Download CUESTIONES Y PROBLEMAS DE CAMPO ELÉCTRICO Ejercicio nº1

CUESTIONES Y PROBLEMAS DE CAMPO ELÉCTRICO
Ejercicio nº1
¿Cómo se manifiesta la propiedad de la materia denominada carga eléctrica?
Solución
La propiedad de la materia denominada carga eléctrica se manifiesta mediante fuerzas de
atracción o de repulsión entre los cuerpos.
Ejercicio nº2
Dos cargas iguales +q se encuentran a una distancia r. Hallar la relación entre las fuerzas
eléctricas entre ellas según que estén en el vacío o en el agua.
Dato: permitividad relativa del agua: 80,1.
Solución
La fuerza eléctrica entre ellas en el vacío es:
q2
1 q ⋅q
⋅ 2 = 9 ⋅10 9 ⋅ 2
4πε 0 r
r
Fvacío =
La fuerza eléctrica entre ellas en el agua es:
Fagua =
q ⋅ q 9 ⋅10 9 q 2 Fvacío
1
⋅ 2 =
⋅
=
4πε 0 ⋅ ε r r
80,1 r 2
80,1
Por tanto, la fuerza eléctrica entre las cargas es 80,1veces menor en el agua que en el vacío.
Ejercicio nº3
Calcula la intensidad del campo eléctrico creado en el vacío por una carga eléctrica de + 5
mC a una distancia de 20 centímetros.
Solución
La intensidad del campo eléctrico es:
E = K⋅
q
5 ⋅10 −6
= 9 ⋅10 9 ⋅
= 1,13 ⋅10 6 N / C
2
r
0,2 2
Ejercicio nº4
Indica cuál es la magnitud, la dirección y el sentido de un campo eléctrico en el que una
carga de - 2 mC experimenta una fuerza eléctrica de 0,02 N dirigida verticalmente hacia
arriba.
Solución
El campo
eléctrico sobre la carga q es:
r
r F
2 ⋅10 −2
E= ⇒E=
= 10000 N / C
q
2 ⋅10 − 6
La dirección del campo eléctrico es el de la fuerza (vertical) y el sentido, el contrario (hacia
abajo) por ser la carga eléctrica negativa.
Ejercicio nº5
Calcula el potencial eléctrico en un punto situado a una distancia de 25 centímetros de un
conductor que tiene un exceso de carga positiva de + 3 nC.
Solución
V = K⋅
q
3 ⋅10 −9
= 9 ⋅10 9 ⋅
= 108V
r
0,25
Ejercicio nº6
¿Hacia dónde se mueven espontáneamente las cargas positivas en un campo eléctrico?¿Y
las cargas negativas?
Solución
En un campo eléctrico las cargas positivas se mueven espontáneamente hacia los
potenciales decrecientes. Las cargas negativas, por el contrario, se mueven
espontáneamente hacia los potenciales más altos.
Ejercicio nº7
¿Qué relación hay entre la constante eléctrica de un medio material y la permitividad del
vacío?
Solución
El cociente entre la constante dieléctrica de un medio material y la permitividad o constante
dieléctrica del vacío se denomina permitividad relativa o constante dieléctrica relativa e del
medio, y es una constante característica del mismo:
ε
= εr
ε0
Ejercicio nº8
Ordenar de mayor a menor las siguientes cargas eléctricas: 0,002 mC; 0,005 C; 3 mC; 4
000 pC; 6 000 nC.
Solución
Se tiene:
0,002 mC = 0,002 ⋅10 −3 C = 2 ⋅10 −6 C
0,005 C = 5 ⋅10 −3 C
3 µC = 3 ⋅10 −6 C
4000 pC = 4000 ⋅ 10−12 C = 4 ⋅ 10−9 C
6000 nC = 6000 ⋅ 10−9 C = 6 ⋅ 10−6 C
Por tanto:
0,005 C > 6000 nC > 3 mC > 0,002 mC > 4000 pC
Ejercicio nº9
¿Qué forma tienen las superficies equipotenciales de un campo eléctrico creado por una
carga puntual?
Solución
El potencial eléctrico a una distancia r de la carga puntual q es:
q
V = K⋅
r
En este caso, el potencial V será igual en todos los puntos que se encuentran a la misma
distanciar de la carga. Por tanto, las superficies equipotenciales del campo eléctrico creado
por una carga puntual son esferas concéntricas centradas en la carga.
Ejercicio nº10
Dos esferas metálicas, una de radio R y la otra de radio 2R, están cargadas con una carga Q
cada una de ellas.
a) ¿Qué relación hay entre los potenciales de ambas esferas?
b) Si se unen mediante un hilo conductor, ¿pasará carga eléctrica de la una a la otra?
Solución
a) El potencial eléctrico en la superficie de una esfera conductora de radio R con una carga
eléctrica Q es:
V = K⋅
Q
R
Por tanto, los potenciales de ambas esferas son:
V1 = K ⋅
Q
Q
; V2 = K ⋅
R
2⋅R
La relación entre ambos potenciales es:
V2
=
V1
Q
2⋅R = 1
Q
2
K⋅
R
K⋅
La esfera de radio doble tiene potencial eléctrico en su superficie igual al de la mitad de la
otra.
b) Al estar a distinto potencial, las esferas no están en equilibrio electrostático cuando se
unen con un hilo conductor; por ello, pasará carga eléctrica dela de mayor potencial (menor
radio) a la de menor potencial (mayor radio) hasta que ambos potenciales se igualen.
Ejercicio nº11
Dos esferas metálicas cargadas se unen mediante un hilo conductor. ¿Cuándo se dice que
ambas esferas están en equilibrio electrostático?
Solución
Al poner en contacto ambas esferas mediante un hilo conductor, pasará carga eléctrica de la
una a la otra, si no están al mismo potencial, hasta que se igualen sus potenciales. El
equilibrio electrostático se alcanza cuando ambas estén al mismo potencial eléctrico.
Ejercicio nº12
Se tiene una esfera metálica de radio R cargada con una carga eléctrica Q. ¿Cuál es el valor
de la intensidad del campo eléctrico en el interior de la esfera?
Solución
La intensidad del campo eléctrico en el interior de cualquier conductor cargado en
equilibrio es nula.
Ejercicio nº13
Se tiene un condensador de capacidad eléctrica de 5 pF. Calcula:
a) El trabajo necesario para cargar el condensador con una carga eléctrica de 50 pC.
b) La diferencia de potencial entre las armaduras del condensador cargado.
Solución
a) La carga del condensador es:
q = 50 ⋅10 −12 = 5 ⋅10 −11 C
La energía almacenada en el condensador cargado es:
E=
q2
(5 ⋅10 −11 ) 2
=
= 2,5 ⋅10 −10 J
2 ⋅ C 2 ⋅ 5 ⋅10 −12
b) La diferencia de potencial entre las armaduras es:
V=
q 5 ⋅10 −11
=
= 10V
C 5 ⋅10 −12
Ejercicio nº14
¿Cómo varía la capacidad eléctrica de un conductor esférico según que sea hueco o
macizo?
Solución
Una conductor esférico de radio R, cargado con una carga Q, se comporta como una carga
puntual. Su capacidad es C = 4peR. Esta capacidad depende del valor del radio y es
independiente de si la esfera es maciza o es un cascarón esférico hueco.
Ejercicio nº15
Calcula la energía almacenada en una esfera conductora de 20 centímetros de diámetro que
tiene una carga de 5 nC.
Solución
La energía de un conductor cargado es:
1
q⋅V
2
q
5 ⋅10 −9
= 450V
V = K ⋅ = 9 ⋅10 9 ⋅
0,1
R
1
E = q ⋅ V = 0,5 ⋅ 5 ⋅10 − 9 ⋅ 450 = 1,13 ⋅10 − 6 J
2
E=
Ejercicio nº16
Expresa el valor de la energía de un conductor en un campo eléctrico en función de su
capacidad eléctrica y de su potencial.
Solución
La energía de un conductor en un campo eléctrico depende de la carga que se le comunica y
el potencial eléctrico que adquiere:
E=
1
qV
2
Teniendo en cuenta que la capacidad de un conductor es la relación entre la carga y el
potencial eléctrico, se tiene:
E=
1
1
1
qV = (CV )V = CV 2
2
2
2
Problema nº17
Dos cargas iguales y de distinto signo se encuentran en el vacío separadas por un distancia
de 50 centímetros. La fuerza eléctrica de atracción entre ellas es 0,9 N. Calcula la
magnitud de las cargas.
Solución
F = K⋅
q ⋅q
q2
= K⋅ 2 ⇒ q =
2
r
r
Por tanto:
F⋅r2
K
q=
0,9 ⋅ 0,5 2
= 5 ⋅10 − 6 C = 5µC
9 ⋅10 9
Problema nº18
Dos cargas eléctricas de + 2 mC y - 5 mC se encuentran separadas por una distancia de 10
centímetros en parafina. Calcula la fuerza de atracción eléctrica entre ellas.
Dato: permitividad relativa de la parafina: 2.
Solución
Las cargas eléctricas son:
q 1 = +2µC = +2 ⋅10 −6 C; q 2 = −5µC = −5 ⋅10 −6 C
Las dos cargas son de distinto signo, por lo que la fuerza eléctrica entre ellas será de
atracción. El módulo de la fuerza eléctrica es:
F=
q ⋅q
1
9 ⋅10 9 2 ⋅10 −6 ⋅ 5 ⋅10 −6
⋅ 1 2 2 =
⋅
= 4,5 N
4πε 0 ⋅ ε r
r
2
0,12
Problema nº19
Dos cargas eléctricas puntuales de 6 mC y 3 mC se encuentran separadas en el aire por una
distancia de 50 centímetros. Halla en qué punto de la recta que las une la intensidad del
campo eléctrico resultante es nula.
Solución
Sea x la distancia entre la carga de 6 mC y el punto buscado y 0,5 - x, la distancia entre la
carga de 3 mC y ese punto. Los campos creados por cada carga tienen la misma dirección
pero sentidos opuestos; el campo resultante será nulo si el valor numérico de la intensidad
de cada campo es el mismo:
r
q
6 ⋅10 −6
E 6 = K ⋅ 26 = 9 ⋅10 9 ⋅
r
x2
r
q
3 ⋅10 −6
E 3 = K ⋅ 32 = 9 ⋅10 9 ⋅
r'
(0,5 − x ) 2
E 3 = E 6 ⇒ 9 ⋅10 9 ⋅
6 ⋅10 −6
3 ⋅10 −6
= 9 ⋅10 9 ⋅
⇒ x = 0,29
2
x
(0,5 − x ) 2
El punto buscado dista 29 cm de la carga de 6 mC y 21 cm de la carga de 3 mC.
Problema nº20
Un electrón, que se mueve con una velocidad de 6 000 km/s, penetra en un campo eléctrico
uniforme de 5 000 N/C de modo que su velocidad es paralela a las líneas de fuerza del
campo. Calcula:
a) La velocidad del electrón después de recorrer 3 centímetros.
b) El tiempo empleado en recorrer esa distancia.
Datos: carga del electrón, 1,6·10-19 C; masa del electrón: 9,1·10-31 kg.
Solución
a) La fuerza sobre el electrón es:
F = e ⋅ E = 1,6 ⋅10 −19 ⋅ 5 ⋅10 3 = 8,0 ⋅10 −16 N
La aceleración del electrón es:
F 8,0 ⋅10 −16
a= =
= 8,8 ⋅10 14 m / s 2
− 31
m 9,1 ⋅10
La velocidad inicial del electrón es:
v 0 = 6000 km / s = 6 ⋅10 6 m / s
Y la velocidad después de recorrer 3 cm:
v 2 − v 02 = 2 ⋅ a ⋅ d ⇒ v 2 = v 02 + 2 ⋅ a ⋅ d ⇒ v = (6 ⋅10 6 ) 2 + 2 ⋅ 8,8 ⋅10 14 ⋅ 3 ⋅10 −2 = 9,4 ⋅10 6 m / s = 9400 km / s
b) El tiempo empleado es:
v − v 0 9,4 ⋅10 6 − 6 ⋅10 6
v = v0 + a ⋅ t ⇒ t =
=
= 3,9 ⋅10 − 9 s = 3,9 ns
14
a
8,8 ⋅10
Problema nº21
Dos cargas eléctricas de + 1 mC y + 2 mC están situadas en el vacío en los puntos A(3, 0) y
B(0, 3) del plano cartesiano e inmersas en el vacío. Calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico que crean en el origen de coordenadas.
b) La fuerza que experimenta una carga de -2 mC situada en el origen.
c) El potencial eléctrico existente en el origen de coordenadas.
d) La energía potencial que posee la carga de -2 mC.
Las distancias están expresadas en metros.
Solución
a)
El campo eléctrico debido a cada una de las cargas es:
r
r
q r
1 ⋅10 −6
= −1000 i ( N )
E 1 = − K 12 i = −9 ⋅10 9 ⋅
2
d1
3
r
r
q r
2 ⋅10 −6
= −2000 j ( N)
E 2 = − K 22 j = −9 ⋅10 9 ⋅
2
d2
3
r
r
r
r
r
E T = E 1 + E 2 = −1000 i − 2000 j ( N)
b) La fuerza sobre la carga de - 2mC es:
r
r
r
r
r
r
F = q · E = -2 ⋅ 10 -3 (−1000 i − 2000 j) = 2 i + 4 j ( N )
c) Potencial en (0,0):
VT = V1 + V2 = 9 ⋅10 9 ⋅
1 ⋅10 −6
2 ⋅10 −6
+ 9 ⋅10 9 ⋅
= 9000V
3
3
d) Energía potencial de la carga de - 2mC:
E P = q ⋅ VT = −2 ⋅10 −3 ⋅ 9000 = −18J
Problema nº22
Un electrón se acelera mediante una diferencia de potencial de 1000 V. Calcula:
a) La velocidad que ha adquirido.
b) Su energía.
Solución
a) La energía electrostática comunicada al electrón se transforma en energía cinética:
E = e⋅V ⇒
1
m ⋅ v2 = e⋅V ⇒ v =
2
2⋅e⋅V
⇒v=
m
2 ⋅ 1,6 ⋅10 −19 ⋅1000
9,1 ⋅10 −31
= 1,87 ⋅10 7 m / s
b) La energía adquirida es:
E = e ⋅ V = 1,6 ⋅10 −19 ⋅1000 = 1,6 ⋅10 −16 J
Problema nº23
Una carga de + 2 mC se encuentra situada en el vacío en el origen de coordenadas. Calcula:
a) El potencial eléctrico que crea en los puntos A(3,0) y B(6,0).
b) La energía potencial de una carga de 0,2 mC situada en el punto A.
c) La energía potencial de una carga de 0,2 mC situada en el punto B.
d) El trabajo necesario para llevar una carga de 0,2 mC hasta el punto B desde un
punto situado fuera del campo.
Las distancias están expresadas en metros.
Solución
a)
Potenciales debidos a la carga de + 2 mC en los puntos A y B:
VA = K ⋅
q
2 ⋅10 −6
= 9 ⋅10 9 ⋅
= 6000V
rA
3
VB = K ⋅
q
2 ⋅10 −6
= 9 ⋅10 9 ⋅
= 3000V
rB
6
b) Energía potencial de la carga de 0,2 mC en el punto A:
E PA = q '⋅VA = 0,2 ⋅10 −6 ⋅ 6000 = 1,2 ⋅10 −3 J
c) Energía potencial de la carga de 0,2 mC en el punto B:
E PB = q '⋅VB = 0,2 ⋅10 −6 ⋅ 3000 = 0,6 ⋅10 −3 J
d) El trabajo necesario para llevar una carga hasta un punto del campo desde otro punto
situado fuera del campo, es decir, en el infinito, es igual a la energía potencial de la carga
en el punto del campo considerado. Por tanto:
Τ = E PB = 6 ⋅10 −4 J
Problema nº24
En los vértices de un triángulo equilátero de 20 cm de lado se sitúan tres cargas eléctricas,
dos de ellas de +0,1mC y otra de +0,2 mC. Calcula:
a) El potencial eléctrico en el centro geométrico del triángulo.
b) La energía potencial de una carga de - 2 mC situada en ese punto.
Solución
a) El centro geométrico de un triángulo equilátero es su baricentro. La distancia entre el
baricentro y cualquier vértice de un triángulo equilátero de lado L es igual a dos tercios de
su altura h:
2
2
2
2
3
L
L
d= h=
L2 −   = ⋅ L ⋅
=
3
3
2
3
2
3
 
En este caso:
d=
0,2
3
= 0,115m
El potencial eléctrico en el baricentro es:
V = V1 + V2 + V3 = K ⋅
q
q1
q
9 ⋅10 9
+K⋅ 2 +K⋅ 3 =
⋅ (0,1 + 0,1 + 0,2) ⋅10 − 6 = 31300 V
d
d
d
0,115
b) La energía potencial de una carga de - 2 mC en el baricentro es:
E P = q ⋅ V = −2 ⋅10 −6 ⋅ 31300 = −0,063 J
Problema nº25
Dos esferas conductoras, de 10 y 20 cm de radio, respectivamente, tienen potenciales de
2000 V y 3000 V. Se conectan ambas esferas mediante un hilo conductor. Calcula:
a) La carga inicial de cada esfera.
b) La carga de cada esfera una vez que alcanzan el equilibrio electrostático tras
conectarse entre sí..
Solución
a) La carga inicial de cada esfera es:
R 1 ⋅ V1 0,1 ⋅ 2000
=
= 2,22 ⋅10 −8 C
K
9 ⋅10 9
R ⋅V
0,2 ⋅ 3000
q2 = 2 2 =
= 6,66 ⋅10 −8 C
K
9 ⋅10 9
q1 =
b) Al conectar las esferas, la carga inicial se distribuye entre las dos, de modo que la suma
de las cargas finales es igual a la suma de las cargas iniciales:
q 1 + q 2 = 2,22 ⋅10 −8 + 6,66 ⋅10 −8 = 8,88 ⋅10 −8 C
Una vez alcanzado el equilibrio, ambas esferas tienen sus potenciales iguales:
V1 = V2 ⇒ K ⋅
q1
q
q
q
= K ⋅ 2 ⇒ 1 = 2 ⇒ q 2 = 2 ⋅ q1
R1
R2
0,1 0,2
Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones, resulta:
q 1 = 2,96 ⋅10 −8 C; q 2 = 5,92 ⋅10 −8 C
Problema nº26
Un conductor esférico cargado, de 20 centímetros de diámetro, tiene un potencial de 1 000
voltios. Se pone en contacto con un segundo conductor esférico descargado de 10
centímetros de diámetro y a continuación se separan. Calcula el potencial final del primer
conductor.
Solución
La carga inicial del primer conductor es:
q 10 =
R 1 ⋅ V10 0,1 ⋅1000
=
= 1,11⋅10 −8 C
K
9 ⋅10 9
Al conectar las esferas, la carga inicial se distribuye entre las dos, de modo que la suma de
las cargas finales es igual a la suma de las cargas iniciales:
q1 + q 2 = 1,11 ⋅ 10−8 + 0 = 1,11 ⋅ 10−8 C
Una vez alcanzado el equilibrio, ambas esferas tienen sus potenciales iguales:
V1 = V2 ⇒ K ⋅
q1
q
q
q
= K ⋅ 2 ⇒ 1 = 2 ⇒ q1 = 2 ⋅ q 2
R1
R2
0,1 0,05
Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones, resulta:
q1 = 7,4 ⋅ 10−9 C; q 2 = 3,7 ⋅ 10−9 C
El potencial eléctrico final en la superficie del primer conductor es:
V = K⋅
q1
7,4 ⋅10 −8
= 9 ⋅10 9 ⋅
= 666 V
R1
0,1
Problema nº27
Un conductor esférico de 24 cm de diámetro tiene una carga eléctrica de 0,2 mC. Calcula:
a) La densidad superficial de carga eléctrica (carga / superficie) del conductor.
b) El potencial en la superficie del conductor.
c) La intensidad del campo eléctrico a una distancia de 90 cm del centro del conductor.
d) El potencial eléctrico a esa distancia.
Solución
a) La densidad superficial de carga s es:
σ=
Q
Q
0,2 ⋅10 −6
C
µC
=
=
= 1,11⋅10 − 6 2 = 1,11 2
2
S 4πR
4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,12 2
m
m
b) El potencial eléctrico en la superficie de un conductor esférico de radio R con una carga
eléctrica Q es:
V = K⋅
Q
0,2 ⋅10 −6
= 9 ⋅10 9 ⋅
= 15000V
R
0,12
c) La intensidad del campo eléctrico en un punto a una distancia r del centro de la esfera
vale:
E = K⋅
−6
Q
V
9 0,2 ⋅ 10
9
10
=
⋅
⋅
= 2200
2
2
r
0,9
m
d) El potencial eléctrico en un punto a una distancia r del centro de la esfera vale:
V' = K ⋅
Q
0,2 ⋅10 −6
= 9 ⋅10 9 ⋅
= 2000V
r
0,9
Problema nº28
Calcula la densidad superficial de carga (carga eléctrica / superficie) de un conductor
esférico de 10 centímetros de radio, situado en el aire, que tiene en su superficie un
potencial eléctrico de 1000 V.
Solución
El potencial eléctrico en la superficie de un conductor esférico de radio R con una carga
eléctrica Q es:
V = K⋅
Q
R
La carga del conductor es:
Q=
V ⋅ R 1000 ⋅ 0,1
=
= 1,11 ⋅10 −8 C
K
9 ⋅10 9
La densidad superficial de carga s es:
σ=
Q
Q
1,11 ⋅10 −8
C
=
=
= 8,83 ⋅10 −8 2
2
2
S 4πR
4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,1
m
Problema nº29
Dos conductores esféricos, de radios 6 cm y 9 cm respectivamente, están cargados con 0,02
mC cada uno y se
encuentran alejados. Se los une mediante un hilo conductor de capacidad despreciable.
Calcula:
a) El potencial al que quedan ambos conductores tras conectarlos.
b) La carga eléctrica que poseerá cada uno después de la unión.
c) La disminución de la energía electrostática del conjunto.
Solución
a) y b) Al conectar los conductores la carga se distribuye de modo que la suma de las cargas
finales es igual a la suma de las cargas iniciales:
q 1 + q 2 = 2 ⋅10 −8 + 2 ⋅10 −8 = 4 ⋅10 −8 C
Una vez alcanzado el equilibrio, ambos conductores tienen sus potenciales iguales:
V1 = V2 ⇒ K ⋅
q1
q
= K ⋅ 2 ⇒ q 2 = 1,5 ⋅ q 1
0,06
0,09
Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones, resulta:
q 1 = 1,6 ⋅10 −8 C; q 2 = 2,4 ⋅10 −8 C
El potencial final de cada uno de los conductores es:
V1 = V2 = K ⋅
q1
1,6 ⋅10 −8
= 9 ⋅10 9 ⋅
= 2400V
R1
0,06
c) La energía inicial de los conductores antes de la unión es:
E 10 =
q2
q
(2 ⋅10 −8 ) 2
1
1
1
q 10 ⋅ V10 = q 10 ⋅ K ⋅ 10 = K ⋅ 10 = 0,5 ⋅ 9 ⋅10 9 ⋅
= 3 ⋅10 − 5 J
2
2
R1 2
R1
6 ⋅10 − 2
E 20 =
q2
(2 ⋅10 −8 ) 2
1
1
q 20 ⋅ V20 = K ⋅ 20 = 0,5 ⋅ 9 ⋅10 9 ⋅
= 2 ⋅10 − 5 J
2
2
R2
9 ⋅10 − 2
La energía almacenada en cada conductor después de conectarlos es:
1
q 1 ⋅ V1 = 0,5 ⋅ 1,6 ⋅10 − 8 ⋅ 2400 = 1,92 ⋅10 − 5 J
2
1
E 2 = q 2 ⋅ V2 = 0,5 ⋅ 2,4 ⋅10 −8 ⋅ 2400 = 2,88 ⋅10 − 5 J
2
E1 =
La energía disipada es la diferencia entre las energías iniciales y finales almacenada por los
conductores:
∆E = (E10 + E 20 ) − (E1 + E 2 ) = (3 ⋅ 10 −5 + 2 ⋅ 10 −5 ) − (1,92 ⋅ 10 −5 + 2,88 ⋅ 10 −5 ) = 0,2 ⋅ 10 −5 J
Problema nº30
Un conductor esférico adquiere una carga eléctrica de 0,1 mC cuando se carga
conectándolo al polo positivo de un generador a 500 V. Halla:
a) La capacidad del conductor.
b) La energía del conductor si posteriormente se le sitúa en un punto de un campo eléctrico
donde el potencial es 1000V.
Solución
a) Capacidad del conductor:
C=
q 0,1 ⋅10 −6
=
= 2 ⋅10 −10 F
V
500
b) Energía del conductor a 1000 V:
E=
1
q ⋅ V = 0,5 ⋅ 0,1 ⋅10 − 6 ⋅1000 = 5 ⋅10 − 5 J
2
Problema nº31
Un condensador plano está formado por dos placas cuadradas de 80 cm de lado separadas
entre sí una distancia de 3 cm y situadas en el vacío. Se carga el condensador hasta que
entre sus armaduras se establece una diferencia de potencial de 500 V. Calcula:
a) La densidad cúbica de energía que existe en el campo eléctrico.
b) La intensidad del campo eléctrico en el interior del condensador.
(La capacidad de un condensador plano es C = ?S /d, siendo e la permitividad del medio, S
la superficie de las placas y d la distancia entre ellas. Se considera que el campo eléctrico
en el interior del condensador es uniforme).
Solución
a) La superficie de las placas es:
S = L2 = 0,8 2 = 0,64m 2
El volumen comprendido entre las placas del condensador es:
τ = S ⋅ d = 0,64 ⋅ 0,03 = 1,92 ⋅10 −2 m 3
La capacidad del condensador es:
C=ε
S
1
0,64
=
⋅
= 1,89 ⋅10 −10 F
9
d 4π ⋅ 9 ⋅10 0,03
La energía almacenada por el condensador es:
E=
1
C ⋅ V 2 = 0,5 ⋅1,89 ⋅10 −10 ⋅ 500 2 = 2,36 ⋅10 − 5 J
2
La densidad cúbica de energía es:
E 2,36 ⋅ 10 −5
J
=
= 1,23 ⋅ 10 −3 3
−2
τ 1,92 ⋅ 10
m
b) La intensidad del campo eléctrico en el interior del condensador es:
E=
V 500
V
=
= 16600
d 0,03
m
Problema nº32
Un esfera conductora, de 20 centímetros de diámetro, se carga hasta un potencial de 900 V.
Una vez desconectada de la fuente de tensión, se une mediante un conductor filiforme a una
segunda esfera conductora que está inicialmente descargada, también de 20 centímetros de
diámetro. Calcula:
a) La energía inicial de la primera esfera.
b) La energía de las dos esferas después de conectarlas.
Solución
a) La carga inicial de la primera esfera es:
V=K
V ⋅ R 900 ⋅ 0,1
q
⇒ q 10 = 01
=
= 10 −8 C
R
K
9 ⋅10 9
La energía inicial de esta esfera es:
E 10 =
1
q 10 ⋅ V10 = 0,5 ⋅10 −8 ⋅ 900 = 4,5 ⋅10 − 6 J
2
b) Al conectar las esferas, la carga inicial se distribuye entre las dos, de modo que la suma
de las cargas finales es igual a la suma de las cargas iniciales:
q 1 + q 2 = 1 ⋅10 −8 + 0 = 10 −8 C
Una vez alcanzado el equilibrio, ambas esferas tienen sus potenciales iguales:
V1 = V2 ⇒ K ⋅
q1
q
= K ⋅ 2 ⇒ q1 = q 2
R
R
Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones, resulta:
q 1 = q 2 = 5 ⋅10 −9 C
El potencial final de cada una de las esferas es:
V1 = V2 = K ⋅
q2
5 ⋅10 −9
= 9 ⋅10 9 ⋅
= 450V
R
0,1
Y su energía:
E1 = E 2 =
1
q 1 ⋅ V1 = 0,5 ⋅ 5 ⋅10 − 9 ⋅ 450 = 1,13 ⋅10 − 6 J
2