Download modulo de matematica - Facultad de Ingeniería

UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ELEMENTOS DE MATEMÁTICA
PARA INGRESO EN LA UNIVERSIDAD
Autora: Prof. Noemí G. O. de Goicoechea
Editor: Prof. Antonio Humberto Closas
Revisión: Prof. Rubén Héctor Martínez
Modificaciones 2005: Prof. Goicoechea
CENTRO DE ESTUDIANTES DE INGENIERIA
SEC. DE IMPRESIONES
Av. Las Heras 727 – (3500) Chaco – República Argentina
TE:(03722)- 420076- Int:129
E-mail: [email protected]
CONTENIDOS
Tema 1: Conjuntos numéricos....................................................................................... 1
Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos. Suma algebraica. Potenciación.
Operaciones con números racionales. Radicación. Logaritmación.
Tema 2: Funciones........................................................................................................... 17
Conjuntos. Producto cartesiano. Relaciones. Funciones. Clasificación. Función Inversa.
Tema 3: Expresiones algebraicas................................................................................... 47
Expresiones algebraicas enteras y fraccionarias. Monomios. Polinomios. Operaciones:
suma, resta, producto y cociente. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factoreo.
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación. Suma, resta,
producto y cociente.
Tema 4: Ecuaciones......................................................................................................... 65
Ecuación lineal de primer grado en una variable. Clasificación. Sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas. Clasificación. Resolución. Sistemas de tres ecuaciones
con tres incógnitas. Clasificación. Resolución. Ecuación de segundo grado en una
variable. Fórmulas de resolución. Descomposición factorial. Relación entre coeficientes
y raíces. Inecuaciones. Intervalo. Clasificación. Valor absoluto. Entorno. Raíces de un
polinomio. Descomposición factorial. Teorema de Gauss.
Tema 5: Trigonometría.................................................................................................. 116
Sistemas de medición angular. Funciones trigonométricas. Ángulos complementarios.
Relación Pitagórica. Reducción al primer cuadrante.
Representación segmentaria. Ángulos opuestos. Ángulos que difieren en 
2
.
Seno, Coseno y Tangente de la suma y diferencia de dos ángulos. Transformación en
producto de la suma y diferencia de cosenos y senos de los ángulos.
Tema 6: Números complejos........................................................................................ 131
Definición como pares ordenados. Forma binómica. Potencias de la unidad imaginaria.
Módulo. Representación gráfica. Operaciones: suma, resta, producto y cociente.
Tema 7: Análisis Combinatorio................................................................................... 137
Factorial de un número. Arreglos. Combinaciones. Permutaciones.
Binomio de Newton.
Autores del tema 8: Prof. Dora Alicia Masías, Prof. María del Carmen Sosa.
Tema 8: Geometría del plano y del espacio............................................................... 149
Perpendicularidad y paralelismo de rectas. Teorema de Thales.
Polígonos. Semejanza. Teorema de Pitágoras. Circunferencia y círculo.
Arco de circunferencia. Figuras en el círculo. Ángulo inscripto.
Ángulo semi-inscripto. Polígonos regulares. Rectas y planos.
Ángulos diedros. Ángulos poliedros. Poliedro convexo. Poliedros regulares.
Teorema de Euler. Prismas – Definición y elementos.
TEMA Nº:1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Tabla de Símbolos
 : x “para todo x” (cuantificador universal)
 :  x “existe x al menos uno” (cuantificador
/ “tal que”
 “por lo tanto”
existencial)
  x: “existe un único x”
 “y”
 “o”
 : “implica”
 : “si y sólo si”
 : a  A “a pertenece al conjunto A”
A B: A incluido en B
:AB
:AB
unión de los conjuntos A y B
intersección de los conjuntos A y B
 : Conjunto Vacío
{v: Conjunto unitario
Letras Griegas
 (alfa),  (beta),  (gamma),  (lambda),  (delta),  (delta mayúscula),  (psi),  (theta),
 (pi) designa un plano.
Sucesivas ampliaciones conjuntos numéricos
N: 1,2,3, ...
naturales
R
reales
C
complejos
Q
racionales
naturales incluido N0
Z
el cero
enteros
Z  enteros negativos
fraccionarios
cero
irracionales
imaginarios
N (naturales) 1, 2, ..., 99, 100, ...sucesión que continúa indefinidamente. Aparecen como
elementos para contar y ordenar. Si sumamos dos números naturales se obtiene otro número
natural; pero no podemos siempre restar dos números naturales y obtener otro número natural; si
el minuendo es menor que el sustraendo por ejemplo 10 – 50 el resultado no es un número
natural aparecen así los:
1
TEMA Nº:1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Z

(enteros negativos) que resuelven definitivamente el problema de la resta. A cada número
natural “a” le corresponde su opuesto “-a”, excepto el cero,
lo consideramos como la
“medianera” entre los naturales y los enteros negativos.
N
N0
Determinamos ahora el conjunto:
cero
N

Z (enteros) que es la unión del conjunto de naturales el cero y enteros negativos
Z  cero
 
 Z
Pero en este conjunto no siempre podemos dividir; si el numerador es múltiplo del
5
denominador el resultado es un entero pero si esto no ocurre obtenemos por ejemplo 5 / 2 
2
que no es un entero.
Debemos ampliar nuevamente el campo numérico para resolver el problema de la división
aparecen los:
5
3
 2,5
 1,33... observamos que todo número fraccionario
2
2
admite una expresión decimal exacta o periódica. Llegamos así al conjunto de los:
 Z (enteros)
Q (racionales)
Q 
 fraccionarios
Ahora bien en este conjunto no están contempladas las expresiones decimales infinitas no
periódicas (como el notable  = 3,14159265...).
Fraccionarios por ejemplo
Ampliamos nuevamente el campo numérico agregando estos números de infinitas cifras
decimales no periódicas llamados: irracionales.
Ejemplos: ( 2  1,4142132 , 3  1,732050 , 5  2,236067 , ...)
Q
Llegamos así al conjunto de los números: reales (R)
R
irracionales
Los pitagóricos sostenían que la recta estaba “cubierta” con los racionales; pero se
derrumba esta teoría cuando Pitágoras demuestra su famoso teorema “En todo triángulo
rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos”.
12  12  2 no racional
tiene “su lugar” en la recta numérica.
2
TEMA Nº 4: ECUACIONES
Las inecuaciones tienen aplicación en el estudio de las funciones.
En general trabajaremos con funciones en las que tanto el conjunto de partida como el de
llegada es el conjunto R (reales) o algún subconjunto de R que se corresponde con algún
segmento (intervalo).
Vamos a formalizar este concepto.
Definición: Un intervalo es un subconjunto de R cuyos elementos están comprendidos entre
dos números reales x1 y x2 ( x1  x2 ).
Completamos esta definición con la siguiente clasificación:
Si los extremos x1 y x2 pertenecen al intervalo se dice cerrado y se denota x1 , x2  (el corchete
indica cerrado):
x1 , x 2   x  
/ x1  x  x 2 
x1  x  x2 cerrado
x1
x2
Si los extremos no pertenecen al intervalo se dice abierto y se denota  x1, x2  ( el paréntesis
indica abierto):
x 1 , x 2   x  
/ x1  x  x 2 
x 1  x  x 2 abierto 
x
x
Los intervalos semiabiertos que incluyen solo un extremo están definidos por:
x1 , x2   x   / x1  x  x2 
abierto a izquierda
x1  x  x 2 abierto a izquierda 
x1
x2
x1 , x2   x   / x1  x  x2 abierto
a
derecha
x1  x  x 2 abierto a derecha 
x1
x2
La amplitud de un intervalo abierto, cerrado o semiabierto se define como la diferencia x1  x2 .
107
TEMA Nº 4: ECUACIONES
Ejemplos:
La amplitud del intervalo (-2, 3) es: 3 - (-2) = 5
2
-1
2
0
1
2 2
2
2
3
2
La amplitud del intervalo [-3,-1) es : -1 – (-3) = -1 + 3 = 2
-3
2
-2
2
-1
2
0
2
1
2
2
2
Los intervalos tales que:
a
a) x  a se denota ( a,  )
a
b) x  a se denota [  , a )
a
c) x  a se denota (  , a )
a
d) x  a se denota (  , a ]
El conjunto de todos los números reales se considera como intervalo (  ,  ).
  x  
EJERCICIOS RESUELTOS
1) El intervalo [-3,1] se expresa  3  x  1
Y se representa:
Su amplitud es: 1 – (-3) = 4
-3
2
-2
2
-1
2
0
2
2) ( x1 , x2 ) = x   / 1  x  4 define el intervalo [1,4]
Y se representa:
0
2
Su amplitud es: 4 – 1 = 3
108
1
2
2
2
3
4
2 2
1
2
TEMA Nº 4: ECUACIONES
3)
 x  3

2x  3

x
3/2
2
3

  , 
2

4)
3x  2  5

3x  5  2
3
2
7
3
 x
7 
 ,
3 
7/3
2
5)
3x  2  5

3x  5  2

x
7/3
2
7
3
7 
 3 ,


EJERCICIOS PROPUESTOS
I.
1
3 x   x  2
2
II.
x  3   3x  1
III. 2 x  3   3
Utilizamos la definición de valor absoluto para denotar intervalos.
Se llama valor absoluto de un número real al número que resulte prescindiendo del signo. Es
decir el valor absoluto de –3 es 3 y el de 3 es 3. El valor absoluto se indica entre dos barras
verticales.
3
3  3
-3
2
0
3
3 3
0
2
3
109
TEMA Nº 4: ECUACIONES
Es decir solo dos puntos x  3 y x  3 distan del origen en 3 unidades.
Sea el intervalo [-3,3], x que pertenezca al intervalo, la distancia de x al origen es siempre
menor o igual a 3, como esta distancia puede expresarse como x resulta x  3 .
-3 -2 -1 0 1 2 3
2 2 2 2 2 2 2
Es decir el intervalo [-3,3] puede expresarse x  3
x   3,3
 3 x  3

x 3
En general:
x   x1 , x1 

 x1  x  x1

x  x1
Estos intervalos se dicen centrados en el origen.
Analizamos ahora el siguiente intervalo:
x 3  x3
x  3
ó
-3 -2 -1 0 1 2 3
2 2 2 2 2 2 2
 ,3

3,  
Es la unión de dos intervalos infinitos.
Entorno:
Sea un intervalo abierto no necesariamente centrado en el origen sino en un punto cualquiera c
de la recta real: c   , c    .

c-

c
c+
x que pertenezca al intervalo, su distancia a c será menor a  , o sea :
x  c    x  c  , c    
110
c x  c 
x c  
TEMA Nº 4: ECUACIONES
Se llama entorno de centro c y radio 
notado Ec ,  al conjunto de puntos x del
intervalo: c   , c    .
Ec,   x  
c   x  c 
Observe que por definición, un entorno es un intervalo abierto.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
x2  4
Es un intervalo de centro en 2 y radio 4.
4  x2  4
42 x  42
2 x6
4
2
4
2
-2 -1 0
1 2 3 4 5 6
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2.
x 1  1
Intervalo de centro en 1 y radio 1.
1  x 1  1
11  x  11
0x2
1
0
1
1
2
111
TEMA Nº 4: ECUACIONES
3.
x2 1 x2 1
x  1
ó
x  2  1
ó
x  3
-1
-3
(,3)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1-
x5  2
2-
x3 
3-
x2  3
4-
x 4 1
5-
x2 
6-
x2  2
7-
x 3 1
8-
x 1 
9-
x 3  4
112
1
2
1
3
1
2

(1, )
TEMA Nº 5: TRIGONOMETRÍA
Ejercicios resueltos
1)
1
tg   sen 
sec 
1
sen 
tg   cos
 sen 
sec 
cos 
2) cotg  sen  = cos 
cos 
sen   cos 
sen 
cotg  sen  =
3) cos  cosec  tg  = 1
cos  cosec  tg  = cos 
1
sen 
1
sen  cos 
Ejercicios propuestos
1) 1 + tg 2  = sec 2 
2) (sec  - 1) (sec  + 1) cos 2  = sen 2 
1  cos 2   cos 
3) cot g 
4) (1 – cos 2 ) (1- sen 2 ) tg 2  = sen 4 
5)
1
1  cos   1  sen  
2
2
 cos ec2 sec 2 
6) (1 + cosec ) (1 – cosec ) sen 2  = sen 2  - 1
7)
120
1
1
 1  sen 2   sen 2 
1  sen  sec 
2
TEMA Nº 6: COMPLEJOS
1 

1
1
 3  i   2  i 
3 i
 6  i 2  3i  1i
2

2  
2
2)

=
2i
 2  i   2  i 
2 2  12
6

1
11
 (-3 - 1)i
  4i
11 4
2
2

   i
4 1
5
5 5
Es decir que multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Representación gráfica
Representar en el plano y hallar el opuesto, el conjugado y el módulo de los siguientes complejos:
a)
z = (3, 4)
- z = (-3 , - 4 ) ;
z 
b)
32  42 
25  5
z=2–4i
-z=-2+4i ;
z 
134
z  3,4 
22  42 
z  2  4i
20
TEMA Nº 6: COMPLEJOS
Sumar y representar gráficamente los siguientes complejos.
c) z1 = (4 , 1) ; z2 = (2, 5)
Observación: el complejo suma es la diagonal del
paralelogramo formado sobre los complejos z1 ; z2
d)
z1 = (4 , 2) ; z2 = (4, - 2)
Observación: si los complejos son conjugados el
complejo suma se identifica con un real.
e) z1 = (5 , 2) ; z2 = (- 2, 5)
Ejercicios propuestos
1 
1 


1)  3  i    5  3    4  i  
2 
2 


Rta.: - 6 + 4 i
2) (-1 , i) + (3, 0) – ( 0 , i) =
Rta.: 2
135
TEMA Nº 6: COMPLEJOS
4  1

3)   i     2 i   5  i  
3  3

Rta.: (6 , 0)
4) (- 4 , 2 ) · ( 0, 5) =
Rta.: - 10 – 20 i
5) (3 + i) ( 3 – i) =
Rta.: 10
6) ( - 3 + 2 i) · (3 – i) =
Rta.: -7 + 9 i
7) (3 + 2 i) · i
Rta.: - 2 + 3 i
8)
1 i

1- i
Rta.: i = (0 , 1)
9)
2  3i

4-5i
Rta.: 
10)
2 i

2
1
Rta.: 1  i
2
11)
-3 4i

- 2  3i
Rta.: 
7 22
 i
41 41
6 17
 i
13 13
12) Determinar el modulo, escribir el opuesto, el conjugado y representar los siguientes complejos:
a) z1 = (5 , 1)
b) z2 = (5 , -2)
c) z3 = (- 2 , - 3)
d) z4 = (-3 , 4)
e) z5 = 2 – 2 i
f) z6 = - 1 + 4 i
g) z7 = 3 + 2 i
h) z8 = - 2 – 3 i
13) Dados los siguientes complejos sumar y representar gráficamente.
136
a) ( 3 , -3)
y ( 3 , 3)
b) (-2 , 4)
y (-3 , -4)
Tema 7: Análisis Combinatorio
ANÁLISIS COMBINATORIO
Al estudiar cuantos elementos integran un conjunto se llega al concepto de número,
independientemente de la naturaleza de los elementos de ese conjunto y del orden en que ellos se
consideran.
El Análisis Combinatorio prescinde de la naturaleza de los elementos pero tiene en cuenta el orden
de esos elementos.
El Análisis Combinatorio simple, tiene por objeto determinar el número de agrupaciones que se
pueden formar con un cierto número m de elementos y distinguiéndose cada agrupación de las
restantes, según las diversas condiciones que se formulan para la formación de las mismas.
Estas agrupaciones se denominan unitarias, binarias, ternarias, ... , n-arias; según tengan
1, 2, 3, ... , n elementos respectivamente.
De estas agrupaciones estudiaremos: Arreglos - Permutaciones - Combinaciones.
Previamente definimos factorial de un número.
El producto de los m primeros números naturales recibe el nombre de factorial de m.
Se indica:
m ! = 1 · 2 · 3 · ... · (m - 1) · m = m · (m - 1) · ... · 3 · 2 · 1
Ejemplo: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
y también: 5! = 5 · 4! = 5 · 4 · 3! = 5 · 4 · 3 · 2! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
En general:
m ! = m (m-1)!
Por definición: 0! = 1
Probar que:
a) 2 n! - (n-1) (n-1)! = n! + (n-1)!
b)
1
1
n

n!  n  1!  n  1!
137
Tema 7: Análisis Combinatorio
ARREGLOS, VARIACIONES O DISPOSICIONES
Definición: Se llaman arreglos de m elementos tomados de n en n (de clase n, de orden n o n-arios)
siendo n  m, al número de subconjuntos ordenados de n elementos tomados de los m, y dos
subconjuntos serán distintos cuando difieran por lo menos en un elemento, o si constan de los mismos
se diferencien en el orden de colocación.
Notación: A mn con m y n  N

n  m
Obtenemos la fórmula por recurrencia. Partimos de un ejemplo y generalizamos.
Dado el conjunto {a, b, c, d} (aquí m = 4) obtener todos los subconjuntos de orden 1, 2, 3 y 4.
Formamos los subconjuntos ordenados de orden 1: (m=4 ; n=1)
{a}, {b}, {c}, {d}; para facilitar la notación suprimimos llaves.
â b c d
 A 14 = 4
Es fácil ver que:
A1m = m
Formamos los subconjuntos ordenados de orden 2: (m=4 ; n=2)
Teniendo en cuenta la definición escribimos por filas, todos los subconjuntos que difieren por lo
menos en un elemento, y por columna los que difieren en el orden de colocación de los mismos.



a b
a c
a d
bc
bd
cd
ba
ca
da
cb
db
dc
Observe que cada subconjunto de orden 1 origina tres subconjuntos de orden 2 (señalamos que a
origina a b a c a d, lo mismo ocurre para b, c y d).
Entonces: A24  A14 .4  1 = 4 ·(4 – 1) = 4 . 3=12
En general:
138
A m2  A1m · (m - 1)
Tema 7: Análisis Combinatorio
Formamos los subconjuntos ordenados de orden 3: (m=4 ; n=3)
En forma análoga a los A24
abc
abd
acd
bcd
acb
adb
adc
bdc
bac
bad
cad
cbd
bca
bda
cda
cdb
cab
dab
dac
dbc
cba
dba
dca
dcb
Observe que cada subconjunto de orden 2 origina dos subconjuntos de orden 3 (señalamos que a b
origina a b c a b d, lo mismo ocurre para los restantes).
Entonces: A34  A24 .4  2  = 4 . (4 – 1) . (4 – 2) =4 . 3 . 2 =24
En general:
A3m = m (m - 1) (m - 2)
Formamos los subconjuntos ordenados de orden 4 (m = n = 4).
A cada subconjunto anterior le agregamos el elemento que falta, significa que cada subconjunto
anterior genera un subconjunto de A 44 :
A44  A44 .4  3 = 4 . (4 – 1) . (4 – 2). (4 – 3) =4 . 3 . 2 .1 = 24
En general:
A4m = m (m-1) (m-2) (m-3)
Observación:
Es el producto de cuatro factores consecutivos decrecientes a partir de m siendo el último
factor m – (4 – 1)
(con n=4).
Con el mismo razonamiento podemos calcular A38  8.7.6 es el producto de 3 (n=3) factores
consecutivos decrecientes a partir de 8 (m=8) siendo el último factor 8  3  1  8  3  1  6
donde m = 8 y n = 3.
139
Tema 7: Análisis Combinatorio
Generalización:
Sea un arreglo de m elementos de orden n
A mn = m (m - 1) (m - 2) ... (m - (n - 1))
A mn = m m  1 m  2... m  n  1


n factores
Ejemplos:
A 53 = 5 · 4 · 3
A 72 = 7 · 6
Utilizando factorial podemos expresar la fórmula de otra manera.
A mn = m (m - 1) ... (m - n + 1)
Para que la expresión no varíe multiplico y divido por (m - n)! el segundo miembro de la misma.
A mn = m (m - 1) ... (m - n + 1)
=
Anm 
 m - n !

 m - n !
m!
( m  n )!
m ( m - 1) ... ( m - n + 1) (m - n) (m - n - 1) (m - n - 2) ... 3  2  1
(m - n)!
Ej.: A25 
5. 4. 3. 2.1
 5. 4
3. 2 .1
PERMUTACIONES
Se llaman permutaciones de m elementos al número de conjuntos ordenados de m elementos. Dos
grupos se diferencian entre si sólo por el orden de colocación de sus elementos.
Es decir las permutaciones son un caso particular de los arreglos, cuando el orden n es igual al
número m de elementos.
Entonces: Pm = A mm = m (m - 1) .... (m - m + 1)
Pm = m (m - 1) ... 3 · 2 · 1  Pm = m!
140
Tema 7: Análisis Combinatorio
Ejemplo: P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6
abc
acb
bac
bca
cab
cba
COMBINACIONES
Llamamos combinaciones de m elementos tomados de n en n (de clase n, de orden n o n-arias) al
número de subconjuntos no ordenados de n elementos tomados de los m. Dos subconjuntos serán
distintos cuando difieran por lo menos en un elemento.
C mn , con n  m
Notación:
De acuerdo con la definición dado el conjunto {a, b, c, d} formemos todos los subconjuntos no
ordenados de orden 2, y luego en cada subconjunto hacemos todas las permutaciones.
ab
ac
ad
bc
bd
cd
ba
ca
da
cb
db
dc
En la primera fila aparecen C 42 (los subconjuntos que difieren en por lo menos un elemento) y en
cada columna P2 (los subconjuntos que difieren en el orden), el cuadro total no es otra cosa que:
A
4
2
4
2
 C . P2 = A
4
2
A 42
C =
P2
En general:
C mn =
4
2
A mn
Pn
C mn =
m (m -1) ... (m - n  1)
m!

n!
n! (m - n) !
Ejemplos:
C35 
5 . 4 .3
3 . 2 .1
C35 
5 . 4 . 3 . 2 .1
3 . 2 .1 . 2 .1
C27 
7.6
2 .1
C27 
7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1
2 .1 . 5 . 4 . 3 . 2 .1
En la práctica resulta más rápido utilizar la primera fórmula.
141
Tema 7: Análisis Combinatorio
NÚMEROS COMBINATORIOS O COEFICIENTES BINOMIALES
En toda la teoría combinatoria y en muy variadas cuestiones desempeñan un papel importante
m!
los números de la forma
con m, n  N0  n  m llamados números combinatorios o
n !  m  n !
coeficientes binomiales (esta designación quedará justificada cuando estudiemos Binomio de
Newton).
m
Suelen representarse con la notación de Euler   se lee “m sobre n” o “número
n
combinatorio de numerador m y denominador n “
m m  1... m  n  1 m  n !
m  m  1 ...  m  n  1
 m
m!
  =
=
=
n!  m  n !
n !  m  n !
n!
n
CASOS PARTICULARES
 m
m!
Dado el número combinatorio:   
 n  n ! ( m - n) !
hacemos:
n = 0, 1, m
 m
m!
m!

1
 
 0  0 !  m - 0 ! 1  m !
 m
m!
m!
m!


1
 
 m m !  m - m ! m ! 0 ! m !  1
 m
m!
m  m -1 !

m
 
 1  1!  m -1 ! 1   m -1 !
NÚMEROS COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOS
Son aquellos en los que la suma de los denominadores da el numerador que es común a ambos
12 
  y
5
12 
  son complementarios
7
m
 m 
  y 
 son complementarios
n
m  n
142
Tema 7: Análisis Combinatorio
Propiedad (conocida como relación de simetría). Los números combinatorios complementarios son
iguales
 m 
m!
m!
m

 =
=
=  
 m  n   m  n !  m  m  n ! n!  m  n !
n
12 
12 !
12 1
Ejemplos:   =

 7  7 ! 12  7 !  7 !5 !
son iguales
12 
12 !
12 !
  

 5  5! 12  5 ! 5 !7 !
 m   m  m m  1

    
2!
 m  2  2 
REGLA DE STIEFFEL O RELACION DE RECURRENCIA
La suma de dos números combinatorios en general no es un número combinatorio, pero si sus
numeradores son iguales y sus denominadores son consecutivos vale la fórmula:
 m  1  m  1  m

 
  
n
 n 1 n 
Demostración
 m  1  m  1
 m  1 ! 
 m  1 !

  
 =
 buscamos al común denominador:
 n   n  1  n!  m  n  1 !  n  1 !  m  n !
Ejemplos:
=
 m  1!  m  n   m  1 ! n =
n!  m  n  m  n  1 ! n  n  1!  m  n !
=
 m  1!  m  n  n 
n!  m  n!
5  4   4 
a)        
3  3  2 
 m
m!
 
n!  m  n!  n 
c.q.d.
 7   6   6
b)        
 4   4   3
143
Tema 7: Análisis Combinatorio
TRIÁNGULO DE TARTAGLIA
En base a los casos particulares, a la relación de recurrencia (Stieffel) se construye el
triángulo aritmético atribuido a Tartaglia ( aunque su origen es más antiguo ).
0 
 
0 
1 
 
0 
2 
 
 0
 3
 
 0
4 
 
 0
5 
 
0 
 6
 
 0
 6
 
 1
1
 
1
2
 
 1
 3
 
 1
4 
 
 1
5
 
1
1
 2
 
 2
 3
 
2
 4
 
 2
5
 
2 
 6
 
 2
1
3
 
3
 4
 
 3
 5
 
 3
 6
 
 3
1
 4
 
 4
 5
 
4
 6
 
4
1
1
5
 
5
 6
 
 5
1
 6
 
 6
1
2
3
4
5
6
1
1
3
6
10
15
1
4
1
10
20
5
15
1
6
1
Observaciones:
 Es claro que hay m +1 números combinatorios de numerador m .
 m  m
 Los elementos de los lados son de la forma       1
 0   m
 Los números interiores: cada número interior es igual a la suma de los dos números inmediatos
superiores (Stieffel).
 El triángulo es simétrico respecto de la altura ( relación de simetría o propiedad de los números
combinatorios complementarios).
BINOMIO DE NEWTON
Obtendremos la potencia enésima de un binomio por recurrencia. Tendremos en cuenta:
I - Los elementos de cada fila del triángulo de Tartaglia son números combinatorios o coeficientes
binomiales
 m
 
 0
144
de
numerador
 m
 m
 m
;   ;   ; ... ;  
1 
2 
 m
m
y
denominador
variando
de
cero
a
m.
Tema 7: Análisis Combinatorio
 m  m
II -       1 Casos particulares
 0   m
 m  1  m  1  m 
III - 
  
    Regla de Stieffel
 n   n 1   n 
Partimos de los conocidos cuadrado y cubo de un binomio y generalizamos
(a + b)1 = a + b
2
2
3
3
(Los coeficientes coinciden con la 2da fila del triángulo)
(a + b) = a + 2 a b + b
2
(Los coeficientes coinciden con la 3ra fila del triángulo)
2
(a + b) = a + 3 a b + 3 a b2 + b 3 (Los coeficientes coinciden con la 4ta fila del triángulo)
Observamos el triángulo de Tartaglia y vemos que nada altera si escribimos:
1 
1
(a + b)1 =   a1 b 0 +   a0 b1
0 
1
2 
2 
2 
(a + b)2 =   a2 b0 +   a1 b 1 +   a0 b2
0
1
2 
 3
3
 3
3
(a + b)3 =   a3 b 0 +   a2 b1 +   a1 b2 +   a0 b 3
0 
1
2 
3
(a + b)3 = (a + b)2 (a + b)
efectuamos este producto
2  0 2
 2 2 0 2 
  a b +  a b +   a b
1
2 
 0
x
a+b
2 
 2 3 0 2  2
2
  a b +   a b+  ab
1
2




0
 
2 
2  0 3
 2 2
2
  a b+  ab +  a b
1
2 
 0
 3
3
 3
3
(a + b)3 =   a3 b 0 +   a2 b +   a b 2 +   a0 b3
0 
1
2 
3


por
por
por
II
III
II
4 4 0  4  3  4  2 2  4 3  4 0 4
a b   a b   a b    a .b    a b  a 4  4a 3b  6a 2b 2  4a .b 3  b 4
 0
1
 2
 3
 4
a  b 4  
(Los coeficientes coinciden con la 5ta fila del triángulo)
145
Tema 7: Análisis Combinatorio
Generalizamos:
m
m
m
m
0
1
2
m
 a  b  m    a m b 0    a m -1 b 1    a m - 2 b 2  . . .    a 0 b m
 m
k0  k 
m
 a  b m     a m- k b k
Observaciones:
1.- El desarrollo consta de m + 1 términos según lo indica la variación de k.
2.- Los coeficientes están dados por la fila m del triángulo de Tartaglia, es decir son números
combinatorios o coeficientes binomiales de numerador m y denominador variando de 0 a m.
3.- Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales por ser números
combinatorios complementarios.
4.- El exponente de a es la diferencia entre numerador y denominador, y el de b es igual al
denominador siendo su suma igual a m para todos los términos, se dice que es un polinomio
homogéneo de grado m.
5.-
Calculamos el término que ocupa el lugar h (notado Th ) el denominador del número
 m  m-h+1 h-1
Th = 
b
a
 h  1
combinatorio será h – 1
Ejemplo: (a + b)20 calculamos
 m
T17 =   am-16 b16
 16
Cual es el término central lo notamos TC
(a+b)m = T1 + T2 + . . . + Tc +. . . + Tm+1 (hay m+1 términos)
TC =
1   m  1 m  2
 N si m es par

2
2
Si m es impar, m + 1 par (o sea el número de términos del desarrollo es par)
 T1 + . . . + TC’ + TC’’ + . . . + Tm+1 (hay dos términos centrales)
dados por
146
TC’ =
m1
2

TC’’ =
m 3
2
Tema 7: Análisis Combinatorio
En el ejemplo:
Binomio diferencia:
c=
20  2
= 11  T11 =
2
 20 10 10
  a b = TC ( central )
 10 
(a - b)m
m  m
m
Siendo  a  b     a m- k b k se reemplaza b por - b  (-b)k = (-1)k b 
k0  k 
m
 a  b
m


k 0
 m
k m k k
b
  -1 a
 k
Ejemplo:
4 4 0  4 3  4 2 2  4 3  4 0 4
a b   a b   a b   a.b   a b  a 4  4a 3b  6a 2 b 2  4a.b 3  b 4
0
 
1
 2
 3
 4
a  b 4  
147
TEMA Nº 8
PERPENDICULARIDAD y PARALELISMO
Definición: Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro
ángulos iguales. Cada uno es un ángulo recto.
El símbolo de perpendicular
es
Si dos rectas se cortan y no son perpendiculares se dice que son oblicuas.
Ejemplo: En la siguiente figura CD
C
AB
1̂  2̂  3̂  4̂  90º
2
1
A
B
3
4
D
Carácter recíproco de la perpendicularidad: Si una recta es perpendicular a otra, ésta es
perpendicular a la primera.
Es decir, si CD

AB , entonces AB
 CD
Distancia de un punto a una recta: Es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el
punto a la recta. Este segmento tiene las propiedades de ser único y el menor posible.
Paralelismo - Definición: Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando no tienen ningún
punto común o son coincidentes.
El paralelismo tiene la propiedad reciproca, es decir si una recta es paralela a otra, ésta otra
es paralela a la primera.
El paralelismo se expresa con el signo //.
Ejemplo: AB // CD
A
B
C
D
Teorema: Dos rectas de un plano, perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí.
Simbólicamente: CD  AB y EF  AB  CD // EF
C
A
E
D
F
B
149
TEMA Nº 8
Postulado de Euclides:
Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta.
Corolarios:
I) Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.
2) Si una recta corta a otra, corta también a las paralelas a ésta.
3) Si una recta es perpendicular a otra, es también perpendicular a toda paralela a
ésta otra.
Segmentos proporcionales
Si a los segmentos a y b corresponden los segmentos a’ y b’, de tal manera que:
a a'

b b'
Se dice que son proporcionales.
Teorema
Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de dos transversales,
determinarán también segmentos iguales en la otra transversal.
t
Simbólicamente:
t’
A
si AB = BC = CD ,
Entonces: A' B ' = B 'C ' = C ' D'
A’
B
B’
C
C’
D
D’
Teorema de Thales
Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes
proporcionales.
t
t’
u
A’
u’
u’ B’
A
B
u
u
u
u
u
C
150
Hipótesis:
AA' // BB' // CC '
t y t’ transversales;
u’
u’
AB y BC segmentos correspondientes de t y
A' B ' y B 'C ' segmentos correspondientes de t’
u’
Tesis:
u’
C’
AB = A' B'
BC B' C '
TEMA Nº 8
Construcción auxiliar: Llevemos una unidad cualquiera "u" sobre AB y BC . Supongamos que AB
la contiene m veces y BC la contiene n veces;
AB = m . u y BC = n . u
Entonces:
Tracemos paralelas por los puntos de unión de las unidades "u". Los segmentos
quedarán divididos en los segmentos u' (iguales al teorema anterior) de manera que:
A' B ' y B 'C '
A' B' = m . u’ y B'C ' = n . u’
Demostración:
AB = m. u
(1) (construcción auxiliar)
y BC = n. u (2)

AB m

BC n
(3) (la razón de dos segmentos es el cociente de sus medidas con la misma
unidad)
Análogamente:
A' B' = m. U’
(4)
y B'C ' = n. u’ (5)

A' B' m

B' C ' n
(6)
Comparando (3) y (6) :
AB A' B ' (carácter transitivo)

BC B' C '
Observación: El teorema que acabamos de demostrar, es absolutamente general, se verifica para
cualquier número de paralelas y para cualquier posición de las transversales.
Por ejemplo: en la siguiente figura:
G’
G
F’
E’
A’
B
C
D
Si GG' // FF ' // EE ' // CC' // DD'
F
E
se cumple que:
B’
GF
FE
EA
AB
BC
CD





G ' F ' F ' E ' E ' A' A' B ' B ' C ' C ' D '
A
C’
D’
Teorema:
Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados, en segmentos
proporcionales.
151
TEMA Nº 8
Simbólicamente:
C
M
CM CN
MN // AB 

MA NB
N
A
B
Teorema recíproco:
Si una recta al cortar a dos lados de un triángulo, los divide en segmentos proporcionales, dicha
recta es paralela al tercer lado.
Corolario:
El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer
lado e igual a su mitad.
C
Simbólicamente:
M y N puntos medios de
M
AC y BC
AB
Implica: MN // AB y MN 
2
N
A
B
Teorema:
Propiedad de la bisectriz de un ángulo interior, de un triángulo:
La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos
proporcionales a los otros dos lados.
POLÍGONOS
Definición: Dados tres o más segmentos consecutivos se llama multilátero a la figura formada
por la unión de dichos segmentos.
S
N
V
A
M
D
B
C
Q
P
T
U
Multilátero
Multilátero
abierto y simple
simple
Multilátero
abierto y cruzado
cerrado y
Todo multilátero simple cerrado separa al plano en dos regiones: una región interior y una región
exterior.
A
B
interior
E
C
exterior
D
152
TEMA Nº 8
La unión del multilátero simple ABCDE y la región interior se llama polígono simple ABCDE.
Los polígonos simples pueden ser convexos o cóncavos.
A
D
M
N
Q
B
C
R
P
ABCD polígono convexo
MNPQR polígono cóncavo
Todo segmento determinado por
un par de puntos del polígono, está
incluido en él
Existe algún segmento determinado
por un par de puntos del polígono
que no está incluido en él
Elementos de un polígono
Consideremos al polígono ABCDE.
A
E
B
D
C
Los puntos A,B,C,D,E se llaman vértices del polígono.
(AB), (B,C) (C,D) (D,E) (E,A) son pares de vértices consecutivos
(AC), (A,D) (B,D) (B,E) (C,E) son pares de vértices no consecutivos
Los segmentos determinados por pares de vértices consecutivos se llaman lados del polígono.
AB , BC , CD , DE , EA , son lados del polígono ABCDE.
Ángulos internos o interiores: de un polígono, son los formados por cada dos lados consecutivos.
Ángulos exteriores o externos: de un polígono son los ángulos adyacentes a los interiores,
obtenidos prolongando los lados en un mismo sentido.
3
D
4
E
En la figura tenemos:
Ángulos internos: ABˆ C; BCˆ D; DEˆ F ; EFˆ A; FAˆ B; CDˆ E
C
2
5
B
F
Ángulos externos: 1̂;2̂;3̂;4̂;5̂;6̂
6
1
A
153
TEMA Nº 8
El número de lados del polígono es igual al número de vértices y de ángulos. La línea poligonal
que limita al polígono se llama contorno. Perímetro de un polígono es la longitud de su contorno,
es decir la suma de sus lados.
Polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales, es decir que es
equilátero y equiángulo.
De acuerdo con el número de lados, los polígonos reciben nombres especiales. El
polígono de menos número de lados es el triángulo.
N°de lados
tres
Nombre
--------------------------------------------------------------- triángulo
cuatro ----------------------------------------------------------------- cuadrilátero
cinco ------------------------------------------------------------------ pentágono
seis -------------------------------------------------------------------- hexágono
siete ------------------------------------------------------------------- eptágono
ocho ------------------------------------------------------------------- octágono
nueve ----------------------------------------------------------------- eneágono
diez
--------------------------------------------------------------- decágono
once
--------------------------------------------------------------- encdecágono
doce
--------------------------------------------------------------- dodecágono
quince ---------------------------------------------------------------- pentedecágono
Diagonal: Se llama diagonal al segmento determinado por dos vértices no consecutivos.
En la figura los segmentos AC y
D
C
BD son diagonales
E
B
A
Teorema:
La suma de los ángulos interiores (Si) de un polígono convexo es igual a tantas veces
dos ángulos rectos, como lados menos dos tiene el polígono.
En símbolos:
Si Aˆ , Bˆ , Cˆ ,...son los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados,
Entonces:
Si = Â + B̂ + Ĉ + . . . = 2R (n -2)
Por ejemplo, si se trata de un hexágono:
Si = 2 R (6 - 2) = 8 R
154
TEMA Nº 8
Valor de un ángulo interior de un polígono regular.
i= Si = 2 R( n  2)
n
n
El valor "i" de uno de los ángulos lo hallaremos dividiendo la suma entre el número "n" de
ángulos.
Teorema:
La suma de los ángulos exteriores (Se) de todo polígono no convexo es igual a cuatro ángulos
rectos.
Se = 4 R
Valor de un ángulo exterior de un polígono regular.
e
Se 4 R

n
n
Teorema:
El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice es igual al número de
lados menos tres.
Simbólicamente:
A B C . . . es un polígono de n lados.
d = número de diagonales desde un vértice
d = n-3
Por ejemplo, para un pentágono, resulta:
d = 5-3= 2
D
C
E
B
A
Teorema:
Si n es el número de lados del polígono, el número total de diagonales D, que pueden
trazarse desde todos los vértices, está dada por la fórmula:
D
n (n  3)
2
155
TEMA Nº 8
Semejanza
Definición: Dos polígonos del mismo número de lados son semejantes cuando tienen sus
ángulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales. El símbolo de semejanza es 
Por ejemplo: los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes, si y sólo si:
Aˆ  Aˆ ' ; Bˆ  Bˆ ' ; Cˆ  Cˆ ' ;
y
además:
AB
BC
CA


A' B ' B ' C ' C ' A'
ABC  A’B’C’
C’
C
A
B
A’
B’
Para asegurar la semejanza de dos polígonos no es necesaria la comprobación de todas estas
condiciones pues, según veremos más adelante, el hecho de tener algunas, nos determina todas
las demás, con las diferencias que implique cada caso.
Analizaremos la semejanza de triángulos.
Lados homólogos: Son los lados que se oponen a los ángulos iguales. En la figura anterior son
lados homólogos: AB y A' B' ; BC y B 'C ' ; CA y C ' A' .
Caracteres de la semejanza de triángulos:
1- Idéntico: Todo triángulo es semejante a sí mismo.
ABC ~ ABC
2 -Recíproco: Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero
si ABC ~ A'B'C' , entonces A'B'C' ~ ABC
3 -Transitivo: Dos triángulos semejantes a un tercero, son semejantes entre sí.
si ABC ~ A"B"C" y A'B'C' ~ A"B"C",
entonces ABC ~ A'B'C'
Razón de semejanza: Es la razón de dos lados homólogos.
156
TEMA Nº 8
Teorema fundamental de existencia de triángulos semejantes.
Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos un triángulo semejante al
primero.
C
M
Simbólicamente:
N
MN // AB  ABC ~ MNC
A
B
Teorema recíproco:
Todo triángulo semejante a otro es igual a uno de los triángulos que pueden obtenerse
trazando una paralela a la base de éste.
Casos de semejanza de triángulos:
Dos triángulos son semejantes:
1º) Si tienen dos ángulos respectivamente iguales
2º) Si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido
3º) Si tienen sus tres lados proporcionales.
Relaciones métricas en los triángulos
Teorema de Pitágoras.
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
C
Simbólicamente
a 2 b 2  c 2
b
a
A
c
B
Propiedad:
Un triángulo es rectángulo, acutángulo u obtusángulo, cuando el cuadrado del lado mayor
es igual, menor o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Relaciones entre los lados de un triángulo.
En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.
c > a - b
C
c <
b
A
a + b
a
c
B
157
TEMA Nº 8
Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo
- Si en un triángulo dos lados son congruentes, los ángulos opuestos también lo son.
- Si en un triángulo dos lados no son congruentes, al lado mayor se opone el ángulo mayor.
Recíprocamente:
- Si en un triángulo dos ángulos son congruentes, los lados opuestos también lo son.
- Si en un triángulo dos ángulos no son congruentes, al ángulo mayor se opone el lado mayor.
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Definición - Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan de otro punto
llamado centro.
La figura representa una circunferencia de centro O.
A
Los puntos A, B, C son puntos de la circunferencia
B
y los segmentos OA  OB  OC  r se llaman radios.
O
C
Notación: C (O,r)
Puntos interiores y exteriores:
La circunferencia divide al plano en dos regiones una exterior y otra interior.
M
OM > r;
OP = r
ON < r
N
O
r
P
Los puntos como M, cuya distancia al centro es mayor que el radio, se llaman puntos exteriores;
los que como N, distan del centro menos que el radio se llaman puntos interiores y si como en el
caso del punto P, su distancia al centro es igual al radio, son puntos que pertenecen a la
circunferencia.
Círculo: Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.
Circunferencias iguales: son las que tienen radios iguales.
Arco de la circunferencia: Es una porción de la circunferencia.
Cuerda: Es el segmento determinado por dos puntos de la circunferencia.
158
TEMA Nº 8
A
AC es un arco, que se representa: AC
CD es una cuerda.
C
O
D
B
De los dos arcos que una cuerda determina en una circunferencia, se llama arco
correspondiente a la cuerda, al menor de ellos.
Toda cuerda que pasa por el centro se llama diámetro. AB es un diámetro, en la figura anterior.
El diámetro es igual a la suma de dos radios.
AB  AO  OB  r  r  2r
Posiciones de una recta y una circunferencia
B
M
P
A
E
N
F
Una recta como EF que tiene dos puntos comunes con la circunferencia se dice que es secante.
Si la recta tiene un solo punto común con la circunferencia, como AB , se dice que es tangente y
al apunto P se le llama punto de tangencia o punto de contacto.
Si la recta no tiene ningún punto común con la circunferencia, como la MN , se dice que es
exterior.
Figuras en el círculo
La parte de círculo limitada entre una cuerda y su arco se llama segmento circular.
La parte de círculo limitada por dos radios y el arco comprendido se llama sector circular.
159
TEMA Nº 8
Corona circular es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas.
Trapecio circular es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos
radios.
Ángulos centrales y arcos correspondientes
Ángulo central: es el que tiene su vértice en le centro de la circunferencia: AOˆ B
El arco correspondiente es el comprendido entre los lados
del ángulo central: AOB
A
O
B
Igualdad de ángulos y arcos: En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, a
ángulos centrales iguales corresponden arcos iguales.
Desigualdad de ángulos y arcos: En una misma circunferencia o en circunferencias a mayor
ángulo central le corresponde mayor arco.
Propiedades del diámetro
1.- Un diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos en dos partes iguales.
Los arcos iguales determinados por el diámetro, se llaman semicircunferencias.
Las porciones de planos limitadas por las semicircunferencias y el diámetro se llaman
semicírculos.
2.- El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia.
3.- Todo diámetro perpendicular a la cuerda, divide a ésta y a los arcos subtendidos en partes
iguales.
160
TEMA Nº 8
A
CM = MD
si AB

CD
CB = BD
AC = AD
O
C
M
D
B
Propiedad de la tangente en el punto de contacto.
La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto.
Recíprocamente: Si una recta es perpendicular a un radio en su extremo, es tangente a la
circunferencia.
TT’  OA
A.

TT' es tangente a la circunferencia en
T
A
O
T’
Ángulo inscripto
Definición: Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes.
El ángulo ABˆ C abarca el arco ANC. ABC está inscripto en C (O,r)
B
O
r
C
A
N
El ángulo central cuyos lados pasan por los extremos del arco ANC se llama ángulo central
correspondiente al ángulo inscripto.
Propiedad: Todo ángulo inscripto es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.
ABˆ C 
AOˆ C
2
161
TEMA Nº 8
Consecuencias:
1.- Todos los ángulos inscriptos en un mismo arco de circunferencia son iguales.
C
B
ABE = ACE = ADE =
O
AOE
2
D
E
A
2.- Todo ángulo inscripto en una semicircunferencia es recto.
ABE = ACE = ADE = AOE  1llano = un recto
2
2
B
C
A
D
O
E
Ángulo semiinscripto:
Definición: Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, uno de sus lados es una
tangente y el otro una secante.
ABC semiinscripto en AMB y abarca a ANB,
AOB es el ángulo central correspodiente a ABC
B
M
C
O
N
A
Propiedad: Todo ángulo semiinscripto en un arco de circunferencia es igual a la mitad del ángulo
central correspondiente.
ABC = AOB
2
Medida de ángulos y de arcos.
Para medir un ángulo se elige arbitrariamente otro ángulo como unidad.
Definición: Se llama medida de un ángulo con respecto a otro elegido como unidad, a la razón
entre el ángulo dado y el ángulo unidad. Esta razón es un número real.
162
TEMA Nº 8
Ejemplo:
ˆ  3ˆ 
ˆ
 3 (medida de ̂ con respecto a ̂ )
ˆ
a
w
Análogamente, para medir un arco se elige arbitrariamente otro arco como unidad.
Definición: Se llama medida de un arco con respecto a otro elegido como unidad a la razón entre
el arco dado y el arco unidad. Esta razón es un número real.
w
a
AB = 3 u

A
u
B
AB 3
 
u
(1)
(medida del arco AB con respecto a u)

Si designamos con ̂ el ángulo central correspondiente al arco u y con ̂ el ángulo central
correspondiente al arco AB, resulta:
a = 3 w 
ˆ
=
ˆ
3
(2)
De (1) y (2) resulta:
La medida de un arco es igual a la medida del ángulo central correspondiente si y solo sí
se elige como unidad de ángulo el ángulo correspondiente a la unidad de arco.
Polígono inscripto:
Definición: Es el que tiene todos sus vértices sobre una circunferencia.
Cuando el polígono esta inscripto, se dice que la circunferencia está circunscripta al
polígono.
B
C
O
A
D
163
TEMA Nº 8
Polígono circunscripto:
Definición: Es aquel cuyos lados son tangentes a la circunferencia.
Cuando el polígono está circunscripto, se dice que la circunferencia esta inscripta.
B
C
O
A
D
Radio de un polígono regular: Es el radio de la circunferencia circunscripta.
Ángulo central de un polígono regular: Es el formado por dos radios que corresponden a los
extremos de un mismo lado.
D
C
OA = OF son radios del polígono
ABCDEF
O
B
r
A
E
r
AOF es un ángulo
polígono ABCDEF
central
del
F
Propiedades:
1.- Si se divide una circunferencia en tres o más arcos iguales, las cuerdas que unen los
puntos de división, formarán un polígono regular inscripto.
2.- Si se divide una circunferencia en tres o más arcos iguales, las tangentes trazadas a la
circunferencia por los puntos de división o por los puntos medios de dichos arcos, forman un
polígono regular circunscripto.
3.- Todo polígono regular puede ser inscripto en una circunferencia.
Apotema
Se llama apotema de un polígono regular al segmento de perpendicular trazada desde el
centro del polígono a cualquiera de sus lados.
164
TEMA Nº 8
OM es la apotema del polígono ABCDEF
D
C
O
B
A
M
E
F
Cálculo de la apotema en función del lado y del radio
Si designamos con:
an: apotema de un polígono regular de n lados
ln: lado de un polígono regular de n lados
r : radio
La siguiente fórmula permite calcular la apotema en función del lado y del radio.
1
an  . 4r 2  ln2
2
RECTAS Y PLANOS
Determinación del plano:
Un plano viene determinado:
1.- Por dos rectas que se cortan
2.- Por tres puntos no situados en línea recta
3.- Por una recta y un punto exterior a ella
4.- Por dos rectas paralelas
Posiciones de dos planos:
Dos planos pueden ocupar las siguientes posiciones:
1.- Cortarse. En este caso tienen una recta común que se llama intersección de dos planos.
2.- Ser paralelos: Cuando no tienen ningún punto común.
recta de
intersección
165
TEMA Nº 8
Posiciones de una recta y un plano: Una recta y un plano pueden ocupar las siguientes
posiciones.
1.- Estar la recta incluida en el plano.
2.- Cortarse. En este caso tienen un punto común.
3.- Ser paralelos: Cuando no tienen ningún punto común.
A
A
A
B
B
166
B
TEMA Nº 8
Posiciones de dos rectas en el espacio:
Dos rectas en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones.


1.- Cortarse. En este caso tienen un punto común AB y BE en la figura .
2.- Ser paralelos. Cuando están en un mismo plano y no tienen ningún punto en común
(Ejemplo: AB Y CD ).
3.- Cruzarse. Si no están en un mismo plano. En este caso no tienen ningún punto común ni son
paralelas (se dice que son alabeadas. (Ejemplo: AD y BE )
a
E
D
A
C
b
B
a y b son alabeadas
Teorema: Las intersecciones a y b de dos planos paralelos  y  con un tercer plano  son
rectas paralelas.
a
b
Teorema: Si dos rectas son paralelas, todo plano que pase por una de ellas es paralelo a la otra.
a
b
Teorema: Si dos rectas a y b que se cortan son paralelas a un plano  , el plano que ellas
determinan es también paralelo al plano.
P
a
b
167
TEMA Nº 8
Teorema: Si un plano  corta a una de dos rectas a y b paralelas, corta también a la otra.
a
b
Corolario:
1.- Si una recta corta a uno de dos planos paralelos, corta también al otro.
2.- Si un plano corta a uno de dos planos paralelos, corta también al otro.
3.- Si dos planos son paralelos a un mismo plano, son paralelos entre sí.
Teorema: Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.
E
A
C
B
D
En símbolos:
CD // AB y EF // AB  CD // EF
F
Teorema: Si dos ángulos BAC y FGH, no situados en un mismo plano, tienen sus lados paralelos
y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.
A
B
C
=
G
H
F
Recta perpendicular a un plano.
Se dice que una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del
plano que pasan por la intersección.
Al punto de intersección se lo llama pie de la perpendicular.
Por un punto pasa un plano perpendicular a una recta y solamente uno. El punto puede estar en
la recta o fuera de ella.
Por un punto P de un plano, o exterior a él, pasa una recta PM perpendicular al plano y
solamente una.
168
TEMA Nº 8
P
P
M
M
PM
PM
Distancia de un punto P a un plano: Es el segmento PM de perpendicular trazado del punto al
plano.
P
M
PM
N
PN
El segmento PM es menor que cualquier otro segmento PN que une el punto con cualquier otro
punto del plano.
Paralelismo y Perpendicularidad
Si dos rectas son paralelas, y una de ellas es perpendicular a un plano, la otra también es
perpendicular al plano.
A
C
B
D
AB
// CD
y
a
AB

CD
a
Recíprocamente, dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí.
En símbolos:
AB
a
y
CD
a

AB
//
CD
169
TEMA Nº 8
Distancia entre dos planos a y b paralelos. Es el segmento MN de perpendicular comprendido
entre los dos planos. O también, es la distancia de un punto cualquiera M de uno de ellos al otro.
M
N
Postulados
1.- Dado un plano existen puntos fuera de él.
2.- Un plano divide al espacio en dos regiones llamadas semiespacio.
Ángulos diedros.
r
Llamaremos ángulo diedro (o diedro simplemente) de los semiplanos a1 y b1, al conjunto de los
puntos comunes al semiespacio determinado por a que contiene a b1 y al semiespacio
determinado por b que contiene a a1.
La recta r se llama arista del diedro.
Los semiplanos a1 y b1, diremos: diedro a1 b1.
En la figura anterior los tres diedros restantes son: a2 b1; a1 b2
y
a2 b2.
Cuando no existe peligro de confusión basta indicar la arista solamente escribiendo, por ejemplo,
diedro r.
Todo punto perteneciente a un diedro y que no esté sobre una de sus caras o sobre la
arista se dice que es interior al diedro. Todo punto no perteneciente al diedro se dice que es
exterior a él.
El conjunto de los puntos exteriores a un diedro más el conjunto de los puntos de las
caras se dice que forma un diedro cóncavo
El definido primeramente se llama diedro convexo.
Diedro convexo
Diedro
cóncavo
170
TEMA Nº 8
Cuando a1 y b1 son semiplanos opuestos se dice que a1 b1 es un diedro llano. Por lo
tanto un diedro llano es un semiespacio.
P
Notación: a1 P a2
Ángulos diedros consecutivos: Son aquellos que tienen una cara y una arista común o pero no
tiene otros puntos comunes que los situados sobre esta cara y dicha arista.
ab y bg son consecutivos.
Cuando las caras no comunes de dos diedros consecutivos son semiplanos opuestos se dice
que los diedros son adyacentes.
ab y ba son adyacentes.
Ángulo rectilíneo correspondiente a un diedro (sección normal). Es el ángulo formado por dos
rectas OP y OQ perpendiculares a la arista AB, en un mismo punto O, de manera que las rectas
estén en caras distintas del diedro.
A
POQ es un ángulo rectilíneo o sección
normal correspondiente al diedro ab
P
O
Q
B
Todos los ángulos rectilíneos correspondientes de un diedro son iguales, ya que son ángulos de
lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido.
171
TEMA Nº 8
Medida de un ángulo diedro: Es la medida de un ángulo rectilíneo correspondiente.
Si el ángulo rectilíneo es agudo el diedro es agudo, si es recto el diedro es recto, etc.
Igualdad y desigualdad de ángulos diedros: Dos diedros son iguales, cuando lo son sus
secciones normales correspondientes. Dos ángulos diedros son desiguales cuando lo son sus
secciones normales correspondientes.
Planos perpendiculares.
Se dice que dos planos que se cortan son perpendiculares cuando forman cuatro ángulos
diedros rectos.
a  b puesto que:
a1 b1 = a2 b2 = a1 b2 = a2 b1 = 1 recto
Propiedades:
1.- Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que contenga a esta recta es
perpendicular al primero.
2.- Si una recta es perpendicular a un plano, cualquier plano paralelo a la recta es perpendicular
al plano.
3.- Si dos planos son perpendiculares, toda recta de uno de ellos que sea perpendicular a la
intersección de ambos, es perpendicular al otro.
4.- Si dos planos que se cortan son perpendiculares a un tercero, su intersección es también
perpendicular a él.
5.- Por una recta que no sea perpendicular a un plano solo pasa un plano perpendicular al
primero.
Plano bisector de un ángulo diedro. Es el plano que divide al diedro, en dos diedros iguales.
Ánqulo poliedro convexo. Es la figura formada por tres o más semirrectas VA, VB, VC, etc. del
mismo origen, y tales que el plano determinado por cada dos consecutivas, deja a las demás de
un mismo lado (semiespacio) del plano.
El origen V de las semirrectas se llama vértice y las semirrectas VA, VB, VC, etc, se llaman
aristas. Los planos AVB, BVC, CVD, DVE, y EVA, son las caras del ángulo poliedro.
172
TEMA Nº 8
Notación: ángulo poliedro V -ABCDE
V
A'
D'
B'
C'
A
D
Sección plana de un ángulo poliedro. Es el polígono determinado por un plano que corta a todas
las aristas del ángulo poliedro. Si el ángulo poliedro V-ABCDE al ser cortado por el plano,
determina el polígono A’B’C’D’E’, que es una sección plana de dicho ángulo poliedro.
Ángulos diedros en un ángulo poliedro. Son los ángulos diedros formados por cada dos caras
consecutivas. Se les nombra por su arista. Así diremos: diedro VA, VB, etc.
Ángulo triedro: Es el ángulo poliedro formado por tres semirrectas.
V
C
A'
C'
V
B
B'
A
C
A
triedro trirrectángulo
B
Clasificación de los triedros: Un ángulo triedro puede tener uno, dos o tres ángulos diedros
rectos, en cuyos casos se llama: rectángulo, birrectángulo o trirrectángulo respectivamente.
Se llaman triedros isósceles aquellos que tienen dos caras iguales.
Poliedro convexo: Es el cuerpo limitado por polígonos llamados caras, de manera que el plano
de cada cara deja a un mismo lado a la figura.
Poliedros: Un poliedro es regular si sus caras son polígonos regulares iguales y los ángulos
poliedros tienen el mismo número de caras.
Existen cinco poliedros regulares que reciben nombres de acuerdo con el número de caras. Son
los siguientes:
1)
4 caras
tetraedro
2)
6 caras
hexaedro
3)
6 caras
octaedro
4)
12 caras
dodecaedro
5)
20 caras
icosaedro
173
TEMA Nº 8
(2)
(1)
(3)
(4)
(5)
Teorema de Euler:
El número de vértices de un poliedro convexo aumentado en el número de caras y
disminuido en el número de aristas es siempre igual a 2, esto es:
V+C–A=2
V = vértices
C = caras
A = aristas
Vamos a verificar esta propiedad en cada uno de los cinco poliedros regulares.
174
V
C
A
V + C - A
Tetraedro
4
4
6
2
Hexaedro
8
6
12
2
Octaedro
6
8
12
2
Dodecaedro
20
12
30
2
Icosaedro
12
20
30
2
TEMA Nº 8
Prismas y Pirámides
Prisma - Definición y elementos.
Se llama prisma al poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales cuyos
planos son paralelos.
Los polígonos iguales y paralelos se llaman bases del prisma; las demás caras del prisma, que
son paralelogramos, forman la superficie lateral del mismo.
Según el número de lados de los polígonos que forman las bases, los prismas se llaman:
triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.
F
I
D
Bases: ABC y EDF
E
H
F
E
Bases: ABCDJ y EFGHI
G
Aristas laterales: FA; EB y DC
A
Aristas laterales: AE; BF; CG; DH y JI
J
C
A
B
D
B
Prisma Recto
Triangular
C
Prisma Recto
Pentagonal
Prisma recto: es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases.
Altura de un prisma: Es la distancia entre los planos de sus bases. En el prisma recto, la altura a las
aristas laterales.
Prisma oblicuo: Es aquel en que las aristas laterales no son perpendiculares a los planos de las
bases.
DH: altura
D
Prisma oblícuo
E
F
A
H
C
B
175
TEMA Nº 8
Paralelepípedo: Es el prisma cuyas bases son paralelogramos.
Aristas opuestas: son paralelas y no pertenecen a le
F
E
misma cara (Ej. AH y CF, AB y EF, etc.)
Vértices opuestos: los no situados en la misma cara
H
G
(Ej. A y F, B y E)
D
C
Diagonal: el segmento que une dos vértices opuestos
(Ej. BE)
B
A
Plano diagonal: el
determinado por dos aristas
opuestas (Ej. BCEH)
Ortoedro: Es el paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos.
Las seis caras de un ortoedro son rectángulos.
H
E
G
F
A
D
B
C
Propiedad: En todo ortoedro, el cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las
tres aristas que concurren en un mismo vértice.
En símbolos: (AF)2 = (AB)2 + (BC)2 + (CF)2
Cubo: Es el ortoedro que tiene iguales todas sus aristas. Las seis caras del cubo son cuadrados. El
cubo también se llama hexaedro regular.
Romboedro: Es el paralelepípedo cuyas bases son rombos.
176
TEMA Nº 8
Pirámide: Es el poliedro que tiene una cara llamada base, que es un polígono cualquiera y las
otras, llamadas caras laterales, son triángulos que tienen un vértice común, llamado
vértice o cúspide de la pirámide.
Altura: es la perpendicular trazada del vértice a la base.
F
Base: pentágono ABCDE
Vértice: F
Altura : FH
E
A
D
H
Caras laterales: AFB; BFC; CFD; DFE; AFE
C
B
De
acuerdo con la clase de polígono de la base, las pirámides se
clasifican en: triángulares, hexagonales, etc.
Pirámide regular: Es la pirámide que tiene por base un polígono regular y el pie de su altura
coincide con el centro del polígono.
La altura de cada uno de estos triángulos se llama apotema de la pirámide.
Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a su base, la sección es un polígono semejante a
la base.
Tronco de pirámide: Se llama tronco de pirámide a la porción de pirámide comprendida entre la
base y un plano paralelo a ella que corte a todas las aristas laterales.
D'
E'
A'
C'
B'
at: apotema del tronco
D
at
E
A
C
B
Si el tronco es de una pirámide regular las caras laterales son trapecios isósceles iguales. La
altura de uno de los trapecios se llama apoterma del tronco.
Áreas de los poliedros.
Área lateral de un prisma o pirámide. Es la suma de las áreas de las caras laterales.
Área total de un prisma o pirámide: Es la suma del área lateral más las áreas de las bases.
Por lo tanto para hallar el área de un poliedro cualquiera, basta recordar las fórmulas de las áreas
de los triángulos, rectángulos, paralelogramos, etc.
177
TEMA Nº 8
El siguiente es un resumen de las fórmulas más importantes:
1.- Triángulo: A = ½ .b.h =  s(s-a)(s-b)(s-c)
lados)
s =(a + b + c) /2
(A: área; a, b, c:
(h: altura relativa al
lado b)
a2  3
2.- Triángulo equilátero: A =
4
(a: lado)
3.- Paralelogramo: A = b.h
(b: base; h: altura)
d2
2
4.- Cuadrado: A = a =
(a: lado ; d: diagonal)
2
5.- Trapecio: A= ½ (b + b')h
(b,b':bases; h: altura)
3 a2  3
6.- Hexágono regular: A =
(a: lado)
2
7.- Octógono regular: A = 2 a2 (1 + 2)
(a: lado)
8.- Polígono regular cualquiera: A = s.a
apotema
(s:semiperímetro; a:
del polígono)
TRABAJO PRÁCTICO
Problemas gráficos:
Usando regla y compás:
1) Trazar una perpendicular en el punto medio de un segmento.
2) Trazar una perpendicular en un punto cualquiera de una recta.
3) Trazar una perpendicular en un extremo de un segmento sin prolongarlo.
4) Por un punto P exterior a una recta AB trazar a ésta una paralela.
5) Trazar la bisectriz de un ángulo.
6) Dividir un segmento en otros dos que estén en una razón dada.
Problema:
178
TEMA Nº 8
7) Sea el ABC cuyos lados miden: a= 27cm; b= 18 cm y c= 35 cm. Calcular los segmentos
determinados en el lado b por la bisectriz del ángulo opuesto.
Problemas gráficos sobre segmentos proporcionales.
8) Dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos.
9) Dividir un segmento en partes proporcionales a varios números.
10) Hallar la cuarta proporcional a tres segmentos dados a, b, y c
11) Hallar la tercera proporcional a dos segmentos dados, a y b.
Polígonos:
12) Hallar la suma de los ángulos interiores de un octógono.
13) ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 1.260º?
14) Hallar el valor de un ángulo interior de un hexágono regular.
15) Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 135°
16) Hallar la suma de los ángulos exteriores de un eptágono.
17) Hallar el valor de un ángulo exterior de un octágono regular.
18) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale l20º?
19) Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un octógono?
20) ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar tres diagonales desde un vértice?
21) Calcular el número total de diagona1es que se pueden trazar en un octógono.
22) ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en total?
23)
D
E
si EB // CD y AB = 2m;
A
B
C
BC = 18 m y BE = 3 m, calcular CD
179
TEMA Nº 8
24)
A
AB // DE; AB  BD; ED  BD;
DE = 4 m ; CD = 2 m ; BC = 6 m
Hallar
B
C
AB
D
E
25)
D
EB // CD
AB = 9 m
EB = 6 m
CD = 80 m
E
Calcular
A
180
B
C
BC
TEMA Nº 8
26) Si a es la hipotenusa y b y c loS catetos de un triángulo rectángulo, calcular el lado que falta:
1) b = 10 cm ; c = 6 cm
2) a = 32 m ; c = 12 m
3) a = 100 km; b = 80 km
27) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto es:
1) c = 4 m
2) c = 6 m
28) Hallar la altura de un triángulo equilátero sabiendo que el lado vale 12 cm.
29) Hallar la diagonal, de un cuadrado cuyo lado vale 3 m.
30) Hallar la diagonal de un rectángulo sabiendo que los lados a y b miden: a = 4m y b = 8 m
31) Hallar los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que son números consecutivos.
32) Decidir si con los segmentos: a, b y c se puede formar un triángulo.
Si la respuesta es afirmativa, indicar la clase.
a (cm)
B (cm)
C (cm)
1
8
8
4
2
4
4
8
3
9
3
7
4
20
15
35
5
10
10
10
6
10
17
6
Si - no
clase
33.- Un punto dista 3 cm de alto del centro de una circunferencia de 4 cm de diámetro. Calcular la
menor y mayor distancia de dicho punto a la circunferencia.
34.- Construir tres circunferencias iguales y dibujar:
a) un ángulo central convexo en la primera
b) un ángulo central llano en la segunda
c) un ángulo central cóncavo en la tercera.
¿A qué clase de ángulos pertenece el ángulo inscripto en cada caso?
35.- Completar los siguientes cuadros:
a)
b)
Valor del ángulo
Inscripto
Central
Valor del ángulo
Semiinscripto
Central
71º
32º
195º
105º
67º 49’
48º 23’
214º 24’
263º 17’
181
TEMA Nº 8
36)
Datos: a1 = 20º
D
w2 = 2 w1


Calcular: a2
o

A
C

B
37)
Datos: AB tangente a C (O;r)
B
a = 30 º



o
A
Calcular: b y d
C
38)
A
Datos: BAC inscripto en C (O,r)

a = 48 º
b = 112 º

Calcular: los ángulos B y C del triángulo ABC
o
C
B
39)
C
D
Datos: ABCD inscripto en C (O,r)

a = 84 º
o
Calcular: los ángulos B , C y D del cuadrilátero

B
182
b = 134 º
A
TEMA Nº 8
40) Calcular la apotema de un cuadrado inscripto en una circunferencia de 3 m de radio, si el lado
del cuadrado mide 3 2 m.
41) Calcular la apotema de un triángulo equilátero inscripto en una circunferencia de 5 m de radio, si
el lado del triángulo mide 5 3 m.
42) Calcular el lado de un polígono regular inscripto en una circunferencia de 5 m de radio, si la
apotema mide 4 m.
43) ¿Si dos planos son perpendiculares y una recta es perpendicular a uno de ellos, que posición
tiene respecto del otro?
44) a) Dos rectas que se cruzan ¿pueden ser ambas paralelas al mismo plano?
b) Tres planos son paralelos a la misma recta ¿son ellos paralelos entre si?
c) Decir si dos rectas paralelas a un plano determinan un nuevo plano paralelo al primero.
45) Dos planos perpendiculares a un tercero ¿son paralelos entre sí?
46) Verificar el teorema de Euler en cada uno de los poliedros siguientes.
a) prisma de base triangular
b) pirámide de base cuadrada
c) tronco de pirámide de base cuadrada
47) Las tres aristas que concurren en los vértices de un ortoedro miden 5,6 cm
Hallar la diagonal.
48) Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm.
49) La diagonal de un cubo mide 2  3 cm. Hallar la arista.
50) Hallar el área de una cara de un octaedro regular cuya arista vale 4 cm.
51) Hallar el área total de un tetraedro regular cuya arista vale 2 cm
52) Sabiendo que el área total de un tetraedro regular es 16  3 cm , calcular la arista.
53) Hallar el área lateral de un prisma recto octagonal regular cuyo lado de la base mide 6 cm y la
arista lateral 15 cm.
54) Hallar el área total de una pirámide regular de base hexagonal sabiendo que el lado de la base
mide 5 cm y la apotema de la pirámide 4,4 cm
55) Hallar el área lateral y total de un tronco de pirámide cuadrada si los lados de las bases miden 8
y 20 cm respectivamente y la apotema del tronco mide 8 cm.
183