tiene un hijo (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es padre de 𝑦.) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 55/112 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.14, pág. 154) Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados. Todo hijo tiene un padre, pero no todo padre tiene un hijo (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es padre de 𝑦.) Representación: La palabra ‘pero’ indica que debemos representar la oración empleando una conjunción. ‘Todo hijo tiene un padre’ se representa por: (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐻𝑥) ⊃ (∃𝑦)𝑃 𝑦𝑥]. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 56/112 Representación de enunciados Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.14, pág. 154) Simbolizar la siguiente oración usando los símbolos indicados. Todo hijo tiene un padre, pero no todo padre tiene un hijo (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es padre de 𝑦.) Representación: La palabra ‘pero’ indica que debemos representar la oración empleando una conjunción. ‘Todo hijo tiene un padre’ se representa por: (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐻𝑥) ⊃ (∃𝑦)𝑃 𝑦𝑥]. Observación: Una representación errónea sería (∀𝑥)(∃𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐻𝑥) ⊃ 𝑃 𝑦𝑥)] (piense en un universo con dos individuos 𝑎 y 𝑏 tal que ∼𝐻𝑎, 𝐻𝑏, ∼𝑃 𝑎, 𝑃 𝑏, 𝑃 𝑎𝑎, ∼𝑃 𝑎𝑏, ∼𝑃 𝑏𝑎 y ∼𝑃 𝑏𝑏). Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 57/112 Representación de enunciados Ejercicio (continuación) ‘No todo padre tiene un hijo’ se representa por: (∃𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥𝑦) ⊃ ∼𝐻𝑦] o ∼(∀𝑥)(∃𝑦)(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥𝑦 ∧ 𝐻𝑦). Una representación de la oración es: (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐻𝑥) ⊃ (∃𝑦)𝑃 𝑥𝑦] ∧ (∃𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥𝑦) ⊃ ∼𝐻𝑦]. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 58/112 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 159) Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados. Todos los círculos son figuras. Por lo tanto, todos los que trazan círculos trazan figuras. (𝐶𝑥: 𝑥 es un círculo. 𝐹 𝑥: 𝑥 es una figura. 𝑇 𝑥𝑦: 𝑥 traza 𝑦.) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 59/112 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 159) Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados. Todos los círculos son figuras. Por lo tanto, todos los que trazan círculos trazan figuras. (𝐶𝑥: 𝑥 es un círculo. 𝐹 𝑥: 𝑥 es una figura. 𝑇 𝑥𝑦: 𝑥 traza 𝑦.) Representación: 1 (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐹 𝑥) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones /∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)] 60/112 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 159) Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados. Cualquier amigo de Juan es un amigo de Pedro. Por lo tanto, cualquiera que conozca a un amigo de Juan conoce a un amigo de Pedro. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 es un amigo de 𝑦. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 conoce a 𝑦. 𝑗: Juan. 𝑝: Pedro.) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 61/112 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 159) Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados. Cualquier amigo de Juan es un amigo de Pedro. Por lo tanto, cualquiera que conozca a un amigo de Juan conoce a un amigo de Pedro. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 es un amigo de 𝑦. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 conoce a 𝑦. 𝑗: Juan. 𝑝: Pedro.) Representación: 1 (∀𝑥)(𝐴𝑥𝑗 ⊃ 𝐴𝑥𝑝) /∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)] Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 62/112 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 160) Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados. Todo lo que hay en mi escritorio es una obra maestra. Quienquiera que escriba una obra maestra es un genio. Alguna persona desconocida escribió alguna de las novelas que hay en mi escritorio. Por lo tanto, alguna persona desconocida es un genio. (𝐸𝑥: 𝑥 está en mi escritorio. 𝑀 𝑥: 𝑥 es una obra maestra. 𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐺𝑥: 𝑥 es un genio. 𝐷𝑥: 𝑥 es un desconocido. 𝑁 𝑥: 𝑥 es una novela. 𝐸𝑥𝑦: 𝑥 escribió 𝑦). Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 63/112 Representación de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 160) Simbolizar el siguiente argumento usando los símbolos indicados. Todo lo que hay en mi escritorio es una obra maestra. Quienquiera que escriba una obra maestra es un genio. Alguna persona desconocida escribió alguna de las novelas que hay en mi escritorio. Por lo tanto, alguna persona desconocida es un genio. (𝐸𝑥: 𝑥 está en mi escritorio. 𝑀 𝑥: 𝑥 es una obra maestra. 𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐺𝑥: 𝑥 es un genio. 𝐷𝑥: 𝑥 es un desconocido. 𝑁 𝑥: 𝑥 es una novela. 𝐸𝑥𝑦: 𝑥 escribió 𝑦). Representación: 1 (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥) 2 (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ (∃𝑦)(𝐸𝑥𝑦 ∧ 𝑀 𝑦)) ⊃ 𝐺𝑥] 3 (∃𝑥)(∃𝑦)(𝑃 𝑥 ∧ 𝐷𝑥 ∧ 𝑁 𝑦 ∧ 𝐸𝑦 ∧ 𝐸𝑥𝑦) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones /∴ (∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ 𝐷𝑥 ∧ 𝐺𝑥) 64/112 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejemplo Demuestre semánticamente la invalidez del argumento (∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 /∴ (∃𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 65/112 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejemplo Demuestre semánticamente la invalidez del argumento (∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 /∴ (∃𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦. Para dos individuos 𝑎 y 𝑏: (∀𝑥)(∃𝑦)𝐴𝑥𝑦 ≡ (∃𝑦)𝐴𝑎𝑦 ∧ (∃𝑦)𝐴𝑏𝑦 ≡ (𝐴𝑎𝑎 ∨ 𝐴𝑎𝑏) ∧ (𝐴𝑏𝑎 ∨ 𝐴𝑏𝑏) (∃𝑦)(∀𝑥)𝐴𝑥𝑦 ≡ (∀𝑥)𝐴𝑥𝑎 ∨ (∀𝑥)𝐴𝑥𝑏 ≡ (𝐴𝑎𝑎 ∧ 𝐴𝑏𝑎) ∨ (𝐴𝑎𝑏 ∧ 𝐴𝑏𝑏) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 66/112 Invalidez de argumentos empleado universos finitos Ejemplo (continuación) Proposiciones: 𝐴𝑎𝑎 1 𝐴𝑎𝑏 0 𝐴𝑏𝑎 0 𝐴𝑏𝑏 1 Premisa: (𝐴𝑎𝑎 ∨ 𝐴𝑎𝑏) ∧ (𝐴𝑏𝑎 ∨ 𝐴𝑏𝑏) 1 Conclusión: (𝐴𝑎𝑎 ∧ 𝐴𝑏𝑎) ∨ (𝐴𝑎𝑏 ∧ 𝐴𝑏𝑏) 0 Por lo tanto, el argumento es inválido! Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 67/112 Demostraciones de validez de argumentos Reglas de inferencia Para la demostración de argumentos que involucran relaciones es suficiente: la regla de demostración condicional (incluye la regla de demostración indirecta), las 8 reglas de inferencia de la lógica proposicional, la regla de reemplazo de la lógica proposicional (10 reglas de equivalencias lógicas), las 4 reglas de inferencia con cuantificadores, adicionar una restricción adicional a la regla de generalización universal y la regla de cambio de cuantificadores (4 reglas de equivalencias lógicas). Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 68/112 Demostraciones de validez de argumentos El siguiente ejemplo ilustra la necesidad de una nueva restricción a la regla de generalización universal (UG). Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 69/112 Demostraciones de validez de argumentos El siguiente ejemplo ilustra la necesidad de una nueva restricción a la regla de generalización universal (UG). Ejemplo (Hurley [2012], ejemplo pág. 485) Construir una demostración formal de validez para el argumento: 1 (∀𝑦)(∃𝑥)𝑀 𝑥𝑦 /∴ (∃𝑥)(∀𝑦)𝑀 𝑥𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 70/112 Demostraciones de validez de argumentos El siguiente ejemplo ilustra la necesidad de una nueva restricción a la regla de generalización universal (UG). Ejemplo (Hurley [2012], ejemplo pág. 485) Construir una demostración formal de validez para el argumento: 1 (∀𝑦)(∃𝑥)𝑀 𝑥𝑦 /∴ (∃𝑥)(∀𝑦)𝑀 𝑥𝑦 2 (∃𝑥)𝑀 𝑥𝑦 UI 1 3 𝑀 𝑎𝑦 EI 2 4 (∀𝑦)𝑀 𝑎𝑦 UG 3 Error! 5 (∃𝑥)(∀𝑦)𝑀 𝑥𝑦 EG 4 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 71/112 Demostraciones de validez de argumentos Recomendaciones Cuando sea necesario instanciar cuantificadores universales y existenciales, instanciar primero los cuantificadores existenciales. 3 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 156. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 72/112 Demostraciones de validez de argumentos Recomendaciones Cuando sea necesario instanciar cuantificadores universales y existenciales, instanciar primero los cuantificadores existenciales. “Instanciar (siempre que sea legítimo) con respecto a la misma variable que ha sido cuantificada y cuantificar con respecto a la misma variable que ocurriese libre en la premisa.”3 3 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 156. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 73/112 Demostraciones de validez de argumentos Recomendaciones Cuando sea necesario instanciar cuantificadores universales y existenciales, instanciar primero los cuantificadores existenciales. “Instanciar (siempre que sea legítimo) con respecto a la misma variable que ha sido cuantificada y cuantificar con respecto a la misma variable que ocurriese libre en la premisa.”3 Es decir, en lugar de emplear (∀𝑥)𝐹 𝑥 ∴ 𝐹𝑦 𝐹𝑦 ∴ (∃𝑥)𝐹 𝑥 𝐹𝑦 ∴ (∀𝑥)𝐹 𝑥 es mejor emplear, cuando sea posible, respectivamente (∀𝑥)𝐹 𝑥 ∴ 𝐹𝑥 3 𝐹𝑥 ∴ (∃𝑥)𝐹 𝑥 𝐹𝑥 ∴ (∀𝑥)𝐹 𝑥 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 156. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 74/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.2, pág. 158) Construir una demostración formal de validez para el argumento: 1 (∀𝑥)[(∃𝑦)𝐵𝑦𝑥 ⊃ (∀𝑧)𝐵𝑥𝑧] Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones /∴ (∀𝑦)(∀𝑧)(𝐵𝑦𝑧 ⊃ 𝐵𝑧𝑦) 75/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.2, pág. 158) Construir una demostración formal de validez para el argumento: 1 (∀𝑥)[(∃𝑦)𝐵𝑦𝑥 ⊃ (∀𝑧)𝐵𝑥𝑧] 2 (∃𝑦)𝐵𝑦𝑥 ⊃ (∀𝑧)𝐵𝑥𝑧 /∴ (∀𝑦)(∀𝑧)(𝐵𝑦𝑧 ⊃ 𝐵𝑧𝑦) UI 1 3 𝐵𝑦𝑥 ACP 4 (∃𝑦)𝐵𝑦𝑥 EG 3 5 (∀𝑧)𝐵𝑥𝑧 MP 2, 4 6 𝐵𝑥𝑦 UI 5 7 𝐵𝑦𝑥 ⊃ 𝐵𝑥𝑦 CP 3–6 8 (∀𝑧)(𝐵𝑦𝑧 ⊃ 𝐵𝑧𝑦) UG 7 9 (∀𝑦)(∀𝑧)(𝐵𝑦𝑧 ⊃ 𝐵𝑧𝑦) UG 8 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 76/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.3, pág. 159) Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento: 1 (∀𝑥)(𝐶𝑎𝑥 ⊃ 𝐷𝑥𝑏) 2 (∃𝑥)𝐷𝑥𝑏 ⊃ (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones /∴ (∃𝑥)𝐶𝑎𝑥 ⊃ (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦 77/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (continuación) 1 (∀𝑥)(𝐶𝑎𝑥 ⊃ 𝐷𝑥𝑏) 2 (∃𝑥)𝐷𝑥𝑏 ⊃ (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦 /∴ (∃𝑥)𝐶𝑎𝑥 ⊃ (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦 3 (∃𝑥)𝐶𝑎𝑥 ACP 4 𝐶𝑎𝑐 EI 3 5 𝐶𝑎𝑐 ⊃ 𝐷𝑐𝑏 UI 1 6 𝐷𝑐𝑏 MP 5, 4 7 (∃𝑥)𝐷𝑥𝑏 EG 6 8 (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦 MP 2, 7 9 (∃𝑥)𝐶𝑎𝑥 ⊃ (∃𝑦)𝐷𝑏𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones CP 3–9 78/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 159) Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento: 1 (∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑥𝑦)] 2 (∃𝑥)[𝐸𝑥 ∧ (∃𝑦)∼𝐺𝑥𝑦] Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones /∴ (∃𝑥)∼𝐹 𝑥 79/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (continuación) 1 (∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑥𝑦)] 2 (∃𝑥)[𝐸𝑥 ∧ (∃𝑦)∼𝐺𝑥𝑦] 3 𝐸𝑎 ∧ (∃𝑦)∼𝐺𝑎𝑦 EI 2 4 (∃𝑦)∼𝐺𝑎𝑦 Simp 3 5 ∼𝐺𝑎𝑏 EI 4 6 𝐸𝑎 ⊃ (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑎𝑦) UI 1 7 𝐸𝑎 Simp 3 8 (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑎𝑦) MP 6, 7 9 𝐹 𝑏 ⊃ 𝐺𝑎𝑏 UI 8 10 ∼𝐹 𝑏 MT 9, 5 11 (∃𝑥)∼𝐹 𝑥 EG 10 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones /∴ (∃𝑥)∼𝐹 𝑥 80/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.5*, pág. 159) Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento: 1 (∃𝑥)[𝐻𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝐼𝑦 ⊃ 𝐽 𝑥𝑦)] ∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐼𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝐼𝑦 ∧ 𝐽 𝑦𝑦) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 81/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (continuación) 1 (∃𝑥)[𝐻𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝐼𝑦 ⊃ 𝐽𝑥𝑦)] /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐼𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝐼𝑦 ∧ 𝐽𝑦𝑦) 2 (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐼𝑥) ACP 3 𝐻𝑎 ∧ (∀𝑦)(𝐼𝑦 ⊃ 𝐽𝑎𝑦) EI 1 4 𝐻𝑎 Simp 3 5 𝐻𝑎 ⊃ 𝐼𝑎 UI 2 6 𝐼𝑎 MP 5, 4 7 (∀𝑦)(𝐼𝑦 ⊃ 𝐽𝑎𝑦) Simp 3 8 𝐼𝑎 ⊃ 𝐽𝑎𝑎 UI 7 9 𝐽𝑎𝑎 MP 8, 6 10 𝐼𝑎 ∧ 𝐽𝑎𝑎 Conj 6, 9 11 (∃𝑦)(𝐼𝑦 ∧ 𝐽𝑦𝑦) EG 10 12 (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐼𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝐼𝑦 ∧ 𝐽𝑦𝑦) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones CP 2–12 82/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.6, pág. 159) Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento: 1 (∀𝑥){𝐾𝑥 ⊃ [(∃𝑦)𝐿𝑥𝑦 ⊃ (∃𝑧)𝐿𝑧𝑥]} 2 (∀𝑥)[(∃𝑧)𝐿𝑧𝑥 ⊃ 𝐿𝑥𝑥] 3 ∼(∃𝑥)𝐿𝑥𝑥 /∴ (∀𝑥)(𝐾𝑥 ⊃ (∀𝑦)∼𝐿𝑥𝑦) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 83/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (continuación) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (∀𝑥){𝐾𝑥 ⊃ [(∃𝑦)𝐿𝑥𝑦 ⊃ (∃𝑧)𝐿𝑧𝑥]} (∀𝑥)[(∃𝑧)𝐿𝑧𝑥 ⊃ 𝐿𝑥𝑥] ∼(∃𝑥)𝐿𝑥𝑥 /∴ (∀𝑥)(𝐾𝑥 ⊃ (∀𝑦)∼𝐿𝑥𝑦) 𝐾𝑥 (∀𝑥)∼𝐿𝑥𝑥 ∼𝐿𝑥𝑥 (∃𝑧)𝐿𝑧𝑥 ⊃ 𝐿𝑥𝑥 ∼(∃𝑧)𝐿𝑧𝑥 𝐾𝑥 ⊃ [(∃𝑦)𝐿𝑥𝑦 ⊃ (∃𝑧)𝐿𝑧𝑥] (∃𝑦)𝐿𝑥𝑦 ⊃ (∃𝑧)𝐿𝑧𝑥 ∼(∃𝑦)𝐿𝑥𝑦 (∀𝑦)∼𝐿𝑥𝑦 𝐾𝑥 ⊃ (∀𝑦)∼𝐿𝑥𝑦 (∀𝑥)(𝐾𝑥 ⊃ (∀𝑦)∼𝐿𝑥𝑦) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones ACP CQ 3 UI 5 UI 2 MT 7, 6 UI 1 MP 9, 4 MT 10, 8 CQ 11 CP 4–12 UG 13 84/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.7, pág. 159) Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento: 1 (∀𝑥)[𝑀 𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑂𝑥𝑦)] 2 (∀𝑥)[𝑃 𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝑂𝑥𝑦 ⊃ 𝑄𝑦)] ∴ (∃𝑥)(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑄𝑦) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 85/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (continuación) 1 (∀𝑥)[𝑀 𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑂𝑥𝑦)] 2 (∀𝑥)[𝑃 𝑥 ⊃ (∀𝑦)(𝑂𝑥𝑦 ⊃ 𝑄𝑦)] ∴ (∃𝑥)(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑄𝑦) 3 (∃𝑥)(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ACP 4 𝑀𝑎 ∧ 𝑃 𝑎 EI 3 5 𝑀 𝑎 ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑂𝑎𝑦) UI 1 6 𝑀𝑎 Simp 4 7 (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑂𝑎𝑦) MP 5, 6 Continua en la siguiente diapositiva... Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 86/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (continuación) 8 𝑁 𝑦 ⊃ 𝑂𝑎𝑦 UI 7 9 𝑃 𝑎 ⊃ (∀𝑦)(𝑂𝑎𝑦 ⊃ 𝑄𝑦) UI 2 10 𝑃𝑎 Simp 4 11 (∀𝑦)(𝑂𝑎𝑦 ⊃ 𝑄𝑦) MP 9, 10 12 𝑂𝑎𝑦 ⊃ 𝑄𝑦 UI 11 13 𝑁 𝑦 ⊃ 𝑄𝑦 HS 8, 12 14 (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑄𝑦) UG 13 15 (∃𝑥)(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ (∀𝑦)(𝑁 𝑦 ⊃ 𝑄𝑦) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones CP 3–15 87/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.8, pág. 159) Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento: 1 (∀𝑥)[(𝑅𝑥 ∧ ∼𝑆𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝑇 𝑥𝑦 ∧ 𝑈 𝑦)] 2 (∃𝑥)[𝑉 𝑥 ∧ 𝑅𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑇 𝑥𝑦 ⊃ 𝑉 𝑦)] 3 (∀𝑥)(𝑉 𝑥 ⊃ ∼𝑆𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝑈 𝑥) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 88/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (continuación) 1 (∀𝑥)[(𝑅𝑥 ∧ ∼𝑆𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝑇 𝑥𝑦 ∧ 𝑈𝑦)] 2 (∃𝑥)[𝑉 𝑥 ∧ 𝑅𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑇 𝑥𝑦 ⊃ 𝑉 𝑦)] 3 (∀𝑥)(𝑉 𝑥 ⊃ ∼𝑆𝑥) 4 𝑉 𝑎 ∧ 𝑅𝑎 ∧ (∀𝑦)(𝑇 𝑎𝑦 ⊃ 𝑉 𝑦) EI 2 5 𝑉 𝑎 ⊃ ∼𝑆𝑎 UI 3 6 𝑉𝑎 Simp 4 7 ∼𝑆𝑎 MP 5, 6 8 𝑅𝑎 Simp 4 9 𝑅𝑎 ∧ ∼𝑆𝑎 Conj 8, 7 (𝑅𝑎 ∧ ∼𝑆𝑎) ⊃ (∃𝑦)(𝑇 𝑎𝑦 ∧ 𝑈𝑦) UI 1 10 /∴ (∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝑈𝑥) Continua en la siguiente diapositiva... Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 89/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (continuación) 11 (∃𝑦)(𝑇 𝑎𝑦 ∧ 𝑈𝑦) MP 10, 9 12 𝑇 𝑎𝑏 ∧ 𝑈𝑏 EI 11 13 (∀𝑦)(𝑇 𝑎𝑦 ⊃ 𝑉 𝑦) Simp 4 14 𝑇 𝑎𝑏 ⊃ 𝑉 𝑏 UI 13 15 𝑇 𝑎𝑏 Simp 12 16 𝑉𝑏 MP 14, 15 17 𝑈𝑏 Simp 12 18 𝑉 𝑏 ∧ 𝑈𝑏 Conj 16, 17 19 (∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝑈𝑥) EG 18 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 90/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 159) Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento: Todos los círculos son figuras. Por lo tanto, todos los que trazan círculos trazan figuras. (𝐶𝑥: 𝑥 es un círculo. 𝐹 𝑥: 𝑥 es una figura. 𝑇 𝑥𝑦: 𝑥 traza 𝑦.) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 91/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.2, pág. 159) Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento: Todos los círculos son figuras. Por lo tanto, todos los que trazan círculos trazan figuras. (𝐶𝑥: 𝑥 es un círculo. 𝐹 𝑥: 𝑥 es una figura. 𝑇 𝑥𝑦: 𝑥 traza 𝑦.) Representación: 1 (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐹 𝑥) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones /∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)] 92/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (continuación) 1 (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐹 𝑥) /∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)] 2 𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥 ACP 3 𝐶𝑥 Simp 2 4 𝐶𝑥 ⊃ 𝐹 𝑥 UI 1 5 𝐹𝑥 MP 4, 3 6 𝑇 𝑦𝑥 Simp 2 7 𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥 Conj 5, 6 8 (𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) CP 2–7 9 (∀𝑦)[(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)] UG 8 (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝐶𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥) ⊃ (𝐹 𝑥 ∧ 𝑇 𝑦𝑥)] UG 9 10 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 93/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 159) Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento: Cualquier amigo de Juan es un amigo de Pedro. Por lo tanto, cualquiera que conozca a un amigo de Juan conoce a un amigo de Pedro. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 es un amigo de 𝑦. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 conoce a 𝑦. 𝑗: Juan. 𝑝: Pedro.) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 94/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.3, pág. 159) Construir una demostración formal de validez para el siguiente argumento: Cualquier amigo de Juan es un amigo de Pedro. Por lo tanto, cualquiera que conozca a un amigo de Juan conoce a un amigo de Pedro. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 es un amigo de 𝑦. 𝐶𝑥𝑦: 𝑥 conoce a 𝑦. 𝑗: Juan. 𝑝: Pedro.) Representación: 1 (∀𝑥)(𝐴𝑥𝑗 ⊃ 𝐴𝑥𝑝) /∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)] Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 95/112 Demostraciones de validez de argumentos Ejercicio (continuación) 1 (∀𝑥)(𝐴𝑥𝑗 ⊃ 𝐴𝑥𝑝) /∴ (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)] 2 𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗 ACP 3 𝐴𝑦𝑗 Simp 2 4 𝐴𝑦𝑗 ⊃ 𝐴𝑦𝑝 UI 1 5 𝐴𝑦𝑝 MP 4, 3 6 𝐶𝑥𝑦 Simp 2 7 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝 Conj 6, 7 8 (𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝) CP 2–7 9 (∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)] UG 8 (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑗) ⊃ (𝐶𝑥𝑦 ∧ 𝐴𝑦𝑝)] UG 9 10 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 96/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas 𝑅𝑥𝑦 es una relación simétrica si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ 𝑅𝑦𝑥). 𝑅𝑥𝑦 es un relación asimétrica si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ ∼𝑅𝑦𝑥). 𝑅𝑥𝑦 es un relación no simétrica si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que no es ni simétrica ni asimétrica. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 97/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas 𝑅𝑥𝑦 es una relación simétrica si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ 𝑅𝑦𝑥). 𝑅𝑥𝑦 es un relación asimétrica si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ ∼𝑅𝑦𝑥). 𝑅𝑥𝑦 es un relación no simétrica si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que no es ni simétrica ni asimétrica. Ejemplos En los números naturales, = es una relación simétrica, < es una relación asimétrica y ≤ es una relación no simétrica. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 98/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas 𝑅𝑥𝑦 es una relación transitiva si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑅𝑥𝑦 ∧ 𝑅𝑦𝑧) ⊃ 𝑅𝑥𝑧]. 𝑅𝑥𝑦 es una relación intransitiva si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑅𝑥𝑦 ∧ 𝑅𝑦𝑧) ⊃ ∼𝑅𝑥𝑧]. 𝑅𝑥𝑦 es una relación no transitiva si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que no es ni transitiva ni intransitiva. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 99/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas 𝑅𝑥𝑦 es una relación transitiva si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑅𝑥𝑦 ∧ 𝑅𝑦𝑧) ⊃ 𝑅𝑥𝑧]. 𝑅𝑥𝑦 es una relación intransitiva si y sólo si (∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑅𝑥𝑦 ∧ 𝑅𝑦𝑧) ⊃ ∼𝑅𝑥𝑧]. 𝑅𝑥𝑦 es una relación no transitiva si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que no es ni transitiva ni intransitiva. Ejemplos La relación ≠ es transitiva en un conjunto unitario y es no transitiva en un conjunto de al menos tres elementos. El juego “piedra, papel o tijeras” establece una relación intransitiva 𝑅𝑥𝑦: 𝑥 le gana a 𝑦. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 100/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas 𝑅𝑥𝑦 es una relación (totalmente) reflexiva si y sólo si (∀𝑥)𝑅𝑥𝑥. 𝑅𝑥𝑦 es una relación irreflexiva si y sólo si (∀𝑥)∼𝑅𝑥𝑥. 𝑅𝑥𝑦 es una relación no reflexiva si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que no es ni reflexiva ni irreflexiva. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 101/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas 𝑅𝑥𝑦 es una relación (totalmente) reflexiva si y sólo si (∀𝑥)𝑅𝑥𝑥. 𝑅𝑥𝑦 es una relación irreflexiva si y sólo si (∀𝑥)∼𝑅𝑥𝑥. 𝑅𝑥𝑦 es una relación no reflexiva si y sólo si 𝑅𝑥𝑦 es una relación que no es ni reflexiva ni irreflexiva. Ejemplos En los números enteros positivos, la relación | (divisibilidad) es una relación reflexiva, la relación < es una relación irreflexiva y la relación ‘𝑥 · 𝑦 es un número par’ es un relación no reflexiva. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 102/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas Ejemplo (Relaciones reflexivas y simétricas pero no transitivas) Sea 𝐴 el conjunto 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝑅 la relación en 𝐴 definida por 𝑅 = {(𝑎, 𝑎), (𝑎, 𝑏), (𝑏, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑏), (𝑐, 𝑐)}. |𝑥 − 𝑦| ≤ 1 𝑅𝑥𝑦: 𝑥 vive a menos de un kilometro de distancia de 𝑦 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 103/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 164) Demuestre que si un relación binaria es asimétrica entonces la relación es irreflexiva. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 104/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 164) Demuestre que si un relación binaria es asimétrica entonces la relación es irreflexiva. 1 (∀𝑥)(∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ ∼𝑅𝑦𝑥) 2 (∀𝑦)(𝑅𝑥𝑦 ⊃ ∼𝑅𝑦𝑥) UI 1 3 𝑅𝑥𝑥 ⊃ ∼𝑅𝑥𝑥 UI 2 4 ∼𝑅𝑥𝑥 ∨ ∼𝑅𝑥𝑥 Impl 3 5 ∼𝑅𝑥𝑥 Taut 4 6 (∀𝑥)∼𝑅𝑥𝑥 UG 5 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones /∴ (∀𝑥)∼𝑅𝑥𝑥 105/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas Ejercicio En el ejemplo de la pág. 104 demostramos que si un relación binaria es asimétrica entonces la relación es irreflexiva. Si se intercambian la premisa y la conclusión es el nuevo argumento válido? Es decir, si una relación binaria es irreflexiva entonces la relación es asimétrica? Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 106/112 Algunos atributos de las relaciones diádicas Ejercicio En el ejemplo de la pág. 104 demostramos que si un relación binaria es asimétrica entonces la relación es irreflexiva. Si se intercambian la premisa y la conclusión es el nuevo argumento válido? Es decir, si una relación binaria es irreflexiva entonces la relación es asimétrica? Respuesta: El argumento es inválido. Por ejemplo, en los números naturales la relación 𝑥 < 𝑦 o 𝑥 > 𝑦 es una relación irreflexiva, pero no es una relación asimétrica. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 107/112 Atributos de las relaciones y argumentos relacionales Ejemplo Al es mayor que Bill. Bill es mayor que Charlie. Por lo tanto, Al es mayor que Charlie (𝑎: Al. 𝑏: Bill. 𝑐: Charlie. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es mayor que 𝑦.) Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 108/112 Atributos de las relaciones y argumentos relacionales Ejemplo Al es mayor que Bill. Bill es mayor que Charlie. Por lo tanto, Al es mayor que Charlie (𝑎: Al. 𝑏: Bill. 𝑐: Charlie. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es mayor que 𝑦.) Argumento inválido 𝑀 𝑎𝑏 𝑀 𝑏𝑐 ∴ 𝑀 𝑎𝑐 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 109/112 Atributos de las relaciones y argumentos relacionales Ejemplo Al es mayor que Bill. Bill es mayor que Charlie. Por lo tanto, Al es mayor que Charlie (𝑎: Al. 𝑏: Bill. 𝑐: Charlie. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es mayor que 𝑦.) Argumento inválido 𝑀 𝑎𝑏 𝑀 𝑏𝑐 ∴ 𝑀 𝑎𝑐 Argumento válido 𝑀 𝑎𝑏 𝑀 𝑏𝑐 (∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑀 𝑥𝑦 ∧ 𝑀 𝑦𝑧) ⊃ 𝑀 𝑥𝑧] ∴ 𝑀 𝑎𝑐 Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones (premisa implícita) 110/112 Entimemas Definición (Entimema) “Un argumento que está expresado de manera incompleta, siendo “sobreentendida” una parte del mismo.”4 4 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 164. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 111/112 Referencias Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental. Deaño, Alfredo (1994). Introducción a la Lógica Formal. 11.a reimpresión. Alianza Universidad Textos. Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth, Cengage Learning. Lógica - CM0260. La lógica de las relaciones 112/112 Lógica - CM0260 Lógica de predicados de primer orden con identidad Andrés Sicard Ramírez Universidad EAFIT Semestre 2015-2 Identidad Principio de la identidad de los indiscernibles de Leibniz Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) “𝑥 = 𝑦 si y soló si cada atributo de 𝑥 es una atributo de 𝑦 y recíprocamente.”1 1 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 168. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 2/83 Relación de identidad Representación La relación de identidad la representaremos por el signo igual (=). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 3/83 Relación de identidad Representación La relación de identidad la representaremos por el signo igual (=). Notación: 𝑥 ≠ 𝑦 significa ∼(𝑥 = 𝑦). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 4/83 Representación de enunciados simples que involucran identidad Ejemplo Septimus es Gabriel García Márquez. (𝑠: Septimus. 𝑔: Gabriel García Márquez) Representación: 𝑠 = 𝑔. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 5/83 Representación de enunciados que involucran identidad: ‘sólo’, ‘el único’, ‘nadie... excepto’ Ejemplo Representar formalmente el enunciado: Sólo Juan ama a María. (𝑗: Juan. 𝑚: María. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 ama a 𝑦) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 6/83 Representación de enunciados que involucran identidad: ‘sólo’, ‘el único’, ‘nadie... excepto’ Ejemplo Representar formalmente el enunciado: Sólo Juan ama a María. (𝑗: Juan. 𝑚: María. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 ama a 𝑦) Versión incorrecta: 𝐴𝑗𝑚 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 7/83 Representación de enunciados que involucran identidad: ‘sólo’, ‘el único’, ‘nadie... excepto’ Ejemplo Representar formalmente el enunciado: Sólo Juan ama a María. (𝑗: Juan. 𝑚: María. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 ama a 𝑦) Versión incorrecta: 𝐴𝑗𝑚 Versión incorrecta: 𝐴𝑗𝑚 ∧ (∀𝑥)∼𝐴𝑥𝑚 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 8/83 Representación de enunciados que involucran identidad: ‘sólo’, ‘el único’, ‘nadie... excepto’ Ejemplo Representar formalmente el enunciado: Sólo Juan ama a María. (𝑗: Juan. 𝑚: María. 𝐴𝑥𝑦: 𝑥 ama a 𝑦) Versión incorrecta: 𝐴𝑗𝑚 Versión incorrecta: 𝐴𝑗𝑚 ∧ (∀𝑥)∼𝐴𝑥𝑚 Versión correcta: 𝐴𝑗𝑚 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥𝑚 ⊃ 𝑥 = 𝑗) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 9/83 Representación de enunciados que involucran identidad: ‘sólo’, ‘el único’, ‘nadie... excepto’ Ejemplo Representar formalmente el enunciado: La única opera escrita por Beethoven es Fidelio. (𝑂𝑥: 𝑥 es una opera. 𝐵𝑥: Beethoven escribió 𝑥. 𝑓: Fidelio). Representación: 𝑂𝑓 ∧ 𝐵𝑓 ∧ (∀𝑥)[(𝑂𝑥 ∧ 𝐵𝑥) ⊃ 𝑥 = 𝑓] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 10/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Superlativos Ejemplo Representar formalmente el enunciado: El municipio más pequeño está en Chocó. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 11/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Superlativos Ejemplo Representar formalmente el enunciado: El municipio más pequeño está en Chocó. Versión incorrecta: 𝑀 𝑥: 𝑥 es un municipio. 𝐶𝑥: 𝑥 está en el Chocó. 𝑃 𝑥: 𝑥 es el más pequeño. Representación: (∃𝑥)(𝑀 𝑥 ∧ 𝐶𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) Error: 𝑃 𝑥 no es una función proposicional. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 12/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Superlativos Ejemplo Representar formalmente el enunciado: El municipio más pequeño está en Chocó. Versión correcta: 𝑀 𝑥: 𝑥 es un municipio. 𝐶𝑥: 𝑥 está en el Chocó. 𝑃 𝑥𝑦: 𝑥 es más pequeño que 𝑦. Representación: (∃𝑥){𝑀 𝑥 ∧ 𝐶𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝑀 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ⊃ 𝑃 𝑥𝑦]} Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 13/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Descripciones definidas Ejemplo Representar formalmente el enunciado: El autor del texto “Lógica simbólica” fue un buen pedagogo. (𝐴𝑥: 𝑥 escribió el texto “Lógica simbólica”. 𝑃 𝑥: 𝑥 fue un buen pedagogo.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 14/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Descripciones definidas Ejemplo Representar formalmente el enunciado: El autor del texto “Lógica simbólica” fue un buen pedagogo. (𝐴𝑥: 𝑥 escribió el texto “Lógica simbólica”. 𝑃 𝑥: 𝑥 fue un buen pedagogo.) El enunciado afirma 3 cosas: 1 hay un individuo que escribió el texto “Lógica simbólica”, 2 a lo más, un individuo escribió el texto “Lógica simbólica” y 3 este individuo fue buen pedagogo. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 15/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Descripciones definidas Ejemplo Representar formalmente el enunciado: El autor del texto “Lógica simbólica” fue un buen pedagogo. (𝐴𝑥: 𝑥 escribió el texto “Lógica simbólica”. 𝑃 𝑥: 𝑥 fue un buen pedagogo.) El enunciado afirma 3 cosas: 1 hay un individuo que escribió el texto “Lógica simbólica”, 2 a lo más, un individuo escribió el texto “Lógica simbólica” y 3 este individuo fue buen pedagogo. Representación: (∃𝑥)[𝐴𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝐴𝑦 ⊃ 𝑦 = 𝑥) ∧ 𝑃 𝑥] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 16/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o de la regla común.2 2 Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición (versión electrónica). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 17/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o de la regla común.2 Ejemplos (Al menos) 2 Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición (versión electrónica). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 18/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o de la regla común.2 Ejemplos (Al menos) Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. 2 Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición (versión electrónica). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 19/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o de la regla común.2 Ejemplos (Al menos) Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)𝑃 𝑥 2 Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición (versión electrónica). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 20/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o de la regla común.2 Ejemplos (Al menos) Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)𝑃 𝑥 Hay al menos dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. 2 Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición (versión electrónica). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 21/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o de la regla común.2 Ejemplos (Al menos) Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)𝑃 𝑥 Hay al menos dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)(∃𝑦)(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) 2 Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición (versión electrónica). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 22/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o de la regla común.2 Ejemplos (Al menos) Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)𝑃 𝑥 Hay al menos dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)(∃𝑦)(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) Hay al menos tres individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. 2 Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición (versión electrónica). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 23/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Exceptuar. Excluir a alguien o algo de la generalidad de lo que se trata o de la regla común.2 Ejemplos (Al menos) Hay al menos un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)𝑃 𝑥 Hay al menos dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)(∃𝑦)(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) Hay al menos tres individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)(∃𝑦)(∃𝑧)(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑃 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) 2 Real Academia Española (2012). Diccionario de la Lengua Española, 22ª edición (versión electrónica). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 24/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (A lo sumo) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 25/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (A lo sumo) Hay a lo sumo un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 26/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (A lo sumo) Hay a lo sumo un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 27/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (A lo sumo) Hay a lo sumo un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦] Hay a lo sumo dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 28/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (A lo sumo) Hay a lo sumo un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦] Hay a lo sumo dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. (∀𝑥)(∀𝑦)(∀𝑧)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑃 𝑧) ⊃ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑧 ∨ 𝑦 = 𝑧)] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 29/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (Exactamente) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 30/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (Exactamente) Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 31/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (Exactamente) Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 32/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (Exactamente) Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)] Hay exactamente dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 33/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (Exactamente) Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)] Hay exactamente dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)(∃𝑦)[𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (∀𝑧)[𝑃 𝑧 ⊃ (𝑧 = 𝑥 ∨ 𝑧 = 𝑦)]] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 34/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (Exactamente) Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)] Hay exactamente dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)(∃𝑦)[𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (∀𝑧)[𝑃 𝑧 ⊃ (𝑧 = 𝑥 ∨ 𝑧 = 𝑦)]] Hay exactamente tres individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 35/83 Representación de enunciados que involucran identidad: Enunciados exceptivos Ejemplos (Exactamente) Hay exactamente un individuo que tiene el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)] Hay exactamente dos individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑥)(∃𝑦)[𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (∀𝑧)[𝑃 𝑧 ⊃ (𝑧 = 𝑥 ∨ 𝑧 = 𝑦)]] Hay exactamente tres individuos que tienen el atributo 𝑃 𝑥. (∃𝑤)(∃𝑥)(∃𝑦) [𝑃 𝑤 ∧ 𝑃 𝑥 ∧ 𝑃 𝑦 ∧ 𝑤 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (∀𝑧)[𝑃 𝑧 ⊃ (𝑧 = 𝑤 ∨ 𝑧 = 𝑥 ∨ 𝑧 = 𝑦)]] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 36/83 Representación de argumentos que involucran identidad Ejemplo (Hurley [2012], ejemplo pág. 499) Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: La única amiga que tengo es Elizabeth. Elizabeth no es Nancy. Nancy es Canadiense. Por lo tanto, existe una Canadiense quien no es mi amiga. (𝐴𝑥: 𝑥 es mi amiga. 𝐶𝑥: 𝑥 es Canadiense. 𝑒: Elizabet. 𝑛: Nancy.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 37/83 Representación de argumentos que involucran identidad Ejemplo (Hurley [2012], ejemplo pág. 499) Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: La única amiga que tengo es Elizabeth. Elizabeth no es Nancy. Nancy es Canadiense. Por lo tanto, existe una Canadiense quien no es mi amiga. (𝐴𝑥: 𝑥 es mi amiga. 𝐶𝑥: 𝑥 es Canadiense. 𝑒: Elizabet. 𝑛: Nancy.) Representación: 1 𝐴𝑒 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝑥 = 𝑒) 2 𝑒≠𝑛 3 𝐶𝑛 /∴ (∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝐴𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 38/83 Representación de argumentos que involucran identidad Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 176) Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: El estado más pequeño está en Nueva Inglaterra. Todos los estados de Nueva Inglaterra son primordialmente industriales. Por lo tanto, el estado más pequeño es primordialmente industrial. (𝐸𝑥: 𝑥 es un estado. 𝑁 𝑥: 𝑥 está en Nueva Inglaterra. 𝐼𝑥: 𝑥 es primordialmente industrial. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es más pequeño que 𝑦.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 39/83 Representación de argumentos que involucran identidad Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 176) Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: El estado más pequeño está en Nueva Inglaterra. Todos los estados de Nueva Inglaterra son primordialmente industriales. Por lo tanto, el estado más pequeño es primordialmente industrial. (𝐸𝑥: 𝑥 es un estado. 𝑁 𝑥: 𝑥 está en Nueva Inglaterra. 𝐼𝑥: 𝑥 es primordialmente industrial. 𝑀 𝑥𝑦: 𝑥 es más pequeño que 𝑦.) Representación: 1 (∃𝑥){[𝐸𝑥 ∧ 𝑁 𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝐸𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ⊃ 𝑀 𝑥𝑦]} 2 (∀𝑥)((𝐸𝑥 ∧ 𝑁 𝑥) ⊃ 𝐼𝑥) ∴ (∃𝑥){𝐸𝑥 ∧ 𝐼𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝐸𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ⊃ 𝑀 𝑥𝑦]} Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 40/83 Representación de argumentos que involucran identidad Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 4*, pág. 176) Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: El corredor más rápido es un escandinavo. Por lo tanto, cualquiera que no sea escandinavo puede ser vencido en una carrera por alguna persona. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐸𝑥: 𝑥 es escandinavo. 𝑅𝑥𝑦: 𝑥 corre más rápidamente que 𝑦.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 41/83 Representación de argumentos que involucran identidad Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 4*, pág. 176) Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: El corredor más rápido es un escandinavo. Por lo tanto, cualquiera que no sea escandinavo puede ser vencido en una carrera por alguna persona. (𝑃 𝑥: 𝑥 es una persona. 𝐸𝑥: 𝑥 es escandinavo. 𝑅𝑥𝑦: 𝑥 corre más rápidamente que 𝑦.) Representación: 1 (∃𝑥){𝑃 𝑥 ∧ 𝐸𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝑃 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ⊃ 𝑅𝑥𝑦]} /∴ (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝐸𝑥) ⊃ (∃𝑦)(𝑃 𝑦 ∧ 𝑅𝑦𝑥)] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 42/83 Representación de argumentos que involucran identidad Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 5, pág. 176) Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Todos los participantes serán vencedores. Habrá cuando más un vencedor. Hay cuando menos un participante. Por lo tanto, hay exactamente un participante. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un participante. 𝑉 𝑥: 𝑥 será vencedor.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 43/83 Representación de argumentos que involucran identidad Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 5, pág. 176) Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Todos los participantes serán vencedores. Habrá cuando más un vencedor. Hay cuando menos un participante. Por lo tanto, hay exactamente un participante. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un participante. 𝑉 𝑥: 𝑥 será vencedor.) Representación: 1 (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝑉 𝑥) 2 (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑉 𝑥 ∧ 𝑉 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦] 3 (∃𝑥)𝑃 𝑥 /∴ (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 44/83 Representación de argumentos que involucran identidad Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 7, pág. 176) Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Adams y Brown fueron los únicos invitados al banquete que bebieron. Todos los invitados al banquete que llevaron licor bebieron. Adam no llevó licor. Si algún invitado al banquete bebió entonces algún invitado al banquete que bebió debió llevar licor. Todos los que bebieron se embriagaron. Por lo tanto, el invitado al banquete que llevó licor se embriagó. (𝑎: Adams. 𝑏: Brown. 𝐼𝑥: 𝑥 fue un invitado al banquete. 𝐵𝑥: 𝑥 bebió. 𝐿𝑥: 𝑥 llevó licor. 𝐸𝑥: 𝑥 se embriagó.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 45/83 Representación de argumentos que involucran identidad Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 7, pág. 176) Representar el siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Adams y Brown fueron los únicos invitados al banquete que bebieron. Todos los invitados al banquete que llevaron licor bebieron. Adam no llevó licor. Si algún invitado al banquete bebió entonces algún invitado al banquete que bebió debió llevar licor. Todos los que bebieron se embriagaron. Por lo tanto, el invitado al banquete que llevó licor se embriagó. (𝑎: Adams. 𝑏: Brown. 𝐼𝑥: 𝑥 fue un invitado al banquete. 𝐵𝑥: 𝑥 bebió. 𝐿𝑥: 𝑥 llevó licor. 𝐸𝑥: 𝑥 se embriagó.) Representación: 1 (∀𝑥)[(𝐼𝑥 ∧ 𝐵𝑥) ⊃ (𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = 𝑏)] 2 (∀𝑥)[(𝐼𝑥 ∧ 𝐿𝑥) ⊃ 𝐵𝑥] 3 ∼𝐿𝑎 4 (∃𝑥)(𝐼𝑥 ∧ 𝐵𝑥) ⊃ (∃𝑥)(𝐼𝑥 ∧ 𝐵𝑥 ∧ 𝐿𝑥) 5 (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥) /∴ (∀𝑥)[(𝐼𝑥 ∧ 𝐿𝑥) ⊃ 𝐸𝑥] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 46/83 Reglas de inferencia para la identidad Notación Las letras 𝑎 y 𝑏 representan cualquier constante individual. Reglas de inferencia3 𝑎 = 𝑎 (Id1) 𝑎 = 𝑏 ∷ 𝑏 = 𝑎 (Id2) 𝔉𝑎 𝑎 = 𝑏 (Id3) 𝔉𝑏 3 Hurley [2012, p. 498] en la presentación de la regla Id1 introduce una premisa 𝑝𝑟𝑒𝑚. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 47/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 168) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Henry era William Sidney Porter. Henry era un escritor. Por lo tanto, William Sidney Porter era un escritor. (ℎ: Henry. 𝑠: William Sidney Porter. 𝐸𝑥: 𝑥 era un escritor.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 48/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 168) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Henry era William Sidney Porter. Henry era un escritor. Por lo tanto, William Sidney Porter era un escritor. (ℎ: Henry. 𝑠: William Sidney Porter. 𝐸𝑥: 𝑥 era un escritor.) 1 ℎ=𝑠 2 𝐸ℎ /∴ 𝐸𝑠 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 49/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 168) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Henry era William Sidney Porter. Henry era un escritor. Por lo tanto, William Sidney Porter era un escritor. (ℎ: Henry. 𝑠: William Sidney Porter. 𝐸𝑥: 𝑥 era un escritor.) 1 ℎ=𝑠 2 𝐸ℎ 3 𝐸𝑠 /∴ 𝐸𝑠 Id3 2, 1 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 50/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 169) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Sólo un hombre calvo porta una peluca. Kaplan es un hombre que porta una peluca. Este hombre no es calvo. Por lo tanto, este hombre no es Kaplan. (𝑘: Kaplan. 𝑒: Este hombre. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝐶𝑥: 𝑥 es calvo. 𝑃 𝑥: 𝑥 porta una peluca.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 51/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 169) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Sólo un hombre calvo porta una peluca. Kaplan es un hombre que porta una peluca. Este hombre no es calvo. Por lo tanto, este hombre no es Kaplan. (𝑘: Kaplan. 𝑒: Este hombre. 𝐻𝑥: 𝑥 es un hombre. 𝐶𝑥: 𝑥 es calvo. 𝑃 𝑥: 𝑥 porta una peluca.) Representación: 1 (∀𝑥)[(𝐻𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ 𝐶𝑥] 2 𝐻𝑘 ∧ 𝑃 𝑘 3 ∼𝐶𝑒 /∴ ∼(𝑒 = 𝑘) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 52/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (continuación) 1 (∀𝑥)[(𝐻𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ 𝐶𝑥] 2 𝐻𝑘 ∧ 𝑃 𝑘 3 ∼𝐶𝑒 /∴ ∼(𝑒 = 𝑘) 4 𝑒=𝑘 AIP 5 𝑘=𝑒 Id2 4 6 (𝐻𝑘 ∧ 𝑃 𝑘) ⊃ 𝐶𝑘 UI 1 7 𝐶𝑘 MP 6, 2 8 𝐶𝑒 Id3 7, 2 9 𝐶𝑒 ∧ ∼𝐶𝑒 Conj 8, 3 10 ∼(𝑒 = 𝑘) IP 4–9 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 53/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Hurley [2012], ejemplo pág. 499) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: La única amiga que tengo es Elizabeth. Elizabeth no es Nancy. Nancy es Canadiense. Por lo tanto, existe una Canadiense quien no es mi amiga. (𝐴𝑥: 𝑥 es mi amiga. 𝐶𝑥: 𝑥 es Canadiense. 𝑒: Elizabet. 𝑛: Nancy.) Representación: 1 𝐴𝑒 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝑥 = 𝑒) 2 𝑒≠𝑛 3 𝐶𝑛 /∴ (∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝐴𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 54/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (continuación) 1 𝐴𝑒 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝑥 = 𝑒) 2 𝑒≠𝑛 3 𝐶𝑛 4 (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝑥 = 𝑒) Simp 1 5 𝐴𝑛 ⊃ 𝑛 = 𝑒 UI 4 6 𝑛≠𝑒 ID2 2 7 ∼𝐴𝑛 MT 5, 6 8 𝐶𝑛 ∧ ∼𝐴𝑛 Conj 3, 7 9 (∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝐴𝑥) EG 8 /∴ (∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝐴𝑥) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 55/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 1, pág. 176) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: El arquitecto que diseño el Tappan Hall solamente diseña edificios de oficinas. Por lo tanto, el Tappan Hall es un edificio de oficinas. (𝐴𝑥: 𝑥 es arquitecto. 𝑡: Tappan Hall. 𝐷𝑥𝑦: 𝑥 diseño a 𝑦. 𝑂𝑥: 𝑥 es un edificio de oficinas.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 56/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 1, pág. 176) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: El arquitecto que diseño el Tappan Hall solamente diseña edificios de oficinas. Por lo tanto, el Tappan Hall es un edificio de oficinas. (𝐴𝑥: 𝑥 es arquitecto. 𝑡: Tappan Hall. 𝐷𝑥𝑦: 𝑥 diseño a 𝑦. 𝑂𝑥: 𝑥 es un edificio de oficinas.) Representación: 1 (∃𝑥)[𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥𝑡 ∧ (∀𝑦)[(𝐴𝑦 ∧ 𝐷𝑦𝑡) ⊃ 𝑦 = 𝑥] ∧ (∀𝑧)(𝐷𝑥𝑧 ⊃ 𝑂𝑧)] /∴ 𝑂𝑡 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 57/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (continuación) 1 (∃𝑥)[𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥𝑡 ∧ (∀𝑦)[(𝐴𝑦 ∧ 𝐷𝑦𝑡) ⊃ 𝑦 = 𝑥] ∧ (∀𝑧)(𝐷𝑥𝑧 ⊃ 𝑂𝑧)] /∴ 𝑂𝑡 2 𝐴𝑎 ∧ 𝐷𝑎𝑡 ∧ (∀𝑦)[(𝐴𝑦 ∧ 𝐷𝑦𝑡) ⊃ 𝑦 = 𝑎] ∧ (∀𝑧)(𝐷𝑎𝑧 ⊃ 𝑂𝑧) EI 1 3 (∀𝑧)(𝐷𝑎𝑧 ⊃ 𝑂𝑧) Simp 2 4 𝐷𝑎𝑡 ⊃ 𝑂𝑡 UI 3 5 𝐷𝑎𝑡 Simp 2 6 𝑂𝑡 MP 4, 5 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 58/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (continuación) En la demostración de la validez del argumento (∃𝑥)[𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥𝑡 ∧ (∀𝑦)[(𝐴𝑦 ∧ 𝐷𝑦𝑡) ⊃ 𝑦 = 𝑥] ∧ (∀𝑧)(𝐷𝑥𝑧 ⊃ 𝑂𝑧)] /∴ 𝑂𝑡 la información (∀𝑦)[(𝐴𝑦 ∧ 𝐷𝑦𝑡) ⊃ 𝑦 = 𝑥] no fue empleada. En la diapositiva de la pág. 60 se muestra un ejemplo donde este tipo de información es necesaria para demostrar la validez del argumento. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 59/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 2*, pág. 176) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: El profesor de griego de la Escuela Preparatoria es muy instruido. Por lo tanto, todos los profesores de griego de la Escuela Preparatoria son muy instruidos. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un profesor de griego. 𝑆𝑥: 𝑥 está en la Escuela Preparatoria. 𝐼𝑥: 𝑥 es muy instruido.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 60/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 2*, pág. 176) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: El profesor de griego de la Escuela Preparatoria es muy instruido. Por lo tanto, todos los profesores de griego de la Escuela Preparatoria son muy instruidos. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un profesor de griego. 𝑆𝑥: 𝑥 está en la Escuela Preparatoria. 𝐼𝑥: 𝑥 es muy instruido.) Representación: 1 (∃𝑥){𝑃 𝑥 ∧ 𝑆𝑥 ∧ 𝐼𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝑃 𝑦 ∧ 𝑆𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦]} /∴ (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑆𝑥) ⊃ 𝐼𝑥] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 61/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (continuación) 1 (∃𝑥){𝑃 𝑥 ∧ 𝑆𝑥 ∧ 𝐼𝑥 ∧ (∀𝑦)[(𝑃 𝑦 ∧ 𝑆𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦]} /∴ (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑆𝑥) ⊃ 𝐼𝑥 2 𝑃 𝑧 ∧ 𝑆𝑧 ACP 3 𝑃 𝑎 ∧ 𝑆𝑎 ∧ 𝐼𝑎 ∧ (∀𝑦)[(𝑃 𝑦 ∧ 𝑆𝑦) ⊃ 𝑎 = 𝑦] EI 1 4 (∀𝑦)[(𝑃 𝑦 ∧ 𝑆𝑦) ⊃ 𝑎 = 𝑦] Simp 3 5 (𝑃 𝑧 ∧ 𝑆𝑧) ⊃ 𝑎 = 𝑧 UI 4 6 𝑎=𝑧 MP 5, 2 7 𝐼𝑎 Simp 3 8 𝐼𝑧 Id3 7, 6 9 10 (𝑃 𝑧 ∧ 𝑆𝑧) ⊃ 𝐼𝑧 CP 2–10 (∀𝑥)[(𝑃 𝑥 ∧ 𝑆𝑥) ⊃ 𝐼𝑥] UG 11 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 62/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 5, pág. 176) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Todos los participantes serán vencedores. Habrá cuando más un vencedor. Hay cuando menos un participante. Por lo tanto, hay exactamente un participante. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un participante. 𝑉 𝑥: 𝑥 será vencedor.) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 63/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (Copi [1998], ejercicio 5, pág. 176) Demostrar la validez del siguiente argumento empleando el símbolo de identidad y las abreviaciones indicadas: Todos los participantes serán vencedores. Habrá cuando más un vencedor. Hay cuando menos un participante. Por lo tanto, hay exactamente un participante. (𝑃 𝑥: 𝑥 es un participante. 𝑉 𝑥: 𝑥 será vencedor.) Representación: 1 (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝑉 𝑥) 2 (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑉 𝑥 ∧ 𝑉 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦] 3 (∃𝑥)𝑃 𝑥 /∴ (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)] Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 64/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (continuación) 1 (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝑉 𝑥) 2 (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑉 𝑥 ∧ 𝑉 𝑦) ⊃ 𝑥 = 𝑦] 3 (∃𝑥)𝑃 𝑥 4 𝑃𝑎 /∴ (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)] EI 3 5 𝑃𝑦 ACP 6 𝑃𝑎 ⊃ 𝑉 𝑎 UI 1 7 𝑃𝑦 ⊃ 𝑉 𝑦 UI 1 8 𝑉𝑎 MP 6, 4 9 𝑉𝑦 MP 7, 5 𝑉𝑎∧𝑉𝑦 Conj 7, 9 10 Continua en la siguiente diapositiva... Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 65/83 Demostraciones de validez de argumentos Ejemplo (continuación) 11 (∀𝑦)[(𝑉 𝑎 ∧ 𝑉 𝑦) ⊃ 𝑎 = 𝑦] UI 2 12 (𝑉 𝑎 ∧ 𝑉 𝑦) ⊃ 𝑎 = 𝑦 UI 11 13 𝑎=𝑦 MP 10, 9 14 𝑃𝑦 ⊃ 𝑎 = 𝑦 CP 5–13 15 (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑎 = 𝑦) UG 14 16 𝑃 𝑎 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑎 = 𝑦) Conj 4, 15 17 (∃𝑥)[𝑃 𝑥 ∧ (∀𝑦)(𝑃 𝑦 ⊃ 𝑥 = 𝑦)] EG 16 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 66/83 Diapositivas extras Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 67/83 Más allá de la lógica de predicados de primer orden Características de la lógica de predicados de primer orden Cuantificación sobre individuos. Los predicados (atributos y las relaciones) tienen como argumentos individuos. 4 Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, pág. 56. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 68/83 Más allá de la lógica de predicados de primer orden Características de la lógica de predicados de primer orden Cuantificación sobre individuos. Los predicados (atributos y las relaciones) tienen como argumentos individuos. Características de las lógicas de orden superior orden “The adjective ‘first-order’ is used to distinguish the languages…from those in which are predicates having other predicates or functions as arguments, or quantification over functions or predicates, or both.”4 4 Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic, pág. 56. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 69/83 Lógica de segundo orden Notación 𝑋: Variable predicativa (atributo o relación) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 70/83 Lógica de segundo orden Notación 𝑋: Variable predicativa (atributo o relación) Ejemplo (Principio de inducción matemática) Representación empleando la lógica de predicados de primer orden: Sea 𝐴𝑥 una función proposicional, entonces [𝐴0 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐴(𝑥 + 1))] ⊃ (∀𝑥)𝐴𝑥. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 71/83 Lógica de segundo orden Notación 𝑋: Variable predicativa (atributo o relación) Ejemplo (Principio de inducción matemática) Representación empleando la lógica de predicados de primer orden: Sea 𝐴𝑥 una función proposicional, entonces [𝐴0 ∧ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐴(𝑥 + 1))] ⊃ (∀𝑥)𝐴𝑥. Representación empleando la lógica de predicados de segundo orden: (∀𝑋){[𝑋0 ∧ (∀𝑥)(𝑋𝑥 ⊃ 𝑋(𝑥 + 1))] ⊃ (∀𝑥)𝑋𝑥}. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 72/83 Lógica de segundo orden Ejemplo (Principio de sustitutividad) (∀𝑋)(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑋𝑥 ∧ 𝑥 = 𝑦) ⊃ 𝑋𝑦]. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 73/83 Lógica de segundo orden Ejemplo (Principio de sustitutividad) (∀𝑋)(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑋𝑥 ∧ 𝑥 = 𝑦) ⊃ 𝑋𝑦]. Ejemplo (Principio de la identidad de los indiscernibles de Leibniz) (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑥 = 𝑦) ≡ (∀𝑋)(𝑋𝑥 ≡ 𝑋𝑦)]. Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 74/83 Lógica de segundo orden Ejemplo (Principio de sustitutividad) (∀𝑋)(∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑋𝑥 ∧ 𝑥 = 𝑦) ⊃ 𝑋𝑦]. Ejemplo (Principio de la identidad de los indiscernibles de Leibniz) (∀𝑥)(∀𝑦)[(𝑥 = 𝑦) ≡ (∀𝑋)(𝑋𝑥 ≡ 𝑋𝑦)]. Ejemplo (Principio de bivalencia) (∀𝑋)(∀𝑥)(𝑋𝑥 ∨ ∼𝑋𝑥). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 75/83 Lógica de segundo orden Ejemplos Sócrates tiene todos los atributos: (∀𝑋)𝑋𝑠 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 76/83 Lógica de segundo orden Ejemplos Sócrates tiene todos los atributos: (∀𝑋)𝑋𝑠 Sócrates tiene algún atributo: (∃𝑋)𝑋𝑠 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 77/83 Lógica de segundo orden Ejemplos Sócrates tiene todos los atributos: (∀𝑋)𝑋𝑠 Sócrates tiene algún atributo: (∃𝑋)𝑋𝑠 Toda cosa tiene todos los atributos: (∀𝑥)(∀𝑋)𝑋𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 78/83 Lógica de segundo orden Ejemplos Sócrates tiene todos los atributos: (∀𝑋)𝑋𝑠 Sócrates tiene algún atributo: (∃𝑋)𝑋𝑠 Toda cosa tiene todos los atributos: (∀𝑥)(∀𝑋)𝑋𝑥 Alguna cosa tiene todos los atributos: (∃𝑥)(∀𝑋)𝑋𝑥 Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 79/83 Lógicas de orden superior Notación 𝒜, … , 𝒵: Atributo de atributos Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 80/83 Lógicas de orden superior Notación 𝒜, … , 𝒵: Atributo de atributos Ejemplos Todos los atributos útiles son deseables: 𝒰𝑋: 𝑋 es un atributo útil 𝒟𝑋: 𝑋 es un atributo deseable Representación: (∀𝑋)(𝒰𝑋 ⊃ 𝒟𝑋) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 81/83 Lógicas de orden superior Notación 𝒜, … , 𝒵: Atributo de atributos Ejemplos Todos los atributos útiles son deseables: 𝒰𝑋: 𝑋 es un atributo útil 𝒟𝑋: 𝑋 es un atributo deseable Representación: (∀𝑋)(𝒰𝑋 ⊃ 𝒟𝑋) Algunos atributos deseables no son útiles: (∃𝑋)(𝒟𝑋 ∧ ∼𝒰𝑋) Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 82/83 Referencias Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental. Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth, Cengage Learning. Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic. 4.a ed. Chapman & Hall. Real Academia Española, ed. (2012). Diccionario de la Lengua Española. 22.a ed. Espasa Calpe, S. A. url: http://www.rae.es/drae/ (visitado 14-04-2015). Lógica - CM0260. Lógica de predicados de primer orden con identidad 83/83 Lógica - CM0260 Teoría de conjuntos Andrés Sicard Ramírez Universidad EAFIT Semestre 2015-2 Introducción Georg Cantor (1845 – 1918) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 2/143 Introducción “Set theory was invented by Georg Cantor…It was however Cantor who realized the significance of one-to-one functions between sets and introduced the notion of cardinality of a set.” (pág. 15) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 3/143 Introducción “Set theory was born on that December 1873 day when Cantor established that the reals are uncountable, i.e. there is no one-to-one correspondence between the reals and the natural numbers.” (pág. XII) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 4/143 Notación lógica Símbolo Conjunción Disyunción Negación Condicional Bicondicional Cuantificación universal Cuantificación existencial Copi1 y Hurley2 · ∨ ∼ ⊃ ≡ (𝑥)𝑃 𝑥 (∃𝑥)𝑃 𝑥 Rosen3 ∧ ∨ ¬ → ↔ ∀𝑥𝑃 (𝑥) ∃𝑥𝑃 (𝑥) Sierra4 ∧ ∨ ∼ → ↔ ∀𝑥𝑃 (𝑥) ∃𝑥𝑃 (𝑥) 1 Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 3 Rosen, Kenneth H. (2004). Matemática Discreta y sus Aplicaciones, 5ª ed. 4 Sierra A., Manuel (2010). Conjuntos y Relaciones. 2 Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 5/143 Conjuntos Definición (Conjunto) Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 6/143 Conjuntos Definición (Conjunto) Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros. Relación (binaria) de pertenencia 𝑥 ∈ 𝐴: def 𝑥 ∉ 𝐴 = ¬(𝑥 ∈ 𝐴): Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos El elemento 𝑥 pertenece al conjunto 𝐴. El elemento 𝑥 no pertenece al conjunto 𝐴. 7/143 Conjuntos Definición (Conjunto) Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros. Relación (binaria) de pertenencia 𝑥 ∈ 𝐴: def 𝑥 ∉ 𝐴 = ¬(𝑥 ∈ 𝐴): El elemento 𝑥 pertenece al conjunto 𝐴. El elemento 𝑥 no pertenece al conjunto 𝐴. Ejemplos Listando sus elementos: 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 8/143 Conjuntos Definición (Conjunto) Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros. Relación (binaria) de pertenencia 𝑥 ∈ 𝐴: def 𝑥 ∉ 𝐴 = ¬(𝑥 ∈ 𝐴): El elemento 𝑥 pertenece al conjunto 𝐴. El elemento 𝑥 no pertenece al conjunto 𝐴. Ejemplos Listando sus elementos: 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}. Empleando puntos suspensivos: 𝐷 = {0, 1, … , 9}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 9/143 Conjuntos Definición (Conjunto) Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros. Relación (binaria) de pertenencia 𝑥 ∈ 𝐴: El elemento 𝑥 pertenece al conjunto 𝐴. def 𝑥 ∉ 𝐴 = ¬(𝑥 ∈ 𝐴): El elemento 𝑥 no pertenece al conjunto 𝐴. Ejemplos Listando sus elementos: 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}. Empleando puntos suspensivos: 𝐷 = {0, 1, … , 9}. Empleando una propiedad: 𝐴 = {𝑥 ∣ 𝑥 es un entero positivo menor que 10}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 10/143 Conjuntos Ejemplos (Conjuntos comunes en Matemáticas) ℕ = el conjunto de los números naturales = {0, 1, 2, …} ℤ = el conjunto de los números enteros = {… , −2, −1, 0, 1, 2, …} ℤ+ = el conjunto de los números enteros positivos = {1, 2, …} ℚ = el conjunto de los números racionales = {𝑝/𝑞 ∣ 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0} ℝ = el conjunto de los números reales =? Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 11/143 Conjuntos Ejemplos 𝐴 = {∅, {∅}, {{∅}}}, 𝐵 = {ℕ, ℤ, ℝ}, 𝐶 = {ℕ, 𝑎}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 12/143 Tipos de datos Observación: “Note that the concept of a datatype, or type, in computer science is built upon the concept of a set. In particular, a datatype or type is the name of a set, together with a set of operations that can be performed on objects from that set. For example, boolean is the name of the set {0, 1} together with operators on one or more elements of this set, such as AND, OR, and NOT.”5 5 Rosen, Kenneth H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications, pág. 117. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 13/143 Igualdad entre conjuntos Definición (Igualdad entre conjuntos) Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales si, y sólo si, tienen los mismos elementos, es decir, 𝐴 = 𝐵 sii ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵). Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 14/143 Igualdad entre conjuntos Definición (Igualdad entre conjuntos) Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales si, y sólo si, tienen los mismos elementos, es decir, 𝐴 = 𝐵 sii ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵). La anterior definición proviene del axioma ∀𝐴∀𝐵[∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵] Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos (axioma de extensionalidad) 15/143 Igualdad entre conjuntos Definición (Igualdad entre conjuntos) Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales si, y sólo si, tienen los mismos elementos, es decir, 𝐴 = 𝐵 sii ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵). La anterior definición proviene del axioma ∀𝐴∀𝐵[∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵] (axioma de extensionalidad) Por lo tanto, que dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son diferentes se expresa por 𝐴 ≠ 𝐵 sii ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴). Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 16/143 Igualdad entre conjuntos No importa el orden {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} = {𝑖, 𝑜, 𝑎, 𝑒, 𝑢} Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 17/143 Igualdad entre conjuntos No importa el orden {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} = {𝑖, 𝑜, 𝑎, 𝑒, 𝑢} No importa los elementos repetidos (convención de Rosen [2004]) {𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑏} Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 18/143 El conjunto vacío y el conjunto universal Definición (Conjunto vacío) El conjunto vacío, denotado ∅, es el conjunto que no tiene elementos, es decir, ∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ≠ 𝑥}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 19/143 El conjunto vacío y el conjunto universal Definición (Conjunto vacío) El conjunto vacío, denotado ∅, es el conjunto que no tiene elementos, es decir, ∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ≠ 𝑥}. La anterior definición proviene del axioma ∃𝐴∀𝑥(𝑥 ∉ 𝐴) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos (axioma del conjunto vacío) 20/143 El conjunto vacío y el conjunto universal Definición (Conjunto vacío) El conjunto vacío, denotado ∅, es el conjunto que no tiene elementos, es decir, ∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ≠ 𝑥}. La anterior definición proviene del axioma ∃𝐴∀𝑥(𝑥 ∉ 𝐴) (axioma del conjunto vacío) Observación: ∅ ≠ {∅} Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 21/143 El conjunto vacío y el conjunto universal Definición (Conjunto vacío) El conjunto vacío, denotado ∅, es el conjunto que no tiene elementos, es decir, ∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ≠ 𝑥}. La anterior definición proviene del axioma ∃𝐴∀𝑥(𝑥 ∉ 𝐴) (axioma del conjunto vacío) Observación: ∅ ≠ {∅} Definición (Conjunto universal) El conjunto universal, denotado 𝑈 , contiene todos los objetos bajo consideración. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 22/143 Relación de pertenencia Ejercicio (Rosen [2004], problema 8, pág. 78) Determinar si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa. a. ∅ ∈ {∅} b. ∅ ∈ {∅, {∅}} c. {∅} ∈ {∅} Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 23/143 Relación de pertenencia Ejercicio (Rosen [2004], problema 8, pág. 78) Determinar si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa. a. ∅ ∈ {∅} (verdadera) b. ∅ ∈ {∅, {∅}} (verdadera) c. {∅} ∈ {∅} (falsa) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 24/143 Subconjuntos Definición (Subconjunto) El conjunto 𝐴 se dice que es un subconjunto del conjunto 𝐵 (denotado 𝐴 ⊆ 𝐵) si, y sólo si, todo elemento de 𝐴 es también elemento de 𝐵, es decir 𝐴 ⊆ 𝐵 sii ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵). Por lo tanto, si el conjunto 𝐴 no es subconjunto del conjunto 𝐵 significa que algún elemento de 𝐴 no es elemento de 𝐵, es decir, ¬(𝐴 ⊆ 𝐵) sii ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵). Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 25/143 Subconjuntos Definición (Subconjunto) El conjunto 𝐴 se dice que es un subconjunto del conjunto 𝐵 (denotado 𝐴 ⊆ 𝐵) si, y sólo si, todo elemento de 𝐴 es también elemento de 𝐵, es decir 𝐴 ⊆ 𝐵 sii ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵). Por lo tanto, si el conjunto 𝐴 no es subconjunto del conjunto 𝐵 significa que algún elemento de 𝐴 no es elemento de 𝐵, es decir, ¬(𝐴 ⊆ 𝐵) sii ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵). Teorema Para cualquier conjunto 𝐴, ∅ ⊆ 𝐴 y 𝐴 ⊆ 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 26/143 Subconjuntos Igualdad entre conjuntos Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos, entonces 𝐴 = 𝐵 sii 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 27/143 Subconjuntos Igualdad entre conjuntos Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos, entonces 𝐴 = 𝐵 sii 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴. Definición (Subconjunto propio) El conjunto 𝐴 se dice que es un subconjunto propio del conjunto 𝐵 (denotado 𝐴 ⊂ 𝐵) cuando 𝐴 ⊂ 𝐵 sii 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 28/143 Subconjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 8, pág. 78) Determinar si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa. e. {∅} ⊂ {∅, {∅}} f. {{∅}} ⊂ {∅, {∅}} Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 29/143 Subconjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 8, pág. 78) Determinar si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa. e. {∅} ⊂ {∅, {∅}} (verdadera) f. {{∅}} ⊂ {∅, {∅}} (verdadera) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 30/143 Subconjuntos Ejemplo Formulación 1 (Rosen [2004], problema 11, pág. 78) Supongamos que 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos tales 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐶. Demostrar que 𝐴 ⊆ 𝐶. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 31/143 Subconjuntos Ejemplo Formulación 1 (Rosen [2004], problema 11, pág. 78) Supongamos que 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos tales 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐶. Demostrar que 𝐴 ⊆ 𝐶. Formulación 2 (Sierra A. [2010], ejercicio 1.1, pág. 3) Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos arbitrarios. Demostrar que 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 32/143 Subconjuntos Ejemplo Formulación 1 (Rosen [2004], problema 11, pág. 78) Supongamos que 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos tales 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐶. Demostrar que 𝐴 ⊆ 𝐶. Formulación 2 (Sierra A. [2010], ejercicio 1.1, pág. 3) Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos arbitrarios. Demostrar que 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶. Formulación 3 Demostrar la validez del siguiente argumento: 𝐴⊆𝐵 𝐵⊆𝐶 /∴ 𝐴 ⊆ 𝐶 Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 33/143 Subconjuntos Ejemplo (continuación) Solución de Rosen [2004] Supongamos que 𝑥 ∈ 𝐴. Como 𝐴 ⊆ 𝐵 esto implica que 𝑥 ∈ 𝐵. Como 𝐵 ⊆ 𝐶, vemos que 𝑥 ∈ 𝐶. Como 𝑥 ∈ 𝐴 implica que 𝑥 ∈ 𝐶, se deduce que 𝐴 ⊆ 𝐶. (Rosen [2004, §1.5] presenta varios ejemplos de este tipo de pruebas) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 34/143 Subconjuntos Ejemplo (continuación) Solución de Rosen [2004] Supongamos que 𝑥 ∈ 𝐴. Como 𝐴 ⊆ 𝐵 esto implica que 𝑥 ∈ 𝐵. Como 𝐵 ⊆ 𝐶, vemos que 𝑥 ∈ 𝐶. Como 𝑥 ∈ 𝐴 implica que 𝑥 ∈ 𝐶, se deduce que 𝐴 ⊆ 𝐶. Prueba formal 1 2 3 4 5 6 (Rosen [2004, §1.5] presenta 7 varios ejemplos de este tipo de 8 pruebas) 9 10 11 12 Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 𝐴⊆𝐵 𝐵 ⊆ 𝐶 /∴ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐶) 𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐵 𝑥∈𝐵→𝑥∈𝐶 𝑥∈𝐴 𝑥∈𝐵 𝑥∈𝐶 𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐶 ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐶) 𝐴⊆𝐶 Def. ⊆, 1 Def. ⊆, 2 UI 3 UI 4 ACP MP 5, 7 MP 6, 8 CP 7–9 UG 10 Def. ⊆, 11 35/143 Subconjuntos Observación Recordar que 1 no se puede demostrar empleando un ejemplo y 2 un contraejemplo se puede usar para refutar. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 36/143 Subconjuntos Observación Recordar que 1 no se puede demostrar empleando un ejemplo y 2 un contraejemplo se puede usar para refutar. Ejemplo (Sierra A. [2010], ejercicio 1.2, pág. 3) Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos arbitrarios. Demostrar o refutar que 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 → ¬(𝐴 ⊆ 𝐶). Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 37/143 Subconjuntos Ejercicio (Sierra A. [2010], ejercicio 1.17, pág. 3) Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos arbitrarios. Demostrar formalmente o refutar el siguiente argumento: 1 𝐴≠𝐵 2 𝐴⊆𝐵 /∴ ¬(𝐵 ⊆ 𝐴) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 38/143 Subconjuntos Ejercicio (Sierra A. [2010], ejercicio 1.17, pág. 3) Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos arbitrarios. Demostrar formalmente o refutar el siguiente argumento: 1 𝐴≠𝐵 2 𝐴⊆𝐵 3 (∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴) Def. ≠, 1 4 (∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) Def. ⊆, 2 5 ¬(∃𝑥)¬(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) CQ 4 6 ¬(∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) Impl, DM 5 7 (∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴) DS 3, 6 8 ¬(𝐵 ⊆ 𝐴) Def. ⊆, 7 /∴ ¬(𝐵 ⊆ 𝐴) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 39/143 Subconjuntos Ejercicio (Sierra A. [2010], ejercicio 1.32, pág. 3) Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos arbitrarios. Demostrar o refutar que 𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 40/143 Subconjuntos Ejercicio (Sierra A. [2010], ejercicio 1.32, pág. 3) Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos arbitrarios. Demostrar o refutar que 𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵. Refutación (contraejemplo): Sea 𝐴 = {1} y 𝐵 = {{1}, 2}. Entonces 𝐴 ∈ 𝐵, pero 𝐴 no es subconjunto de 𝐵. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 41/143 Conjuntos finitos e infinitos Definición (Cardinalidad) El número de elementos distintos en un conjunto 𝐴, denotado |𝐴|, es llamado la cardinalidad de 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 42/143 Conjuntos finitos e infinitos Definición (Cardinalidad) El número de elementos distintos en un conjunto 𝐴, denotado |𝐴|, es llamado la cardinalidad de 𝐴. Definición (Conjuntos finito e infinitos) Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛, con 𝑛 ∈ ℕ, entonces 𝐴 es un conjunto finito, de lo contrario, 𝐴 es un conjunto infinito. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 43/143 Conjuntos finitos e infinitos Definición (Cardinalidad) El número de elementos distintos en un conjunto 𝐴, denotado |𝐴|, es llamado la cardinalidad de 𝐴. Definición (Conjuntos finito e infinitos) Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛, con 𝑛 ∈ ℕ, entonces 𝐴 es un conjunto finito, de lo contrario, 𝐴 es un conjunto infinito. Ejemplos |∅| = 0, |{𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}| = |{𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}| = 5. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 44/143 El conjunto de partes de un conjunto Definición (Conjunto de partes) El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto 𝐴, denotado 𝑃 (𝐴), es llamado el conjunto de partes (o conjunto potencia) de 𝐴, es decir, 𝑃 (𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 45/143 El conjunto de partes de un conjunto Definición (Conjunto de partes) El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto 𝐴, denotado 𝑃 (𝐴), es llamado el conjunto de partes (o conjunto potencia) de 𝐴, es decir, 𝑃 (𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}. La anterior definición proviene del axioma ∀𝐴∃𝐵∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos (axioma del conjunto potencia) 46/143 El conjunto de partes de un conjunto Definición (Conjunto de partes) El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto 𝐴, denotado 𝑃 (𝐴), es llamado el conjunto de partes (o conjunto potencia) de 𝐴, es decir, 𝑃 (𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}. La anterior definición proviene del axioma ∀𝐴∃𝐵∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴) (axioma del conjunto potencia) Ejemplo 𝑃 ({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 47/143 El conjunto de partes de un conjunto Teorema Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛 ∈ ℕ, entonces |𝑃 (𝐴)| = 2𝑛 . Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 48/143 El conjunto de partes de un conjunto Teorema Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛 ∈ ℕ, entonces |𝑃 (𝐴)| = 2𝑛 . (La demostración de este teorema emplea inducción matemática la cual será vista en un curso posterior.) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 49/143 El conjunto de partes de un conjunto Teorema Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛 ∈ ℕ, entonces |𝑃 (𝐴)| = 2𝑛 . (La demostración de este teorema emplea inducción matemática la cual será vista en un curso posterior.) Ejercicio (Rosen [2004], problema 15, pág. 79) Hallar el conjunto de partes de {∅, {∅}}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 50/143 El conjunto de partes de un conjunto Teorema Sea 𝐴 un conjunto. Si |𝐴| = 𝑛 ∈ ℕ, entonces |𝑃 (𝐴)| = 2𝑛 . (La demostración de este teorema emplea inducción matemática la cual será vista en un curso posterior.) Ejercicio (Rosen [2004], problema 15, pág. 79) Hallar el conjunto de partes de {∅, {∅}}. Solución: 𝑃 ({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 51/143 El conjunto de partes de un conjunto Ejercicio (Rosen [2004], problema complementario 35, pág. 107) Supongamos que 𝐴 y 𝐵 son conjuntos tales que el conjunto de las partes de 𝐴 es subconjunto del conjunto de las partes de 𝐵. ¿Se puede concluir que 𝐴 es subconjunto de 𝐵? Justificar su respuesta. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 52/143 El conjunto de partes de un conjunto Ejercicio (Rosen [2004], problema complementario 35, pág. 107) Supongamos que 𝐴 y 𝐵 son conjuntos tales que el conjunto de las partes de 𝐴 es subconjunto del conjunto de las partes de 𝐵. ¿Se puede concluir que 𝐴 es subconjunto de 𝐵? Justificar su respuesta. Respuesta: Si se puede concluir que 𝐴 ⊆ 𝐵. Justificación: Supongamos que 𝐴 no es subconjunto de 𝐵, es decir, existe un 𝑥 tal que 𝑥 ∈ 𝐴 y 𝑥 ∉ 𝐵. Entonces {𝑥} ∈ 𝑃 (𝐴) pero {𝑥} ∉ 𝑃 (𝐵), es decir, 𝑃 (𝐴) no es subconjunto de 𝑃 (𝐵). Lo anterior contradice el supuesto de que 𝑃 (𝐴) ⊆ 𝑃 (𝐵). Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 53/143 Tuplas ordenadas Definición (𝑛-tupla ordenada) La 𝑛-tupla ordenada (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) es la colección ordenada en la que 𝑎1 es su primer elemento, 𝑎2 es el segundo elemento,… y 𝑎𝑛 es el 𝑛-ésimo elemento. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 54/143 Tuplas ordenadas Definición (𝑛-tupla ordenada) La 𝑛-tupla ordenada (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) es la colección ordenada en la que 𝑎1 es su primer elemento, 𝑎2 es el segundo elemento,… y 𝑎𝑛 es el 𝑛-ésimo elemento. Definición (Igualdad de 𝑛-tuplas ordenadas) Dos 𝑛-tuplas ordenadas son iguales si, y sólo si, cada par correspondiente de sus elementos son iguales. Es decir, (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) sii 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 55/143 Producto cartesiano Definición (Producto cartesiano de 2 conjuntos) El producto cartesiano de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, denotado 𝐴 × 𝐵, es el conjunto de pares ordenados 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) ∣ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 56/143 Producto cartesiano Definición (Producto cartesiano de 2 conjuntos) El producto cartesiano de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, denotado 𝐴 × 𝐵, es el conjunto de pares ordenados 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) ∣ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}. Ejemplo Sea 𝐴 = {𝑎, 𝑏} y 𝐵 = {1, 2}. Entonces 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 1), (𝑎, 2), (𝑏, 1), (𝑏, 2)}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 57/143 Producto cartesiano Ejercicio (Rosen [2004], problema 22, pág. 79) Supongamos que 𝐴 × 𝐵 = ∅, donde 𝐴 y 𝐵 son conjuntos. ¿Qué se puede concluir? Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 58/143 Producto cartesiano Ejercicio (Rosen [2004], problema 22, pág. 79) Supongamos que 𝐴 × 𝐵 = ∅, donde 𝐴 y 𝐵 son conjuntos. ¿Qué se puede concluir? Solución: 𝐴 y/o 𝐵 son el conjunto vacío. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 59/143 Producto cartesiano Teorema (Rosen [2004], problema 23, pág. 79) Sea 𝐴 un conjunto, entonces 𝐴 × ∅ = ∅ × 𝐴 = ∅. Demostración. 𝐴 × ∅ = {(𝑥, 𝑦) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∅} (def. producto cartesiano) =∅ (def. conjunto vacío) = {(𝑥, 𝑦) ∣ 𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴} (def. conjunto vacío) =∅×𝐴 (def. producto cartesiano) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 60/143 Producto cartesiano Ejercicio Supongamos que 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴, donde 𝐴 y 𝐵 son conjuntos. ¿Qué se puede concluir? Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 61/143 Producto cartesiano Ejercicio Supongamos que 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴, donde 𝐴 y 𝐵 son conjuntos. ¿Qué se puede concluir? Solución: 𝐴 y/o 𝐵 son el conjunto vacío o 𝐴 = 𝐵. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 62/143 Producto cartesiano Teorema (Rosen [2004], problema 26, pág. 79) El producto cartesiano no es conmutativo, es decir, 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 para conjuntos 𝐴 y 𝐵 no vacíos, a no ser que 𝐴 = 𝐵. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 63/143 Producto cartesiano Definición (Producto cartesiano de 𝑛 conjuntos) El producto cartesiano de 𝑛 conjuntos 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 , denotado 𝐴1 × 𝐴2 × ⋯ × 𝐴𝑛 , es el conjunto de 𝑛-tuplas {(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) ∣ 𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 64/143 Uso de notación de conjunto con cuantificadores Escribir explícitamente el dominio de cuantificación ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑃 (𝑥): Cuantificación universal de 𝑃 (𝑥) donde el dominio es el conjunto 𝐴. ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑃 (𝑥): Cuantificación existencial de 𝑃 (𝑥) donde el dominio es el conjunto 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 65/143 Uso de notación de conjunto con cuantificadores Escribir explícitamente el dominio de cuantificación ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑃 (𝑥): Cuantificación universal de 𝑃 (𝑥) donde el dominio es el conjunto 𝐴. ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑃 (𝑥): Cuantificación existencial de 𝑃 (𝑥) donde el dominio es el conjunto 𝐴. Ejemplos ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥2 ≥ 0) ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥2 = 1) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 66/143 Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory) Definición (Conjunto) Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros. Especificación de conjuntos por predicados Sea 𝑃 (𝑥) un predicado, entonces definimos un conjunto 𝑆 por 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑃 (𝑥)}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 67/143 Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory) Definición (Conjunto) Un conjunto es una colección desordenada de objetos, o elementos o miembros. Especificación de conjuntos por predicados Sea 𝑃 (𝑥) un predicado, entonces definimos un conjunto 𝑆 por 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑃 (𝑥)}. Ejemplo 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 es un entero positivo menor que 10}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 68/143 Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory) Gottlob Frege Bertrand Russell (1848 – 1925) (1872 – 1970) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 69/143 Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory) Carta de Russell a van Heijenoort6 Penrhyndeudraeth, 23 November 1962 Dear Professor van Heijenoort, As I think about acts of integrity and grace, I realise there is nothing in my knowledge to compare with Frege’s dedication to truth. His entire life’s work was on the verge of completion, much of his work had been ignored to the benefit of men infinitely less capable, his second volume was about to be published, and upon finding that his fundamental assumption was in error, he responded with intellectual pleasure clearly submerging any feelings of personal disappointment. It was almost superhuman and a telling indication of that of which men are capable if their dedication is to creative work and knowledge instead of cruder efforts to dominate and be known. Yours sincerely Bertrand Russell 6 van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, pág. 127. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 70/143 Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory) Paradoja de Russell Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se contienen a si mismos. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 71/143 Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory) Paradoja de Russell Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se contienen a si mismos. Si 𝑆 ∈ 𝑆, esto conduce a una contradicción. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 72/143 Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory) Paradoja de Russell Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se contienen a si mismos. Si 𝑆 ∈ 𝑆, esto conduce a una contradicción. Si 𝑆 ∉ 𝑆, esto conduce a una contradicción. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 73/143 Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory) Paradoja de Russell Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se contienen a si mismos. Si 𝑆 ∈ 𝑆, esto conduce a una contradicción. Si 𝑆 ∉ 𝑆, esto conduce a una contradicción. Por lo tanto, el conjunto 𝑆 no se puede definir. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 74/143 Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory) Paradoja de Russell Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se contienen a si mismos. Si 𝑆 ∈ 𝑆, esto conduce a una contradicción. Si 𝑆 ∉ 𝑆, esto conduce a una contradicción. Por lo tanto, el conjunto 𝑆 no se puede definir. Problema: 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑃 (𝑥)}, para cualquier 𝑃 (𝑥). Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 75/143 Teoría de conjuntos ingenua (Naïve set theory) Paradoja de Russell Sea 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑥}. Es decir, 𝑆 contiene a los conjuntos que no se contienen a si mismos. Si 𝑆 ∈ 𝑆, esto conduce a una contradicción. Si 𝑆 ∉ 𝑆, esto conduce a una contradicción. Por lo tanto, el conjunto 𝑆 no se puede definir. Problema: 𝑆 = {𝑥 ∣ 𝑃 (𝑥)}, para cualquier 𝑃 (𝑥). Algunas soluciones: Teoría de tipos acumulativa Teoría de conjuntos axiomática de Zermelo-Fraenkel con axioma de elección (ZFC) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 76/143 2. The following figure illustrates Venn diagrams for two and thre Operaciones entrefigure conjuntos 3. The following gives the Venn diagrams for sets construct operations. Diagramas de Venn7 A B A B U A B A A B A∩B (A ∪ B) A A-B c 2000 by CRC Press LLC 7 Figura tomada de Rosen, Kenneth H. (2000). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 77/143 Operaciones entre conjuntos Operaciones 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} (unión) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} (intersección) 𝐴 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝐴} 𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} (complemento) (diferencia) donde def 1 𝑥 ∉ 𝐴 = ¬(𝑥 ∈ 𝐴) y 2 𝐴 está definido respecto a un conjunto universal 𝑈 dado. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 78/143 Operaciones entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 22.a, pág. 88) ¿Se puede concluir que 𝐴 = 𝐵 si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos tales que 𝐴 ∪ 𝐶 = 𝐵 ∪ 𝐶? Justificar su respuesta. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 79/143 Operaciones entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 22.a, pág. 88) ¿Se puede concluir que 𝐴 = 𝐵 si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos tales que 𝐴 ∪ 𝐶 = 𝐵 ∪ 𝐶? Justificar su respuesta. Respuesta: No. Justificación (contraejemplo): Sea 𝐴 = {1}, 𝐵 = {2} y 𝐶 = {1, 2}. Entonces 𝐴 ∪ 𝐶 = 𝐵 ∪ 𝐶, pero 𝐴 ≠ 𝐵. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 80/143 Operaciones entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 21.c, pág. 88) Se puede concluir que 𝐵 = ∅ si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos tales que 𝐴 − 𝐵 = 𝐴? Justificar su respuesta. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 81/143 Operaciones entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 21.c, pág. 88) Se puede concluir que 𝐵 = ∅ si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos tales que 𝐴 − 𝐵 = 𝐴? Justificar su respuesta. Respuesta: No. Justificación (contraejemplo): Sea 𝐴 = {1} y 𝐵 = {2}. Entonces 𝐴 − 𝐵 = 𝐴, pero 𝐵 ≠ ∅. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 82/143 Álgebras Booleanas Teoría de conjuntos ∪ ∩ − ∅ 𝑈 Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos Lógica proposicional ∨ ∧ ¬ F V 83/143 Equivalencias lógicas Notación Símbolo V F 𝑝≡𝑞 Significado Tautología Contradicción 𝑝 y 𝑞 son lógicamente equivalentes (es decir, 𝑝 ↔ 𝑞 es una tautología) Observación: Rosen [2004] introduce las constantes lógicas V y F. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 84/143 Equivalencias lógicas Equivalencia lógica 𝑝∨𝑝 ≡𝑝 𝑝∧𝑝 ≡𝑝 ¬(¬𝑝) ≡ 𝑝 𝑝∨𝑞 ≡𝑞∨𝑝 𝑝∧𝑞 ≡𝑞∧𝑝 (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 ¬(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞 Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos Nombre Leyes idempotentes Ley de la doble negación Leyes conmutativas Leyes asociativas Leyes distributivas Leyes de De Morgan 85/143 Equivalencias lógicas Equivalencia lógica 𝑝∧V ≡𝑝 𝑝∨F≡𝑝 Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos Nombre Leyes de identidad 86/143 Equivalencias lógicas Equivalencia lógica 𝑝∧V ≡𝑝 𝑝∨F≡𝑝 𝑝∨V ≡V 𝑝∧F≡F Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos Nombre Leyes de identidad Leyes de dominación 87/143 Equivalencias lógicas Equivalencia lógica 𝑝∧V ≡𝑝 𝑝∨F≡𝑝 𝑝∨V ≡V 𝑝∧F≡F 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝 𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝 Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos Nombre Leyes de identidad Leyes de dominación Leyes de absorción 88/143 Equivalencias lógicas Equivalencia lógica 𝑝∧V ≡𝑝 𝑝∨F≡𝑝 𝑝∨V ≡V 𝑝∧F≡F 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝 𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝 𝑝 ∨ ¬𝑝 ≡ V 𝑝 ∧ ¬𝑝 ≡ F Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos Nombre Leyes de identidad Leyes de dominación Leyes de absorción Leyes de negación 89/143 Equivalencias lógicas Equivalencia lógica 𝑝∧V ≡𝑝 𝑝∨F≡𝑝 𝑝∨V ≡V 𝑝∧F≡F 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝 𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝 𝑝 ∨ ¬𝑝 ≡ V 𝑝 ∧ ¬𝑝 ≡ F ¬V ≡ F ¬F ≡ V Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos Nombre Leyes de identidad Leyes de dominación Leyes de absorción Leyes de negación Ley de negación de tautología Ley de negación de contradicción 90/143 Identidades básicas entre conjuntos Identidad básica 𝐴∪𝐴=𝐴 𝐴∩𝐴=𝐴 Nombre Leyes idempotentes (𝐴) = 𝐴 𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴 𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴 (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) Ley de complementación Leyes conmutativas 𝐴∩𝐵 =𝐴∪𝐵 𝐴∪𝐵 =𝐴∩𝐵 Leyes de De Morgan Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos Leyes asociativas Leyes distributivas 91/143 Identidades básicas entre conjuntos Identidad básica 𝐴∩𝑈 =𝐴 𝐴∪∅=𝐴 𝐴∪𝑈 =𝑈 𝐴∩∅=∅ 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 Nombre Leyes de identidad 𝐴∪𝐴=𝑈 𝐴∩𝐴=∅ Leyes de complemento 𝑈 =∅ ∅=𝑈 Ley del complemento del conjunto universal Ley del complemento del conjunto vacío Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos Leyes de dominación Leyes de absorción 92/143 Identidades básicas entre conjuntos Las identidades básicas entre conjuntos se pueden demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 93/143 Identidades básicas entre conjuntos Las identidades básicas entre conjuntos se pueden demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas. Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.a, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de identidad 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 94/143 Identidades básicas entre conjuntos Las identidades básicas entre conjuntos se pueden demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas. Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.a, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de identidad 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴. Demostración. 𝐴 ∪ ∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅} (def. unión) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ F} (def. conjunto vacío) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} (ley lógica de identidad) =𝐴 (def. 𝐴) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 95/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.c, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de idempotencia 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 96/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.c, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de idempotencia 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴. Demostración. 𝐴 ∪ 𝐴 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴} (def. unión) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} (ley lógica de idempotencia) =𝐴 (def. 𝐴) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 97/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.g, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de identidad 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 98/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.g, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de identidad 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴. Demostración. 𝐴 ∩ 𝑈 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 } (def. intersección) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ V} (def. conjunto universal) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} (ley lógica de identidad) =𝐴 (def. 𝐴) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 99/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.f, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de dominación 𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈 . Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 100/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 6.f, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de dominación 𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈 . Demostración. 𝐴 ∪ 𝑈 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝑈 } (def. unión) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ V} (def. conjunto universal) = {𝑥 ∣ V} (ley lógica de dominancia) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝑈 } (def. conjunto universal) =𝑈 (def. 𝑈 ) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 101/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 5, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de complementación (𝐴) = 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 102/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 5, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de complementación (𝐴) = 𝐴. Demostración. (𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝐴} (def. complemento) = {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∈ 𝐴)} (def. ∉) = {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∉ 𝐴)} (def. complemento) = {𝑥 ∣ ¬[¬(𝑥 ∈ 𝐴)]} (def. ∉) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} (ley lógica de la doble negación) =𝐴 (def. 𝐴) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 103/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 11, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de De Morgan 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 104/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 11, pág. 87) Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley de De Morgan 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵. Demostración. 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵} (def. complemento) = {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵} (def. ∉) = {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)} (def. unión) = {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬(𝑥 ∈ 𝐵)} (ley lógica de De Morgan) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} (def. ∉) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} (def. complemento) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵} (def. intersección) =𝐴∩𝐵 (def. 𝐴 ∩ 𝐵) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 105/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejemplo Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley del complemento del conjunto universal 𝑈 = ∅. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 106/143 Identidades básicas entre conjuntos Ejemplo Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas la ley del complemento del conjunto universal 𝑈 = ∅. Demostración. 𝑈 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝑈 } (def. complemento) = {𝑥 ∣ ¬(𝑥 ∈ 𝑈 )} (def. ∉) = {𝑥 ∣ ¬V} (def. conjunto universal) = {𝑥 ∣ F} (ley lógica de negación de tautología) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ∅} (def. conjunto vacío) =∅ (def. ∅) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 107/143 Nuevas identidades entre conjuntos Empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas podemos demostrar nuevas identidades entre conjuntos. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 108/143 Nuevas identidades entre conjuntos Empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas podemos demostrar nuevas identidades entre conjuntos. Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.e, pág. 87) Sea 𝐴 un conjunto. Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que 𝐴 − ∅ = 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 109/143 Nuevas identidades entre conjuntos Empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas podemos demostrar nuevas identidades entre conjuntos. Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.e, pág. 87) Sea 𝐴 un conjunto. Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que 𝐴 − ∅ = 𝐴. Demostración. 𝐴 − ∅ = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ ∅} (def. diferencia) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ V} (def. conjunto vacío) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} (ley lógica de identidad) =𝐴 (def. 𝐴) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 110/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.h, pág. 87) Sea 𝐴 un conjunto. Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que ∅ − 𝐴 = ∅. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 111/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejemplo (Rosen [2004], problema 6.h, pág. 87) Sea 𝐴 un conjunto. Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que ∅ − 𝐴 = ∅. Demostración. ∅ − 𝐴 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑥 ∉ 𝐴} (def. diferencia) = {𝑥 ∣ F ∧ 𝑥 ∉ 𝐴} (def. conjunto vacío) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∉ 𝐴 ∧ F} (ley lógica conmutativa) = {𝑥 ∣ F} (ley lógica de dominación) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ∅} (def. conjunto vacío) =∅ (def. ∅) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 112/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 12.d, pág. 87) Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que 𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐴) = ∅. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 113/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (continuación) Demostración. 𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 − 𝐴)} (def. intersección) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)} (def. diferencia) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)} (ley conmutativa) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} (ley asociativa) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬(𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} (def. ∉) = {𝑥 ∣ F ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} (ley de negación) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ F} (ley de conmutativa) = {𝑥 ∣ F} (ley de dominancia) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ∅} (def. conjunto vacío) =∅ (def. conjunto vacío) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 114/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 12.e, pág. 87) Sea 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que 𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐴 ∪ 𝐵. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 115/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 12.e, pág. 87) Sea 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las definiciones de las operaciones entre conjuntos y las equivalencias lógicas que 𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐴 ∪ 𝐵. Demostración. 𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 − 𝐴)} (def. unión) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)} (def. diferencia) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∉ 𝐴)} (ley distributiva) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ ¬(𝑥 ∈ 𝐴))} (def. ∉) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ V} (ley de negación) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} (ley de identidad) =𝐴∪𝐵 (def. unión) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 116/143 Nuevas identidades entre conjuntos Dadas las identidades básicas entre conjuntos, éstas se pueden emplear para obtener nuevas identidades entre conjuntos. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 117/143 Nuevas identidades entre conjuntos Dadas las identidades básicas entre conjuntos, éstas se pueden emplear para obtener nuevas identidades entre conjuntos. Ejemplo (Rosen [2004], problema 16, pág. 87) Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos, entonces (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 118/143 Nuevas identidades entre conjuntos Dadas las identidades básicas entre conjuntos, éstas se pueden emplear para obtener nuevas identidades entre conjuntos. Ejemplo (Rosen [2004], problema 16, pág. 87) Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos, entonces (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴. Demostración. (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos (ley distributiva) =𝐴∩𝑈 (ley de complemento) =𝐴 (ley de identidad) 119/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejemplo (continuación) Una prueba diferente que (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴. Demostración. (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = [(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐴] ∩ [(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐵] (ley distributiva) = [𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)] ∩ [(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐵] (ley conmutativa) = 𝐴 ∩ [(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐵] (ley de absorción) = 𝐴 ∩ [𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)] (ley conmutativa) = 𝐴 ∩ [(𝐵 ∪ 𝐴) ∩ (𝐵 ∪ 𝐵)] (ley distributiva) = 𝐴 ∩ [(𝐵 ∪ 𝐴) ∩ 𝑈] (ley de complemento) = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐴) (ley de identidad) = 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) (ley commutativa) =𝐴 (ley de absorción) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 120/143 Nuevas identidades entre conjuntos Diferencia en términos de unión e intersección 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 121/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 14.e, pág. 87) Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que (𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐶 − 𝐴) = (𝐵 ∪ 𝐶) − 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 122/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 14.e, pág. 87) Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que (𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐶 − 𝐴) = (𝐵 ∪ 𝐶) − 𝐴. Demostración. (𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐶 − 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐶 ∩ 𝐴) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos (def. diferencia) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐶 ∩ 𝐴) (ley conmutativa) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) (ley conmutativa) = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) (ley distributiva) = (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ 𝐴 (ley conmutativa) = (𝐵 ∪ 𝐴) − 𝐴 (def. diferencia) 123/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 18, pág. 88) Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que (𝐴 − 𝐵) − 𝐶 = (𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶). Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 124/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 18, pág. 88) Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que (𝐴 − 𝐵) − 𝐶 = (𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶). (𝐴 − 𝐶) − (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵 − 𝐶 (def. diferencia) = (𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (def. diferencia) = (𝐴 − 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) (leyes de De Morgan) = (𝐴 − 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) (ley de complementación) = ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵) ∪ ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐶) (ley distributiva) = ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵) ∪ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ 𝐶) (def. diferencia) = ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ 𝐶)) (ley asociativa) ⋮ Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 125/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (continuación) ⋮ = ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ ∅) (ley de complemento) = ((𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵) ∪ ∅ (ley de complemento) = (𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵 (ley de complemento) = (𝐴 ∩ 𝐶) ∩ 𝐵 (def. diferencia) = 𝐴 ∩ (𝐶 ∩ 𝐵) (ley asociativa) = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) (ley conmutativa) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 (ley asociativa) = (𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐶 (def. diferencia) = (𝐴 − 𝐵) − 𝐶 (def. diferencia) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 126/143 Nuevas identidades entre conjuntos Definición (Diferencia simétrica) Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. La diferencia simétrica de 𝐴 y 𝐵, denotada por 𝐴 ⊕ 𝐵, es el conjunto que contiene aquellos elementos que bien están en 𝐴 o bien están en 𝐵, pero no en ambos. 𝐴 ⊕ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵). Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 127/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 28, pág. 88) Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que 𝐴 ⊕ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴). Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 128/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (continuación) Demostración. 𝐴 ⊕ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵) (def. dif. simétrica) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵) (def. diferencia) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) (ley commutativa) = [(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐴] ∪ [(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐵] (ley distributiva) = [(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐴] ∪ [(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐵] (leyes de De Morgan) = [𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)] ∪ [𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)] (leyes commutativa) = [(𝐴 ∩ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)] ∪ [(𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐵)] (ley distributiva) = [∅ ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)] ∪ [(𝐵 ∩ 𝐴) ∪ ∅] (ley de complemento) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴) (ley de identidad = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) (def. diferencia) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 129/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 29.d, pág. 88) Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que 𝐴 ⊕ 𝐴 = 𝑈 . Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 130/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 29.d, pág. 88) Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Demostrar empleando las identidades básicas entre conjuntos que 𝐴 ⊕ 𝐴 = 𝑈 . Demostración. 𝐴 ⊕ 𝐴 = (𝐴 − 𝐴) ∪ (𝐴 − 𝐴) (ejercicio pág. 128) = (𝐴 ∩ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐴) (def. diferencia) = (𝐴 ∩ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐴) (ley de complementación) =𝐴∪𝐴 (ley de idempotencia) =𝑈 (ley de complemento) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 131/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (Rosen [2004], problema 30.d, pág. 88) La diferencia simétrica entre conjuntos satisface las siguientes propiedades: 𝐴 ⊕ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴), (1) 𝐴 ⊕ 𝐴 = ∅, (2) (3) (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐶 = 𝐴 ⊕ (𝐵 ⊕ 𝐶). Empleando las propiedades anteriores demostrar que (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐵 = 𝐴. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 132/143 Nuevas identidades entre conjuntos Ejercicio (continuación) Demostración. (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐵 = 𝐴 ⊕ (𝐵 ⊕ 𝐵) (Eq. 3) =𝐴⊕∅ (Eq. 2) = (𝐴 − ∅) ∪ (∅ − 𝐴) (Eq. 1) = (𝐴 ∩ ∅) ∪ (∅ ∩ 𝐴) (def. diferencia) = (𝐴 ∩ 𝑈 ) ∪ (∅ ∩ 𝐴) (ley del complemento de ∅) = 𝐴 ∪ (∅ ∩ 𝐴) (ley de identidad) =𝐴∪∅ (ley de dominancia) =𝐴 (ley de identidad) Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 133/143 Uniones e intersecciones generalizadas Definición (Unión e intersección de una colección indexada de conjuntos) Sea 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 una colección indexada de conjuntos. Entonces 𝑛 ⋃ 𝐴𝑖 = 𝐴 1 ∪ ⋯ ∪ 𝐴 𝑛 , 𝑖=1 𝑛 ⋂ 𝐴𝑖 = 𝐴 1 ∩ ⋯ ∩ 𝐴 𝑛 . 𝑖=1 Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 134/143 Uniones e intersecciones generalizadas Ejemplo Sea 𝐴𝑖 = [𝑖, ∞), con 1 ≤ 𝑖 < ∞. Es decir, 𝐴1 = [1, ∞), 𝐴2 = [2, ∞), … Hallar el valor de: 𝑛 1 ⋃ 𝐴𝑖 𝑖=1 𝑛 2 ⋂ 𝐴𝑖 𝑖=1 Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 135/143 Uniones e intersecciones generalizadas Ejemplo Sea 𝐴𝑖 = [𝑖, ∞), con 1 ≤ 𝑖 < ∞. Es decir, 𝐴1 = [1, ∞), 𝐴2 = [2, ∞), … Hallar el valor de: 𝑛 1 ⋃ 𝐴𝑖 𝑖=1 𝑛 2 ⋂ 𝐴𝑖 𝑖=1 Solución: 𝑛 𝑛 ⋃ 𝐴𝑖 = [1, ∞) ⋂ 𝐴𝑖 = [𝑛, ∞) 𝑖=1 𝑖=1 = 𝐴1 . Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos = 𝐴𝑛 . 136/143 Sucesor de un conjunto Definición (Sucesor de un conjunto) El sucesor del conjunto 𝐴 es el conjunto 𝐴 ∪ {𝐴}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 137/143 Sucesor de un conjunto Definición (Sucesor de un conjunto) El sucesor del conjunto 𝐴 es el conjunto 𝐴 ∪ {𝐴}. Ejercicio (Rosen [2004], problema 47.c, pág. 89) Hallar el sucesor del conjunto {∅}. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 138/143 Sucesor de un conjunto Definición (Sucesor de un conjunto) El sucesor del conjunto 𝐴 es el conjunto 𝐴 ∪ {𝐴}. Ejercicio (Rosen [2004], problema 47.c, pág. 89) Hallar el sucesor del conjunto {∅}. Solución: {∅} ∪ {{∅}} Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 139/143 Sucesor de un conjunto Definición (Sucesor de un conjunto) El sucesor del conjunto 𝐴 es el conjunto 𝐴 ∪ {𝐴}. Ejercicio (Rosen [2004], problema 47.c, pág. 89) Hallar el sucesor del conjunto {∅}. Solución: {∅} ∪ {{∅}} Ejercicio (Rosen [2004], problema 48, pág. 89) ¿Cuántos elementos tiene el sucesor de un conjunto de 𝑛 elementos? Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 140/143 Sucesor de un conjunto Definición (Sucesor de un conjunto) El sucesor del conjunto 𝐴 es el conjunto 𝐴 ∪ {𝐴}. Ejercicio (Rosen [2004], problema 47.c, pág. 89) Hallar el sucesor del conjunto {∅}. Solución: {∅} ∪ {{∅}} Ejercicio (Rosen [2004], problema 48, pág. 89) ¿Cuántos elementos tiene el sucesor de un conjunto de 𝑛 elementos? Solución: 𝑛 + 1 elementos Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 141/143 Representación de conjuntos en un ordenador Leer Rosen [2004, págs. 85–87]. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 142/143 Referencias Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental. Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth, Cengage Learning. Rosen, Kenneth H. (2000). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press. – (2004). Matemática Discreta y sus Aplicaciones. 5.a ed. McGraw-Hill. – (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. 7.a ed. McGraw-Hill. Sierra A., Manuel (2010). Conjuntos y Relaciones. MS-Print. van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press. Lógica - CM0260. Teoría de conjuntos 143/143