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T4. GEOMETRÍA
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MATEMÁTICAS PARA 3º ESO
MATH GRADE 9
____________________________________________________
CURRÍCULUM MATEMÁTICAS
NOVA SCOTIA
ATLANTIC CANADÁ
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TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS
T4. GEOMETRÍA
MAURICIO CONTRERAS
GEOMETRÍA


Dibujar inferencias, deducir propiedades, y hacer deducciones lógicas en situaciones
geométricas sintética y transformacional
Investigar y demostrar una comprensión de las condiciones mínimas suficientes para
producir triángulos

TRIÁNGULOS
a)
Construye un triángulo uniendo tres pajitas de sorber o tres limpiadores de pipas que
tengan la misma longitud. Compara el tuyo con los de tus compañeros. Observa que,
aunque los triángulos pueden estar orientados de manera diferente, en realidad todos
ellos son el mismo triángulo. En otras palabras, dada la longitud de los tres lados de un
triángulo sólo hay un único triángulo que puede construirse con ese lado. Intenta
averiguar si la propiedad es cierta cuando se toman tres lados de longitudes diferentes.
b)
Usando plantillas de ángulos (o pajitas de sorber o limpiadores de pipas) investiga otras
combinaciones para ver si es posible construir triángulos conocidos dos lados y un ángulo
o un lado y dos ángulos.
c)
Utilizando regla y compás, construye los siguientes triángulos:
d)
Observa que un triángulo se puede construir si se conocen tres de sus elementos como
datos. Si A representa ángulo y L representa lado, ¿en cuáles de los siguientes casos de
datos conocidos queda determinado un triángulo de forma única: AAA, LLL, LAL, ALA, AAL,
LLA, ALL, LAA? Explica.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS I
Los estudiantes deben trabajar en grupos en esta actividad.
Se reparten a cada grupo tres pajitas de sorber que midan 5 cm, 7 cm y 8 cm. Cada grupo debe
formar un triángulo con ellas y compararlo con los triángulos de otros grupos. Haz un informe
registrando tus descubrimientos.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS II
Los estudiantes deben trabajar en grupos en esta actividad.
Cada grupo debe eliminar el lado más largo y formar un triángulo usando las pajitas de 5 cm y
7 cm junto con un ángulo de 50o hecho con la plantilla de ángulos El tercer lado puede tener
una longitud necesaria para formar un triángulo. Experimenta colocando el ángulo de 50 o en
distintas posiciones hasta formar el triángulo.
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a)
b)
c)

MAURICIO CONTRERAS
Escribe un informe registrando tus observaciones.
Compara tus observaciones con las de los otros estudiantes, para cada caso explorado y
establece conclusiones.
¿Dónde se debe colocar el ángulo de 50o en relación con los lados conocidos para que
todos los grupos construyan el mismo triángulo?
CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS III
Los estudiantes deben trabajar en grupos en esta actividad.
Usando solo la pajita de 7 cm y dos ángulos de 50o y 70o, junto con otras dos pajitas, explora
posibles formas de combinarlos para hacer un triángulo (las otras dos pajitas deberán ser
cortadas de manera apropiada para hacer el triángulo, dependiendo de dónde estén situados
los ángulos).
a)
b)

Compara tu triángulo con los de tus compañeros. ¿Algunos grupos obtienen triángulos
congruentes?
¿Qué combinación de dos ángulos y un lado siempre produce dos triángulos semejantes?
Resume tus conclusiones.
PARTES DE UN TRIÁNGULO
Has dado a tus compañeros cuatro partes de un triángulo iguales a las correspondientes cuatro
partes de otro triángulo, y no les has dicho qué partes son. Explora si hay una combinación de
las cuatro piezas de información para que los triángulos no sean congruentes. Redacta tus
conclusiones.




Dibujar inferencias, deducir propiedades y hacer deducciones lógicas en situaciones de
geometría sintética y transformacional.
Investigar y demostrar una comprensión de las propiedades y de las condiciones
mínimas suficientes para asegurar la congruencia de triángulos
Hacer deducciones informales, usando triángulos congruentes y propiedades de los
ángulos.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Saber que dos partes de un triángulo son congruentes con las dos partes correspondientes de
otro triángulo, ¿es suficiente información para concluir que los dos triángulos son
congruentes?
El triángulo ABC es congruente con el triángulo PQR. ¿Qué podemos decir sobre la relación
entre los ángulos <A y <P?

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO
¿Es posible construir un único triángulo ABC con <B=60º, AB=5 cm y AC=4 cm? Explica. Apoya
tu explicación con un diagrama o modelo.
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
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TRIÁNGULOS CONGRUENTES
Explica por qué los dos triángulos siguientes son congruentes:

HIPOTENUSA-LADO
Para triángulos rectángulos es posible obtener un único triángulo cuando la hipotenusa y otro
lado son conocidos.
a)
b)
Explora esta posibilidad usando pajitas de sorber o plantillas de ángulos.
Esta propiedad es a menudo identificada como la propiedad o axioma HL (hipotenusalado). Cuando se incluye el ángulo recto, este caso se transforma en el que se conocen
dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, el cual no constituye un conjunto de
condiciones mínimas suficientes para formar un único triángulo. ¿Por qué en el caso de
triángulos rectángulos si que constituye un conjunto de condiciones mínimas suficientes
para formar un único triángulo?



Dibujar inferencias, deducir propiedades y hacer deducciones lógicas en situaciones de
geometría sintética y transformacional.
Hacer deducciones informales, usando triángulos congruentes y propiedades de los
ángulos.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dada la información indicada en los siguientes diagramas,
a)
b)
¿Por qué es AB≈DB?
¿Por qué es <TPQ ≈ <SQR?

LONGITUD DE UN LAGO
Halla la longitud del lago y justifica el resultado (basa la justificación en una de las cuatro
condiciones de congruencia: LLL, LAL, ALA, AAL).
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
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DIAGONALES DE UN RECTÁNGULO
Un rectángulo ABCD tiene dibujadas sus diagonales. Las diagonales se unen en el punto E.
a)
b)
Nombra cuatro pares de triángulos que sean congruentes.
Explica por qué sabes que son congruentes (basa tu explicación en una de las cuatro
condiciones de congruencia: LLL, LAL, ALA, AAL).

¿TRIÁNGULOS CONGRUENTES?
Estudia el siguiente diagrama y la información que presenta. Determina si la información sobre
los dos triángulos es suficiente para concluir que son congruentes. En caso afirmativo, explica
por qué usando una de las condiciones de congruencia. En caso negativo, explica por qué.

EL JUEGO DEL BEISBOL
Usa la información de la figura para contestar las siguientes cuestiones:
a)
b)
Halla la distancia de casa al segundo base (es decir, de C a D) en el rombo de béisbol, y
justifica tus observaciones basándote en la congruencia.
Halla la distancia del primer al segundo base. ¿Es significativo que no conozcamos cuál de
las bases es la primera base?
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


MAURICIO CONTRERAS
Dibujar inferencias, deducir propiedades y hacer deducciones lógicas en situaciones de
geometría sintética y transformacional.
Demostrar una comprensión de la semejanza de triángulos y aplicar las propiedades de
los triángulos semejantes.
¿TRIÁNGULOS SEMEJANTES?
Observa la siguiente figura. La información que muestra el diagrama ¿es suficiente para
concluir que los dos triángulos son semejantes? ¿Qué otra información es necesaria y por qué?
Comprueba que:
1)
2)

Dos triángulos son semejantes cuando dos pares de lados están en proporción y el par de
ángulos comprendidos correspondientes son congruentes.
Dos triángulos son semejantes cuando dos ángulos de un triángulo son congruentes con
los dos ángulos correspondientes del otro triángulo.
ALTURA DE UNA TORRE
La sombra proyectada por una torre de comunicaciones es de 35 m de longitud. Al mismo
tiempo un poste que es 1 m de largo proyecta una sombra de 35 cm. ¿Cuál es la altura de la
torre? ¿Qué supuestos hay que hacer?

¿TRIÁNGULOS SEMEJANTES?
Averigua en cada caso si cada conjunto de triángulos son semejantes. Justifica tu decisión.
a)
Se sabe que AD=CB y que AB=CD
b)
Se sabe que <B ≈ <C
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
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ACTIVIDAD CON TRIÁNGULOS
En grupos de tres estudiantes, se facilita a cada estudiante del grupo un conjunto de tiras de
plástico (las cuales pueden cortarse de barras o adquirirse comercialmente), de la manera
siguiente: estudiante A: 3 cm, 4 cm, 5 cm; estudiante B: 6 cm, 8 cm, 10 cm; estudiante C: 9 cm,
12 cm, 15 cm.
a)
b)
Construye un triángulo con las tiras que tienes y mide sus ángulos. Compara las medidas
de los ángulos.
Compara las longitudes de cada uno de los lados de los triángulos. Predice las longitudes
de los lados de otro triángulo que tiene las mismas medidas de ángulos y comprueba tus
predicciones.




Dibujar inferencias, deducir propiedades y hacer deducciones lógicas en situaciones de
geometría sintética y transformacional.
Demostrar una comprensión de la semejanza de triángulos y aplicar las propiedades de
los triángulos semejantes.
Relacionar congruencia y semejanza de triángulos.
LADO DESCONOCIDO
En la siguiente figura los triángulos son semejantes porque tienen dos pares de lados
correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes. Halla la medida
del lado desconocido AC si se sabe que PR=2,9 cm.

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
a)
b)
c)
Si dos triángulos son congruentes, ¿son también semejantes?
Si dos triángulos son semejantes, ¿son también congruentes?
Si las razones de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes es 1:1, ¿qué
podemos decir sobre dichos triángulos?

ANCHURA DE UN RIO
a)
b)
Los dos triángulos de la siguiente figura ¿son semejantes? Justifica.
Si hay suficiente información, halla la anchura del rio. Si no hay suficiente información,
¿qué otra información se necesita?
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
ALTURA DE UN ÁRBOL
a)
b)
Los dos triángulos de la siguiente figura ¿son semejantes? Justifica.
Si hay suficiente información, halla la altura del árbol.

SEMEJANZA Y CONGRUENCIA
a)
¿Pares de triángulos congruentes son también semejantes? Explica por qué si o por qué
no.
¿Pares de triángulos semejantes son necesariamente congruentes? Explica por qué si o
por qué no.
b)



Desarrollar y analizar la propiedades de las transformaciones y usarlas para identificar
relaciones que involucran figuras geométricas
Usar la notación sagital (de flecha) para representar transformaciones de figuras
geométricas e interpretar notaciones semejantes.
NOTACIÓN SAGITAL
Dada la transformación en forma sagital: x, y  x  5, y  2 para el triángulo ABC con
vértices A(2, 2), B(4, 2) y C(5, -3), ¿cuáles son los vértices del triángulo transformado A’B’C’?

REFLEXIÓN
El triángulo ABC se refleja en el eje OX. La notación sagital es: x, y  x,  y . Si los vértices
del triángulo ABC son A(3, 4), B(-2, 5) y C(-1, -4), halla los vértices del triángulo transformado
A’B’C’.
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
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DILATACIÓN
El triángulo ABC se dilata por un factor de 3 usando el origen de coordenadas como centro de
dilatación. Si los vértices del triángulo ABC son A(3, 4), B(-2, 5) y C(-1, -4), halla las coordenadas
de los vértices del triángulo transformado A’B’C’. Escribe las ecuaciones de la transformación
en notación sagital. Comprueba que dicha notación es x, y  3x, 3y y explica por qué
solamente es correcta para determinar las coordenadas cuando el centro de dilatación es el
origen de coordenadas.

ROTACIÓN
El triángulo ABC se gira 90º en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen de
coordenadas. Si lo vértices del triángulo ABC son A(3, 4), B(-2, 5) y C(-1, -4), halla las
coordenadas de los vértices del triángulo transformado A’B’C’. Escribe las ecuaciones de la
transformación usando la notación sagital. Comprueba que dicha notación es x, y  y,  x  .
Discute por qué esta ecuación sagital solamente funciona para determinar coordenadas
cuando el centro de rotación es el origen de coordenadas.

TRANSFORMACIÓN DE UN CUADRILÁTERO
Una transformación actúa sobre un cuadrilátero basándose en la regla sagital x, y   y, x  .
Describe qué le ocurre a la figura. Suponemos que un vértice del cuadrilátero es (4,-5). ¿Cuáles
son las coordenadas del vértice imagen? Observa que éste describe una rotación de 90º en el
sentido contrario al de las agujas del reloj alrededor del origen. Comprueba que el punto
imagen tiene de coordenadas (5, 4).

TRANSFORMACIÓN DE UN TRIÁNGULO
Construye un triángulo RST en un sistema de referencia, sabiendo que las coordenadas de los
vértices son R(-4,4), S(-6, 2) y T(-3, 2). Traza y corta una copia del triángulo RST y etiquétala
R’S’T’.
a)
Desliza el triángulo R’S’T’ cuatro espacios hacia la izquierda. ¿Cuáles son las nuevas
coordenadas de este triángulo? Compáralas con los vértices del triángulo original y
escribe la ecuación de la traslación en notación sagital.
b)
Traslada el triángulo R’S’T’ cinco espacios hacia arriba. Explica por qué
x, y  x  4, y  5 describe la relación entre la posición final del triángulo y la posición
original.

MOVIENDO UN TRIÁNGULO
En un plano coordenado, construye el triángulo ABC con vértices A(2, 3), B(0, 0) y C(2, 0). Traza
y recorta una copia del triángulo ABC y etiquétala A’B’C’.
a)
Explora estas transformaciones e identifícalas como translaciones, rotaciones (alrededor
del origen) o reflexiones:
i)
x, y  x,  y
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ii) x, y   y, x 
iii) x, y  x  3, y  2
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b)
c)
d)
e)
Escribe las coordenadas del triángulo imagen en cada caso.
¿Qué le ocurre al triángulo ABC cuando se le aplica la transformación x, y  2x, 2y ?
Escribe las coordenadas de la imagen. ¿Qué supuesto hay que hacer?
Halla el área de la imagen y de la antimagen. ¿Qué observas?

TRANSFORMACIÓN DE UNA GRÁFICA
Dibuja la gráfica de la función y=2x+1.
a)
b)
c)
d)
Dibuja la imagen, usando la transformación x, y  x,  y .
Halla la ecuación de la imagen.
¿Cómo se relaciona la ecuación de la imagen con la ecuación de la antimagen?
Empezando con la ecuación y=-3x-1, y usando la misma transformación x, y  x,  y ,
predice la ecuación de la imagen.

DESCRIBE TRANSFORMACIONES
Describe, con palabras y con notación sagital, la transformación que se muestra en cada caso:



Desarrollar y analizar la propiedades de las transformaciones y usarlas para identificar
relaciones que involucran figuras geométricas
Analizar y representar combinaciones de transformaciones, usando notación sagital.
MOVIMIENTO
¿Qué transformación describe el movimiento del triángulo PQR con vértices P(3, 1), Q(2, 4) y
R(-1, 2) al triángulo P’Q’R’ con vértices P’(-3, 1), Q’(-2, 4) y R’(1, 2)?
Usando la transformación x, y  x,  y , halla las coordenadas de la imagen del triángulo
PQR. Describe la transformación con palabras.

SOMBREADOS Y NO SOMBREADOS
En la siguiente figura, los triángulos sombreados son los originales (anti-imágenes), y los
triángulos no sombreados son las imágenes. Describe una posible transformación, o conjunto
de transformaciones que conviertan la anti-imagen en la imagen, en cada caso:
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
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ROTACIÓN Y REFLEXIÓN
Dibuja el triángulo BAT en un plano de coordenadas, con B(5, 7), A(3, 3) y T(6, 2).
a)
d)
Gíralo 180º alrededor del origen, etiqueta la imagen, y escribe las coordenadas de cada
nuevo vértice.
Usa notación sagital para describir la transformación.
Usa las mismas coordenadas para el triángulo BAT anterior, pero esta vez refleja el
triángulo respecto del eje OX.
Compara las coordenadas para cada vértice. Describe el cambio, usando notación sagital.

DILATACIÓN Y SEMEJANZA
b)
c)
Dado el triángulo anti-imagen ABC, con A(2, 3), B(-2, -1) y C(-4, 5),
a)
b)
Explora si hay una relación entre los vértices cuando se hace una dilatación de factor 2,
usando (0, 0) como centro de dilatación.
Discute la relación entre la imagen y la anti-imagen referentes a congruencia, semejanza y
orientación.



Desarrollar y analizar la propiedades de las transformaciones y usarlas para identificar
relaciones que involucran figuras geométricas
Investigar, determinar y aplicar los efectos de transformaciones de figuras geométricas
sobre congruencia, semejanza y orientación
REFLEXIONES
Comprueba las siguientes propiedades de las reflexiones (simetrías axiales):
a)
b)
c)
Los segmentos que unen los puntos con sus imágenes son perpendiculares al eje de
simetría y tienen sus puntos medios sobre el eje de simetría.
La imagen simétrica de una figura es una figura congruente.
La orientación de una figura reflejada es la opuesta a la de la figura original (esto es, si el
triángulo ABC está etiquetado en el mismo sentido que las agujas del reloj, entonces el
triángulo A’B’C’ está etiquetado en sentido contrario al de las agujas del reloj)
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
MAURICIO CONTRERAS
TRASLACIONES
Comprueba las siguientes propiedades de las traslaciones:
a)
b)
c)
d)
Los segmentos que unen los puntos con sus imágenes son paralelos e iguales en longitud.
La imagen trasladada de un figura es una figura congruente.
La orientación de una imagen trasladada es la misma que la de la figura original.
Las imágenes trasladadas de rectas o segmentos son paralelas o colineales con sus antiimágenes. Más específicamente, para rotaciones de 90º:
i) Segmentos o rectas horizontales se convierten en verticales, y segmentos o rectas
verticales se convierten en horizontales;
ii) Cualquier segmento o recta y su imagen son perpendiculares. Para rotaciones de 180º,
los segmentos y rectas son paralelos o colineales con sus imágenes.

ROTACIONES
Comprueba las siguientes propiedades de las rotaciones (giros):
a)
b)
c)
Una rotación de aº alrededor del punto X es tal que el segmento que resulta al unir un
punto cualquiera al punto X y el segmento que resulta al unir su imagen con X son iguales
en longitud y forman un ángulo de aº.
La imagen por la rotación de una figura es una figura congruente.
La orientación de la imagen por rotación es la misma que la de la figura original.

DILATACIONES
Comprueba las siguientes propiedades de las dilataciones (homotecias):
a)
b)
d)
e)
El centro de dilatación, un punto, y su imagen forman una recta.
La razón entre la distancia del centro de dilatación a la figura y la distancia entre el centro
de dilatación y la imagen es igual a la razón de dilatación (razón de homotecia).
La razón entre la longitud de un segmento en la figura original y la longitud del segmento
imagen es igual a la razón de dilatación (razón de homotecia).
La figura imagen es semejante a la figura original.
Las medidas de los ángulos en la figura original son las mismas que en la imagen.

¿TRIÁNGULOS CONGRUENTES?
c)
En cada uno de los siguientes casos averigua si los triángulos son congruentes. Para demostrar
que son congruentes, decidimos aplicar transformaciones. Para cada situación toma la
transformación que parece más adecuada y describe sus elementos; por ejemplo, para una
reflexión, da el eje de simetría; para una rotación, da el centro y el ángulo de rotación; y para
una traslación, da un par de puntos correspondientes.
Con la información disponible de cada caso:
a)
b)
¿Qué conclusiones puedes hacer?
¿qué información adicional sería necesaria para concluir que los triángulos son
congruentes?
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
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IMÁGENES Y ANTI-IMÁGENES
Dado el triángulo anti-imagen ABC con A(2, 3), B(-2, -1) y C(-4, 5), halla las imágenes usando
cada una de las siguientes transformaciones (asumiendo que las dilataciones y rotaciones
utilizan el origen de coordenadas como centro):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x, y  x  2, y  3
x, y  x,  y
x, y  y,  x 
x, y  0.5  x, 0,5  y
Identifica las transformaciones anteriores y compara las anti-imágenes con las imágenes
para determinar cuáles son congruentes y cuáles son semejantes.
Redacta un informe sobre si se mantiene o no la misma orientación en cada una de las
transformaciones a) a d).







Análisis de las condiciones para la construcción y congruencia de triángulos
Deducción de propiedades de triángulos congruentes
Semejanza de triángulos
Relación entre congruencia y semejanza de triángulos
Análisis de transformaciones geométricas mediante notación sagital
Representación y análisis de combinaciones de transformaciones geométricas
Relación de las transformaciones geométricas con la congruencia, semejanza y
orientación de figuras
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