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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
Capitulo II Teoría De Conjuntos
Definición: Entendemos por conjunto a toda agrupación, colección o reunión de objetos de cualquier
especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha
agrupación. Los objetos que “pertenecen a un conjunto” se llama elementos del conjunto.
Notación: A los conjuntos los representamos con letras mayúsculas A, B, C, ... , y a sus elementos
representaremos con letras minúsculas a, b, x, ...
Relación de Pertenencia (∈): La relación de pertenencia es el símbolo que relaciona a los elementos
de un conjunto con el mismo conjunto:
(elemento) ∈ (conjunto)
ƒ
Si un objeto x es un elemento o pertenece al conjunto A, escribimos:
x∈A
Y leeremos “x pertenece al conjunto A”.
ƒ
Si un objeto x no es elemento del conjunto A, escribiremos:
x∉A
Y leeremos “x no pertenece al conjunto A”.
Determinación de un Conjunto:
Existen dos maneras de determinar un conjunto dado: por extensión y por comprensión.
a)
Por extensión: Un conjunto queda determinado por extensión cuando se conocen individualmente
todos sus elementos.
Ejemplos:
B = { 1 , 3 , 5, 7, 9 }
b)
Por comprensión: Un conjunto que está determinado por comprensión cuando éste se define por
medio de una propiedad la cual debe satisfacer cada uno de sus elementos.
Ejemplos:
C = { x/x es una vocal }
A = { x/x3 - 3x2 – x + 2 = 0 }
Conjuntos Numéricos:
Los conjuntos numéricos que se estudian en matemáticas son: los números naturales, los números
enteros, los números racionales, los números irracionales, los números reales y los números complejos.
a)
El conjunto de los números naturales: Es el conjunto denotado por N y cuyos elementos son
empleados para realizar la operación de contar.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, .... }
b)
El conjunto de los números enteros: Es el conjunto que se denota por Z y está constituido por
los números naturales positivos, los números naturales negativos y el cero.
Z = { -α .......... -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, .......... +α }
c)
El conjunto de los números racionales: Es el conjunto que se denota por Q y que es solución de
la ecuación ax + b = 0, donde a y b son enteros, con a ≠ 0.
Se escribe:
Q = { x/ax + b = 0, a, b ∈ Z, a ≠ 0 }
Q = { ... –b/a, .... –1, -½, 0, ½, 1, ...., b/a .... }
d)
El conjunto de los números irracionales: Es el conjunto que se denota por I y está formado por
los números que no son racionales, es decir, aquellos números que no pueden expresarse en la
forma b/a, con a, b ∈ Z y a ≠ 0.
I = { .... , -π, -
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5,
3
2,
3 , e, π, .... }
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e)
El conjunto de los números reales: Es el conjunto denotado por R y está formado por el
conjunto Q e I.
R = { .... , -π,
f)
2 , ½,
3 , e, π, 4, 8, 9/2, .... }
Conjunto finito: Es el conjunto que está formado por un número limitado de elementos.
A = { x/x es una vocal}
B = { x ∈ N/s < x < 12 }
C = { x/x es un día de la semana }
g)
Conjunto infinito: Es el conjunto que está formado por un número infinito de elementos.
A = { x ∈ Z/ x es impar}
B = { x/x es un número natural }
Relación entre Conjuntos:
a)
Inclusión de Conjunto: (Sub-conjuntos). Se dice que el conjunto A es un subconjunto de B, o que
A está contenido en B, o que A es parte de B, si todo elemento de A pertenece al conjunto B, se
escribe A ⊂ B y se lee “A está incluido en B”.
A ⊂ B ⇔ { ∀ x ∈ A, x ∈ A ⇒ x ∈ B }
B
A
B
A
B
A
A⊂B
A⊄B
A⊄B
Ejemplo:
Si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B
.2
.4
.3
.1 .5
.6
A
.7
b)
Subconjunto propio: Diremos que A es un subconjunto propio de B o parte de B, si se verifica A ⊂
B y además existe algún x∈B tal que x∉A.
Ejemplo:
El conjunto A = {2, 4, 6} es un subconjunto propio de B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} puesto que A ⊂ B
además 1 ∈ B, 3 ∈ B, 5 ∈ B, tal que 1 ∉ A, 3 ∉ A, 5 ∉ A.
c)
d)
Igualdad de Conjuntos: Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos
elementos.
Es decir:
A=B ⇔ A⊂B ∧ B⊂A
Propiedades:
1. ∀ A ; A = A
2. A = B → B = A
3. Si A = B ∧ B = C → A = C
Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.
Ejemplo:
A = { 4, 6, 8 }
B = { x/x ∈ N ∧ 10 < x < 17 }
⇒ A y B son disjuntos.
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Clases de Conjuntos:
a)
Conjunto Vacío: Llamado conjunto nulo, es aquel conjunto que carece de elementos.
Se denota como: { } ó ∅
Ejemplo:
A = { x ∈ N/ 8 < x < 9 }
b)
Conjunto Unitario: Llamado también singleton, es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
A={7}
N = { x ∈ Z/ 2 < x < 4 }
c)
Conjunto Universal: Es un conjunto referencial que se toma convenientemente para el estudio de
una situación particular. Se le representa como U y gráficamente por un rectángulo.
U
d)
Familia de Conjuntos: Es un conjunto que tiene como característica que sus elementos son
conjuntos.
M = { {4}, {a,b}, {n}, {a,b,n} }
e)
Conjunto Potencia: Se llama potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A
y se le denota como P(A).
El número de elementos de P(A) o número de subconjuntos de A, está dado por: 2n, donde “A”
representa el número de elementos del conjunto A.
Ejemplo:
A = { 3,5 }
22 = 4
P(A) = { {3}, {5}, {3,5}, ∅ }
Nota: # de subconjuntos propios de A es: 2n – 1
Propiedades:
1.
P{∅} = ∅
2.
Si A ⊂ B ⇔ P(A) ⊂ P(B)
3.
Si A = B ⇔ P(A) = P(B)
Representación Gráfica de Conjuntos:
a)
Diagrama de Venn-Euler: Son regiones planas limitadas por curvas que se usan para representar
gráficamente a los conjuntos.
A
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U
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b)
Diagramas Lineales: Se emplea para ilustrar relaciones entre conjuntos, generalmente de
inclusión.
B
A
A
B
A⊂B
C
B⊂A
∧
C⊂A
Nota: Número cardinal, indica el número de elementos que tiene el conjunto.
A = { 2, 4, 6 }
⇒
n(A) = 3
B = { {3, 6} }
⇒
n(B) = 1
C = { 2, 2, 2, 3, 3 } ⇒
n(C) = 2
Operaciones entre Conjuntos:
a)
Reunión ( ∪ ): La reunión o unión de dos conjuntos A y B; se llama así al conjunto formado por los
elementos de A, de B o de ambos.
A ∪ B = { x/x ∈ A ∪ x ∈ B }
Ejemplo:
A = { 2, 3, 4 }
B = { 3, 5, 6, 7 }
A ∪ B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
U
A
B
2
5
3
4
6
7
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
b)
A∪A=A
A∪B=B∪A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
U∪A=U
A∪∅=A
A ⊂ (A ∪ B) ; ∀ A
B ⊂ (A ∪ B); ∀ B
Si A ∪ B = ∅ → A = ∅ ∧ B = ∅
Si A ⊂ B → (A ∪ C) ⊂ (B ∪ C), ∀ C
Si A ⊂ B ↔ A ∪ B = B
Intersección ( ∩ ): Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección de A con B al conjunto
formado por los elementos que pertenece a P y a B (a ambos), es decir los elementos comunes.
A ∩ B = { x/x ∈ A ∧ x ∈ B }
Ejemplo:
A = { 4, 5, 6, 8, 10 }
B = { 2, 3, 4, 6, 9 }
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A ∩ B = { 4, 6}
A
B
5
2
4
8
3
6
10
9
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
A∩A=A
A∩∅=∅
A∩U=A
A∩B=B∩A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∩ B) ⊂ A y (A ∩ B) ⊂ B
Si A ⊂ B → (A ∩ B) ⊂ (B ∩ C); ∀ C
Si A ∩ B = ∅ → A y B son disjuntos
P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)
10. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
11. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
c)
Diferencia (-): La diferencia de A con B, es otro conjunto que está formado por todos los
elementos de A, que no son elementos de B.
A – B = { x/x ∈ A ∧ x ∉ B }
Ejemplos:
A = {4, 6, 7, 8}
B = {2, 4, 6, 8, 9 }
A–B={7}
A–B≠B–A
A
B
7
4
6
8
2
9
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Si x ∈ (A - B) → x ∈ A ∧ x ∉ B
A–A=∅
A-∅=A
(A – B) = A
A – B = (A ∪ B) – B = A – (A ∩ B)
B ∩ (A – B) = ∅
A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)
Si A ⊂ B → (A – C) ⊂ (B – C); ∀C
(A ⊂ B) ↔ (A – B = ∅)
(A – B) ∩ B = ∅
A
B
B–A
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A
B
A–B
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B
A
B–A
d)
Complemento: El complemento de un conjunto A, respecto del conjunto que le falta para ser igual
al universal.
Se denota:
CA = A’ = AC
A
Luego:
A’ = U – A
A’ = { x/x ∈ U ∧ x ∉ A }
Para dos conjuntos A y B (A ⊂ B), se define el complemento de A con respecto de B, y se denota
CBA.
C BA = B – A
Ejemplo:
U = { x ∈ N/ 2 < x < 9 }
A = { 4, 6, 8 }
A’ = { 3, 5, 7, 9 }
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
e)
A – B = A ∩ B’
(A’)’ = A
A ∪ A’ = U
A ∩ A’ = ∅
U’ = ∅
∅=U
Si A ⊂ B → B’ ⊂ A’
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Leyes de
Morgan
Diferencia Simétrica: Dados los conjuntos A y B, se llama diferencia simétrica A y B, denotado
como A ∆ B al conjunto.
A ∆ B = { x/x ∈ (A ∪ B) ∩ x ∉ (A ∩ B) }
A
A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
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B
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A ∆ B = (A – B ) ∪ (B – A)
Ejemplo:
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 2, 3, 5, 6 }
Hallar A ∆ B:
A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
A ∆ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} – { 2, 3}
A ∆ B = { 1, 4, 5, 6 }
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nota:
A∆B=∅
A∆∅=A
A∆B=B∆A
(A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)
(A ∆ B) ∆ C = (A ∩ C) ∆ (B ∩ C)
Si A ∆ B = ∅ → A = B
Cardinal de A = n(A)
A(A) = # de elementos de A
1.
Si A y B son dos conjuntos disjuntos A ∩ B = ∅
n (A ∪ B) = n (A) + n ( B)
2.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera.
n (A - B) = n (A) - n ( A ∩ B)
3.
Si A, B y C son conjuntos tales que:
A∩B∩C≠∅
n (A ∪ B ∪ C ) = n(A) + n(B) + n(C) – n (A ∩ B) – n (A ∩ C)
– n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
DEMOSTRACIONES DE ALGUNAS PROPIEDADES
1. Demostrar que:
[ (A ∩ B) – (A ∩ C) ] ≡ A ∩ (B – C)
Solución:
x ∈ [ (A ∩ B) – (A ∩ C) ]
x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ (A ∩ C)
x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ A ∨ x ∉ C
[ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ A ] ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ C ]
[ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ A ] ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ C ]
[ x ∈ C ∧ x ∈ A ∧ x ∉ A ] ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ C ]
F
[ x ∈ C ∧ F ] ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ C ]
F
∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ C ]
x∈A∧x∈B∧x∉C
x ∈ A ∧ [ x ∈ (B - C) ]
x ∈ [ A ∩ (B - C) ]
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2. Demostrar que:
A ∩ (B ∆ C) ≡ (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)
Solución:
Ojo: (A ∩ B) ∆ (A ∩ C) ≡ [ (A ∩ B) - (A ∩ C)] ∪ [ (A ∩ C) - (A ∩ B)]
x ∈ [ A ∧ (B ∆ C) ]
x ∈ A ∧ x ∈ (B ∆ C)
x ∈ A ∧ x ∈ (B - C) ∨ (C – B)
x ∈ A ∧ x ∈ [ (B - C) ∪ (C – B) ]
[ x ∈ A ∧ x ∈ (B - C)] ∨ [ x ∈ A ∧ x ∈ (C - B)]
[x∈A∧x∈B∧x∉C]∨[x∈A∧x∈C∧x∉B]
[ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C’ ] ∨ [ x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ x ∈ B’ ]
x ∈ [ (A ∩ B) ∧ (A’ ∪ C’) ] ∨ x ∈ [(A ∩ C) ∧ (A’ ∪ B’) ]
x ∈ [ (A ∩ B) ∧ x ∈ (A ∩ C)’ ] ∨ x ∈ [(A ∩ C) ∧ x ∈ (A ∩ B)’ ]
x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∉ (A ∩ C) ∨ x ∈ (A ∩ C) ∧ x ∉ (A ∩ B)
x ∈ [ (A ∩ B) - (A ∩ C) ] ∨ x ∈ [ (A ∩ C) - (A ∩ B) ]
∴ x ∈ (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)
3. Demostrar que:
(A ∩ B) ∩ (A’ ∪ C’) ≡ (A ∩ B) ∩ C’
Solución:
x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ (A’ ∪ C’)
[ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ A’ ] ∨ [ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C’ ]
F
∨ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C’
∴ x ∈ [ (A ∩ B) ∧ C’ ]
Par Ordenado:
Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, en el cual cada elemento tiene un lugar fijo. Si los
elementos son a y b, el par ordenado se simboliza por:
(a,b) = { {a}, {a,b} }
Donde: a es la primera componente del par.
b es la segunda componente del par.
Proposición: Dos pares ordenados son iguales si y sólo si son iguales sus primeras y segundas
componentes, respectivamente, se simboliza:
(a,b) = (c,d)
↔
a=c ∧b=d
Ejemplo:
Determinar los valores de “x” e “y” de modo que:
(x2, 9y - 1) = (6y - x, x3)
Solución:
x2 = 6y – x
x (x + 1) = 6y
x
x2 – x + 1
=
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9y – 1 = x3
(x + 1) (x2 – x + 1) = 9y
2
3
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2x2 – 2x + 2 = 3x
2x2 – 5x + 2 = 0
2x
-1
x
x=2
x=½
-2
⇒ y=2
⇒ y = 1/8
Producto Cartesiano de Conjuntos:
Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, al conjunto formado por todos los
pares ordenados (a,b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Se denota por A x B y simbólicamente se representa:
A x B = { {a,b}/a ∈ A ∧ b ∈ B }
Esto es: (a,b) ∈ A x B ↔ a ∈ A ∧ b ∈ B
Ejemplos:
1.
Dado los conjuntos A = { 1, 2, 4 } y B = { 3, 5}, hallar A x B y B x A empleando un diagrama de
árbol.
A
B
AxB
3
( 1, 3 )
1
5
( 1, 5 )
3
( 2, 3 )
2
5
( 2, 5 )
3
( 4, 3 )
5
( 4, 5 )
A
BxA
4
B
1
3
5
( 3, 1 )
2
( 3, 2 )
4
( 3, 4 )
1
( 5, 1 )
2
( 5, 2 )
4
( 5, 4 )
A x B = { (1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (4,3), (4,5) }
B x A = { (3,1), (3,2), (3,4), (5,1), (5,2), (5,4) }
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2.
Dado los conjuntos A = {x ∈ Z/-1 < x < 1 } y B = { x ∈ N/0 < x < 3}.
Hallar:
a)
b)
(A x B) ∩ B2
(A – B) x (A ∩ B)
Solución:
A = { -1, 0, 1 }
B = { 1, 2 }
A x B = { (-1,1), (-1,2), (0,1), (1,1), (1,2), (0,2) }
B x B = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) }
a)
b)
(A x B) ∩ B2 = { (1,1), (1,2) }
(A – B) x (A ∩ B) = { -1, 0 }
(A ∩ B) = { 1 }
(A – B) x (A ∩ B) = { (-1,1), (0,1) }
Propiedades del Producto Cartesiano:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Si A ≠ B → A x B ≠ B x A
Ax∅ =∅xA=∅
Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
Ax(B–C)=(AxB)–(AxC)
(AxB)xC ≠ Ax(BxC)
Si A ⊂ B → ( A x C ) ⊂ ( B x C ) , ∀⊂
Ejemplos:
Demostrar que: A x ( B ∩ C ) = ( A x B ) ∩ ( A x C )
(a,b) ∈ [ A x ( B ∩ C ) ]
a∈A ∧b∈(B∩C)
a∈A ∧(b∈B∧b∈C)
(a∈A ∧ b∈B) ∧(a∈A∧b∈C)
[ (a,b) ∈ ( A x B ) ] ∧ [ (a,b) ∈ ( A x C ) ]
(a,b) ∈ [ ( A x B ) ∩ ( A x C ) ]
Demostrar que: A x ( B – C ) = ( A x B ) – ( A x C )
a,b ∈ [ A x ( B – C ) ]
a∈A ∧b∈(B–C)
(a∈A ∧ b∈B) ∧b∉C
m
F∨m=m
[(a∈A ∧ b∈B) ∧ a∉A] ∨ [(a∈A ∧ b∈B) ∧ b∉C]
[(a∈A ∧ b∈B) ∧ [a∉A ∨ b∉C]
(a,b) ∈ ( A x B ) ∧ (a,b) ∉ ( A x C )
(a,b) ∈ [ ( A x B ) - ( A x C ) ]
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Ejercicios
1.
Se tienen los conjuntos unitarios:
A = { a2 + 1; 3a - 1 }
B = { 3x + y; x – y + 12 }
Hallar: a + x + y
Solución:
a2 + 1 = 3a - 1
a2 – 3a + 2 = 0
(a – 2) (a – 1)
a=2
a=1
3x + y = x – y + 12
2x + 2y = 12
x+y=6
Si a=1
Si a=2
y+x+a=7
∴x+y+a=7u8
2.
Indicar el conjunto por extensión:
A = { x ∈ Z/ 3x3 – 2x2 – 2x + 3 = 0 }
Solución: Aplicamos Ruffini:
3x3 – 2x2 – 2x + 3 = 0
3
-2
-3
-2
5
3
-3
3
-5
3
0
-1
(x + 1) (3x2 – 5x + 3) = 0
Luego: Aplicamos la Ecuación Cuadratica:
3x2 – 5x + 3 = 0
x = 5 ± 25 − 36
6
x = 5 ± − 11
6
∴
3.
A = { -1 }
Si: A = { a ∈ Z/ a5 – 5a3 + 4a = 0 }
B = { a ∈ A/ ∃ b ∈ Z, a = b2 }
Hallar: CAB
Solución:
Con A
:
a5 – 5a3 + 4a = 0
a (a4 – 5a2 + 4) = 0
a (a2 – 4) (a2 – 1) = 0
a (a + 2) (a – 2) (a + 1) (a – 1) = 0
A = { -2, -1, 0, 1, 2 }
Con B
:
Para a = -2 ó a = -1
No existe un b ∈ Z/ a = b2
a = 0 → ∃ b ∈ Z/0 = b2 → b = 0
b = 1 → ∃ b ∈ Z/1 = b2 → b = +1
c = 2 → ∃ b ∈ Z/2 = b2
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x+y+a=8
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∴
B={0,1}
CAB = A – B = { -2, -1, +2 }
4.
Si: A = { x ∈ N/ x > 4 → x = 6 }
B = { x ∈ N/ x > 0 ∧ x < 5 }
C = { x ∈ Z/ ∼ [ x > 1 → x2 ≠ 4x – 3 ] }
Determinar: M = (A ∩ B) – (B ∩ C)
Solución:
Para A
:
Para B
:
Para C
:
x>4→x=6
x<4∨x=6
A = { 1, 2, 3, 4, 6 }
x>0 ∧ x<5
B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
∼ [ x > 1 → x2 ≠ 4x – 3 ]
x > 1 ∧ → x2 = 4x – 3
x > 1 ∧ (x – 3) (x – 1) = 0
x > 1 ∧ (x = 3 ∧ x = 1)
C={3}
M = (A ∩ B) – (B ∩ C)
M = { 1, 2, 3, 4 } – { 3 }
M = { 1, 2, 4}
5.
De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las
revistas A, B y C; se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3
revistas; todos, menos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C, 6 leen B y C pero no A; 10 leen
sólo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3
revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C.
Según todo esto, hallar el número de los que leen solamente A.
Solución:
A
B
y
15
2x
x
6
10
C
n
n
n
n
(A) = 95
(A ∩ B – C) = 15
(B ∩ C – A) = 6
(C – (A ∪ B) ) = 10
y + 15 + 2x = 95
y + 2x = 80
+
y + 2x = 80
y + 4x = 104
2x = 24
x = 12
y = 56
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4x + y + 31 = 135
4x + y = 104
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6.
Si: A = {2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 }
B= { 1; 2 ; 4 ; 7 ; 9}
Hallar: (A∪B) – (A – B)
Solución:
A∪B = { 2;4;5;6;8} ∪ {1;2;4;7;9}
Æ {1;2;4;5;6;7;8;9}
A – B = {2;4;5;6;8} – {1;2;4;7;9}
Æ {5;6;8}
Nos piden:
{1;2;4;5;6;7;8;9} – {5;6;8}
∴{1;2;4;7;9}
7.
Dados:
A = { x ∈ Z/x2 – 3x + 2 = 0}
B = { x ∈ Z/x2 – 5x + 6 = 0}
Hallar: n (A ∆ B)
Solución:
Con “A”:
x2 –3x + 2 = 0
x Æ -2
x=2
x Æ -1
x=1
A = {1;2}
Con “B”:
x2 –5x + 6 = 0
x Æ -3
x=3
x Æ -2
x=2
B = {2;3}
Nos piden: n (A ∆ B)
Luego: [ {1;2} ∪ {2;3}] – [ {1;2}
{1;2;3} – {2}
{1;3}
∩
{2;3} ]
Entonces: n(A ∆ B) = 2
8.
A una reunión donde asisten 50 personas:
5 mujeres tienen 17 años
14 mujeres no tienen 19 años
16 mujeres no tienen 17 años
10 hombres no tienen ni 17 ni 19años.
¿Cuántos hombres no tienen 17 ó 19 años?
Solución:
Graficando convenientemente con los datos:
V = 50
19
5
tienen
17 años
7
10
H
9
M
tienen no tienen
19 años ni 17 ni 19
Nos piden: 19
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9.
Expresar el conjunto: A = {36;45;54;63;72} por comprensión.
Solución:
Buscando el término general
36
45
54
63
72
=
=
=
=
=
9
9
9
9
9
(22
(22
(22
(22
(22
+
+
+
+
+
0)
1)
2)
3)
4)
9 (22 + n), donde:
0<n<4n∈Z
A = {x/x = 9 (22 + n); 0 < n < 4; n ∈ Z}
10. Sean los conjuntos:
A = {a ∈ Z/a = (-1)n, n ∈ Z}
B = {b ∈ Z/b2 = (b-3)2 -3}
C = {C ∈ Z/ 3C + 3 = 2C + 7/2 }
2
Entonces es cierto:
A) B = C
D) A = C
B) A = B ∪ C
C) A = B ∩ C
E) B – A = A – C
Solución:
•
•
•
Con “A”: n = par ∧ n = impar
Æ A = {1;-1}
Con “B”:
b2 = b2 – 6b + 9 – 3 Æ b = 1
Con “C”:
3C - 2C = 7/2 – 3 Æ C = -1
2
Æ C = {-1}
Se cumple que: A = B ∪ C
11. En
-
un avión viajan 120 personas, de las cuales:
Los 2/3 de ellas no beben.
Los 4/5 de ellas no fuman.
72 no fuman ni beben.
¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben?
Solución:
No beben: 2/3 (120) = 80
No fuman: 4/5 (120) = 96
U = 120
Fuman
Beben
a
b
c
72
Con los datos:
•
a + 72 = 80 Æ a = 8
•
c + 72 = 96 Æ c = 24
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De la figura:
8 + b + 24 + 72 = 120
b = 16
Nos piden: 16 + 72 = 88
12. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de sociología y 53 no siguen el curso
de filosofía. Si 27 alumnos nos siguen filosofía ni sociología, ¿cuántos alumnos llevan sólo
uno de tales cursos?
Solución:
S
F
x
z
y
27
Datos:
•
x + z = 49 = 100 Æ x + z = 51 (1)
•
y + z + 53 = 100 Æ y + z = 47 (2)
Sumando (1) y (2):
x + y + z + z = 98
100 – 27 + z = 90 Æ z = 25
x + y + 25 = 100 – 27
∴ x + y = 48
13. Determinar por extensión:
M = {x ∈ Z / x3 – 17x2 + 71x – 55 = 0 }
Solución:
Factorizando por Ruffini:
1
x1 = 5
x2 = 1
1
-17
5
-12
71
-60
11
1
1
-11
-11
0
x - 11
=
0
-55
55
0
Æ x3 = 11
Luego: M = {1;5;11]
14. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además sólo los que comen carne
o sólo los que toman leche son el 54%, ¿cuál es el porcentaje de los que no toman leche
ni comen carne?
Solución:
L = 50%
C = 40%
50-n
x
40-n
x
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Dato: (50-n)% + (40-n)% = 54%
36% = 2n Æ n = 18%
Con el total:
(50-18)% + 18% + (40-18)% + x = 100%
De donde: x = 28%
15. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombres aprobaron
literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total, 5
aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron sólo aritmética, ¿cuántas mujeres aprobaron sólo
literatura?
Solución:
Sea:
x = mujeres que aprobaron literatura
y = hombres que aprobaron aritmética y literatura
A
7-y
4+y
y
5
5-y
6-y
8
x
L
H = 16
M = 19
De la figura: (4 + y) + (5 – y) + x + 8 = 19
De donde: x = 2
16. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fábrica A, 33 trabajan en la fábrica B, 40
laboran en la fábrica C y 7 trabajadores están contratados en las tres fábricas.
¿Cuántas personas trabajan en dos de estas fábricas solamente?
Solución:
Graficando con los datos:
Total = 62
A=25
B=33
A
x
y
7
b
c
z
C=40
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x + y + z + a + b + c + 7 = 62
(x + y + z) + (a + b + c) = 55 ……………… (1)
x + a + b = 18
y + a + c = 26
+
z + b + c = 33
(x + y + z) + 2 (a + b + c) = 77 …………… (2)
Restando (2) – (1) :
(a + b + c ) = 77 – 55
a + b + c = 22
17. De un grupo de 80 personas:
27 leían la revista A, pero no leían la revista B.
26 leían la revista B, pero no C.
19 leían C pero no A.
2 las tres revistas mencionadas.
¿Cuántos preferían otras revistas?
Solución:
Total = 80
A
B
m
a
b
2
n
p
c
x
C
Con los datos:
a + n = 27
b + m = 26
+
c + p = 19
a + b + c + n + m + p = 72 ……………… (1)
De la figura:
a + b + c + n + m + p + 2 + x = 80
72
De donde: 72 + 2 + x = 80
Luego: x = 6
18. En un colegio el 50% de los alumnos aprobó física, el 42% aprobó química y el 56% de
los alumnos aprobó uno y sólo uno de los dos cursos. Además 432 aprobaron física y
química. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?
Solución:
Total = x
F=50%
G=42%
a
De los datos:
a + b = 50%x
b + c = 42%x
a + c = 56%x
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b
c
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Sumando las tres relaciones:
2 (a + b + c) = 148% x
a + b + c = 74% x
56% x + b = 74% x
b = 18% x = 432
Luego: 18/100 = 432
∴ x = 2400
19. Una persona come plátano o naranja cada mañana durante el mes de marzo, si come
naranja 25 mañanas y plátano 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come plátano y naranjas?
Solución:
Sea U = {mes de marzo} conjunto universal Æ n(U) = 31
A = {mañanas que come plátano} Æ n(A) = 18
B = {mañanas que come naranja} Æ n(B) = 25
Ubiquemos la información en un diagrama de Venn-Euler.
U
Mañanas que comen plátano y naranjas = x
A
B
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
31 = 18 – x + 25 – x – x
18-x
x
25-x
3x = 43 – 31 = 12 de donde x = 4
∴ 4 mañanas come plátano y naranja.
20. Sean A y B dos conjuntos tales que n(A∪B) = 24 y n(A – B) = 10, n(B – A) = 6- Hallar
5[n(A)] – 4 [n(B)]
Solución:
Ubiquemos los datos en un diagrama de Venn-Euler.
A
Calculando se tiene:
B
10
8
5 [n(A)] – 4 [n(B)] = 5(18) – 4(14) = 90 – 56 = 34
6
21. En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios
idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42, Español y Alemán 8,
Español y Francés 10, Alemán y Francés 5 y los tres idiomas 3.
a)
b)
¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas?
¿Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio?
Solución:
Ilustraremos el problema en un diagrama de Venn-Euler, para facilitar la solución.
En el diagrama se observa que:
A
B
13
5
20
3
7
2
30
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n (E∩A∩F) = 3; n(A∩F) = 5
n (E∩F) = 10
; n(E∩A) = 8
n(F) = 42
; n(A) = 30
n(E) = 28
F
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n(A∩E∩F) = n(A)+n(E) +n(F)– n(A∩E) – n(A∩F) – n(E∩F) + n(A∩E∩F)
= 28 + 30 + 42 – 8 – 10 – 5 + 3 = 80
Por lo tanto:
a) No estudian idiomas = 100 – 80 = 20
b) Solo francés 30
22. En un instituto de investigación trabajan 67 personas. De estas 47 conocen el inglés, 35 el
alemán y 23 ambos idiomas. ¿Cuántas personas en el instituto no conocen el inglés ni el
alemán?
Solución:
Para facilitar la solución utilizamos el diagrama de Venn-Euler.
I
I = inglés, A = alemán
A
24
23
En el diagrama se observa que:
n(I ∩ A) = 23,
n(A) = 35, n(I) = 47
por conocer n(I ∪ A)
12
Hallaremos n(I’∩A’) = n(I∪A’) = n(U) – n(I∪A) = 67 – n (I∪A)
(1)
Además n(I∪A) = n(I) + n(A) – n(I∩A) = 47 + 35 – 23 = 59
(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
n(U)–n(I∪A) = 67–n(I∪A) = 67–59 = 8
Por lo tanto 8 personas no conocen el Inglés y Alemán.
23. Sea A un conjunto tal que n(A) = 3 p + q. B es un conjunto tal que n(B) = 2q + 3, y los
dos tienen elementos comunes n (A ∩ B) = p + q – 4. ¿Cuántos elementos tiene A ∆ B?
Solución:
Debemos de calcular n(A∆B) = ?
n (A∆B)
=
=
n (A∆B) =
=
n [(A∪B) – (A∪B)] = n(A∪B) – n(A∩B)
n(A) + n(B) – n(A∩B) – n(A∩B)
n(A) + n(B) – 2n (A∩B) = (2p+q+2q+3) – 2(p+q– 4)
3p + 2q + 12 – 2p – 2q + 8 = p + 20
24. De 120 alumnos de una universidad se obtuvo la información siguiente:
72
64
36
12
alumnos
alumnos
alumnos
alumnos
estudian
estudian
estudian
estudian
Análisis Matemático.
Biología.
Ciencias Sociales.
las tres asignaturas.
¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos asignaturas?
Solución:
Sean:
A = {estudiantes de Análisis Matemático}
B = {estudiantes de Biología}
C = {estudiantes de Ciencias Sociales}
Ilustraremos mediante el diagrama de Venn-Euler. Las variables x,y,z representan a los
estudiantes que estudian exclusivamente dos asignaturas.
A
B
x
a
b
12
y
z
c
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C
Las variables a, b, c representan los estudiantes de una sola asignatura, de acuerdo a los datos del
problema se tiene:
a + x + y + 12 = 72
b + x + z + 12 = 64
c + y + z + 12 = 36
(a + b + c) + 2 (x + y + z) = 136
……… (1)
Como son 120 alumnos, del diagrama se tiene:
a + b + c + x + y + z +12 = 120
De donde: (a + b + c) + (x + y + z) = 108
……… (2)
Ahora al restar (2) de (1) se tiene:
x + y + z = 136 – 108 = 28
Por lo tanto, los estudiantes que estudian exclusivamente dos asignaturas son 28.
25. En una ciudad de 10,000 habitantes adultos el 70% de los adultos escuchan radio, el 40%
leen los periódicos y el 10% ven televisión, entre los que escuchan radio el 30% lee los
periódicos y el 4% ven televisión, el 90% de los que ven televisión, lee los periódicos, y
solo el 2% de la población total adultos lee los periódicos, ven televisión y escuchan radio
se pide:
a)
b)
Cuantos habitantes no escuchan radio, no lee periódicos ni ven televisión.
Cuantos habitantes leen periódicos solamente.
Solución:
Consideremos los siguientes conjuntos:
A = {conjunto de personas que escuchan radio}
B = {conjunto de personas que leen periódicos}
C = {conjunto de personas que ven televisión}
Personas que escuchan radio 70% de 10,000 es 7,000
Personas que leen periódicos 40% de 10,000 es 4,000
Personas que ven televisión 10% de 10,000 es 1,000
Para facilitar la solución utilizaremos diagramas de Venn.
A
B
U
1900
4820
1200
200
80
700
20
C
a)
Observando el diagrama se tiene:
b(A∪B∪C) = 4820 + 1900 + 1200 + 700 + 200 + 80 + 20
= 4820 + 3100 + 1000 = 8920
Además se conoce que n(U) = 10,000
Los que no leen periódicos, no escuchan radio, ni ven T.V. estará dado por: n(U) –n(A ∪ B ∪ C)
= 10,000 – 8920 = 1080
Es decir: 1,080 personas adultas, no leen periódicos, no escuchan radio, ni ven T.V.
b)
Según el diagrama de Venn-Euler las personas que leen periódicos solamente son 1,200.
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26. En una encuesta
6 personas
5 personas
8 personas
realizada a 154 personas, se obtuvieron las siguientes informaciones:
cenan y desayunan pero no almuerzan
desayunan y almuerzan solamente
almuerzan solamente
El número de personas que realizan las tres comidas es el séxtuplo de las que sólo
desayunan y el triple de las que solo cenan, nadie declara almorzar y cenar solamente.
¿Cuántas personas cenan por lo menos?
Solución:
Sean:
A = {conjunto de personas que almuerzan}
B = {conjunto de personas que cenan}
C = {conjunto de personas que desayunan}
Sea x el número de personas que desayunan solamente entonces las personas que realizan las tres
comidas es el séxtuplo de los que desayunan solamente 6x y esto es el triple de los que quiere
decir que los que cenan solamente es 2x.
Para facilitar la solución usaremos los diagramas de Venn-Euler.
A
B
U
0
8
2x
6x
5
6
x
D
Además se tiene que: n(U) = 154.
Donde U = A ∪ C ∪ D,
donde n(c) = 6x + 6 + 0 + 2x = 8x + 6
n(A ∪ C ∪ D) = n(U) = 154, de donde al observar el diagrama de Venn-Euler se tiene:
6x + 6 + 2x + 0 + 8 + 5 + x = 154
Simplificando 9x + 19 = 154 Æ 9x = 135 Æ x = 15
Las personas que cenan por lo menos es:
n(c) = 8(15) + 6 = 120+6 = 126
27. En una encuesta realizada en una población sobre su preferencia de tres diarios A, B y C
se encontró el 42% leen el diario A, el 34% leen B, el 28% leen C, el 17% lee A y B, el
15% lee A y C, el 8% lee B y C y el 66% leen al menos uno de los tres diarios, determinar:
a) Que tanto por ciento leen un solo diario.
b) Que tanto por ciento leen exactamente dos de los diarios.
c) Que tanto por ciento ninguno de los tres diarios.
Solución:
A
B
U
17-x
a
b
x
15-x
8-x
c
C
n(A) = 42, n(B) = 34, n(C) = 28
n(A ∩ B) = 17, n(A ∩ C) = 15, n(B ∩ C) = 8
y n(A ∪ B ∪ C) = 66
Sea x el porcentaje de personas que leen los tres diarios.
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Si n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) –
n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
66 = 42 + 34 + 28 – 17 – 15 – 8 + x
De donde 66 = 62 + x
Æ
x=2
En el diagrama:
n(A) = a + (17-x) + (15-x) + x = 42 Æ a =12
n(B) = b + (17-x) + (8-x) + x = 34 Æ b =11
n(C) = c + (15-x) + (8-x) + x = 28 Æ c =7
Luego:
a)
b)
c)
Leen un solo diario a + b + c = 30%
Leen exactamente dos de los tres diarios 15 + 17 + 8 – 3x = 34%
No leen ninguno de los tres diarios 100 – 66 = 34%
28. Se tienen los conjuntos unitarios:
A = {a2 + 1; 3a - 1}
B = {3x + y; x - y + 12}
Hallar: a + x + y
Solución:
Para que {m;n} sea unitario debe cumplir que: m = n, luego.
i) a2 + 1 = 3a – 1
a2 – 3a + 2 = 0
a Æ -2
a Æ -1
a=2
a=1
a=2 ó a=1
ii) 3x + y = x – y + 12
3x – x + y + y = 12
2x + 2y = 12
2 (x+y) = 12
x+y=6
∴a+x+y=7ó8
29. Dados los conjuntos iguales:
A = {a + 2; a +1}
C = {b + 1; c + 1}
B = {7 – a; 8 a}
D = {b + 2; 4}
Hallar: a + b + c
Solución:
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
i) Si A = B
a+2=8–a
2a = 6
a=3
iii) C = D
c+1=4
c=4–1
c=3
∴ a + b + c = 10
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ii) A = C
a+2=b+1
3+2=b+1
4=b
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30. Indicar el conjunto por extensión:
A = { x ∈ Z / 3x3 – 2x2 – 2x + 3 = 0 }
Solución:
Con la ecuación: 3x3 – 2x2 – 2x + 3 = 0
3
-2
-2
3
3
-3
-5
5
3
-3
0
x = -1
3x2 – 5x + 3
(x + 1) (3x2 – 5x + 3) = 0
x = -1
3x – 5x + 3 = 0
x
Æ
=
5 ±
-17 (No)
6
∴ A = {-1}
31. Si:
x =
5 ± i
6
A = { a ∈ Z / a5 – 5a3 + 4a = 0 }
B = { a ∈ Z / ∃ b ∈ Z, a = b2 }
Hallar:
A
B
Solución:
Con A: a5 – 5a3 + 4a = 0 Æ a (a4 – 5a2 + 4) = 0
Æ a (a2 – 1) (a2 – 4) = 0
a (a2 – 1) (a + 1) (a + 2) (a – 2) = 0
Entonces: A = { -2; -1; 0; 1; 2 }
Con B: Para a = -2 ó a = -1, no existe un b ∈ Z/a = b2
a = 0 Æ ∃ b ∈ Z/0 = b2 Æ b = 0
a = 1 Æ ∃ b ∈ Z/1 = b2 Æ b = -1;1
a = 2 Æ ∃ b ∈ Z/2 = b2
Entonces: B = { 0; 1 }
Piden: = Hallar:
A
B = A – B = { -2 , 2 , -1 }
32. Determinar el conjunto por comprensión:
A = { 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 }
Solución:
1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16
1
2
1
2
tn = an
n=1Æ
n=2Æ
n=3Æ
3
1
4
1
5
1
+ bn + c
a+b+c=1
4a + 2b + c = 2
9a + 3b + c = 4
a=½
b=-½
c=1
Luego: tn = ½ n2 – ½ n + 1
A = { ½ (n2-n) + 1/n ∈ Z, 1 < n < 6 }
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33. De 76 alumnos; 46 no estudian lenguaje, 44 no estudian historia y 28 no estudian ni
lenguaje ni historia. ¿Cuántos estudian lenguaje e historia?
Solución:
Estudian:
L = 76 – 46 = 30
H = 76 – 44 = 32
Sea “x” los alumnos que estudian ambos cursos.
L = 30
H = 32
30-x
x
32-x
28
(30 – x) + x + (32 – x) + 28 = 76
De donde: x = 14
34. De un grupo de 100 personas; 40 son mujeres, 73 estudian matemática, 12 mujeres no
estudian matemática. ¿Cuántos hombres no estudian matemática?
Solución:
M = 40
H = 60
M = 73
De la figura: 12 + x + 73 0 100
∴ x = 15
12
x
35. Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y (A ∪ B) tiene 32 subconjuntos.
¿Cuántos subconjuntos tiene (A ∩ B)?
Solución:
Datos:
2n(A) = 24 Æ n(A) = 4
2n(B) = 23 Æ n(A) = 3
2n(A∪B) = 25 Æ n(A ∪ B) = 5
A∪B=5
A = 4
4 - x
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B = 3
x
3 - x
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(4 – x) + x + (3 – x) = 5
7–5=x Æ x=2
↓
A∩B
Piden: 2n(A ∩ B) Æ 22 = 4
36. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además sólo los que comen
carne o sólo los que toman leche son el 54% ¿Cuál es el porcentaje de los que no
toman leche ni comen carne?
Solución:
El total será: 100%
L = 50
50 - a
C = 40
a
40 - a
x
Dato: (50 – a) + (40 – a) = 54
De donde: 18 = a
Reemplazando en la figura: a = 18
(50 – 18) + 18 + (40 – 18) + x = 100
De donde: x = 28
∴ 28%
37. Tony come fréjoles y/o tortilla en su almuerzo en cada día durante el mes de enero.
Si come 19 días fréjoles y 20 días tortilla. ¿Cuántos días comió fréjoles con tortilla?
Solución:
Enero = 31 días
F = 19
19 - x
T = 20
x
20 - x
(19 – x) + x + (20 – x) = 31
Æ 39 – x = 31
∴x=8
38. Sean x, y ∈ Q tal que “y” es el menor posible. Sean A y B conjuntos tales que B ≠ ∅, A
∪ B es un conjunto unitario.
A = { x2 + 2y, x + 2y + 2 }
A ∪ B = { - 5/4 x + 3y2, 3x + 4y + 3 }
Hallar: A ∩ B.
Solución:
Como A ∪ B es unitario y B ≠ ∅, entonces A es unitario.
Luego: A = B = A ∪ B
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De a se tiene: x2 + 2y = x + 2y + 2 Æ x = 2, x = -1
………… (α)
De A ∪ B se tiene: { - 5/4 x + 3y2, 3x + 4y + 3 }
………… (β)
De (α), si x = 2, en (β): - 5/4 (2) + 3y2 = 3(2) + 4y + 3
Æ 3y2 – 4y + 5/4 = 0
y=½
Æ 12y2 – 16y + 5 = 0 Æ 5/6 (se rechaza),
Finalmente: x = -1, y = ½
Como A = B = A ∪ B, entonces A ∩ B = A = { x2+2y, x+2y+2}= {2}
39. Sean:
U = { x ∈ N / 1 < x < 15 } A = { x ∈ U / x es par }
B = { x ∈ U / x es impar} C = { x ∈ A / x = 2n, n ∈ U } ∪ {12}
Si D = { x ∈ U / x ∈ C Æ x ∈ B } ∩ { x ∈ A / x es múltiplo de 4 }
¿Cuántos subconjuntos de C contienen a D?
Solución:
Desarrollando, tenemos:
U = { 1, 2, 3, 4, …… 15 }
B = { 1, 3, 5, 7, …… 15 }
A = { 2, 4 , 6, 8, …… 14 }
C = { 2, 4, 8 } ∪ {12} = { 2, 4 , 8, 12}
Para D: x ∈ C Æ x ∈ B ≡ x ∈ C’ ∪ B
Entonces: D = { x∈U / x ∈ C’ ∪ B } ∩ { x∈A / x es múltiplo de 4} = ∅
Los subconjuntos de C que contienen a D = ∅, son en total 24 = 16, y son los elementos del
conjunto potencia de C.
40. Dados los conjuntos:
A = { x ∈ R / x/3 ∈ [-1,4] }
B = { x ∈ R / (x+3) ∈ [4,7] }
C = { x ∈ R / (1-2x)/2 ∈ [-1,2] }
Hallar el conjunto S en términos de intervalos, sabiendo que:
S = { x ∈ R / x ∈ A ÅÆ x ∈ (B – C) }
Dar como respuesta la suma de los extremos finitos de cada uno de los intervalos que lo
conforman.
Solución:
Trabajamos con las condiciones de cada conjunto:
Para A: x/3 ∈ [-1, 4], entonces: -1 < x/3 < 4 Luego: -3 < x < 12
Finalmente: A = [ -3, 12 ]
Para B: (x+3) ∈ [ 4, 7 ], entonces 4 < x + 3 < 7 Luego: 1 < x < 4
Por lo tanto: B = [ 1 , 4 ]
Para C: 1-2x ∈ [-1, 2], entonces -1 < 1-2x < 2, Luego: -2<1-2x<4
2
2
De donde: -3 < -2x < 3, finalmente: -3/2 < x
< 3/2
Luego: C = [ -3/2 , 3/2 ]
Para S: x ∈ A ↔ x ∈ (B–C) ≡ x ∈ A ∩ (B – C) ∨ x ∈ A’ ∩ (B–C) …… (1)
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Pero: A ∩ (B – C) = [ -3, 12 ] ∩ ( [ 1 , 4] - [ -3/2 , 3/2 ] )
= [ -3, 12 ] ∩ < -3/2 , 4 ] = < 3/2 , 4 ]
Ahora: A’ ∩ (B – C)’ = [ A ∪ (B - C) ]’ = ( [ -3 , 12] ∪ < -3/2 , 4 ] )’
= [ -3, 12 ]’ = < -∞ , -3 > ∪ < 12 , ∞ >
En (1): x ∈ A ↔ x ∈ (B – C)’ ≡ x ∈ < -3/2 , 4 ] ∨ (x ∈ <-∞ , -3 > ∪
< 12 , ∞ >)
= x ∈ < -∞ , -3 > ∪ < 3/2 , 4> ∪ < 12, ∞ >
Finalmente: S = < -∞ , -3 > ∪ < 3/2 , 4> ∪ < 12, ∞ >
Ahora: -3 + 3 + 4 + 12 = 29
2
2
41. Sean A, B y C subconjuntos de U tales que:
n (A ∩ B ∩ C) = 200, n (A’ ∩ B’ ∩ C’) = 150, n (A ∩ B ∩ C ) = 450,
n (A) = 1050, n (U) = 2000, n [ A ∩ (B ∩ C)’ ] = 250,
n [ (B – A) ∩ (B - C ) ] = 400, n (B ∩ C) = n [ C ∩ (A ∪ B)’ ]
Hallar n [ (A * B) ∆ (B * C)], si P * Q ≡ P Æ Q’
Solución:
Por dato: 250 + 450 + 200 + 150 + x + y + 150 + 400 = 2000
Æ 1600 + x + y + 2000 Æ x + y = 400
A
B
……… (1)
U
450
250
400
200
150
x
y
C
150
De n (B ∩ C) = n [ C ∩ (A ∪ B)’ ] se tiene:
x + 200 = y
Sabemos que P * Q ≡ P Æ Q’ ≡ ∼ P ∨ Q’, luego:
(A * B)
∆ (B * C) = (A’ ∪ B’ ) ∆ (B’ ∪ C’)
= [(A’∪ B’ ) ∩ (B’∪ C’)’] ∪ [(B’∪ C’ ) ∩ (A’ ∪ B’)’]
= [(A’ ∪ B’ ) ∩ (B ∪ C)] ∪ [(B’ ∪ C’ ) ∩ (A ∪ B)]
= (A’ ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C’ )
= [ (B ∩ C) – A ] ∪ [ (A ∩ B) ∩ C’ ]
Luego:
n [ (A * B) ∆ (B * C) ] = n { [ (B ∩ C) – A ] ∪ [ (A ∩ B) – C ] }
= n [ (B ∩ C) – A ] + n [ (A ∩ B) – C ]
= x + 450 = 550
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42. Si se sabe que:
B ⊂ A , n (B ∩ C) = 4; n (A ∩ C) = 10, n(C) = 18
n(A) = 22, n(B - C) = 5, n [ A ∪ B ∪ C)’ ] = 9
Hallar el número de elementos de:
[ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ]
Solución:
U
A
C
B
7
5
4
6
8
9
n [ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ] =
= n [ (A ∩ C) – B ] x [ (C – A) U (A’ ∩ B’ ∩ C’) ]
= 6 x (8 + 9) = 6 x 17 = 102
43. Dados los conjuntos:
A = { x ∈ R / (2x + 3) (x – 4) (x + 2) = 0 },
B = [ x ∈ R / x3/4 = x}, C = { y ∈ R / y = -2x, x = 0, 1, 2 }
Hallar:
(A ∩ B) x C
Solución:
Para A: (2x + 3) (x – 4) (x + 2) = 0 ÅÆ
2x+3 = 0 Æ x = -3/2
x–4=0Æx=4
x + 2 = 0 Æ x = -2
Luego: A = { -3/2, 4 , -2 }
Para B:
x
4
3
= x ÅÆ x3 – x = 0 ÅÆ x
4
x2 – 1 = 0 ÅÆ x
4
x–1
2
x+1 =0
2
Luego: B = { 0 , 2 , -2 }
Para C:
x
0
1
2
y = -2x
-1
-2
-4
Luego: C = { -1 , -2 , -4 }
Ahora: A ∩ B = {-2}
Finalmente:
(A ∩ B) x C = { -2 } x { -1, -2, -4 } = { (-2 , -1), (-2 , 2), (-2, -4) }
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44. Sean A y B conjuntos unitarios tales que:
A = { x2 + y },
B = { x – 2y } , A ∩ B = { x + y2 }
Hallar x + y, si es lo menor posible, donde x, y ∈ R
Solución:
Como A y B son conjuntos unitarios, se deduce:
x2 + y = x - 2y Æ x2 – x = – 3y ……(1)
x2+y = x-2y = x+y2 Æ =
x2 + y = x + y2 Æ x2 – x = y2 – y ……(2)
x - 2y = x + y2 Æ y2 = -2y
……(3)
De (3) : y2 + 2y = 0 Æ y (y + 2) = 0 Æ y = 0, y = -2
Si y = 0 en (2): x = 0, x = 1. Luego: x + y = 0, x + y = 1
Si y = -2 en (2): x2 – x = 6 Æ x = -2, x = 3.
Luego: x + y = -4, x + y = 1
45. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones representa la región sombreada?
I) { [ (A ∆ B) ∩ D ] – C } ∪ { A ∩ B ∩ C }
II) {{ [ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] – C } ∩ D } ∪ ( A ∩ B ∩ D )
III) { [ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] ∩ D ∩ C’ } ( A ∩ B ∩ C )
U
A
B
C
D
Solución:
I) [ (A ∆ B) ∩ D ] – C = { [ (A - B ) ∪ (B – A) ] ∩ D } – C representa la región sombreada
excepto la central.
La región central está dada por: A ∩ B ∩ C.
Luego: { [ (A ∆ B) ∩ D ] – C } ∪ { A ∩ B ∩ C } es toda la región sombreada.
Es verdadera.
II) {[ (A ∪ B) – (A ∩ B) ] – C } ∩ D representa la región sombreada excepto la central.
Pero A ∩ B ∩ D no representa la región sombreada.
Es falsa.
III) En forma similar, es verdadera.
46. En un salón de clases, de 70 alumnos, (todos ellos con 25 años cumplidos o más): 10
varones tienen 25 años, 25 varones no tienen 26 años, 16 varones no tienen 25 años
y 14 mujeres no tienen 25 años ni 26 años.
¿Cuántas mujeres tienen 25 ó 26 años?
Solución:
Total de alumnos = 70
Æ (10 + x) + (11 + y) + (15 + 14) = 70
Æ 50 + x + y = 70 Æ x + y = 20
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Luego hay 20 mujeres que tienen 25 ó 26 años.
25 años
26 años
10V
xM
11V
yV
15 V
14 M
27 años o más
47. Sean A, B, C y D los conjuntos de actores de cuatro revistas r, s, t y u
respectivamente. Un anuncio de media página vale S/.2500 en “r” S/.1500 en “s” y
S/.1000 en “t” ó “u”; el cual se desea publicar, disponiendo para ello de un
presupuesto de S/.5000.
¿En qué revistas se debe hacer la publicación, de manera que tenga un máximo de
lectores?
Se sabe que: n(A) = 700; n(B) = 500; n(C) = 450; n(D) = 350;
n (A ∩ B ∩ C) = 100; n(A ∩ B ∩ D) = 110; n (A ∩ C ∩ D) = 20;
n (B ∩ C ∩ D) = 50; n(A ∩ B) = 250; n (A ∩ C) = 250;
n (A ∩ D) = 190; n (B ∩ C) = 250; n (B ∩ D) = 100; n (C ∩ D) = 150
Solución:
Teniendo un presupuesto de S/.5000, el máximo de lectores se consigue con el máximo de
revistas, luego las combinaciones posibles son:
Combinación 1. Revistas: r, s, t.
Gastos: 2500 + 1500 + 1000 = 5000
El número de lectores es:
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n(A ∩ B) – n (A ∩ C) –
n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
= 700 + 500 + 450 – 250 – 250 – 250 + 100
= 1000
Combinación 2. Revistas: r, s, u.
Gastos: 2500 + 1500 + 1000 = 5000
El número de lectores es:
n (A ∪ B ∪ D) = 700 + 500 + 350 –250 – 190 – 100 + 110
= 1120
Combinación 3. Revistas: s, t, u.
Gastos: 1500 + 1000 + 1000 = 3500
Número de lectores:
n (B ∪ C ∪ D) = 500 + 450+ 350 –250 – 100 – 150 + 50
= 850
Combinación 4. Revistas: r, t, u.
Gastos: 2500 + 1000 + 1000 = 4500
Número de lectores:
n (A ∪ C ∪ D) = 700 + 450 + 350 – 250 – 190 – 150 + 20
= 930
La publicación debe hacerse de acuerdo a la combinación 2, revistas: r, s, u
48. Se encuesta a 4400 personas, que consumen los productos A, B y C. El número de
personas que consumen los tres productos es igual a:
1/6
1/5
1/4
1/2
de
de
de
de
los
los
los
los
que
que
que
que
consumen
consumen
consumen
consumen
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sólo
sólo
sólo
sólo
A
B
C
Ay B
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1/3 de los que consumen sólo Ay C
1/4 de los que consumen sólo B y C
a) ¿Cuántas personas consumen A aunque consumen B?
b) ¿Cuántas consumen B a menos que no consumen A?
Dar como respuesta la suma de ambos resultados.
Solución:
A
B
U
2x
6x
5x
x
3x
4x
4c
C
De acuerdo a los datos se tiene:
Como n(U) = 4400 tenemos:
6x + 2x + x + 3x + 5x + 4x + 4x = 4400
25x = 4400 Æ x = 176
a)
Sean, p: consumen A.
q: consumen B.
Luego consumen A aunque consumen B, queda expresado como p ∧ q; con la cual se tiene que nos
piden el número de elementos de A ∩ B.
Entonces: n (A ∩ B) = 2x+ x = 3x = 3 (176) = 528
b)
Sean, p: consumen B
q: consumen A
Luego, consumen B a menos que no consumen A, se expresa como p a menos que no q la cual
equivale a: q Æ p ≡ ∼ q ∨ p; con lo cual se tiene que nos piden el número de elementos de: A’ ∪ B.
Entonces: n (A’ ∪ B) = n (A’) + n (B) – n (A’ ∩ B)
= (5x + 4x + 4x) + (2x + x + 5x + 4x) – 9x
= 16x = 16 (176)
= 2818
La respuesta es:
528 + 2816 = 3344
49. En una encuesta realizada a 4400 personas acerca de su preferencia política sobre
los candidatos A, B, C; se obtiene la siguiente información:
El número de personas que simpatiza con los tres candidatos es:
1/3 de los que simpatizan con A y B
1/6 de los que simpatizan con B y C
1/7 de los que simpatizan sólo con B
1/6 de los que simpatizan sólo con A
1/8 de los que simpatizan sólo con C
Si el número de personas que simpatizan con A sí y sólo sí simpatizan con B ó C es 1800;
hallar el número de personas que simpatizan sólo con A y C o con ninguno de los tres.
Solución:
Como n(U) = 4400, se tiene:
6x + 3x + x + y + 7x + 5x + 8x + x = 4400
Æ 30x + y + z = 4400 ……… (1)
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A
B
U
3x
6x
7x
x
y
5x
8x
C
z
Además:
n [ A ÅÆ (B ∪ C) ] = 1800
Luego: 1800 = n [ ( A ∩ (B ∪ C)) ∪ (A’ ∩ (B ∪ C)’]
= n [ ( A ∩ (B ∪ C)) ∪ (A’ ∩ (B ∪ C)’]
Æ 1800 = 4x + y + z ……… (2)
De (1) y (2): x = 100, y + z = 1400
Nos piden:
n { [ ( A ∩ C) – B ] ∪ [ A ∪ B ∪ C]’ } = n [ ( A ∩ C) – B ]+
n ( [A ∪ B ∪ C]’)
= y + z = 1400
50. El número de personas que leen las revistas A y B es 4, Ay C es 5, mientras que los
que leen B y C también es 5. Si los que leen A pero no C es 6, y los que leen B pero no
C es 7. Hallar el número de personas que leen las tres revistas si y sólo si leen A ó C;
sabiendo que todas las personas encuestadas leen por lo menos una de las revistas y
que:
n [ P (A ∩ B) ] = n [ P [ ( A ∩ B) – C ] ] + 8
Solución:
A
B
u
s
v
n (A ∩ B) = 4 Æ x + s = 4 …… (1)
n (A ∩ C) = 5 Æ x + r = 5 …… (2)
n (B ∩ C) = 5 Æ x + t = 5 …… (3)
x
r
U
t
C
De: n [ P (A ∩ B) ] = n [ P [ ( A ∩ B) – C ] ] + 8
Æ 24 = 2s + 8 Æ 2s = 8 Æ s = 3
En (1): x = 1
En (2) y (3): r = 4 = t
Además:
n [A – C] = 6 Æ u + s = 6 Æ u = 3
n [B – C] = 7 Æ v + s = 7 Æ v = 4
Piden: n [ ( A ∩ B ∩ C) ÅÆ (A ∪ C) ]:
Sabiendo que n [ (A ∪ B ∪ C)’] = 0
Luego: n [ ( A ∩ B ∩ C)ÅÆ(A∪C) ] = n { [ (A ∩ B ∩ C) ∩ ( A ∪ C) ] ∪
∪ [A ∩ B ∩ C] + n [B-( A ∪ C) ]
= n [ A ∩ B ∩ C ] + n [B – (A∪C) ]
=x+v=1+4=5
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51. Se obtuvo la siguiente información acerca de 90 postulantes:
El número de postulantes que prefieren solamente la especialidad C es el triple de los que
prefieren sólo la carrera A, mientras que los postulantes que prefieren solamente la
carrera B es el doble de los que prefieren sólo la especialidad A.
El cuádruple del número de postulantes que prefieren sólo A, no prefieren ninguna de las
tres carreras; mientras que hay 10 que prefieren las tres especialidades. Hay 68
postulantes que prefieren la especialidad B a menos que no prefieran A; y hay 45 que
prefieren la carrera B sí y sólo sí prefieren C. Hallar el número de postulantes que
prefieren sólo A ó sólo C ó sólo Ay B.
Solución:
A
B
x
y
U
n (B ÅÆ C) = 45
= n [(B ∩ C) ∪ (B’ ∩ C’)]
2x
10
w
z
3x
Luego:
68 = n [A’∪B] = 9x+y+Z+10 …… (1)
Æ 45 = (10 + Z) + 5x …… (2)
C
4x
De (1) y (2): 4x + y = 23
El número de postulantes que prefieren sólo A ó sólo C ó sólo A y B es:
x + 3x + y = 4x + y
= 23
52. En una encuesta acerca del consumo de bebidas gaseosas se obtuvo la siguiente
información:
El
El
El
El
El
El
El
45% consumen la marca B
40% consumen la marca C
8% no consume ninguna de las tres
63% consumen A y B, si y sólo si consumen C
67% consumen B y C, si y sólo si consumen A
5% consumen las tres marcas
8% consumen sólo B y C
¿Qué porcentaje toman bebidas según la operación:
(A * B) * C = (A ∩ B) ∪ (C – A) ?
Solución:
A
B
a
y
8
c
Tenemos:
67 = 5 + b + c + 8
Æ b + c = 54
63 = 5 + a + b + 8 …… (1)
b
5
x
U
C
8
Æ a + b = 50
40 = c + x + 13 ………… (2)
Æ c + x = 25
45 = b + y + 13 ………… (3)
Æ b + y = 32
Además: a + b + c + x + y + 21 = 100…… (4)
Æ a + b + c + x + y = 79
………(5)
(3) y (4) en (5): a + 32 + 27 = 79 Æ a = 20
En (2): b = 30, en (1): c = 24; en (3): x = 3; en (4): y = 2
Ahora: n [ ( A * B) * C ] = n [ (A ∩ B) ∪ (C – A) ]
= (5 + y) + (c + )
= 7 + 32 = 39
53. Sea U = Z, y sean:
A = {x ∈ Z / x es un número par}
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B = {x ∈ Z / x es un número impar}
C = {x ∈ Z / x es un número natural par}
D = {x ∈ Z / x es un número natural impar}
En que parte del plano se encuentra el gráfico de (A–C)x(B–D).
Solución:
Tenemos que:
A – C = { x ∈ Z / x es un número par negativo, incluido el cero }
B – D = { x ∈ Z / x es un número impar negativo }
Luego:
(A – C) x (B – D) = { (x,y) / x es un número par negativo (incluido el cero), y es un impar negativo
}
Graficando, unos cuantos valores:
B–D
-12 –10 –8 –6 –4
–2
0
A–C
-1
-2
-5
-7
Se encuentra en el tercer cuadrante.
54. Sean A, B conjuntos, simplificar : (B
SOLUCION
B n ∅ = ∅ ⇒ (B n A) – (A U B)
∅ - (A U B)
∅
∩ ∅)-(AUB)
55. Sean A, B conjuntos y U conjunto Universal, simplificar:
[ (U ∩
A ) U A'
] U(B' U B)
Solución
U
∩
A = A; B' U B = U ⇒
Por propiedad U ⇒
[ A U A' ] U
U
U
A
A
A
A'
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[(U ∩
U
U
U=U
A) U A'
] U (B' U B)
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
[
56. Si MCM, Simplificar : (M U N ) n (N'
∩
]
P)
'U M'
Solución
Graficamos la condición
[
(M
[N ∩
N
M
∩
∩
P)
[(M U N' ) ∩
P
(N'
[∅ ∩
∅
P
∩
]
∩
N)
]
(N'
∩
M'
U M'
U M' Condición M U N = N
]
U M' Prop. Asociat.
U M' Prop. A
M'
]
P)
∩
A' = ∅
Prop. A
∩
A' = ∅
Prop. A
∩
A' = ∅
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
2.
Dado el conjunto unitario:
A = { a + b ; a + 3b – 3; 12 }
Calcular: a2 + b2
a) 80
b) 74
c) 104
Los conjuntos A y B son tales
A) = 10. Hallar n(A) + n(B)
a) 22
3.
b) 38
5.
n(A∪B) = 30, n(A- B) = 12
e) 37
b) 32
c) 256
d) 1024
e) 512
Dados los conjuntos:
A = { 1, 2, {1,2}, 3}
B = { {2,1}, {1,3}, 3}
Hallar el conjunto [ (A – B) ∩ B ] ∪ (B – A)
a) { 1, {1,3} } b) { {1,3} } c) {1,3} d) { {1,3} , 3} e) { {1,2} }
Sean los conjuntos:
A = { x ∈ R / 2 log x – 3 log x2 = 2 (log x)2 }
B = { x ∈ R / 53 (2x2-x) = 125 }
C =
x ∈ R /
x
Hallar (A ∩ B)
a) {1,2}
6.
d) 25
que
e) 39
Si n[ P (A) ]=128, n[ P (B) ]=16 y n [ P (A ∩ B)]=8.
Hallar : n [ P (A ∪ B) ]
a) 128
4.
c) 36
d) 90
Si:
U =
A =
B =
A ∩
A ∪
{
{
{
C
C
=
3
n
; n ∈ N, n < 4
n + 1
∪ (C ∩ B)
b) {1}
c)
{2}
d) {1,3}
x ∈ N / 0 < x < 11 }
1, 3, 5, 7 }
2, 4, 6, 8 }
= { 1, 3}
= { 1,2,3,5,7,9 }
Hallar n(B ∪ C) + n(A ∪ C)
a) 4
b) 10
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c) 7
d) 11
e) N.A.
e) N.A.
y
n (B –
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
7.
Dados los conjuntos:
A = { y ∈ R / y = 2x, x = -2, -1, 0, 1}
B =
x ∈ R / 3x – 5 =
C =
x ∈ R / x2 – 5 =
1 _
x – 5
x _
2
Hallar (A ∪ B) ∩ (B – C)
a) 2, 2/3
8.
b) φ
c) {1,2}
d) { ¼, ½ }
Sea:
U = {-5,π, 2, -2,0,2,4,3/8,1+ π,πJ = { x ∈ U / x ∈ N ÅÆ x ∈ Q’ }
K = { x ∈ U / x ∈ Z ∧ x ∉ R }
L = { x ∈ U / x ∈ N ∨ x ∉ R }
e) N.A.
2,1+
-4 }
Hallar M si M = ( J – K) ∪ (K ∧ L)
a) { 2,3/8} b) {-5 ,3/8 }
9.
c) { π,2} d) {2,4 }
e) N.A.
En un taller mecánico se observa lo siguiente: 1/3 del total de los
trabajadores saben arreglar motores, 7/12 del total son especialistas en
arreglar llantas; 1/12 del total arreglan llantas y motores, siendo 30 los
que arreglan motores solamente. ¿Cuántos no saben arreglar llantas y
motores?
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) N.A.
10. En una biblioteca había 100 alumnos, de los cuales 70 estudian ciencias y
30 estudiaban letras. Si 20 estudiaban letras y ciencias, señalar cuántos
estudiaban letras, si y sólo si estudiaban ciencias.
a) 40
b) 38
c) 32
d) 42
e) N.A.
11. Durante todas las noches del mes de octubre, Soledad escucha música o
lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches,
¿cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente?
a) 5
b) 6
c) 4
d) 3
e) 10
12. Un conjunto A tiene 1023 subconjuntos propios y el producto cartesiano
de A y B tiene 50 elementos. ¿Cuántos subconjuntos propios de 3
elementos posee el conjunto potencia de B?
a) 10
b) 12
c) 11
d) 13
e) 9
13. En una encuesta de un club se determinó que el 60% de los socios lee “La
República” y el 30% lee “El Comercio”, se sabe que los que leen “La
República” o “El Comercio” pero no ambos constituyen el 70% del club y
hay 400 socios que no leen ningún diario. ¿Cuántos socios leen ambos
diarios?
a) 240
b) 210
c) 180
d) 200
e) 150
14. De los 96 asistentes a una fiesta se sabe que el número de hombres es
igual al número de mujeres solteras. Si hay 18 hombres casados y más de
29 mujeres casadas. ¿Cuántas personas son solteras si entre ellas hay
más de 14 hombres?
a) 48
b) 45
c) 38
d) 32
e) 28
15. Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos contenidos en U donde:
n(U) = 95
n(A) = n(B) = 50
n(C) = 40
n[A-(B∪C)] = 24
n[(A∩B)-C)] = 8
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
n[(B∩C)-C)] = 17
n[(A∪B∪C)’] = 10
Determinar el número de elementos de A∩B∩C
a) 6
b) 8
c) 12
d) 17
e) 20
16. ¿Qué operación representa la región sombreada?
A
a) A∪B∪C
B
b) A∩B∩C
c)
(A-B) ∩C
d) A∩(B∪C)
e) A∪(B∩C)
C
17. ¿Qué operación representa la región sombreada?
a)
b)
c)
d)
e)
[(A∪C) – B ] ∪ (B∩C)
[(B’∪C’) ∪A] ∩ (C∪B)
[(A-B)∩C]∪B
[(A’∩B)-C]∩A
[(A’∪B)∩A]∩(B∪C)
A
B
C
18. Sean A y B dos conjuntos no vacíos donde se tiene:
A ∪ B = { 5 , 8 , 11 , 14, 15, 17 }
A – B = { 8 , 15}
Indicar el número de sub conjuntos de B
a) 8
b) 6
c) 32
d) 64
e) 4
19. De un grupo de 200 comensales a 120 no les gusta el arroz con pato y a
130 no les gusta la carapulcra. Si a 80 no les gusta ambos potajes ¿A
cuántos de ellos les gusta el arroz con pato y la carapulcra?
a) 18
b) 24
c) 30
d) 36
e) 42
20. De un total de 230 alumnos se conocer que 90 postulan a la UJCM,
mientras que 110 alumnos postulan a la UPT ¿cuántos alumnos postularon
a ambas universidades si hay 80 alumnos que postulan a otras
universidades y no a estas dos?
a) 40
b) 60
c) 80
d) 70
e) 50
CLAVE DE RESPUESTAS:
1
d
2
b
3
c
4
b
5
b
6
d
7
a
8
b
9
c
10
a
11
a
12
a
13
d
14
a
15
c
16
d
17
b
18
b
19
c
20
e
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