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Colegio Sagrado Corazón Dpto. de Matemáticas José Luis León Contreras RESOLUCIoN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado son de la forma: ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c, son número. En nuestro caso a no puede ser 0, ya que entonces el término en x2 se anularía y nos quedaría una ecuación de primer grado. Identificación Es muy importante que sepamos identificar los coeficientes a, b y c. Para ello presta atención a los siguientes ejemplos. a) 2x2 + 3x + 1 = 0 → solución: a = 2; b = 3; c= 1 b) c) d) e) f) x2 - 2x + 5 = 0 → solución: -5x2 + 4x + -2 = 0 → solución: -2x2 + x - 4 = 0 → solución: x2 - 9 = 0 → solución: 2 x + 5x = 0 → solución: a = 1; a = -5; a = -2; a = 1; a = 1; b = -2; c= 5 b = 4; c= -2 b = 1; c= -4 b = 0; c= -9 b = 5; c= 0 Las ecuaciones como las a), b), c) y d), se dicen que son completas porque ninguno de sus coeficientes (a, b y c) son cero. Las ecuaciones como la e) y la f), se dicen que son incompletas porque alguno de sus coeficientes es cero. Tipos Una ecuación de segundo grado puede ser completa e incompleta. En el cuadro siguiente se ve la clasificación de las ecuaciones de segundo grado. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ax2 + bx + c = 0, con a≠0 Incompletas 1) = 0 → 2) = 0 → + = 0 + =0 Completas: b ≠0 y c≠0 Resolución de una ecuación completa Para resolver una ecuación completa, deberemos utilizar la siguiente fórmula. ax2 + bx + c = 0, con a, b, y c distintos de 0 → x= ± · · · Colegio Sagrado Corazón Dpto. de Matemáticas José Luis León Contreras Sobre esta fórmula es preciso hacer un par de apreciaciones: 1) En la fórmula aparece el término “-b”. Esto significa que se cambia el signo del coeficiente b. Por ejemplo si b = 3, en la fórmula aparecería como “-3” y si fuese b = -2, en la fórmula aparecería como “2”. Ojo, no cambiar este símbolo es uno de los errores más frecuentes. 2) En la fórmula aparece el símbolo “±”. Como es la primera vez que vemos este símbolo, te explico que indica que la raíz toma dos valores, uno positivo y otro negativo. Número de soluciones Según que la expresión que está dentro de la raíz (b2 – 4·a·c) sea mayor que cero (>0), igual a cero o menor que cero (<0). Esta expresión de dentro de la raíz, “b2 – 4·a·c”, se llama discriminante de la ecuación. De esta forma tenemos: Si b2 – 4·a·c > 0, la ecuación tiene dos soluciones X1= · · · X2= · · · Si b2 – 4·a·c = 0, la ecuación tiene solo una solución X1=X2= Si b2 – 4·a·c < 0, nos saldría una raíz negativa y esta no se podría calcular Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x2 - 4x + 3 = 0 Solución: x= ( )± ( · ) · · = ±√ " = ±√ = →# = = = = " = = Colegio Sagrado Corazón Dpto. de Matemáticas José Luis León Contreras b) x2 - 6x + 9 = 0 Solución: x= ( ")± ( ") · ·$ · "±√ " " = = "±√% = "±% = = " En este caso como lo que está dentro de la ecuación vale 0, tendremos solo una solución. c) x2 + x + 1 = 0 Solución: ± x= · · · = ±√ = ±√ = NO TIENE SOLUCIÓN (ya que lo que está dentro de la raíz es negativo) d) 4x2 + 4x + 1 = 0 Solución: ± x= · · · = ±√ " " & = ) ±√ ±√% ±% = =2 ±√ ' ±' = e) 6x2 - x - 1 = 0 Solución: x= ( )± ( ) ·" ·"·( = = f) 2x2 - 3x + 3 = 0 Solución: x= ( )± ( · ) · · = ±√$ = ±√ ' = →# = = ' ' = = " = = = NO TIENE SOLUCIÓN (ya que lo que está dentro de la raíz es negativo) Resolución de una ecuación incompleta a) En el caso que b=0, tendríamos una ecuación del tipo ax2 + c = 0. Para resolverla, haríamos como en el caso de una ecuación de primer grado. Llevamos todas las x a un lado y los números al otro. Finalmente quitaríamos el cuadrado de la x y calcularíamos la raíz cuadrada de la otra cantidad. Al igual que el caso anterior tendríamos dos soluciones de la raíz, una positiva y otra negativa (siempre que lo que haya dentro de la raíz sea positivo). Colegio Sagrado Corazón Dpto. de Matemáticas José Luis León Contreras Ejemplo: 1) x2 - 4 = 0 → x2 = 4 → x= ±√ = =− →( = =− 2) x2 - 9 = 0 → x2 = 9 → x= ±√$ → ( 3) x2 + 25 = 0 → x2 = -25 → x= ±√− ' → *+,-./+0123Ó* 4) 2x2 - 32 = 0 → 2x2 = 32 → x2 = = =− → x2= 16 → x= ±√ " → ( b) En el caso que c=0, tendríamos una ecuación del tipo ax2 + bx = 0. Para resolverla, sacamos factor común en la x y nos quedaría algo del tipo x·(ax+b)=0. Después igualaríamos a 0 cada uno de los factores, es decir, la x y (ax + b). Ejemplo: 1) x2 - 3x = 0 → x·(x – 3)= 0 →5 2) x2 + 5x = 0 → x·(x +5)= 0 →5 − = % =%→ = = % + ' = % → = −' 3) 3x2 + 9x = 0 → x·(3x + 9)= 0 → 4) 2x2 + 7x = 0 → x·(2x + 7)= 0 → = % +$=%→ = −$ → = % +6=%→ = −6 → = $ = 6 =− EJERCICIOS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1) x2 – 144 = 0 2) 5x2 + 20x = 0 3) 3x2 – 6x = 0 4) 5x2 = 2x 5) 3x2 – 27 = 0 6) 5x2 – 125 = 0 7) 2x2 + 8x = 0 8) x2 – 9 = 40 9) 9x2 – 1 = 0 10) 3x2 – 12 = 0 11) 2x2 = 8 12) 3x2 + 12 = 312 13) x2 – 9x + 14 = 0 14) 9x2 + 6x + 1 = 0 15) x2 – 5x + 12 = 0 16) x(x+5)=0 17) 15x2 + 2x - 8 = 0 18) 2x2 – 2 + 3x = 4x2 – x