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Taller especial de
capacitación de los
profesores del 4º Ciclo
Este taller fue preparado para satisfacer la
inquietud de los docentes que solicitaron
más capacitación
Olimpiada Akâ Porâ
Olimpiada Nacional de Matemáticas
de Educación de Jóvenes y Adultos
Autoría y Recopilación de materiales: Rodolfo Berganza Meilicke
Corrección: Ingrid Wagener
1. Suma de una serie con el “Método de Gauss”
Johann Carl Friedrich Gauss es célebre por la siguiente anécdota: con tan sólo 3 años
corrigió en su cabeza un error de su padre, mientras éste realizaba un conteo de pago de
sus empleados, haciendo ver su precoz habilidad para los números.
Tenía Gauss diez años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien
primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero
transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien
primeros números naturales suman 5 050.
Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la
suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, y así
sucesivamente, era constante. Veamos:
1 , 2 , 3 , 4 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 , 98 , 99 , 100
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
Como hay 100 – 0 = 100 números en la lista, habrá 50 parejas que suman lo mismo.
Entonces:
101 × 50 = 5 050
Problema 1
Calcular la suma de todos los múltiplos de 7 que existen entre 1 000 y
4 000.
Problema 2
Se escriben en orden 46 números enteros consecutivos y luego se suman los 46
números, obteniéndose 1 725.
Calcular la suma de los dos números ubicados en la parte media de la lista.
2. Generalización o Inducción Incompleta
El procedimiento de la Inducción incompleta es analizar una serie de valores o
situaciones particulares y luego generalizar.
El problema de la Inducción Incompleta es la inseguridad de que en realidad, la
conclusión obtenida es válida para todas las situaciones; pero, es un método interesante
para usar en la resolución de problemas, cuando no se conoce la Inducción Completa o
Inducción Matemática.
Como ejemplo proponemos las siguientes situaciones:
Propiedad conmutativa de la adición
Consideramos las siguientes adiciones:
2+7=7+2
23 + 8 = 8 + 23
;
16 + 9 = 9 + 16
;
25 + 102 = 102 + 25
Generalizando:
a+b=b+a
Cantidad de diagonales de un polígono convexo
Analizamos la cantidad de diagonales que tienen los primeros polígonos:
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Exágono
→
→
→
→
0 diagonales
2 diagonales
5 diagonales
9 diagonales
Aplicando la inducción tenemos:
0=
5=
3× 0
2
5× 2
2
=
=
3 ⋅ (3 − 3)
2
5 ⋅ (5 − 3)
2
;
2=
;
9=
4× 1
2
6× 3
2
=
=
4 ⋅ (4 − 3)
2
6 ⋅ (6 − 3)
2
Generalizando:
Cantidad de diagonales =
n (n − 3)
2
Problema 3
Un prisma recto tiene 27 aristas. ¿Cuántos lados tiene la base?
Problema 4
Desde uno de los vértices de un polígono se pueden trazar 8 diagonales. ¿Cuántos lados
tiene el polígono?
Problema 5
En un polígono convexo, el número total de diagonales es 90. Determinar la cantidad de
lados del polígono.
3. Problemas de números enteros, geometría y álgebra
(Alguno de los problemas propuestos de pueden clasificar en más
de uno de los grupos señalados)
Problema 6
Con los dígitos 2 , 3 , 5 , 6 , 7 se escriben números de dos cifras distintas. Hallar la
cantidad de esos números que son múltiplos de 6.
Problema 7
Lisa armó con un método secreto la siguiente serie de números:
3 , 5 , 8 , 12 , a , b , 30 , 38
Determinar la suma (a + b).
Problema 8
Se suman dos números enteros diferentes y se obtiene 30. Ambos números son menores
que 19 pero mayores que 11. ¿Cuántos pares diferentes se pueden armar?
Problema 9
Un polígono regular de n lados, tiene como medida de cada lado un número entero. El
perímetro del polígono es 40. Luisa elige distintas medidas para el lado. ¿Cuántas
posibilidades de elección tiene?
Problema 10
Rafael construye rectángulos cuyos lados tienen como medida números enteros y cuyo
perímetro es 22. ¿Cuántos rectángulos diferentes puede obtener?
Problema 11
Se suma varias veces un mismo número primo, obteniéndose 78. ¿Cuáles son los
números primos que cumplen esta condición?
Problema 12
Con tres números enteros consecutivos se escribe un número de tres cifras, sin repetir
ningún dígito y con los dígitos ordenados en orden creciente o decreciente.
El mismo número que se escribe se suma con el número que resulta al invertir el orden
de las cifras y se obtiene 888.
Calcular la suma de los dígitos del número.
Problema 13
El promedio de 5 números impares consecutivos es 15. Determinar el promedio del
mayor y del menor de los números.
Problema 14
En la sustracción, los dígitos a y b son mayores que 2. Dar todos los
valores posibles de a y b.
Problema 15
Si a y b son números enteros positivos y a2 = 60 b, calcular la suma de los dos menores
valores de b.
Problema 16
En la proporción:
a
b
c
, el valor de (a + b + c) es 108. Calcular el valor de (a +
=
=
48 36 60
b).
Problema 17
En la siguiente división: (35 x2 + 32 x + A) ÷ (7 x – 9), el residuo es 69. Hallar el valor
de A.
Problema 18
Se escriben números de tres cifras distintas. ¿En cuántos de ellos la suma de los cifras es
mayor que 20?
Problema 19
Si M es un número entero y 8 <
M−4
< 9 , hallar el valor de M.
2
Problema 20
En un exágono regular ABCDEF, el área es 60. Calcular el área del triángulo ADE.
Problema 21
La medida de cada lado de un triángulo equilátero es un número entero. El perímetro del
triángulo es mayor que 50 pero menor que 59. Determinar la cantidad de valores
posibles para cada uno de los lados.
Problema 22
El cuadrado de la figura tiene lados iguales a 10.
Hallar el área de la superficie pintada.
Problema 23
En el cuadrado ABCD, los lados miden 12 y BE = 2 AE. Calcular el área
de la parte pintada.
Problema 24
En un triángulo ABC se trazan las mediatrices PD y PE. P es el punto de intersección de
las mediatrices. D pertenece al lado BC y E pertenece al lado AC. El ángulo B mide 80º.
∠
Hallar la medida de APC .
Problema 25
El valor numérico del polinomio (5 a – 3 b + 2) es 13. Si a y b son números naturales de
un solo dígito, determinar los pares (a , b) que cumplen la condición del problema.
Problema 26
En la proporción
24 b
= , a y b son números enteros. Si a > 7, determinar todos los
a
4
posibles valores de a.
Problema 27
Sea N un cuadrado perfecto tal que: N = a · b (a ≠ b ; a y b naturales). Si N es mayor
que 20 pero menor que 40, determinar los posibles valores de a.
Problema 28
En un triángulo ABC, AB = AC. El área del triángulo ABC es 60. El lado BC mide 10.
La altura AH y la mediana BM se cortan en E. Hallar la distancia del punto E al lado
AB.
Problema 29
En el rectángulo ABCD, F es punto medio de BC y EB = 2
AE.
El área del rectángulo es 120.
Hallar el área de la superficie pintada.
Problema 30
Dada la igualdad:
5x + 2
A
B
, hallar el valor de (A + B).
=
+
x
+
3
x
−2
x + x−6
2
Problema 31
Un triángulo ABC está inscripto en una circunferencia. Por A y C se trazan las
∠
∠
tangentes que se cortan en P. Si CPA = 40º , calcular el valor de CAP .
Problema 32
El promedio de cuatro números naturales diferentes es 40,5. El promedio de los dos
mayores es 51. Calcular el promedio de los dos números menores.
Problema 33
En un triángulo rectángulo ABC, los catetos son AB y BC. D es el punto medio de AC.
Desde D se trazan DE ⊥AB y DF ⊥ BC. El punto E está sobre AB y el punto F está
sobre BC. Determinar la relación entre el área (EBFD) y el área (ABC).
Problema 34
Los números 82 , 68 y 61 se dividen por un mismo número primo y en todos los casos
se obtiene como residuo 5. Determinar el divisor y todos los cocientes.
Problema 35
El promedio de 8 números naturales es 10,75. El promedio de 16 números naturales es
6,875. Determinar el promedio de esos 24 números.
Problema 36
Con los dígitos 1 , 2 , 4 , 6 , 7 , 9 se escriben capicúas de 3 cifras. Hallar la suma de
todos los números capicúas que se pueden escribir.
RESPUESTAS
Problema 1: 1 072 071
Problema 2: 75
Problema 3: 9
Problema 4: 11
Problema 5: 15
Problema 6: 2
Problema 7: 40
Problema 8: 3
Problema 9: 6
Problema 10: 5
Problema11: 2 , 3 , 13
Problema 12: 12
Problema 13: 15
Problema 14: b = 3 , a = 6 ; b = 4 , a = 7 ; b = 5 , a = 8 ; b = 6 , a = 9
Problema 15: 75
Problema 16: 63
Problema 17: -30
Problema 18: 42
Problema 19: 21
Problema 20: 20
Problema 21: 3
Problema 22: 25 (4 – π)
Problema 23: 96
Problema 24: 160º
Problema 25: (4 , 3) , (7 , 8)
Problema 26: 8 , 12 ,
16 , 24 , 32 , 48 , 96
Problema 27: 1 , 2 , 3 , 4 , 9 , 12 , 18 , 25 , 36
Problema 28:
40
13
Problema 29: 50
Problema 30: 5
Problema 31: 70º
Problema 32: 30
Problema 33:
1
2
(ABC)
Problema 34: Divisor: 7
Problema 35: 8,1666 . . .
Problema 36: 19 314
;
Cocientes: 11 , 9 , 8