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III: Geometría para maestros. Capitulo 1: Figuras geométricas
SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS
SITUACIONES INTRODUCTORIAS
En un libro de primaria encontramos este enunciado:
Dibuja un polígono convexo de siete lados y traza sus diagonales. ¿Cuántas diagonales
tiene?
Resuelve este enunciado así como las siguientes variantes y generalizaciones:
1. ¿Cuántas diagonales tendrá un polígono convexo de n lados?
2. ¿Cuánto mide el ángulo central de un polígono regular de n lados?
3. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados?
4. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un polígono convexo de n lados?
Se espera que el alumno trace todas las diagonales y
las cuente. Aunque también se puede observar que por
cada vértice se pueden trazar 4 diagonales; coma hay 7
vértices en total se trazan 28 segmentos; pero el
número de diagonales será sólo la mitad, ya que cada
segmento se traza dos veces (por los vértices opuestos.
Así pues el número de diagonales será (4x7)/2 =14
1. El número de diagonales de un polígono
convexo de n lados se puede calcular con la
expresión:
(n − 3).n
D=
2
1
E
F
D
G
C
A
B
2. El ángulo central de un polígono regular de n lados será,
360º/n.
3. La suma de los ángulos interiores Sa i de cualquier
polígono convexo se puede calcular mediante la expresión:
Sa i = (n-2).180º. Una manera de justificar esta fórmula es
viendo que el polígono se puede descomponer en n
triángulos a partir de cualquier punto interior. La suma de
los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º, luego
en total los ángulos que se forman suman 180.n; pero
debemos restar la suma de los ángulos centrales, que es
360º, o sea 2.180. Finalmente queda:
n.180 –2.180 = (n-2).180
ac
ae
ai
4. La suma de los ángulos exteriores Sa e de cualquier
polígono convexo vale siempre 360º cualquiera que sea el
número de lados.
Esta proposición se puede demostrar del siguiente modo:
ai=
+ ae 180º ; Sai +=
Sae n.180º
Como Sa i = (n-2).180º, sustituimos en la expresión
anterior y despejamos Sa e :
Sa
=
n.180º −(n − 2).180º
= 360º
e
EJERCICIOS
7. Un material didáctico conocido como geoplano es una . . . .
herramienta útil en el estudio de los polígonos. Un geoplano 5x5 .
consiste en una plancha de madera y 25 clavos dispuestos según . . . .
una malla cuadrada, como se indica en la figura. Se emplean .
gomas de colores para formar diversos polígonos tomando los
clavos como sus vértices. ¿Cuántos cuadrados se pueden formar en este geoplano?
16 de 1x1, 9 de 2x2, 4 de 3x3, 1 de 4x4
Usando las diagonales: 9 de 1x1 y 1 de 2x2
Total: 39
2
9. Un rectángulo ha sido dividido en dos partes congruentes. ¿Qué forma pueden tener
las partes formadas?
Se pueden tener infinitas formas, como se sugiere en esta figura:
(triángulos rectángulos; rectángulos, o cualquiera, ya que las línea trazada en el interior
puede ser irregular)
A
B
10. He aquí una serie de triángulos con unas medidas determinadas. Trata de
construirlos. Señala cuál de las reglas anteriores no cumplen aquellos que no se puedan
construir:
Debería ser equilátero
Para
ser
rectángulo
la No cumple la desigualdad
triangular
hipotenusa debería medir 10
En todo triángulo obtusángulo
Al lado que mide 8 se debería
se cumple
oponer un ángulo mayor que el
C2 > a2 + b2 (Aquí debe ser,
que se opone al lado que mide
81 > 36 + 49 = 85, y no lo es)
7.
17. ¿Cuáles de los siguientes polígonos recubren el plano? (Reproduce en cartulina las
figuras y experimenta con ellas)
(a) Triángulo escaleno:
(b) Cuadrilátero convexo:
(c) Cuadrilátero no convexo
(d) Pentágono con un par de lados
parelelos:
3
a) SI
b) SI
O
La figura muestra cómo se puede recubrir
La figura muestra cómo se puede recubrir
d) SI
c) SI
4
5
3
3
2
1
5
4
5
1
4
5
3
4
2
2
2
3
1
3
La figura muestra cómo se puede recubrir.
1
4
4
1
3
2
4
4
5
1
2
3
3
2
2
1
1
La figura muestra cómo se puede cubrir
18. Imagínate un prisma hexagonal regular recto.
a) ¿Cuáles son las medidas de los ángulos diedros formados por las caras que se cortan?
b) ¿Cuántos pares de planos paralelos contienen a las caras de este prisma?
a) Las caras laterales entre sí forman ángulos
diedros de 120 grados (medida de los ángulos
interiores de un hexágono regular). Cada cara
lateral forma un ángulo de 90º con las bases.
b) Tres pares de planos paralelos forman las
seis caras laterales. Además hay que contar con
el par de planos que forman las bases.
4
TALLER MATEMÁTICO
1. Determinar la medida del ∠P si las rectas AB y CD son paralelas.
50
40
50
50
40
P mide 90º como se muestra en la figura
adjunta
2. ¿Qué proposición se está demostrando en la siguiente secuencia de dibujos?
Explícalo con un breve párrafo.
Que la suma de la medida de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Observa que
el lápiz primero “barre” el ángulo 1 y se pone hacia arriba; después “barre” el ángulo 2,
y finalmente barre el ángulo 3, quedando con la punta justamente en la misma dirección
inicial, pero en sentido opuesto, o sea, que girado en total 180º.
4. Resuelve los siguientes ejercicios sobre medidas de los lados y ángulos en los
cuadriláteros:
1. En un trapecio rectángulo la medida de uno de sus ángulos interiores es 58º. ¿Cuánto
miden los otros ángulos interiores? [SOLUCIÓN: 90, 90 y 122]
2. En un romboide la medida de uno de sus ángulos exteriores es 137º. Determina la
medida de todos los ángulos interiores de ese romboide. [SOLUCIÓN: 43 y 137 ]
3. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide 12 cm.? [SOLUCIÓN:
R= 72 ]
4. Determina la diagonal del rectángulo cuyos lados miden 5 cm. y 12 cm.
[SOLUCIÓN: 13]
5
5. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm.
[SOLUCIÓN: R = 16 2 ]
6. Señala el tipo de triángulo que se determina al trazar las diagonales de un cuadrado.
[SOLUCIÓN: Rectángulo isósceles ]
7. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el perímetro del rombo
sabiendo que la diagonal menor mide 6 cm. [SOLUCIÓN: R = 12 5 ]
8. Dos cuadrados de 80 cm. de perímetro se unen de manera que forman un rectángulo.
Determina la medida de la diagonal del rectángulo formado. [SOLUCIÓN: R = 20 5 ]
5. Dibujar figuras que satisfagan las siguientes condiciones:
a) Una curva cerrada no simple poligonal de 4 lados
b) Un pentágono no convexo
c) Un cuadrilátero equiángulo
d) Un octógono convexo
a)
b)
c)
c)
6. La media aritmética de la medida de los ángulos interiores de polígono de n lados es
de 175º.
a) ¿Cuántos lados tiene)
b) Supongamos que el polígono tiene uniones flexibles en los vértices. Si el polígono se
deforma de manera rígida, ¿qué ocurre con la medida media de los ángulos interiores?
Explica tu razonamiento.
a) La amplitud media de los ángulos se obtiene dividiendo la suma de todos los ángulos
interiores por el número de sumandos, o sea, n:
(n − 2).180
= 175; Despejando n se obtiene, n =72
n
b) Algunos ángulos aumentan y otros disminuyen de tamaño, pero la media aritmética
de la medida de los ángulos es la misma.
7. El polígono de la izquierda de la figura adjunta contiene un punto S en su interior que
se puede unir a los vértices
mediante segmentos interiores al
polígono. Al trazar todos estos
•S
•S
segmentos
obtenemos
una
triangulación del interior del
polígono. Trazando un punto S en
6
el interior de un polígono de n lados, explicar cómo usar la triangulación que se obtiene
para deducir la fórmula (n-2).180º para la suma de las medidas de los ángulos interiores
de un polígono.
Porque se forman n triángulos, es decir, hay 180.n grados entre los ángulos interiores
del polígono y el ángulo central. Es necesario restar el ángulo del centro (360º), o sea
hay que restar el equivalente a “dos triángulos”, luego la formula es 180(n-2).
9. Un tetraminó es una tesela formada uniendo cuatro cuadrados congruentes, de manera
que los cuadrados adyacentes deben tener un lado común.
a) Formar los cinco tetraminós con formas diferentes.
b) ¿Se puede recubrir un rectángulo de 4 por 5 con los cinco tetraminós?
a) Estos son los cinco tetraminós. Los cuadrados se han coloreado en blanco y negro,
como en un tablero de ajedrez. En los cuatro primeros hay dos blancos y dos negros,
mientras que en el quinto hay tres negros y un blanco.
b) No se puede recubrir un rectángulo de 4x5.
Si coloreamos un rectángulo de 4x5 como un tablero de ajedrez habría 10 teselas
blancas y 10 negras. Esto muestra que los tetraminós no recubren completamente el
rectángulo de 4x5.
10. Recortar en cartulina varias copias de un hexágono convexo no regular que tenga
cada par de lados opuestos congruentes y paralelos.
a) ¿Se puede recubrir el plano con estas teselas? ¿Es necesario rotar el hexágono para
ponerlo en las posiciones sucesivas?
b) Repetir la actividad anterior pero tomando un hexágono convexo con sólo un par de
lados opuestos que sean congruentes y paralelos.
a)
b)
En este caso no hay que rotar el hexágona; En este caso sí hay que rotar las teselas
basta sólo trasladar las figuras
7
13. El vértice de la pirámide que muestra en la figura adjunta está en
el centro del cubo trazado en líneas de puntos. ¿Cuál es el ángulo
diedro que forma cada cara lateral de la pirámide con (a) la base
cuadrangular (b) una cada lateral adyacente?
45 grados en ambos casos. En esta figura se muestra una vista lateral; los segmentos que
unen el centro del cubo con los centros de las aristas forman 45º con las caras laterales
con perpendiculares a las bases.
45
45
8