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IPEP de Granada MATEMÁTICAS MAYORES 25 Ejercicios del tema 4 Trigonometría Dpto. de Matemáticas Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto) Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2 Ejemplo : De un rectángulo sabemos que el área vale 192 metros cuadrados y que une de sus lados mide 16 metros. Calcula cuánto mide la diagonal Solución: Siendo el lado L el que no conocemos tendremos Ejercicio 1: De un rectángulo sabemos que el área vale 192 metros cuadrados y que uno de sus lados mide 16 metros. Calcula cuánto mide la diagonal. Solución: El área del rectángulo se obtiene de multiplicar la base por la altura. Nos dan uno de sus lados (supongamos que es la base), entonces la altura mide 192 12 metros. Utilizando el 16 teorema de Pitágoras, la diagonal mide d a 2 b 2 122 162 144 256 400 20 metros Ejercicio 2: Calcula las dimensiones de un solar rectangular que tiene 140 metros de perímetro y 50 metros de diagonal Solución: El área del rectángulo se obtiene de multiplicar la base por la altura. Nos dicen que el perímetro es 140, es decir: 2a 2b 140 si dividimos entre 2 nos resulta que al sumar la base con la altura da 70 a b 70 y como nos dan la diagonal, utilizamos el teorema de Pitágoras d 2 a 2 b 2 . Luego 2500 a 2 b 2 . Despejando de la primera ecuación b 70 a y sustituyendo en la segunda ecuación 2500 a 2 70 a a 2 4900 140a a 2 2a 2 140a 4900 2 Pasamos el 2500 al otro lado 2a 140a 2400 0 y simplificamos esta 2 ecuación a 70a 1200 0 Por último sabemos que las soluciones de una ecuación de segundo grado de la 2 b b 2 4ac luego en 2a nuestro caso las soluciones de a 2 70a 1200 0 son forma ax 2 bx c 0 vienen dadas por x a 702 4·1·1200 70 2·1 70 4900 4800 70 100 70 10 2 2 2 luego una de las soluciones es a1 80 60 40 y la otra solución es a2 30 . Como 2 2 a b 70 sustituyendo por cada uno de estos valores obtenemos que uno de los lados del solar rectangular es de 40 metros y el otro de 30 metros Ejercicio 3: Calcula el área de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de sus catetos es el doble que el otro y que la hipotenusa mide 10 cm. Solución: El área del rectángulo se obtiene de multiplicar la base por la altura. Nos dicen que uno de sus catetos es el doble que el otro y que la hipotenusa mide 10 cm. Utilizamos el teorema de Pitágoras h 2 a 2 b 2 . Luego 10 a 2a 100 a 4a 5a 2 2 2 2 Despejando 100 5a 2 2 2 100 a 2 a 2 20 a 20 2 5 obtenemos que uno de los lados del 5 solar rectangular es de a 2 5 cm y el otro de 2a 4 5 cm. Luego el área es A a·2a a2 2 5 2 2 20 cm2. Razones trigonométricas: Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_2.html Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B. Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B. Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. Se denota por tg B Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B. Se denota por cosec B. Secante Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B. Cotangente Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B. Ejemplo Tenemos un triángulo cuyos lados miden a= 60mm b= 80mm c= 100mm que es rectángulo (compruébalo) y queremos saber sus razones trigonométricas así que Es un triángulo rectángulo, puesto que si elevamos el mayor de los lados y cada uno de los menores al cuadrado y sumamos el resultado de los cuadrados de los menores, da lo mismo que el mayor: 802 + 602 = 1002; luego el triángulo es rectángulo Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Si en particular tomamos un triángulo equilátero de lado 2 unidades, recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es 3 : Razones trigonométricas del ángulo de 45º Si dibujamos un cuadrado de lado 1 unidad, cada uno de los ángulos comprendido entre los lados son ángulos rectos. Si dibujamos una diagonal obtenemos. Ejercicio 1: Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encuentra el ángulo de elevación del sol en ese momento. Solución: Ejercicio 2: De un triángulo rectángulo ABC (rectángulo en A), se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resuelve el triángulo. Solución: Ejercicio 3: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resuelve el triángulo. Solución: Ejercicio 4: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resuelve el triángulo. Solución: Ejercicio 5: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resuelve el triángulo. Solución: Ejercicio 6: Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla? Solución: Ejercicio 7: Al mirar la cima de una torre, lo hacemos bajo un ángulo de 45º con la horizontal. Como nos deslumbra el sol, nos alejamos 40 metros de la base de la torre y el ángulo se reduce a 30º. Calcula la distancia que nos separa de ella ahora que no nos deslumbra el sol. Solución: Ejercicio 8: Al mirar la cima de un edificio, lo hacemos bajo un ángulo de 45º con la horizontal. Nos alejamos 200 metros de la base del edificio y el ángulo se reduce a 30º. Calcula la altura del edificio. Solución: Como el ángulo inicial es de 45º y sabemos que tg co y la tg 45º 1 , el cateto opuesto a 450 y el cateto cc contiguo valen lo mismo, como queda recogido en el dibujo adjunto. Al separarnos 200 metros obtenemos otro triángulo rectángulo en donde tg30º x luego 200 x 3 x 3 200 x de donde 200 3 3x 3x Resolvemos la ecuación 200 3 3x 3x 3 3 x Despejamos x 200 3 3 3 200 3 3 3 600 3 600 100 3 100 100 3 1 273'2 93 6 metros mide el edificio. Ejercicio 9: Desde un cierto punto del suelo, situado al oeste de una torre, vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 600. Si nos alejamos 300 m, en dirección oeste, lo vemos bajo un ángulo de 300. ¿Qué altura tiene la torre? Solución: En el dibujo adjunto, podemos ver una representación gráfica del enunciado. Si y es la altura de la torre, x la distancia de la base de la torre al primer punto obtenemos dos triángulos De aquí deducimos que tg 60º y es decir x 3 y x Luego tg30º y 1 y es decir 300 x 3 300 x Despejando 300 x 3 y x 3 y 300 Despejando y 3 x Sustituyendo en y 3 x el valor de x 3 y 300 obtenemos y 3 300 3 3 y y 2 y 300 3 y 3 y 300 3 y 300 3 300 3 150 3m 259'81m es la altura de la torre 2 Ejercicio 10: De un triángulo rectángulo se sabe que tiene un ángulo de 30 0 y que la altura correspondiente a la hipotenusa mide 3 cm. Halla la longitud de la hipotenusa y el área del triángulo. Solución: Si representamos gráficamente el enunciado, obtenemos: Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo. Identidades trigonométricas fundamentales cos² α + sen² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α Ejercicio 1: Se conoce el cos 53=0,6 y se quiere calcular cuánto valen el seno y la tangente Solución: Ejercicio 2: Se conoce la tangente de un ángulo vale 1/3 y se quiere calcular cuánto valen el seno y el coseno Solución: Ejercicio 3: Sabiendo que sec α = 2, 0<α< /2, calcula las restantes razones trigonométricas. Solución: Ejercicio 4: Si α es un ángulo del primer cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas si Solución: Si sabemos que aplicando la relación Como Razones trigonométricas de ángulos notables. Reducción de las razones al primer cuadrante en la circunferencia goniométrica. http://www.aritor.com/trigonometria/razones_trigonometricas.html Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa. -1 ≤ sen α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1 Signo de razones trigonométricas Ejercicio 1: Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α. Solución: Ejercicio 2: Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α. Solución: Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos. Razones trigonométricas del ángulo doble Ejercicio 1: Sabiendo que cos a) calcula sen (90 ) 3 y que el ángulo pertenece al 2º cuadrante, 5 Solución: Como cos 3 y además sen 2 cos 2 1 sustituyendo el valor anterior en esta 5 9 9 3 2 1 Despejando sen 2 1 fórmula sen Realizando la resta 1 es decir sen 25 25 5 25 9 16 de fracciones sen 2 De donde haciendo la raíz cuadrada y teniendo en cuenta que el 25 25 2 2 ángulo pertenece al 2º cuadrante y por tanto en él el valor del seno es positivo obtenemos sen 4 5 Según se observa en este gráfico sobre la circunferencia gnométrica (de radio unidad) el sen (90 ) coincide en longitud y signo con el 3 3 cos , luego el sen(90 ) Otra forma de haberlo calculado 5 5 es teniendo en cuenta que sen( ) sen cos cos ·sen Luego sen90 sen( 90) sen cos 90 cos·sen90 Como cos 90 0 y el 3 0'6 sen90 1 tenemos sen90 cos 5 b) calcula sen(2 ) 4 3 24 0'96 5 5 25 Solución: Según la fórmula del ángulo doble sen(2 ) 2sen cos 2· · Ejercicio 2: Sabiendo que A y B son ángulos del segundo cuadrante y que senA calcula cos A B y sen A B 2 1 y que cos B 2 2 Solución: Sabemos cos A B cos Acos B senAsenB y también sen A B senA cos B senB cos A luego para calcular cualquiera de ellos debemos tener en cuenta que 2 2 1 1 cos 2 A 1 de donde cos 2 A 1 sen A cos A 1 Sustituyendo por el valor que nos dan 2 2 2 2 2 y puesto que A es un ángulo del segundo cuadrante el signo de su coseno es negativo, luego cos A 2 1 De 2 1 igual forma que sen B cos B 1 Sustituyendo por el valor que nos dan sen B 1 de donde 2 1 3 sen 2 B 1 y puesto que A es un ángulo del segundo cuadrante el signo de su seno es positivo, luego 4 4 2 senB 2 2 3 3 Sustituyendo estos valores y operando obtenemos 4 2 cos A B cos A cos B senAsenB sen A B senA cos B senB cos A 1 1 2 3 1 1 6 2 2 2 2 2 2 4 2 1 3 1 2 3 2 6 2 2 2 2 4 4 2 2 Ejercicio 3: Sabiendo que cos sen 5 ; que el ángulo pertenece al 3º cuadrante; que 13 3 y que pertenece al 2º cuadrante, calcula 5 a) sen (90 ) b) tg (180 ) c) sen ( ) d) tg tg Solución: Si 3 sen 0 . 2 Como cos sen Si 2 cos 0 . 5 5 25 169 25 144 12 sen 1 cos 2 1 ( ) 2 1 13 13 169 169 13 13 3 3 9 cos 1 sen 2 1 ( ) 2 1 5 5 25 25 9 16 4 25 5 5 a) sen(90 ) b) tg (180 ) c) sen ( ) sen ( ) = sen . cos sen . cos - 12 4 3 5 48 15 33 .( ) .( ) 13 5 5 13 65 65 65 d) tg tg tg tg sen sen 12 5 3 4 12 3 48 15 63 : : cos cos 13 13 5 5 5 4 20 20 1 cos2 cos 1 cos2 Solución: Para simplificar la expresión tenemos en cuenta que sen 2 cos 2 1 y cos Ejercicio 4: Simplifica: también la fórmula para el coseno del ángulo doble cos2 cos 2 sen 2 Sustituyendo ambas en el numerador obtenemos Ejercicio 5: Resuelve 1 cos2 sen 2 cos 2 cos 2 sen 2 2 cos 2 2 cos cos cos cos sen x 1 2 Solución Ejercicio 6: Simplifica 4 2 2 sen sen .cos Solución: sen 4 sen 2 . cos 2 = sen 4 sen 2 .(1 sen 2 ) sen 4 sen 2 . sen 4 sen 2 También se podría sacar factor común sen 2 y tener en cuenta que sen 2 cos 2 1 Ejercicio 7: Si los ángulos A y B son del primer cuadrante, sen A B ? senA 1 1 y senB , ¿cuál es el valor de 2 3 Solución: Sabemos que sen A B senA·cos B cos A·senB por lo que calculamos previamente los cosenos de ambos ángulos: Ejercicio 8: Sabiendo que es un ángulo tal que cos2 2 y cuya tangente vale Solución: Tenemos en cuenta la igualdad fundamental de trigonometría 3 , calcula cos y 3 Ejercicio 9: Calcula sen y sen2 sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante y cos Solución: Como el cos 1 3 1 y sabemos que sen 2 cos 2 1 sustituyendo este valor obtenemos 3 1 1 9 1 8 1 sen 1 sen 2 1 sen 2 1 9 9 9 9 3 2 2 Haciendo la raíz cuadrada, tomamos sólo la solución positiva, puesto que se nos dice que es del 2º cuadrante sen 2 2 1 4 2 8 8 2 2 sen2 2sen cos 2 3 3 9 9 3 3 En resumen: sen 2 2 3 y sen 2 4 2 9 Ejercicio 10: Calcula sen2 y cos2 sabiendo que 3 2 y sen 3 cos 2 Solución: Como sen 3 cos y sabemos que sen 2 cos 2 1 sustituyendo obtenemos 3 cos 2 cos 2 1 9 cos 2 cos 2 1 10 cos 2 1 cos 2 un ángulo del 4º cuadrante, su coseno es positivo cos sen 3 cos 3 1 1 10 y puesto que 10 10 10 10 3 10 . 10 10 Teniendo en cuenta que sen2 2sen cos 2 Análogamente 1 Como es 10 cos2 cos 2 sen 2 3 10 10 6·10 6 3 0'6 10 10 100 10 5 1 9 8 4 10 10 10 5 Ejercicio 11: Sabiendo que tg 2 y que Solución: Como tg 2 y 2 , calcula sen2 y cos2 sen 2 sen 2 cos . Sabemos que sen 2 cos 2 1 cos sustituyendo obtenemos 2 cos cos 2 1 4 cos 2 cos 2 1 5 cos 2 1 2 cos 2 cos 1 5 Como es un ángulo del 20 cuadrante, su coseno es negativo 5 2 5 1 1 5 y puesto que sen 2 cos 2 . 5 5 5 5 5 Teniendo en cuenta que sen2 2sen cos 2 Análogamente cos2 cos 2 sen 2 2 5 5 4·5 4 0'8 5 5 5·5 5 1 4 3 0'6 5 5 5