Download Expresiones algebraicas y modelos geométricos

secuencia 3
Expresiones
algebraicas
y modelos geométricos
Propósito de la sesión. Obtener equivalencias
algebraicas entre expresiones lineales,
empleando al rectángulo como modelo
geométrico.
En esta secuencia reconocerás y obtendrás expresiones algebraicas
equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos
Organización del grupo. Se sugiere que
trabajen en parejas y que se organicen
momentos de intercambio grupal.
SESIóN 1
EXPRESIONES EQUIVALENTES
Para empezar
En primer año aprendiste a obtener expresiones algebraicas para calcular el área de distintas figuras geométricas. Por ejemplo, para un rectángulo de altura a y base b obtuviste la expresión ab.
Propósito de la actividad. Que los alumnos
recuerden, a partir de un ejemplo sencillo, el tipo
de situaciones en las que utilizaron expresiones
algebraicas durante el primer grado de la
secundaria. A partir de la expresión algebraica
que se propone para el cálculo del área de un
mismo rectángulo, los alumnos tratarán de
obtener expresiones equivalentes.
De igual manera, la expresión 4b representa el área
de un rectángulo que mide 4 unidades de altura
(a = 4) y b unidades de base.
4
Recuerda que:
ab = a ×b
4b = 4 ×b
Sugerencia didáctica. Dedique a esta actividad
sólo el tiempo necesario para que los alumnos
recuerden cómo se obtiene el área de cualquier
rectángulo (base por altura) y cómo se puede
expresar algebraicamente el área de un
rectángulo que mide 4 de altura y b de base.
Enfatice que en este momento no van a expresar
las unidades de medida.
b
Los siguientes rectángulos tienen altura 4 y distintas bases: 2, 3 y 6. El área de cada uno
se puede calcular usando la expresión 4b. Calcula las áreas usando esta expresión.
4 cm
4 cm
b = 2 cm
Área =
4 cm
b = 3 cm
Área =
b = 6 cm
Área =
46
Propósitos de la secuencia
Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo
de modelos geométricos.
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
Significado y uso de las operaciones.
Antecedentes
Durante el primer grado de la educación
secundaria los alumnos aprendieron a
identificar expresiones algebraicas equivalentes en el contexto del cálculo de áreas y
perímetros de figuras. En esta secuencia
trabajarán con expresiones algebraicas más
complejas que las de primer grado, pues
implican operaciones combinadas y el uso de
paréntesis. Se espera que los alumnos logren
reconocer y obtener ese tipo de expresiones a
través de la resolución de problemas en los
que se utilizan modelos geométricos.
82
Libro para el mae s t r o
1
Expresiones equivalentes
A partir del rectángulo como modelo geométrico,
obtener expresiones algebraicas equivalentes.
Interactivo
2
Más expresiones equivalentes
A partir de una expresión algebraica obtener otros
equivalentes apoyándose en el rectángulo como
modelo geométrico.
Video
“Más expresiones equivalentes”
Interactivo
MATEMÁTICAS
II
Propósito del interactivo. Obtener expresiones
algebraicas equivalentes para indicar el área de
un rectángulo.
En esta secuencia encontrarás distintas expresiones algebraicas que representan disitintas
formas de calcular el área de un rectángulo. Para simplificar los cálculos omitiremos las
unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centímetros.
Consideremos lo siguiente
De las siguientes expresiones, ¿cuáles representan el área del rectángulo
enmarcado en rojo?
Recuerden que:
Para indicar qu
e un número
multiplica a un
a exp
se usan los parén resión
tesis:
5 (b + 3) = 5 ×
(b + 3)
4
a
a) 4(a + 2)
b) 4a + 8
Propósito de la actividad. Que los alumnos
descubran que hay varias expresiones que sirven
para calcular el área de un rectángulo.
2
c) 4a + 2
d) 2(a + 2) + 2(a + 2)
Sugerencia didáctica. Antes de que los
alumnos respondan la pregunta, revise con ellos
la información que se presenta en el recuadro:
es importante que los alumnos se familiaricen
con el uso de los paréntesis para expresar una
multiplicación; coménteles que aun cuando la
utilización del signo × es correcta, como se
muestra en el mismo recuadro, lo mejor es
utilizar sólo los paréntesis para evitar
confusiones.
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Cómo saben cuáles son correctas y cuáles no?
Manos a la obra
I. Contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es la medida de la altura del rectángulo enmarcado en rojo?
altura =
4
Respuestas. Los incisos a, b y d son los correctos.
b) Escriban una expresión que represente la medida de la base de este rectángulo.
base =
Posibles errores. Es probable que los alumnos
identifiquen únicamente las expresiones
4(a + 2) y 4 a + 8 y que no consideren la del
inciso c). También puede suceder que algunos
alumnos opinen que la expresión 4 a + 2 es
correcta. Si esto sucede, permítales que en este
momento contesten lo que ellos consideren, más
adelante tendrán la oportunidad de revisar sus
respuestas y de corregir, si es necesario.
a+2
c) ¿Qué expresión resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la
base?
altura × base =
Sugerencias didácticas. Con el interactivo se
pueden resolver las actividades I y II del libro del
alumno. La primera parte ayuda a que los
alumnos obtengan el área de un rectángulo como
la suma de dos expresiones. La segunda actividad
ayuda a mostrar que el área del rectángulo se
puede obtener utilizando diferentes expresiones.
En la tercera actividad usted puede modificar el
nivel de dificultad de las expresiones propuestas
para obtener el área del rectángulo. Permita que
los alumnos exploren los diferentes ejercicios que
se les presentan en el interactivo.
4(a + 2)
47
3
Propósito de la actividad. Las actividades I y
II dan elementos que permiten establecer que
las expresiones 4(a + 2) y 4 a + 8 sí permiten
calcular el área del rectángulo. Aquellos alumnos
que ya las habían identificado podrán constatar
sus respuestas, y lo que no, tendrán oportunidad
de corregirlas.
Sugerencia didáctica. Anote las expresiones
algebraicas en el pizarrón y pregunte al grupo
cuáles consideraron correctas y cuáles no. Es
muy probable que haya respuestas distintas, por
lo que conviene que anime a los alumnos a que
expresen por qué consideran que alguna
expresión es correcta o no. Usted puede registrar
algunas de sus ideas en el pizarrón para,
posteriormente, volver a ellas y que los alumnos
vean si estuvieron en lo correcto o si es
necesario que corrijan algunas de sus respuestas. No es necesario que en este momento todos
lleguen a la respuesta correcta, podrán hacerlo
más adelante.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
83
secuencia 3
ii. Realicen lo siguiente.
a) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo verde oscuro:
b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo verde claro:
c) Observen que el área del rectángulo enmarcado en rojo es la suma del área del
rectángulo verde claro y del verde oscuro. Escriban otra expresión que represente el área del rectángulo enmarcado en rojo a partir del área de los rectángulos
verde claro y verde oscuro:
Comparen sus respuestas.
Propósito de la actividad. Que los alumnos
reconozcan la expresión 2(a + 2) + 2(a + 2)
como una expresión algebraica que sí permite
calcular el área del rectángulo.
iii. En la siguiente figura, la superficie del rectángulo enmarcado en rojo se dividió con
una línea horizontal.
2
2
a+2
a) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo gris oscuro:
2(a + 2)
b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo gris claro:
2(a + 2)
c) Usando las expresiones anteriores, escriban una expresión que represente el área
del rectángulo enmarcado en rojo:
2(a + 2) + 2(a + 2)
48
84
Libro para el mae s t r o
MATEMÁTICAS
II
Propósito del interactivo. Obtener expresiones
algebraicas equivalentes para indicar el área de
un rectángulo.
IV. Dividan el rectángulo de abajo y usen esa división para encontrar otra expresión algebraica que represente su área.
Sugerencias didácticas. Permita que los
alumnos exploren las diferentes formas en que
se pueden dividir los rectángulos. Pídales que
escriban las expresiones con las que se
determinaría el área del rectángulo. Si es
necesario recuérdeles que para obtener el área
del rectángulo original hay que sumar el área de
todos los rectángulos en los que se dividió.
4
a+2
Posibles dificultades. Probablemente algunos
alumnos no sepan cómo usar las dos expresiones (de los incisos a y b) para calcular el área
del rectángulo enmarcado en rojo (inciso c).
Anime primero a los alumnos para que
comenten cómo resolvieron el inciso c); es
probable que algunos hayan escrito (a + 2) ×
2 + (a + 2) × 2, dígales que esta expresión es
la misma que 2(a + 2) + 2(a + 2), pero que es
mejor no utilizar el signo × para evitar
confusiones.
Área =
Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información.
Existen varias expresiones algebraicas que representan el área de un rectángulo
de medidas 4 y (a + 2). Por ejemplo, las tres expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2)
representan su área.
V. Contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto vale la expresión 4(a + 2), si a = 3?
b) ¿Cuánto vale la expresión 4a + 8, si a = 3?
c) ¿Cuánto vale la expresión 2(a + 2)+2(a + 2), si a = 3?
VI. Completen la siguiente tabla calculando el valor de las expresiones 4(a + 2), 4a + 8
y 2 (a + 2) + 2 (a + 2) para los valores de a indicados en la primera columna.
a
4(a + 2)
4a + 8
2(a + 2)+2(a + 2)
4(4) + 8 = 16 + 8 = 24
4(4+2)=4(6)=24
4.5 4(4.5 + 2) = 4(11) = 44
4(4.5)+8=18+8=26
5 4(5 + 2) = 4(7) = 28
4(5) + 8 = 20 + 8 = 28
4
5.5 4(5.5 + 2) = 4(7.5) = 30 4(5.5) + 8 = 22 + 8 = 30
4(6) + 8 = 24 + 8 = 32
6 4(6 + 2) = 4(8) = 32
2(4 + 2) + 2(4 + 2) = 2(6) + 2(6) =
12 + 12 = 24
2(4.5 + 2) + 2(4.5 + 2) = 2(6.5) + 2(6.5)=
13 +13 = 26
2(5 + 2) + 2(5 + 2) = 2(7) + 2(7) =
14 + 14 = 28
2(5.5 + 2) + 2(5.5 + 2) = 2(7.5) + 2(7.5)=
15 + 15 = 30
Si aún hay dificultades, puede decirles que la
suma de las áreas de los rectángulos gris oscuro
y gris claro es igual al área del rectángulo
enmarcado en rojo. Posteriormente, lea junto
con los alumnos la información del recuadro y
pídales que regresen al apartado Consideremos
lo siguiente para que revisen sus respuestas, y
en caso de que sea necesario, las corrijan.
2(6+2)+2(6+2)=2(8)+2(8)=16+16=32
49
Propósito de la actividad. Que los alumnos
ejerciten la sustitución de valores en una
expresión algebraica.
Sugerencia didáctica. Para mayor rapidez pida
a las parejas que se organicen y que se dividan
las columnas, pero que hagan los cálculos paso
a paso como en los ejemplos. Antes de que
empiecen, usted puede revisar con todo el grupo
alguno de los ejemplos ya resueltos, haga
énfasis en que primero se resuelve la operación
que está indicada entre paréntesis. Mientras los
alumnos terminan, usted puede reproducir la
tabla en el pizarrón para que posteriormente
puedan compararse los resultados.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
85
Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos
que completen la tabla en el pizarrón,
escribiendo únicamente el resultado; en caso de
que haya diferencias en algún resultado, pida al
alumno que lo registró que escriba el desarrollo
completo de las cuentas, para que el grupo
pueda identificar si hubo algún error o no.
s e c uencia 3
Comparen los resultados que obtuvieron en las tres columnas y comenten:
¿Creen que para cualquier otro valor de a las tres expresiones coincidan?
Por ejemplo, ¿coincidirán para a = 163.25?
A lo que llegamos
Las expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) siempre dan
el mismo resultado al asignarle valores a a, pues representan el área
del mismo rectángulo, por lo que se puede escribir:
Para el valor de 163.25, una vez que los
alumnos hayan expresado su hipótesis, pídales
que la verifiquen sustituyendo el valor de a en
cada una de las expresiones. Para que esto sea
más rápido, unos alumnos pueden usar la
primera expresión, otros la segunda y otros la
tercera, y después comparan sus resultados.
4(a + 2) = 4a + 8 = 2(a + 2) + 2(a + 2)
A este tipo de expresiones se les llama expresiones equivalentes.
Vi. Completen la siguiente tabla.
a
4a + 2
4
Propósito de la actividad. Que los alumnos
constaten que la expresión 4 a + 2 no sirve para
calcular el área del rectángulo, pues el valor que
se obtiene con ella no coincide con el de todas
las demás.
4.5
4(4.5) + 2 = 18 + 2 = 20
5
5.5
6
La expresión 4a + 2 no representa el área de un rectángulo de lados que miden 4 y
(a + 2), ¿por qué?
Sugerencia didáctica. Si observa que los
alumnos tienen dificultades para responder a
esta pregunta, invítelos a comparar los
resultados que se obtienen con esta expresión,
con los que se obtuvieron en la otra tabla con
las demás expresiones. Una vez que se hayan
dado cuenta de que es errónea, pídales que
regresen al problema inicial y que revisen si la
habían elegido como correcta o no. También
puede recuperar alguna de las ideas que los
alumnos expresaron en el problema inicial
respecto a si esta expresión era correcta o no.
Lo que aprendimos
1. Las siguientes figuras son dibujos del mismo rectángulo, con distintas divisiones de su
superficie. Para cada una de estas figuras escribe una expresión algebraica que represente su área a partir de la división que se propone.
3
b+2
Expresión: 3(b +2)
50
Sugerencia didáctica. Comente al grupo que
cuando se multiplica por 1 no es necesario
escribirlo, por ejemplo, 1 × b se escribe
únicamente b. Esto debe considerarse particularmente para el tercer caso.
Una vez que los alumnos hayan concluido,
pídales que elijan un valor para b y que lo
sustituyan en las expresiones que elaboraron,
para verificar que efectivamente obtienen el
mismo resultado en todas ellas.
86
Libro para el mae s t r o
MATEMÁTICAS
II
1
3
2
b
Expresión:
b+2
2
3 b + 6 ó 3 b + 3(2)
Expresión:
2( b + 2) + ( b + 2)
2
2. Encuentren dos expresiones equivalentes que representan el área del rectángulo gris oscuro a partir de la
figura que se propone.
3
3 c–6 ó 3 c–(2×3)
3(c–2)
=
Expresión 1
Expresión 2
Incorporar al portafolios. Algunos alumnos
podrían creer que deben calcular el área del
rectángulo enmarcado en rojo. Acláreles que se
trata del rectángulo gris oscuro; asímismo, si lo
considera necesario, puede orientarlos
señalando que (c–2) representa la medida de la
base del rectángulo gris oscuro.
c
Llenen la siguiente tabla para verificar que las expresiones que obtuvieron dan el mismo
resultado al sustituir los valores c = 3, 3.5, 4, 4.5 y algún otro valor que elijan.
Expresión 1
Expresión 2
c
3
3.5
4
4.5
3. Dividan la figura de la derecha en rectángulos de menor área y encuentren dos expresiones equivalentes
que representen el área de la figura completa.
a(a + 2)
=
a
a 2 + 2 a
a+2
51
Sugerencia didáctica: Si los alumnos tienen
dificultades, usted puede sugerirles dividir la
figura usando una línea horizontal.
Una vez que hayan escrito las expresiones,
recuérdeles que para simplificar la notación se
acostumbra escribir a 2 en lugar de a × a.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
87
Propósito de la sesión. Obtener expresiones
algebraicas equivalentes a otra usando el
modelo geométrico del rectángulo.
secuencia 3
SESIóN 2
Organización del grupo. Se sugiere que los
alumnos trabajen en parejas y que el apartado
Lo que aprendimos se resuelva individualmente.
MÁS EXPRESIONES EQUIVALENTES
Para empezar
En la sesión 1 aprendiste a obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de un
rectángulo. En esta sesión aprenderás a obtener expresiones equivalentes a partir de
otra dada.
Consideremos lo siguiente
Propósito de la actividad: Introducir al
alumno a las dificultades que tiene la obtención
de expresiones equivalentes.
Para cada una de las siguientes expresiones encuentren una expresión equivalente.
Posibles dificultades. Algunos alumnos
podrían requerir de la representación del
rectángulo para comprender mejor las
expresiones equivalentes. Si es así, sugiérales
que intenten dibujar un rectángulo que les
ayude.
Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrarlas.
a) 3(x +2) =
b) 2(2x + 4) =
Manos a la obra
i. Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 3(x+2)
Expresión
Rectángulo
3(x+2)
Sugerencia didáctica. Pida a algunas parejas
que presenten al grupo las expresiones
equivalentes que escribieron. En caso de que
algunos alumnos no estén de acuerdo con
algunas de las respuestas, invítelos a que den
sus argumentos. Si no logran identificar o
corregir sus respuestas, en las siguientes
actividades tendrán la oportunidad
de hacerlo.
Dividan la superficie del rectángulo anterior en varios rectángulos pequeños. Encuentren
las expresiones que corresponden al área de cada uno de los rectángulos pequeños y
anótenlas:
3(x+2) =
3 x+6
Comparen sus respuestas. Comenten cómo dividieron la superficie del rectángulo grande
y cómo encontraron el área de cada uno de los rectángulos pequeños.
52
Propósito del interactivo. Obtener expresiones
algebraicas equivalentes para indicar el área de
un rectángulo.
Propósito de la actividad. Que los alumnos
logren encontrar una expresión equivalente a la
expresión 3(x+2).
Respuesta.
3
x
88
Libro para el mae s t r o
2
MATEMÁTICAS
II
II. Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 2(2x + 4), divídanlo
en rectángulos más pequeños y encuentren sus áreas.
Expresión
Rectángulo
2(2x + 4)
2(2x + 4) =
4x + 8
Comparen sus respuestas y comenten: ¿son equivalentes las expresiones que obtuvieron?
¿Por qué?
Sugerencia didáctica. Si los alumnos presentan
dificultades para resolver, pídales que primero
intenten estimar las medidas de los segmentos
marcados usando expresiones algebraicas.
III. Usen la siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a x 2 + 2x.
x
x 2 + 2x =
x2
2x
x
2
x(x+2)
53
Posibles dificultades. Esta es la primera vez
que se estudia una expresión con coeficiente
distinto de 1 en la literal, los alumnos no
conocen un rectángulo que sirva para ello, sin
embargo se espera que puedan lograrlo
apoyándose en su experiencia adquirida con la
expresión 3(x + 2).
Respuesta.
2
x
x
4
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
89
Descripción del video. El video formaliza los
conceptos vistos a lo largo de la secuencia en
relación con las expresiones algebraicas
equivalentes a partir de modelos geométricos.
Se utilizan los recursos visuales para mostrar
las equivalencias algebraica y geométricamente.
Por tal razón se recomienda su uso al final
de la secuencia.
secuencia 3
A lo que llegamos
Más expresiones equivalentes
Cuando se quiere encontrar una expresión equivalente a otra dada, puede ser útil construir un rectángulo cuya área se represente con la expresión. Por ejemplo, para la expresión dada 3(2x + 1) se puede construir un rectángulo que mida 3 unidades de altura y
2x+1 unidades de la base:
1
1
1
x
x
1
Dividiendo este rectángulo en piezas de menor área se puede ver que la expresión 6x+3
también sirve para calcular su área, y por lo tanto es equivalente a la expresión 3(2x+1) .
Lo que aprendimos
1. Para cada una de las siguientes expresiones encuentra una expresión equivalente a
ésta.
6 x+9
a) 3(2x+3) = b) x (2x+4) =
2 x 2+4x
2. Para cada uno de los siguientes rectángulos anota las medidas de sus lados en los espacios marcados, y después usa la figura para escribir dos expresiones equivalentes
que representen su área.
a)
5
54
90
Libro para el mae s t r o
5 a+15
5a
15
a
3
=
5(a+3)
MATEMÁTICAS
II
b)
a
a 2+4 a
a2
4a
a
4
a(a+4)
=
Incorporar al portafolios. Si lo considera
necesario, sugiera a los alumnos calcular el área
de cada pieza y luego sumar todas las áreas.
3. Ayúdate de la siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a la expresión
(b + 1)(b + 2) =
b 2+3 b+2
1
b
b
1
1
Para saber más
Sobre otras expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos
consulta:
http://www.interactiva.matem.unam.mx
Una embarrada de álgebra
Binomio al cuadrado
Ruta: Álgebra
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora
(PUEMAC), UNAM.
55
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
91
secuencia 4
Propósito del programa integrador. Presentar
datos del grado como unidad de medida y explicar
la posición relativa de dos rectas en el plano y los
ángulos que se forman.
Ángulos
Propósito de la sesión. Identificar a los ángulos
como una herramienta para resolver problemas.
Utilizar el transportador para medir ángulos.
Organización del grupo. Se sugiere que los
alumnos trabajen individualmente y que se
organicen momentos para comentarios grupales.
En esta secuencia determinarás la medida de ángulos usando tu
transportador, y deducirás algunas medidas sin usarlo.
Descripción del video. Se hace un repaso
histórico de la medición de ángulos y el uso del
sistema sexagesimal. Se pone énfasis en la
asociación que tiene la medición de los ángulos
con la medición del tiempo. Se dan hipótesis de por
qué la circunferencia está dividida en 360 grados.
MEDIDAS DE ÁNGULOS
SESIóN 1
Para empezar
El grado como unidad de medida
La regularidad de los fenómenos naturales y astronómicos interesó a hombres de todos
los tiempos. Antiguas civilizaciones, como la babilónica, estimaron la duración del año
en 360 días. Como estas civilizaciones pensaban que el Sol giraba alrededor de la Tierra,
dividieron en 360 partes la trayectoria en la que veían moverse al Sol, haciendo corresponder a cada parte un día y una noche. Es probable que de esta división se derive la
división de un giro completo en 360 partes, llamadas grados.
Sugerencia didáctica. Comente con los estudiantes
las características de cada uno de los ángulos
mostrados. Por ejemplo, ¿cuáles son los lados en
cada uno?, ¿cuál es la dirección del giro?, ¿cuál es el
ángulo es mayor? ¿cuál es el ángulo menor?
Los siguientes son algunos ángulos que encontrarás frecuentemente en tus secuencias
de geometría. Observa sus medidas y sus nombres.
270º
Posibles dificultades. Para resolver el problema,
los alumnos necesariamente tienen que utilizar el
transportador. Pueden presentar dificultades o
errores como los siguientes:
180º
360º
90º
• Colocar el transportador en posición incorrecta.
• Confundir el sentido del giro y tomar medidas
que no corresponden (sobre todo con los
transportadores semicirculares).
Ángulo recto
En el baúl de su papá, Jaime encontró un viejo pergamino en el que se indica cómo
y dónde encontrar un cofre lleno de monedas de oro. Las indicaciones para llegar al tesoro estaban claras, pero una mancha de agua borró el mapa. Sigue las indicaciones y
ayúdale a Jaime a reproducir el mapa. Supón que un paso es igual a un centímetro.
56
Propósitos de la secuencia
Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos,
utilizando el grado como unidad de medida.
Sesión
Propósitos de la sesión
1
Medidas de ángulos
Identificar a los ángulos como una
herramienta para resolver problemas.
Utilizar el transportador para medir ángulos.
2
Ángulos internos de triángulos
Descubrir propiedades de los triángulos a
partir de la medición de ángulos.
Deducir medidas de ángulos.
3
Deducción de medidas de ángulos
Deducir la medida de ángulos a partir de las
características y propiedades de las figuras.
Hacer generalizaciones sobre medidas de
ángulos a partir de casos particulares.
Antecedentes
92
Libro para el mae s t r o
Recursos
Video
“El grado como unidad de medida”
Interactivo
Interactivo
Programa integrador 3
Forma, espacio y medida.
Desde la escuela primaria los alumnos han
trabajado con ángulos: los identifican, los miden
mediante diversos recursos, y los usan como
criterio para caracterizar determinadas figuras.
En el primer grado de la secundaria los ángulos
fueron un auxiliar importante para el estudio de
ciertas nociones, como la simetría y la bisectriz,
así como para la caracterización de los polígonos
regulares.
En este grado se pretende que los alumnos
formalicen sus conocimientos y que a partir de
ellos, elaboren deducciones sencillas que les
permitan resolver situaciones en las que tienen
que calcular la medida de un ángulo. Así mismo,
se promueve la habilidad para medir ángulos
utilizando el transportador.
Ángulo perigonal
Consideremos lo siguiente
Eje
Tema
Ángulo entrante
Son los ángulos que
miden más de 180º
y menos de 360º
Otra dificultad puede ser interpretar mal las
instrucciones. Usted puede ayudarlos a comprenderlas preguntando: ¿alguien ha entendido de qué
se trata el problema? ¿Cuál es el punto de partida?
¿Hacia qué dirección debe mirar la persona en el
punto de partida? ¿Y luego hacia adónde gira?,
etcétera. Debe tener cuidado en no mostrarles en
este momento la solución, sino únicamente
ayudarlos en caso de que tengan dudas con
algunas instrucciones. Lo interesante será ver cómo
colocan el transportador, cómo miden los ángulos
y el resultado que obtienen finalmente.
Formas geométricas.
Ángulo llano
MATEMÁTICAS
II
Para encontrar el cofre tienes
que llegar a la meseta del Cerro
Colorado y caminar hasta el
monolito que ahí encuentres.
Luego, tienes que sentarte en el
monolito viendo hacia al Este,
gira 60º al Norte y camina de
frente 3 pasos. En ese punto clava
una estaca. Regresa al monolito y
siéntate viendo al oeste. Gira 150º
al sur y camina de frente 4 pasos,
en este punto clava otra estaca.
El cofre está enterrado justo a la
mitad de la distancia entre las dos
estacas.
Propósito del interactivo. Mostrar el uso del
transportador y ejercitar su uso.
Sugerencias didácticas. El interactivo presenta
un transportador que por su tamaño y fácil
manejo puede ayudar a mostrar la manera
correcta de medir los ángulos a todo el grupo.
Pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón
a medir los ángulos presentados en el
interactivo.
Comparen sus mapas y comenten cómo hicieron para reconstruirlos.
Manos a la obra
I. Encierra con un círculo las ilustraciones en las que el transportador se utilice de manera correcta para medir el ángulo.
1
2
3
Propósito de la actividad. Que los alumnos
reflexionen sobre el uso del transportador para
medir ángulos.
4
Respuesta. Las ilustraciones 2 y 3 son las
correctas. En las ilustraciones 1, 4 y 5 el
transportador está mal colocado.
5
57
estaca 1
3
60º
150º
cofre
4
estaca 2
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
93
Sugerencia didáctica. Es importante que los
alumnos argumenten por qué consideran que
unas respuestas son correctas y otras incorrectas. Es posible que alguno de ellos haya utilizado
una de las erróneas; invítelos a comentar las
dificultades que tuvieron al utilizar el transportador en el problema inicial.
secuencia 4
Comparen sus respuestas y comenten los errores que descubrieron en el uso del transportador en las ilustraciones. Comenten ¿en la ilustración de abajo se está midiendo de
manera correcta el ángulo?
Respuesta. La medición no es correcta, pues se
está haciendo una lectura errónea en el
transportador.
ii. ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con las indicaciones del mapa para determinar el lugar de la primera estaca?
estaca 1
estaca 1
Respuestas. De izquierda a derecha, el primer
ángulo no mide 60°, y la longitud del lado
debería ser de 3 cm; el segundo ángulo sí
cumple con las indicaciones; en el tercero el
giro se hizo en sentido contrario, y en el cuarto
ángulo el punto de partida está mal orientado,
pues tendría que estar dirigido hacia el este, no
al oeste.
monolito
monolito
estaca 1
estaca 1
3
Sugerencia didáctica. Es probable que algunos
alumnos hayan cometido errores similares a los
que se presentan, por ello es importante que
expresen sus argumentos sobre cuál ángulo
cumple con las condiciones establecidas, de esa
manera será posible que quienes hayan tenido
errores o dudas, puedan corregirlos.
monolito
monolito
Comparen sus resultados y comenten los errores que descubrieron en los ángulos. Verifiquen sus mapas. Si es necesario, háganlos otra vez.
A lo que llegamos
Al medir un ángulo hay que colocar la marca central del transportador sobre el vértice
del ángulo. La marca que corresponde a 0° debe coincidir con un lado del ángulo.
115º
Sugerencia didáctica. Cerciórese de que todos
los alumnos tengan clara la forma correcta de
medir ángulos usando el transportador. Para ello,
dibuje un ángulo en el pizarrón y, si cuenta con
un juego de geometría grande, pida a un alumno
que pase a mostrar cómo se mide; también
pueden hacerlo en el cuaderno con cualquier
ángulo que ellos tracen.
94
Libro para el mae s t r o
58
115º
MATEMÁTICAS
II
Propósito del interactivo. Mostrar el uso del
transportador y ejercitar su uso.
III. A continuación se presenta una forma de medir ángulos mayores de 180º.
Sugerencias didácticas. Pida a los alumnos
que pasen al pizarrón a medir los diferentes
ángulos que presenta el interactivo.
D
Sugerencia didáctica. Generalmente los
estudiantes cuentan con transportadores de
180°, por lo que es importante apoyarlos
para medir un ángulo cuya medida es mayor
que 180°.
E
F
Prolonga uno de los lados del ángulo marcado de forma que la prolongación lo divida en dos ángulos.
cada uno de los ángulos que se formaron?
a) ¿Cuánto mide
b)
el ángulo marcado originalmente?
¿Cuánto mide
180º
y
100º
280º
Comparen sus respuestas y comenten: ¿habrá alguna otra manera de medir un ángulo
mayor que 180º? ¿Cuál?
IV. Recuerda que un ángulo está formado por dos semirrectas que tienen el mismo punto inicial. A las semirrectas se les llama lados del ángulo. Al punto inicial se le llama
vértice.
vértice
lado
lado
59
Respuesta. Otra forma es midiendo el
complemento de 360° del ángulo que se
quiere medir.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
95
s e c uencia 4
Anota en los cuadritos los números del 1 al 5 para ordenar de mayor a menor los siguientes ángulos.
1
Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos
para que expliciten que la longitud de los lados
de un ángulo no influye en la medida de éste.
4
5
2
3
Comparen sus respuestas. Comenten:
a) ¿En qué se fijaron para comparar los ángulos?
b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?
A lo que llegamos
La medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados. Por
ejemplo, el ángulo azul y el ángulo verde miden 100º.
60
96
Libro para el mae s t r o
MATEMÁTICAS
II
Incorporar al portafolios. Considere el primero
y el segundo problema para el portafolios. Para
el primer problema hay dos posibilidades
correctas para cada ángulo, de acuerdo con la
dirección que los alumnos decidan darle al giro.
Lo que aprendimos
1. Considera las siguientes semirrectas como un lado y su punto inicial como vértice.
Construye los ángulos que se piden, utiliza tu transportador.
Q
En caso de que los alumnos muestren errores en
la resolución de estos problemas, revise con
ellos nuevamente la forma correcta en que se
miden los ángulos usando el transportador
(apartado A lo que llegamos), y pídales que
midan y construyan ángulos de manera similar a
las actividades de este apartado.
E
R
120º
210º
70º
2. Usa tu transportador y determina cuánto miden los ángulos marcados.
Respuestas. El ángulo morado mide 150° y el
azul 100°.
3. Varios estudiantes fueron al museo y se pararon frente a una de las pinturas para
observarla mientras escuchaban la explicación del guía. Las figuras muestran la forma como se acomodaron los estudiantes. A fin de ver la pintura completa, identifica
quién tiene el mayor ángulo.
Respuesta. El estudiante que está en medio de
todos los demás.
¿Cuál de todos tiene el mayor ángulo para ver la pintura completa?
61
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
97
Propósitos de la sesión. Descubrir propiedades
de los triángulos a partir de la medición de
ángulos. Deducir medidas de ángulos.
secuencia 4
SESIÓN 2
Organización del grupo. Los alumnos pueden
resolver individualmente y comparar sus
respuestas con todo el grupo.
ÁNGULOS INTERNOS DE TRIÁNGULOS
Para empezar
Un ángulo se puede representar por medio de una letra mayúscula asignada a su vértice.
Por ejemplo, el siguiente ángulo se puede representar como D.
Sugerencia didáctica. Antes de que los
alumnos traten de construir los triángulos,
pídales que intenten anticipar una respuesta. Es
posible que la mayoría piense que las tres
opciones pueden ser las medidas de los ángulos
de un triángulo, pues es probable que no sepan
o que no recuerden que la suma de los ángulos
internos de un triángulo debe ser de 180º. En
caso de que algún alumno sí utilice ese
conocimiento para poder anticipar en qué caso
sí es posible construir un triángulo, invítelo a
que comente al grupo sus argumentos. En este
momento evite decir quién tiene la razón,
invítelos a que construyan los triángulos para
que verifiquen sus respuestas.
D
Consideremos lo siguiente
¿Cuáles de las siguientes ternas son las medidas de los ángulos internos de un triángulo?
Construye el triángulo correspondiente. Utiliza el segmento aB como uno de los lados.
a) 30°, 60°, 70°
a
Respuesta. La terna del inciso c) es la que
funciona para construir el triángulo.
B
¿Pudiste construir el triángulo?
Justifica tu respuesta
b) 50°, 70°, 120°
a
¿Pudiste construir el triángulo?
Justifica tu respuesta
62
98
Libro para el mae s t r o
B
MATEMÁTICAS
II
c) 50°, 60°, 70°
A
B
¿Pudiste construir el triángulo?
Justifica tu respuesta
Propósito de la actividad. Que los alumnos
identifiquen que las medidas de los ángulos
internos son características importantes para
determinar la posibilidad de que un triángulo
exista o no. Gradualmente irán identificando que
la suma de los ángulos internos de un triángulo
debe ser de 180º.
Comparen sus respuestas y comenten cómo construyeron sus triángulos.
Manos a la obra
I. La siguiente figura muestra una construcción incompleta en la que se intenta construir el triángulo con la terna de medidas 30º, 60º y 70° y con el segmento NM como
uno de sus lados. Completa la construcción.
a) Con tu transportador mide el tercer
ángulo interno de este triángulo.
¿Cuánto mide?
b) ¿Cuánto suman las medidas de los
ángulos internos de este triángulo?
70º
30º
N
M
Comparen sus respuestas.
II. En la siguiente figura se intenta construir un triángulo con la terna 50°, 70° y 120° como medidas
de sus ángulos internos y con el segmento QR
como uno de sus lados. Completa la construcción.
¿Pudiste construir el triángulo?
120º
Justifica tu respuesta
Q
R
63
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
99
secuencia 4
Comparen sus construcciones y comenten:
a) Si el ángulo en el vértice Q mide 50°, ¿cuánto mide el tercer ángulo interno?
b) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos internos que midan 70° y 120°?
¿Por qué?
Propósito de la actividad. Que los alumnos
observen el ángulo que se forma al juntar los
tres ángulos internos de un triángulo, para que
con ello se pueda mostrar que la suma de los
ángulos internos de un triángulo es igual a
180°.
iii. Dibuja un triángulo en una hoja blanca, pinta cada uno de sus ángulos internos de un
color distinto. Corta el triángulo en tres partes de manera que en cada parte quede
uno de los ángulos internos. Pega las tres partes haciendo coincidir los vértices en un
punto rojo, como se indica en las fotos. Ten cuidado de que no se encimen las partes
y que no dejen huecos entre ellas.
Sugerencia didáctica. Es posible que los
alumnos obtengan respuestas cercanas a 180°,
usted puede aprovechar para que los alumnos
reflexionen sobre la posibilidad de que haya
errores cada vez que hacemos mediciones, y que
esos errores son aceptables siempre y cuando
las diferencias sean mínimas.
Sugerencia didáctica. Aproveche la diversidad
de triángulos que los alumnos construyeron para
que concluyan que en todos los triángulos la
suma de las medidas de sus ángulos internos
es igual a 180°. Es recomendable trabajar con
ellos esta conjetura antes de leer el apartado
A lo que llegamos.
100
Libro para el mae s t r o
¿Cuánto mide el ángulo que se obtiene al pegar los tres ángulos del triángulo que
dibujaste?
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Creen que si dibujan otro triángulo, la medida del ángulo formado al pegar sus tres
ángulos internos sea la misma? ¿Por qué?
64
MATEMÁTICAS
II
Propósito del interactivo. Practicar el uso del
transportador, comprobar que la suma de los
ángulos interiores de los triángulos es 180°.
IV. Mide los ángulos internos de los siguientes triángulos. Anota las medidas en la tabla.
A
Deducir las medidas de los ángulos interiores de
otros triángulos.
P
R
X
H
Sugerencias didácticas. Pida a algunos
alumnos que midan los ángulos interiores de los
triángulos presentados en el interactivo,
mientras los demás llenan la tabla que se
muestra. Se pretende que los alumnos concluyan
que la suma de los ángulos interiores del
triángulo es 180°. Con esta información pida a
los alumnos que llenen las tablas que se
presentan en el interactivo.
Q
B
C
J
W
Triángulo
ABC
WXY
Y
I
Ángulo
Ángulo
Ángulo
Suma de las
medidas de los
tres ángulos
internos
A=
W=
PQR
HIJ
J=
A lo que llegamos
La suma de las medidas de los ángulos internos de cualquier triángulo
es igual a 180º.
65
Posibles errores. Es probable que los números
que anoten en la quinta columna no sean
exactamente 180º, pues son posibles algunos
errores en la medición.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
101
secuencia 4
Lo que aprendimos
1. Los triángulos equilateros tienen sus tres ángulos
internos iguales. Sin usar transportador, contesta la
pregunta.
Sugerencia didáctica. A partir de los
resultados obtenidos anteriormente, comente
con los alumnos cómo pueden deducir la
medida de los ángulos internos de un triángulo
equilátero (la medida es de 60°).
Propósitos de la sesión. Deducir la medida de
ángulos a partir de las características y
propiedades de las figuras.
¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos de
cualquier triángulo equilátero?
SESIóN 3
DEDUccIóN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
Para empezar
¿Sabías que en todos los triángulos isósceles
dos de sus ángulos internos son iguales?
Hacer generalizaciones sobre medidas de
ángulos, a partir de casos particulares.
Verifica esta propiedad en los siguientes triángulos isósceles y pinta del mismo color los ángulos que sean iguales.
Organización del grupo. Los alumnos pueden
resolver de manera individual y comparar sus
resultados con todo el grupo.
e:
Recuerda qu
ángulos
tri
n
ma
lla
Se
uellos
equiláteros aq
s tres
que tienen su
s.
lados iguale
e:
Recuerda qu
eles
ángulos isósc
Se llaman tri
nen
tie
e
qu
los
los triángu
ales.
dos lados igu
Sugerencia didáctica. El triángulo rojo es un
triángulo equilátero; comente con los alumnos
que el triángulo equilátero cumple con la
propiedad de los triángulos isósceles, pues dos
de sus ángulos son iguales. Los triángulos
equiláteros son de la familia de los isósceles.
A continuación se presentan varios problemas sobre medidas de ángulos.
66
102
Libro para el mae s t r o
MATEMÁTICAS
II
Lo que aprendimos
Otra forma de representar ángulos es con tres letras mayúsculas, una para el vértice y
dos para un punto de cada lado del ángulo. Así, el ángulo
R
T
S
se representará como TSR. Observen que la letra correspondiente al vértice se coloca
en medio de las otras dos.
1. El pentágono regular está inscrito en un círculo de centro O y radio OA.
C
O
B
A
Respuesta. 180º
Sin utilizar instrumentos de medición responde: ¿cuánto mide ABC?
Comparen y comenten sus respuestas.
Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuánto mide el ángulo central del pentágono?
b) ¿Qué tipo de triángulo es OAB?
c) ¿Cuánto miden OAB y OBA?
d)
OBA = OBC ¿por qué?
67
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
103
Sugerencia didáctica. Es importante que estos
ejercicios se realicen sin utilizar instrumentos de
medición.
secuencia 4
2. En los siguientes triángulos isósceles se marcó la medida del ángulo formado por los
lados iguales. Selecciona del recuadro las medidas de los ángulos faltantes y anótalas
en el triángulo correspondiente.
113º
72º
45º
100º
Incorporar al portafolios. Elija el problema 3
o el 4 para la evaluación. Aclare a los alumnos
que no deben utilizar el transportador para
resolver los siguientes problemas, pues pueden
hallar el valor de los ángulos estableciendo
relaciones entre las características de las figuras
y los conocimientos que han elaborado durante
esta sesión.
54º
80º
67.5º
33.5º
40º
3. Determina el valor de los ángulos marcados y escribe en tu cuaderno el proceso que
utilizaste para determinar el valor de cada uno.
Respuestas.
Hexágono: El ángulo mide 120°. El hexágono
puede dividirse en 6 triángulos. La medida del
ángulo central, y de los otros ángulos, es de 60°
por tratarse de triángulos equiláteros.
Pentágono: El ángulo mide 150°, pues se forma
con la suma de los 90° del ángulo del
rectángulo y los 60° del triángulo.
Hexágono regular
68
104
Libro para el mae s t r o
Pentágono formado
por un rectángulo y un
triángulo equilátero
MATEMÁTICAS
II
Respuesta. Mide 130°. En caso de que algún
alumno ponga una medida menor, es probable
que considere, de manera errónea, que como la
representación del ángulo rojo es menor que la
del ángulo gris, entonces el ángulo debe ser más
pequeño. En ese caso, aclare a los alumnos que
ese no es un buen criterio para comparar
ángulos, en cambio, hay información pertinente
en la que pueden apoyarse para determinar la
medida del ángulo, en este caso, la medida del
otro ángulo: 180° – 50° = 130°.
4. Sin utilizar instrumentos de medición, determina la medida de los ángulos marcados
con rojo en las ilustraciones.
N
50
º
R
S
M
T
RST =
O
MNO =
Para saber más
Sobre ángulos y cómo interactuar con ellos consulta:
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/index.htm
Ruta 1: El transportador de ángulos
Ruta 2: Ángulos complementarios y suplementarios
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
69
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
105
secuencia 5
Propósito del programa integrador. Presentar
datos del grado como unidad de medida y explicar
la posición relativa de dos rectas en el plano y los
ángulos que se forman.
Rectas y ángulos
Propósito de la sesión. Profundizar en el
estudio de las rectas paralelas al aprender a
trazarlas con regla y compás y poder definirlas
correctamente.
¿Cómo se llaman las rectas que no se cortan?, ¿y las que sí se cortan?;
cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos, ¿cómo se
relacionan sus medidas?
Organización del grupo. Se sugiere trabajar
en parejas todas las actividades de la sesión,
y llevar a cabo intercambios de respuestas y
comentarios con todo el grupo.
Este tipo de preguntas son las que podrás contestar cuando termines
de estudiar esta secuencia.
Materiales. Instrumentos geométricos: regla,
escuadras, transportador y compás.
sesión 1
Propósito de la actividad. El estudio de las
rectas paralelas inicia en tercer grado de
educación primaria, en donde una forma de
trazar rectas paralelas es el doblado de papel.
Utilizar nuevamente ese recurso es una manera
familiar y “tangible” de abordar el estudio de
una noción que será ampliada y enriquecida en
el transcurso de esta secuencia.
Consideremos lo siguiente
Posibles procedimientos:
• Marcar los puntos al “tanteo”, aproximando los
2 centímetros.
• Marcar puntos a 2 cm de la recta pero sin
conservar la perpendicularidad. Pueden darse
cuenta del error al tratar de trazar una recta,
pues los puntos no quedarán alineados.
• Marcar los puntos usando la escuadra para
medir los 2 cm de cada punto a la recta.
• Para los alumnos que tienen una idea clara de
que las paralelas son rectas que conservan la
misma distancia entre sí, es probable que tracen
la paralela a 2 cm (lo saben hacer con las
escuadras) y ubiquen diez puntos de ella. Este
procedimiento es el óptimo.
Tema
Formas geométricas.
Recuerden que:
a
un punto a un
La distancia de
lar
re la perpendicu
sob
de
mi
se
recta
recta.
la
a
nto
pu
l
de
Observen:
70
Propósitos de la secuencia
Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar
definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que
se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.
Sesión
Propósitos de la sesión
1
Rectas que no se cortan
Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al
aprender a trazarlas con regla y compás y poder
definirlas correctamente.
Interactivo
Aula de medio
2
Rectas que se cortan
Profundizar en el estudio de las rectas perpendiculares al aprender a trazarlas con regla y compás,
poder definirlas correctamente y distinguirlas de
las rectas oblicuas.
Interactivo
3
Relaciones entre ángulos
Identificar y definir a los ángulos opuestos por el
vértice y a los adyacentes. Descubrir las relaciones
entre las medidas de los cuatro ángulos que se
forman cuando dos rectas se cortan.
Video
“Parejas de rectas”
Interactivo
Antecedentes
Los alumnos han trabajado con las nociones de
ángulo y de rectas paralelas y perpendiculares desde
la escuela primaria y en el primer grado de la
secundaria. En ese último grado trazaron
perpendiculares y paralelas y midieron ángulos para
resolver situaciones relacionadas con las nociones de
simetría, mediatriz y bisectriz, así como para
construir diversas figuras geométricas. Se espera que
en el segundo grado, además de reconocer esos
tipos de rectas y las clases de ángulos, identifiquen y
describan sus propiedades, establezcan relaciones
entre ellos y elaboren argumentos para validar tales
propiedades y relaciones; asimismo, que sean
capaces de aplicar esas nociones para resolver
ciertos problemas.
106
Libro para el mae s t r o
Consideren que la recta roja representa una carretera y que
1 cm representa 1 km. La casa de Lety está situada a 2 km de la
carretera del lado donde está el punto azul, señala con puntos
cinco lugares donde podría estar la casa de Lety.
Recursos
Programa integrador 3
Forma, espacio y medida.
Para empezar
Desde la escuela primaria has estudiado el trazo de paralelas usando distintos recursos,
¿lo recuerdas? Uno de esos recursos fue el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los
dobleces tal como se muestra en la figura y marca las rectas paralelas. Después pega la
hoja en tu cuaderno.
Posible dificultad. No saber medir adecuadamente la distancia entre un punto y una recta, por
lo que es importante que les recomiende leer con
atención la nota del “Recuerden que”. Esta idea la
practicaron en primer grado (al medir la distancia
de puntos simétricos al eje de simetría y al medir
alguna de las alturas de un triángulo). Se espera
que la escala no represente una dificultad.
Eje
Rectas que no se coRtan
MATEMÁTICAS
II
Propósito de la actividad. Definir objetos
geométricos y comunicar a otros sus propiedades es una habilidad que tiene que ver con la
adquisición y el desarrollo de un lenguaje
matemático. Con esta actividad es posible
identificar el grado de comprensión que tienen
del objeto que están definiendo; al mismo
tiempo, los alumnos tienen la oportunidad de
expresar por escrito una idea. No se espera que
los alumnos den una respuesta totalmente
correcta o completa. Algunas respuestas podrían
ser: “Son dos líneas rectas que no se juntan”,
“Rectas que no se cortan”, “Rectas que están a
la misma distancia”.
Si localizaron bien los cinco puntos podrán unirlos con una línea recta, tracen esa línea
recta.
a) ¿Cómo son entre sí la recta roja y la que acaban de trazar?
b) Anoten dos cosas de su alrededor que representen rectas paralelas.
y
c) Escriban una definición para rectas paralelas.
Comparen las diferentes definiciones de rectas paralelas con sus compañeros y, entre
todos, elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qué la consideran incorrecta.
Manos a la obra
I. En cada caso marquen con
2
si las rectas representadas son paralelas.
1
2
3
4
5
6
Sugerencia didáctica. Si el tiempo se lo
permite, pida a los alumnos que primero
comparen en parejas, para que tengan la
oportunidad de corregir o enriquecer su
definición. Posteriormente, pida a cada pareja
que escriba en el pizarrón su definición para que
el grupo las analice. Para orientar la confrontación grupal, es importante que destaque:
• Las diferencias más relevantes entre las
definiciones formuladas por los alumnos.
• La idea de que todos los puntos de la recta
paralela a la recta roja equidistan de ella.
Si los alumnos consideran que alguna definición
es incorrecta, invítelos a que den sus argumentos; puede ayudarles planteando un contraejemplo para que después ellos también lo hagan.
Esto es un buen inicio de la argumentación y
sienta las bases para que, poco a poco, los
alumnos desarrollen el pensamiento deductivo
que ocuparán posteriormente en las demostraciones geométricas.
II. Se desea trazar una paralela a la recta que pase por el punto P.
P
71
Propósito de la actividad. Que los alumnos describan los pasos que se siguieron para
trazar una paralela que pasa por el punto P a partir del análisis de la construcción ya
realizada.
Es importante que los alumnos practiquen continuamente trazos geométricos porque con
ello profundizan en el estudio de las características y propiedades geométricas de las
figuras. Por otra parte, además de desarrollar su habilidad para interpretar instrucciones,
también es importante que aprendan a describir los pasos de una construcción, con la
finalidad de que sean competentes para comunicar ideas matemáticas.
Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que
escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las
correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea
lo más clara posible.
Propósito de la actividad. Que los alumnos
consideren la posibilidad de que dos rectas
(representadas por segmentos) que aparentemente son paralelas, sí llegan a cortarse al
prolongar los segmentos (como sucede en los
casos 2 y 4). Es decir, no basta con que vean que
los dos segmentos no se cortan, deben
considerar si sus prolongaciones tampoco lo
harán. El propósito de hacerlo sobre una
cuadrícula tiene que ver con la idea de que
rectas con igual pendiente son paralelas (esto lo
estudiarán en el bloque 3 y en tercer grado lo
retomarán al estudiar la pendiente como razón
de cambio). Recuerde a los alumnos que las
rectas se pueden prolongar en ambos sentidos.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
107
secuencia 5
Propósito del interactivo. Explorar paso a
paso la construcción de una recta paralela a
otra que pase por un punto dado.
La siguiente figura muestra un procedimiento completo con el que, usando regla y compás, se trazó una recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta negra.
Explorar las características de las rectas
paralelas.
P'
P
Sugerencias didácticas. Puede ocupar el
interactivo para verificar los pasos propuestos
por los alumnos. Además, al mover algunos de
los elementos de la construcción los alumnos
pueden explorar y generalizar características de
las rectas paralelas.
O'
O
En la actividad III del libro del alumno el
interactivo podría servir para que los alumnos
exploren cuáles de las definiciones de rectas
paralelas son correctas, o para mostrar
contraejemplos en los que no se cumpla alguna
de las características dadas.
c'
c
Analicen la figura y
a) Reprodúzcanla en su cuaderno.
b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.
iii. Subrayen las dos definiciones correctas de rectas paralelas. En cuanto a las incorrectas, busquen un ejemplo para mostrar por qué lo son.
3
a) Son rectas horizontales.
b) Son rectas que siempre conservan la misma distancia entre sí.
Propósito de la actividad. Aun cuando los
alumnos han trabajado desde la primaria con
las rectas paralelas, en esta actividad se espera
que sean capaces de expresar, por sí mismos, lo
que entienden de esa noción. Recuerde que es
importante que argumenten sus respuestas y
que sean capaces de expresar contrajemplos de
las definiciones que consideran incorrectas.
c) Son rectas que no se cortan.
d) Son rectas que tienen la misma medida.
A lo que llegamos
Las rectas que no se cortan se llaman rectas paralelas.
Respuestas: Los incisos b) y c) son los
correctos.
Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos en
la elaboración de argumentos con preguntas y
con ideas que les permitan identificar errores.
Por ejemplo, es probable que algunos alumnos
elijan el inciso d), este error puede ser resultado
de identificar a los lados opuestos de los
paralelogramos como rectas paralelas, por lo
que se han creado la imagen de que las
paralelas son del mismo tamaño; en este caso
es importante comentar con ellos lo siguiente:
• La rectas no tienen “medida” porque se
pueden prolongar, en ambos sentidos, todo lo
que deseemos.
• Aun cuando los segmentos paralelos sí
tienen medida, ésta no tiene por qué ser del
mismo tamaño; por ejemplo, en un trapecio
la pareja de lados paralelos siempre tiene
medidas diferentes.
108
Libro para el mae s t r o
Si una recta m es paralela a la recta n, esto se escribe: m II n.
72
2
Sugerencia didáctica. Lea y comente esta
información con sus alumnos. Pida que
comparen esta definición con la que ellos
escribieron en el inciso c) del Consideremos lo
siguiente, y que agreguen o corrijan a su
definición lo que crean necesario.
MATEMÁTICAS
II
Sugerencia didáctica. La solución de este
problema requiere saber un hecho importante:
dos rectas perpendiculares a una tercera son
paralelas entre sí. La forma en que se construyen
paralelas con doblado de papel se basa en ese
conocimiento. Si nota que los alumnos tienen
dificultades, invítelos a que analicen la
secuencia de doblado de papel que hicieron al
inicio de esta sesión. También puede ayudarlos
pidiendo que observen los bordes de la hoja de
su libro, que vean que los lados opuestos son
paralelos y los contiguos son perpendiculares, y
que pueden aprovechar esta perpendicularidad
para obtener paralelas (el transportador sirve
para trazar los ángulos de 90º).
Lo que aprendimos
1. Busca una manera de trazar rectas paralelas usando sólo regla y transportador. Cuando lo hayas hecho comenta en grupo los diferentes procedimientos, y si en alguno no
están de acuerdo argumenten sus razones (pista: analiza los dobleces que hiciste al
inicio de la sesión, te ayudará a resolver este problema).
2. En cada caso, traza una recta paralela a la recta H que pase por el punto M.
M
H
M
H
ReCTAs QUe se CORTAn
Para empezar
sesión 2
También las rectas perpendiculares pueden trazarse usando distintos recursos, como el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces que se muestran en la figura, marca
las rectas perpendiculares y después pega la hoja en tu cuaderno.
Sugerencia didáctica. Al igual que en el
problema inicial, en éste ya se establece un
punto por donde debe pasar la recta. Dado que
no se especifica qué instrumentos geométricos
deben emplear, los alumnos tienen al menos tres
opciones para hacer el trazo: usando dos
escuadras, la regla y el transportador o la regla
y el compás, siguiendo el procedimiento
ilustrado en el apartado Manos a la obra.
Propósito de la sesión: Profundizar en el
estudio de las rectas perpendiculares al aprender
a trazarlas con regla y compás, poder definirlas
correctamente y distinguirlas de las rectas
oblicuas.
Organización del grupo. Se sugiere que los
alumnos trabajen en parejas durante toda la
sesión y hagan una confrontación grupal.
Materiales. Instrumentos geométricos.
73
Propósito de la actividad. En la primaria los
alumnos iniciaron el estudio de las rectas
perpendiculares también usando el doblado de
papel. En esta actividad se recupera ese
procedimiento como punto de partida para
después arribar a un procedimiento más formal.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
109
Posibles procedimientos. Aun cuando no se
menciona el uso de instrumentos geométricos,
hágales notar que trazar una recta no puede
hacerse “a mano alzada”, es decir, sin ningún
instrumento; es importante que al menos usen la
regla. Posiblemente los alumnos relacionen
las rectas perpendiculares con la igualdad de los
cuatro ángulos y traten de trazarlas. Una forma
de hacerlo, aunque difícil, es al “tanteo”,
utilizando únicamente la regla. Otras formas de
hacerlo con instrumentos geométricos, son:
s e c uencia 5
Consideremos lo siguiente
En el primer recuadro tracen dos rectas que se corten formando cuatro ángulos iguales
y en el segundo recuadro tracen dos rectas que se corten formando ángulos que no sean
todos iguales.
a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del primer recuadro?
b) Si trazaron bien las rectas del primer recuadro, se trata de dos
rectas perpendiculares. Anoten dos cosas de su alrededor que
representen rectas perpendiculares.
• Usando las dos escuadras (lo hicieron en
primer grado).
c) Escriban una definición para rectas perpendiculares.
• Con el transportador y la regla.
Para el segundo caso (ángulos que no son todos
iguales), es suficiente la utilización de la regla.
d) Las rectas que trazaron en el segundo recuadro se llaman
Sugerencia didáctica. Al igual que en la
comparación de respuestas de la sesión 1, es
importante que invite a los alumnos a dar
argumentos y contraejemplos para los casos en
que consideren que una definición es incorrecta.
Usted puede apoyarlos enfatizando el hecho de
que si los cuatro ángulos deben medir lo mismo,
la medida será de 90º, es decir, deben ser
cuatro ángulos rectos.
Comparen las diferentes definiciones de rectas perpendiculares y rectas oblicuas con las
de sus compañeros y entre todos elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que
alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qué lo es.
oblicuas. Escriban una definición para rectas oblicuas.
Manos a la obra
i. En cada caso anoten si las rectas representadas son perpendiculares u oblicuas.
1
2
perpendiculares
4
74
Posibles procedimientos. Para determinar si
las rectas son perpendiculares, es importante
que los alumnos identifiquen si los ángulos que
forman las rectas son de 90º. Para ello, es
probable que recurran a procedimientos
empíricos, como usar el transportador para
medir los ángulos o la escuadra para ver si los
ángulos son rectos; también es posible que se
apoyen en deducciones lógicas; por ejemplo, en
el caso número 4 pueden observar que al
prolongar las rectas éstas coincidirán con los
lados de un cuadrado que, como ya saben, sus
ángulos son rectos.
Libro para el mae s t r o
oblicuas
5
perpendiculares
110
3
oblicuas
6
perpendiculares
oblicuas
MATEMÁTICAS
II
Propósito del interactivo. Mostrar paso a paso
la construcción de una recta perpendicular a
otra que pase por un punto dado.
II. Se desea trazar una recta que pase por el punto P y que sea perpendicular a la recta
dada.
Sugerencias didácticas. El interactivo, a
diferencia del impreso, muestra paso a paso los
trazos realizados para obtener las rectas
perpendiculares; puede mostrarlo a los alumnos
y que ellos vayan escribiendo qué es lo que
observan, posteriormente pueden mover los
elementos que conforman la construcción para
explorar que si efectivamente las indicaciones
que escribieron se cumplen siempre o en qué
casos no.
P
La siguiente figura muestra un procedimiento completo para hacer el trazo con regla y
compás.
O
P
O'
En la actividad III del libro del alumno el
interactivo parmite a los alumnos explorar
cuáles de las definiciones de rectas perpendiculares son correctas, también permite mostrar
contraejemplos en los que no se cumple alguna
de las características dadas.
Analicen la figura y
a) Reprodúzcanla en su cuaderno.
b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.
Propósito de la actividad. Al igual que en el
trazo de una paralela a una recta, en esta
actividad se pretende que dado el punto de
partida y el resultado final, los alumnos puedan
reconstruir y comunicar los pasos que se
siguieron para trazar una perpendicular a una
recta que pase por un punto sobre ella.
III. Subrayen las dos definiciones correctas para rectas perpendiculares y para rectas
oblicuas, para las otras definiciones den un ejemplo de por qué las consideran incorrectas.
Rectas perpendiculares:
a) Son dos rectas, una vertical y otra horizontal
b) Son rectas que se cortan formando ángulos rectos
c) Son rectas que no se cortan
Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres parejas
que lean al grupo los pasos que escribieron para
reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a
los alumnos que hagan las correcciones que
consideren necesarias con la finalidad de que la
secuencia de trazos sea lo más clara posible.
d) Son rectas que al cortarse forman cuatro ángulos iguales
Rectas oblicuas:
a) Son rectas que se cortan formando ángulos iguales
b) Son rectas que se cortan formando dos ángulos agudos y dos obtusos
c) Son rectas que se cortan formando ángulos que no son rectos
d) Son rectas que no se cortan
75
Respuestas. Las definiciones correctas para el
caso de las rectas perpendiculares son los
incisos b) y d); y para el caso de las oblicuas son
los incisos b) y c).
Sugerencia didáctica. Insista en la importancia
de que los alumnos den argumentos convincentes y que en lo posible den contraejemplos para
aquellas definiciones que consideren incorrectas.
Por ejemplo, la definición errónea de rectas
perpendiculares que señala que una siempre es
vertical y la otra siempre horizontal, puede ser
discutida tomando como contraejemplo el caso
número 5 del apartado Manos a la obra,
actividad I.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
111
Sugerencia didáctica. Lea y comente esta
información con los alumnos. Puede pedirles que
la copien en sus cuadernos y que ilustren ambas
definiciones con representaciones diversas.
secuencia 5
A lo que llegamos
Si dos rectas que se cortan forman ángulos de 90º, entonces se llaman rectas perpendiculares; si se cortan formando ángulos que no
son de 90º, se llaman rectas oblicuas.
Si una recta p es perpendicular a la recta q, esto se escribe: p
q.
Para indicar que un ángulo mide 90º, es decir, que es recto, se coloca
en el ángulo una marca como la roja.
Sugerencia didáctica. Los alumnos podrán
resolver fácilmente este ejercicio a partir de la
consideración de que las perpendiculares forman
ángulos de 90º: pueden trazar una recta y luego
ayudarse del transportador para trazar la otra
recta en un ángulo de 90º. Pídale a algún
alumno que muestren en el pizarrón la manera
en que lo hizo.
Lo que aprendimos
1. Busquen una manera de trazar rectas perpendiculares usando sólo regla y transportador; cuando lo hayan hecho comenten en grupo los diferentes procedimientos, si
en alguno no están de acuerdo argumenten sus razones.
2. Realicen los siguientes trazos en una hoja blanca, utilizando sus instrumentos geométricos.
a) Un cuadrado de cualquier tamaño cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la
hoja.
Posibles procedimientos. Hay distintas formas
de resolver cada uno de estos ejercicios, permita
que los alumnos exploren diferentes posibilidades. Una forma sencilla de resolverlos es trazar
rectas perpendiculares, a partir de ahí se puede
trazar tanto el cuadrado como el rectángulo de
distintas maneras:
b) Un rectángulo de cualquier tamaño cuyos lados no sean paralelos a los bordes de
la hoja.
3. En cada caso, tracen una recta perpendicular a la recta r que pase por el punto P.
P
P
Para el cuadrado, trazar un círculo con centro
donde se cortan las rectas, y después unir los
cuatro puntos en los que la circunferencia corta
a las perpendiculares, para obtener los lados del
cuadrado.
También pueden trazar un lado del cuadrado de
la medida elegida y en los extremos de ese
segmento trazan dos segmentos perpendiculares
de la misma medida, luego trazan el cuarto lado
para cerrar el cuadrado. El rectángulo lo pueden
hacer igual, cuidando que el primer segmento
que tracen sea de medida diferente a las dos
perpendiculares de los extremos.
Para cumplir con la condición de que los lados
de las figuras no sean paralelos a la hoja del
cuaderno, es importante que las rectas
perpendiculares se tracen en una posición
distinta a aquella en la que una recta es
horizontal y la otra vertical.
112
Libro para el mae s t r o
r
r
76
Posibles procedimientos. Como no se indica
qué instrumentos geométricos deben utilizar, los
alumnos pueden recurrir tanto a las escuadras,
la regla y el transportador, como sólo a la regla
y el compás. Los trazos que se piden en este
ejercicio no son sencillos, si nota que sus
alumnos tienen problemas puede ayudarlos
dándoles algunas pistas.
MATEMÁTICAS
II
ReLACiOnes enTRe ÁnGULOs
sesión 3
Para empezar
Une dos palitos o lápices con una liga, como se muestra en la foto, y manipúlalos para
formar ángulos.
Propósito de la sesión. Identificar y definir
los ángulos opuestos por el vértice y los
adyacentes. Descubrir las relaciones entre las
medidas de los cuatro ángulos que se forman
cuando dos rectas se cortan.
Organización del grupo. Se sugiere que los
alumnos trabajen en parejas y que el apartado
Lo que aprendimos lo resuelvan individualmente.
Materiales. Un par de lápices, una liga y el
transportador que se propone en esta sesión.
¿Cuántos ángulos se forman?
,
¿son todos diferentes?
,
¿hay algunos que sean iguales entre sí?
.
Propósito de la actividad. La manipulación
de lápices unidos por una liga permite a los
alumnos experimentar distintas posibilidades de
formación de ángulos cuando dos rectas se cortan.
Coloca los palitos de tal manera que todos los ángulos sean iguales. Cuando los colocas
de esta manera ¿cuánto mide cada ángulo?
Consideremos lo siguiente
Sin utilizar transportador, en cada pareja de rectas averigüen y anoten la medida de cada
uno de los tres ángulos a, b y c.
a
b
60º
c
a
90º
b
c
115º
a
b
c
77
Sugerencia didáctica. Es importante que los
alumnos no usen el transportador, pues esa
restricción favorece que recurran a otros
conocimientos que les permitan relacionar la
medida del ángulo dado y los ángulos a, b , c.
Posibles procedimientos. Los alumnos pueden
apoyarse tanto en su percepción visual como en
sus conocimientos previos para hacer estimaciones y para establecer distintas relaciones entre
los ángulos, por ejemplo:
• Apoyándose en la percepción visual, es
posible identificar que el ángulo b es igual
al ángulo del que se conoce la medida;
y en el caso de las perpendiculares es sencillo
visualizar la igualdad de los ángulos (los
alumnos aprendieron en la sesión 2 que
las rectas perpendiculares forman ángulos
de 90º).
• Pueden determinar las medidas recurriendo a
alguna de las siguientes relaciones: el ángulo
del que se conoce la medida forma, junto con
el ángulo a (o el c), un ángulo de 180°, de la
misma manera que el ángulo b y el ángulo c
(o el a). A partir de ahí se puede restar a
180º la medida del ángulo conocido para
obtener la del otro ángulo. La otra posibilidad
es que, sabiendo que los cuatro ángulos
suman 360°, y que el ángulo dado y su
opuesto miden lo mismo, sumen esas dos
medidas y resten esa suma a 360°, y luego
dividan el resultado entre 2 para obtener
el valor de los ángulos a y c (porque a y c
son iguales).
En caso de que no obtengan todos los resultados
correctos, en la confrontación tendrán la
oportunidad de verificar sus respuestas usando
un transportador.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
113
secuencia 5
2
Comparen sus resultados. Sólo hasta que todos estén de acuerdo podrán utilizar el transportador y medir los ángulos, para verificar sus respuestas. Comenten:
Sugerencia didáctica. Antes de llevar a cabo
la comparación grupal, puede pedir a los
alumnos que primero comparen entre parejas,
para que todos tengan la oportunidad de
intercambiar sus respuestas y puntos de vista.
En la comparación grupal, en caso de que aún
haya diferencias, invítelos a que argumenten
sus respuestas antes de recurrir a la medición
de ángulos. Finalmente, pídales que verifiquen
utilizando el transportador.
a) ¿Cómo pudieron calcular la medida de los ángulos?
b) ¿Cuál es la relación entre los ángulos a y c de cada pareja de rectas?
c) ¿Cuál es la relación entre los ángulos a y b de cada pareja de rectas?
Manos a la obra
i. De acuerdo con lo ilustrado contesten lo que se pide.
Los ángulos a y b son ángulos opuestos por el vértice
Propósito de la actividad. La elaboración de
definiciones y de argumentos respecto de la
validez o no de una definición, es una habilidad
que se desarrolla gradualmente en los alumnos,
por ello es importante que tengan la oportunidad de expresar sus propias ideas aun cuando
éstas sean incompletas o incorrectas.
Los ángulos c y d son ángulos adyacentes
a
b
d
d
c
b
b
a
Sugerencia didáctica. En caso de que algunos
alumnos quieran consultar un diccionario u otra
fuente para investigar estas definiciones,
invítelos a que primero traten de enunciar la
definición y que después la comparen y la
complementen con lo que dice el diccionario.
b
a
c
d
a
c
c
d
Escriban una definición para:
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos adyacentes
3
Sugerencia didáctica. Es importante que invite
a los alumnos a argumentar sus puntos de vista
acerca de las diferentes definiciones que surjan
en el grupo. Recuerde que la elaboración de
argumentos es una parte fundamental del
conocimiento matemático, además de que
prepara a los alumnos para las demostraciones
formales que tendrán que hacer en grados
posteriores.
114
Libro para el mae s t r o
Comparen las definiciones que escribieron para ángulos opuestos por el vértice y ángulos
adyacentes.
Si alguna definición les parece incorrecta traten de dar argumentos de por qué lo consideran así; por ejemplo, si algún equipo define a los ángulos opuestos por el vértice como
ángulos que son iguales, pueden poner de ejemplo que los ángulos de un triángulo equilátero son iguales, pero no son opuestos por el vértice.
78
Sugerencia didáctica. Si algunos alumnos
definen a los ángulos opuestos por el vértice
como ángulos que son iguales, usted puede
precisar que realmente no están dando una
definición de ángulos opuestos, sino una
propiedad, pues hay ángulos que son iguales
pero que no están opuestos por el vértice.
MATEMÁTICAS
II
II. Realicen lo que se indica.
• Recorten una tira de papel de 10 cm de largo
por 12 cm de ancho; a lo largo de ella y pasando por la mitad, tracen una línea recta. Dibujen
un punto en el centro de la tira.
• Coloquen la tira en el transportador como se
muestra en el dibujo, de tal manera que puedan
girarla.
Giren la tira de modo que el ángulo 1 mida 30º. Ayúdense del transportador para
obtener las medidas de los ángulos 2, 3 y 4. Anoten esas medidas en la tabla que se
muestra adelante, en el renglón del ángulo de 30º. Repitan lo mismo con las otras
medidas que se indican en la tabla para el ángulo 1.
120º
105º 90º 75º
60º
135º
45º
150º
30º
165º
15º
180º
360º
195º
345º
210º
330º
225º
315º
240º
255º270º 285º
300º
79
Propósito del interactivo. Explorar las
propiedades de los ángulos formados por dos
rectas.
Sugerencias didácticas. En el interactivo se
puede trabajar con otras medidas de los
ángulos, lo cual ayudaría a mostrar contraejemplos o para que los alumnos generalicen las
características de los ángulos opuestos por el
vértice y de los ángulos adyacentes. El
interactivo puede servir para generar otros
ejercicios que les permitan a los alumnos validar
sus hipótesis, o en su defecto presentarles
contraejemplos para que analicen en qué casos
son ciertas y en qué casos no. Se pueden
adecuar los ejemplos de acuerdo a las
necesidades de los alumnos aumentando o
disminuyendo el grado de dificultad de los
ejercicios planteados a los alumnos.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
115
secuencia 5
Ángulo 1
Ángulo 3
150°
30°
Ángulo 4
150°
45º
135°
45°
135°
75º
105°
75°
105°
90º
90°
90°
90°
130º
50°
130°
50°
145º
35°
145°
35°
b) ¿Y entre las medidas de los ángulos 2 y 4?
Son iguales
c) ¿Entre las medidas de los ángulos 1 y 2?
Suman 180°
d) ¿Y entre las medidas de los ángulos 3 y 4?
Suman 180°
Son iguales
e) Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen que sus
respuestas coincidan con las relaciones que acaban de encontrar.
A lo que llegamos
Cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos.
b
c
a
d
Los ángulos a y c son opuestos por el vértice, observa que tienen el
mismo vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del
otro. Los ángulos a y b suman 180º y, además, son ángulos adyacentes, observen que tienen en común el vértice y un lado.
Descripción del video. En el video se muestran
de manera visual y dinámica las posiciones
relativas de dos rectas en el plano, el trazo de
rectas paralelas y perpendiculares y las relaciones
que hay entre los ángulos cuando las dos rectas
se cortan. Este video se puede utilizar al final de
la secuencia para reafirmar lo visto a lo largo
de ésta.
Parejas de rectas
Ahora sabes que dos rectas pueden cortarse o no cortarse. Si se cortan pueden formar
ángulos rectos o ángulos no rectos.
80
Libro para el mae s t r o
a) ¿Qué relación encuentran entre las medidas de los ángulos 1 y 3?
Sugerencia didáctica. Si lo considera
necesario, organice una puesta en común para
que los alumnos comenten sus hallazgos acerca
de las relaciones entre los ángulos. Lean y
comenten en grupo la información del apartado
A lo que llegamos; para ello, puede apoyarse en
el pizarrón para trazar ahí dos rectas que se
cortan e ir señalando los ángulos opuestos por
el vértice y los ángulos adyacentes que suman
180°. Enfatice en el hecho de que éstos últimos
son un caso especial, pues existen ángulos
adyacentes que pueden sumar más o menos de
180° (en la tabla de la actividad I del Manos a
la obra hay un par de ejemplos).
116
Ángulo 2
30º
MATEMÁTICAS
II
Incorporar al portafolios. Para los problemas
1 y 2, el propósito es que los alumnos integren
sus conocimientos algebraicos y los geométricos
para resolver una situación determinada, y para
el problema 3, que acudan a las relaciones ya
estudiadas entre dos rectas que se cortan y los
ángulos que se forman. Por ello es importante
que los alumnos no utilicen el transportador
para resolver y, en lo posible, tampoco para
verificar, pues tienen otros elementos que les
permiten revisar sus respuestas y elaborar
argumentos para validarlas.
Lo que aprendimos
1. Plantea una ecuación y encuentra el valor de los cuatro ángulos de la siguiente figura.
x + 20°
x
2. Si la suma de las medidas de dos ángulos adyacentes es 180°, y uno de ellos mide el
doble del otro, ¿cuánto mide cada uno?
3. Anota las medidas de los otros tres ángulos que forman las diagonales.
Respuesta: La ecuación que se debe plantear
es: x + x + 20 = 180. Al despejar x se tiene el
valor de uno de los ángulos y, sumando 20
a ese valor, se obtiene la medida del otro ángulo.
50°
Respuesta. Este problema puede resolverse
haciendo estimaciones y probando con distintas
medidas hasta obtener la correcta, o bien,
planteando la siguiente ecuación: x + 2 x = 180.
Deben constatar que efectivamente uno de los
ángulos mida el doble del otro.
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
De la Peña, José Antonio. “Rectas y puntos”, en Geometría y el mundo. México: SEP/
Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Sobre las ilusiones ópticas que se refieren a objetos geométricos, en particular a líneas paralelas consulta:
http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.php
http://perso.wanadoo.es/e/ochum/ilu02.htm
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Posibles procedimientos. Los alumnos pueden
resolver estableciendo las siguientes relaciones:
• La medida del ángulo opuesto al de 50°
es también de 50°, por ser opuestos
por el vértice.
• El ángulo adyacente al de 50° se obtiene
restando 180° menos 50°; la medida de ese
ángulo es de 130°.
81
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
117
secuencia 6
Propósito del programa integrador. Mostrar
los tipos de ángulos que se generan cuando dos
rectas paralelas son cortadas por una transversal.
Ángulos entre
paralelas
Propósito de la sesión. Identificar la igualdad
de los ángulos correspondientes cuando dos
rectas paralelas son cortadas por una transversal.
Organización de grupo. Se recomienda que los
alumnos trabajen en parejas y que se organicen
momentos para el intercambio grupal.
En secuencias anteriores has estudiado, por un lado ángulos, y por
otro rectas paralelas, ahora seguirás explorando ambos temas: ángulos entre paralelas. También trabajarás con los ángulos interiores de
triángulos y paralelogramos.
Materiales. Una hoja delgada de papel y tijeras.
Propósito de la actividad. Introducir el
término “secante” o “transversal”, el cual habrá
de utilizarse a lo largo de la secuencia.
SESIóN 1
r1
r2
t
Observa que la recta t corta a las dos rectas paralelas. Esta recta recibe el nombre de
transversal o secante.
Posibles procedimientos. Para resolver este
problema los alumnos cuentan con algunos
antecedentes: saben que dos ángulos opuestos por
el vértice son iguales y que cuando dos rectas se
cortan los ángulos adyacentes suman 180º, esto
hará que sea relativamente sencillo calcular el valor
de los tres ángulos que están junto con el ángulo
de 135º. Después se enfrentarán a la dificultad de
encontrar el valor de los otros cuatro ángulos, pues
hasta ahora no se ha estudiado la relación entre
éstos y los ángulos que ya determinaron.
Apoyándose en la percepción visual, los alumnos
podrían identificar que los dos conjuntos de
ángulos son iguales. Otro procedimiento es el de
calcar algunos ángulos y sobreponerlos en otros
para determinar si son iguales.
Consideremos lo siguiente
Sin medir, encuentren y anoten el valor de cada uno de los ángulos marcados con rojo.
r1
135º
45º
45º
r1 II r2
135º 45º 135°
Propósitos de la secuencia
Establecer las relaciones de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas
cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos
interiores de triángulos y paralelogramos.
Sesión
Propósitos de la sesión
1
Ángulos correspondientes
Identificar la igualdad de los ángulos correspondientes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una
transversal.
Aula de medios
Interactivo
2
Ángulos alternos internos
Identificar la igualdad de los ángulos alternos
internos y alternos externos cuando dos rectas
paralelas son cortadas por una transversal.
Aula de medios
3
Los ángulos en los paralelogramos y en el triángulo
Explorar las relaciones entre los ángulos interiores
de un triángulo y los ángulos interiores de un
paralelogramo.
Antecedentes
Recursos
Aula de medios
Video
“Relaciones importantes”
Interactivo
Programa integrador 4
Tema
Libro para el mae s t r o
135º
82
Forma, espacio y medida.
118
45º
r2
Comparen sus resultados con los del resto del grupo, y si hay resultados diferentes argu­
menten sus respuestas para convencer a sus compañeros.
Eje
En la secuencia 4 los alumnos aprendieron
diferentes definiciones de ángulos y
elaboraron deducciones sencillas para calcular
la medida de un ángulo. En la secuencia 5,
establecieron relaciones entre los ángulos que
se forman al cortarse dos rectas en el plano y
aprendieron a reconocer ángulos opuestos por
el vértice y ángulos adyacentes.
En esta secuencia los alumnos trabajarán con
los ángulos que se forman entre dos paralelas
cortadas por una secante: aprenderán a
establecer relaciones de igualdad entre ellos,
a justificar esa igualdad mediante la
elaboración de argumentos y a nombrar los
tipos de ángulos que resultan.
Para empezar
Considera las siguientes rectas paralelas, r1 y r2. Recuerda que esto se escribe: r1 II r2
Sugerencia didáctica. En varias actividades de
esta sesión se presentan a los alumnos paralelas
cortadas por una secante en distintas posiciones,
es decir: paralelas horizontales, paralelas verticales
y en diagonal, para que los alumnos no fijen la
noción de rectas paralelas a una sola representación. Si lo considera conveniente, puede trazar en
el pizarrón varios sistemas de dos paralelas y una
transversal para que los alumnos identifiquen
tanto las paralelas como la transversal.
Formas geométricas.
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES
MATEMÁTICAS
II
Propósito del interactivo. Explorar las
características de los ángulos formados por dos
paralelas cortadas por una transversal.
Manos a la obra
I. Realicen la siguiente actividad.
1. Tracen en una hoja blanca de papel delgado (de preferencia transparente) dos rectas paralelas y una
transversal, y numeren los ángulos de la siguiente
manera:
2
3
6
7
2. Marquen una línea punteada como la que se muestra
en el dibujo:
1
2
4
3
6
5
8
3. Corten la hoja por la línea punteada.
7
1
4
5
8
4. Coloquen una parte de la hoja encima de la otra de
tal manera que el ángulo 1 coincida exactamente con
el ángulo 5.
Los ángulos 1 y 5 se llaman ángulos correspondientes.
6 , ¿y del 3?
7 ¿ y del 4?
correspondientes?
b) ¿Cómo son entre sí las medidas de los ángulos
Las relaciones entre los ángulos se pueden
explorar de dos maneras con el interactivo,
una es moviendo los ángulos, para superponerlos,
y otra es midiéndolos con el transportador. Al
mover los ángulos, ya sea sobre la misma
paralela o hacia la otra, los alumnos pueden
explorar cuáles ángulos miden lo mismo, con la
finalidad de que puedan generalizar las
relaciones existentes entre los ángulos que se
forman cuando dos paralelas son cortadas por
una transversal.
Propósito de la actividad. Que los alumnos
comprueben, mediante la superposición de
figuras, que los ángulos correspondientes son
iguales. Asegúrese de que los alumnos
efectivamente lleven a cabo esta actividad.
Ahora tienen el ángulo 5 sobre el ángulo 1.
a) ¿Cuál es el ángulo correspondiente del 2?
Sugerencias didácticas. Al mover las rectas
paralelas o la transversal se representan una
infinidad de rectas paralelas y transversales,
lo cual permite mostrar a los alumnos que los
ángulos correspondientes son iguales no sólo
para el caso que ellos trazaron. Además se
pueden girar las rectas, para que los alumnos
observen y comprueben que las características
de los ángulos se mantienen independientemente de la posición de las rectas, siempre y cuando
éstas sigan siendo paralelas.
8
iguales
c) Verifiquen, midiendo, que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una trans­
versal los ángulos correspondientes son iguales.
83
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
119
Sugerencia didáctica. Es importante que
recuerde a sus alumnos que el símbolo se
refiere a la medida del ángulo, mientras que
el símbolo se refiere al ángulo. Así, a,
se lee “ángulo a”, mientras que a, se lee
“la medida del ángulo a”. Organice un
momento breve de comparación de respuestas.
Invite a los alumnos a que argumenten sus
afirmaciones.
secuencia 6
ii. Subrayen las afirmaciones verdaderas.
Recuerden que:
a”
a se lee “ángulo
a”
dida del ángulo
a se lee ”la me
a)
2=
b)
1=
5 porque son ángulos opuestos por el vértice.
c)
5=
7 porque son ángulos opuestos por el vértice.
5+
6 = 180º porque son ángulos adyacentes que se forman
d)
6 porque son ángulos correspondientes.
cuando dos rectas se cortan.
Respuestas. Deben subrayarse las afirmaciones
a, c y d.
iii. Completen el razonamiento para encontrar f considerando que
trata de dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
son correspondientes
a = e porque
Propósito de la actividad. El desarrollo de un
pensamiento deductivo es uno de los propósitos
de las matemáticas, por ello, con esta actividad
se propicia la elaboración de razonamientos
deductivos sencillos a partir de casos
particulares.
50º
Entonces, el ∠ e mide
a c
e
g
b d
f h
e + f = 180º
a = 50º y que se
porque
son adyacentes que se forman
cuando dos rectas se cortan
Por lo tanto,
130º
f=
iV. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente, identifiquen los ángu­
los correspondientes y verifiquen que sus respuestas hayan sido correctas.
3
Sugerencia didáctica. Es probable que los
alumnos no tengan la necesidad de demostrar
algo que les resulta obvio, y por ello mismo
tengan dificultades para elaborar argumentos.
En caso de que lo considere necesario, ayúdelos
a completar las afirmaciones.
V. Consideren ahora dos rectas que no son paralelas y que son cortadas por una transversal.
2
3
5
6
7
Sugerencia didáctica. Asegúrese de que sus
alumnos revisen las respuestas que dieron al
problema inicial.
1
4
8
a) En este caso también se dice que el ángulo 1 es correspondiente del ángulo 5,
y el 2 del 6, ¿cuál es el correspondiente del 3?
,
¿y del 4?
b) Comparen las medidas de los ángulos correspondientes cuando las rectas no son
paralelas.
84
Propósito de la actividad. Que los alumnos
consideren que incluso rectas que no son
paralelas, cuando son cortadas por una secante
también forman ángulos correspondientes, pero
en tal caso, esos ángulos no son iguales.
Recuerde que. Dos rectas que son cortadas por
una transversal son paralelas si –y sólo si–
forman ángulos correspondientes iguales.
120
Libro para el mae s t r o
MATEMÁTICAS
II
A lo que llegamos
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ángulos correspondientes iguales.
1
Incorporar al portafolios. Antes de que los
alumnos resuelvan, asigne al primero y al
segundo caso una letra a cada uno de los
ángulos, para que posteriormente puedan
comparar sus resultados. Si identifica que en
esos dos casos los alumnos tienen dificultades
para determinar las medidas, repase con ellos la
identificación de ángulos adyacentes, de ángulos
opuestos por el vértice (apartado A lo que
llegamos de la sesión 3, secuencia 5), y de
ángulos correspondiente (A lo que llegamos de
esta sesión).
2
1 es correspondiente al
El
2 , por lo tanto
1=
2.
Si dos rectas que no son paralelas son cortadas por una transversal los ángulos correspondientes tienen diferente medida.
Lo que aprendimos
Encuentra el valor de los ángulos que faltan en cada caso.
x
En el tercer caso se pretende vincular este tema
de geometría con el tema de ecuaciones; la
ecuación que debe plantearse es x + 3 x = 180º,
al despejar x se obtiene x = 45º, por lo que un
ángulo mide 45º y el otro 135º.
3x
80°
103°
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS
Para empezar
SESIóN 2
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos.
Observa que los ángulos 2, 3, 6 y 7 están dentro de las paralelas.
1
2
5
3
6
Estos ángulos se llaman internos.
4
7
8
Sugerencia didáctica. Lea junto con los
alumnos esta información, y coméntela. Usted
puede pedirles que comparen lo que aquí se
afirma con los casos que ellos resolvieron en las
actividades III y V.
¿Qué ángulos quedan fuera de las paralelas?
1, 4, 5, 8
¿Cómo crees que se llaman estos ángulos?
externos
85
También es probable que algunos alumnos lo
resuelvan por ensayo y error: si logran identificar
que un ángulo es el triple del otro (3 x) y ambos
suman 180º, pueden empezar a buscar parejas
de números que cumplan esa relación. Este
procedimiento también es válido.
Propósito de la sesión. Identificar la igualdad
de los ángulos alternos internos y alternos
externos cuando dos rectas paralelas son
cortadas por una transversal.
Organización del grupo. Se sugiere que los
alumnos resuelvan la sesión organizados en
parejas.
Propósito de la actividad. Que los alumnos
identifiquen a los ángulos que están dentro de
las paralelas como “internos”, y a los que están
fuera como “externos”. Si algunos nombran a
estos últimos “exteriores”, puede decirles que
aunque su respuesta es correcta, se acostumbra
llamarlos “externos”.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
121
s e c uencia 6
2
Consideremos lo siguiente
Sugerencia didáctica. El antecedente directo
de esta actividad es la actividad III de la sesión
anterior, en la que completaron un razonamiento
para determinar la medida de un ángulo. En este
caso ya no se les ofrecen afirmaciones para que
las completen, sino que ellos tendrán que
escribir, con sus propias palabras, el razonamiento deductivo que establece la igualdad entre los
ángulos a y h. Para ello es importante que usted
enfatice la indicación de que deben convencer a
alguien respecto de la igualdad de los ángulos
que se proponen.
Sin medir los ángulos, ¿cómo podrían convencer a alguien de que
argumentos.
a b
e f
Posibles dificultades. Aun cuando los alumnos
podrían disponer de las distintas formas de
resolver apoyándose en las relaciones entre
ángulos que han estudiado (opuestos por el
vértice, adyacentes suplementarios y correspondientes), podrían tener dificultades como las
siguientes:
Manos a la obra
i. Lean la siguiente información:
a) Si dos ángulos están de diferente lado de la transversal, en diferen­
te paralela y dentro de las paralelas, se llaman alternos internos.
Por ejemplo, los ángulos 2 y 7 son alternos internos.
Hay otra pareja de ángulos alternos internos, ¿cuál es?
1
• Los ángulos f y h son iguales por ser
correspondientes.
• Si el ángulo a es igual al ángulo f, y si el
ángulo f es igual al ángulo h, entonces los
ángulos a y h también son iguales entre sí.
122
Libro para el mae s t r o
3
6
6y3
4
7
8
b) Si dos ángulos están de diferente lado de la transversal, en diferen­
te paralela y fuera de las paralelas, se llaman alternos externos.
Por ejemplo, los angulos 1 y 8 son alternos externos.
Hay otra pareja de ángulos alternos externos, ¿cuál es?
5y4
c) En la figura del apartado Consideremos lo siguiente identifiquen án­
gulos alternos internos o alternos externos y verifiquen que miden lo
mismo.
ii. Con respecto a la figura del apartado Consideremos lo siguiente subrayen las afirma­
ciones que son verdaderas.
c) Establecer un razonamiento correcto pero no
poder expresarlo por escrito.
• Los ángulos a y f son iguales por ser opuestos
por el vértice.
2
5
b)No poder elaborar una secuencia lógica de
razonamientos, esto es, formular afirmaciones
que no se deducen de otras. Por ejemplo: “Los
ángulos a y f son iguales porque son opuestos
por el vértice, y los ángulos c y h también son
iguales porque son opuestos por el vértice,
entonces el ángulo a es igual al ángulo h”.
Sugerencia didáctica. Dado que hay distintas
formas de argumentar correctamente la igualdad
de esos ángulos, es conveniente que usted
prepare diferentes razonamientos que puedan
enriquecer los que surjan en el grupo. Un
razonamiento posible es:
d
h
Comparen sus argumentos con los del resto del grupo, observen que hay diferentes ma­
neras de llegar al mismo resultado.
a)No recordar las relaciones que se han
estudiado, o recordar algunas de ellas sin
poder hacer todos los vínculos necesarios
para resolver este caso.
Usted puede sugerirles que revisen la actividad
III de la sesión anterior y, principalmente, que
platiquen primero en cada pareja sus ideas, y
cuando uno de ellos logre convencer al otro,
entonces que traten de redactar esas ideas.
c
g
a = h? Anoten sus
a)
c=
b)
a=
f porque son ángulos alternos internos.
c porque son ángulos correspondientes.
c)
e=
d porque son ángulos alternos externos.
d)
a=
h porque son ángulos opuestos por el vértice.
86
Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los
alumnos efectivamente hagan esta actividad,
pues por un lado les ayudará a precisar las
nociones de ángulos alternos internos y alternos
externos, y por el otro, podrán constatar las
relaciones de igualdad que aquí se establecen.
Esta actividad no requiere de mucho tiempo,
pues ellos ya obtuvieron las medidas de esos
ángulos, sólo tienen que compararlas.
Respuestas. Incisos a, b y c.
MATEMÁTICAS
II
III. En la siguiente figura, los ángulos d y g son alternos internos entre dos paralelas cor­
tadas por una transversal. Completen el razonamiento para justificar que los ángulos
alternos internos siempre son iguales.
d = f porque
f=
g
porque
son correspondientes
son opuestos por el vértice
Entonces, como los dos ángulos, el ∠ d y el ∠ g son iguales
a d
b c
al ∠ f, podemos decir que
e
f
g h
Respuesta. Siguiendo el razonamiento anterior:
los ángulos a y e son iguales por ser correspondientes; los ángulos e y h son iguales por ser
opuestos por el vértice, entonces los ángulos a y
h son iguales.
los ángulos d y g son iguales
IV. Escriban en su cuaderno un razonamiento parecido para justificar que dos ángulos
alternos externos son iguales.
Sugerencia didáctica. Los alumnos pueden
elegir los ángulos a y h o los ángulos b y f para
hacer esta actividad, pero conviene que lo hagan
con a y h porque pueden usar después su escrito
para verificar lo que respondieron en el
problema inicial, como se pide en la siguiente
actividad.
V. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y revisen los argumen­
tos que dieron para justificar la igualdad de los ángulos a y h.
A lo que llegamos
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se
forman ángulos alternos internos y alternos externos que miden
lo mismo.
El ∠ 1 es alterno externo del ∠ 7 , por lo tanto
1=
7.
El ∠ 4 es alterno interno del ∠ 6 , por lo tanto
4=
6.
2
3
6
7
Sugerencia didáctica. Es importante que usted
formalice que los ángulos a y h son alternos
externos y que por lo tanto son iguales. Puede
pedir que identifiquen la otra pareja de ángulos
alternos externos y, si consideran que también
son iguales, pídales que den sus argumentos.
También pueden regresar a la actividad II del
Manos a la obra y corregir sus respuestas, en
caso necesario.
1
4
5
8
87
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
123
Respuesta. Cuando las rectas que son cortadas
por una secante no son paralelas, también se
pueden identificar ángulos alternos internos y
alternos externos, pero no hay ninguna relación
de igualdad entre sus medidas.
secuencia 6
Lo que aprendimos
1. Investiguen si hay o no alguna relación entre los ángulos alternos internos y alternos
externos cuando las dos rectas que corta la transversal no son paralelas.
SESIóN 3
Propósito de la sesión. Explorar las relaciones
entre los ángulos interiores de un triángulo y los
ángulos interiores de un paralelogramo.
LOS ÁNGULOS EN LOS PARALELOGRAMOS
Y EN EL TRIÁNGULO
Para empezar
Las relaciones entre las parejas de ángulos que se forman cuando dos rectas son cortadas
por una transversal se usan para seguir explorando y descubriendo otras propiedades de
las figuras.
Organización del grupo. Se sugiere que los
alumnos trabajen individualmente.
Lo que aprendimos
1. Considera la figura de la derecha y anota las medidas que faltan.
Propósito de la actividad. Que exploren las
relaciones entre los ángulos interiores de
paralelogramos. En esta actividad lo harán de
manera intuitiva, para un caso particular, y en la
siguiente actividad aplicarán sus conocimientos
sobre paralelas para el caso general.
1=
135º
5=
45º
2=
45º
6=
135º
3=
135º
=
45º
8=
135º
4 = 45°
Propósitos del interactivo. Explorar las
relaciones entre los ángulos interiores del
paralelogramo.
∠7
1
5
2
6
3
7
4
8
2. Considera los siguientes paralelogramos.
Sugerencias didácticas. Usando el transportador, los alumnos pueden tomar las medidas de
los ángulos opuestos o de los adyacentes, y
modificar el paralelogramo. Esto les permitirá
explorar varios paralelogramos y generalizar sus
características.
Puede ocupar el interactivo al final de la
actividad para que los alumnos comprueben las
conjeturas a las que llegaron. En caso de que
éstas se limiten sólo a algunos casos, moviendo
uno de los vértices se modificará el paralelogramo y usted podrá, mostrar contraejemplos que
permitan a los alumnos acotar cada vez más sus
respuestas.
124
Libro para el mae s t r o
a) En el romboide se ha marcado una pareja de ángulos opuestos. Cada cuadrilátero
tiene dos parejas de ángulos opuestos. Identifica y marca, con diferente color,
cada pareja de ángulos opuestos en cada paralelogramo.
88
MATEMÁTICAS
II
Propósito de la actividad. Se espera que los
alumnos identifiquen la igualdad de los ángulos
opuestos de un paralelogramo.
b) Subraya la afirmación verdadera
• Los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen diferente medida.
Sugerencia didáctica. Si lo considera
necesario, invite a los alumnos a que midan con
el transportador (se trata de una validación
empírica), o que recuerden algunas de las
características que ya conocen de estas figuras;
por ejemplo, en el caso del rectángulo y el
cuadrado saben que todos sus ángulos son
rectos, por lo tanto los ángulos opuestos son
iguales. Invítelos también a que traten de
identificar qué relación hay entre los lados de
los paralelogramos con la cuadrícula en la que
están dibujados.
• Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo.
• Los ángulos opuestos de un paralelogramo suman 180º.
3. Ahora, en el romboide se ha marcado una pareja de ángulos consecutivos.
a) Marca en los otros paralelogramos una pareja de ángulos consecutivos.
Respuesta. Sólo la segunda afirmación es
verdadera.
b) ¿Cuál es la relación entre las medidas de los ángulos consecutivos de un paralelo­
gramo?
Posibles dificultades. Es muy probable que los
alumnos anoten relaciones falsas o que sólo se
aplican para algunos paralelogramos. Por
ejemplo, si dicen que los ángulos consecutivos
son iguales, esto es válido para el cuadrado y el
rectángulo, pero no para el rombo y el romboide.
O bien, podrían afirmar que los ángulos consecutivos son uno agudo y el otro obtuso, pero el
cuadrado y el rectángulo son un contraejemplo.
Es importante que los invite a argumentar
cualquiera de las relaciones que establezcan.
4. Considera las rectas paralelas que resultan de prolongar los lados del paralelogramo.
a
2
1
e
r1
r1 II r2
t1 II t2
3
b
c
t1
4
5
d
r2
t2
a) Completa el siguiente razonamiento para demostrar que el ángulo 1 es igual al
ángulo 3.
1=
5 porque
son correspondientes
3=
5 porque
son alternos internos
Si ambos ángulos, el ∠ 1 y el ∠ 3, son iguales al ∠ 5, entonces:
1
=
3
b) Escribe en tu cuaderno un razonamiento para demostrar que el ángulo 2 es igual
al ángulo 4.
89
Posibles dificultades. Para los ángulos 1 y 5
se consideran las paralelas r 1 y r 2 con la
transversal t2 , por lo tanto son correspondientes. Para los ángulos 3 y 5 se consideran las
paralelas t 1 y t 2 con la transversal r 2, por lo
que son alternos internos. Es posible que
algunos alumnos tengan dificultades para
identificar qué paralelas con qué transversal
están en juego. Si lo considera necesario,
resuelva esta actividad con todo el grupo.
Sugerencia didáctica. Puede orientarlos
diciéndoles que elaboren un razonamiento
similar al anterior.
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
125
secuencia 6
5. Responde a las preguntas, se refieren a la figura anterior.
a) Considera la transversal t 1 y las rectas paralelas r 1 y r 2, ¿cuánto suman las medi­
180°
das de los ángulos 2 y 3?
Sugerencia didáctica. En la confrontación de
resultados es importante que formalice dos
propiedades de los paralelogramos:
2 + a = 180º
por ser adyacentes que se forman al cortarse dos rectas.
b) Justifica
tu respuesta
• Los ángulos opuestos de un paralelogramo
son iguales.
a=
3 por ser alternos internos.
a por
Sustituyendo
• Los ángulos consecutivos de un paralelogramo suman 180º.
2+
Esto lo trabajaron con casos particulares en los
ejercicios 2 y 3, y en los ejercicios 4 y 5
trabajaron el caso general con pequeñas
demostraciones.
3 en la suma anterior (porque son iguales)
3 = 180º
6. Revisa tus conjeturas de los ejercicios 2 y 3 y verifica si corresponden a los resultados
hallados en los ejercicios 4 y 5.
7. En la secuencia 4 exploraste la relación de los ángulos interiores de un triángulo,
¿cuánto suman los tres ángulos interiores de un triángulo?
Propósito del interactivo. Mostrar otra forma
de comprobar que la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es 180°.
8. Se tiene un romboide cualquiera y se traza una de sus diagonales, observa que se
forman dos triángulos. Completa el siguiente razonamiento para justificar que la
suma de los ángulos interiores del triángulo aBc es 180º.
Sugerencias didácticas. Usando el transportador los alumnos pueden obtener las medidas de
los ángulos interiores del triángulo, después
modificarlo y verificar que para cualquier
triángulo la suma de sus ángulos interiores es
siempre 180°. El interactivo puede servir para
generar otros ejercicios que le permitan a los
estudiantes validar sus hipótesis, o en su defecto
presentarles contraejemplos para que analicen
en qué casos son ciertas y en qué casos no. Se
pueden modificar los ejemplos para aumentar o
disminuir el grado de dificultad de los ejercicios
planteados a los alumnos.
Propósito de la actividad. Las demostraciones
no son sencillas para los alumnos y muchas
veces no comprenden por qué tienen que
demostrar, para un caso general, algo que ya
saben. En la secuencia 4 los alumnos exploraron
empíricamente la propiedad de que los ángulos
interiores de un triángulo suman 180º. En este
ejercicio se pretende que lo hagan para
qualquier triángulo.
126
Libro para el mae s t r o
B
d
b
e
c
a
a
c
d+
Si sustituimos
b+
e = 180º porque forman un ángulo de 180º.
d=
a porque
son alternos internos
e=
c porque
son alternos internos
dy
e por sus iguales, que son
a
90
+
b
+
c
ay
c , entonces la suma queda
= 180º
MATEMÁTICAS
II
Respuesta. Mide 40º (los tres ángulos suman
180º, la pared y el piso forman un ángulo de
90º y el otro ángulo es de 50º).
9. ¿Cuánto mide el ángulo formado por la escalera y la pared?
Descripción del video. El video muestra de
manera dinámica las relaciones que hay entre
los ángulos que se forman entre dos rectas
paralelas. Se destacan algunas de éstas figuras
como el triángulo y los paralelogramos. Los
recursos de traslación, rotación y reflexión de
ángulos, para sobreponer un ángulo sobre otro,
son utilizados para mostrar la congruencia que
existe entre los ángulos formados. El video se
puede utilizar al finalizar la secuencia como
apoyo para formalizar los conceptos que se
utilizaron.
50º
Relaciones importantes
Las relaciones de los ángulos entre paralelas y la de los triángulos y paralelogramos te
permiten resolver múltiples problemas.
Sugerencia didáctica. Comente con los
alumnos esta información y pídales que
verifiquen, en uno de los paralelogramos
anteriores, la tercera afirmación. Posteriormente
pueden copiarla en su cuaderno.
A lo que llegamos
Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º.
En un paralelogramo:
Los ángulos opuestos son iguales.
Los ángulos consecutivos suman 180º.
Los cuatro ángulos interiores suman 360º.
Para saber más
Sobre animaciones que representan la suma de los ángulos interiores de un triángulo consulta:
http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub
Ruta: Triángulos, prismas y pirámides
Ángulos en el triángulo
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
Resuelve el problema 2.1 de la página de internet de Educabri Clase 5:
http://www.oma.org.ar/omanet/educabri/00-05.htm
[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].
91
L i b r o p a ra e l m a e s t r o
127