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Transcript
Capitulo I. Trigonometría
Objetivo
.
El alumno reforzará los conceptos de trigonometría para lograr una mejor comprensión del
álgebra.
Contenido:
1.1 Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera.
1.2 Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo.
1.3 Signo de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.
1.4 Valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30, 45 y 60 grados y sus
múltiplos.
1.5 Identidades trigonométricas.
1.6 Teorema de Pitágoras.
1.7 Ley de senos y ley de cosenos.
1.8 Ecuaciones trigonométricas de primer y segundo grado con una incógnita.
1.1.
Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera.
Las funciones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
Seno. Es la razón entre la ordenada y la distancia al origen.
Coseno. Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen.
Tangente. Es la razón entre la ordenada y la abscisa.
Cotangente. Es la razón entre la ordenada y la abscisa.
Secante. Es la razón entre la distancia al origen y la abscisa.
Cosecante. Es la razón entre la distancia al origen y la ordenada.
Y
B
A


F


C
X
E
D
Figura 1. 1. Sistema coordenado empleado para definir las funciones trigonométricas
Considerando un sistema coordenado cartesiano bidimensional y tomando en cuenta 4
puntos, cada uno de ellos en un cuadrante distinto (A en el primer cuadrante, B en el
segundo, C en el tercero y D en el cuarto), además de cuatro medidas angulares ( en el
primer cuadrante,  en el segundo,  en el tercero y  en el cuarto), las funciones
trigonométricas quedan definidas de las siguiente manera para cada uno de los cuadrantes.
Primer cuadrante:
Tomando como referencia a la figura 1.1., tenemos que:
sen α =
̅̅̅̅|
|AE
; cos α =
̅̅̅̅|
|OA
̅̅̅̅|
|OE
; tan α =
̅̅̅̅|
|OA
̅̅̅̅|
|AE
̅̅̅̅|
|OE
csc α =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|OA
|OA
|OE
; sec α =
; cot α =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|AE
|OE
|AE
Segundo cuadrante:
Tomando como referencia a la figura 1.1., tenemos que:
sen β =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|BF
|OF
|BF
; cos β =
; tan β =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|OB
|OB
|OF
csc β =
̅̅̅̅|
|OB
; sec β =
̅̅̅̅|
|BF
̅̅̅̅|
|OB
; cot β =
̅̅̅̅|
|OF
̅̅̅̅|
|OF
̅̅̅̅|
|BF
Tercer cuadrante:
Tomando como referencia a la figura 1.1., tenemos que:
sen γ =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|CF
|OF
|CF
; cos γ =
; tan γ =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|OC
|OC
|OF
csc γ =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|OC
|OC
|OF
; sec γ =
; cot γ =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|CF
|OF
|CF
Cuarto cuadrante:
Tomando como referencia a la figura 1.1., tenemos que:
1.2.
sen δ =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|ED
|OE
|DE
; cos δ =
; tan δ =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|OD
|OD
|OE
csc δ =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|OD
|OD
|OE
; sec δ =
; cot δ =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|ED
|OE
|DE
Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo agudo en un
triángulo rectángulo.

c
b

a
Figura 1. 2. Triángulo rectángulo
Las funciones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
Seno. Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno. Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente. Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Cotangente. Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
Secante. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Al utilizar como referencia al triángulo rectángulo de la figura 1.2., se tiene lo siguiente:
Para el ángulo :
sen α =
a
b
a
; cos α = ; tan α =
c
c
b
csc α =
c
c
b
; sec α = ; cot α =
a
b
a
sen β =
b
a
b
; cos β = ; tan β =
c
c
a
csc β =
c
c
a
; sec β = ; cot β =
b
a
b
Para el ángulo :
1.3 Signo de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.
Los signos de las funciones trigonométricas se muestran en la figura 1.3.
+
+
-
+
-
+
-
-
-
+
+
-
sen  y csc 
cos  y sec 
tan  y cot 
Figura 1.3. Signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.
1.4 Valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60° y sus
múltiplos.
Existen diversos métodos para obtener los valores de las funciones trigonométricas para
ángulos de 30°, 45° y 60°.
A continuación se muestra la tabla 1.1., el resumen de los principales valores angulares
para las seis funciones trigonométricas.
Tabla 1.1. Resumen de los valores de las funciones trigonométricas, para ángulos de 30°, 45°, 60°
y sobre los ejes coordenados (0°, 90°, 180° y 270°).

sen
0°
0
cos
1
tan
0
30°
1
2
√3
2
1
cot
∞
sec
csc
45°
60°
90°
1
180°
0
270°
-1
√2
2
√2
2
1
√3
2
1
2
√3
0
-1
0
∞
0
−∞
√3
√3
1
1
0
−∞
0
1
2
2
√3
2
∞
-1
∞
∞
√3
2
√2
2
2
1
∞
-1
√2
√3
Estos valores se pueden obtener también a través de los conceptos vistos en el subtema
1.2. y a través de los triángulos equilátero e isósceles de la figura 1.4.
60°
2
2
60°
√3
60°
30°
60°
2
1
90°
√2
√2
45°
2
45°
1
45°
√2
45°
2
Figura 1.4. Triángulos equilátero e isósceles.
1
Cuando se tienen alores superiores a los 90°, es decir para valores angulares en el
segundo, tercero y cuarto cuadrante, se deben reducir los ángulos al primer cuadrante (ya
que son equivalentes), de la siguiente manera:



θ = 180° − α
θ = α − 180°
θ = 360° − α
Figura 1.5. Reducción de ángulos al primer cuadrante.
1.5 Identidades trigonométricas.
1.5.1. Pitagóricas
Para obtener las identidades trigonométricas, haremos uso de un círculo unitario con centro
en el origen, también llamado círculo trigonométrico (ver figura 1.6.).
Y
E
F
C
D

1
O
A
B
Figura 1.6. Circulo trigonométrico.
X
Del triángulo OAC:
̅̅̅̅
AC
̅̅̅̅| = 1 ∴ sen α = AC
̅̅̅̅
; Pero |OC
̅̅̅̅
OC
̅̅̅̅
OA
̅̅̅̅| = 1 ∴ sen α = ̅̅̅̅
b) cos α =
; Pero |OC
OA
̅̅̅̅
OC
a) sen α =
c) Aplicando el T. de Pitágoras: 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛂 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 = 𝟏
Del triángulo OBD:
̅̅̅̅
𝐵𝐷
̅̅̅̅| = 1 ∴ tan α = ̅̅̅̅
; Pero |OB
BD
̅̅̅̅
OB
̅̅̅̅
OD
̅̅̅̅| = 1 ∴ sec α = OD
̅̅̅̅
b) sec α =
; Pero |OB
̅̅̅̅
OB
a) tan α =
c) Aplicando el T. de Pitágoras: 𝟏 + 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝛂 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝛂 ; 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝛂 − 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝛂 = 𝟏
Del triángulo OFE:
̅̅̅̅
𝑂𝐹
̅̅̅̅| = 1 ∴ csc α = ̅̅̅̅
; Pero |OE
OF
̅̅̅̅
OE
̅̅̅̅
EF
̅̅̅̅| = 1 ∴ cot α = EF
̅̅̅̅
b) cot α =
; Pero |OE
̅̅̅̅
OE
a) csc α =
c) Aplicando el T. de Pitágoras: 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭 𝟐 𝛂 = 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝛂 ; 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝛂 − 𝐜𝐨𝐭 𝟐 𝛂 = 𝟏
Ej 1. Demostrar numéricamente las 3 identidades pitagóricas.
1.5.2. Suma y diferencia de ángulos.
E

D
C


O
A
B
Figura 1.7. Suma y diferencia de ángulos para las funciones trigonométricas.
De la figura 1.7., y tomando como referencia el triángulo OAE:
sen (α + β) =
̅̅̅̅|
̅̅̅̅| + |CE
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅| + |CE
|AE
|AC
|BD
=
⋯ 1; Pero ̅̅̅̅
AC = ̅̅̅̅
BD ∴ sen (α + β) =
⋯2
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|OE
|OE
|OE
̅̅̅̅| |OD
̅̅̅̅̅|
|BD
̅̅̅̅| |ED
̅̅̅̅|
|CE
sen (α + β) = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
|OE| |OD|
|OE| |ED|
̅̅̅̅| |OD
̅̅̅̅̅|
|BD
= |OD
+
̅̅̅̅̅| |OE
̅̅̅̅|
̅̅̅̅| |ED
̅̅̅̅|
|CE
⋯3
̅̅̅̅|
̅̅̅̅| |OE
|ED
Simplificando (3) con base en la figura 1.7. : sen (α + β) = senα cos β + cos α sen β
De la figura 1.7., y tomando como referencia el triángulo OAE:
cos(α + β) =
̅̅̅̅|
|OA
̅̅̅̅; ̅̅̅̅
̅̅̅̅ − ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ∴ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ − CD
̅̅̅̅ ⋯ 2
⋯ 1; ̅̅̅̅
OA + ̅̅̅̅
AB = OB
OA = OB
AB; ̅̅̅̅
AB = CD
OA = OB
̅̅̅̅|
|OE
cos(α + β) =
̅̅̅̅| − |CD
̅̅̅̅| |OB
̅̅̅̅| |CD
̅̅̅̅| |OB
̅̅̅̅| |OD
̅̅̅̅| |CD
̅̅̅̅| |ED
̅̅̅̅| |OD
̅̅̅̅| |CD
̅̅̅̅| |ED
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
|OB
|OB
=
−
=
−
=
−
⋯3
̅̅̅̅|
̅̅̅̅| |OE
̅̅̅̅| |OE
̅̅̅̅| |OD
̅̅̅̅| |OE
̅̅̅̅| |ED
̅̅̅̅| |OE
̅̅̅̅| |ED
̅̅̅̅|
̅̅̅̅|
̅̅̅̅| |OE
|OE
|OE
|OD
Simplificando (3) con base en la figura 1.7. : cos (α + β) = cosα cos β − sen α sen β
Sabemos que tan(𝛼 + 𝛽) =
Multiplicando por
𝑠𝑒𝑛(𝛼+𝛽)
cos(𝛼+𝛽)
𝑐𝑜𝑠𝛼 cos 𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽
=
𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽
: tan(𝛼 + 𝛽) =
𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽
1−𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛽
Ej 2. Obtener los valores de sen, cos y tan para 15° y 75°.
Ej 3. Determinar los valores numéricos de las siguientes expresiones trigonométricas.
a) cos
b) cos
c) sen
d) sen
𝜋
𝜋
+ cos
=
4
6
5𝜋
=
12
2𝜋
𝜋
+ sen 4 =
3
11𝜋
=
12
1.5.3. Funciones pares e impares
Funciones pares: Son aquellas funciones simétricas respecto al eje coordenado
horizontal (abscisas).
𝐜𝐨𝐬 (−𝛂) = 𝐜𝐨𝐬 𝛂 ; 𝐬𝐞𝐜(−𝛂) = 𝐬𝐞𝐜 𝛂
Funciones impares: Son aquellas funciones simétricas respecto al eje coordenado
vertical (ordenadas).
𝐬𝐞𝐧 (−𝛂) = −𝐬𝐞𝐧 𝛂 ; 𝐜𝐬𝐜(−𝛂) = −𝐜𝐬𝐜 𝛂 ; 𝐭𝐚𝐧(−𝛂) = −𝒕𝒂𝒏 𝜶 ; 𝒄𝒐𝒕(−𝜶) = −𝒄𝒐𝒕 𝜶
Ej 4. Obtener:
a) sen α − β
b) cos α − β
c) tan α − β
d) sen (2α)
e) cos(2α)
f) tan (2α)
Ej 5. Demostrar que se cumplen las siguientes igualdades
a) sen(-x) tan(-x) + cos(-x) = sec(-x)
b) sen(-x) sec(-x) = tan(-x)
c) csc(-x) cos(-x) = - cot(x)
d)
e)
f)
𝐜𝐨𝐭(−𝐱)
𝐜𝐬𝐜(−𝐱)
𝐬𝐞𝐜(−𝐱)
𝐭𝐚𝐧(−𝐱)
𝟏
𝐜𝐨𝐬(−𝐱)
= 𝐜𝐨𝐬(𝐱)
= −𝐜𝐬𝐜(𝐱)
− 𝐭𝐚𝐧(−𝐱)𝐬𝐞𝐧(−𝐱) = 𝐜𝐨𝐬(𝐱)
g) cot(-x) cos(-x) + sen(-x) = - csc(x)
h) sec(x) – cos(x) = sen(x) tan(x)
i)
j)
sen(x) [ tan(x) + cot(x) ] = sec(x)
𝐜𝐨𝐬(𝐱)
𝟏−𝐬𝐞𝐧(𝐱)
=
𝟏+𝐬𝐞𝐧(𝐱)
𝒄𝒐𝒔(𝐱)
1.6 Teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras: La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa.
Haciendo uso de la Figura 1.2., tenemos que:
𝐜 𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐
Conversión de grados a radianes
Ej 6. Partiendo de la igualdad: 𝝅 = 𝟏𝟖𝟎°, obtener:
𝟑𝝅
)
𝟒
𝟑𝝅
𝒔𝒆𝒏(− 𝟐 )
1) 𝒄𝒐𝒔(−
2)
3) 𝒕𝒂𝒏(−𝝅)
𝟑𝝅
)
𝟒
𝝅
𝒔𝒆𝒄(− 𝟑 )
𝟓𝝅
𝒄𝒔𝒄(− 𝟔 )
4) 𝒄𝒐𝒕(−
5)
6)
1.7 Ley de senos y ley de cosenos.
Ambas leyes (teoremas) son aplicables para triángulos oblicuángulos (ver figura 1.8.).

b

c

a
Figura 1.8. Triángulo oblicuángulo.
Ley de los senos
Los lados de un triángulo (ver figura 1.6.) son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos, matemáticamente queda expresado de la siguiente manera:
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛾
Ley de los cosenos
El cuadrado del lado de un triángulo (ver figura 1.6.) es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados, menos el duplo del producto de dichos lados, por el coseno del
ángulo que forman, matemáticamente queda expresado de la siguiente manera:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛾
1.8 Ecuaciones trigonométricas de primer y segundo grado con una incógnita.
Son ecuaciones que involucran funcione trigonométricas, pero que se resuelven de la
misma forma que se resuelven las ecuaciones de primer y segundo grado que involucran
literales como incógnitas.