Download Radicación de Enteros. - Unidad Educativa Lev Vygotsky

UNIDAD EDUCATIVA
LEV VYGOTSKY
RADICACIÓN
DE
NÚMEROS ENTEROS
UNIDAD N° 5
MATEMÁTICA
LCDA. PATRICIA ANABEL VÁSQUEZ
7mo E.G.B.
Lcda. Patricia Anabel Vásquez
Página
1
2016-2017
2016-2017
RADICACIÓN DE ENTEROS
En esta unidad yo seré competente para:
 Aplicar leyes de la radicación
de números
enteros.
 Reconociendo los términos de la radicación.
 Determinando raices de números enteros.
 Identificando las propiedades y leyes de la radicación
de enteros.
 Reduciendo expresiones de números enteros mediante
el uso de las leyes de la radicación.
Para lo cual debo saber:
Potenciación de Enteros.
Debo aprehender:
Radicación de Enteros.
• Operación inversa a la Potenciación de Enteros.
• Reglas de los signos para extraer la raíz enésima de
un número entero.
• Leyes y Propiedades.
Página
2
• Operaciones Combinadas.
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Motivación… http://www.testeando.es/test.asp?idA=68&idT=qxrkxjiw
http://www.mundoprimaria.com/juegos-matematicas/juego-raices-cuadradas/
Recordemos…
Problema 1: Un comerciante ha comprado cierto número de
pantalones por 256 dólares. Sabiendo que el número de pantalones
coincide con el precio de cada pantalón, ¿cuántos pantalones
compró?
Página
3
Problema 2: Un joyero tiene en total 225 alhajas y las guarda en
cajas. Si sabemos que el número de alhajas que hay en cada caja
es igual al número de cajas que posee, ¿cuántas alhajas guarda en
cada caja? Y ¿cuántas cajitas posee?
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Tabla de Raíces
RAÍCES CUADRADAS
RAÍCES CÚBICAS
√1 = 1
√121 = 11
3
√1 = 1
3
√4 = 2
√144 = 12
3
3
√9 = 3
√169 = 13
3
√27 = 3
3
√16 = 4
√196 = 14
3
3
√25 = 5
√225 = 15
3
√125 = 5
3
√36 = 6
√256 = 16
3
√216 = 6
3
√49 = 7
√289 = 17
3
√343 = 7
3
√64 = 8
√324 = 18
3
√512 = 8
3
√81 = 9
√361 = 19
3
√729 = 9
3
√100 = 10
√400 = 20
√1000 = 10
3
√8 = 2
√256 = 4
4
√625 = 5
7
√128 = 2
7
√5832 = 18
√6859 = 19
√8000 = 20
√32 = 2
5
√243 = 3
5
√1024 = 4
5
√3125 = 5
8
√1 = 1
8
√256 = 2
8
√6561 = 3
6
√64 = 2
6
√729 = 3
6
√4096 = 4
6
√15625 = 5
6
√46656 = 6
9
√1 = 1
9
√512 = 2
9
√19683 = 3
Página
4
√2187 = 3
5
√7776 = 6
EXPONENTE 8
EXPONENTE 7
√1296 = 6
√1 = 1
√4913 = 17
√1 = 1
5
4
7
√4096 = 16
6
EXPONENTE 6
4
√3375 = 15
√1 = 1
EXPONENTE 9
√81 = 3
√2744 = 14
5
EXPONENTE 5
EXPOENENTE 4
4
√2197 = 13
3
√1 = 1
√16 = 2
√1728 = 12
√64 = 4
4
4
√1331 = 11
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Aprehendamos…
OPERACIÓN ARITMÉTICA
 Operación
inversa
potenciación
de
a
la
números
enteros.
 Términos: Índice, Radicando
y Raíz.
 Suma de Z
 Regla para determinar el
 Resta de Z
signo de la Raíz.
 Leyes.


𝑛 𝑚
√𝑎 =
𝑛
 Multiplicación
RADICIACIÓN DE
de Z
NÚMEROS ENTEROS
𝑛∙𝑚
 División de Z
𝑚
 Potenciación
√𝑎
√𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛
de Z
 Propiedades:

Distributiva

Recolectiva
P.1. Toda Radicación de enteros es una operación
aritmética.
Porque: La radicación de enteros tiene operador que es “√ ” y
se llama SIGNO RADICAL; además, tiene términos que son:
Índice, Radicando o Cantidad Subradical y Raíz.
EJEMPLOS:
•
6
64 = 2 𝑦 − 2
Radicando
Negativo:
−128 = −2
•
5
0=0
Página
•
7
Radicando Cero:
5
Radicando positivo:
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Análisis Proposicional:
𝑥1 = (2,5)3
𝑥2 = (−12) ÷ (3)
𝑥3 =
3
64,25
𝑥4 = √81⁄16
𝑥5 = (0,25)2
3
𝑥6 = √−729
𝑥7 = −5 + 3 − 76
9
𝑥8 = √0
P.2.1. Toda radicación de enteros es operación
inversa a la potenciación de enteros.
Porque: extraer la raíz de un número entero, consiste en
determinar la base cuando se conoce al exponente y la potencia.
Ejemplifiquemos:
3
√125 = 𝑥
Página
6
𝑃𝑅𝐸𝐺𝑈𝑁𝑇𝐴: ¿ 𝑄𝑢é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 125?
𝑥 3 = 125
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𝑥 = 5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 "53 𝑒𝑠 125"
3
√125 = 5, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 "53 𝑒𝑠 125"
Algorítmo para extraer la raíz de un número entero…
La raíz es un número entero cuyo valor absoluto se tiene
extrayendo la raíz del valor absoluto del radicando y el signo lo
determinan el radicando y el índice.
¿Cómo determinar el signo de la raíz?
Índice
Par
Impar
Radicando
Positivo
Negativo
Ejemplifiquemos:
5
f) √−225 =
5
g) √343 =
7
h) − √289 =
4
i) −√−125 =
6
j) − √−1296 =
a) √32 =
b) √−1024 =
c) √128 =
d) √256 =
2
3
4
Página
7
e) √−729 =
3
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Ejercicio Individual
Fecha: Sangolquí, _________________
Determinar la raíz en los siguientes casos.
4
√1296 =
√256 =
3
5
√−243 =
3
√512 =
5
7
√−128 =
8
√6561 =
2
9
√512 =
4
√1296 =
7
6
5
6
√−4096 =
√−1 =
√+3375 =
√−7776 =
√+81 =
√−2187 =
√0 =
Demuestro lo aprehendido…
Horizontales:
1. Para que la radicación de enteros sea una operación aritmética
debe tener: signos, números enteros y…
2. La radicación y potenciación de enteros son operaciones…
3. El índice de la radicación en la potenciación es el…
4. La raíz de la radicación en la potenciación es la…
5. Cuando el índice es impar y el radicando negativo, el signo de
la raíz es…
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Página
a) Cuando el índice es par y el radicando negativo, la raíz...
b) Cuando el índice es par y el radicando positivo, la raíz tiene
dos valores de signos…
c) Cuando el índice es impar y el radicando positivo, el sino de la
raíz es...
d) Cuando no está escrito el índice de un radical es el número…
e) Cuando el índice es par no existe respuesta si el radicando es…
8
Verticales:
B
C
1
a
2
d
e
3
4
5
Aplicación de la potenciación y radicación en
la cotidianidad.
a) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324
Página
9
m2 ¿Cuánto costará cercarlo si el metro de valla
cuesta 380 dólares?
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b) Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 dm2 ¿Cuánto
mide su lado?
c) Un comerciante ha comprado cierto número de pantalones
por $256. Sabiendo que le número de pantalones coincide con
el precio de cada pantalón, ¿cuántos pantalones compró?
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10
d) Se quieren distribuir los 529 alumnos de una escuela
formando un cuadrado. ¿Cuántos alumnos habrá en cada
lado del cuadrado?
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e) Se compra cierto número de bolígrafos por 196 pesos.
Sabiendo que el precio de un bolígrafo coincide con el número
de bolígrafos comprados, ¿cuál es el precio de un bolígrafo?
f) Una caja en forma cúbica tiene un volumen de 125 cm3. Si se
corta la mitad superior, ¿cuáles serán las dimensiones del
recipiente resultante?
g) Se compra cierto número de libros por $729. Si el número de
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11
libros comprado es el cuadrado del precio de un libro,
¿cuántos libros he comprado y cuánto costó cada uno?
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P.2.2. Toda radicación de enteros cumple leyes.
Porque: Las leyes permiten acortar los procesos para resolver
operaciones entre raíces y operaciones combinadas.
LEYES DE LA RADICACIÓN DE ENTEROS
RAÍZ DE UNA
RAÍZ
RAÍZ DE UNA POTENCIA
Se mantiente
radicando.
el
Se multiplican los
índices.
3
3 3
4096 =
−512 =
6
9
Se mantiene el radicando.
Se simplifica el índice con
el exponente.
4096 = 4
⬚
−512 = −2
9
⬚
4
184 = 182 = 182 = 324
9
−40963 = −40963 =
25
25
−515 = −515 =
5
3
−4096 = −16
−53 =
5
125
Aplico leyes en las operaciones combinadas…
12
9
3
4
340 − √4096 + √−83 − √24 − √−81 + [(−35 ÷ 7 + 2)32 ÷
(−19 + 4 × 4)30 × (−23 + 5 × 5 − 20 + 45 ÷ 3) − 2] =
Página
1)
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5 3
√−1 + [−58 + (−6 + 4)2 ×
(−58 ÷ 29)2 × (−5)2 ÷ (−34 + 14 + 16)2 ] =
2) √25 − √16 − √625 −
3)
4 5
√ [−25 ÷ (−5 × 5)] + 12 (−5 + 12)21 × 73 −
6
Página
13
√√√ −{−63 ÷ 9 + [−34 ÷ 17 + 56 − (−7)(−2)(9 − 9)]}0 =
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4)
5)
12
5
2
4
[4 ÷ (2 − 3)7 + √236 ] − √38 + (−7)(−7)2 − √112 − √55 =
2
6
)2
−(−9) + (2) − (−77 + 89 + 9 − 5
3
+ √ √256 − √ √1 +
5
Página
14
√2 − 12 × 3 + 5 − 3 − {−34 + [−45 ÷ (−12 + 34 − 7) +
32] − (−25)} =
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3
6)
[(−7)5 ÷ (−7)3 ] × (−7)0 × (−7) + √−512 × √256 −
(−2)4 − 312 ÷ [32 × 34 ÷ 3]2 =
7)
(−2)4−3−2+4 + 6(−3) − √84 − (−1)2 + (−2)2 + (−3)2 +
12
4
8
3
6
Página
15
(−4)2 − √48 − √44 − √−106 + √543 − 43 + 229 =
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P.2.3. Toda
propiedades.
radicación
de
enteros
cumple
Porque: Las propiedades son procesos diferentes que permiten
verificar la solución de operaciones combinadas.
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
PROPIEDAD
DISTRIBUTIVA
CON
RESPECTO
A
LA
MULTIPLICACIÓN
ENUNCIADO
La raíz de una
de cada factor.
MULTIPLICACIÓN
3
√−216 = −6
− 6 = −6
factor.
A LA DIVISIÓN
LA
(8) × (−27) = 2 × (−3)
las raíces de cada
La raíz de una
A
3
multiplicación es
igual al producto de
DISTRIBUTIVA
CON
RESPECTO
RECOLECTIVA
CON
RESPECTO
EJEMPLO
3
(−729) ÷ (−27)
= (−9) ÷ (−3)
división es igual al
cociente de las raíces
El producto de las
raíces del mismo
3
√27 =3
3=3
8
8
8
8
√6 × √7 × √3 = √6 × 7 × 3
8
= √126
índice es otra raíz de
igual índice cuyo
radicando es el
Página
16
producto de los
radicales parciales.
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RECOLECTIVA
CON
RESPECTO
A LA DIVISIÓN
La división de raíces
3
3
3
√64 ÷ √8 = √64 ÷ 8
del mismo índice, es
otra raíz de igual
índice cuyo
radicando es el
cociente de los
radicandos parciales.
1. Determinar las raíces de las siguientes expresiones
aplicando la propiedad distributiva.
a. 3 (−125) × 8 × 27 =
3
c. √(−1 000) ÷ (−8) =
Página
17
b. √16 × 25 =
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e. 4 256 × (−16) ÷ (−1) =
3
d. (−729) ÷ (27) × (−125) =
2. Aplicar propiedad Recolectiva para extraer la raíz en los
siguientes ejercicios.
4
4
c. √−128 ÷ √−32 =
3
3
d. √320 ÷ √−5 =
a. √−81 × √−16 =
3
3
Página
18
b. √−49 × √7 =
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RESUELVE OPERACIONES COMBINADAS
COMO UN GRAN MATEMÁTICO…
A.
−34 − 32 + [√−32 ÷ √−8 +
3
3
√64 − (−345 ÷ 15)0 ] − √42 ÷ 2 +
√324 ÷ 81 + (−76 ÷ 4 + 2 − 80 ) =
3
3
√−8 × (−1)3 + (−2)3 (−3) − 11 + √25 + (−6)2 ÷ √−64 − 7 +
(−2)4 − (−3)3 + [(−2)(−3)]2 + [14 ÷ (−7)]3 + (−4)3 =
Página
19
B.
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C.
(7 ÷ 7 ∙ 73 ∙ 75 : 72 : 73 )1 ∙ (72 )5 − (−16)(36)(−9) +
3
√−72 − 7√−128 + (36: 6)1 − (84 )2 : (23 ∙ 25 ) − (−234: 2 ∙ 4: 6 + 34 −
76) − (−56 − 7 − 3 + 48) =
D.
5 − [(−24)6 : 46 ∙ (−5)6 : (3)6 ∙ 76 : 76 ]1 + [34 ∙ (−2)4 ∙ (−5)4 : (52 ∙
4
42 : 22 ∙ 32 )2 + √81 ] − {−20: (−4) − 3[−1 − (−2)3 − 3] +
−1(−1) − (−2 − 2)} =
Página
20
8
7mo E.G.B.
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E.
2
[(−1 − 6 + 5) ÷ (−3 + 4)]8 − (−4)(−2) × √−1 × √2 − 10 +
3 3
√ √−27 × √729 × (−1) +
F.
3
2 + √36 =
[5(−2) + 9]7 + (−288) ÷ (−6 + 4) + 3 256 ÷ (9 − 5) −
Página
21
(−1 + 2 − 4)2 + 4 48 × 2 ÷ (−2 + 8) =
7mo E.G.B.
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G.
[(−3 + 5 − 2 + 1)2 ]4 + 5 (−4)(23 ) × 5 (−81)(−3)(2 − 1) −
3
6
2
[ (18 ÷ 3)(4 − 5 − 2) ] + [ (−10)(−8)(−2 + 7) ] =
P.3. Ninguna Radicación de enteros es Suma, Resta,
Multiplicación, División Ni Potenciación de Enteros.
Potenciación de Enteros.
7mo E.G.B.
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Página
proceso diferente a la Suma, Resta, Multiplicación, División y
22
Porque: la radicación de enteros tiene operador, términos y
23
Página
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Recordando fracciones y decimales…
A. Escribe el racional que se encuentra representado de forma
fraccionaria en cada caso y su equivalente en decimal.
B. La ardilla quiere atrapar una nuez y para lograrlo necesita
atravesar un camino seguro. Para esto deberá hacer un camino,
solamente, con fracciones equivalentes. Sombrea el camino que debe
seguir.
7mo E.G.B.
1
5
4
3
5
35
4
12
5
15
8
24
1
3
12
18
16
48
24
38
Lcda. Patricia Anabel Vásquez
32
98
32
96
54
98
64
192
64
192
226
128
224
156
128
384
24
1
7
1
3
2
6
26
48
126
256
Página
2
3
6
5
4
3
2016-2017
A.
3,01 + 0,245 + 1,021 − 9,804 ÷ 3,44 + (3,7)(0,12) −
(0,03)(0,25) =
2,56 (0,4) + (0,3)3 − (0,8)(0,2) − (1,3 × 0,7) + √0,64 +
B.
Página
25
(2,1)2 − 1,92 ÷ 1,4 =
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C.
1
5
)2
2 − √243 + 2 + 0,25 + (0,5
3
4
−
2 2
2
1+
1
2
+ √16 − (3) +
4
√1 − + 3√0,008 − √3 √27 − (−34 + 78 ÷ 25 + 3 × 4 ÷ 6) =
4
(0,7 + 1,75 − 0,5) (
0,625−0,3
)−
(0,5×0,1−1.55)2
0,75−1
− (327 ÷ 325 ) =
Página
26
D.
1
7mo E.G.B.
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−15 +
−
1+0,2:0,01
( 1−(0,5)2
2
− 1,6: √0,04) =
Página
27
E.
0
1−(0,5)2
−2
0,125
(0,6−0,5)2
7mo E.G.B.
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