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SUBJECT
MATEMÁTICAS
TITLE OF LEARNING OBJECT
EJE CURRICULAR
ESTÁNDAR
DERECHOS BÁSICOS DE
APRENDIZAJE
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
GRADE
ONCE
LEARNING UNIT
OPERANDO EN EL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS REALES
Construcción de algunos números Irracionales
Pensamiento numérico y sistemas numéricos.
Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales,
enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones
para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos
sistemas numéricos.
ü Construir algunos irracionales con regla y compás, para
determinar su posición en la recta numérica.
ü Reconocer el conjunto de los irracionales a partir de
procesos históricos.
ü Clasificar los números irracionales y sus propiedades.
ü Construir algunos irracionales con regla y compás.
SCO: Reconoce el conjunto de los números irracionales.
1. Investiga sobre el origen de los números irracionales.
2. Relaciona las características del período de las cifras decimales
de un número con el conjunto de los irracionales.
3. Determina los números irracionales como aquellos que
presentan relación con los números cuadrados y cubos
perfectos.
4. Conjetura a partir de los números cuadrados y cubos perfectos
la definición de número irracional.
SCO: Identifica el conjunto de los números irracionales.
5. Diferencia los números racionales e irracionales.
6. Clasifica los números en irracionales trascendentes e
irracionales algebraicos.
7. Establece jerarquía entre los conjuntos de números naturales,
enteros, racionales e irracionales.
8. Determina las propiedades de los números irracionales.
9. Aproxima números irracionales a racionales para realizar
cálculos.
SCO: Modela con construcciones el conjunto de los números
irracionales.
10. Determina que los números irracionales trascendentes no
son construibles con regla y compás.
11. Argumenta sus conclusiones sobre números irracionales no
construibles.
12. Relaciona la división de segmentos con regla y compás con la
construcción de números racionales.
13. Construye números irracionales con regla y compás.
14. Realiza construcciones con programas interactivos para
comprobar su procedimiento.
15. Identifica aplicaciones de algunos números irracionales (pi, e,
número de oro, etc.).
HABILIDADES/CONOCIMIENTOS
•
•
Introducción
Objetivos
Actividades principales
Actividad 1: Origen de los números irracionales.
Actividad 2: Números irracionales trascendentes y algebraicos.
• Resumen
• Tarea
• Evaluación
• Glosario
• Bibliografía
El estudiante profundizará sobre la extensión de los conjuntos de
números irracionales.
•
FLUJO DE APRENDIZAJE
Etapa
Introducción
Desarrollo
Flujo de
aprendizaje
Introducción
El docente
presenta el
tema
Enseñanza/actividades de aprendizaje
Recursos
recomendados
Emplear la animación para indagar en los estudiantes Recurso de
acerca del cálculo de la diagonal de una forma rectangular, imagen.
con el fin de llegar a la conclusión del uso del teorema de
Pitágoras.
Material
imprimible
Pregunta de comprensión:
Plataforma
¿Cómo se podría calcular la medida de la diagonal de un
cuadrado?
El estudiante debe deducir la respuesta a partir de nociones
propias y preconceptos.
Actividad 1: Introducción
Recurso de
imagen.
Plataforma
Diseños superficiales
En esta sección analizaremos algunos conceptos que
debemos considerar en la construcción y diseño de toldos
para tiendas o locales dedicados al comercio.
Tomaremos por referencia la empresa D&T, la cual diseña
sus toldos sobre bases que tienen las siguientes
especificaciones: largo y ancho de igual medida, como lo
muestra el prototipo (observar la parte lateral del
prototipo).
Si se conocen las dimensiones de la base del toldo, ¿cómo
debemos calcular su ancho?
Desarrollo
El docente
Actividad 1:
Recurso de
presenta el
tema
Definir medidas irracionales
animación
acerca de las
medidas
irracionales.
Un negocio dedicado a las comidas rápidas solicita un toldo
para ubicarlo en el frente de su negocio. Los dueños Ludica Punto
informan a la empresa D&T que la base ya está construida, de reflexión
además que tienen todas las medidas excepto la de la
diagonal !".
Frente del toldo:
Imagen 1. Diseño del autor.
Lateral del toldo:
Imagen 2. Diseño del autor.
Se ha definido la medida del ancho del toldo por la letra #.
Para poder hallar esta medida emplearemos el teorema de
Pitágoras.
ℎ& = ( & + ( &
ℎ& = 1& + 1& (sustituimos los valores de los catetos)
ℎ& = 1 + 1
ℎ& = 2
ℎ& = 2
ℎ= 2
La medida del ancho del toldo es
2 m.
Características del ancho del toldo
Al calcular la medida de la diagonal obtenemos:
2 = 1,414213562373095 …
•
•
Los números con las
denominan irracionales.
Es un número decimal,
del cual se derivan
infinitos
dígitos
decimales.
No
se
define
un
periodo en la parte
decimal del número.
características
mencionadas
se
Representemos el ancho del toldo como un número racional
Observa la manera de obtener un número racional a partir
de un número decimal.
3,46
5,67
8
5,67 8::
8
∙
8::
(Tiene 1 por numerador)
(Amplificamos por
8::
8::
para eliminar la parte decimal de
3,46)
567
8::
8;5
<:
(Obtenemos el resultado)
(Se simplifica el número racional)
Para el caso del ancho del toldo 2, al tomar su forma
decimal, debido a que los decimales son infinitos, no
podemos definir una potencia de 10 que permita obtener un
número racional de 1,414213562373095 …
Por lo tanto, 2 es un número inconmensurable (no se
puede representar como un número racional). Por esto
pertenece al conjunto de los números irracionales =.
Solicitudes del cliente:
•
El cliente desea que el ancho del toldo se duplique.
Para este caso podemos tomar dos caminos: sumar
dos veces la medida o multiplicar por 2 la medida.
1er caso:
2 + 2 =
1,414213562373095 … + 1,414213562373095 … =
2,828427124746190 …
Podemos observar que la suma de dos números
irracionales puede dar como resultado otro número
irracional.
Dado que la suma no se puede realizar de la manera
como se hace con los números racionales, lo dígitos
decimales se redondean y se realiza una suma entre
números racionales. Esto da un resultado aproximado
al número real.
2do caso:
2× 2 =
2×1,414213562373095 … = 2,828427124746190 …
Dado que el número dos se puede clasificar como
número natural, entero o racional, al multiplicar
cualquier número de los conjuntos mencionados por
un número irracional siempre dará como resultado
otro número irracional.
Esta multiplicación no se puede realizar de
como se operan los números racionales. Por
redondeamos los dígitos decimales del
irracional
para
obtener
un
número
aproximado.
•
la forma
lo tanto,
número
racional
El cliente desea conocer la medida del largo más el
ancho del toldo.
Recuerda que el largo del toldo mide 9 m y el ancho
2. Para averiguar el total de la medida, ancho con
largo, sumamos las dos cantidades.
9+ 2 =
9 + 1,414213562373095 … =10,414213562373095 …
Podemos observar que al sumar un número N, Z o Q
con un número irracional, el resultado siempre será
también un número irracional.
Hasta el momento establecemos:
•
•
•
De la suma de dos números racionales podemos
obtener un número racional o un número irracional.
De la suma de un número racional con un número
irracional siempre obtenemos un número irracional.
Del producto entre un número racional con un
número irracional siempre obtenemos un número
irracional.
Definición de número irracional a partir de los
cuadrados y cubos perfectos
Los números cuadrados son aquellos que surgen de @& tal
que @ ∈ B. Observa algunos ejemplos de números
cuadrados:
Imagen 13.
Recuperada de:
http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_dida
cticos/eso/actividades/algebra/pautas/numeros_figurados/t
eoria.htm
Los números cúbicos son aquellos que surgen de @5 tal que
@ ∈ B. Observa algunos ejemplos de números cúbicos.
Imagen 14.
Recuperada de:
http://vemqueteexplico.blogspot.com.co/2012/01/numeros
.html
Números irracionales
cuadrados
a
partir
de
los
números
Si el número natural es un número cuadrado, el resultado
es otro número natural, como se muestra a continuación:
1=1
4=2
9=3
16 = 4
25 = 5
⋮
A partir del comportamiento de la raíz cuadrada de los
números cuadrados, podemos afirmar que toda raíz
cuadrada de un número natural D, tal que D no sea número
cuadrado, es un número irracional.
De igual manera ocurre con la raíz cúbica de un número
cúbico, dará como resultado otro número natural. Por lo
tanto, a partir del comportamiento de la raíz cúbica de los
números cúbicos, podemos afirmar que toda raíz cubica de
un número natural D, tal que D no sea número cubo, es un
número irracional.
Punto de reflexión
¿Cuáles son los números irracionales que se encuentran
entre los números cuadrados 9 y 16?
Desarrollo
Desarrollo de
la actividad
Para este punto hacer que los estudiantes nombren algunos
números y, de esta manera, que se vayan dando cuenta
que son infinitos los números irracionales que se
encuentran entre 9 y 16.
Actividad de aprendizaje
Recurso de
imagen
1) Investia quién fue Hipaso de Metaponto y qué Preguntas
relación tiene con el origen de los números verdadero/fals
irracionales.
o
(Desarrolla este punto en la guía imprimible bajo las Preguntas de
orientaciones del docente)
selección
multiple
2) Un número irracional es aquel que:
a. Tiene finitos dígitos decimales.
b. Es decimal periódico.
c. Tiene infinitos dígitos decimales y no tiene un
periodo.
d. Se encuentra sobre una misma línea recta.
3) Imagina que ahora los lados de la base miden 3 m
cada uno. Calcula la medida del ancho del toldo y
determine a qué conjunto numérico pertenece la
medida.
Imagen 3. Diseño del autor.
4) Determina si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas. Da uno o varios ejemplos que
argumenten cada afirmación:
a. El producto entre dos números irracionales da
como resultado un número racional. (v)__ o
(f)__
b. El cociente entre dos números irracionales
siempre da como resultado un número
irracional. (v)__ o (f)__
c. El cociente entre dos números irracionales da
como resultado un número irracional. (v)__ o
(f)__
d. La diferencia entre dos números irracionales da
como resultado un número racional. (v)__ o
(f)__
(Desarrolla en la guía imprimible los ejemplos que
argumentan las afirmaciones).
5) Clasifica los siguientes números en naturales,
enteros, racionales o irracionales y ordénelos de
mayor a menor.
34
@. F. 14(. −8H. − 3
7
3
5
L
J.
K. 121ℎ. − 81
20
3
(Desarrolla este punto en la guía imprimible según las
orientaciones del docente).
I.
Solución:
1) El estudiante desarrolla la investigación según las
orientaciones del docente.
2) c
3) El estudiante desarrolla en guía imprimible el cálculo
de la medida 18.
4) A. v
B. f
C. v D. v
5) El estudiante desarrolla en la guía imprimible según
las orientaciones del docente
Desarrollo
El docente
presenta el
tema
Actividad 2: Introducción
El número divino
Recurso de
animación
acerca del
número divino.
Actividad
Uno de los misterios más destacados en el campo de las interactiva.
matemáticas es la proporción áurea, también conocida
como el número áureo, el número divino, el número de oro Recurso de
o phi (ɸ). Este número se encuentra en la naturaleza, en el animación
Universo, en diseños de logos famosos, en importantes acerca de los
obras de arte e incluso en el cuerpo humano.
numeros no
algebraicos.
Hombre de Vitrubio por Leonardo Da vinci
@
≈ 1,618033988749 …
F
Animación 3.
Recuperada de: http://artivinilo.com/fr/home/231hombre-de-vitruvio.html
Dialoga en clase:
¿Qué otras razones dan como resultado el número divino
empleando las medidas de las partes del cuerpo?
Desarrollo
El docente
presenta el
tema
Desarrollo de contenidos
Actividad 2 en
interactivo
Imagen 004,
005, 006, 007,
El cuadrado que encierra al hombre de Vitrubio 008, 009, 010,
011 y 012.
realizado por Leonardo da Vinci.
Números irracionales algebraicos
Para hallar el valor de la diagonal debemos hallar la
solución a la ecuación # & − 2.
# & − 2 =0
#& = 2
#& = 2
#= 2
La diagonal mide 2 y es un número irracional, lo cual
denominamos número irracional algebraico por las
siguientes características:
•
•
•
Es un número irracional.
Es solución de una ecuación polinómica.
Es raíz de un número entero.
Números no algebraicos (trascendentes)
Si el número irracional no tiene las características de un
número irracional algebraico se denomina número
trascendente. Por ejemplo, definamos la razón entre el
perímetro que encierra al hombre de Vitrubio y el diámetro
de la misma.
Imagen 4.
Recuperada de: http://artivinilo.com/fr/home/231hombre-de-vitruvio.html
Determinaremos la razón entre la circunferencia igual a
18,85 cm y el diámetro igual a 6 cm.
8O,O<
7
= 3,1416
Supongamos que ahora las medidas son
igual a 6,28 cm y diámetro igual a 2 cm.
circunferencia
7,&O
&
= 3,14
Ahora las medidas son circunferencia igual a 43,98 cm y
diámetro igual a 14 cm.
65,PO
86
= 3,14142857 …
Al continuar con más circunferencias de diferentes tamaños
y realizar la razón entre la medida de la circunferencia con
la medida del diámetro, obtendremos un valor aproximado
a 3,141592653589793… el cual denominamos número pi
(Q).
Determinemos el diámetro
Ya se ha definido que la razón entre el perímetro y el
diámetro es igual a Q.
Si sabemos que el perímetro del círculo que encierra el
hombre de Vitrubio mide 20 cm, ¿cuánto mide el diámetro?
Al plantear la ecuación:
&:
=Q
20 = #Q
&:
#=
R
S
Recuerda que al emplear una calculadora, el artefacto
empleará el númeroQ con una cantidad de decimales
aproximados, más no la cantidad real de decimales que
tiene dicho número.
# = 6,366197723675814 …
Lo cual es un valor aproximado al diámetro, más no el valor
real. Por lo tanto los números irracionales trascendentes no
pueden ser solución real de una ecuación polinómica.
Representaciones
racionales
sobre
La representación de
&O
la siguiente manera.
<
recta
real
de
números
sobre la línea real se desarrolla de
1) Trazamos el segmento !T.
2) Sobre el segmento !T construimos cinco segmentos
iguales.
Imagen 5. Dieño del autor.
3) Trazamos el segmento B".
Imagen 6. Diseño del autor.
4) Trazamos segmentos que pasen por el punto T, L, K y
J que sean paralelos al segmento B".
Imagen 7. Diseño del autor.
5) Podemos observar que los puntos U, V W y Z dividen
el segmento!" en 5 partes iguales. Así debemos
dividir las demás unidades. Este procedimiento es
conocido como “teorema de Thales”.
6) Finalmente, al tener todas las unidades divididas en
cinco partes cada una, tomamos tantas partes como
lo indique el numerador y así hemos hemos ubicado
un número racional sobre la recta.
Imagen 8. Diseño del autor.
De esta manera, hemos representado un número racional
por medio de la división de unidades sobre la línea real
empleando regla y compás.
Representación sobre la recta real de un número
irracional
Para la construcción con regla y compás de números
racionales empleamos el teorema de Pitágoras, con el cual
determinamos la medida de la diagonal de un rectángulo,
por ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Medidas: "U =1 y "! =1
Por teorema de Pitágoras:
!U & = "U & + !"&
!U = "U & + !"&
!U = 1& + 1&
!U = 1 + 1
!U = 2
!U=VU por ser radios de una misma circunferencia.
Por lo tanto queda construido VU como el número irracional
2 sobre la línea real.
De la anterior construcción queda definida la medida: VU
= 2
Por el punto D (el número irracional) siempre se trazará un
segmento perpendicular de medida 1. VW =1
Por teorema de Pitágoras:
UW & = VU & + VW &
UW =
UW =
VU & + VW &
&
2 + 1&
UW = 2 + 1
UW = 3
UW=UX por ser radios de una misma circunferencia.
Por lo tanto queda construido UX , que tiene como medida
el número irracional
3 , sobre la línea real.
Números irracionales no construibles con regla y
compás
Con anterioridad se ha mostrado que los números
irracionales algebraicos son construibles con regla y
compás. Son números que pueden provenir de la solución
de una ecuación polinómica, pero en el caso de los números
trascendentes, estos no son solución de una ecuación
polinómica, ni tampoco son construibles con regla y
compás.
A diferencia de los números irracionales, que provienen de
una raíz y se construyen con regla y compás por medio del
teorema de Pitágoras, hasta la actualidad no se ha
encontrado una manera geométrica de construir con regla y
compás los números trascendentes, por ejemplo el número
Q, el número ɸ, o el número de Euler I.
Desarrollo
Desarrollo de
la actividad
Actividad de aprendizaje
Guía
imprimible
1) Calcula los siguientes cocientes y concluye acerca de Interactivo
los resultados obtenidos.
a. El cociente entre la medida de la altura de las
rodillas hasta el ombligo y la medida de la
planta del pie hasta el ombligo.
b. El cociente entre la medida del codo hasta la
punta del dedo anular y el antebrazo.
c. El cociente entre la medida de la altura de las
rodillas hasta el cuello y la medida de la altura
de las rodillas hasta el ombligo.
(Desarrolla esta actividad en la guía imprimible según las
indicaciones del docente).
2) Construye
en
la
siguiente
plataforma
(https://www.geogebra.org/m/YhMm8vgX
)
los
números:
&<
a.
b.
c.
d.
O
&
7
88
8O
P
e. 11
(Desarrolla esta actividad en la guía imprimible según las
indicaciones del docente).
3) Clasifica los siguientes números
algebraicos ó trascendentes:
@. 21
b. − 13
e. sen(2)
f. 10
c. I
d. 2Q
Solución:
1) Desarrollo en la guía imprimible.
en
irracionales
2) Desarrollo en la guía imprimible.
Resumen
Tarea
Resumen
Tarea
3) Irracionales algebraicos ( 21; − 13 y 10).
4) Irracionales trascendentes (I; 2Q y sen(2) ).
Se definen las diferencias entre números racionales e Infografia
irracionales.
Construcción de números racionales e irracionales con regla
y compás.
Clasificación de números irracionales en: números
irracionales
algebraicos
y
números
irracionales
trascendentes.
Los números irracionales trascendentes no son construibles
con regla y compás.
Origen de los números irracionales y el descubrimiento de
números irracionales trascendentes clásicos.
Teorema de Pitágoras como fundamento para la
construcción de los números irracionales de la forma @, tal
que @ ∈ _.
Aproximación de números irracionales a números racionales
para la realización de cálculos.
Tarea 1
Investiga sobre el número de Euler y su origen.
Guía
imprimible
Ejercicios y
problemas
a. Construye con regla y compás los números 2 y 3 en para resolver
una misma recta real y determina una posición
aproximada del número I.
Tarea 2
Calcula los primeros 10 valores en la siguiente generalidad,
iniciando desde cero.
1+
Evaluación
Evaluación
8 `
`
a) Calcula la suma de los primeros 10 términos.
b) ¿Qué relación tienen con el número I?
Comprueba tus conocimientos:
Para las preguntas 1 y 2 completa la frase:
1) El número Q se obtiene del _______ entre perímetro
del circulo y diámetro de la misma.
a. productos
c. producto
Cociente
b. cociente
d. cocientes
Correcto. Según la historia,
el número pi proviene del
realizar el cociente entre la
medida del perímetro del
circulo y la medida del
diámetro de la misma.
Recurso en
interactivo.
Las demás opciones
Incorrecto. Debes revisar el
origen de los números
irracionales.
2) Una de las características de un número irracional
algebraico es ser de la forma _______ tal que @ ∈ _.
b. @a
a. @
c.
b
a
d. @a
Correcto.
Una
de
las
características
de
los
números
irracionales
algebraicos es ser la raíz de
un entero.
@
Las demás opciones
Incorrecto. Debes revisar
las características de un
número
irracional
algebraico.
3) Indica la operación que da como resultado un número
irracional:
a. 2× 8
&;
b.
c.
d.
5
&
5
+ 6
12 − 12
c
a, b y d
Correcto. La suma entre un
número racional y un número
irracional
siempre
da
como
resultado un número irrac onal.
Incorrecto. Debes revisar las
propiedades de los números
irracionales
4) Indica si son falsas o verdaderas cada una de las
siguientes afirmaciones:
a. La razón entre la altura de una persona y la
altura del piso al ombligo da como resultado el
número Q. (f)___ o (v)___
b. Todo número irracional es construible con regla
y compas. (f)___ o (v)___
c.
Opción correcta
Correcto. Conoces sobre el origen
de los números irracionales.
Opción incorrecta
Incorrecto. Debes revisar el origen
y las propiedades de los n meros
irracionales.
5) Clasifica cada número en racional,
algebraico e irracional trascendente.
Número
Clasificación
irracional
3× 5
cos(3)
30
2
36
9
Opción correcta
Opción incorrecta
Racional
Irracional algebraico (correcta)
Irracional trascendente
Racional
Irracional algebraico
Irracional trascendente (correcta)
Racional
Irracional algebraico (correcta)
Irracional trascendente
Racional (correcta)
Irracional algebraico
Irracional trascendente
Correcto. Todo número entero
puede
representar
como
número decimal.
Incorrecto.
Debes
revisar
representación racional de
números enteros.
se
un
la
los
Solución:
Glosario
Glosario
1) Cociente
2) @
3) c
4) a. f
b. f
5) Respuesta en la tabla.
Conmensurable: dos números reales diferentes de cero Herramienta
son conmensurables cuando la razón o cociente entre ellos de glosario
da como resultado un número racional, de lo contrario se
denomina inconmensurable.
Bibliografía
Bibliografía
Métrica: unidades de medida definidas.
• González, P. (s.f) Historia de la matemática para la
enseñanza secundaria. Los elementos de Euclides.
Recuperado de:
http://www.xtec.cat/sgfp/llicencies/200304/memorie
s/elementseuclides1.pdf
• (s.a) (s.f) Números irracionales. Matemáticas 2 A y B.
Recuperado de:
https://investigacionmatematica.wikispaces.com/file/
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• (s.a) (s.f) Sección Áurea en Arte, Arquitectura y
Música. Recuperado de:
http://matematicas.uclm.es/itacr/web_matematicas/t
rabajos/240/La_seccion_aurea_en%20arte.pdf
• Rivas, D. (s.f). Los números, operaciones y sus
propiedades. Apuntes de las clases de Cálculo 10.
Recuperado de:
http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/derivas/apuntes_ca
lculo10/%20losnumeros.pdf