Download ÁLGEBRA POLINOMIOS

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN
DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS
Y DE LAS INGENIERÍAS
INGENIERÍA MECÁNICA-ELÉCTRICA
APUNTES
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
y
2
5
4
6
7x3 -1039x - 432x +1260
y = P(x) = x -22x +170x -17
8
7
6
5
4
3
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
x
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
,2008.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
El presente trabajo obviamente no pretende sustituir al tema
relacionado a
los polinomios, contenidos en publicaciones tan
prestigiadas relacionadas con las matemáticas.
Surge de la necesidad de que el alumno de ingeniería puede
utilizarlo como una herramienta de apoyo para el estudio de la materia
de Álgebra en el TEMA III, denominado “POLINOMIOS” del programa
actual, así como de materias afines.
Cumple con el objetivo de dicho tema en lo referente al manejo
de los conceptos del álgebra de los polinomios y sus propiedades para
la obtención de raíces.
Por lo que si se quiere profundizar en el tema de polinomios,
es necesario consultar bibliografía especializada para tener una
información más amplia y con mayor profundidad que la que aquí se
presenta, ya que solamente esto es una guía.
ATENTAMENTE
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
,2008.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
CONTENIDO GENERAL
Pág.
1. INTRODUCCIÓN
1
2. DEFINICIÓN
2
3. FUNCIONES POLINOMIALES
4. TEOREMAS
11
5. GRÁFICA DE UN POLINOMIO
14
6. COEFICIENTES DEL POLINOMIO
18
7. RAÍCES DE UN POLINOMIO
20
8. EJERCICIOS
9. BIBLIOGRAFÍA
28
45
Ing. Francisco Raúl Ortíz González.
i
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
CONTENIDO
Pág.
1. INTRODUCCIÓN
1
2. DEFINICIÓN
2
2
3
2.1. CLASIFICACIÓN
2.2. EL GRADO
3. FUNCIONES POLINOMIALES
3.1. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE
3.1.1. OPERACIONES ARITMÉTICAS
3.1.1.1. SUMA o ADICIÓN
3.1.1.2. RESTA o SUSTRACCIÓN
3.1.1.3. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO
3.1.1.4. DIVISIÓN o COCIENTE
4. TEOREMAS
3
4
5
5
6
7
7
4.1. TEOREMA DEL RESIDUO
4.2. TEOREMA DEL FACTOR
4.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
11
11
12
12
5. GRÁFICA DE UN POLINOMIO
14
6. COEFICIENTES DEL POLINOMIO
18
7. RAÍCES DE UN POLINOMIO
20
20
21
7.1. NATURALEZA DE LAS POSIBLES RAÍCES
7.1.1 REGLA DE LOS SIGNOS DE DECARTES
7.1.2 RAÍCES RACIONALES
26
8. EJERCICIOS
28
9. BIBLIOGRAFÍA
45
Ing. Francisco Raúl Ortíz González.
ii
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
1
1. INTRODUCCIÓN
Los tipos más simples de función se construyen mediante la aplicación repetida
de las operaciones elementales de: potencias, multiplicación, división, adición y,
sustracción. Por ejemplo:
1
2 x 4 − 3x 6 + x − 3
2
y3 + y
−
1
z + 3z 3 − z 4 + 2 + 5 z 2
2
A cada una de estas expresiones que son llamadas “términos algebraicos”
indican sumas y sustracción de monomios, las cuales forman polinomios. Estas
expresiones algebraicas cuyos elementos están separados por los signos + o -, se
forman por constantes y variables como se indica a continuación.
a) Coeficientes numéricos:
1
2, − 3, , − 3
2
1, − 1
1
− , 3, − 1, 2, 5 .
2
b) Variables:
x4 , x6 , x , x0
y3, y
z, z 3 , z 4 , z 0 , z 2 .
Los cuales al asociarse respectivamente se crean los siguientes monomios:
2 x 4 , − 3x 6 ,
1
x, − 3
2
y3, − y
1
− z , 3 z 3 , − z 4 , 2, 5 z 2
2
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.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
2
2. DEFINICIÓN
Un polinomio es la suma de uno o más términos algebraicos cuyas variables
tienen exponentes enteros positivos. Los polinomios se dividen en: polinomios con una
variable y polinomios con varias variables. Por ejemplo, para el primer caso siendo x la
variable, el polinomio es la suma de uno o más términos que tienen la forma ax n , donde
a es un número real y n es un número entero. Las expresiones siguientes son
polinomios con una variable:
3x 2 + 2 x
3 5 7 4 8 3
x − x − x
5
4
3
Y para el segundo caso, con x, y y z como variables, el polinomio es la suma
de uno o más términos de la forma ax m y n z p , donde a es un número real y m, n y p
son números reales enteros. Las siguientes expresiones son polinomios con más de
una variable:
3 xy
5 x 2 y + 2 yz 3 − 3 xy
u 2v 2 w2 + x 3 y 3 + 1
2.1. CLASIFICACIÓN
Un polinomio con un término se llama monomio, con dos términos se llama
binomio, y el de tres términos se llama trinomio. En la siguiente tabla se indica esta
clasificación:
Monomios
(un término)
Binomios
(dos términos)
Trinomios
(tres términos)
2x 3
2x 4 + 5
2x3 + 4x 2 + 3
a 2b
− 17t 2 − 3 xy
3mn 4 − m 2 n 2 + 7 n
3x 3 y 5 z 2
32 x13 y 5 + 47 x 3 yz
− 12 x 5 y 2 + 13 x 4 y 3 − 7 x 3 y 3
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.
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POLINOMIOS
APUNTES
3
2.2. EL GRADO
El grado de un polinomio es la potencia entera positiva mayor de una variable.
Por ejemplo:
a) 3 x 5 + 4 x 2 + 7 es un trinomio de grado 5. Porque el grado máximo de los tres
monomios es 5.
b) 7 x 2 y 8 − 3 xy es un binomio de grado 10,
c) 3 x + 2 y − xy es un trinomio de grado 2, y
d) 18 x 2 y 3 − 12 x 7 y 2 + 3 x 9 y 3 − 3 es un polinomio de grado 12.
Si los exponentes de la variable de un polinomio con una variable disminuyen al
ir de izquierda a derecha, se dice que aparecen en orden descendente. Si aumentan al
avanzar de izquierda a derecha, se dice que aparecen en orden ascendente.
Ejemplo:
Escribir los exponentes de 7 x 2 − 5 x 4 + 3 x + 2 x 3 − 1 en:
a) Orden descendente, y
b) Orden ascendente.
Solución:
a) − 5 x 4 + 2 x 3 + 7 x 2 + 3 x − 1
b) − 1 + 3 x + 7 x 2 + 2 x 3 − 5 x 4
3. FUNCIONES POLINOMIALES
Para nombrar un polinomio se utiliza la expresión del tipo P (x) . Donde P
representa a la función polinomial, la cual puede ser cualquier letra, y x la
indeterminada correspondencia llamada variable del polinomio. Así se pueden escribir
los siguientes polinomios:
P( x) = 2 x 4 − 3x 6 +
1
x −1
2
Q( y ) = 4 y 3 + 2 y
1
R( z ) = − z + 3z 5 − z 2 + 2 + 5 z
3
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.
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POLINOMIOS
APUNTES
4
Donde cada uno de los sumandos o monomios que forman a cada polinomio, es
un término del mismo. A éstas expresiones se les llama funciones polinomiales.
Para evaluar una función polinomial en valores específicos de su variable, por
ejemplo P( x) = x 6 + 4 x 5 − 3 x 2 + x − 2 cuando x = 1 , sustituimos a x por el valor de 1 y
simplificamos:
P( x) = x 6 + 4 x 5 − 3x 2 + x − 2
P(1) = (1) 6 + 4(1) 5 − 3(1) 2 + (1) − 2
P(1) = 1 + 4 − 3 + 1 − 2
P(1) = 1
Como se puede ver, a cada número de x corresponde un sólo valor de P(x) .
Si se aplican estas operaciones a una variable independiente x y a un conjunto
de números reales a1 , a 2 , a3 , . . ., a n se obtiene el polinomio general expresado de la
siguiente manera:
y = a0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n
El polinomio más simple, es la función lineal: y = ax + b , la cual se representa
gráficamente por medio de una línea recta. Otro caso es el de la función
cuadrática: y = ax 2 + bx + c , que representa una parábola.
3.1. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE
En términos generales la representación de un polinomio con sólo una variable
es la siguiente:
P( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + ... + a 2 x 2 + a1 x1 + ao x 0
Pero: a1 x1 = a1 x
y
a0 x 0 = a0 (1) = a0 , recordando que x 0 =1 , por lo tanto:
P( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + ... + a 2 x 2 + a1 x + ao
Este polinomio es la suma de varios términos algebraicos cuyas variables tiene
exponentes enteros, donde: P(x) es la variable dependiente, x es la variable
independiente, a n , a n −1 , a n − 2 , a n −3 , ... , a 2 , a1 , a 0 son los números reales, a0 es el término
independiente; y, n es la potencia o exponente entero máximo.
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.
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POLINOMIOS
APUNTES
5
3.1.1. OPERACIONES ARITMÉTICAS
En esta parte se describen las cuatro operaciones básicas que se pueden
realizar para dos o más polinomios de una variable.
3.1.1.1. SUMA o ADICIÓN
Sean:
P( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n −2 + ... + a 2 x 2 + a1 x + a0
y Q( x) = bn x n + bn −1 x n −1 + bn −2 x n −2 + ... + b2 x 2 + b1 x + bo .
Realizar la siguiente operación aritmética:
P( x) + Q( x)
Solución:
(
)
P( x) + Q( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + ... + a a x 2 + a1 x + a0 +
(
+ bn x + bn−1 x
n
n −1
+ bn−2 x
n−2
+ ... + ba x + b1 x + b0
2
)
Al sumar y agrupar términos semejantes resulta lo siguiente:
= (an + bn )x n + (an−1 + bn−1 )x n−1 + (an−2 + bn−2 )x n−2 + ... + (a 2 + b2 )x 2 + (a1 + b1 )x + (a 0 + b0 )
Esto da como resultado otro polinomio con una sola variable, pero con diferente
valor en los coeficientes y el término independiente.
Ejemplo:
Sean los siguientes tres polinomios:
P( x) = 3x 4 + 2 x 2 − x + 2
Q( x) = x 5 − 2 x 4 + x 3 − 4 x + 3
y R( x) = 2 x 5 + 5 x 4 − x 3 − 2 x 2 + 4 x − 3
Realizar:
P( x) + Q( x) + R( x)
Solución:
P( x) + Q( x) + R( x) =
= (3 x 4 + 2 x 2 − x + 2) + ( x 5 − 2 x 4 + x 3 − 4 x + 3) + (2 x 5 + 5 x 4 − x 3 − 2 x 2 + 4 x − 3)
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.
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APUNTES
6
Al ordenar los polinomios en forma descendente, resulta lo siguiente:
+
+
3x 4
+ 2x 2 − x + 2
x5 − 2x 4 + x3
− 4x + 3
2 x 5 + 5x 4 − x 3 − 2 x 2 + 4 x − 3
______________________________
cuya operación da como resultado:
3x 5 + 6 x 4 − x + 2
Por lo que: P( x) + Q( x) + R( x) = 3 x 5 + 6 x 4 − x + 2
3.1.1.2. RESTA o SUSTRACCIÓN
Con las dos expresiones de los polinomios P(x) y Q(x) del inciso 3.1.1.1., realizar:
P( x) − Q( x) =
Que al ser sustituidos en la expresión resulta lo siguiente:
(
)
P( x) − Q( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + ... + a 2 x 2 + a1 x + a0 -
(
- bn x + bn−1 x
n
n −1
+ bn−2 x
n−2
+ ... + b2 x + b1 x + b0
2
)
Donde al restar y agrupar términos se obtiene lo siguiente:
=
(an − bn )x n + (an−1 − bn−1 )x n−1 + (an−2 − bn−2 )x n−2 + ... + (a 2 − b2 )x 2 + (a1 − b1 )x + (a0 − b0 )
Dando como resultado otro polinomio con una sola variable, pero con diferente
valor en los coeficientes y el término independiente.
Ejemplo:
Sea: P( x) = 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 + x − 2 y Q( x) = x 4 + x 3 − 3 x + 2 . Obtener: P( x) − Q( x)
Solución:
P( x) + Q( x) =
= (3 x 4 − 2 x 3 + x 2 + x − 2) - ( x 4 + x 3 − 3 x + 2) =
= 3x 4 − x 4 − 2 x 3 − x 3 + x 2 + x + 3x − 2 − 2 = 2 x 4 − 3x 3 + x 2 + 4 x − 4
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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POLINOMIOS
APUNTES
7
3.1.1.3. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO
P ( x) = a m x m + a m−1 x m−1 + a n −2 x n −2 +  + a 2 x 2 + a1 x + a0
Sean:
y Q( x) = bn x n + bn −1 x n −1 + bn −2 x n −2 + ... + b2 x 2 + b1 x + bo . Efectuar: P( x)Q( x)
Sustituyendo en la expresión, resulta lo siguiente:
P ( x)Q( x) =
= ( a m x m + a m−1 x m−1 + a m−2 x m−2 +  + a 2 x 2 + a1 x + a0 )
(b x
+ bn−1 x n−1 + bn−2 x n−2 + ... + b2 x 2 + b1 x + b0
n
n
(
)
)
= (a m x m ) bn x n + bn−1 x n−1 + bn−2 x n−2 + ... + b2 x 2 + b1 x + b0 +
(
)
+ (a m−1 x m−1 ) bn x n + bn−1 x n−1 + bn−2 x n−2 + ... + b2 x 2 + b1 x + b0 +
m−2
(
n −1
n−2
)
+ (a m−2 x ) bn x + bn−1 x + bn−2 x + ... + b2 x + b1 x + b0 +
+ …………………………………………………………………….. +
n
(
2
)
+ (a 2 x 2 ) bn x n + bn−1 x n−1 + bn−2 x n−2 + ... + b2 x 2 + b1 x + b0 +
(
)
+b x+b )
+ (a1 x) bn x n + bn−1 x n−1 + bn−2 x n−2 + ... + b2 x 2 + b1 x + b0 +
(
+ (a0 ) bn x n + bn−1 x n−1 + bn−2 x n−2 + ... + b2 x 2
1
0
Lo que da como resultado otro polinomio pero de grado m + n , siendo la primera
m el grado del primer polinomio y la siguiente n , el grado del segundo polinomio.
Ejemplo:
Sean:
P( x) = 3 x 3 + x 2 − 3 y Q( x) = 2 x 2 − 2
Calcular P (x) Q(x)
Solución:
P ( x)Q( x) = (3 x 3 + x 2 − 3) (2 x 2 − 2) =
= (3 x 3 ) (2 x 2 − 2) + ( x 2 ) (2 x 2 − 2) + (−3) (2 x 2 − 2) =
= 6x5 − 6x3 + 2x 4 − 2x 2 − 6x 2 + 6 =
= 6x 5 − 6x 3 + 2x 4 − 8x 2 + 6
3.1.1.4. DIVISIÓN o COCIENTE
Sean: P( x) = x 4 −16 y Q( x) = x 2 + 3 x +1 . Efectuar la siguiente operación (división):
P( x)
Q( x)
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.
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POLINOMIOS
APUNTES
8
Para ello se realiza la división algebraica ordinaria donde: P(x) es el dividendo y
Q(x) el divisor. Considerando que Q(x) su grado es menor o igual que el de P(x) . La
siguiente ilustración indica el proceso de esta operación:
x 2 − 3x + 8
x 2 + 3x + 1
x 4 −16
− x 4 − 3x 2 − x 2
− 3 x 3 − x 2 − 16
3x 3 + 9 x 2 + 3x
8 x 2 + 3 x −16
− 8 x 2 − 24 x − 8
− 21x − 24
Por lo que:
P( x)
Q( x)
=
x 4 −16
= ( x 2 − 3 x + 8) +
x 2 + 3x +1
 − 21x − 24 
 21x + 24 
 2
 = ( x 2 − 3 x + 8) −  2


 x + 3x +1 
 x + 3x + 1 
Siendo:
( x 2 − 3 x + 8) es el cociente y, − 21x − 24 es el residuo.
Esto indica que la división es no exacta.
Existe además de este método para dividir dos polinomios el Método de la
División Sintética, el cual consiste en que el divisor es un polinomio de la forma x − r .
Por ejemplo: dividir el polinomio P( x) = 2 x 4 + 5 x 3 − 2 x − 8 entre x + 3 empleando el
procedimiento de división sintética.
Solución:
Escribir los coeficientes del dividendo y del divisor en el siguiente arreglo:
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.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
2
5
0
-2
9
-8
-3
obsérvese que no debe omitirse el coeficiente cero de x 2 .
El proceso de operación se realiza de la siguiente manera: bajar
término del dividendo.
2
5
0 -2
el primer
-8
-3
2
Multiplicar éste por
efectuar la adición.
− 3 , colocándolo
2
5
-6
-3
2 -1
0
debajo del siguiente coeficiente para
-2
-8
Repetir el paso anterior, ahora con el nuevo coeficiente obtenido.
2
5
-6
-3
2 -1
0 -2
3
3
-8
Se continúa con el proceso hasta que se hayan utilizado todos los coeficientes,
obteniendo el siguiente resultado:
2
5
-6
-3
2 -1
0 -2 -8
3 - 9 33
3 -11 25
Coeficientes del cociente
residuo
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
10
Como se está dividiendo un polinomio de grado 4 con respecto a uno de grado 1,
el cociente debe ser de grado 3 con su término independiente. Si se observa el
resultado existen 5 coeficientes, pero el valor de 25 se llama residuo; el cual cuando es
igual a cero la división es exacta, en caso contrario la división es no exacta, por lo que:
.
P( x) 2 x 4 + 5 x 3 − 2 x − 8
25
=
= 2 x 3 − x 2 + 3 x −11 +
x−r
x+3
x+3
es una división no exacta.
Ejercicio:
Sea el siguiente polinomio P( x) = x 3 + 8 x 2 − 29 x + 44 , dividirlo con respecto a
Q( x) = x +11 , por ambos métodos.
Solución:
a) División algebraica ordinaria
x 2 − 3x + 4
cociente
x 3 + 8 x 2 − 29 x + 44
− x 3 −11x 2
x +11
− 3 x 2 − 29 x + 44
3 x 2 + 33 x
4 x + 44
− 4 x − 44
0
residuo
b) División sintética
1
8
-29 44
-11
1 -3
4
Coeficientes del cociente
0
residuo
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
Esto indica que:
P( x) x 3 + 8 x 2 − 29 x + 44
= x 2 − 3x + 4
=
Q( x)
x +11
11
por lo que es una división
exacta.
4. TEOREMAS
4.1. TEOREMA DEL RESIDUO
La división sintética es importante en las matemáticas debido al teorema del
residuo. El cual indica lo siguiente:
Si un polinomio P(x) se divide entre x − r , el residuo es P(r )
Ejemplo:
Sea el siguiente polinomio P( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 2 x + 1 . Determinar:
a) A P(3)
b) El residuo cuando P(x) se divide entre x − 3 .
Solución:
a) Si P(3) = 2(3) 3 − 3(3) 2 − 2(3) + 1
= 54 − 27 − 6 + 1
= 22
b)
P( x) 2 x 3 − 3x 2 − 2 x + 1
qué por división sintética:
=
x−3
x−3
2 −3 −2
3
2
1
6
9 21
3
7
22
cuyo residuo es 22.
Los resultados de las partes a) y b) muestran que el residuo es 22 . En ocasiones
es más fácil determinar P (r ) empleando la división sintética, que sustituyendo a x por
r en P (x) ; esto, se cumple especialmente cuando r es un decimal.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
12
4.2. TEOREMA DEL FACTOR
Si r es una raíz de P( x) = 0 , se deduce, por definición de raíz, que P( x) = 0 ,
entonces x − r es un factor del polinomio P(x) , y viceversa.
Ejemplo:
Por medio del teorema del factor, demostrar que x − 5 es un factor dado de
P( x) = x 3 − 8 x 2 +19 x − 20 .
Solución:
x − 5 será factor de P(x) si P(5) = 0 .
Por lo que: P(5) = (5) 3 − 8(5) 2 +19(5) − 20 = 0
Esto indica que si x = 5 este factor es una raíz de dicho polinomio.
4.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
El teorema fundamental del Álgebra dice: un polinomio P( x) = 0 tiene por lo
menos una raíz, ya sea real o compleja; y, que al utilizar el siguiente teorema que
indica: una ecuación entera P( x) = 0 , de grado n , tiene exactamente n raíces.
Sea el siguiente polinomio: P( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + .... + a 2 x 2 + a1 x + a0 = 0 .
Donde a0 ≠ 0 , al emplearse el teorema fundamental, dicho polinomio tiene por lo
menos una raíz (r1 ) . Por tanto, por el teorema del factor, ( x − r1 ) es un factor de P(x) , y
se puede escribir:
P( x) ≡ ( x − r1 ) Q1 ( x) , siendo Q1 ( x) un polinomio de grado n − 1 con coeficiente
principal a n .
Así mismo, al seguir empleando el teorema fundamental donde Q1 ( x) = 0 posee
por lo menos una raíz, es decir r2 . Por tanto, por el teorema del factor, x − r2 es un
factor de Q1 ( x) , con lo que P( x) = ( x − r1 )( x − r2 )Q2 ( x) = 0 , en donde Q2 ( x) es un
polinomio de grado n − 2 con coeficiente principal a n .
Continuando con este proceso n veces, se obtienen n factores lineales y un
último cociente que será simplemente el coeficiente principal a n . Por tanto, P(x) se
puede escribir en la forma siguiente:
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.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
13
P( x) ≡ a n ( x − rn )( x − rn −1 )( x − r0 )
Donde rn , rn−1 , rn−2 ,  , r0 , son n raíces de la ecuación o polinomio P(x) .
Ejemplo:
Construir el siguiente polinomio que tiene las siguientes raíces: 1, − 3, 2 y 2 .
Solución:
El primer miembro del polinomio buscado tiene los factores:
x − 1, x + 3, x − 2 y x − 2.
Por tanto:
( x − 1)( x + 3)( x − 2)( x − 2) = 0
Al efectuar los tres productos resulta el siguiente polinomio o ecuación.
x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 20 x − 12 = 0
que es de grado 4, con coeficientes:
a4 = 1, a3 = − 2, a2 = −7, a1 = 20 y a0 = − 12
Siendo a0 = − 12 el término independiente.
Ejemplo:
Comprobar que x − 2 = 0 es una raíz de la ecuación x 4 + x 3 − 2 x 2 − 6 x − 4 = 0 , y
hallar las raíces restantes.
Solución:
Primeramente se comprobará que 2 es una raíz usando para ello el método de
la división sintética:
1
1
1 -2 -6
2 6 8
3 4 2
-4
4
0
2
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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POLINOMIOS
APUNTES
14
Donde su ecuación reducida es de la siguiente manera:
x 3 + 3x 2 + 4 x + 2 = 0
Ahora bien, utilizando esta ecuación en lugar de la original, para comprobar que
− 1 es la otra raíz. Así se obtiene por división sintética lo siguiente:
1
1
3 4 2
-1 -2 -2
2 2
0
-1
La ecuación reducida es ahora la ecuación cuadrática x 2 + 2 x + 2 = 0 , cuyas
− b ± b 2 − 4ac
obteniéndose
2a
las siguientes raíces complejos (números complejos) − 1 ± i .
raíces pueden obtenerse fácilmente por la fórmula: x1, 2 =
5. GRÁFICA DE UN POLINOMIO
En esta parte se estudia el problema general de la construcción e interpretación
de la gráfica del polinomio P(x) . Para ello se utiliza el sistema de coordenadas
rectangulares para dar una representación geométrica o gráfica de una relación
funcional. Este método tiene la ventaja de que proporciona visualmente el diagrama de
comportamiento de una función dada, dando valores a una variable.
y = P (x)
Esta expresión establece que la variable y depende de la variable independiente
x . Esto significa que para cada valor asignado a x , pueden ser determinados uno o
más valores correspondientes de y . Donde cada par de valores correspondientes de x
y de y satisfacen al polinomio (ecuación), tomando a cada uno de los pares de valores
reales como coordenadas ( x, y ) de un punto en un sistema de coordenadas
rectangulares.
Por lo que el conjunto de todos los puntos, y sólo ellos, cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación o polinomio y = P(x) , se llama el lugar geométrico o gráfica del
polinomio.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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POLINOMIOS
APUNTES
15
Todo punto cuyas coordenadas satisfacen al polinomio se dice que pertenecen al
lugar geométrico de y = P(x) . Esto es, si las coordenadas de un punto satisfacen un
polinomio entonces ese punto pertenece al lugar geométrico del polinomio, y
recíprocamente, si un punto pertenece al lugar geométrico de un polinomio o ecuación
sus coordenadas satisfacen al polinomio.
Ya que las coordenadas de los puntos de un lugar geométrico están restringidas
a satisfacer al polinomio, entonces, en general, dichos puntos quedarán localizados en
posiciones que determinan una trayectoria definida llamada curva, gráfica o lugar
geométrico.
Ejemplo:
Construir la gráfica del polinomio
P( x) = x 4 − x 3 − 12 x 2 + 8 x + 24 y localizar las raíces reales de la ecuación P( x) = 0 .
Solución:
Primeramente se obtendrán las coordenadas de un número adecuado de puntos
de la gráfica. Las ordenadas se calculan por sustitución en P(x) de los valores
asignados a x . Sin embargo, en muchos casos pueden obtenerse con menos esfuerzo
utilizando la división sintética.
Generalmente conviene empezar con los valores de x : 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, etc.,
continuando mientras de información útil acerca de las raíces reales.
x
P(x)
0
1
2
3
4 -1 -2 -3 -4
24 20 0 -6 56 6 -16 0 120
Donde se observa que si: x = 2 ,
( x, y ) = (2, 0) .
y = P(2) = 0 cuya pareja ordenada es
Ahora bien, si: x = − 3 , y = P (−3) = 0 , esto significa que: ( x, y ) = (−3, 0)
Siendo x = 2, y x = − 3 , las primeras dos raíces reales del polinomio que al
aplicarlas como elemento de P( x) = x 4 − x 3 − 12 x 2 + 8 x + 24 resulta lo siguiente en la
división sintética:
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.
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POLINOMIOS
APUNTES
1
1
-1 -12 8 24
2
2 -20 24
1 -10 -12
0
16
2
Dando como resultado el siguiente polinomio: x 3 + x 2 − 10 x − 12 = 0 , el cual al ser
dividido por − 3
1
1
1
-3
-2
-10 -12
6 12
-4
0
-3
se obtiene el polinomio: x 2 − 2 x − 4 = 0 . Gráficamente se indica su representación:
y = P(x)
60
50
40
30
20
10
-4 -3 -2
-1 0 1 2 3 4
-10
x
-20
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.
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17
Ejemplo:
Trazar la gráfica del polinomio: x 3 − 8 x 2 + 15 x
Solución:
Hagamos y = P( x) = x 3 − 8 x 2 + 15 x , asignando valores a x , y calculando los
valores correspondientes de y , se obtienen las coordenadas de un número
adecuado de puntos:
x
0
y
0
1
8
2
3
4
5
6
-1
6
0
-4
0
18
-24
Donde: x = 0, x = 3, y x = 5 son las tres raíces reales del polinomio. Su gráfica
correspondiente es la siguiente:
y = P(x)
30
20
10
-4 -3 -2
0
-1
1 2 3 4 5 6
x
-10
-20
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.
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18
6. COEFICIENTES DEL POLINOMIO
Sea la siguiente expresión: P( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + .... + a 2 x 2 + a1 x1 + a0 x 0 a la
cual se le llama polinomio en x con coeficientes a n , a n−1 , a n−2 , a n−3 , , a3 , a 2 , a1 , a0 que
pertenecen a los números reales, donde a0 se le llama término independiente.
A las expresiones: a n x n , a n−1 x n−1 , a n−2 x n−2 , , a 2 x 2 , a1 x1 , a0 x 0 se les llama términos
del polinomio y a los números a n , a n−1 , a n−2 , a n−3 , , a3 , a 2 , a1 , a0
n
x ,x
n −1
,x
n−2
2
1
, , x , x , x
0
coeficientes de
respectivamente.
En la práctica es usual realizar las siguientes simplificaciones en cualquier
polinomio:
1. Escribir a0 en lugar de a0 x 0 .
2.
3.
4.
5.
Escribir x en lugar de x1 .
escribir x k en lugar de 1x k
Escribir − ak x k en lugar de + (−ak ) x k
Omitir los términos cuyo coeficiente sea cero.
Así, 2 x 0 + x1 − 0 x 3 − (+ 4 x 5 ) se escribe en la forma: 2 + x − 4 x 5
Ejemplo:
Encontrar todos los coeficientes que existen en el siguiente polinomio:
P( x) = 5 x 6 + 3x 4 − 2 x 2 + 3x − 1
Solución:
El polinomio es de grado 6, por lo tanto va a tener 7 coeficientes. Esto a
consecuencia de que se le suma una unidad a la potencia entera de grado máximo.
Entonces:
a 6 = 5, a5 = 0, a 4 = 3, a3 = 0, a 2 = − 2, a1 = 3, y
a 0 = −1
Por lo que el polinomio en forma general es de la siguiente manera:
P ( x ) = 5 x 6 + ( 0) x 5 + 3 x 4 + ( 0) x 3 − 2 x 2 + 3 x 1 − 1
que al efectuar los productos del coeficiente cero se obtiene el polinomio original.
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.
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19
P( x) = 5 x 6 + 3 x 4 − 2 x 2 + 3 x − 1
Ejemplo:
Encontrar todos los coeficientes que existen en el siguiente polinomio.
P ( x ) =1 + 2 x 3 − 4 x − 3 x 7 + 2 x 5
Solución:
Primero hay que ordenar en forma descendente el polinomio:
P( x) = − 3x 7 + 2 x 5 + 2 x 3 − 4 x +1
Seguidamente a la potencia entera 7 sumarle la unidad ( 7 + 1 = 8 ), lo que indica
que van a ser 8 coeficientes los que acompañarán a cada una de las x .
a 7 = − 3, a 6 = 0, a5 = 2, a 4 = 0, a3 = 2, a 2 = 0, a1 = − 4, y a 0 =1
Ejemplo:
Obtener todos lo coeficientes que contienen al siguiente polinomio:
P( x) = 8 x 8 − 3x 5 + 2 x 3 + x 2
Solución:
Por ser un polinomio de grado 8, esta expresión debe de tener 9 coeficientes,
pero si se observa no está el término independiente, esto a consecuencia de que:
a8 = 8, a 7 = 0, a 6 = 0, a5 = − 3, a 4 = 0, a3 = 2, a 2 =1, a1 = ?, y a 0 = ?
Pero si se utiliza el último monomio como factor común múltiplo de todo el
polinomio, resulta lo siguiente.
[
]
P( x) = x 2 (8 x 6 − 3 x 3 + 2 x +1) = 0
como x 2 está como producto, este pasa del otro lado dividiendo,
0
= 0.
x2
Entonces: P( x) = 8 x 6 − 3 x 3 + 2 x +1 es el polinomio original, por lo que este es de
grado 6, con 7 coeficientes.
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.
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20
Por lo que:
a 6 = 8, a5 = 0, a 4 = 0, a3 = 3, a 2 = 0, a1 = 2, y a 0 =1 son los verdaderos coeficientes.
7. RAÍCES DE UN POLINOMIO
El concepto de raíz de un polinomio o solución de una ecuación algebraica son
equivalentes, esto a consecuencia de que una ecuación algebraica de grado n es una
ecuación de la forma:
P( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + .... + a 2 x 2 + a1 x + a 0 = 0
Donde: a1 x = a1 x1 , y a0 = a0 x 0 , recordando que x = 1 .
0
Además:
an , an −1 , an −2 , ...., a2 , a1 , a0 son los coeficientes, números reales o
constantes, a0 el término independiente y x la variable.
Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces. Estas raíces se clasifican
ya sean en: raíces reales las cuales pueden ser racionales o irracionales iguales o
diferentes o en el mejor de los casos raíces complejas, las que siempre deben estar en
parejas (números complejos en forma binómica). A continuación se presentan algunos
ejemplos de raíces de polinomios.
1
1
2
x = 0, x =1, x = , x = − 5, x = 2 , x = − 5 , x = , x = − , 
3
3
7
x1 = 2 + 3i; x2 = 2 − 3i,
x1 =1 − i y
x1 = 3i y
x 2 =1 + i
x 2 = − 3i

7.1. NATURALEZA DE LAS POSIBLES RAÍCES
Para determinar la naturaleza de las posibles raíces de polinomios se basa en el
análisis de los signos que aparecen en los coeficientes del polinomio, al cual se le llama
“Regla de los signos de Descartes”.
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.
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APUNTES
21
7.1.1. REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES
La Regla de los Signos de Descartes, es muy importante en lo referente al
estudio sobre la naturaleza de las raíces de cualquier polinomio de orden n , por medio
de esta regla es posible determinar su número máximo de posibles raíces positivas y
negativas de coeficientes reales. El cual debe de estar ordenado en potencias
decrecientes de la variable. Se dice que existe un cambio de signo cuando dos términos
sucesivos difieren en el signo de sus coeficientes
Es por ello que:
1. El número de raíces reales positivas de P (x) es igual al número de cambios
de signos en P(x) o menor en un número par.
2. El número de raíces reales negativas de P(x) es igual al número de cambios
de signo en P(− x) o menor en número par.
Para poder comprender esta regla considerar el siguiente polinomio:
P( x) = x 4 + 2 x 3 −13 x 2 −14 x + 24 = 0
1. La obtención de las posibles raíces reales positivas es de la siguiente manera:
Sí: x = + x . Donde esta igualdad
al ser sustituida en P(x) resulta que
P( x) = P(+ x) , por lo que el polinomio se representa como:
P(+ x) = (+ x) 4 + 2(+ x) 3 −13(+ x) 2 −14(+) x + 24 = 0
Que al efectuar la potencia de cada variable el polinomio queda igual al original,
por lo que:
P( x) = x 4 + 2 x 3 −13 x 2 −14 x + 24 = 0
Observándose que existen dos variaciones de signo:
P( x) = x 4 + 2 x 3 −13 x 2 −14 x + 24 = 0
Esto indica que P(x) tiene 2 o 0 raíces reales positivas, a consecuencia de que
existen dos cambios de signo.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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APUNTES
22
2. Con respecto a las posibles raíces negativas del polinomio, se sigue el mismo
procedimiento para las raíces positivas, sólo que la variable x debe ser negativa,
por lo que: x = − x .
Esto implica que:
P(− x) = (− x) 4 − 2(− x) 3 −13(− x) 2 + 14(− x) + 24 = 0
Que al efectuar las operaciones de las diferentes potencias, resulta lo siguiente:
P(− x) = x 4 − 2 x 3 −13 x 2 +14 x + 24 = 0
Viendo que existen 2 cambios de signo, lo cual indica que tiene 2 o 0 raíces
negativas, el polinomio en estudio.
Puesto que el polinomio es de grado 4, este debe tener 4 raíces y dado que no
tiene raíces nulas, las únicas posibilidades son las que se presentan en la siguiente
tabla. Para ello hubo la necesidad de realizar combinaciones entre cada una de las
raíces positivas con respecto a cada una de las raíces negativas:
.PROPUESTA
RAÍCES
1
2
3
4
REALES POSITIVAS
2
2
0
0
REALES NEGATIVAS
0
2
0
2
COMPLEJAS
2
0
4
2
TOTAL
4
4
4
4
Esta tabla se llama Tabla de la Naturaleza de las Raíces.
Es necesario hacer la aclaración de que al obtenerse raíces pares siempre es
necesario restarlas de dos en dos, hasta llegar al cero. Cuando las raíces sean impares
es necesario también restar de dos en dos hasta llegar a la unidad.
EJEMPLOS
1. Obtener la naturaleza del siguiente polinomio: P ( x) = 2 x 4 − x 2 − 3
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.
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APUNTES
23
Solución:
Es un polinomio de grado 4, por lo tanto va a tener cuatro raíces.
Si: x = + x , entonces el polinomio P( x) = 2 x 4 − x 2 − 3 , resulta P(+ x) = 2 x 4 − x 2 − 3 , que
es el mismo polinomio original. Donde sólo existe un sólo cambio de signo, lo cual
significa que existe una sola raíz positiva.
Si: x = − x , entonces el polinomio P( x) = 2 x 4 − x 2 − 3 , es P(− x) = 2 x 4 − x 2 − 3
En donde también sólo hay un cambio de signo; esto indica que sólo existe una
raíz negativa.
Con lo información obtenida, se puede realizar la Tabla de la Naturaleza de las
Raíces, como se indica a continuación:
RAICES
PROPUESTA
REALES
POSITIVAS
1
REALES
NEGATIVAS
1
COMPLEJAS
2
TOTAL
4
Por lo que además de una raíz real positiva, y una raíz real negativa, tiene dos
raíces complejas las cuales son necesarias para ajustar el total de las cuatro raíces del
polinomio.
2. Obtener la naturaleza de las raíces del siguiente polinomio:
3x 3 − x 2 + 2 x −1 = 0
Solución:
Si: x = + x , entonces P( x) = P (+ x) , por lo que:
P( x) = P(+ x) = 3 x 3 − x 2 + 2 x −1 = 0 es el mismo polinomio propuesto, donde se
observa que sólo existen tres o una raíz.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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APUNTES
24
P(x) = 3 x 3 − x 2 + 2 x −1 = 0
Sí x = − x , entonces P( x) = P(− x) = − 3 x 3 − x 2 − 2 x −1 = 0 . Observándose que no
hay variación de signos, por lo que el polinomio no tiene raíces negativas. La Tabla de
la Naturaleza de las Raíces, queda de la siguiente manera
PROPUESTA
RAÍCES
1
2
REALES POSITIVAS
3
1
REALES NEGATIVAS
0
0
COMPLEJAS
0
2
TOTAL
3
3
De aquí se tiene que el polinomio puede tener tres raíces positivas o una raíz
positiva y dos raíces complejas.
3. Establecer la Tabla de la Naturaleza de las Raíces del siguiente polinomio:
P( x) = x 7 − 5 x 6 − 22 x 5 +104 x 4 −160 x 3 +100 x 2
Solución:
Este es un polinomio de grado 7, por lo que tiene siete raíces, sin embargo como
no presenta el término independiente, de esta forma no se puede obtener la
naturaleza de las raíces del polinomio.
Pero si x 2 se utiliza como factor común de dicho polinomio, resulta lo siguiente:
P( x) = x 2 ( x 5 − 5 x 4 − 22 x 3 +104 x 2 −160 x +100) = 0
donde: P( x) = x 5 − 5 x 4 − 22 x 3 + 104 x 2 −160 x + 100 = 0
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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APUNTES
25
Por lo que el polinomio de grado siete, es realmente de grado cinco, lo
cual indica que va a tener cinco raíces.
Al aplicar el teorema para obtener la naturaleza de las raíces del polinomio
mencionado, resulta lo siguiente:
Sí: x = + x , entonces P( x) = P(+ x) = x 5 − 5 x 4 − 22 x 3 + 104 x 2 −160 x + 100 = 0
El polinomio queda igual con respecto a la variación del signo +, por lo
que sigue presentando sus cuatro variaciones de signo originales:
P( x) = ( x 5 − 5 x 4 − 22 x 3 +104 x 2 −160 x +100)
Esto indica que existirán 4, 2 o 0 raíces positivas.
Ahora bien, sí: x = (− x ) , entonces:
P (− x) = − x 5 − 5 x 4 + 22 x 3 +104 x 2 + 160 x +100
donde sólo existe un cambio de signo, lo que implica que solamente tendrá una
raíz negativa. Su Tabla de la Naturaleza de las Raíces, queda de la siguiente
forma:
RAÍCES
PROPUESTA
1
2
3
REALES POSITIVAS
4
2
0
REALES NEGATIVAS
0
0
0
COMPLEJAS
0
2
4
TOTAL
4
4
4
Esta tabla indica que existen tres posibles soluciones, de las cuales una va a
ser la verdadera. La primera posibilidad será de 4 raíces reales positivas, la segunda
posibilidad de dos raíces reales positivas y dos raíces complejas o en el mejor de los
casos cuatro raíces complejas.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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APUNTES
26
7.1.2. RAÍCES RACIONALES
Para determinar las raíces de cualquier polinomio de grado n entero positivo,
con coeficientes que pertenecen al conjunto de los números racional, es necesario
utilizar el siguiente teorema:
Sea: P( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + .... + a 2 x 2 + a1 x1 + a0 x 0 un polinomio en x con
coeficientes enteros, donde a n ≠ 0 , a0 ≠ 0 y n ≥ 1 . Si un número racional es raíz de P(x)
c
y
es su mínima expresión, entonces c es un factor de a0 y d es un factor de a n .
d
Siendo c y d números primos relativos.
Ejemplo:
Dado el siguiente polinomio, obtener sus raíces racionales.
1
7
1
1
P( x) = x 3 + x 2 + x −
3
6
3
2
Solución:
Como se observa en el polinomio sus coeficientes son números racionales, pero
por lo general los coeficientes siempre deben ser números enteros. Para ello es
necesario multiplicar a toda la expresión por el escalar seis (6), con lo cual se obtiene la
siguiente expresión:
1
7
1
1
P( x) = 6( x 3 + x 2 + x − ) = 0
2
3
3
6
resultando lo siguiente:
P( x) = 2 x 3 + 7 x 2 + 2 x − 3 que tiene las mismas raíces que P(x) original, y cuyos
coeficientes son números enteros.
Para P(x) se tiene que: a0 = − 3 cuyos factores son c = 1 y 3 , y a3 = 2 cuyos
factores son q = 1 y 2
Por lo que en base al teorema del residuo, si P(x) tiene raíces racionales tanto
positivas como negativas, éstas deberán ser las siguientes:
c
1 3
= ±1, ± 3, ± , ±
d
2 2
los cuales se conocen como posibles raíces racionales de
P(x) .
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.
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APUNTES
27
Empleando la división sintética y con base al teorema del residuo, se puede
determinar cuáles de las posibles raíces lo son efectivamente.
2
7
2
9
1
2
2 -3
9 11
11
8
Por lo que 1 no es raíz de P(x)
2
7
6
13
3
2
2 - 3
39 123
41 120
P (x)
También 3 no es raíz de
1
2
2
2
1
es la primera raíz de
2
siguiente manera:
Pero,
7
1
8
P(x)
2
8
6
-3
6
0
y el polinomio puede factorizarse de la
1
P( x) = ( x − )(2 x 2 + 8 x + 6) = 0
2
Como 2 x 2 + 8 x + 6 es un polinomio de segundo grado sus raíces pueden
obtenerse directamente de la siguiente expresión:
x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
valores resulta lo siguiente:
donde a = 2, b = 8 y c = 6 , que al ser sustituidos dichos
− 8 ± (8) 2 − 4(2)(6) − 8 ± 4
x2,3 =
=
2(2)
4
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.
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POLINOMIOS
APUNTES
28
Siendo la segunda raíz con el valor de −1 y la tercera de − 3 . Con lo que se
puede expresar como:
2 x 2 + 8 x + 6 = ( x + 1)( x + 3)2
Donde la descomposición de P(x) en factores lineales es:
1
P( x) = ( x − )( x +1)( x + 3) = 0 cuyas raíces son las siguientes:
2
1
x1 = ; x 2 = − 1; y, x3 = − 3
2
8. EJERCICIOS
1. Dados los siguientes polinomios, encontrar los coeficientes que acompañan a la
variable independiente.
a) P( x) = 5 x 5 + 3 x 2 − 2
Solución:
Es un polinomio de grado 5 , el cual va a tener
6 coeficientes, ya que:
Si n = 5 , entonces los coeficientes son n +1= 6 .
A continuación se establecen cuales son los coeficientes que acompañan
al polinomio en cuestión.
a5 = 5; a 4 = 0; a3 = 0; a 2 = 3; a1 = 0; y, a 0 = − 2
Siendo que a0 = − 2 es el término independiente del polinomio.
b) Q( x) = x 3 − 2 x + x 8 + 6 − 2 x 6 + 5 x 4 − x 2 + x 2
Solución:
El polinomio no está en orden decreciente, por lo tanto hay que ordenarlo
desde la potencia mayor de la variable independiente que tiene como
valor 8 , hasta el valor de 0. Por lo que el polinomio queda ordenado de la
siguiente forma.
Q( x) = x 8 − 2 x 6 + 5 x 4 + x 3 − x 2 − 2 x + 6 quedando los 9 coeficientes de la
siguiente manera:
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.
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POLINOMIOS
APUNTES
29
a8 = 1
a7 = 0
a6 = − 2
a5 = 0
a4 = 5
a3 = 1
a 2 = −1
a1 = − 2
a0 = 6 , siendo este coeficiente el término independiente del polinomio.
c) R( x) = x 8 − 2 x 7 − x 6 + 4 x 4
Solución:
Como se observa es un polinomio de grado 8 , por lo que van a existir 9
coeficientes, por lo que:
a8 =1; a 7 = − 2; a 6 = − 1; a5 = 0; a 4 = 4; a3 = 0; a 2 = 0; a1 = 0 y, a 0 = 0
Observándose que los coeficientes a3 ; a 2 ; a1 ; y, a 0 no tienen valor.
Además de que no hay término independiente. Por lo que este polinomio
no es de grado 8 , ya que debe de existir el término independiente.
Pero, si de la variable independiente con potencia menor que es x 4 se
utiliza como factor común múltiplo del polinomio original, resulta lo
siguiente:
R( x) = x 8 − 2 x 7 − x 6 + 4 x 4 = x 4 ( x 4 − 2 x 3 − x 2 + 4) = 0
Que al despejar x 4 , resulta que:
0
=0
x4
Por lo que de un polinomio de grado 8 sin término independiente, resulta
ser polinomio de grado 4 con término independiente, y cuyos coeficientes
son los siguientes:
R ( x) = x 4 − 2 x 3 − x 2 + 4 = 0 ya que
a 4 = 1; a3 = − 2; a 2 = −1 : a1 = 0; y a0 = 0
2. Dados los siguientes polinomio 3 x 2 − 2 x + 4 y 2 x 2 + 4 x − 3 , sumarlos.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
30
Solución:
Si P( x) = 3 x 2 − 2 x + 4 y Q( x) = 2 x 2 + 4 x − 3 , entonces R( x) = P( x) + Q( x) , que
al sustituir los valores darán lo siguiente:
R( x) = (3 x 2 − 2 x + 4) + (2 x 2 + 4 x − 3) = 5 x 2 + 2 x +1
3. Realizar R( x) = P( x) − Q( x) , si P( x) = 8 x 5 − 3 x 2 − 2 y Q( x) = 4 x 4 − x 3 + x 2 −1
Solución:
R( x) = P( x) − Q( x) = (8 x 5 − 3 x 2 − 2) − (4 x 4 − x 3 + x 2 −1) =
= 8x 5 − 4 x 4 + x 3 − 4 x 2 − 1
4. Considerar los siguientes polinomios: P( x) = 3 x 3 + 2 x 2 + x −1 y Q( x) = x 2 − 2 ;
efectuar el producto P( x)(Qx) .
Solución:
Si R( x) = P( x)Q( x) al sustituir los valores resulta lo siguiente:
R( x) = (3 x 3 + 2 x 2 + x −1)( x 2 − 2) = 3 x 5 − 6 x 3 + 2 x 4 − 4 x 2 + x 3 − 2 x − x 2 + 2 =
= 3x 5 + 2 x 4 − 5 x 3 − 5 x 2 − 2 x + 2
5. Dados los siguientes polinomios: P( x) = x4 − 5 x 2 + 4 y
P( x)
e indicar si es una división exacta o no.
Q( x)
Q( x) = x 2 − 2 x − 1 . Efectuar
Solución:
R( x) =
P( x) x 4 − 5 x 2 + 4
2x + 4
= x 2 + 2x + 2
= 2
Q ( x ) x − 2 x −1
x − 2 x −1
Por lo que esta división ordinaria es NO EXACTA
6. Si P( x) = x 4 − 5 x 2 + 4 y Q( x) = x 2 + 3 x + 2 . Efectuar su división ordinaria.
Solución:
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
31
P( x) x 4 − 5 x 2 + 4 2
=
= x − 3 x + 2 por lo que esta división ordinaria ES
Q( x) x 2 + 3x + 2
EXACTA, por no existir el residuo
Si R( x) =
7. Si P( x) = x 3 − 3 x 2 + x + 5 , aplicar el teorema del residuo para hallar P(2).
Solución:
En base al teorema del residuo P(2) da como resultado su residuo.
P (2) = (2) 3 − 3(2) 2 + (2) + 5 = 3 . Siendo 3 su residuo.
Ahora bien, si se divide entre x − 2 el polinomio resulta lo siguiente:
R( x) =
P( x) x 3 − 3x 2 + x + 5
3
= x 2 − x −1 +
siendo su residuo igual a 3 ,
=
Q( x)
x−2
x−2
8. Probar que x − 2 es un factor de P( x) = x 3 − 4 x 2 + 3 x + 2
Solución:
Como P (2) = (2) 3 − 4(2) 2 + 3(2) + 2 = 0 , por el teorema del factor, x − 2 es un
factor de P(x) . Otro método de solución es el de dividir P(x) entre x − 2 y
probar que el residuo es 0, donde el cociente de la división sería otro
factor de P(x) , por lo que:
R( x) =
P( x) x 3 − 4 x 2 + 3x + 2 2
= x − 2 x −1
=
Q( x)
x−2
Cuyo residuo es igual a 0.
9. Emplear la división sintética para hallar el cociente y el residuo, si el primer
polinomio se divide entre el segundo.
a) 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x − 5;
x−2
Solución:
2
2
2
-3
4
1
4
2
6
-5
12
7
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
32
Esto indica que:
2 x 3 − 3x 2 + 4 x − 5
7
= 2x 2 + x + 6 +
x−2
x−2
donde el cociente tiene como resultado: 2 x 2 + x + 6 y como residuo: 7
b) 3 x 5 + 6 x 2 + 7;
x+ 2
Solución:
3
-2
3
ya que:
0
-6
-6
0
6 0 7
12 -24 36 -72
12 -18 36 -65
3x 5 + 6 x 2 + 7
65
es igual a: 3 x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 18 x + 36 −
x+2
x+2
donde 3 x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 18 x + 36 es el cociente, y − 65 es el residuo
c) 5 x 2 + 7 x + 2;
x +1
Solución:
5
-1
5
Por lo que:
7
-5
2
2
-2
0
5x 2 + 7 x + 2
= 5 x + 2 cuyo cociente es 5 x + 2 y su residuo
x +1
es cero
10. Analizar el número posible de soluciones reales positivas, negativas y complejas
de la ecuación P( x) = 0 , donde:
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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POLINOMIOS
APUNTES
33
P( x) = 2 x 5 − 7 x 4 + 3x 2 + 6 x − 5
Solución:
Aplicando la regla de los signos de Descartes, para: x = + x .
P (+ x) = 2(+ x) 5 − 7(+ x) 4 + 3(+ x) 2 + 6(+ x) − 5
= 2 x 5 − 7 x 4 + 3x 2 + 6 x − 5
Donde sólo existen tres cambios de signo. Por lo que la cantidad de raíces
reales positivas serán tres o una.
Ahora bien, si x = − x ,
P( − x) = 2(− x) 5 − 7(− x) 4 + 3(− x) 2 + 6(− x) − 5 = − 2 x 5 − 7 x 4 + 3 x 2 − 6 x − 5
En donde sólo existen dos cambios de signo, esto indica que la cantidad
de raíces reales negativas serán dos o cero.
La siguiente tabla resume las diversas posibilidades que pueden ocurrir
como soluciones del polinomio:
P( x) = 2 x 5 − 7 x 4 + 3x 2 + 6 x − 5
NÚMERO DE RAÍCES
PROPUESTA
1
2
3
4
REALES POSITIVAS
3
3
1
1
REALES NEGATIVAS
2
0
2
0
COMPLEJAS
0
2
2
4
TOTAL DE RAÍCES
5
5
5
5
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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POLINOMIOS
APUNTES
11. Investigar
polinomio.
el posible número y la naturaleza de las raíces del
34
siguiente
P( x) = 5 x 3 − 3x 2 − 7 x − 2
Solución:
Si x = + x , entonces P (+ x) = 5 x 3 − 3 x 2 − 7 x − 2
donde sólo existe un cambio, por lo que la cantidad de raíces positivas será
de uno.
Ahora bien, si x = − x , entonces: P(− x) = − 5 x 3 − 3 x 2 + 7 x − 2
En este caso se presentan dos cambios de signo, por lo que la cantidad de
raíces negativas será de dos o cero. La siguiente tabla resume las diversas
posibilidades que pueden ocurrir como soluciones del polinomio:
P( x) = 5 x 3 − 3x 2 − 7 x − 2
NÚMERO DE RAÍCES
PROPUESTA
1
2
REALES POSITIVAS
1
1
REALES NEGATIVAS
0
2
COMPLEJAS
2
0
TOTAL DE RAÍCES
3
3
12. Indicar la cantidad de diversas posibilidades de raíces tanto positivas, negativas
y complejas, que puede tener el siguiente polinomio.
2 x 5 − 3x 3 − 2 x 2 + 7 = 0
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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APUNTES
35
Solución:
Si x = + x , entonces en polinomio queda igual
P(+ x) = 2 x 5 − 3x 3 − 2 x 2 + 7 = 0
Existiendo dos cambios de signo, y por lo tanto la cantidad de raíces
positivas puede ser de dos o cero.
Si x = − x , entonces:
P(− x) = − 2 x 5 + 3x 3 − 2 x 2 + 7 = 0
cuya cantidad de variaciones es de tres, lo que indica que pueden existir
tres o una raíz negativa. Quedando de la siguiente manera la tabla de la
naturaleza de las raíces.
NÚMERO DE RAÍCES
PROPUESTA
1
2
3
4
REALES POSITVAS
2
0
2
0
REALES NEGATIVAS
3
3
1
1
COMPLEJAS
0
2
2
4
TOTAL DE RAÍCES
5
5
5
5
13. Encontrar las raíces que conforman al siguiente polinomio:
x 4 − 2 x 2 − 3x − 2 = 0
Solución:
Utilizando la regla de los signos de Descartes
Si x = + x , entonces: P(+ x) = x 4 − 2 x 2 − 3 x − 2 = 0
sólo existe un cambio de signo, por lo que sólo habrá una raíz positiva.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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APUNTES
36
Si x = − x , entonces: P(− x) = x 4 − 2 x 2 + 3 x − 2 = 0
Indica que existen tres cambios de signo, por lo que sólo pueden existir
tres o una raíz negativa. Y la tabla de la naturaleza de las raíces queda de
la siguiente manera.
PROPUESTA
NÚMERO DE RAÍCES
1
2
REALES POSITIVAS
1
1
REALES NEGATIVAS
1
3
COMPLEJAS
2
0
TOTALES
4
4
Aplicando el Teorema que dice lo siguiente: Sea un polinomio
donde
a n , a n −1 ,, a 2 , a1 , a0
P( x) = a n x n + a n −1 x n −1 +  + a 2 x 2 + a1 x + a0 ,
c
pertenecen a los números enteros. Si
es una raíz racional de dicho
d
polinomio; además de que c y d son números primos relativos,
entonces c divide a a0 y d divide a a n .
Por lo que:
a 0 = 2 y a n =1 ;
c = 2,1 y d =1
c 2
c 1
y
= =±2
= = ±1 posibles raíces reales, que por división
d 1
d 1
sintética se obtiene.
Siendo
Para obtener la primera raíz real positiva, se establece que x = 1 , donde la
división sintética queda de la siguiente manera:
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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POLINOMIOS
APUNTES
1
0
1
1
1
1
37
-2 -3 -2
1 -1 - 4
-1 - 4 - 6
De aquí se observa que no es una división exacta, por existir el residuo.
Sí x = 2 , la división sintética resulta de la manera siguiente:
1
2
1
0 -2 -3 -2
2 4
4 2
2 2
1 0
Esto indica que x = 2 es la primera raíz real positiva, porque no existe
residuo diferente de cero, por lo que:
x 4 − 2 x 2 − 3x − 2 3
= x + 2 x 2 + 2 x +1 , es un polinomio de grado tres.
x−2
Continuando con la obtención de las siguientes raíces, se procede la
obtención de las raíces reales negativas, donde x = −1 . Que al aplicarlo al
polinomio de grado tres en división sintética resulta lo siguiente:
1
-1
1
Lo cual indica que
2
2
1
-1 -1 -1
1
1
0
x = −1 , es otra raíz, pero real negativa, ya
x + 2 x + 2 x +1 2
= x + x +1 es un polinomio de grado dos. Este último
x +1
polinomio que es de grado dos, se puede resolver aplicando la fórmula:
3
2
que:
− b ± b 2 − 4ac
x1, 2 =
2a
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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APUNTES
38
Con la cual se pueden obtener las dos últimas raíces buscadas.
Recordando que x 2 + x +1 = 0 proviene de ax 2 + bx + c = 0 . Donde: a =1; b =1, y
c = 1 , son sustituidos en dicha fórmula.
−3
−1 ± (1) 2 − 4(1)(1) −1 ± 1 − 4 −1 ± − 3
1
=− ±
x 3, 4 =
=
=
2(1)
2
2
3
3
Por lo que:
−3
1
y
x3 = − +
2
2
−3
1
x4 = − −
2
2
Pero, recordando que no existe en el conjunto de los números reales la
siguiente expresión − 3 , estas no son las dos últimas raíces del
polinomio buscadas. Por lo que es necesario realizar la siguiente operación
si:
i = −1 y
x3 = −
− 3 = (3)(−1) = 3 − 1 = 3 i entonces:
1
3
+
i y
2
2
x4 = −
1
3
i
−
2
2
Siendo estas dos expresiones, las dos últimas raíces que son del tipo
complejas. Por lo que:
a) la primera raíz real positiva es x1 = 2 ,
b) la segunda raíz real negativa es x2 = −1 ; y
c) la tercera y cuarta raíz son complejas
1
3
1
3
x3 = − +
i y x4 = − −
i
2
2
2
2
Que si se observa la tabla de la naturaleza de las raíces, la primera
propuesta es la verdadera.
14. Resolver el siguiente polinomio:
P( x) = x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 8
Solución:
Aplicando la regla de los signos de Descartes, donde:
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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APUNTES
39
x = + x : P(+ x) = x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 8
Por existir tres cambios de signo, esto indica que pueden ser tres o una
raíz real positiva. Sí x = − x , entonces resulta lo siguiente:
P(+ x) = x 4 + 5 x 3 + 6 x 2 − 4 x − 8
Lo cual indica que sólo existe una sola variación, y por lo tanto existirá una
raíz real negativa. La tabla de la naturaleza de las raíces es la siguiente:
PROPUESTA
RAÍCES
1
2
REALES POSITIVAS
3
1
REALES NEGATIVAS
1
1
COMPLEJAS
0
2
TOTAL
4
4
Aplicando el teorema que indica como obtener las posibles raíces
racionales del polinomio, considerando a n y a0 , resulta lo siguiente:
Sí a0 = 8 y a n =1 , entonces c = 8, 4, 2, 1 y, d =1 números primos relativos.
De donde:
c 8
= = ±8
d 1
c 4
= =±4
d 1
c 2
= =±2
d 1
c 1
= = ±1 son las posibles raíces del polinomio.
d 1
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
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POLINOMIOS
APUNTES
40
A continuación se realiza la división sintética para obtener las raíces de
este polinomio. Para ello se establece que x = 2 .
1
-5
2
1
1 -3
6
1
0
4
-1
4
-8
-4
0
Por lo que x = 2 es la primera raíz real positiva del polinomio original, cuyo
resultado es el de: x 3 − 3 x 2 + 4 = 0 el cual se va a volver a dividir por medio
de la división sintética, considerando que ahora x va a valer − 1 ; es decir
que: x = −1 , entonces resulta lo siguiente:
1
-3
-1
0
4
4
4
1
-4
4
0
-1
Observándose que x = −1 es la segunda raíz real del polinomio pero
negativa, cuyo cociente resulta el siguiente polinomio de orden 2:
x 2 − 4 x + 4 = 0 , que utilizando la fórmula general para resolverlo resulta lo
siguiente:
x 3, 4 =
− (−4) ± (−4) 2 − 4(1)(4)
2(1)
=
4 ± 16 − 16
2
=
4± 0 4
= =2
2
2
Esto indica que:
x3 = 2 ; y, x 4 = 2 son las dos últimas raíces del
polinomio del tipo reales positivas.
Sí: x1 = 2; x2 = − 1; x3 = 2; y, x4 = 2 , entonces tres raíces son reales
positivas y la otra es una raíz real negativa, con lo cual la primera
propuesta de la tabla de la naturaleza de las raíces se cumple.
Ahora bien, si ésta raíces: x = 2 , x = −1 , x = 2 , y x = 2 ; se igualan a cero:
x − 2 = 0 , x + 1= 0 , x − 2 = 0 , y x − 2 = 0 ; y se efectúa se producto en forma
conjunta:
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
41
( x − 2 ) ( x + 1) ( x − 2 ) ( x − 2 ) = 0 se observa:
( x − 2 ) ( x + 1) ( x − 2 ) (x − 2 ) = x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 8 = P( x)
15. Sean las siguientes raíces de números reales: x =1; x = 3; x = −1; x = − 2; y, x = − 3.
Encontrar el polinomio correspondiente.
Solución:
Como son cinco raíces reales (dos positivas y tres negativas) el polinomio
va a ser de grado cinco, con seis coeficientes reales. Para la obtención de
dicho polinomio hay que igualarlos a cero y posteriormente efectuar sus
productos para cada uno de los monomios:
x =1
x =3
x = −1
x=−2
x = −3
Las cuales se igualarán a cero
x −1= 0
x − 3= 0
x + 1= 0
x+ 2=0
x+3 =0
Seguidamente efectuar el producto de monomio por monomio, como se
indica a continuación.
x −1
x −3
x 2 − 4x + 3
x +1
x2 − x
− 3x − 3
x 3 − 4 x 2 + 3x
x 2 − 4x + 3
x 2 − 4x + 3
x 3 − 3x 2 − x + 3
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
42
x 3 − 3x 2 − x + 3
x+2
x 4 − 3x 3 − x 2 + 3x
2x3 − 6x 2 − 2x + 6
x4 − x3 − 7x2 + x + 6
x 4 − x3 − 7 x 2 + x + 6
x+3
x5 − x 4 − 7 x3 + x 2 + 6x
3 x 4 − 3 x 3 − 21x 2 + 3 x +18
x 5 + 2 x 4 −10 x 3 − 20 x 2 + 9 x +18
Por lo que el polinomio es x 5 + 2 x 4 −10 x 3 − 20 x 2 + 9 x +18 = 0
16.
Graficar el polinomio del ejercicio anterior en el intervalo comprendido [− 4, 4] .
Solución:
Sí: y = P ( x) = x 5 + 2 x 4 −10 x 3 − 20 x 2 + 9 x +18 = 0 ;
y, x = − 4 , entonces
y = P(−4) = (−4) 5 + 2(−4) 4 − 10(−4) 3 − 20(−4) 2 + 9(−4) + 18 = − 210
x = −3
y = P(−3) = (−3) 5 + 2(−3) 4 − 10(−3) 3 − 20(−3) 2 + 9(−3) + 18 = 0
x=−2
y = P(−2) = (−2) 5 + 2(−2) 4 − 10(−2) 3 − 20(−2) 2 + 9(−2) + 18 = 0
x = −1
y = P(−1) = (−1) 5 + 2(−1) 4 − 10(−1) 3 − 20(−1) 2 + 9(−1) + 18 = 0
x =0
y = P(0) = (0) 5 + 2(0) 4 − 10(0) 3 − 20(0) 2 + 9(0) + 18 = 18
x =1
y = P(1) = (1) 5 + 2(1) 4 − 10(1) 3 − 20(1) 2 + 9(1) + 18 = 0
x= 2
y = P(2) = (2) 5 + 2(2) 4 − 10(2) 3 − 20(2) 2 + 9(2) + 18 = − 60
x= 3
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
43
y = P(3) = = (3) 5 + 2(3) 4 −10(3) 3 − 20(3) 2 + 9(3) + 18 = 0
x=4
y = P(4) = = (4) 5 + 2(4) 4 − 10(4) 3 − 20(4) 2 + 9(4) + 18 = 630
Que en forma tabular queda de la siguiente manera:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
COORDENADAS
y = P(x) =
(x, y)
-210
0
0
0
18
0
-60
0
630
(-4, -210)
(-3, 0)
(-2, 0)
(-1, 0)
(0, 18)
(1, 0)
(2, -60)
(3, 0)
(4, 630)
Y en forma gráfica su representación es la siguiente:
y = P(x)
30
20
10
-4 -3 -2
0
-1
1 2 3 4
x
-10
-20
-30
-40
-50
-60
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
APUNTES
44
Donde se puede observar que los valores de: x = 1; x = 3; x = − 1; x = − 2; y,
x = − 3 son las intersecciones en el eje de las abscisas cuando y = 0.
17. Al lanzar un cohete de juguete directo hacia arriba a una velocidad inicial de
128 pies por segundo, la altura h , en pies, a la que se encuentra después de t
segundos, está expresada por la función polinomial
P(t ) = −16t 2 +128t
de los:
donde h es el valor P (t ) Calcular la altura del cohete después
a) 0 segundos.
b) 3 segundos; y
c) 7.9 segundos.
Solución:
a) Para calcular la altura a los 0 segundos, se sustituye a t por 0 y se
simplifica.
P(t ) = − 16(0) 2 + 128(0) = 0
Esto significa que a los 0 segundos, el cohete está en tierra
esperando a ser lanzado.
b) Para calcular la altura a los 3 segundos, se sustituye a t por el valor
de 3 y se simplifica.
P(3) = − 16(3) 2 + 128(3) = 240
Lo que indica que a los 3 segundos, el cohete se encuentra a 240 pies
de altura.
c) Y, para calcular la altura a los 7.9 segundos, se sustituye a t por los
7.9 segundos y se simplifica.
P (7.9) = − 16(7.9) 2 + 128(7.9) = 12.64
Que significa, que a los 7.9 segundos el cohete está cayendo y está a
tan sólo 12.64 pies del suelo.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.
APUNTES
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
45
9. BIBLIOGRAFÍA
Apuntes de ÁLGEBRA
SECCIÓN DE MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM, 1976.
Gustafson, R. David
Álgebra Intermedia
Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V. 1997.
Swokoski, Earl W.
Álgebra y trigonometría con geometría analítica
Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V. 1998.
Lehmann, Charles H.
Álgebra
Limusa Noriega
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
.