Download C AC BC AC BC AB ˆ cos. . .2 - + = B AB BC AB BC AC ˆ cos. . .2

Teorema del coseno
Esta es una propiedad que nos permite calcular medidas de lados y ángulos en un
triángulo que no es rectángulo.
En un triángulo como el de la figura
A
B
C
se cumplen las siguientes relaciones:
AB 2  BC 2  AC 2  2 . BC . AC . cos Cˆ
AC 2  BC 2  AB 2  2 . BC . AB . cos Bˆ
BC 2  AB 2  AC 2  2 . AB . AC . cos Aˆ
Ejemplo 1
Calcular la medida del lado AC sabiendo que la medida del lado AB es 7 cm., la medida del
lado BC es de 5 cm. y la medida del ángulo B es 70º.
De acuerdo a los datos que tenemos y a lo que tenemos que averiguar usamos la
expresión más conveniente.
En este caso usaremos la segunda expresión ya que tiene a nuestra incógnita casi
despejada.
AC 2  BC 2  AB 2  2 . BC . AB . cos Bˆ
Reemplazamos los datos en la misma.
AC 2  52  72  2 . 5 . 7 . cos 70º
Realizamos los cálculos indicados.
AC 2  25  49  70 . 0.342
1
AC 2  50.06
Despejamos AC.
AC  50.06
AC  7.07
Ejemplo 2
Calcular la medida del ángulo C sabiendo que la medida del lado AB es 9 cm., la medida
del lado BC es de 7 cm. y la medida del lado AC es 10 cm.
Todas las expresiones tienen todos los lados y un ángulo.tenemos que averiguar un ángulo
usamos la expresión en la que figura ese ángulo, es decir la primera.
En este caso usaremos la primera expresión ya que contiene al ángulo que queremos
averiguar.
AB 2  BC 2  AC 2  2 . BC . AC . cos Cˆ
Reemplazamos los datos en la misma.
92  72  102  2 . 7 . 10 . cos Ĉ
Realizamos los cálculos indicados.
81  49  100  140 . cos Ĉ
Despejamos dejando la parte donde está la incógnita sola en un miembro.
81  49  100   140 . cos Ĉ
 68   140 . cos Ĉ
 68 : 140  cos Ĉ
 68 : 140  cos Ĉ
0.485  cos Ĉ
Estamos buscando el ángulo cuyo coseno vale 0.485 ( tomamos tres decimales por lo que
el resultado obtenido va a ser aproximado ).
Entonces usamos la tecla coseno de la calculadora pero previamente tenemos que oprimir
la tecla SHIFT para habilitar la inversa y así obtener el ángulo.
La secuencia sería así:
2
SHIFT
COS
0.485
=
Lo que nos da:
𝐶̂ = 60.9875º
Este es un valor aproximado y expresado en grados con decimales.
Si queremos el ángulo expresado en grados, minutos y segundos usaremos una tecla de la
calculadora que permite convertir el valor obtenido.
Esta es la secuencia para hacer esta transformación:
SHIFT
60,9875
° ’ ”
Con lo que obtenemos:
𝐶̂ = 60 °
59
’ 15 ”
3