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MATEMÁTICAS TIMONMATE EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Juan Jesús Pascual TRIGONOMETRÍA A. Introducción teórica A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes). A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica. A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas. A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno. B. Ejercicios resueltos B.1. Razones trigonométricas. B.2. Ecuaciones trigonométricas. B.3. Problemas. A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo: Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones: La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β del triángulo rectángulo aquí representado: a) Para el ángulo α: función seno a senα = c función cosecante 1 c cos ec α = = senα a función coseno b cos α = c función secante 1 c s ecα = = cos α b 1/22 función tangente a tgα = b función cotangente 1 b cotgα = = tgα a Ejercicios de trigonometría resueltos b) TIMONMATE Para el ángulo β: función seno b senβ = c función cosecante 1 c cos ecβ = = senβ b función coseno a cos β = c función secante 1 c s ecβ = = cos β a función tangente b tgβ = a función cotangente 1 a cotgβ = = tgβ b A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes) ángulo 0º 30º 45º sen cos tg 0 rad 0 1 0 π rad 6 π rad 4 1 2 2 2 3 2 2 2 1 3 ángulo π rad 60º 3 π rad 90 2 1 180º π rad sen 3 2 cos 1 2 tg 1 0 ∞ 0 –1 0 3 A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la unidad. Para una circunferencia goniométrica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo. 2/22 TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas a) Relaciones fundamentales: El seno, el coseno y la tangente de un ángulo están relacionados mediante la siguiente igualdad: senθ = tgθ cos θ Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pitágoras: sen 2 θ + cos 2 θ = 1 b) Relaciones del ángulo suma–diferencia: sen ( α ± β ) = senα ⋅ cos β ± senβ ⋅ cos α cos ( α ± β ) = cos α ⋅ cos β ∓ senα ⋅ senβ tg ( α ± β ) = tgα ± tgβ 1 ∓ tgα ⋅ tgβ c) Relaciones del ángulo doble Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales. sen ( 2 α ) = 2senα ⋅ cos α cos ( 2 α ) = cos 2 α − sen 2 α tg ( 2 α ) = 2tgα 1 − tg 2 α d) Relaciones del ángulo mitad sen 2 α 1 − cos α = 2 2 cos 2 α 1 + cos α = 2 2 3/22 Ejercicios de trigonometría resueltos tg 2 TIMONMATE α 1 − cos α = 2 1 + cos α A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno Sea el siguiente triángulo. ¡No hace falta que sea rectángulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno y teorema del coseno. A c b B C a a) Teorema del seno: a b c = = senA senB senC b) Teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A B. EJERCICIOS RESUELTOS B.1. Cálculo de razones trigonométricas 1. Sabiendo que senα = 0, 86 calcula las demás razones trigonométricas directas e inversas Solución: Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan: • senα = 0, 86 4/22 TIMONMATE • Ejercicios de trigonometría resueltos El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental sen 2 θ + cos 2 θ = 1 : sen 2 θ + cos 2 θ = 1 ⇒ cos 2 θ = 1 − sen 2 θ ⇒ cos θ = 1 − sen 2 θ Sustituyendo datos: 1 2 La tangente buscada se deduce de la fórmula fundamental senθ = tgθ . Sólo hay que sustituir en ella los valores conocidos: cos θ cos θ = 1 − sen 2 θ ⇒ cos θ = 1 − 0, 86 2 ⇒ cos θ = • senθ 0, 86 = tgθ ⇒ tgθ = ⇒ tgθ = 1,72 cos θ 0, 5 • La cosecante es la inversa del seno. cos ecα = sen−1α = 1 = 1, 26 0, 86 • La secante es la inversa del coseno. • 1 =2 1 2 La cotangente es la inversa de la tangente. s ecα = cos−1 α = cot gα = tg −1α = 1 = 0, 58 1,72 2. Calcula las relaciones directas de α y β Solución: trigonométricas Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente. Para el ángulo α : 40 ⇒ senα = 0, 8 , 50 30 cos α = ⇒ cos α = 0, 6 50 40 tgα = ⇒ tgα = 1, 33 30 Observa que se cumple que sen 2 α + cos 2 α = 1 senα = 5/22 Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE Para el ángulo β : 30 senβ = ⇒ senβ = 0, 6 50 cos β = tgβ = 40 ⇒ cos β = 0, 8 50 30 ⇒ tgβ = 0, 75 40 Observa que también se cumple que sen 2β + cos 2 β = 1 , como no podía ser de otra manera. 3. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 135º Solución: El ángulo 135º está en el 2º cuadrante. Será equivalente a un ángulo de 45º para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se indica en la figura. sen 45 135º 45º - cos 45 - 560º Solución: Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo: 560 200 360 ⇒ 1 vuelta ⋅ 360º + 200º 1 El ángulo que tenemos que manejar es -200º. Ello es equivalente a un ángulo de 20º en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y cos20 es negativo 6/22 TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos sen 20 20º - cos 45 -200º 3 y que α está en el 4º cuadrante, halla las 2 demás razones trigonométricas. 4. Sabiendo que cos α = Solución: Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo y senα es negativo. El senα lo deducimos usando la relación fundamental de la trigonometría: sen 2α + cos 2 α = 1 2 3 Así: sen α + cos α = 1 ⇒ sen α + = 1 ⇒ senα = − 2 2 2 2 3 1 1 − = − 4 2 El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata: 1 1 senα 1 =− 3 ; ; cotgα = tgα = = 2 =− tgα cos α 3 3 2 − sec α = 1 3 1 = ; co sec α = = −2 cos α 2 senα 1 y que α está en el 2º cuadrante, halla las 3 demás razones trigonométricas. 5. Sabiendo que tgα = − Solución: Si α está en el 2º cuadrante entonces cosα es negativo y senα es positivo. - 1 para hallar senα : sen 2α 2 1 1 1 4 1 3 2 tg α + 1 = ⇒ − + 1 = ⇒ = ⇒ senα = 2 2 2 sen α sen α 3 sen α 2 3 Utilizamos la relación tg 2α + 1 = 7/22 Ejercicios de trigonometría resueltos - TIMONMATE Hallamos cosα a partir de tgα = senα : cos α 3 senα 3 cos α = = 2 =− . 1 tgα 2 − 3 - Las obtención de las razones trigonométricas inversas es inmediata: sec α = 1 2 1 2 1 =− 3 = − ; co sec α = = ; cot gα = cos α 3 tgα senα 3 1 6. Si α está en el tercer cuadrante y senα = − , determina las siguientes 2 razones trigonométricas: sen (180º −α ) Solución: Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo, como bien indica el enunciado. Pero, en general, senα = sen (180 −α ) , así que 1 sen (180 −α ) = − 2 sen (180º +α ) Solución: Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo. Además: 1 senα = −sen (180 −α ) , así que sen (180 −α ) = 2 cos (180º −α ) Solución: Como α está en el tercer cuadrante cosα es negativo. Además: cos α = − cos (180 −α ) . Deduzcamos cosα : Usamos la relación fundamental de la trigonometría: sen 2α + cos 2 α = 1 2 1 1 3 sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ − + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = −1 − = − 2 4 4 8/22 TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos Entonces, cos (180 −α ) = 3 4 cos (180º +α ) Solución: Se cumple que cos α = − cos (180 + α ) . Entonces: 3 3 − = − cos (180 +α ) ⇒ cos (180 + α ) = 4 4 tg (180º −α ) Solución: 1 sen (180º −α ) − 2 2 tg (180º −α ) = = = cos (180º −α ) − 3 3 4 tg (180º +α ) Solución: 1 sen (180º +α ) 2 2 tg (180º +α ) = = = cos (180º +α ) 3 3 4 B.2. Demostración de igualdades trigonométricas: 2sen α + 3 = cos α 2tg α + 3 sec α 7. Solución: Vamos a tratar de manipular el lado izquierdo de la igualdad, para sen α convertirlo en cos α . Teniendo en cuenta que tg α = y que cos α 1 sec α = , podemos escribir: cos α 2sen α + 3 2sen α + 3 = 2tg α + 3 sec α 2 sen α + 3 cos α cos α 9/22 Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE Operamos esa expresión con el fin de simplificarla: 2sen α + 3 2sen α + 3 cos α (2sen α + 3) = = = cos α sen α 3 2sen α + 3 2sen α + 3 2 + cos α cos α cos α 8. Como acabamos de ver, la igualdad se cumple. tg 2α = sen 2α 1 − sen 2α Solución: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: A = tg 2α = sen 2α cos 2 α Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: En B = sen 2α vamos a reescribir el denominador de una forma 1 − sen 2α más conveniente: Teniendo en cuenta que sen 2α + cos 2 α = 1 1 − sen 2α = cos 2 α . Entonces: B= se deduce que sen 2α sen 2α = 1 − sen 2α cos 2 α Observamos que A=B, luego la identidad es verdadera. 9. tg (α )⋅ cot g (α ) − 1 cos (α ) + sen (α ) ⋅ 1 − = sec (α ) cos ec (α ) 1 + cot g 2 (α ) 2sen (α ) Solución: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: 10/22 TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos A = tg (α )⋅ cot g (α ) − = 1− 2 ⋅ sen (α ) 2 1+ cos (α ) sen 2 (α ) 2 ⋅ sen (α ) 1 + cot g 2 (α ) = tg (α )⋅ 2 ⋅ sen (α ) 1 − = tg (α ) 1 1+ 2 t g (α ) 2 ⋅ sen (α ) = 1− 2 2 sen (α ) + cos (α ) sen 2 (α ) = 1− 2 ⋅ sen (α ) = 1 sen 2 (α ) = 1 − 2 ⋅ sen 2 (α ) Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: 1 1 = B = cos (α ) + sen (α ) ⋅ − sec (α ) cos ec (α ) = cos (α ) + sen (α ) ⋅ cos (α ) − sen (α ) = = cos 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − sen 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − 2 ⋅ sen 2 (α ) Observamos que A=B, luego la identidad es cierta. 10. 1 = sen 2α ⋅ cos 2 α + cos 4 α 2 sec α Solución: Manipulamos primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: A= 1 = cos 2 α sec2 α Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: B = sen 2α ⋅ cos 2 α + cos 4 α = (sen 2α + cos 2 α )⋅ cos 2 α = cos 2 α Observamos que A=B, luego la identidad es cierta. 11. cos ec 4α − 1 = 2 cot g 2α + cot g 4α Solución: Manipulamos el miembro de la izquierda, que llamaremos A: 11/22 Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE A = cos ec 4α − 1 = (cos ec2α − 1)( cos ec 2α + 1) Recordamos que cos ec2α = 1 + cot g 2α . Entonces: (cos ec2α − 1)(cos ec2α + 1) = (1 + cot g 2α − 1)(1 + cot g 2α + 1) = = cot g 2α ( cot g 2α + 2) = cot g 4α + 2 cot g 2α . Hemos llegado a obtener el lado B de la expresión dada, luego se ha demostrado que la igualdad es cierta. 12. sen 2α = 2tg α 1 + tg 2α Solución: Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante manipulaciones adecuadas llegaremos al miembro de la derecha: sen α ⋅ cos α sen 2α = 2 ⋅ sen α ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 2 ⋅ tg α ⋅ cos 2 α = cos α = 2 ⋅ tg α ⋅ = 13. tg α 1 1 = 2 ⋅ tg α ⋅ = 2⋅ = 2 2 2 1 sen α + cos α sen α cos 2 α + cos 2 α cos 2 α cos 2 α cos 2 α 2 ⋅ tg α . Queda así demostrado. 1 + tg 2α 2 ⋅ sen x + 3 = cos x 2 ⋅ tg x + 3 ⋅ sec x Solución: Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante B.3. Ecuaciones trigonométricas 14. Resuelve: sen x = 3 2 Solución: 12/22 TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos x = sen−1 π x = 60º = 1 3 3 ⇒ 2π 2 x 2 = 180º −60º = 120º = 3 15. Resuelve: cos x = 1 2 Solución: x = cos−1 16. tg x = π π x1 = 45º = 45º ⋅ = 1 180º 4 ⇒ 2 x = 360º −45º = 315º = 315º ⋅ π = 7 π 2 180º 4 1 3 Solución: x = tg −1 π π x = 30º = 30º ⋅ = 1 180º 6 ⇒ π 3 x = 30º +180º = 210º = 7 17. Resuelve la ecuación cos 2x = sen x en el intervalo [ 0, 2π ] Solución: • Hay que recordar que cos 2x = cos 2 x − sen 2 x . Así: cos 2x = sen x ⇒ cos 2 x − sen 2 x = sen x • Por otro lado, hay que tener en cuenta que cos 2 x + sen 2 x = 1 . Por ello: cos 2 x − sen 2 x = sen x ⇒ 1 − sen 2 x − sen 2 x = sen x ⇒ 2 2 ⇒ 2 ⋅ sen x + senx − 1 = 0 ⇒ senx = −1 ± (−1) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1) 2⋅2 sen x = −1 = 1 sen x = 2 • Finalmente estudiamos cada uno de estos dos casos: 13/22 = Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE Si sen x = −1 , entonces: x 1 = Si sen x = 3π 2 1 π 5π , entonces: x 2 = y x 3 = 2 6 6 18. Resuelve la ecuación sen 2x ⋅ cos x = 6sen 3 x en el intervalo [ 0, 2π ] Solución: • Hay que recordar que sen 2x = 2sen x ⋅ cos x . Así: sen 2x ⋅ cos x = 6sen 3 x ⇒ 2 ⋅ sen x ⋅ cos x ⋅ cos x = 6sen 3 x ⇒ ⇒ 2 ⋅ sen x ⋅ cos 2 x = 6sen 3 x • Por otro lado, hay que tener en cuenta que cos 2 x + sen 2 x = 1 . Por ello: 2 ⋅ sen x ⋅ (1 − sen 2 x) = 6 ⋅ sen 3 x ⇒ ⇒ sen x ⋅ (1 − sen 2 x) = 3 ⋅ sen x ⋅ sen 2 x ⇒ sen x = 0 ⇒ sen x ⋅ ( 4 ⋅ sen x − 1) = 0 ⇒ 1 1 sen 2 x = ⇒ sen x = ± 4 2 2 • Finalmente estudiamos cada uno de estos tres casos: Si sen x = 0 , entonces: x 1 = 0 1 π 5π Si sen x = , entonces: x 2 = y x 3 = 2 6 6 1 7π 11π Si sen x = − , entonces: x 4 = y x5 = 2 6 6 19. Resuelve: cos 2x − cos 6x = sen5x + sen3x Solución: Vamos a utilizar las siguientes relaciones: A+B A−B ⋅ sen 2 2 A +B A −B senA − senB = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 cos A − cos B = −2 ⋅ sen Entonces: 14/22 TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos 2x + 6x 2x − 6x ⋅ sen 2 2 5x + 3x 5x − 3x sen5x − sen3x = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 cos 2x − cos 6x = −2 ⋅ sen Sustituimos lo obtenido en la ecuación dada y pasamos todo a un miembro −2 ⋅ sen ( 4x)⋅ sen (−2x) = 2 ⋅ sen ( 4x)⋅ cos (x) Si tenemos en cuenta que sen (−a) = −sen (a) y sacamos factor común, entonces: 2 ⋅ sen ( 4x) = 0 2 ⋅ sen ( 4x)⋅ sen (2x) − cos (x) = 0 ⇒ sen ( 2x) − cos (x) = 0 - Resolvemos la primera ecuación de las dos: 4x = 0 + 2kπ ⇒ x = k π 2 2 ⋅ sen ( 4x) = 0 ⇒ π π 4x = π + 2kπ ⇒ x = + k 4 2 - Resolvemos la segunda ecuación: sen ( 2x) − cos (x) = 0 ⇒ 2 ⋅ sen (x) cos (x) − cos ( x) = 0 ⇒ ⇒ 2 ⋅ sen (x) − 1 cos (x) = 0 ⇒ π x = + 2kπ 2 cos (x) = 0 ⇒ 3 x = π + 2kπ 2 ⇒ π x = + 2kπ 6 2 ⋅ sen (x) − 1 = 0 ⇒ sen (x) = 1 ⇒ 5π 2 + 2kπ x = 2 La solución es entonces la unión de todas estas soluciones. 20. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [ 0, 2π ] sen x + sen y = 1 2x + 2y = π Solución: 15/22 Ejercicios de trigonometría resueltos • TIMONMATE Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la primera ecuación: π − y , por lo que: 2 π sen x + sen y = 1 ⇒ sen − y + sen y = 1 2 2x + 2y = π ⇒ x = • Ahora, para poder simplificar esta expresión usamos la fórmula del seno de la diferencia de dos ángulos: π π π sen − y = sen ⋅ cos y − cos ⋅ seny = cos y , es decir: 2 2 2 π sen − y + sen y = 1 ⇒ cos y + seny = 1 2 • Intentamos expresar el coseno en función del seno, elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación: 2 (cos y + seny) = 12 ⇒ cos 2 y + sen 2 y + 2 ⋅ seny cos y = 1 ⇒ ⇒ 1 + 2 ⋅ sen y cos y = 1 ⇒ sen y cos y = 0 Pero sen y cos y = sen 2y , por lo que sen y cos y = 0 ⇒ sen 2y = 0 • Las soluciones para sen 2y = 0 están dadas por: 2y = 0 y 2y = π , π π esto es: y 1 = 0 ; y 2 = . Teniendo en cuenta que x = − y , 2 2 entonces: π y1 = 0 ⇒ x1 = 2 π y2 = ⇒ x2 = 0 2 21. Calcula las soluciones del siguiente sistema, en el intervalo [ 0, 2π ] . sen x = 2 ⋅ sen y π x−y = 3 Solución: 16/22 TIMONMATE • Ejercicios de trigonometría resueltos Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la primera ecuación: π π ⇒ x = + y , por lo que: 3 3 π sen x = 2 ⋅ sen y ⇒ sen + y = 2 ⋅ sen y 3 x−y = • Usamos la fórmula del seno de la suma de dos ángulos en el miembro izquierdo de la ecuación: π π π 3 1 sen + y = sen ⋅ cos y + cos ⋅ seny = cos y + seny 3 3 3 2 2 Entonces la fórmula a resolver es: 3 1 3 1 cos y + seny = 2seny ⇒ cos y = seny ⇒ 3 = tg y 2 2 2 2 π y 1 = 60º = 3 Solución: tg y = 3 ⇒ 4π y 2 = 180º +60º = 3 22. Calcula las soluciones del siguiente sistema. 4y ⋅ sen x ⋅ cos x = 3 2y ⋅ cos 2x = 3 Solución: • Dividimos las dos ecuaciones del sistema: 4y ⋅ sen x ⋅ cos x = 3 4y ⋅ sen x ⋅ cos x 3 2 ⋅ sen x ⋅ cos x ⇒ = ⇒ = 3 2y ⋅ cos 2x cos 2x 3 2y ⋅ cos 2x = 3 • Recordamos que 2 ⋅ sen x ⋅ cos x = sen 2x y sustituimos en la ecuación: 2 ⋅ sen x ⋅ cos x 3 sen 2x = ⇒ = 3 ⇒ tg 2x = 3 cos 2x cos 2x 3 17/22 Ejercicios de trigonometría resueltos • TIMONMATE Despejamos x: 2x = π π + 2kπ ⇒ x = + kπ 3 6 B.4. Problemas 23. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º. Solución: La altura, y, del árbol la deducimos de la relación siguiente: tg30 = y ⇒ y = 10 ⋅ tg30 ⇒ y = 5,77 m 10 24. Calcula x e y: Solución: b a los a dos triángulos rectángulos, obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones: Aplicamos la relación tgθ = y 30º 40 m 47º y tg47 = x Operando: y tg30 = 40 + x x x ⋅ tg47 = y ⇒ ( 40 + x) tg30 = y x ⋅ tg47 = y ⇒ x ⋅ tg47 = ( 40 + x)⋅ tg30 ⇒ ( 40 + x) tg30 = y 18/22 TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos ⇒ 1, 07x = 23, 09 + 0, 58x ⇒ 0, 49x = 23, 09 ⇒ 23, 09 ⇒x= ⇒ x = 47, 12 m . 0, 49 Calculemos finalmente el valor de y: x ⋅ tg47 = y ⇒ 47, 12 ⋅ 1, 07 = y ⇒ y = 50, 42 m 25. Calcula x Solución: 30º 100 m 60º Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica. y x Resolvemos el sistema: y tg30 = 100 30º 100 m y 57,7 = y ⇒ 57, 7 = 173, 2 − x ⇒ 173, 2 − x = y ⇒ x = 115, 5 m tg60 = x+y 100 60º 100 m x+y 26. Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m) Solución: 12 y 40º Aplicamos el teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A Entonces: 10 19/22 Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE y 2 = 10 2 + 12 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ cos 40 ⇒ y = 100 + 124 − 240 ⋅ cos 40 = 6, 35 m 27. Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno: a b c = = senA senB senC Solución: z= 3m y 80º 40º Sustituimos los valores dados en la expresión del teorema del seno: a b c = = ⇒ senA senB senC x 3 ⋅ sen40 y = = 1, 96 m sen80 ⇒ 3 ⋅ sen60 = 2, 64 m x = sen80 28. Halla la altura de la montaña 45º B C 4000 m h 30º A Solución: Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas y el ACC´ perteneciente a un triángulo rectángulo (el CBB´ 20/22 TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos B : Triángulo CBB´ 45º 4000 − h tg45 = 45º C B´ 4000 − h x 4000 m : Triángulo ACC´ h tg30 = 30º C´ h x A x Resolvamos éste sistema: 4000 − h 4000 − h 1= x = 4000 − h x x ⇒ ⇒ ⇒ 4000 − h = h 3 ⇒ 1 h h x=h 3 = tg30 = 3 x x tg45 = ⇒h= 4000 m ≈ 1464 m 3 +1 29. Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z. C z x y 60º 75º 45º 678 m D A Solución: 21/22 B Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE . De él Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo ABC deduciremos las distancias y, z C y z 678 = = ⇒ sen45 sen75 sen60 60º z y 75º 45º B A y 678 = sen45 sen60 ⇒ ⇒ z 678 = sen75 sen60 y 678 = 2 2 3 m y = 678 3 2 2 ⇒ ⇒ z 678 = z = 1356 sen75 sen75 3 3 2 m . De él obtendremos la altura Ahora nos fijamos en el triángulo ACD de las torres, x. A x 600 x= 2 m 3 60º D C 22/22 2 2 2 678 ⋅ sen60 = 678 ⋅ = 452 m 3 3 3