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TEMA I
1. LOGICA SIMBOLICA
La lógica simbólica tiene un parecido con las matemáticas, no sólo en el uso de
símbolos casi matemáticos sino también en la presentación de la lógica a la
manera de un cálculo y la formulación de reglas a la manera de operaciones; estas
reglas rigen el uso de las conectivas, los cuantificadores y demás operadores. El
cálculo puede presentarse de manera axiomática, es decir, partiendo de un
número finito de axiomas o esquemas de axiomas, reglas de formación y reglas de
transformación, además del vocabulario básico; también puede presentarse de
acuerdo a otro método diferente del método axiomático, el llamado método de
deducción natural, cuyo punto de partida son oraciones básicas, conectivas y
reglas para las conectivas. Cuando las oraciones se cuantifican, tenemos reglas
para los cuantificadores, y el sistema de estas reglas abarca, como un caso
particular, toda la silogística aristotélica; si añadimos reglas de la identidad
tenemos el sistema de lógica elemental. La lógica elemental comienza con el
estudio de las conectivas y podemos preguntarnos qué unen esas conectivas;
pues bien, pueden unir varias cosas. El sistema de las reglas genera un cálculo
que puede interpretarse de varias maneras. Un cálculo sin interpretar constituye un
sistema formal, un sistema sintáctico que ofrece reglas para manipular, combinar y
generar símbolos a partir del vocabulario básico y las reglas. Podemos interpretar
esos símbolos como circuitos eléctricos, por ejemplo, y entonces ese sistema tiene
su aplicación en la electrónica y la computación. Pueden interpretarse también
como oraciones, juicios, proposiciones, enunciados, y esto abre nuevas
posibilidades de aplicación. En efecto, puede aplicarse entonces a diversos
segmentos de la realidad: a pensamientos o entidades psicológicas, oraciones o
entidades lingüísticas, proposiciones o entidades abstractas, a enunciados que
hablen acerca de eventos o acontecimientos. Pero la decisión respecto a cómo
interpretar esos signos o símbolos no corresponde a la lógica sino a la filosofía de
la lógica. Hay cierto consenso en que la lógica trata con oraciones, pues constituye
un lenguaje acerca de algo, pero también se ha mantenido que trata de juicios o
entidades psicológicas; hay de hecho toda una tradición que dice que la lógica es
ciencia del razonamiento correcto. Pero también hay acuerdo en que el
pensamiento es pensamiento de algo, y este algo puede ser extramental:
situaciones, eventos, estados de cosas. Por eso es fundamental la noción de
verdad en la lógica y con ella abordamos un aspecto importante: la semántica. Así,
la lógica estudia por una parte el aspecto sintáctico, las reglas para formar
oraciones y combinarlas; por otra, estudia las condiciones de verdad de las
oraciones, el aspecto semántico. Pero hay todavía otro aspecto: el pragmático,
aquel que estudia las relaciones entre el lenguaje de la lógica y sus usos. Un uso
tradicional ha sido la argumentación, el ofrecer argumentos para defender o refutar
una tesis. Esto nos lleva al contexto dialógico, a las relaciones entre personas que
quieren convencer de algo a alguien. En este sentido la lógica se acerca a la
retórica, a la persuasión o convencimiento, pero teniendo control sobre aquello que
se debate, control plasmado precisamente en el uso correcto de las reglas que
proporciona la lógica.
La Lógica Matemática es enteramente simbólica, usa signos artificiales para
convertir la argumentación en una suerte de cálculo al estilo algebraico; las reglas
de las operaciones que se realiza se refieren a la forma de los signos (artificiales) y
no a su sentido.
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1.1 Proposiciones
Las proposiciones son definidas, apenas "como un pensamiento completo".
Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una
sentencia.
Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen
valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso.
Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor.
Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son:
premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras
de veracidad y falsedad.
Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica
se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o
variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar
proposiciones.
1.2 Álgebra de proposiciones
A continuación se presentarán las proposiciones que darán paso a las leyes del
álgebra de proposiciones. Las proposiciones mencionadas, son lógicamente
equivalentes:
Las siguientes son Leyes del álgebra de proposiciones:
Leyes del Álgebra de Proposiciones
P ↔¬¬P
Doble negación
P ∧ P ↔P
Idempotencia
P ∨ P ↔P
Idempotencia
P ∨ (Q ∨ R) ↔(P ∨ Q) ∨ R
Ley asociativa
P ∧ (Q ∧ R) ↔(P ∧ Q) ∧ R
Ley asociativa
(P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
Ley del contra recíproco
(P ∨ Q) ↔ (Q ∨ P)
Ley conmutativa
(P ∧ Q) ↔(Q ∧ P)
Ley conmutativa
P ∨ (Q ∧ R) ↔(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Ley distributiva
P ∧ (Q Ú R) ↔(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Ley distributiva
¬ (P ∨ Q) ↔ ¬P ∧ ¬Q
Ley de De Morgan
¬ (P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q
Ley de De Morgan
¬ (P → Q) ↔P ∧ ¬Q
P ∨ Q ↔ (¬P → Q)
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1.3 Tablas de verdad
La interpretación de una fórmula queda completamente determinado por los
valores de verdad de las variables proposicionales (VP) que dicha
interpretación asigna a las letras enunciativas que aparecen en esa fórmula.
Una vez que conocemos el valor de verdad que la interpretación asigna a cada
VP y tenemos presentes las definiciones de los conectivos resulta fácil
determinar el valor de verdad que le corresponde a la formula completa.
El procedimiento de determinación requiere ir por pasos, estableciéndolos
valores correspondientes a los diferentes niveles de subfórmulas (indicados por
los paréntesis) hasta alcanzar el nivel de la fórmula completa. Así obtenemos
una tabla de verdad para la formula en cuestión. Una tabla de verdad establece
las diferentes posibles combinaciones de valores de verdad de las VP de una
fórmula y determina los valores correspondientes a esa fórmula para cada una
de esas combinaciones, es decir, cada renglón será una interpretación posible
para esa fórmula a partir de las diferentes combinaciones de valores de verdad
para las VP que la compongan
Cada tabla requiere un número de interpretaciones que se corresponde con el
número de combinaciones de valores de verdad para las VP que aparezcan en
la fórmula. El criterio para determinar cuantas interpretaciones posibles tiene
una fórmula depende del número de VP distintas que aparezcan en ella. Dado
que según el Principio de Bivalencia que rige la Lógica Clásica una fórmula
sólo puede tener dos valores de verdad (a saber, V o F) para una fórmula que
contenga n VP, ese número es 2n. Así la tabla de verdad de una fórmula que
tenga 2 variables tendrá 22 = 4 renglones, una que tenga 3, tendrá 23 = 8, una
que tenga 4 24 = 16 y así sucesivamente.
Luego de calcular el número de renglones necesarios (en este caso hay sólo
dos VP, luego serán 4 renglones) procedo de la siguiente manera:
Paso 1: La columna 1 corresponde a la asignación de todas las combinaciones
de valores de verdad posibles de las VP que aparecen en la fórmula
Paso 2: Calculo el valor de Verdad correspondiente a las negaciones de VP
Paso 3: Calculo los conectivos binarios que afecten directamente a VP o a
negaciones de VP
Paso 4: Calculo conectivos binarios que afecten a los resultados del paso
anterior hasta llegar al conectivo principal de la fórmula.
El resultado de la tabla aparecerá reflejado debajo del conectivo principal.
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El resultado de la tabla de verdad de una fórmula es la última columna
(correspondiente al conectivo principal de la fórmula molecular). Como se
habrá observado pueden ocurrir tres casos:
a) El resultado final de la tabla sólo arroja signos de V.
b) El resultado final de la tabla solo arroja signos de F.
c) El resultado final presenta signos de V y signos de F indistintamente.
Se dice que una fórmula es una TAUTOLOGÍA sí y solo si su valor de verdad
es siempre V para toda interpretación posible. Es decir, si el resultado de la
tabla arroja solo V en su columna final. Esto significa que la fórmula es
verdadera independientemente de como sea el mundo (es decir,
independientemente de los valores de verdad que tengan de hecho las VP
componentes) y SOLAMENTE es verdadera por la contribución semántica de
sus conectivos. Cada interpretación (renglón de la tabla) representa un modo
posible de ser “el mundo” – para la fórmula considerada – donde el total de los
mundos posibles está dado por el modo en que se “conectan” las VP.
Si la tabla de verdad arroja solamente F entonces decimos que la fórmula es
una CONTRADICCIÓN. Obviamente una fórmula resultará ser CONTINGENTE
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sí y solo sí su valor de verdad es F para al menos una interpretación y V para
al menos otra
2. DEFINICIÓN DE LÓGICA FORMAL
Para distinguir entre los razonamientos correctos y los incorrectos, la lógica opera,
principalmente, desde un punto de vista formal, es decir, considerando la forma o
estructura de un razonamiento y no su contenido o materia. Se dice que con la
lógica ocurre algo parecido a lo que sucede con la aritmética: cuando se suman
naranjas o manzanas, no interesan, en realidad, las manzanas o las naranjas, sino
ciertas relaciones formales como que "a+b=b+a", porque una vez establecida esta
relación formal la misma valdrá para múltiples reemplazos de "a" y de "b".
2.1 SINTAXIS
En la Lógica Formal se estudian los principios y métodos a través de los
cuales podemos determinar la validez de argumentos, desde el punto de vista
solamente de su estructura, sin tomar en cuenta el contenido semántico de las
expresiones de los argumentos. De esta manera si se argumenta que:
- Todos los majadistanenses son de Majadistán
- Rudistein es Majadistanense
- En consecuencia, Rudistein es de Majadistan.
En este argumento, no tomamos en cuenta si los majadistanenses son
humanos, perros, pericos o un concepto abstracto de cualquier área.
Tampoco nos importa si Rudinstein es un ciudad de alguna ciudad del mundo o
si es el nombre de un perro.
De esta manera desde el punto de vista de su estructura este argumento es
válido.
Se hace hincapié que la Lógica no se hace responsable de su aplicación a nivel
semántico.
Se puede decir que la Lógica es una herramienta para el análisis de la
veracidad de argumentos en base sólo a la estructura de éstos, donde el
significado de los elementos que intervienen no es tomado en cuenta.
El argumento anterior tiene dos partes principales:
a. Las premisas:
Todos los majadistanenses son de Majadistán
Rudistein es Majadistanense
b. La conclusión:
Rudistein es de Majadistán
De esta manera el argumento es válido, ya que de las premisas sigue la
conclusión, lo cual hasta cierto punto nos parece totalmente natural.
Consideremos el siguiente argumento:
Argentina está en África o Argentina está en Asia.
Argentina no está en Asia
En consecuencia, Argentina está en África.
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Nuevamente este argumento es válido desde el punto de vista lógico, aún
cuando sabemos que la conclusión es falsa.
¿Cómo puede ser esto? ¿A partir de la Lógica se pueden obtener
conclusiones equivocadas?
La respuesta es afirmativa, ya que la lógica no verifica el significado de las
premisas.
Debido a lo anterior es necesario distinguir entre proposiciones verdaderas y
proposiciones lógicamente verdaderas.
Las primeras son verdaderas independientemente de su estructura, mientras
que las segundos no lo son. De esta manera, las proposiciones:
Argentina está en África o Argentina está en Asia
Argentina está en África
Son verdaderas lógicamente debido a que la primera es una premisa y a que la
segunda ha sido derivada lógicamente de sus premisas.
Las proposiciones son
verdaderas o falsas.
expresiones que pueden ser evaluadas como
En los lenguajes naturales (Español, Inglés, etc), las proposiciones sólo pueden
ser expresiones declarativas y nunca interrogativas o imperativas.
De esta manera las siguientes son proposiciones:
Los cantantes no duermen.
Comer mucho, engorda
Las montañas cantan bonito
Los mosquitos viven menos de un año
El hombre desciende del elefante
Sin embargo, las siguientes no son proposiciones por no poder ser evaluadas
como verdaderas ni falsas:
¡Levántate temprano!
¿Has entendido lo que es una proposición?
¡Estudia esta lección!
¿Cuál es la dirección de la página de Lógica Computacional?
En este módulo estudiamos la lógica proposicional, es decir, se estudian los
principios para determinar la validez de argumentos conformados con
proposiciones. Esto involucra los siguientes tipos de proposiciones:
•
•
Proposiciones simples o átomos
Proposiciones compuestas
Los átomos o proposiciones simples son tales que no es posible encontrar en
ellas otras proposiciones, mientras que las proposiciones compuestas están
conformadas de varias proposiciones simples a través de lo que se denomina
conectores lógicos, entre los cuales se encuentran: y, o, implica.
Ejemplo de proposiciones compuestas son:
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Las montañas cantan bonito o Los mosquitos viven menos de un año.
El hombre desciende del elefante y Comer mucho, engorda.
2.1.1 CONECTIVAS LOGICAS.
Las conectivas lógicas también se llaman a veces operadores, y son de
dos tipos:
Operadores unitarios:
NEGACION: not, ¬
Operadores binarios:
CONJUNCION: and, &, y
DISYUNCION:
or
CONDICIONAL: implies, ==>, implica
BICONDICIONAL: <==>
3. Formulas bien formadas.
El Cálculo Proposicional estudia fórmulas proposicionales simples o compuestas.
Las proposiciones simples o átomos son representadas por símbolos,
generalmente las letras del alfabeto A,B,C,....
Para obtener proposiciones compuestas se utilizan, como se dijo antes, conectores
lógicos. Así la proposición compuesta A or B puede corresponder por ejemplo a:
El coronel no tienen quien le escriba or
La jubilación del Coronel Buendía es insuficiente para su familia
Una fórmula bien formada (fbf) es una expresión que representa una proposición
simple o compuesta, la cual esta bien escrita de acuerdo con determinada sintaxis.
Ahora bien, una fbf del Cálculo Proposicional, es una fórmula que está bien escrita
de acuerdo con la sintaxis del Cálculo Proposicional.
Las reglas de la sintaxis del Cálculo Proposicional definen de esta manera la forma
de escribir o reconocer sus fbf's. Estas reglas son:
a) Un átomo es una fórmula bien formada.
b) Si G es una fórmula bien formada entonces ¬G también lo es.
c) Si G y H son fórmulas bien formadas, entonces también lo son:
G&H
G or H
G ==> H
G <==> H
d) Todas las fbf's se obtienen aplicando a, b y c.
Es necesario puntualizar en la regla c anterior, que es posible utilizar otras
conectivas, pero sin embargo son reducibles a las que aquí presentamos.
De esta manera, fijaremos nuestra atención solo a las fbf's que aquí describimos.
Ejemplos de fórmulas bien formadas son:
P&Q
P ==> Q
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Ejemplos de fórmulas que no son bien formadas son: P &, ==>Q.
Nombre
Simbología
Significado
Negación
¬ ,− ,∼
No
Conjunción
∧ ,•
Y
Disyunción
∨
O
Condicional
→ ,⊃
Sí...Entonces
Bicondicional
↔ ,≡
Sí y solo sí
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