Download cotangente 17

Trigonometría del
círculo
Sección 5.3

Un círculo con
centro en el origen
de un sistema de
coordenadas
rectangulares y
con radio igual a 1
se llama un
círculo unitario.
Slide 6.3 - 2

Si el punto P(x,y)
pertenece al
círculo unitario, y
el segmento OP es
un radio, entonces
OP intercepta un
arco dirigido q va
desde el eje de x
hasta P (arco S).
Slide 6.3 - 3

El arco
interceptado,
arco S, tiene la
misma medida
que el ángulo
central ϴ.
Slide 6.3 - 4
En el círculo unitario
definimos
 sin(s) = sin(ϴ) como la
distancia, y, vertical
desde P hasta el eje de
x.
 Similarmente,
definimos
cos(s)=cos(ϴ) como la
distancia horizontal
desde el origen hasta la
coordenada en x del
punto P.
Arco s
Slide 6.3 - 5


Si el círculo NO es
unitario, entonces NO
es de radio 1.
En este caso, se
determina el seno y el
coseno del ángulo
central utilizando el
triángulo recto
imaginario que se
forma y las razones
que estudiamos para
el triángulo recto.
Radio = 3
Slide 6.3 - 6
Vimos anteriormente que
en un triángulo recto:
opuesto
sin( ) 
hipotenusa
adyacente
cos( ) 
hipotenusa
Utilizando el triángulo
recto imaginario podemos
traducir estas razones a:
sin( ) 
y
r
tan( ) 
cos( ) 
x
r
op
y

ady x
Slide 6.3 - 7
Similarmente podemos
usar el triángulo recto
imaginario que se forma
dentro del círculo para
determinar las otras 3
razones trigonométricas:
hip r
sec( ) 

ady x
hip r
csc( ) 

op y
ady x
cot( ) 

op
y
Slide 6.3 - 8
Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el
punto P, hallar los valores de las 6 razones
trigonométricos.
y
2
sin( )  
r
2

P 2, 2

x
2
cos( )  
r
2
y
tan( )  
x
2
1
2
Slide 6.3 - 9
Ejemplo 1: (cont.)
r
2
csc( )  
y
2
r
2
sec( )  
x
2
x
cot( )  
y
2 2

 2
2

P 2, 2
2 2

 2
2
2
1
2
Slide 6.3 - 10

Razones trigonométricas arbitrarias.
Para un ángulo arbitrario α (no necesariamente
agudo, no necesariamente en el cuadrante I, no
necesariamente en un círculo unitario), medido a
partir del eje de x , en contra de las manecillas del
l
reloj en un círculo unitario:
Slide 6.3 - 11
Razones trigonométricas arbitrarias.
Para cada ángulo mostrado, calcule las 6 razones
trigonométricas.
Slide 6.3 - 12
Ejemplo2: El punto P(x,y) se muestra en una
circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las
razones trigonométricas del ángulo central que se muestra.
Sabemos que:
•el radio es 1
•x=
•y=
3
5
4
5
3 4
P , 
5 5
y
•Por lo tanto,
4
sin( ) 
5

3
cos( ) 
5
x
y 4
tan( )  
x 3
Slide 6.3 - 13
Ejemplo 2: (cont.)
Las relaciones recíprocas son:
5
csc( ) 
4
3 4
P , 
5 5
5
sec( ) 
3
y
x 3
cot( )  
y 4

x
Slide 6.3 - 14
Práctica

Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en
los siguientes círculos.
 5 12 
P

13
,
13


P15, 8
Radio = 1
Radio = 17
Slide 6.3 - 15
Soluciones

Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los
siguientes círculos.
 5 12 
P

 13, 13 
Radio = 1
5
cos  
13
12
sin   
13
12
tan  
5
13
sec  
5
13
csc  
12
5
cot   
12
cos  
Radio = 17
15
17
8
sin   
17
P15, 8
8
tan  
15
17
sec  
15
17
csc  
8
15
cot   
8
Slide 6.3 - 16
Razones trigonométricas arbitrarias.
P ( x, y)
y

Figura 2
En la Figura 2, el lado terminal del
ángulo α está en el cuadrante II. El
ángulo α NO es agudo. Si
construimos un triángulo recto, el
segmento que va desde el centro
P
hasta
l el punto  es la hipotenusa.
Notamos que la coordenada de x del
punto P es negativa y la
coordenada en y es positiva. El
ángulo de la base del triángulol recto,
ya no es α, ahora es (180 - α).
Este es un círculo
unitario.
Slide 6.3 - 17
Razones trigonométricas arbitrarias.
P ( x, y)

sin(α)
y
cos(α)
Figura 3
Este es un círculo
unitario.
El ángulo (180 - α) se conoce como
un ángulo de referencia, por que
el cos(α) es igual en tamaño al
cos(180 - α), pero hay que
adjudicarle el signo apropiado.
l para un ángulo en el
Es decir,
cuadrante II, como la coordenada
de x del punto 𝑷𝜶 es negativa, el
cos(α) es negativo. Por razones
l
similares, en el segundo cuadrante,
sin(α) es positivo.
Slide 6.3 - 18
Razones trigonométricas arbitrarias.
P ( x, y)

l
ángulo de referencia
Práctica: Para cada uno
de los ángulos
mencionados, dibujar el
ángulo y determinar el
ángulo de referencia.
a. 140°
b. 240°
c. 380°
l
Slide 6.3 - 19
Razones trigonométricas arbitrarias.
Soluciones:
P ( x, y)
l

l
ángulo de referencia
Slide 6.3 - 20
Razones trigonométricas arbitrarias.
P ( x, y)

l
ángulo de referencia
1) 1200
2) 1350
Práctica: Para cada uno
de los ángulos
mencionados, encontrar ell
ángulo de referencia.
Además, hallar el cos, sin
y tan de cada ángulo.
3) 1500
Slide 6.3 - 21
Razones trigonométricas arbitrarias.
Soluciones:
P ( x, y)
Angulos de Referencia
1)

l
El ángulo de referencia de 120o es 60o.
135o
es
45o.
2)
El ángulo de referencia de
3)
El ángulo de referencia de 150o es 30o.
l
ángulo de referencia
Razones Trigonométricas (Se puede usar la calculadora y obtener
aproximaciones a 4 lugares decimales. Aquí presento los valores exactos.)
1
3
1)cos(120)= - 2
sin(120) = 2
2)cos(135)= -
2
2
sin(135) =
2
2
3)cos(150) = -
3
2
sin(150) = 2
1
sin⁡(120)
tan(120)= cos⁡(120) = − 3
tan(120)=
sin⁡(135)
cos⁡(135)
=1
sin⁡(150)
tan(150)= cos⁡(150) = − 3
Slide 6.3 - 22
Razones trigonométricas arbitrarias.

y
P ( x, y)
En la Figura 4, el lado terminal del
ángulo α está en el cuadrante III. El
ángulo α NO es agudo. Si construimos
un triángulo recto, el segmento que va
desde el centro hasta el punto P es
la hipotenusa.
Notamos que ambas
l
coordenadas del punto P son
negativas. El ángulo de la base del
triángulo recto, ya no es α, ahora es
(α-180).
l
Figura 4
Este es un círculo
unitario.
Slide 6.3 - 23
Razones trigonométricas arbitrarias:
tercer cuadrante

cos α
sin α
y
P ( x, y)
Figura 5
Este es un círculo
unitario.
El cos(α) es igual en tamaño
al cos(α - 180), pero hay que
adjudicarle el signo
apropiado. Es decir, para
un ángulo en el cuadrante
III, como la coordenada de
x del punto terminal es
negativa, el cos(α) es
negativo. Similarmente,
sin(α) es negativo.
Slide 6.3 - 24
Razones trigonométricas arbitrarias.

P ( x, y)
Para cada uno de los ángulos
mencionados, encontrar el
l
ángulo de referencia. Hallar el
secante, el cosecante y el
l cotangente de cada ángulo..
ángulo de referencia
1) 2100
2) 2250
Slide 6.3 - 25
Razones trigonométricas arbitrarias.
Solución:
1
1)sec(210) = cos⁡(210) =

P ( x, y)
ángulo de referencia
1
sin⁡(210)
csc(210)= -
=
1
=
3
−2
1
−
1
2
2
3
≈ - 1.1547
l
= −2
cos⁡(210)
1
=
= 3 ≈ 1.732
⁡𝑠𝑖𝑛(210)
tan⁡(210)
1
1
2
=
= 2 = − ≈ −1.4142
cos⁡(225)
2
−
cot(210)=
l 2) sec(225)
csc(225)=
1
sin⁡(210⁡)
=
cot(225)=
cos⁡(225)
⁡𝑠𝑖𝑛(225)
=
1
−
2
=−
2
2
1
tan⁡(225)
2
2
≈ −1.4142
=1
Slide 6.3 - 26
Razones trigonométricas arbitrarias.

y
P ( x, y)
Figura 6
Este es un círculo
unitario.
En la Figura 6, el lado terminal
del ángulo α está en el cuadrante
IV. El ángulo α NO es agudo. Si
construimos un triángulo recto, el
segmento que va desde el centro
hasta el punto P es la
hipotenusa. Notamos que la
coordenada de x del punto P es
positiva y la coordenada de y es
negativa. El ángulo de la base del
triángulo recto, ya no es α, ahora
es (360-α).
Slide 6.3 - 27
Razones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios

cos α
sin x
P ( x, y)
Figura 7
y
El cos(α) es igual en magnitud
al cos(360 - α), pero hay que
adjudicarle el signo
apropiado. Es decir, para un
ángulo en el cuadrante IV,
como la coordenada de x del
punto P es positiva, el
cos(α) es positivo.
Similarmente, sin(α) es
negativo.
Este es un círculo
unitario.
Slide 6.3 - 28
Razones trigonométricas arbitrarias.
Para cada uno de los ángulos
mencionados, encontrar el
ángulo de referencia. Hallar
las 6 razones trigonométricas
l
correspondientes.

l
ángulo de referencia
P ( x, y)
1) 3050
2) 3150
3) 3300
Slide 6.3 - 29
Razones trigonométricas arbitrarias.
Para un ángulo arbitrario α (no necesariamente
agudo, no necesariamente en el cuadrante I, no
necesariamente en un círculo unitario), medido a
partir del eje de x en contra de las manecillas dell
reloj en un círculo unitario:
Slide 6.3 - 30
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
P
2
II
P
1
I

l
P
4
P
3
III
P
n
I
II
III
IV
sen 
+
+
-
-
cos 
+
-
-
+
tan 
+
-
+
-
VI
¿Cómo completarías la tabla
¿Cómo obtuvimospara
la última
hilera de
de csc,
la tabla?
las razones
sec, y
cot?
Slide 6.3 - 31
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
II
P
2
P
1
I

P
3
III
l
P
4
VI
P
n
I
II
III
IV
sen 
+
+
-
-
cos 
+
-
-
+
tan 
+
-
+
-
csc 
+
+
-
-
sec 
+
-
+
-
cot 
+
-
-
+
Slide 6.3 - 32