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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO
SUBDIRECCIÓN DE DOCENCIA
PROGRAMA DE CURSO O FASE
1. DATOS DE IDENTIFICACIÓN:
DENOMINACIÓN DEL CURSO O FASE:
ANÁLISIS DE FUNCIONES
DE VARIABLES COMPLEJAS
CÓDIGO: EMAT034
U.C.: 03
N° HORAS:
Presenciales: 16
COMPONENTE:
Formación Especializada
ESPECIALIDAD:
Matemática
A Distancia: 64
Total: 80
PRELACIÓN: Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de Varias Complejas
(EMAT032)
ÁREA/NIVEL:
Integración
TIPO DE CURSO:
No Homologado - Obligatorio
ALTERNATIVA DE ADMINISTRACIÓN :
CARACTER O NATURALEZA DEL CURSO :
Presencial( )
A distancia( )
Mixto(x)
Teórico – Práctico
AUTOR:
Prof Félix Rafael Olivero Sánchez
ASESORÍA EN DISEÑO:
Unidad de Tecnología Educativa
FECHA DE ELABORACIÓN:
Marzo de 2009
REVISADO POR:
Unidad de Currículo
Coordinación de Matemática
Aprobado según Resolución Nº 2009-7-1100 del Consejo Directivo de fecha 21-7-2009
SELLO
2. FUNDAMENTACIÓN:
El propósito de este curso es proporcionar al futuro docente un conjunto de experiencias
de aprendizaje que le permitan desarrollar habilidades y destrezas en el campo de los números
complejos, en el análisis de los conceptos de límite, continuidad, derivabilidad e integrabilidad de
funciones complejas de variables complejas y en el estudio de la convergencia de las sucesiones y
series de números complejos, a fin de incrementar su capacidad de razonar y aplicar estos
conocimientos en la solución de ciertos problemas de la Matemática y de otras disciplinas.
Cuando estudiamos métodos de integración nos damos cuenta que las técnicas
tradicionales del calculo real para encontrar integrales son insuficientes, por ejemplo, para ver
que la integral seno cuadrado de x sobre equis cuadrado diferencial de equis entre cero e infinito
es 2π. Por otro lado, el Álgebra elemental nos muestra la necesidad de trabajar en un campo
algebraicamente cerrado, es decir, un campo en el que un polinomio tenga todas sus raices. mas
aún, los matemáticos e ingenieros se enfrentan con problemas en hidrodinàmica, electrostàtica y
conducción del calor, entre otros, que involucran funciones de variable compleja. Por ello se hace
indispensable que un estudiante de Matemáticas conozca el campo de los numeros complejos y la
teoría de las funciones complejas. Esto le proporcionará herramientas, las cuales contribuirán a
resolver con éxito, muchos de los problemas que se presentan en Matemáticas y en otras áreas del
conocimiento. Además, el estudio de un curso contribuirá a la madurez teórica necesaria para
introducirse en el análisis complejo.
El curso de Análisis de Funciones de Variables Complejas pretende que el alumno
conozca las propiedades de los números complejos y las funciones complejas, y desarrolle
habilidades en el uso de las mismas para comprender el teorema de Cauchy - Rieman y sus
consecuencias que es sin duda el resultado más importante en el curso.
El análisis de funciones de variables complejas es una de las áreas complementarias para
el estudio de los Fundamentos Teóricos de la Matemáticas, ya que provee los conocimientos
esenciales para abordar temas tales como el análisis de señales, análisis de circuitos así como en
otros temas básicos del área educativa, otra de las áreas en las cuales se puede utilizar es en la
simulación y el diseño de modelos matemáticos, así como el procesamiento digital de señales y la
robótica.
El cálculo de variables complejas comprende el conocimiento de los números complejos,
las funciones analíticas de variables complejas, las funciones transcendentales de variables
complejas, la integración de funciones de variables complejas, las series de potencias de
funciones de variables complejas, los residuos y polos de funciones complejas, esta unidad de
aprendizaje pertenece al Área de matemáticas, específicamente a las matemáticas aplicadas. El
curso está estructurado en las unidades siguientes :
 UNIDAD I: DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO.
 UNIDAD II: FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLES COMPLEJAS.
 UNIDAD III: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS.
 UNIDAD IV: CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS
En atención a los propósitos del currículo, la Universidad Pedagógica Experimental
Libertador orienta su acción hacia la formación de profesionales de la docencia:
 Generadores de acciones que propicien la innovación y el desarrollo educacional, capaces
de participar consciente y creativamente en la elaboración y ejecución de proyectos
pedagógicos que respondan a las necesidades de formación de la población en diferentes
ámbitos y enfrenten la realidad socio-histórica y cultural presente y futura.
 Conscientes de la misión y compromiso socializador y cultural de la escuela, de la
insurgencia de nuevos escenarios educativos, pedagógicos y saberes, los cuales implican
el desarrollo de valores y prácticas diversas.
 Identificados con el proyecto educativo de la Institución a la cual pertenecen y abiertos a
la apropiación de formas ohservacionales y críticas de la realidad como totalidad
compleja, así como a la incorporación de nuevos enfoques, tecnologías y posturas en el
campo pedagógico.
 Conscientes de las implicaciones éticas del proceso educacional, desarrollo bio-psicosocial del estudiante, de las dimensiones de los contenidos y los objetivos pedagógicos,
que permitan el desarrollo de estrategias de trabajo y modalidades de evaluación
pertinentes a la situación educativa en el aula y fuera de ella.
 Preparados para interpretar y comprender los procesos de enseñanza y de aprendizaje y
reconstruir estilos formativos orientarlos hacia la articulación reflexiva del conocimiento
universal con las diversidades de nuestro contexto socio-histórico y cultural.
 Con actitudes favorables y reflexivas en cuanto al compromiso nacional y responsabilidad
hacia el desarrollo ético, político y moral de la docencia, el arraigo, liderazgo,
consistencia conceptual de su ejercicio y la comprensión del hecho educativo en su
multidimensional.
 Con dominio de las metodologías didácticas que permitan incorporar en las relaciones del
hecho educativo, la investigación independiente, los seminarios y trabajos de campo, la
simulación de experiencias y los juegos de negociación, los proyectos en pequeños y
grupos e individuales, la auto adquisición de la información, las tutorías, los contratos de
aprendizaje y otras estrategias conducentes al acto de aprender con calidad.
 Poseedores de actitudes positivas hacia la indagación permanente y la investigación
educacional conscientes de la necesidad de conjugar la labor educativa, la realidad del
país y las necesidades locales, regionales y nacionales del presente y del futuro.
 Comprometidos a consolidar el concepto de nación a través de valores enraizados en la
identidad nacional.
 Comprometidos con la construcción vivencial de su pensamiento para generar actividades
creativas que le permitan elaborar teoría a partir de su propia práctica sobre bases
axiológicas, epistemológicas y ontológicas derivadas de su quehacer educativo.
3.- OBJETIVOS GENERALES:

Analizar la teoría de los números complejos, las funciones complejas elementales y
aplicar los conceptos de límite, continuidad, derivabilidad e integrabilidad de funciones
complejas.

Analizar la convergencia de sucesiones y series de números complejos.
4.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
UNIDAD I: DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO.
Objetivo Específico:
 Conocer las propiedades de campo de los números complejos y su representación gráfica
en el plano cartesiano. Comprender el teorema de Moivre y su uso en el calculó de raíces.
Conocer la topología básica de C y del plano complejo extendido.
Contenidos:
 Representaciones
 Álgebra de números complejos.
 Topología del plano complejo.
UNIDAD II. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLES COMPLEJAS.
Objetivo Específico:
 Aplicar el cálculo vectorial a las funciones de variables complejas y establecer las
diferencias entre las funciones de R2 y las funciones complejas; analizando los conceptos
de limite, continuidad, derivadas y analiticidad.
Contenidos:
 Límite de funciones complejas.
 Continuidad de funciones complejas.
 Diferenciación de funciones complejas.
 Funciones analíticas.
 Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
UNIDAD III: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS
Objetivo Específico:
 Aplicar las reglas principales de la integración de funciones complejas en la solución de
problemas
Contenidos:
 Integración de una función compleja a lo largo de una curva.
 Teoremas de Cauchy y Liouville.
UNIDAD IV : CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS
Objetivo Específico:
 Comprender el teorema de Cauchy y sus consecuencias en la teoría de funciones
analíticas.
Contenidos:
 Criterios de convergencia.
 Convergencia absoluta y condicional.
 Series de Taylor y Laurent.
 Convergencia uniforme.
 Residuos y polos. Aplicaciones.
5.- ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS:
 Demostración
 Talleres individuales y grupales
 Exposición
 Resolución de Problemas
 Juegos didácticos
 Portafolio
 Mapas de Conceptos
6. MEDIOS Y RECURSOS:
Medios:
 Bibliotecas
 Rotafolio
 Video Beam y pantalla
 VHS o DVD
 Televisión
 Pizarra
 Computador
 Hemerotecas
 Prensa y revistas especializadas
Recursos:
 Talleres individuales y grupales
 Materiales instruccionales del área
 Películas de VHS o DVD
 Internet
 Software educativo
 Disponibilidad de espacio informático para uso de estudiantes y docentes
 Programas de TV y Radio
 Materiales de trazado y medición
7. PLAN DE ADMINISTRACIÓN Y EVALUACIÓN:
El Plan de Administración, conjuntamente con el Plan de Evaluación es producto de
una concertación estudiantes – facilitador realizada en el primer encuentro, los acuerdos deben
quedar por escrito y remitidos a la coordinación.
En la administración curricular del curso se debe tener presente lo siguiente:
 El número de horas presenciales y a distancia, tal como se refleja en la portada de este
programa.
 El plan de administración debe diseñarse de manera que los objetivos y contenidos,
puedan ser distribuidos con coherencia, es recomendable que se establezcan las semanas,
objetivos, contenidos, las actividades, los recursos, las asignaciones, para los eventos
presenciales y a distancia.
 Las actividades presenciales están demarcadas en los datos de identificación y se
utilizaran en actividades de tutoría, discusión confrontación de grupos y todas deben ser
de carácter evaluativo.
 Las actividades a distancia tendrán carácter individual o por grupo y se refiere al estudio
independiente que debe realizar el estudiante sobre los temas asignados, sobre los cuales
debe obtenerse una evidencia, la cual debe ser presentada.
 Se debe prever en el Plan las actividades de inicio (presentación de curso, discusión del
plan de administración y de evaluación), y las actividades de cierre (consolidación de
curso, discusión y entrega de calificaciones).
El Plan de Evaluación del Curso, el cual refleja las estrategias de evaluación con su
respectiva ponderación. El mismo debe ser objeto de discusión en la primera tutoría, la cual
debe estar caracterizada por un proceso de comunicación transparente basado en la negociación,
sin desmedro del nivel de exigencia establecido. El Plan de Evaluación es susceptible de
modificación siempre que los cambios introducidos guarden relación con lo establecido en el
Plan de Administración.
Para cada curso se prevé la realización de una evaluación diagnóstica, de carácter
obligatorio, que tendrá como objeto orientar al tutor en relación con el nivel de conocimientos
previos que el grupo posee sobre la materia a desarrollar, la misma puede consistir en la
aplicación de un pre-test o en la realización de una entrevista participativa y debe realizarse en la
primera tutoría presencial o a distancia antes de iniciar la administración del curso.
Es oportuno resaltar la importancia que tiene el tutor en la instauración y consolidación de
una cultura de evaluación, que incorpore la autoevaluación, coevaluación y la evaluación
multidireccional, pues de esta forma se aspira no sólo garantizar la mayor efectividad del
proceso, sino brindar a los estudiantes la oportunidad de modelar su desarrollo como evaluadores
del aprendizaje.
Lineamientos generales a considerar para el proceso evaluativo de Cursos, Fases y
Actividades de Extensión Acreditables
 Debe considerar la modalidad de estudios: mixta o a distancia.
 Todos los cursos, fases y actividades de extensión acreditables, deben regirse por el
Reglamento y la Normativa de Evaluación Estudiantil de la Universidad Pedagógica
Experimental Libertador.
 Para cada uno de los cursos, fases y actividades de extensión acreditable se utilizará la
evaluación diagnóstica, formativa y sumativa.
 Para cada uno de los cursos, fases y actividades de extensión acreditable debe realizarse
la autoevaluación y coevaluación; las mismas no deben excederse del 5%, según lo
establecido en el artículo Nº 2 literal 2 de la Normativa del Reglamento de Evaluación
Estudiantil.
 El Tutor debe seleccionar las estrategias de evaluación de acuerdo a la naturaleza de cada
fase o actividad de Extensión.
 La ponderación (%) está basada en un cien por ciento, en tal sentido, ninguna estrategia
debe excederse del 30%, según el artículo 6 Parágrafo Segundo del Reglamento de
Evaluación Estudiantil de la UPEL. Igualmente , debe adaptarse a los niveles de
complejidad de cada actividad planificada.
 En las fases no esta permitido administrar evaluaciones remediales o de superación; de
acuerdo al Artículo Nº 5 numeral 6 de la Normativa del Reglamento de Evaluación.
Estudiantil.
 En ninguna de las fases el alumno podrá solicitar la Nota de Observación, ni Evaluaciones
Especiales de acuerdo al Artículo Nº 5, y numerales 7 y 8 de la Normativa del
Reglamento de Evaluación Estudiantil.
Para llevar a cabo, la evaluación de los diferentes cursos, fases y actividades de extensión
acreditables, la Unidad de Evaluación sugiere considerar los siguientes aspectos:
ACTIVIDAD:
Se define como el conjunto de tareas propias de una persona, acciones,
movimientos. Se refiere a los trabajos, operaciones, gestiones, acciones, prácticas y otras, que
realizan los estudiantes en el proceso de aprendizaje y son objeto de valoración.
TÉCNICA: Significa “como hacer algo”, se refiere al conjunto de procedimientos usados por el
docente con la finalidad de obtener información acerca del comportamiento del estudiante en las
áreas cognoscitiva, afectiva y psicomotora.
INSTRUMENTO: Se refiere al “con qué”. Es la herramienta que contiene los criterios a
considerar en la acción evaluativa y registra la información aportada por el ente evaluado. Un
instrumento es valido cuando miden lo que se propone medir y confiable, cuando aplicado varias
veces da resultados similares. Igualmente, un instrumento permite recabar información relevante
para el docente y/o el estudiante.
Técnicas
 Observación
 Análisis de Producción
Instrumentos
 Registro anecdótico
 Registro descriptivo
 Lista de Cotejo
 Escala de estimación
 Pruebas orales, escritas o prácticas
 Análisis de producción del estudiante
Actividades
 Elaboración de mapas de conceptos
 Elaboración de Portafolios
 Diseño, elaboración y presentación de juego didáctico del área
 Participación en talleres en aula
 Elaboración de Producciones escritas
 Presentación de pruebas individuales
 Autoevaluación
 Coevaluación
 Evaluación del Docente
 Exposición
 Debates y discusiones
 Círculos de estudio
 Arqueo de fuentes impresas y electrónicas
 Investigaciones documental y de campo
 Registros de observación
 Entrevistas
 Otras propuestas por los estudiantes o el docente
8. BIBLIOGRAFÍA :
 ASH R B (1971), Complex variables. Academic Press, New York
 BAK and NEWMAN D J.,(1982) Complex analysis. Springer-Verlag, New York
 CARTAN H (1968).Teoría elemental de las funciones analíticas de una y varias variables
complejas. Selecciones científicas
 CONWAY, J.B.(1973) Functions of one complex variable. Springer-Verlag,
 DUNCAN.(1968), Complex Analysis. John Willey and Sons, New York
 ESCANÉ. (1972) Fonctions d’une Variable Complexe. Masson et Cie, Paris
 HOLLAND.(1980) Complex function Theory. Elsevier North Holland, New York
 KAPLAN. (1966)
Introduction to analytic functions. Addison Wesley, Reading,
Massachusetts
 LANG.(1977), Complex Analysis. Addison wesley, Reading, Massachusetts
 LINES.(1976) Análisis Matemático IV. UNED, Madrid
 MARSDEN Y HOFFMAN, (1999), Basic complex analysis, Freeman, Nueva York,.
 BERENSTEIN and GAY.(1991), Complex variables. An introduction. Springer-Verlag,
New York
 DOLBEAULT. (1990) Analyse Complex. Masson, Paris
14. HENRICI.(1986) Applied an Computational Complex Analysis. John Willeay and
Sons, New York
 RUDIN, (1987), , Real and complex analysis, McGraw-Hill International, Nueva York,
(Tercera Edición).
 FEYEL y A. DE LA PRADELLE. (1980) . Ejercicios sobre las funciones analíticas.
Paraninfo, Madrid
 Kreyszig, (2000). Matemáticas avanzadas para ingeniería. Editorial Limusa.
 Spiegel, (1988). Teoría y problemas de Variable compleja. Editorial Mac Graw Hill
International, Nueva York,
 Markushevich, (1997). Teoría de las funciones analíticas. Editorial Mir Moscu
 Churchill (1992). Variable Compleja, Editorial Mac Graw Hill International, Nueva York,