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SECRETARIA DE EDUCACIÓN PUBLICA
DIRECCION GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL
MATEMÁTICAS 1er semestre
Aritmética,
A PARTIR DE LA METODOLOGÍA CONTEXTUAL Y APRENDIZAJE DE
GRUPOS OPERATIVOS
AGOSTO 2015
1
FUNDAMENTACIÓN
En este material se utiliza la metodología contextual y el aprendizaje cooperativo
de grupos para facilitar el aprendizaje de los estudiantes, permitiéndoles realizar
una reflexión individual primero y grupal después, sobre el tema a estudiar.
METODOLOGÍA CONTEXTUAL. La Dirección General de Educación Tecnológica
Industrial ha buscado métodos y técnicas de enseñanza que eficiente el proceso
Enseñanza-Aprendizaje; así por ejemplo se implementó el proyecto “piloto”
denominado Matemática Aplicada a contextos tecnológicos, sin embargo debido a
que éste modelo fue creado para un grupo social determinado, se generaron
nuevos problemas en el subsistema.
Ante ésta situación se propone a los docentes crear un modelo acorde a las
condiciones de nuestra idiosincrasia, incorporando el Aprendizaje contextual que
considera que el aprendizaje es un proceso complejo que va más allá de los
métodos orientados a la ejercitación y a la relación estimulo respuesta.
Esta teoría dice que el aprendizaje ocurre, cuando el estudiante procesa la
información o el conocimiento, de tal manera que lo que aprende tiene sentido
dentro de su marco de referencia, siempre y cuando le sea útil. Por lo cual se
recomienda estimular al educando, para que elija entornos de aprendizaje, tales
como, laboratorios, aulas o alguna actividad al aire libre, de manera tal, que vaya
adquiriendo experiencias sociales, culturales, físicas y psicológicas.
En éstos
medios los estudiantes aprenden a relacionar ideas abstractas y a aplicarlas al
mundo real, a través de la resolución de problemas.
Es importante la disposición del docente, para cambiar la forma tradicional de
enseñar, por una enseñanza más participativa en relación con lo cotidiano, que
permita el desarrollo de habilidades, de expresión oral y escrita del estudiante; así
como de sus habilidades mentales y manuales, ¿cómo podemos lograr más con
menos?. No se duda que en el transcurso del tiempo hemos aprendido más sobre
técnicas de enseñanza y todas logran un objetivo, pero, ¿por qué regresamos en
2
matemáticas a lo tradicional? (gis, pizarrón, borrador, apuntes etc.); sin duda
porque las matemáticas se enseñaron escribiéndolas sobre el pizarrón, sin
reflexionar ni razonar, quizá porque nuestros maestros no sabían utilizar un
retroproyector o un software, sin permitirnos construir nuestro propio conocimiento;
pero se ha demostrado que el estudiante aprende más cuando construye, explora,
descubre e inventa, que cuando actúa como receptor únicamente o utiliza
métodos memorísticos, por lo cual en éste trabajo se trata de guiar al estudiante a
que construya en su razonamiento, los pasos y metodología propias para resolver
el problema mediante una reflexión del planteamiento del problema.
Las habilidades actuales requeridas por los estudiantes son: Personalidad,
Razonamiento, Lectura de comprensión, Escritura y Aritmética. La Personalidad
es la habilidad de relacionarse con otros individuos dentro y fuera del aula, el
desarrollo de la autoestima y la responsabilidad individual. El razonamiento es la
habilidad de pensar y resolver un problema viéndolo como un sistema y no como
un conjunto de problemas y tareas aislados.
Para que los estudiantes desarrollen habilidades personales, se requiere que ellos
mismos les enseñen a otros, que aprendan a ser lideres y a trabajar con diversa
gente de otras culturas; así serán más creativos, tomarán decisiones, resolverán
problemas y aprenderán a razonar. Cuando un estudiante logra transferir el
conocimiento del aula a la práctica profesional se logra la retención del
conocimiento.
Además de relacionar las distintas materias del plan de estudios, los docentes
pueden reforzar el proceso de Aprendizaje, involucrando a los estudiantes en
actividades manuales y experiencias concretas, como otro método para reforzar
dicho proceso, con prácticas de laboratorio, experimentos, proyectos que
requieran de los estudiantes participación activa, que les estimule el interés y la
motivación por aprender.
3
APRENDIZAJE COOPERATIVO DE GRUPOS.
Es el proceso que maximiza el aprendizaje cooperativo en pequeños grupos
mediante:
1. El compartir conceptos
2. El apoyo mutuo
3. La celebración del éxito en conjunto
Este método tiene 5 características básicas
1. Equipos de aprendizaje heterogéneo cara a cara
2. Interdependencia positiva
3. Responsabilidad individual
4. Entrenamiento en habilidades interpersonales
5. Reflexión
La siguiente tabla muestra la diferencia que hay entre los dos modelos del proceso
Enseñanza-aprendizaje.
Modelo tradicional
Transmisión de información fáctica
Nuevo modelo
Propósito
Encontrar, desarrollar y aplicar
el conocimiento
Organización Aula aislada del mundo y del Estudiantes vinculados con la
trabajo, maestros y estudiantes comunidad,
maestros
y
trabajan solos.
estudiantes
trabajan
en
equipo.
Función
del “Transmisor de conocimientos
Facilitador, coordinador, guía
maestro
Función
del Receptor de información fáctica
Compromiso activo para el
estudiante
aprendizaje
Contenido
Materias académicas tradicionales, Programas
integrados,
para inteligencias verbales y lógico adaptados
para
múltiples
matemáticas.
inteligencias.
Método
Clase pregunta y respuesta, poca Cuestionamiento,
atención a estilos de aprendizaje
descubrimiento
aprendizaje
contextual
y
métodos
aplicados.
Evaluación
Prueba de información fáctica
Basada en el desempeño y la
resolución de problemas.
4
Para obtener un mayor grado de aprovechamiento se recomienda:
1. Que el estudiante aprenda a enseñar y a aprender de sus compañeros.
2. Evitar distracciones de los estudiantes cuando trabajen en equipo.
3. Empezar formando equipos de 3 elementos, después incrementar el
número poco a poco hasta un máximo de 5.
4. Integrar el aprendizaje cooperativo, invitando a los estudiantes a que lean el
material de manera individual y luego trabajen en equipo. El maestro podrá
calificar uno de los trabajos en presencia del grupo, para que los alumnos
aprendan a calificar los demás.
5. Asignar a cada integrante de equipo una tarea especifica ( leer, anotar,
verificar etc. ), estimulando con esto la participación activa del estudiante,
motivándolo a que haga las preguntas pertinentes o sugiera soluciones a
los problemas, elogiándole sus buenas ideas u opiniones.
6. Indicar claramente, que espera como resultado del trabajo en grupo.
7. Observar el funcionamiento de los equipos mientras ellos trabajan,
estimulando la responsabilidad individual.
8. Mencionar los detalles que observó en el transcurso de la actividad, y como
pudieran mejorarlos, recompensando también el buen comportamiento de
los estudiantes.
9. Nota:
Este trabajo está en proceso de conformación, por lo que se aceptan todo tipo de
sugerencias y modificaciones conforme se esté aplicando en los distintos planteles
del subsistema.
5
Símbolos utilizados en el desarrollo de éste material
Representa una actividad de motivación
Representa una actividad de estudio
Representa Trabajo en equipo

Representa una actividad complementaria
6
TEMARIO
1. -
ARITMÉTICA
1.1. -
Sistemas numéricos
1.1.1. - Números naturales
1.1.2. - Números enteros
1.1.3. - Números racionales
1.1.4. - Números irracionales
1.1.5. - Números reales
1.2. -
Razones y proporciones
7
1. ARITMÉTICA
En el desarrollo del saber de los pueblos antiguos, el aspecto matemático
fue evolucionando hasta representar objetos por medio de símbolos, naciendo así
el primer conjunto de números, llamados números naturales.
El concepto de
número natural sufre una serie de ampliaciones a través del desarrollo de las
matemáticas; una de éstas es la de considerar al cero como un número, que
representaría a todos los conjuntos nulos o carentes de elementos, otra
ampliación es la que se refiere a los números fraccionarios y a los números
irracionales; esta nos lleva al concepto de número negativo, que transforma a todo
el sistema numérico.
De esta manera, definiremos la Aritmética como la rama de las
matemáticas que estudia los números y las operaciones que con ellos se
pueden realizar.
Esta rama sobresale por su exactitud y precisión, es extensa y útil en sus
aplicaciones, se estudian las propiedades esenciales de los números, las
relaciones numéricas entre sí y las 4 operaciones fundamentales (suma, resta,
multiplicación y división) con enteros y fracciones; así como el cálculo de
potencias, raíces y logaritmos. Se basa en el uso de diez cifras o guarismos y de
numerosos signos.
El conocimiento de la Aritmética ha tenido una gran influencia en el
desarrollo de las Ciencias Naturales, Económicas, Administrativas y Tecnológicas.
8
1.1. SISTEMAS NUMÉRICOS
1.1.1. Números naturales:
A través de la historia el ser humano ha tenido la necesidad de contar, y
diferentes ideas para poder hacerlo, probablemente en sus inicios lo hizo
utilizando los dedos de sus manos y después con rayas en el suelo, piedras, varas
etc., motivando con ello tener que agrupar y formar los diferentes Sistemas
Numéricos.
Pero, ¿qué contaba?, contaba la cantidad de animales que tenía que cazar,
la extensión de sus tierras, la cantidad de personas de las tribus enemigas, etc.
Como podrás darte cuenta y si reflexionas un poco, todos tenemos la
necesidad de contar, piensa un poco y pregúntate ¿cuánta gente vive en tu casa?,
¿Cuál es el salario de tu papá?, ¿cuántas cuadras hay de tu casa a la escuela?,
observa que es importante el proceso de contar y que para ello existe un tipo de
números que analizaremos a continuación.
¿Cuántos estudiantes se encuentran en el salón? ______ ¿cuántos hombres?
______ ¿cuántas mujeres? ______ , ¿cuántos años tienes? _____.
¿Aproximadamente cuantos estudiantes conforman tu escuela? ______.
9
¿Cuántos
habitantes
serán
en
tu
ciudad? _______, ¿y en tu estado?
_______, ¿en tu país? _________ ,¿en el mundo? __________________.
¿Cuántas hojas de cuaderno tamaño profesional en total, hay en tu grupo?
____________, ¿cuántas páginas? _______, ¿aproximadamente cuál será el total
de páginas en toda la escuela? ______________.
Muchos números, ¿verdad?. Unos pequeños, unos grandes, otros mucho
más grandes. ¿Cómo supiste todo esto?, claro, a través de los años e incluso
desde tu infancia dentro de tu hogar.
Pero aterricemos esta idea, tratemos de sintetizar sus características
recordando como le hiciste para contestar las primeras cuatro preguntas.
1.
El conjunto de números que nos sirven para ________________ se llaman
naturales.
2.
Todo número natural tiene un número antes que él, que se llama
_______________ y uno que le sigue llamado ________________.
3.
El único número que no tiene antecesor pero sí un sucesor es el
___________.
4.
Entonces este conjunto de números inicia con el número ____________ y
termina con el número ____________. ¿Seguro? ________.
Los números naturales son los que sirven para contar, lo representamos
con la letra N, y consta de los siguientes elementos:
N=
1, 2, 3, 4, 5, ... ,
Contar un conjunto es coordinar sus elementos con una parte de la serie de
los números naturales comenzando con el uno.
10
Cuando una cantidad continua ha sido real o imaginariamente seleccionada en
elementos artificiales iguales, el conjunto de esos elementos se comporta de una
manera similar a las cantidades discretas y puede por lo tanto ser objeto de
conteo.
A partir del concepto anterior podríamos contestar lo siguiente:
1. Levanta un inventario de pupitres de tu salón.
_________
2. ¿Cuántas especialidades hay en tu plantel?
_________
3. Realiza un conteo de focos o lámparas que hay en tu salón._________
4. ¿Cuántos cuadernos tienes en este momento?
_________
5. ¿Cuántos salones tiene tu escuela?
_________
6. Cuántos maestros diferentes te dan clase?
_________
7. ¿Cuántas materias cursas en este semestre?
_________
8. ¿Cuántos jugadores conforman un equipo de fútbol soccer?________
9. ¿Cuántas naranjas son dos docenas?
_________
10. ¿A cuántos gramos equivale medio Kilogramo?
_________
11
1.1.2. Números enteros:
Los números enteros son aquellos que se utilizan comúnmente en la vida diaria.
Ejemplo:
Se encuentra un caracol en el fondo de un pozo que mide 6 m de profundidad;
para salir sube 3 m durante el día y en la noche desciende 1 m, ¿Cuánto tiempo
tardará en salir del pozo?.
Definición: Los números enteros es el conjunto formado por los enteros positivos
y negativos incluyendo al cero. Los podemos representar gráficamente sobre la
recta numérica, donde el cero es el punto de partida, a la derecha son positivos y
a la izquierda negativos.
NEGATIVO
S
POSITIVOS
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
Operaciones con números enteros:
Propiedades de los números:
Los aspectos preliminares para la realización de las cuatro operaciones básicas,
es el uso de la ley de los signos y el uso de los signos de agrupación que auxilian
a la demostración de las propiedades:
a) Asociativa: Sin importar de que manera se agrupen los sumandos, la suma o
total no se altera. ejemplo: 3 + 4 + 5 + 6 = ( 3 + 4) + ( 5 + 6 ) = 3 + (4 + 5 + 6 )
12
b) Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma
ejemplo: 2 + 3 + 4 = 3 + 2 + 4 = 4 + 3 + 2 = 2 + 4 + 3
c) Distributiva: Esta ley relaciona el producto con la suma, y dice; un producto
puede ser igual a una suma y recíprocamente, la suma igual a un producto,
puesto que la igualdad es simétrica.
ejemplo : 3 ( 4 + 5 ) = ( 3 ) ( 4 ) + ( 3 ) ( 5 )
3 ( 9 ) = 12 + 15
27 = 27
Signos de agrupación:
( ) paréntesis
[ ] corchetes
{ } Llaves
Barra o vinculo
Aplicaciones:
Contesta las siguientes preguntas.
a) Si tienes $20.00 y compras 4 artículos de $5.00 cada uno, después de la
compra, ¿Cuánto dinero te sobró?
R. ________________________________
b) ¿Qué temperatura crees que haya en el polo norte?
R. ________________________________
13
c) Tienes 24 refrescos y llegan a tu casa 30 amigos, si les das un refresco a cada
uno de ellos;
1.- ¿Repartimos todos los refrescos?
R. ______________________
2.- ¿Te sobran o te faltan?
R. ______________________
3.- ¿Cómo representas ese número?
R. ______________________
d) ¿Cómo se llaman los números que utilizaste para dar las respuestas
anteriores?
_________________________
Jerarquía de las operaciones:
Deben efectuarse en el siguiente orden, el cual es el utilizado por las calculadoras
científicas:
a) Potencias y raíces
b) Después cocientes y productos
c) Y al final sumas y restas
Observa los siguientes ejemplos de operaciones, eliminando signos de
agrupación:
a) 4(5 - 7) = 20 - 28 = - 8
b) 6(4 -10) + (5 + 2) (8 - 1) = 6(-6) + 7(7) = -36 + 49 = 13
c) (3 - 5){ -4 + (2 - 7)(6 - 3) - (3 - 10)} =-2{-4 + (-5)(3) -(-7)} = -2{-4 -15 +7} = -2{12} = 24
14
EJERCICIO 1
1. Verifica las siguientes adiciones y sustracciones:
a)
(4+5+3)+8=
e)
150 – [ ( 5 – 1 ) - ( 4 – 3 ) ] =
b)
60 – ( 8 + 5 + 7 ) =
f)
450 – [ 6 + { 4 – ( - 3 – 1 )}] =
c)
( 43 – 15 ) – 19 =
g)
500 – { 6 + [ ( 14 – 6 ) – ( 7 – 2 ) + ( 4 – 1 ) ]} =
d)
(9–4)+(3+2+5)=
h)
[8+(4–2)]+[9–(3+1)]=
2. Verifica los siguientes productos:
a) ( 20 –14 ) ( 8 – 6 ) =
b) ( 50 x 6 x 42 x 18 ) 9 =
c) ( 11 – 4 ) 5 – 4 ( 6 + 2 ) + 4 ( 5 – 3 ) – 2 ( 8 – 6 ) =
d) 6 [ 3 + ( 5 – 1 ) 2 ] =
3. Verifica los siguientes cocientes respetando la jerarquía de las operaciones:
a) 8 + 6  3 =
b) 6  2 + 8  4 =
c) (5 x 6 x 3 )  15 =
d) ( 9 – 6 )  3 + ( 15 – 3 )  ( 7 – 3 ) + ( 9  3 ) =
15
Problemas de aplicación
EJERCICIO 2:
1. Vendí una casa perdiendo $3189.00, preste $2006.00 y me quede con
$15184.00, ¿cuánto era el costo total de la casa?
2. Si vendo un caballo en $84,000.00, ganando $18,000.00, ¿cuánto me había
costado el caballo?
3. Compré 14 trajes a $300.00, 22 sombreros a $20.00 y 8 bastones a $50.00.
Vendiendo los trajes por $5,600.00, cada sombrero a $10.00 y cada bastón a
$30.00, ¿gano o pierdo? y ¿cuánto?.
4. Un padre de familia desea repartir equitativamente un terreno rectangular de
200 m x 25 m entre 8 familiares. ¿Cuál es el área que le toca a cada uno?
5. Un operador de una máquina motoconformadora gana $25.00 por hora. Si
trabaja 40 horas a la semana, ¿cuál es su sueldo mensual?
6. ¿Cuál será el costo de 12 piezas de acero que miden 42 m, si sabemos que
cada metro cuesta $ 6.00?
7. Un técnico de la construcción tiene que cortar trozos iguales de 2 tablones de
madera que tienen las siguientes longitudes: 9 y 15 m Respectivamente, ¿cuál
será la longitud máxima de cada trozo?
8. En una fábrica de perfumes se elaboran tres productos de diferentes
volúmenes: 120, 160 y 240 cm.3 respectivamente.
a)¿Qué volumen debe tener la caja en donde se van a empacar los perfumes
para que contengan un número exacto de cada uno de los productos?.
b)¿Cuántos productos de un mismo volumen cabrían en esa caja?
9. Se tienen dos hojas de lámina de aluminio, una tiene un área de 36 m 2 y la otra
de 48 m2, se van a cortar en piezas de igual superficie sin desperdiciar
material, ¿cuál será el área máxima de las piezas?
16
10. La siguiente figura representa el diseño de una pieza mecánica que se
instalará en una fabrica, en la cual se muestran varios orificios que se
encuentran a la misma distancia entre sí, ¿Cual es la distancia entre estos
orificios?.
10 m
10 m
40 m
17
1.1.3. Números racionales:
Arturo fue al mercado y realizo las siguientes compras:
1
3
Kg de carne, Kg de
2
4
1
azucar, 2 Kg de arroz y 1 Kg de frijol. ¿cuántos Kg compro en total entre todos
4
los productos?
Los números racionales son aquellos que se representan en forma de
fracción:
a
b
a y b son números enteros
b  0, porque la división por cero no existe
Los números enteros a y b reciben el nombre de “términos de la fracción”,
separados mediante una línea horizontal, como se muestra:
2
numerador
7
denominador
Indica las partes que se toman de la unidad
Indica el número de partes en que se divide
la unidad
Otras formas de representación son:
a
a) Como una división:
b) Como una razón:
b
a
= k = a  b (representación decimal)
(comparación de partes iguales “a” es a “b”)
b
18
Una fracción puede ser:
a) Impropia: Si el numerador es mayor que el denominador.
6
ejemplo:
5
b) Propia: Si el numerador es menor que el denominador.
3
ejemplo:
4
c) Mixta: Si está formada por una parte entera y una fracción propia.
ejemplo:
5
2
3
Fracciones equivalentes:
Son aquellas que se escriben en forma diferente, pero tienen el mismo valor.
ejemplos:
6
3
10
Es equivalente a
5
15
5
Es equivalente a
6
2
Las fracciones equivalentes son muchas y variadas, para hallarlas bastará con
multiplicar al numerador y denominador por un mismo número.
Ejemplos:
2
4
3
4
=
8
5
3
12
7
3
=
15
21
La comparación de cada par de números racionales, nos proporciona una razón
de orden, indicado con los símbolos:
>
Mayor que
<
Menor que
Las fracciones equivalentes con el signo = Igual
19
Para determinar si una fracción es mayor o menor que otra se efectúan los
siguientes pasos:
Ejemplo 1
Se escriben las fracciones separadas por un espacio es decir:
3
1
2
3
Multiplicar el numerador 3 de la primera fracción por el denominador 3 de la
segunda fracción: 3 x 3 = 9
Multiplicar el numerador 1de la segunda fracción por el denominador 2 de la
primera fracción: 1 x 2 = 2
Identificar el numerador que dé el mayor producto, el cual será la fracción mayor,
en este caso el producto mayor es 9, por lo que la fracción que tiene el numerador
3 es mayor, es decir:
3
>
2
1
3
que se lee tres medios es mayor que un tercio.
Ejemplo 2
Identifica cual de las siguientes fracciones es mayor
5
8
3
4
5 x 4 = 20
8 x 3 = 24
El mayor producto es 24 y corresponde al denominador 8 por lo tanto
5
8
<
que se lee cinco tercios menor que ocho cuartos.
3
4
20
Ejemplo 3
Identifica cual de las siguientes fracciones es mayor
1
-
3
-
2
2
-1x2=-2
-3x2=-6
El mayor producto es - 2 y corresponde al denominador 1 por lo tanto
1
-
>
2
-
3
2
que se lee menos un medio es mayor que menos tres medios.
Nota: recuerda que en el caso de los números negativos, el mayor es el que se
encuentra situado más a la derecha en la recta numerica.
Si los valores de los productos cruzados coinsiden, las fracciones son iguales
Ejemplo:
3
2
=
6
4
El producto 3 x 4 = 12 y el producto 6 x 2 = 12 . Por lo tanto las fracciones son
iguales.

EJERCICIO 2.
1. Al repartir un pastel a nueve personas, habrá que dividir el pastel en partes
iguales, a cada una de las partes se les llama:______________
21
2. Un padre de familia deja un terreno como herencia a sus tres hijos, el cual tiene
las siguientes dimensiones: 63 m de largo y 15 m de ancho ¿cuánto le
corresponde
en
fracción
de
terreno
a
cada
hijo,
si
se
reparte
equitativamente?__________________
¿Obtener la cantidad de área que le corresponde a cada hijo?
3. Escribe los símbolos de
>; < ó =, entre cada pareja de números racionales
según corresponda:
1)
3)
5)
7)
9)
4
2
7
5
1
2
2
4
6
3
10
8
1
3
3
9
3
3
4
7
2)
4)
6)
8)
10)
31
19
8
7
7
21
2
6
2
7
9
3
5
5
4
6
4
8
7
14
En las fracciones comunes, al igual que en los números enteros, se utilizan las
operaciones fundamentales de: suma, resta, multiplicación, división, potenciación
y radicación.
22
Las siguientes actividades
explican el significado de la suma y resta de
fracciones, de tal manera que podrás deducir la regla para sumar fracciones con
igual o diferente denominador.
Actividad No. 1 “ Suma y resta de fracciones con igual denominador”
Material que se utiliza para un equipo de 5 estudiantes:
10 hojas blancas tamaño carta.
Tijeras para papel.
Regla o escuadra.
Técnica:
a) Se corta la hoja en 4 partes iguales.
2
b) Se suman
4
1
+
4
3
=
4
c) Se empalman las tiras representativas en una hoja blanca que nos represente
el entero y se comprueba el resultado.
Actividad No. 2 “Resta de fracciones con el mismo denominador”.
Material por equipo:
10 hojas blancas tamaño carta.
Tijeras para papel.
Regla o escuadra.
Técnica:
a) Se siguen los pasos semejantes que la actividad 1, sólo que ahora en lugar de
empalmar tiras representativas de papel, se quitan.
2
4
-
1
4
=
1
4
23
Actividad No. 3 “Suma de fracciones con distinto denominador”.
Material:
80 hojas tamaño carta.
1
40 hojas con tiras de.
1
a
2
20
40 hojas con los dibujos indicados de las fracciones desde
1
2
Regla o escuadra
a
1
20
Lápiz o lapicero
Tijeras para papel
Técnica:
a) Que cada estudiante divida su hoja en mitades, tercios, cuartos, etc..... hasta
vigésimos respectivamente.
b) Se procede a efectuar operaciones como por ejemplo:
1
+
3
1
5
5+3
=
8
=
15
15
c) Hallando el común denominador los estudiantes, saben a quien deben acudir,
es decir en éste caso el estudiante que tenga dibujados los quinceavos, solicitará
las fracciones que se están sumando a los estudiantes que corresponda y
procediendo a empalmar las fracciones en la hoja de los quinceavos, obteniendo
así el resultado que concuerde con el inciso b.
Resta de fracciones con distinto denominador.
Material: el mismo de la práctica anterior.
Técnica:
a) Se procede a efectuar las operaciones
3
5
-
1
2
24
1
Para este caso, se empalma la fracción
en la parte derecha de los
2
leyéndose el resultado en el entero que represente a los decimos.
3
-
5
1
6-5
=
2
3
,
5
1
=
10
10
Nota: Comprueba los tres resultados con el uso de tu calculadora.
Multiplicación y división de fracciones:
a) Multiplicación:
Regla : Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.
El resultado se simplifica si es posible.
Ejemplos:
3
x
4
3
2
3
1
2
x
6
=
2
=
12
3
4
1
2
2
5
7
=
11
x
2
4
2
1
x
3
=
77
=
8
=
15
9
5
8
NOTA: En el producto de tres o más fracciones se efectúa el mismo
procedimiento.
b) División:
Para efectuar la división de fracciones veremos dos métodos a considerar los
cuales son:
Método 1:
Se multiplica el primer numerador por el segundo denominador y se coloca el
resultado como numerador de la nueva fracción, después se multiplica el primer
denominador por el segundo numerador y se coloca el resultado como
denominador de la fracción resultante,
simplificándose de ser necesario,
(comúnmente conocido como productos cruzados).
25
Ejemplo:
3

4
1
=
3
9
1
4
2

5
3
5
=
6
Método 2:
Se invierte la segunda fracción de la división y ésta se convierte en una
multiplicación de fracciones por lo que habrá que aplicar la regla ya conocida para
un producto de fracciones.
Ejemplo:
INVERTIR
5

3
5
2
6
=
x
3
6
2
30
=
6
=
5
INVERTIR
4

5
4
2
8
=
x
5
8
32
=
2
10
16
=
5

EJERCICIO 3:
1) Instrucciones: Resuelve los siguientes incisos utilizando las técnicas ya
explicadas y las prácticas elaboradas:
a) Contesta:
1. ¿Cómo está formada una fracción común?
2. ¿Qué nos representa el numerador y denominador de una fracción?
3. ¿Qué es una fracción impropia?
4. ¿Cómo se obtiene una fracción equivalente?
26
b) Resuelve:
5
1) 2
+
3
3
3)
4
-
3
5)
2
5
7)
4
9
9)
1
-
2
4)
=
6)
=
5
=
4
7
8)
3
-
+
3
7
=
1
3
-
=
1
5
-
=
2
7
4
10)
2
8
2
=
2
+
5
3
7
1
4
3
4
+
=
2
5
+
2)
=
2
9
=
c) Aplicando las reglas para productos y cocientes con fracciones resuelve lo
siguiente:
1)
5
x
9
3)
5
12
x
8
5)
3
x
4
3
9)
7
2
4)
=
4
6)
4
2
8)
2

x
2
3
27
=
3
8

=
12
4

=
6
9
7
10)
2
5
3
=
=

7
=
3
12
2
7
2

=
2
3
x
2)
3
4
5
7)
3
=
5
6
=
1.1.4. Números irracionales
¿Alguna vez has utilizado números irracionales?
Se desea calcular la longitud de un lado de una pista de baile de forma cuadrada,
cuya área es 16 u2
Definimos los elementos:
x = lado del cuadrado
x
A = 16 u2
A = área del cuadrado
La fórmula del área del cuadrado es:
A = ( x ) ( x ) = x2
x
Si A = x2 , obteniendo raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad, tenemos que:
=
X2
Por lo tanto
X
=
A
Sustituyendo el valor del área
X
=
16
A
El resultado obtenido es el número que multiplicado por si mismo nos da el valor
de 16 esto es ( 4 ) ( 4 ) ó ( -4 ) (-4 ), el valor negativo se desprecia , el valor del
lado del cuadrado es :
X=4u
28
¿Qué crees que sucedería, si el área del cuadrado fuera de 2 U2?
X
=
A
=
2
¿Qué número multiplicado por si mismo es igual a 2?
Si hacemos ( 1 ) ( 1 ) = 1 y ( 2 ) ( 2 ) = 4, entonces el número buscado deberá
estar entre 1 y 2.
Aproximándonos al número buscado, por ejemplo:
3
3
2
2
9
=
4
Este resultado es mayor que nuestro 2 por lo tanto, el número es menor de 1.5,
3
que es el equivalente en decimal a
; de lo anterior podrás observar que no
2
es fácil expresar 2 como el cociente de dos números.
Ahora recurre a tu calculadora y obtendrás:
2
=
1.4142135......
Por lo tanto podemos decir que
este es un número irracional
Definición de número irracional:
Número Irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos
números enteros. El conjunto de los números irracionales se representa por la
letra Q; como son:
2 , 17 ,
3
, entre otros, o constantes numéricas como:
5
, e, etc.
Cuando trabajamos con irracionales, éstos se aproximan a un racional,
dependiendo de la precisión deseada. Ejemplo:
 = 3.14 (con dos decimales).
 = 3.1416 (con cuatro decimales).
 = 3.14159265 (con ocho decimales)
 = 3.1415926535897932384626433832795 (con 31 decimales)
29
Observa los siguientes números y subraya los irracionales:
;
2
16
;
4
;
9
3
5
;
 = 3.14156 . . .
Investiga si en otras materias se usan números irracionales.
Actividad No. 1
Comprobación aproximada del valor del número irracional .
Material:
Tapas circulares de diferentes tamaños
Cinta métrica
Regla
Lápiz y borrador
Procedimiento:
Se miden el perímetro y el diámetro de cada tapa anotando en una tabla los
valores correspondientes.
Se divide el valor del perímetro entre el valor del
diámetro y se anota en la tabla.
Tabla sugerida:
PERÍMETRO
TAPA
PERÍMETRO
DIÁMETRO
DIÁMETRO
1
2
3
30
Observa que todos los resultados obtenidos tienen un valor aproximado de 3.1.....,
no importando el tamaño de la tapa, a este valor se le llamo “ ”.
1.1.5. Números reales
USO COTIDIANO DE LOS REALES:
En una planta industrial los trabajadores tienen una jornada diaria de trabajo de 8
horas de lunes a sábado. Todo trabajo realizado después de este tiempo se
contabiliza como tiempo extra y se lleva un registro por trabajador.
La empresa paga el salario mínimo durante el tiempo normal y por cada hora extra
paga el doble, de lunes a viernes. Paga el triple, por tiempo extra del sábado,
y
si labora en domingo paga el cuádruple por hora trabajada. El supervisor de
producción recopiló la siguiente información de un equipo de trabajo:
HORAS DIARIAS TRABAJADAS
NOMBRE
LUN. MAR. MIE. JUE.
VIE.
SAB.
DOM.
A. MARTÍNEZ
8
9.5
12.4
11.3
8
12.5
3.1
J. CRUZ
8
8.5
9.3
9
8.5
9.4
2
R. NAVARRETE
10
9.6
12.5
8
11.5
8.3
3.5
HERNÁNDEZ
8
8
8
8.7
8
9
0.0
R. ALBOR
8.5
9.8
8.7
8
9.3
9.5
2.5
N. AGUILAR
9
9.5
8.2
8
8
10.5
3.5
31
C. FERNÁNDEZ
8.5
8.5
9.5
10.3
10.5
9.7
2
EJERCICIO 4

1. ¿Qué trabajador ha laborado el mayor número de horas de trabajo
semanalmente?
R. ___________________________________________
2. ¿Cuál es el trabajador que laboró el menor número de horas extras?
R. ___________________________________________
3. ¿Cuánto ganó Martínez por su horario normal?
R. ___________________________________________
4. ¿Cuánto pagó la empresa a la semana por este equipo de trabajo?
R. ___________________________________________
5. ¿Cuánto pagó la empresa por las horas extras?
R. ___________________________________________
6. Por el horario normal ¿cuánto pagó la empresa?
R. ___________________________________________
7. Sí estos empleados trabajaran bajo el mismo ritmo durante un mes ¿Cuál
sería la nómina a pagar mensualmente?, ¿Cuánto al año?
R. ___________________________________________
32
Números reales:
El conjunto de números reales está formado por el conjunto de números
racionales e irracionales y pueden ser positivos o negativos, pueden ser
representados en una recta numérica continua observándose que a cada número
le corresponde “uno y solo uno” de los puntos de la recta, por ejemplo dado R =
7, , 3/5,
4
{-
}
4
-7
0
3

5
Se pueden realizar entre ellos las 4 operaciones básicas, la potenciación y la
radicación.
Potenciación:
Es el resultado que se obtiene al multiplicar la base por si misma cuantas veces lo
indique el exponente: an = ( a )( a )( a ) . . .
BASE
53 = (5)(5)(5) = 125
EXPONENTE
33
POTENCIA
Base: Es el número que se multiplica por si mismo.
Exponente: Indica el número de veces que se toma como factor la base.
Potencia: Es el resultado de la operación.
Para el cálculo de potencias enteras de números racionales es necesario conocer
las propiedades o leyes de los exponentes.
am
 amn
n
a
m>n
am
an
am
 amn  a0  1
n
a
m =n
am
1
 nm
n
a
a
m <n
1.-Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, sus exponentes se
suman.
Ejemplo:
( 32 ) ( 3 4 ) = 3 2 + 4 = 3 6
2. Cuando dos potencias de la misma base se dividen, es igual a la misma base y
se eleva a la diferencia de los exponentes, es decir, el del numerador menos
el del denominador.
Ejemplo:
36
=
36-2
=
34
32
3. Si una potencia se eleva a un exponente, se escribe la base elevada al producto
de los exponentes.
Ejemplo:
( 52 )3 = 5(2)(3) = 56
4. Si un término cualquiera formado por dos o más factores se eleva a un
exponente, éste afecta por igual a cada factor.
34
Ejemplos:
a)
( 3 x 8)2 = 32 x 82
2
3
b)
32
=
82
8
5. Si una cantidad está elevada a un exponente negativo, es igual a una fracción,
donde el numerador es la unidad y el denominador es la misma cantidad con
exponente positivo, como se muestra enseguida:
Ejemplos:
4-2 =
a n bm
.

b m a n
1
1

 53
3
1
5
53
1
;
42
6.-. Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a la unidad
Ejemplo
25
 25  5  2 0  1
25
25
1 ;
25
;
2 0 1
Radicación:
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
82
=
64
=
64
8
Un radical, también puede expresarse en forma de una potencia de exponente
fraccionario, siendo la base de la potencia el radicando, el numerador del
exponente será el exponente del radicando, y el denominador el índice de la raíz.
Exponente del
Radicando
Radical
Índice
n
m
an
=
Exponente
fraccionario
am
Base
Radicando
35
5
Ejemplo:
x x
3
3
5
3
;
5
7
5
7
3
Reglas de los signos de radicación:
a) Si el índice es impar y el radicando es positivo, la raíz es única y positiva
3
64  4
7
;
128  2
b) Si el índice es impar y el radicando es negativo, la raíz es única y negativa
3
 64  4
;
9
 512  2
c) Si el índice es par y el radicando es positivo, existen dos raíces de igual valor
absoluto, pero de diferente signo
25a 4  5a 2
;
6
4096  4
d) Sí el índice es par y el radicando es negativo, no hay solución en el campo de
los números reales, ya que su resultado es visto en el campo de los números
imaginarios.
No hay solución en el campo de los números
reales, porque no existe un número que al
7  i 7
multiplicarse por si mismo nos de un resultado
igual a – 7.
Simplificación de radicales:
Simplificar un radical, significa escribirlo en su forma más simple. Ejemplo:
12
Simplificar
Solución:
Descomponer el 12 en sus factores primos:
12
6
3
1
2
2
3
36
Significa que 12 se puede escribir de la forma :
12 = 2 x 2 x 3 , esto es; 12 = 22 x 3
Cambiando la expresión de
=
=12
22 x 3
12
=
12
=
22
2
x
3
3
Ejemplo:
3
Simplificar
432
Solución: Se descompone en factores primos el número 432
432
216
108
54
27
9
3
1
2
2
2
2
3
3
3
Significa que 432 se puede escribir como: 432 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3, por la ley
de los exponentes podemos escribir esta expresión como: 432 = 24 x 33, como el
índice de la raíz es 3, entonces, escribimos esta expresión en función del índice de
la raíz: 432 = 23 x 2 x 33, esto es, que:
3
432  3 (23 )( 2)(33 ) Efectuando las operaciones, se tiene:
3
(23 )( 2)(33 )  (2)(3)3 2  63 2
Ejemplo:
37
Simplificar:
32
Expresamos la raíz de la raíz, en función de un solo radicando, es decir:
32 
4
32
=
Descomponiendo el 32 en 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 24 2
Se multiplican
los índices de
los radicales.
Por lo tanto:
4
32  4 24 (2)  24 2
OPERACIONES CON RADICALES.
SUMA Y RESTA DE RADICALES.
Para sumar o restar dos o más radicales, se suman o restan los radicales que
sean semejantes, es decir, aquellos que tengan el mismo radicando e índice.
Ejemplo 1.
Realizar la suma de los siguientes radicales
3  5 3  2 3  (1  5  2) 3  4 3
Ejemplo 2.
Realizar la suma de los siguientes radicales
a  4 a  2 b  5 b  (1  4) a  (2  5) b  5 a  7 b
Ejemplo 3.
Realizar la suma de los siguientes radicales
12  128  50  200
Para resolver este tipo de ejercicios primero se debe simplificar cada uno de los
radicales que intervienen en la suma.
12  4 * 3 = 2 3
38
128  64 * 2 = 8 2
50  25 * 2 = 5 2
200  100 * 2 = 10 2
Quedando la expresión de la siguiente manera.
2 3 + 8 2 + 5 2 + 10 2 = 2 3 + (8+5+10) 2 = 2 3 + 23 2
Observa que los radicales que no son semejantes se dejan indicados en la
operación.
Ejemplo 4.
Realizar la suma y la resta de los siguientes radicales.
3
24  3 192  3 81
Simplificando la expresión se obtiene:
3
24  3 23 (3) = 2 3 3
3
192  3 43 (3) = 4 3 3
3
81  3 33 (3) = 3 3 3
quedando la expresión de la siguiente manera:
2 3 3 - 4 3 3 + 3 3 3 = (2-4+3)
3
3 =
3
3
Ejemplo No. 5.
Realiza la siguiente suma y resta de radicales.
3 6 -5
=3 6 -5
3
= 3 6 -5
= 3
2 + 4 24 + 2 3 128
3
6 -5
2 +4
3
3
(4)(6) + 2
2 + 4(2)
2 +8
3
(64)( 2)
6 + 2 (8)
6 + 16
3
3
2
2
= ( 3 + 8 ) 6 + ( - 5 + 16 ) 3 2
= 11
6 + 11
3
2
39
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES.
En expresiones del mismo índice se multiplican los coeficientes del radical y los
radicandos conservando el misma índice del radical.
Ejemplo 1.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales.
(4
5 )( 8
5 ) = ( 4)(8)
(5)(5) = 32
25 = (32)(5) = 160
Ejemplo 2.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales.
(5
3 )( 6
2 ) = (5)(6)
(3)( 2) = 30
6
En las expresiones de diferente índice o radicando: se aplica la siguiente ley de los
radicales.
(
n
a x )(
m
by ) =
nm
(a mx b ny )
Ejemplo 3.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales.
( 1 2 )( 2
3
2 ) = ( 1)( 2)
( 2)(3)
2 =2
6
2
Ejemplo 4.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales
( 2 3 24 )( 6
15
5
32 ) = ( 2)( 6)
( 3)( 5)
(2( 4)(5) )(3(3)( 2) ) = 12
(215 )(25 )(36 )
= ( 12)( 2) 15 (25 )(36 ) = 24
15
(32)(729) = 24
40
15
23328
15
(220 )(36 ) = 12
Explica con tus propias palabras el principio o ley para multiplicar radicales con
diferente índice.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
DIVISION DE RADICALES.
En las expresiones del mismo índice, se dividen los coeficientes de los radicales y
de los radicandos, conservando el mismo radical.
Ejemplo 1.
Realizar la siguiente división de radicales
6 14 6 14

2 2
3 7
3 7
Ejemplo 2.
Realizar la siguiente división de radicales
3

15
El resultado
3

5*3
1
1

5
5
1
se debe racionalizar, para ello, se multiplica el numerador y el
5
denominador por el radical del denominador.
Tomemos la expresión como ejemplo para racionalizar
1
5
5
5
)( ) 

5
5
5
25
(
El objetivo de racionalizar es que ningún radical debe quedar en el
denominador
Ejemplo 3.
Racionalizar la expresión
(
3
7
(3)(7)
3
7
)( ) 

7
7
(7)(7)
21
21

7
49
41
División de radicales con diferente índice o radicando.
Se transforman los radicales hasta obtener índices o radicandos comunes, se
dividen los coeficientes y los radicándoos, conservando el radical común y se
simplifica la expresión.
Ejemplo 4.
3
5
1/ 3
5
15
6 6
6
= 1/ 5 = 3 
2 2
2 15
15
6 5 15 7776 15

 972
8
23
Observa que las expresiones que tienen el mismo índice son,
65 / 15
, ahora
23 / 15
transformándola nuevamente a radical tendremos:
15
15
65
2
3
=
15
65
=
23
15
(2 5 )(35 )
=
23
15
(22 )(35 )  15 972
Otra forma de resolver radicales con diferente índice es aplicando la fórmula
siguiente:
n ax
m y
b
 mn
a mx
bny
Ejemplo 5.
Resuelva la expresión:
5
52
4
73
 (5)( 4)
5( 4)( 2) 20 58 20
390625


 20 8.227908144 x108  0.442348411
( 5)( 3)
15
12
7
7
4.747561509 x10
EJERCICIO 5

Resuelve los siguientes ejercicios:
42
1.
2592
2.
3.
68
4.
5.
27
4
6.
1250
8.
4
1280
10.
3
7.
4
9.
3888
3
250
3
48
216
32
81
4158
EJERCICIOS. 6
1.-
3  2 3  7 3  10 3 
2.-
3.-
12  2 108  7 3  10 5  2 20 
4.
8
5.-
50

125
6.-
 3
7.-

9.-

3
5
2
3

4

6
5
4
5
8

5  2 3  7 5  10 3 
10.-
Actividad No. 5.
Conocimiento de los números reales:
Material:
1 hoja de papel de cuadrícula grande.
1 tijera para papel.
1 regla o escuadra.
1 lápiz y borrador.
43
12
3

7

3
8.-


3  2 3 12 
3


3  2 3  7 3  10 3 
Desarrollo:
Dibujar un cuadrado de 10 x 10 y cortarlo, numerándolo del 1 al 100 como se
indica:
1 2
20 19
21 22
40 39
41 42
60 59
61 62
80 79
81 82
100 99
3
18
23
38
43
58
63
78
83
98
4
17
24
37
44
57
64
77
84
97
5
16
25
36
45
56
65
76
85
96
6
15
26
35
46
55
66
75
86
95
7
14
27
34
47
54
67
74
87
94
8
13
28
33
48
53
68
73
88
93
9
12
29
32
49
52
69
72
89
92
10
11
30
31
50
51
70
71
90
91
Utilizando la tabla anterior realiza las siguientes operaciones:
a) Determina la suma de la primera columna
1 + 20 + 21 + 40 + 41 + 60 + 61 + 80 + 81 + 100 = 505
b) Determina la suma de la primera fila
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +8 + 9 + 10 = 55
Determina la suma de la segunda fila
20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 = 155
Determina la suma de la tercera fila
21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 255
c) Observa los resultados del inciso anterior. ¿Podrías predecir el resultado de la
suma de la cuarta fila? ____________ ¿cuál será? _______________.
44
5. Una fábrica requiere construir un nuevo almacén que le de un espacio de
5000 m2, si el almacén va ha ser cuadrado, ¿cuántos metros tendrá por
lado?
A = 5000 m2
l
l = lado del cuadrado
I=
A = 5000m2
I=
A
5000
La fórmula del área del
I=
cuadrado es: A = ( l ) ( l ) = l2
70.71 m
l
Apoyado en la recta numérica y usando números reales resuelve los
siguientes ejercicios:
1. Si Luis Miguel tiene $10.00 y le pagan $4.00 que le debían:
a) Representa esto en una recta numérica
R=
10
0
14
b) Hacer la operación con números reales:
R = ____________________________
2.
Juan Manuel tiene un peso de 100 kg., se puso a dieta. En el primer mes bajó
9 kg., y en el siguiente mes bajo 11.4 kg. ¿cuál es su peso después de los dos
meses de dieta?
R = ____________________________
3. Grafíca en la recta numérica los siguientes números reales:
3
,  8 , 2
4
3
45
-
1
3
,
16
0
4. Escribe en forma de potencia, los siguientes productos:
a) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) =
R= __________________________
b) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) =
R= __________________________
c) ( -6 ) ( -6 ) =
R= __________________________
5. Resuelve las operaciones que se indican, aplicando las Leyes de los Radicales:
a)
25

36
b)
46
4

9
1.2. Razones y proporciones
Actividad No. 6.
El objetivo es establecer comparaciones para comprender los conceptos de razón
y proporción.
Material:
Una cubeta de plástico.
Un recipiente de dos litros.
Un recipiente de 100ml, (0.1 litro)
Agua
Desarrollo:
De una cubeta llena de agua, vierte el contenido en el recipiente de dos litros,
hasta completar un litro y medio, ayudado por el recipiente de 100 ml.
Observa cuantas veces se tuvo que llenar el recipiente de 100 ml.
Haz la comparación entre litro y medio y 100 ml de los dos recipientes.
Conclusión:________________________________________________________
__________________________________________________________________
¿Cuál es el resultado de dividir 1500 ml (1.5 lts.) entre 100 ml.?, ¿será esta la
operación
una
razón?._________________________________________________________
47
Razón: Es la relación comparativa que existe entre dos cantidades de la misma
especie. Cuando se comparan dos cantidades, pueden hacerlo por diferencia
(razón aritmética) y por cociente (razón geométrica).
La razón se compone de dos términos, antecedente y consecuente, ejemplo:
Antecedente
9
-
5
9
consecuente
Antecedente
5
consecuente
Proporción: Se define como la igualdad entre dos razones y se escribe como:
6 - 4 = 10 - 8
Proporción aritmética
Proporción geométrica
2
2 : 1 :: 6 : 3
6
=
1
Razón
3
Razón
Proporcionalidad: Dos cantidades son proporcionales cuando al variar una de
ellas, la otra también varía.
Proporcionalidad directa: Cuando al aumentar una cantidad la otra también
aumenta o cuando disminuye una la otra también lo hace.
Proporcionalidad inversa: Cuando al aumentar una cantidad la otra disminuye o
cuando disminuye una de ellas la otra aumenta.
48
Tanto por ciento: Se llama Tanto por ciento de una especie ó unidad, a una ó
varias de las cien partes en que se puede dividir dicha especie ó unidad; y se
simboliza por:
% 
n
100
Ejemplos:
1. La mamá de Luis va a comprar tela para mandar hacerse un vestido. El metro
de tela de popelina cuesta $ 15.00, mientras que el de seda cuesta $ 90.00.
¿cuántos metros de popelina puede comprar?, con el dinero que necesita para
la compra de un metro de seda?. Y ¿ cuál es la diferencia entre el costo de un
metro de seda y un metro de popelina?
Datos:
Precio del metro de popelina = $15.00
Precio del metro de seda = $90.00
X = diferencia de precio de seda y popelina
Y = cociente de precio de seda entre popelina
Operaciones:
X = precio de 1m de seda – el precio de 1m de popelina
X = $90.00 - $15.00
X = $75.00; este resultado se le llama razón aritmética
Y =
Costo de un metro de seda
Y =
Costo de un metro de popelina
49
$90.00
= 6
$15.00
Y = 6 veces más caro el metro de seda; a este resultado se le llama
razón geométrica
2. Un estudiante del C.E.T.i.s. No. 163 va a comprar sus útiles escolares y
cursará 7 materias; en cada una utilizará una libreta que le cuesta $15.00
¿cuánto tendrá que pagar por 7 libretas?
Datos:
Una libreta = $15.00
7 libretas = $X
Operaciones:
1
7

15 x
o
115: :7 : x
a esta igualdad se le llama proporción
Despejando X resulta:
X = ( 7 ) ( 15 )
X = $105.00
Se observa que a más libretas compradas más dinero gasta, a esto se le llama
proporción directa.
3. Dos estudiantes de computación tardan en capturar un trabajo 2.5 hrs.; 5
estudiantes ¿cuánto tiempo necesitan para realizarlo?
Datos:
2 estudiantes
5 estudiantes
tiempo 1 = 2.5 hrs.
tiempo 2 = X
Operaciones:
Procediendo en forma directa quedaría:
50
2 2.5

5
x
x
en donde
(5)( 2.5)
 6.25 hrs.
2
Esto es un error ya que no es posible que 5 estudiantes ocupen más tiempo en
realizar el trabajo, lo cual nos indica que la proporción no es directa, sino inversa,
y procedemos de la siguiente manera:
Se invierte cualquiera de las razones para convertir a proporción inversa, es
decir:
2
x

5 2.5
x
(2.5)( 2)
 1 hr. Este resultado es el correcto.
5
1. Pedro tiene $20.00 y Juan $10.00, ¿Cuáles son las razones aritmética y
geométrica de lo que tiene Pedro en relación a lo que tiene Juan?
R = Razón aritmética = $10.00
Razón geométrica = El doble
2. El costo normal de un refrigerador es de $8,200.00, pero al pagar al contado
se hace un descuento del 12%, ¿Cuánto paga un cliente al adquirir de contado
el refrigerador? R = $7,216.00
3. La distancia de una ciudad a otra es de 220 km., un autobús tarda en recorrer
ésta distancia 2.75 hrs. a 80 km/hr, ¿Cuánto tardará en recorrer la misma
distancia si aumenta la velocidad a 110 km/hr? R = 2 hrs
4. Si al papá de Juan le aumentan el sueldo en un 10%, a la quincena ganaría
$3,795.00, ¿Cuánto gana actualmente?. R = $3,450.00
5. En un grupo de 54 estudiantes, el 33.33% son mujeres, ¿Cuántos hombres hay
en el grupo?. R = 36 hombres
6. Si una camisa cuesta $60.00 y tiene un descuento del 20%. ¿Cuánto pagó?.
R = $48.00
51
7. Un agricultor quiere comprar un tractor que le cuesta $130,000.00, pero él tiene
$80,000.00 y le han prometido rebajarle un 12% de lo que pueda pagar al contado
lo restante lo pagará en letras mensuales cargadas al 8%, ¿Cuánto pagará el
agricultor finalmente?. R = $57,152.00
8. Calcule el porciento indicado en cada caso:
 20% de 50
R = 10
 140% de 1000
R = 1400
 0.5% de 200
R=1
9.- En la plaza Cristal, ofrecen un descuento del 35% en el departamento de
farmacia. Una señora compró medicinas por un monto de $1300.00. ¿ Cuánto
pagó en total, considerando su descuento? R = $845.00
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