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Matemática 10 Grado. I.E. Dolores María Ucrós de Soledad. INSEDOMAU
Segundo Período
Profesor: Blas Torres Suárez. Versión 3.0
Segundo Periodo
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA (2)
Derechos básicos de aprendizaje: Comprende y utiliza la ley del seno y el
coseno para resolver problemas de matemáticas y otras disciplinas que
involucren triángulos no rectángulos. (ver DBA #12 grado 10º. Página 3 de
5. Ministerio de Educación Nacional (2015). Derechos Básicos de Aprendizaje.
Bogotá.
Indicadores de logros:

Aplicar las leyes del seno y del coseno, para resolver problemas que se
puedan modelar mediante triángulos oblicuángulos.
Secuencias de aprendizaje:
Solución de triángulos oblicuángulos: Ley del seno, Ley del coseno.
Problemas que dan origen a triángulos oblicuángulos.
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Elementos de Trigonometría (2)
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo. Los elementos de
un triángulo oblicuángulo son los tres ángulos y los tres lados respectivos.
Los ángulos se acostumbran a representar por letras mayúsculas y los lados
por letras minúsculas correspondientes a los vértices opuestos, así:
Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres
de sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de
los cuales ha de ser un lado).
Para resolver un triángulo rectángulo utilizaremos tres herramientas:
La suma de los tres ángulos de un triángulo
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 1800
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶
Teorema o ley del seno
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2. 𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2. 𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2. 𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶
Teorema o ley del Coseno
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Ley del seno:
Si 𝐴𝐵𝐶, es un triángulo oblicuángulo cuyos ángulos son 𝐴 , 𝐵, 𝐶 y sus lados
opuestos 𝑎, 𝑏, 𝑐 respectivamente, entonces:
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
ó
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐
En forma general: En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y
la longitud del lado opuesto es igual la razón entre el seno de otro ángulo y la
longitud del lado opuesto a ese otro ángulo.
La ley de seno es particularmente útil, si se conoce:
a) 2 lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)
b) 2 ángulos y cualquier lado.
Ejemplo 1: Resolver el siguiente triángulo:
Solución: Primero asignemos letras a los vértices y lados del triángulo y así
reconocemos elementos conocidos y desconocidos:
Elementos conocidos :
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝐴 𝑦 𝐶 𝑦 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑏
< 𝐴 = 26°, < 𝐶 = 19°, 𝑏 = 5 𝑑𝑎𝑚
Elementos desconocidos:
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵 𝑦 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎 𝑦 𝑐
< 𝐵 =? ; 𝑎 = ? ; 𝑐 =?
El ángulo 𝐵, se puede calcular sabiendo que < 𝐴 + < 𝐵 + < 𝐶 = 180°,
entonces < 𝐵 = 180° − (< 𝐴 + < 𝐶), o sea:
< 𝐵 = 180° − (26° + 19°) = 180° − 45° = 135°; < 𝐵 = 135°
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𝑎
𝑏
Ahora podemos calcular el lado 𝑎, aplicando 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵 (porque se conocen <
𝐴, < 𝐵 𝑦 𝑏 ), remplazamos los valores conocidos y quedaría así:
𝑎
𝑠𝑒𝑛26°
5
= 𝑠𝑒𝑛135°, ahora bien, si despejamos queda 𝑎 =
5 𝑠𝑒𝑛26°
𝑠𝑒𝑛135°
= 3,09;
luego 𝑎 = 3,09
𝑐
𝑏
Finalmente, podemos calcular el lado 𝑐, aplicando 𝑠𝑒𝑛 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵 (porque se
conocen: < 𝐶, < 𝐵 𝑦 𝑏 ), remplazamos los valores conocidos y quedaría así:
𝑐
5
= 𝑠𝑒𝑛135° , ahora si despejamos queda 𝑐 =
𝑠𝑒𝑛19°
con lo cual queda resuelto el triángulo.
5 𝑠𝑒𝑛19°
𝑠𝑒𝑛135°
= 2,30; luego 𝑐 = 2,30
Nota:
En el ejercicio anterior, el lado 𝑏 mide 5 𝑑𝑎𝑚 (5 𝑑𝑒𝑐á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠), por tanto las
respuestas son: 𝑎 = 3,09 𝑑𝑎𝑚 y 𝑐 = 2, 30 𝑑𝑎𝑚, durante el desarrollo del ejemplo
escribimos 5, en lugar de 5𝑑𝑎𝑚, para agilizar su manejo; en los demás
ejemplos de este módulo asumiremos que las medidas de los lados utilizan las
mismas unidades de longitud, por lo cual no las tendremos en cuenta en el
desarrollo de los ejemplos
Ejemplo 2: Resuelve el triángulo, si se conocen los siguientes datos:
< 𝐴 = 103°, 𝑎 = 40 𝑐𝑚, 𝑏 = 31 𝑐𝑚
Solución: Elaboremos un gráfico para representar los datos:
Elementos conocidos :
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴 𝑦 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎 𝑦 𝑏
< 𝐴 = 103°, 𝑎 = 40 𝑐𝑚 , 𝑏 = 31 𝑐𝑚
Elementos desconocidos:
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝐵 𝑦 𝐶 𝑦 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐
< 𝐵 =? ; < 𝐶 = ? ; 𝑐 =?
Aplicamos
40
𝑠𝑒𝑛 103°
=
𝑠𝑒𝑛𝐵 =
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
31
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑠𝑒𝑛 𝐵
, (para calcular < 𝐵, porque se conocen < 𝐴, 𝑎 𝑦 𝑏 ),
, (remplazando)
31.𝑠𝑒𝑛103°
40
𝑏
(despejando)
Luego sen 𝐵 = 0,755, entonces 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛−1 (0,755) = 49,02°, 𝐵 = 49,02°
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El ángulo 𝐶, se puede calcular sabiendo que < 𝐴 + < 𝐵 + < 𝐶 = 180°, entonces
< 𝐶 = 180° − (< 𝐴 + < 𝐵), o sea:
< 𝐶 = 180° − (103° + 49,02°) = 180° − 152,02° = 27,98°; < 𝐶 = 27,98°
Finalmente, aplicamos
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
, (para calcular 𝑐, porque se conocen 𝑎, <
𝐴, 𝑦 < 𝐶 )
40
𝑠𝑒𝑛 103°
𝑐=
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 27,98°
40𝑠𝑒𝑛27,98°
𝑠𝑒𝑛 103°
(remplazando)
= 19,26 ; (despejando)
Entonces 𝑐 = 19,26 𝑐𝑚 , con lo cual queda resuelto el triángulo.
Ejemplo 3:
Dos puestos de observación 𝐴 𝑦 𝐵 están colocados a lo largo de la costa
(separados por 10 millas), para vigilar la llegada ilegal de barcos que rebasen
el límite de 3 millas. Si el vigilante 𝐴 informa que hay un barco 𝑆 en un ángulo
𝐵𝐴𝑆 = 37° y el B informa que el mismo barco está en un ángulo 𝐴𝐵𝑆 = 20°;
¿A qué distancia del puesto 𝐴 se encuentra el barco? ¿A qué distancia de la
costa se encuentra el barco (si se supone que la costa es una línea recta a lo
largo de los dos puestos de observación)?, ¿Ha rebasado el barco el límite de
aguas territoriales?
Solución: hagamos una interpretación gráfica del problema:
𝑆: posición del barco
𝐴 𝑦 𝐵: puestos de observación
𝑏: distancia del barco al puesto 𝐴
El ángulo 𝑆, se puede calcular sabiendo que < 𝐴 + < 𝐵 + < 𝑆 = 180°, entonces
< 𝑆 = 180° − (< 𝐴 + < 𝐵), o sea:
< 𝑆 = 180° − (37° + 20°) = 180° − 57° = 123°; < 𝑆 = 123°
Ahora aplicamos ley del seno en el triángulo 𝐴𝐵𝑆, así:
𝑠
𝑠𝑒𝑛 𝑆
=
10
𝑠𝑒𝑛 123°
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
, (para calcular 𝑏, porque se conocen 𝑠, < 𝑆, 𝑦 < 𝐵 )
𝑏
𝑠𝑒𝑛 20°
(remplazando)
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𝑏=
10𝑠𝑒𝑛20°
𝑠𝑒𝑛 123°
= 4,07 ; (despejando)
O sea, la distancia entre el barco 𝑆 y el puesto de observación 𝐴, es
4,07 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠.
Para determinar la distancia entre el barco y la costa, apoyémonos en el
siguiente gráfico:
Segmento 𝑆𝐶 o 𝑑: distancia del barco
a la costa.
Segmento 𝐴𝐵: línea costera
𝑆𝐶 ⊥ 𝐴𝐵, 𝑆𝐶 es perpendicular a 𝐴𝐵
En el triángulo rectángulo 𝐴𝐶𝑆, con ángulo recto en 𝐶, 𝑑 representa el cateto
opuesto al ángulo 𝐴 y 𝑏 la hipotenusa, entonces:
𝑑
𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑏 , o sea 𝑠𝑒𝑛37° =
𝑑
4,07
entonces 𝑑 = 4,07𝑠𝑒𝑛37° = 2,44
O sea, la distancia entre el barco 𝑆 y la costa, es 2,44 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠, de tal manera que
el barco está violando el límite de aguas territoriales
Ejercicios 1: Resolver los siguientes triángulos:
a)
b)
c)
d)
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Ejercicios 2: Problemas de Aplicación:
1) Se localiza un fuego F desde dos estaciones de prevención de incendios, A
y B, las cuales están a 10 millas de distancia. Si la estación B informa que el
fuego está en un ángulo ABF= 53° y la estación A lo informa en ángulo BAF=
29°, ¿a qué distancia está el fuego de la estación A? ¿de la estación B?.
2) Los árboles más grandes del mundo crecen en el Parque Nacional de
Redwood en California; estos árboles son más grandes que el largo de un
campo de futbol.
Encuéntrese la altura de uno de esos árboles, a partir de la información dada
en la figura.
3) Como se muestra en la figura, un teleférico transporta pasarejos desde el
punto A, que está a 1.2 millas del punto B que se halla en la base de una
montaña, hasta un punto P de la cima. Los ángulos de elevación a P desde A y
B son 21° y 65° respectivamente.
a) Calcular la distancia entre A y P
b) Calcular la altura de la montaña.
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Ley del coseno:
Si 𝐴𝐵𝐶, es un triángulo oblicuángulo cuyos ángulos son 𝐴 , 𝐵, 𝐶 y sus lados
opuestos 𝑎, 𝑏, 𝑐 respectivamente, entonces:
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2. 𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2. 𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶
En forma general: El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo
es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados,
menos el doble producto de las longitudes de los mismos lados por el coseno
del ángulo entre ellos.
La ley de coseno es utilizada para resolver un triángulo del cual se conocen
dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL), o sus tres lados (LLL), en
estos casos no es útil aplicar la ley del seno.
Ejemplo 1:
Resuelve el triángulo, si se conocen los siguientes datos:
𝑎 = 40 𝑐𝑚, 𝑏 = 25 𝑐𝑚, 𝑐 = 20 𝑐𝑚
Solución: Elaboremos un gráfico para representar los datos:
Elementos conocidos :
𝐿𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐
𝑎 = 40 𝑐𝑚, 𝑏 = 25 𝑐𝑚, 𝑐 = 20 𝑐𝑚
Elementos desconocidos:
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶
< 𝐴 =? ; < 𝐵 =? ; < 𝐶 = ?
Aplicando la ley del coseno tenemos: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐(𝑐𝑜𝑠𝐴)
O,
𝑐𝑜𝑠𝐴 =
𝑐𝑜𝑠𝐴 =
𝑏2 + 𝑐 2 −𝑎2
2𝑏𝑐
𝑏2 + 𝑐 2 −𝑎2
2𝑏𝑐
=
(despejando)
(25)2 + (20)2 −(40)2
2(25)(20)
=
625+400−1600
1000
= −0,575
Si 𝑐𝑜𝑠𝐴 = −0,575, entonces 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (−0,575) = 125,09° 𝐴 = 125,09°
Igualmente, 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐(𝑐𝑜𝑠𝐵), entonces:
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𝑐𝑜𝑠𝐵 =
𝑎2 + 𝑐 2 −𝑏2
2𝑎𝑐
=
(40)2 + (20)2 −(25)2
2(40)(20)
=
1600+400−625
1600
= 0,859
Si 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 0,859, entonces 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (0,859) = 30,79° 𝐵 = 30,79°
Finalmente 𝐶 = 180° − (𝐴 + 𝐵) = 180° − (125,09° + 30,79°) = 24,12°
Entonces 𝑐 = 24,12°, con lo cual queda solucionado el triángulo
Ejemplo 2:
Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que
forman un ángulo de 37°. Uno va a 15 𝑘𝑚⁄ℎ, y el otro a 25 𝑘𝑚⁄ℎ. Determinar a
qué distancia se encuentran separados después de 2 horas de viaje.
Solución:
Si han transcurrido 2 horas los trenes habrán recorrido 30 𝑘𝑚 y 50 𝑘𝑚,
respectivamente, la interpretación gráfica podría ser así:
𝐶: posición de la estación de donde parten los
trenes
𝐴: posición de un tren después de 2 horas
𝐵: posición del otro tren
𝑐: distancia entre los trenes después de 2
horas (es el dato buscado)
Con base en los datos conocidos podemos aplicar la ley del coseno así:
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶; O sea:
𝑐 2 = 302 + 502 − 2(30)(50). 𝑐𝑜𝑠37°
𝑐 2 = 900 + 2500 − 3000. 𝑐𝑜𝑠37°
𝑐 2 = 3400 − 3000. 𝑐𝑜𝑠37° = 3400 − 3000(0,79) = 3400 − 2370 = 1030, luego:
𝑐 = √1030 = 32,09
Entonces, transcurridas 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 de haber partido de la estación los trenes
estarán separados 32,09 𝑘𝑚
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Ejercicios 1:
Resolver los siguientes triángulos:
a)
b)
c)
d)
Ejercicios 2: Problemas de Aplicación:
1) Dos lados adyacentes de un paralelogramo forman un ángulo de 35° y
tienen una longitud de 3 y 8 centímetros. ¿Cuál es la longitud de la
diagonal más corta del paralelogramo?
2) Al mediodía, dos aviones de búsqueda se disponen a salir de San
Francisco para rastrear un avión que cayó en el océano. El avión A viaja
directamente al oeste a 400 millas /h, y el avión B hacia el noroeste a
500 millas/h. A las 2 PM el avión A encuentra a los sobrevivientes del
avión caído y llama por radio al avión B para que acuda y ayude en el
rescate. ¿A qué distancia está el avión B del avión A en ese momento?
3) Tres circunferencias de radios 2, 5 y 8 centímetros, son tangentes
exteriores entre sí (véase la figura siguiente). Encuéntrese los tres
ángulos formados por las rectas que unen sus centros.
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