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Problemas Semanales
de Graciela Ferrarini y Julia Seveso
4 de marzo
Primer Nivel
XXII-101
El abuelo quiere repartir entre sus nietos, Martín y Juan, $264. A Juan le da $15 cada semana;
a Martín le da $18 cada semana. ¿Después de cuántas semanas habrá repartido el abuelo los
$264?
Segundo Nivel
XXII- 201
El cuadrado, de 56 cm de perímetro está formado por
dos rectángulos iguales: R1 y R2.
R1
Se recortan los rectángulos y se arman las figuras 1; 2 y 3.
R2
R1
b
R1
R2
figura 1
a
R2
R1
R2
figura 2
figura 3
Al armar la figura 3, la base de R1 queda partida en dos segmentos b y a de modo que b=3a.
¿Cuáles son los perímetros de las figuras 1; 2 y 3?
Tercer nivel
XXII- 301
ABCD y AMON son rectángulos. AB = 3BC.
M es punto medio de AB; N es punto medio de AD.
El perímetro de AMON es 64cm.
C
D
N
O
¿Cuál es el área de ABCD?
¿Cuánto cuesta cada menú?
A
M
B
11 de marzo
Primer Nivel
XXII-102
En la casa de Lucía hay 3 floreros distintos y 4 mesas distintas.
Siempre ponen un solo florero por mesa.
Todos los días cada uno de los 3 floreros está en alguna mesa.
¿De cuántas maneras pueden estar ubicados los 3 floreros?
Segundo nivel
XXII- 202
A
B
Eduardo quiere ir de A a D
Puede hacerlo sin paradas, parando solamente en B o parando en B y en C.
Cada tramo del camino puede hacerse en colectivo, en subte o en tren.
¿De cuántas maneras puede ir Eduardo de A a D? Indica cómo lo hace.
C
D
Tercer nivel
XXII- 302
Una fábrica arma bicicletas de tres modelos: de carrera, de paseo y plegables.
De las que armó este mes la mitad son de carrera, la tercera parte de paseo y hay 47 plegables.
¿Cuántas bicicletas se armaron este mes en la fábrica?
18 de marzo
Primer Nivel
XXII-103
Con 2 rectángulos R y 2 cuadrados C se arman los rectángulos
I
C
R
C
R
El rectángulo I tiene 146 cm de perímetro y el
rectángulo II tiene 112 cm de perímetro.
¿Cuánto miden los lados de R y de C?
y
C
C
R
R
II
Segundo nivel
XXII- 203
Pedro tenía $720. Ayer gastó la mitad de lo que tenía. Hoy, de lo que le quedaba, gastó la
cuarta parte. ¿Cuántos pesos tiene ahora?
Tercer nivel
XXII- 303
¿Cuántos triángulos y cuántos cuadriláteros hay en la figura?
Explica cómo los contaste.
25 de marzo
Primer Nivel
XXII-104
En el salón del desayuno hay mesas altas y mesas bajas. En total hay 30 mesas.
Alrededor de cada mesa alta hay 3 sillas y alrededor de cada mesa baja hay 2 silloncitos.
Las mesas bajas son la quinta parte del total.
¿Cuántas personas pueden sentarse a desayunar a la vez?
Segundo nivel
XXII- 204
Con un cuadrado de 96 cm de perímetro y dos triángulos rectángulos iguales, se pueden armar:
la figura I de 120 cm de perímetro y la figura II de 132 cm de perímetro.
figura I
figura II
¿Cuál es el perímetro de cada uno de los triángulos?
Tercer nivel
XXII- 304
En la figura:
D
C
ABC y ABD son triángulos rectángulos e iguales.
AB y BC son de distinta longitud.
El área de la figura ABCED es de 63 cm2.
¿Cuál es el área del triángulo ABE? Explica por qué.
E
A
B
1 de abril
Primer Nivel
XXII-105
ABCD es un rectángulo de 5cm de base por 3 cm de altura. Se divide ABCD en cuadraditos de 1
cm de lado, quedan 3 filas de 5 cuadraditos cada una. En 3 de los cuadraditos de la primera y de
la tercera filas se traza una diagonal y se pinta uno de los triángulos que resultan. En 2 de los
cuadraditos de la segunda fila se traza una diagonal y se pinta uno de los triángulos que
resultan. ¿Qué parte del rectángulo representa lo pintado?
Segundo nivel
XXII- 205
Susi hace jaboncitos perfumados. Tiene 11 docenas de jaboncitos con perfume a rosas y entre
15 y 18 docenas con perfume a lavanda para armar cajas para vender.
Los jaboncitos con perfume a rosas los pone en cajas de a 9.
Los jaboncitos con perfume a lavanda los pone en cajas de a 18.
Vendió todas las cajas que pudo preparar y le quedaron igual cantidad de jabones de cada una
de las dos clases. ¿Cuántos jaboncitos con perfume a lavanda tenía inicialmente?
Tercer nivel
XXII- 305
De la empresa El Veloz, con cabecera en la ciudad de Venado Tuerto, salen micros a tres
destinos diferentes: Rafaela, Susana y Santa Fe. Cada micro hace un solo viaje diario.
Del total de los micros, la quinta parte va a Rafaela y de los restantes, la tercera parte, que son
36 micros, va a Susana,
a) ¿cuántos micros van a cada destino?
b) Los micros que van a Santa Fe salen desde la cero horas hasta las 24 hs cada día, a
intervalos iguales, ¿cada cuántos minutos sale un micro de la empresa, de Venado Tuerto a
Santa Fe?
8 de abril
Primer Nivel
XXII-106
Alan tiene varios rectángulos de cartulina del doble de largo que de ancho.
Cada rectángulo tiene 36cm de perímetro.
¿De cuántas maneras puede partir uno de estos rectángulos en cuadrados iguales, de lados
enteros? Muestra todas las posibilidades.
Cada vez que parte un rectángulo, Alan coloca en fila, pegados por un lado, todos los cuadrados
que obtuvo y arma un nuevo rectángulo.
¿Cuál es el perímetro de cada uno de estos nuevos rectángulos?
Segundo nivel
XXII- 206
En el quiosco se pueden comprar: bombones, caramelos y turrones. Los turrones cuestan el
triple que los caramelos. Con $ 2 se pueden comprar 1 bombón o 1 turrón y 1 caramelo.
Adrián lleva $ 10 y quiere gastarlos todos en algunas de estas cosas.
¿De cuántas maneras puede hacerlo?
D
Tercer nivel
XXII- 306
C
En el cuadrilátero ABCD, AD = DC y
la diagonal AC es bisectriz del ángulo A.
ˆ = 3 B̂
ACB
ˆ =105º
ACB
B
A
¿Cuánto miden los ángulos interiores de los triángulos ABC Y ACD?
¿Cuánto miden los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD?
15 de abril
Primer Nivel
XXII-107
¿Cuántos triángulos hay en esta figura?
Explica cómo los contaste.
Segundo nivel
XXII- 207
En el triángulo ABC, el ángulo A mide 60º. Los puntos D y E del lado BC son tales que




los ángulos C AD , DAE y EAB son iguales y ADE = 120º.
¿Cuánto miden los ángulos interiores de: ADC , AED , ABE , AEC , y ABD ?
C
D
E
A
B
Tercer nivel
XXII- 307
Todos los días Matías come 1 ó 2 caramelos.
¿De cuántas maneras distintas puede consumir un paquete de 10 caramelos?
22 de abril
Primer Nivel
XXII-108
Ariel, Bruno, Carlos y Dani tienen, entre todos, 64 bolitas.
Si Bruno le da a Ariel 4 bolitas, Carlos le da a Bruno 3 bolitas y Dani le da a Ariel 2 bolitas,
todos tendrán igual cantidad de bolitas.
¿Cuántas bolitas tiene inicialmente cada uno?
Segundo nivel
XXII- 208
Ana y Bea están contando lo que tienen. Si Ana pone la octava parte de lo que tiene y Bea pone
un séptimo de lo que tiene, juntan $19.
Si Ana tiene las dos terceras partes de lo que tiene Bea, ¿cuánto tiene cada una?
Tercer nivel
XXII- 308
Las ciudades Atenea, Blanca, Corina y Diana están sobre la misma ruta, en ese orden.
Para ir de Atenea a Corina se recorren 129 km. Para ir de Blanca a Diana se recorren 142 km.
Pedro va de Atenea a Blanca y José va de Corina a Diana;
entre los dos recorren 163 km. ¿Cuál es la distancia entre cada par de ciudades?
29 de abril
Primer Nivel
XXII-109
La figura está formada por un cuadrado grande y uno pequeño.
El perímetro del cuadrado pequeño es 24cm.
El perímetro del cuadrado grande es el triple del perímetro del cuadrado pequeño.
¿Cuál es el perímetro de la figura?
Segundo nivel
XXII- 209
ACEF es un cuadrado de 12 cm de lado,
BCDG es un rectángulo,
BC =
F
4
CD,
3
E
G
1
el área de BCDG es
del área del cuadrado.
3
D
¿Cuál es el perímetro de BCDG?
A
B
C
Tercer nivel
XXII- 309
E
D
A
B
C
En la figura: ABDE es un rectángulo,
BCD es un triángulo, AB = 2BC, 3AE = 4BC.
El perímetro de ACDE es 96 cm.
El perímetro de BCD es 48 cm.
¿Cuál es el área de la figura?
6 de mayo
Primer Nivel
XXII-110
En una bolsa hay 10 bolitas rojas, 8 verdes y 10 azules.
Juan saca, sin mirar, 10 bolitas.
¿Cuántas bolitas de cada color puede haber sacado Juan? Da todas las posibilidades.
Segundo nivel
XXII- 210
Dante escribe todos los números entre 100 y 2012 que cumplen estas dos condiciones: la cifra
de las centenas es igual a la cifra de las unidades; la suma de sus cifras es un número par.
¿Cuántos son? Explica cómo los contaste.
Tercer nivel
XXII- 310
Juan, Perico y Andrés tienen entre los tres, $132.
Perico y Andrés juntos tiene la mitad de lo que tienen Juan y Perico juntos.
Si Perico tuviera el triple de lo que tiene y Juan tuviera el doble de lo que tiene, Juan y Perico
tendrían la misma cantidad de dinero.
¿Cuántos pesos tiene Juan, cuántos Perico y cuántos Andrés?
13 de mayo
Primer Nivel
XXII-111
La figura se armó con tres triángulos isósceles iguales.
En cada triángulo, cada uno de los lados iguales es el doble del lado desigual.
Para bordear toda la figura se necesitan 180 cm de cinta.
¿Cuánto mide cada uno de los lados de un triángulo?
Segundo nivel
XXII- 211
Se dibujan estos rectángulos:
. . .
R1
R2
R3
R4
R1 de base 2cm y altura 1cm
R2 de base 4cm y altura 1cm
R3 de base 4cm y altura 2cm
R4 de base 8cm y altura 2cm
Así se siguen dibujando rectángulos: se duplica una vez la base y otra vez la altura del
rectángulo anterior.
a) Calcula el área y el perímetro del rectángulo R10.
b) ¿Cuánto suman los perímetros y cuánto suman las áreas de los 10 rectángulos?
Tercer nivel
XXII- 311
El rectángulo ABCD tiene 42 cm de perímetro y AB = 2 BC.
Sobre la prolongación de la diagonal AC, se marca E de manera que C sea el punto medio de AE.
¿Cuál es el área del triángulo BCE?
¿Cuál es el perímetro del triángulo BCE?
20 de mayo
Primer Nivel
XXII-112
En el kiosco se pueden comprar 2 chocolates y 4 alfajores por $46 ó 4 chocolates y 7 alfajores
por $85.
¿Cuánto cuesta cada chocolate? ¿Cuánto cuesta cada alfajor?
Segundo nivel
XXII- 212
Con la plata que tiene, Fernando puede comprar 4 autitos de la misma clase y le sobran $11. Si
quisiera comprar 7 autitos de la misma clase, le faltarían $58.
¿Cuánto cuesta cada autito? ¿Cuánta plata tiene Fernando?
Tercer nivel
XXII- 312
∆ x (◊ + ∆) = 1645 y
∆ x ◊ + ∆ = 455
¿Por qué números se reemplazan ∆ y ◊?
27 de mayo
Primer Nivel
XXII-113
Con los dígitos 6 – 7 - 8 y 9 se quieren armar números impares de cinco cifras que tienen la
primer cifra menor que las demás.
¿Cuántos de estos números hay?
Segundo nivel
XXII- 213
E
D
C
A
En la figura, de 72cm de perímetro,
ABDE es un rectángulo; AE = 2 AB;
BCD es un triángulo equilátero.
¿Cuál es el área de ABDE?
B
Tercer nivel
XXII- 313
¿Cuántos números de cuatro cifras y menores que 2012 cumplen estas condiciones: son pares,
son múltiplos de 3 y no son múltiplos de 5?
Explica cómo los contaste.
Problemas Semanales
de Patricia Fauring y Flora Gutiérrez
4 de marzo
Primer Nivel
101. Llamamos fecha a la escritura de un día que consigna día / mes / año, usando uno o dos dígitos
para el día, el mes o el año (no se ponen ceros a la izquierda). Calcular, a lo largo de un siglo, cuántas
fechas se escriben usando un solo dígito repetido varias veces.
Segundo Nivel
201. Una mujer menor de 100 años y uno de sus nietos cumplen años el mismo día. Para seis años
consecutivos, la edad de la mujer era múltiplo de la edad del nieto. Determinar las edades de la mujer
y su nieto en esos seis años.
Tercer Nivel
301. Se tienen tres cubos rojos iguales entre sí y tres cubos verdes, iguales entre sí y más pequeños
que los cubos rojos. El volumen total de los seis cubos es igual a 840 cm 3. Si se hace una torre con
los seis cubos la altura es de 30 cm. Hallar las dimensiones de los cubos sabiendo que las longitudes
de sus aristas son todos números enteros.
11 de marzo
102. Hallar los números de tres dígitos abc, con a ¹ 0 , que son iguales a la suma de los tres números
de dos dígitos cada uno ab, bc y ca, o sea,
abc = ab + bc + ca .
202. Sea x el menor entero positivo que satisface simultáneamente que 2x es el cuadrado de un
entero, 3x es el cubo de un entero y 5x es la potencia quinta de un entero. Dar la factorización en
primos de x.
302. Sea S = 5 + 52 + 53 + ... + 52012 la suma de todas las potencias de 5, desde 5 hasta 52012 .
Calcular el resto de dividir S por 8.
18 de marzo
103. Sea ABC un triángulo isósceles, con AC = BC . Se construye el triángulo equilátero BCD,
AD = 40o , calcular los ángulos del cuadrilátero ABDC.
exterior al triángulo ABC. Si C µ
203. El rectángulo ABCD tiene AB = CD = 6 y AD = BC = 18 . Con centro en C se rota el
rectángulo 90º en sentido horario y se obtiene un nuevo rectángulo: A ' B ' CD ' . Con centro en D ' (el
rotado de D) se rota este rectángulo 90º en sentido horario y se obtiene el rectángulo A" B "C ' D ' .
Calcular la distancia entre A y A " .
ACLARACIÓN: A ', B ' y D ' son los puntos obtenidos de A, B y D por la primera rotación y A ", B "
y C ' son los puntos obtenidos de A ', B ' y C por la segunda rotación.
303. Sea ABCD un rectángulo con AB = 12 y AD = 5 . Se traza por D una perpendicular a la
diagonal BD que corta a la prolongación de BA en P y a la prolongación de BC en Q. Calcular la
medida de PQ.
25 de marzo
104. Con el dígito a se forman el número de dos dígitos a3 y los números de tres dígitos 3aa y a34 .
Si se sabe que
a3 3aa a34
+
+
= 281 ,
11
3
2
calcular el valor de a.
204. Dos automóviles salen de A a la misma hora. El primero va hasta B a 40 km/h y de inmediato
regresa a A, a la misma velocidad. El segundo va a B a 60 km/h, regresa de inmediato a A, a
velocidad constante, y llega al mismo tiempo que el primer auto. Calcular la velocidad del segundo
auto cuando viajó de regreso de B a A.
304. Un test tiene 6 preguntas que valen sucesivamente 1, 2, 3, 4, 5 y 6 puntos. Cada alumno debe
responder las 6 preguntas. Cuando responde correctamente se le suma el puntaje asignado a la
pregunta, y cuando responde incorrectamente, se le resta dicho puntaje. Por ejemplo, un alumno que
solo contestó correctamente las preguntas 1, 3 y 4 tiene un puntaje igual a 1- 2 + 3 + 4 - 5 - 6 = - 5 .
Si todos los alumnos tuvieron puntajes diferentes, calcular cual es la mayor cantidad de alumnos que
participaron del test.
1 de abril
105. En la siguiente tabla las casillas de la primera fila contienen los números enteros del 1 al 13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
Hay que escribir en la segunda fila los números enteros de 1 a 13, sin repeticiones, y en la tercera fila,
la suma de los números correspondientes a la primera y segunda fila. El objetivo es que los números
de la tercera fila sean todos cuadrados perfectos.
205. En un grupo de chicos, la edad de Agus es 3 años más que el promedio de edades de todo el
grupo; la edad de Fede es un año menos que el promedio de edades de todo el grupo y Gastón tiene
11 años. Se sabe que el promedio de las edades de estos tres chicos es igual al promedio de edades
de todo el grupo. Calcular las edades de Agus y de Fede.
305. Las progresiones aritméticas
an :19,95,171, 247,... y bn :20, 45, 70,95,...
tienen ambas el número 95. Calcular el próximo número que es común a las dos sucesiones.
8 de abril
106. Un cuadrado está dividido en 4 rectángulos iguales y un cuadrado, como se muestra en la figura.
Si el área del cuadrado sombreado es 36 y el área de cada uno de los rectángulos iguales es 720,
calcular las longitudes de los lados de los rectángulos.
µ, y sean P y Q puntos en los lados AB y AD tales que
206. Sea ABCD un rombo con µ
A mayor que B
el triángulo PCQ es equilátero, con lado igual al lado del rombo. Calcular la medida de los ángulos
del rombo.
µ = 45o .
306. Sea ABCD un trapecio isósceles de bases AB y CD tal que la diagonal BD = 16 y ABD
Calcular el área del trapecio.
15 de abril
107. Decimos que un número entero positivo es ganador si se puede expresar usando los cuatro
dígitos 1, 7, 9 y 9 en cualquier orden, y las operaciones de suma, resta, multiplicación y división (o
sea, +, , , ). Cada dígito se debe usar exactamente una vez y los dígitos deben figurar separados
(por ejemplo, no se puede usar 19). Se pueden usar paréntesis cuando haga falta. Está prohibido usar
otros símbolos, como
o exponentes.
Hallar el menor número entero positivo que no es ganador.
207. Un tablero de 19  19 tiene un número entero escrito en cada casilla, de modo que si dos enteros
están en casillas vecinas la resta del mayor menos el menor es 0, 1 o 2. Hallar la mayor cantidad
posible de enteros distintos que puede tener el tablero. (Casillas vecinas son las que comparten un
lado.)
307. En el tablero ya hay escritos 4 números. En cada casilla vacía, escribir un número entero
positivo de modo que en cada fila los cinco números escritos formen una progresión aritmética y en
cada columna los cinco números escritos formen una progresión aritmética.
75
184
104
0
22 de abril
108. En una olimpiada matemática se inscribieron 2012 participantes a los que se les asignó un
número entero entre 1 y 2012, sin repetir. Sin embargo, varios renunciaron antes del comienzo, de
modo que no quedaron dos participantes tales que el número de uno sea 10 veces el número del otro.
Determinar el mayor número de participantes que puede haber quedado.
208. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, BEF es un triángulo equilátero de lado 2a, y M es
el punto de intersección de BF y DE.
Demostrar que área(BEM) = área(DMFC).
F
D
C
M
A
B
E
308. Definimos f (n) en los enteros no negativos de la siguiente manera: f (0)  0 , f (1)  0 ,
f (2)  1 y para n  3 , sea f (n) el menor entero positivo que no divide a n. Sea F (n)  f ( f ( f (n))) .
Sea S la suma de los valores de F aplicada a los números del
1 al 2012 inclusive, es decir, S  F (1)  F (2)  F (3)  ...  F (2012) .
Calcular el valor de S.
29 de abril
109. Sea ABCD un trapecio de bases BC y AD y lados no paralelos AB y CD, y sea O el punto de
intersección de las diagonales. En este trapecio, CD = AO, BC = OD, y además CA es la bisectriz del
ángulo BCD . Calcular las medidas de los ángulos del trapecio.
209. Un triángulo equilátero de lado 2012 está dividido en 2012 2 triangulitos equiláteros de lado 1
mediante paralelas a sus lados. En cada vértice de un triangulito hay una hormiga. En un mismo
instante, todas las hormigas comienzan a caminar a igual velocidad por las líneas de la triangulación.
Al llegar a otro vértice giran 60º o 120º a izquierda o a derecha y siguen moviéndose.
Determinar si es posible que este movimiento se desarrolle por siempre, sin que haya nunca dos
hormigas en un mismo vértice de triangulito.
2
.
5
Con cuatro cortes rectos hay que dividir el rectángulo en 5 pedazos con los que se pueda armar un
rectángulo de 2  1, sin huecos ni superposiciones.
309. Un rectángulo de papel tiene dos lados que miden
5 y los otros dos
6 de mayo
110. Asignar a los vértices de un polígono de 33 lados los números enteros de 1 a 33, sin repetir, y
luego, asignar a los lados la suma de los números de sus vértices. El objetivo es que los números
asignados a los lados sean 33 enteros consecutivos ordenados.
210. Los enteros a, b, c son tales que a  b  c , b  a es un múltiplo de b  a y c  b es un múltiplo
de c  b . Si a tiene 2011 dígitos y b tiene 2012 dígitos, determinar cuántos dígitos tiene c.
310. Sobre una autopista, un peatón y un ciclista van en la misma dirección, mientras que un camión
y un auto van en la dirección opuesta a la anterior. Todos van a velocidades constantes, distintas entre
si. El ciclista alcanza al peatón a las 10:00 en punto. Después de cierto tiempo, el ciclista se cruza con
el camión, y al cabo de un tiempo igual al anterior, el ciclista se cruza con el auto. Al cabo de un
tercer intervalo de tiempo (no necesariamente igual a los anteriores) el auto se cruza con el peatón, y
después de otro tiempo, igual al del tercer intervalo, el auto sobrepasa al camión. Si el peatón
encuentra al auto a las 11:00 en punto, determinar a qué hora se encontraron el camión y el peatón.
13 de mayo
111. A un tablero de 9  9 se le quitan las 16 casillas que están simultáneamente en un fila y una
columna par del tablero. Hay que dividir la figura restante en trozos rectangulares entre los que haya
la menor cantidad posible de cuadrados unitarios (casillas aisladas).
211. Varias personas están alrededor de una mesa redonda comiendo de una canasta que contiene
2011 cerezas. Recorriendo en el sentido de las manecillas del reloj, cada persona comió o bien el
doble de cerezas que la persona siguiente o bien seis cerezas menos que la persona siguiente.
Demostrar que todavía quedan cerezas en la canasta (no se comieron todas las cerezas de la canasta).
311. Un cuadrilátero convexo ABCD tiene AB  10 , BC  14 , CD  11, DA  5 . Determinar el
ángulo entre sus diagonales.
20 de mayo
112. Pablo escribe un número distinto de 0 en cada casilla de un tablero de n  n. Pedro, que no ve el
tablero, elige un número de n dígitos, todos distintos de 0. Pedro gana si su número no coincide
totalmente con alguna fila o alguna columna del tablero, ya sea leídos de derecha a izquierda o de
izquierda a derecha, de arriba hacia abajo o de abajo hacia arriba. Pedro puede pedir que le digan los
números de algunas casillas a su elección, pagando una multa por cada casilla que pide. ¿Cuál es el
mínimo número de casillas que tiene que pedir Pedro para ganar con seguridad? (Dar el número y
demostrar que con ese número gana seguro y que con un número más chico puede perder.)
212. Determinar si existe un número entero positivo que tenga un número impar de divisores enteros
positivos pares y un número par de divisores enteros positivos impares.
Si la respuesta es sí, dar un ejemplo. Si es no, explicar el porqué.
312. En las casillas de un tablero de 1  2n están escritos los números como se muestra en la figura.
1 2 3 … n n … 2 1
Una ficha se mueve en el tablero: en cada oportunidad se mueve el número de casillas que indica la
casilla en la que se encuentra, hacia la derecha si el número es positivo y hacia la izquierda si es
negativo. Se sabe que desde cualquier posición inicial la ficha recorre todas las casillas del tablero.
Demostrar que el número entero 2n 1 es primo.
27 de mayo
113. Sean P y Q puntos del lado mayor AB de un triángulo ABC tales que AQ  AC y BP  BC .
Demostrar que las mediatrices del triángulo CPQ se cortan en el mismo punto en el que se cortan las
bisectrices del triángulo ABC.
213. Se colocan paréntesis en la expresión 10: 9:8: 7 : 6: 5: 4: 3: 2:1 de modo que el resultado sea un
número entero.
a) ¿Cuál es el máximo valor posible de este entero?
b) ¿Cuál es el mínimo valor posible de este entero?
313. Sea ABCD un paralelogramo. Las circunferencias inscritas de los triángulos ABC y ADC son
tangentes a la diagonal AC en los puntos X e Y respectivamente. Las circunferencias inscritas de los
triángulos BCD y BAD son tangentes a la diagonal BD en los puntos Z y T respectivamente.
Demostrar que si los puntos X, Y, Z, T son distintos entonces el cuadrilátero XZYT es un rectángulo.