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Tema 1: Otros tipos de ecuaciones
En este tema trataremos otras ecuaciones distintas a las de primer y segundo grado.
Ecuaciones polinómicas
Caso general: son las formadas por un polinomio
igualado a cero.
Por ejemplo: -x3+2x2+x-2 = 0
En este tema se estudian aquellas que las soluciones son enteras y se pueden resolver aplicando la regla de Ruffini sucesivamente probando los divisores del término independiente (en el ejemplo propuesto se probaría con 1,‐1,2 y ‐2, siendo finalmente las soluciones: 1, ‐1 y 2). Una misma solución puede repetirse varías veces diciéndose entonces que son dobles (2 veces), triples (3 veces), etc. El número total de soluciones contando las repeticiones es igual al grado del polinomio. En este ejemplo vemos que es 3.
Ecuaciones productos: son el aquellas en el que el polinomio está
descompuesto en factores.
Por ejemplo (x-2)(x+5)(x-3)=0 = 0
Para obtener las soluciones basta igualar cada factor a cero.
X- 2 = 0 => x = 2 ; x+5=0 => x = -5 ; x-3 = 0 => x = 3
Ecuaciones irracionales
Son aquellas en las que aparecen raíces de
polinomios en su expresión.
ƒ
ƒ
ƒ
Para resolverlas se intenta aislar una de las raíces en un miembro y se elevan los dos al cuadrado para simplificarla. Si hubiera más de una raíz se repetiría el procedimiento.
Sustituir las soluciones obtenidas en la ecuación original para comprobar si son válidas. Hay que tener en cuenta que las raíces de índice par de números negativos no son válidas (no son números reales).
Puede ser necesario el utilizar el cuadrado de una suma o de una
(a ‐ b)2 = a2 ‐ 2ab + b2
diferencia: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Logaritmos
Es la operación inversa de la exponenciación. El
logaritmo en base a de un número c es el
exponente b al que hay que elevar la base a
para obtener el número c y se expresa de la
siguiente forma:
log a b = c <=> ac = b (siendo: a>0, b>0, a≠1)
Por ejemplo: log 2 16 = 4 ya que 24 = 16 Cuando la base es el número 10, se llaman logaritmos decimales (o también llamados
vulgares o de Briggs) y en este caso no hace falta especificar la base, de esta forma:
log 10 1000 lo escribiremos como log 1000 .
Propiedades
Ejemplos
log a 1 = 0 log a a = 1
log 5 1 = 0 log 5 5 = 1
log a b + log a c = log a b∙c
log a b ‐ log a c = log a b/c
log 2 5 + log 2 7 = log 2 5∙7 = log 2 35
log 2 45 ‐ log 2 7 = log 2 45/7 = log 2 5
log a bn = n log a b
log a an = n
log 2 54 = 4 log 2 5 ; log 63= 3 log 6
log 3 34 = 4 ; log 106 = 6
log a z = log b z/log b a
log 2 9 = log 5 9/log 5 2
log 2 15 = log 15/log 2
Ecuaciones exponenciales
Son aquellas en las que la incógnita está en el
exponente de alguna potencia de base conocida.
No todas estas ecuaciones se pueden resolver mediante transformaciones
algebráicas y se utilizan en dichos casos cálculos numéricos que nos dan
una solución aproximada de la solución exacta. En algunas de ellas hay
que aplicar logaritmos.
Tipos:
ƒ
ƒ
3·2x-1 = 48 podemos reducirlas a una igualdad entre dos potencias de la misma base.
3·2x-1 = 27 no podemos reducirlas a una igualdad entre dos potencias de la misma base,
por lo que haremos uso de los logaritmos y de sus propedades (sobre todo el de la
potencia: log an = n log a
ƒ
ƒ
8x-1 = 2x+5 podemos reducirlas a una igualdad entre dos potencias de la misma base.
2x+2 - 2x+1= 16 podemos sacar factor común una potencia, quedándonos reducida
ƒ
ecuación a una más sencilla.
22x -5·2x + 4 = 0 podemos reducirlas a una ecuación de segundo grado realizando un
cambio de incógnita.
la
Ecuaciones logarítmicas
Son aquellas en las que la forma parte de un logaritmo.
No todas estas ecuaciones se pueden resolver mediante transformaciones
algebráicas y se utilizan en dichos casos cálculos numéricos que nos dan
una solución aproximada de la solución exacta.
Finalmente hay que comprobar las soluciones ya que el logaritmo de un
número menor o igual que cero no es un número real.
Tipos:
ƒ
ƒ
log 2 (x-1) = 3 basta aplicar la definición de logaritmo.
log 2 (x-1) + log2 3 = log 2 (x+1) se aplican las propiedades de los logaritmos (en este
ƒ
caso el de la suma) y conseguir que en cada miembro quede un logaritmo con la misma
base.
log x+ log (x+1) = 1 hay que expresar los números que no estén con logaritmos de
forma logarítmica (aplicamos la propiedad n = log a an) y conseguir que en cada miembro
quede un logaritmo con la misma base.