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Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
DESPLAZAMIENTO Y VECTORES
1) Repaso de trigonometría
• Definir y aplicar las 3 funciones trigonométricas básicas en triángulos rectángulos.
• Definir las funciones trigonométricas en el círculo de radio = 1 (círculo goniométrico)
• Aplicar el teorema del seno y el teorema del coseno a problemas simples.
Con referencia al triángulo rectángulo de la figura 1, se
definen las funciones trigonométricas.
sen (θ ) =
a
2
a +b
2
cos (θ ) =
b
2
a +b
2
a
tg (θ ) =
b
Figura 1) Triángulo rectángulo
En la figura 2 se
muestran
algunos
triángulos notables, de
uso común en problemas
de planteo, porque el
cálculo
de
sus
identidades
trigonométricas es de fácil
recordación
Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
y
A partir del círculo goniométrico (de radio r =1) de
la figura 4, en el cual θ está en radianes, se
puede deducir que
x x
= =x
r 1
y y
sen (θ ) = = = y
r 1
s = r ⋅θ = θ
y
tan (θ ) =
x
y
cos (θ ) =
r=1
s
θ
O
x
Por semejanza de triángulos
y y` y`
= = ⇒ tan (θ ) = y`
1
x r
Figura 4) Círculo goniométrico
Cuando θ es muy chico, se cumple que:
s ≈ y ≈ y’ = θ
x≈r=1
Para este caso, se cumple que:
Figura 2) Triángulos notables
Para un triángulo cualquiera como el de la figura 3:
Teorema del Seno
sin(α ) sin(β ) sin(γ )
=
=
a
b
c
Teorema del Coseno
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccos (α )
b 2 = a 2 + c 2 − 2accos (β )
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos (γ )
Figura 3) Teorema del seno y del
coseno
y'
cos (θ ) ≈ 1
sen (θ ) ≈ tan (θ ) ≈ θ
x
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2) Definición de Vectores
• Definir y diferenciar escalares y vectores, usando ejemplos simples. Vector
desplazamiento
• Usar la notación ("a-con-flecha"), expresar un vector como (módulo y dirección).
Introducción a vectores: el vector “posición”
Se define la posición de un cuerpo como su ubicación de un cuerpo en el espacio respecto a un
sistema de referencia previamente acordado. Así, se puede entender el movimiento de un cuerpo
como su cambio de posición.
Considere el mapa de la figura 5.
Supongamos que un transeúnte pasea
por Viña del Mar, y quiere moverse
desde el punto A (referencia) al punto
B. Para este efecto, el transeúnte
puede tomar diferentes trayectorias
(que son las que se muestran en azul
en la figura 5), cada una de las cuales
tiene asociada una distancia recorrida.
Sin embargo, independientemente de
la
trayectoria
tomada,
el
desplazamiento o cambio de posición
del transeúnte es el trazo dirigido que
va desde la posición inicial A hasta la
posición final B (que se muestra en rojo
de la figura 5).
B
A
Figura 5) Diferencia entre distancia recorrida y vector
desplazamiento.
Para poder caracterizar el desplazamiento del transeúnte no basta con conocer su magnitud.
También se necesita saber
• El punto de inicio del desplazamiento (en este caso, A)
• Dirección y sentido del desplazamiento
El desplazamiento de A a B, que podemos simbolizar por AB , es uno de los ejemplos del ente
matemático llamado vector.
Vectores y Escalares
Un vector es un ente matemático que se caracteriza por los siguientes parámetros:
• Punto de aplicación
• Orientación
o Dirección
o Sentido
• Módulo o magnitud
Aquellas cantidades físicas que se representan con un vector se denominan CANTIDADES
VECTORIALES. Para determinarlas completamente, se necesita conocer las cuatro características
antes citadas. Ejemplos:
• Posición
•
•
•
•
•
Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
Velocidad
Aceleración
Fuerza
Torque
Campo Eléctrico, etc.
Por el contrario, un escalar es un ente matemático que se caracterizan solamente por su magnitud o
intensidad. Aquellas variables físicas que se representan con un escalar se denominan
CANTIDADES ESCALARES. Para determinarlas completamente, basta con conocer la magnitud.
Ejemplos:
• Tiempo
• Masa
• Distancia Recorrida
• Rapidez
• Volumen
• Densidad
• Carga Eléctrica
Sentido
• Resistencia Eléctrica
n
ió
cc
Vector
• Temperatura
AB
re
i
D
• Energía, etc.
Representación de vectores
Vamos a representar los vectores por trazos
dirigidos (rayos), los cuales serán
simbolizados con una expresión literal con
una flecha encima, como por ejemplo
a ,E ,CD . En el vector CD , el orden de las
letras indica el punto inicial (de aplicación) y
el final, respectivamente.
En la figura 6 se muestran los parámetros de
un vector:
M
ag
u
n it
θ
A
B
d
Orientación
Punto de
Aplicación
Figura 6) Parámetros de un vector
Punto de aplicación: Es el punto a partir del cual se
aplica el vector
Módulo, Intensidad o Magnitud: Es indicada por la
longitud del vector, y está expresada en las unidades
correspondientes. La magnitud del vector CD se
simboliza CD . Por definición, todo módulo de vector
es mayor o igual a cero.
Orientación: Se divide en:
• Dirección: Es indicada por la recta a la que
(a)
(b)
Figura 7) Concepto de sentido de un vector.
(a) Igual dirección e igual sentido; (b) Igual
dirección y sentidos opuestos.
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6
•
Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
pertenece el vector
Sentido: Lo indica hacia dónde apunta la flecha. Una recta determina una dirección; pero
cada dirección tiene dos posibles sentidos,
y
como se muestra en las figuras 7a y 7b.
•
Podemos relacionar el sistema de coordenadas cartesiano con el sistema de orientación Norte-SurEste-Oeste. Por lo general, el eje x apunta al Este, mientras el eje y apunta al Norte (ver figura 9b),
aunque en algunos casos puede resultar conveniente definir los ejes de manera diferente.
Orientación del vector respecto al eje +x
0 a 180º
(0 a π [rad])
θ
+
x
-
0 a -180º
(0 a −π [rad])
Figura 8) Orientación de un vector respecto
al eje +x
En muchos problemas, la orientación del
vector se entrega en función de la “rosa de los
vientos”, que se muestra en la figura 9a. Al
respecto, la interpretación correcta es la
siguiente:
•
•
La orientación NE corresponde a la de
la bisectriz (45º) entre las
orientaciones Norte y Este.
La orientación SE corresponde a la de
la bisectriz (45º) entre las
orientaciones Sur y Este.
La orientación SO corresponde a la
de la bisectriz (45º) entre las
orientaciones Sur y Oeste.
L [m] αº al X del Y
1) Desde el punto de partida, muévase L[m] en la dirección Y.
2) Gire el vector αº hacia la dirección X.
En la figura 10 se ilustra este procedimiento para el ejemplo anterior.
N
N
NO
(b)
E O
30º
E O
E
S
S
Figura 10) Ejemplo de obtención del vector a partir del sistema de orientación. (a) Punto de partida; (b) Muévase
5 [m] hacia el Este; (c) Gire 30º hacia el Norte
SE
SO
S
y
Otra manera de expresar la orientación de los vectores se muestra en la figura 11, y se usa en
aplicaciones marítimas para orientación de buques y cálculo de velocidades de navegación.
N
NE
NO
O
E
SO
(b)
5 [m]
E
S
(a)
(c)
5 [m]
O
O(W)
N
N
(a)
NE
Orientación de un vector en función del
sistema de orientación N-S-E-O
•
Un ejemplo típico de enunciado es el siguiente: “Un móvil se desplaza 5 [m] 30º al Norte del Este”.
Este tipo de casos se interpreta de la siguiente manera
Muchas veces se entrega la orientación del vector en la
forma de un ángulo θ con respecto al eje +x (Ver figura
8). Existen dos maneras de entender los ángulos
• Una, donde θ puede tomar valores entre 0 y
360º.
• Otra, donde los ángulos positivos (entre 0 y
180º) indican orientaciones en el sentido
contrario al reloj, mientras que los ángulos
negativos (entre 0 y -180º) indican
orientaciones en el sentido a favor del reloj.
En este formato, un vector se expresa en
términos de su magnitud y ángulo. Por
ejemplo:
• Módulo 20 y ángulo 220º
• Módulo 20 y ángulo -140º
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La orientación NO corresponde a la de la bisectriz (45º) entre las orientaciones Norte y
Oeste.
x
SE
S
Figura 9) (a) Sistema de orientación N-S-E-O;
(b) Su relación con el sistema de coordenadas
cartesianas
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N
N
αº
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3) Operaciones Vectoriales
• Usar la suma vectorial, usando la regla del triángulo y la del paralelogramo.
• Calcular la magnitud y dirección de la suma usando teorema del seno y del coseno
• Usar el producto de un vector por un escalar. Dividir un vector por un escalar
diferente de cero
• Usar la resta de vectores mediante la regla del
triángulo y la del paralelogramo
• Aplicar vectores a problemas simples de
geometría.
A
A
A
A
O
αº
E O
E
Notación Vectorial
El vector cero o nulo (0 ) es aquel vector cuya magnitud
es cero ( 0 = 0 ). Por convención, tiene cualquier dirección
(a)
y sentido
(b)
S
S
N
Se considera que dos vectores son iguales cuando tienen
igual magnitud, igual dirección e igual sentido. La igualdad
es independiente del punto de aplicación (ver figura 12)
N
Multiplicación de un vector por un escalar
Sea un vector a y un escalar λ. Se
define la multiplicación de un vector
por un escalar como la operación
O
E O
αº
(c)
S
A
A
b = λ ⋅a
E
A
A
(d)
αº
S
Figura 11) Magnitud y orientación del vector A . (a) A , NE αº; (b) A , NO αº;
(c) A , SE αº; (d) A , SO αº;
Figura 12) Vectores iguales
En la figura 13, se muestra el efecto
de esta operación para diferentes
valores de λ. Al respecto, caben las
siguientes observaciones:
• b = λa = λ ⋅ a
•
En todos los casos,
los
vectores a y b tienen
la misma dirección, por
lo que se dice que son
paralelos. En el caso
particular de que λ < 0,
tienen
sentidos
opuestos, en cuyo caso
se
denominan
antiparalelos.
λ < −1
(*) λ = −1
−1 < λ < 0
λ =0
0 < λ <1
(**) λ = 1
λ >1
a
b
b
b
0
b
b
b
Sentidos Magnitud
b > a
Opuesto
Opuesto
b = a
Opuesto
Cualquiera
Iguales
Iguales
Iguales
b < a
b
b
b
b
Figura 13) Multiplicación de vector por escalar.
=0
< a
= a
> a
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Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
• En el caso indicado con (*), se cumple que a + b = 0 ⇒ b = −a , y se dice que b es
el inverso aditivo de a .
• En el caso indicado con (**), se cumple que b = a .
Suma de vectores.
La suma de vectores se puede hacer mediante dos métodos: la regla del triángulo (ilustrada en la
figura 14) y la regla del paralelógramo (ilustrada en la figura 15)
Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
Regla del Paralelógramo
(b)
(a)
Regla del Triángulo
(a)
(b)
(d)
(c)
(e)
(c)
Figura 14) Suma de vectores usando la regla del triángulo
(a) Dibuje el vector a
(b) Dibuje el vector b a partir del punto final del vector a
es el punto
(c) Dibuje el vector a + b , que es aquel cuyo punto inicial
inicial de a y cuyo punto final es el punto final de b
Figura 15) Suma de vectores usando la regla del paralelógramo
(a) Dibuje el vector a
(b) Dibuje el vector b a partir del punto inicial del vector a , al que denominaremos
O.
(c) Trace la línea paralela al vector a que pase por el punto final del vector b .
(d) Trace la línea paralela al vector b que pase por el punto final del vector a . La
intersección entre lasrectas paralelas es el punto P.
(e) Dibuje el vector a + b , que es aquel cuyo punto inicial es O y cuyo punto final es P.
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Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
La suma de vectores cumple con las
(a)
propiedades de:
a
a
a+b = b+a
• Conmutatividad:
b
b
a +b
(figura 16a)
b
• Asociatividad:
a
a+b +c =a+ b+c
(figura
a
b +c
(b)
16b)
• Distributividad con respecto a la
b
a +b +c
multiplicación
por
escalar:
c
a +b
λ a + b = λ a + λ b (figura 16c)
(
)
(
(
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Resta de Vectores
(a)
)
)
Resta de vectores.
( )
En las figuras 17a y 17b se ilustra la resta
de vectores a través de las reglas del triángulo
y el paralelógramo, respectivamente.
(c)
b
a +b
La resta de vectores se define a partir de la
suma. La resta entre los vectores a y b
equivale a la suma de a y el inverso
aditivo de b , o sea:
a−b =a+ −b
(b)
a
(c)
λ⋅a
λ⋅b
( )
λ⋅ a+b
Figura 18) (a) a + b ; (b) a − b . Inicio en el punto final de b , y final en el
punto final
de a ; (c) b - a Inicio en el punto final de a , y final en el punto
final de b .
Figura 16) Propiedades de la suma de vectores. (a)
Conmutatividad; (b) Asociatividad; (c) Distributividad
(a)
Resta de Vectores
Vectores perpendiculares
(a)
θ
En las figura 18a, 18b y 18c se resumen las
ideas de suma y resta de vectores.
En la figura 18 se ilustra la relación entre el
ángulo de dos vectores a y b y las
magnitudes
de su suma a + b y su resta
a-b:
•
Si θ > 90º, entonces se cumple que
a + b > a − b (ver figura 19a)
(b)
•
(b)
-b
(c)
Si θ < 90º, entonces se cumple que
a + b < a − b (ver figura 19b)
•
b
a+b
a−b
a
θ
θ
Si θ = 90º, que corresponde al caso
de
vectores
perpendiculares
( a ⊥ b ), entonces se cumple que
a + b = a − b (ver figura 19c)
Figura 17) Resta de vectores. (a) Según la regla del
triángulo; (b) Según la regla del paralelógramo.
Figura 19) Relación entre el ángulo de los sumandos
y la magnitud de la suma y resta de vectores. (a) θ >
90º; (b) θ < 90º;(c) θ = 90º.
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Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
Análisis de la magnitud de a + b
Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
Sacando raíz cuadrada, se obtiene que a + b = a − b . Este caso corresponde a la mínima
En la figura 20a se muestra la suma a + b
según la regla del triángulo. Aplicando el
teorema del coseno, se puede obtener el módulo
de la suma a + b en función del ángulo θ, a
y b .
magnitud posible de la suma de dos vectores, y es coherente con la figura 20d. Cabe hacer notar
que la resta de módulos va en valor absoluto, pues existe la posibilidad de que b > a y, por
a+b
2
= a
2
+ b
2
(a)
definición, el módulo de un vector no puede ser negativo.
− 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos (θ )
(c)
A continuación vamos a analizar este resultado
para tres casos particulares.
•
θ = 180º (Figura 20b)
(d)
En este caso, cos(θ) = -1, por lo que la ecuación
para la magnitud de la suma se ve reducida a:
a+b
En general, se puede afirmar que a − b ≤ a + b ≤ a + b .
(b)
2
= a
2
+ b
2
(
+2⋅ a ⋅ b = a + b
)
2
Figura 20) Análisis de la magnitud de a + b . (a) Caso
general (b) θ = 180º; (c) θ = 90º;(d) θ = 0º.
Sacando raíz cuadrada, se obtiene que a + b = a + b . Este caso corresponde a la máxima
magnitud posible de la suma de dos vectores, y es coherente con la figura 20b.
•
θ = 90º (Figura 20c)
En este caso, cos(θ) = 0, por lo que la ecuación para la magnitud de la suma se ve reducida a:
a+b
2
= a
Sacando raíz cuadrada, se obtiene que a + b =
2
+ b
a
2
2
+ b
2
. Este caso corresponde a dos
vectores perpendiculares, y es coherente con la figura 20c.
•
θ = 0º (Figura 20d)
En este caso, cos(θ) = 1, por lo que la ecuación para la magnitud de la suma se ve reducida a:
a+b
2
= a
2
+ b
2
(
−2⋅ a ⋅ b = a − b
)
2
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4) Componentes Vectoriales
• Definir y calcular vectores unitarios
• Descomponer un vector en componentes vectoriales, y en componentes escalares,
usando vectores unitarios"
• Definir el sistema de coordenadas cartesianas en dos y tres dimensiones.
• Escribir vectores en forma cartesiana y polar.
• Expresar y calcular componentes de vectores en dos y tres dimensiones, en casos
simples
• Definir y usar los vectores posición y desplazamiento d = ∆r = r2 − r1
• Resolver problemas simples de suma y resta de fuerzas.
• Resolver problemas simples de suma y resta de velocidades
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Vector unitario o unimodular
(
)
Un mismo vector se puede
expresar como la suma de
numerosos conjuntos de dos, tres o
más vectores, como se aprecia en
la figura 20. A los vectores que
sumados dan el vector original los
llamaremos
componentes
vectoriales del vector.
En
particular,
podemos
descomponer un mismo vector en
infinitas
sumas
de
dos
componentes vectoriales.
Sistemas de Coordenadas
Al problema de determinar dos vectores u y
v cuya suma es igual al vector a , se le
pueden agregar dos condiciones adicional
para lograr que la solución sea única.
•
•
Vectores u y v coplanares al vector
a.
Vectores u y v de direcciones fijas y
predeterminadas
En la figura 21 se observa que los vectores u
y v , que tienen respectivamente direcciones
dadas por las rectas LL’ y MM’, son los únicos
vectores cuyas suma es igual a a . Las rectas
LL’ y MM’ definen un sistema de
coordenadas.
u
v
s
Figura 22) Vector unitario y su uso en nomenclatura de
vectores.
Observaciones:
• p || u ⇒ p = pu uˆ , con pu escalar
no nulo
• p = pu uˆ = pu ⋅ uˆ = pu
M'
u
v
a = u +v
L
L'
M
Figura 21) Componentes vectoriales del vector a en las
direcciones LL’ y MM’
En la figura 20, se muestra el sistema de
coordenadas de la figura 21, al cual se le han
agregado los vectores unitarios û y v̂ , que
representan las direcciones LL’ y MM’,
respectivamente. Si u = u a y v = v a , se
puede establecer que:
L'
v̂
û
a = u +v
L
q = + q ⋅ pˆ
s = − s ⋅ pˆ
q
Un vector unitario se usa para identificar o
caracterizar una determinada dirección. Por
definición, todo vector unitario tiene magnitud
1.
En la figura 22 se muestra la definición de
vector unitario, y su uso para expresar
vectores con tres componentes:
• El signo (+ ó -), que indica el sentido
del vector.
• La magnitud del vector
• El vector unitario, que indica la
dirección del vector.
M'
Sentido
p̂
u
uˆ = u
u
1 uˆ = = ⋅ u = 1
u
u
Figura 20) Componentes vectoriales de un vector
Dirección
Magnitud
p
Dado un vector u no nulo llamamos “vector
unitario o unimodular” en la dirección de u al
vector:
M
Figura 23) Sistema de coordenadas de la figura 18
considerando vectores unitarios
u = +u a ⋅ uˆ
v = +v a ⋅ vˆ
Así, el vector a se puede escribir como a = u + v = u a ⋅ uˆ + v a ⋅ vˆ En este caso, ua y va son
denominadas las componentes escalares del vector a .
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Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
Finalmente, se pueden relacionar el ángulo y las componentes a través de
En principio, cualquier sistema de coordenadas puede servir para expresar vectores. Sin embargo,
los sistemas de coordenadas más utilizados son aquellos donde los vectores unitarios son
perpendiculares entre sí, que son denominados ortogonales. Estos son: el cartesiano o
rectangular, el cilíndrico y el esférico. La gran ventaja de estos sistemas de coordenadas es que
permite relacionar componentes escalares, magnitudes y ángulos a través de relaciones
trigonométricas simples, usando cosenos, senos y tangentes, lo cual facilita enormemente el trabajo
con los vectores.
Para efectos de este curso, nos limitaremos al sistema de coordenadas cartesiano en 2 y 3
dimensiones.
•
•
y
vy
El vector x̂ , iˆ ó i , que representa la
dirección +x.
El vector ŷ , ĵ ó j , que representa la
dirección +y
A partir de los datos
de la figura, se puede
escribir el vector v como:
θ
ŷ
x̂
v = v x xˆ + v y yˆ = v x iˆ + v y jˆ = v x i + v y j
vx
x
Figura 24) Sistema de coordenadas cartesianas
en dos dimensiones
Donde vx y vy son las componentes escalares de
del vector. También se puede escribir como par
ordenado, en la forma v = (v x ; v y ) . Otra forma de escribirlo es la polar, en donde los parámetros
son su módulo v y su ángulo θ con respecto al eje +x. Se suele expresar en la forma v ∠θ o
jθ
bien la forma v ⋅ e .
vx
Sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones
En la figura, vx, vy y vz son las
componentes escalares del vector, el cual
se pude expresar en la forma
v = v x xˆ + v y yˆ + v z zˆ = v x iˆ + v y ˆj + v z kˆ
= v xi + v y j + v zk
v
vy
El sistema cartesiano en particular facilita enormemente la operatoria con vectores, puesto que la
lleva desde el ámbito de la geometría (donde muchas veces resulta engorrosa) al del álgebra, en el
cual se facilita mucho el trabajo.
En la figura 25 se observa el vector
v dibujado en un sistema de
coordenadas cartesianas tridimensional.
En ella, a los ejes coordenados, x e y se
agrega el eje coordenado z, caracterizado
por el vector unitario ẑ , k̂ ó k , que
representa la dirección +z.
Sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones
En la figura 24 se observa el vector v dibujado
en un sistema de coordenadas cartesianas
bidimensional. En ella, hay dos ejes
coordenados, x e y, caracterizados por dos
vectores unitarios:
tan (θ ) =
La magnitud de v está dada por:
z
vz
ẑ
ŷ
x̂
componentes escalares a través de relaciones trigonométricas
v x = v ⋅ cos (θ )
v y = v ⋅ sen(θ )
v
φ φ
y
vy
θ
vx
x
v = v x2 + v y2 + v z2
Figura 25) Sistema de coordenadas cartesiano en tres
dimensiones
También se puede escribir como trío ordenado, en la forma v = (v x ; v y ; v z ) .
v xy como el vector
proyección de v sobre el plano XY.
Se define
(a) v
v xy = v x xˆ + v y yˆ
El módulo del vector es v = v x2 + v y2 . Además, éste se puede relacionar con el ángulo θ y las
v xy
La magnitud de v xy etá dada por:
v xy = v x2 + v y2
v xy
φ v
z
(b)
vx θ
v xy
vy
Figura 26) Relaciones entre módulos, ángulos y
componentes escalares. (a) ángulo φ; (b) ángulo θ
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Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
A partir de la figura 25, se pueden extraer los triángulos de las figuras 25a y 25b, con los cuales
vamos a establecer las siguientes relaciones entre los vectores v y v xy , sus respectivos módulos
v y v xy , las componentes escalares, vx, vy y vz, y los ángulos θ y φ
De la figura 26a:
v
cos (φ ) = z ⇒ v z = v ⋅ cos (φ )
v
v xy
sen (φ ) = ⇒ v xy = v ⋅ sen(φ )
v
tan (φ ) =
v xy
vz
=
v x2 + v y2
vz
De la figura 26b:
v
cos (θ ) = x ⇒ v x = v xy ⋅ cos (θ ) = v ⋅ cos (θ ) ⋅ sen (φ )
v xy
vy
sen (θ ) = ⇒ v y = v xy ⋅ sen(θ ) = v ⋅ sen(θ ) ⋅ sen(φ )
v xy
tan (θ ) =
vy
vx
Vector Posición
Para indicar la posición de un punto es necesario elegir
previamente un sistema de referencia, cuyo origen se
indica con un punto O.
y
P
ry
La posición de un punto P está dada por el vector (ver
figura 27)
R
R = OP = r x xˆ + r y yˆ = (r x ; r y )
Este vector es el vector posición del punto P. El módulo
de este vector determina la distancia mínima entre O y
P.
θ
ŷ
o
x̂
rx
x
Figura 26) Concepto de vector
posición