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TEMA 7: SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA
7.1 FIGURAS SEMEJANTES
Dos figuras que tienen la misma forma se llaman semejantes, aunque pueden tener distintas
dimensiones.
Los elementos (puntos, lados, ángulos…) que se corresponden en una semejanza se dice que
son los elementos homólogos.
Dos figuras semejantes tienen los lados correspondientes proporcionales y los ángulos
correspondientes iguales.
En dos figuras semejantes el cociente entre las medidas de dos lados homólogos se llama
razón de semejanza (r ó k).
Dadas las siguientes figuras que son semejantes:
c
a
c’
a’
1
2
b’
b
Distinguimos la figura 1 y la 2. En el numerador se ponen los elementos de la misma figura y
en el denominador se ponen los elementos de la otra figura.
Formamos la proporción:
a b c
  k
a ' b' c '
 Comprueba que las siguientes figuras son semejantes e indica la razón de
proporcionalidad.
b=8
1
2
a=10
a’=5
b=4
 Sabiendo que son semejantes, con k=3, calcula las dimensiones que faltan.
a
1
a’=4
2
b’
b=21
7.2 MEDIDA DE FIGURAS SEMEJANTES
Dadas dos figuras semejantes no sólo podemos hacer proporciones con los lados, sino que sus
perímetros correspondientes serán proporcionales y el área y volumen también estarán
relacionados de la siguiente manera:
P1
k
P2
A1
 k2
A2
V1
 k3
V2
 Dado el triángulo de la figura, calcula las dimensiones de otro semejante a él cuyo
perímetro sea de 26 cm.
a=10
b=18
1
c=24
a’
b’
2
c’
IMPORTANTE: En un mismo ejercicio no cambiar el orden de las operaciones, es decir, si
Datos de la primera figura
empezamos
TODAS las proporciones tienen que hacerse de la
Datos de la segunda figura
misma forma.
 Sabiendo que la relación entre los volúmenes de dos ortoedros es 27, calcula las
dimensiones de la segunda figura sabiendo que la primera es:
c=3
c’
1
2
b=6
a=9
b’
a’
7.3 TEOREMA DE THALES
Dadas dos rectas secantes, si son cortadas por dos o más rectas paralelas, los segmentos
correspondientes que determinan sobre las rectas secantes son proporcionales.
Para relacionarlo con proporcionalidad lo ponemos:
r
:
r'
AB
BC
AC


A' B' B' C ' A' C '
También puede ponerse:
A' B ' AB A' B ' AB



B ' C ' BC A' C ' AC
 Calcula los segmentos que faltan
r
r’
4
x
8
12
y
9
 Calcula los segmentos que faltan
r
x
r’
12
15
y
12
8
z
TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES
Una aplicación del Teorema de Thales la encontramos en los triángulos.
Dado un triángulo, si trazamos una línea paralela a uno de los lados, obtenemos un triángulo
semejante al primero y de menor tamaño. ( En esta figura se puede aplicar Thales o bien
proporcionalidad)

En el siguiente triángulo se ha trazado un segmento MN paralelo al lado mayor, de
modo que NB mide 6 cm. ¿Cuánto miden los lados del triángulo
MN?
A
N
12
9
M
6
B
C
18
7.4 CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Hay tres criterios de semejanza para triángulos:
Primer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
(El tercero siempre será igual ya que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º)
 ¿Son semejantes los siguientes triángulos?
Cˆ '  35º
Ĉ
1
2
B̂ =56º
 =90º
B̂ '
Â' =90
º
Segundo criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

¿Son semejantes los siguientes triángulos?
b=6
c=8
1
c’ = 20
b’ = 15
2
a = 10
a’ = 25
Tercer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos es igual.
 Determina si son semejantes los siguientes triángulos
Triángulo 1: a=15, b=24 y Cˆ  40º
Triángulo 2: a’=10, b’=16 y Cˆ '  40º
7.6 TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos
a2 = b2 + c2
a
b
c
7.7 TEOREMA DE LA ALTURA
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones de
los catetos
h2 = m· n
c
b
h
m
n
a
a: hipotenusa
b, c: catetos
h: altura
m, n: proyecciones
 Dado el siguiente triángulo rectángulo, calcula el valor de los catetos
c
b
m = 6’4
n= 3’6
7.8 TEOREMA DEL CATETO
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa del
triángulo por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa
b2 = a· m
c2 = a· n
c
b
h
m
a: hipotenusa
b, c: catetos
h: altura
m, n: proyecciones
n
a
 En un triángulo rectángulo, las proyecciones m y n de los catetos sobre la hipotenusa
miden 12’8 y 7’2 cm respectivamente. Calcula la medida de los lados del triángulo
 En un triángulo rectángulo de 7 cm de altura sobre la hipotenusa se cumple que m =
n
,
4
con m y n proyecciones de los catetos. Calcula las proyecciones
c
b
h=7
m=
n
4
n
7.9 MEDIDA DE ÁNGULOS. RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES
Dada una circunferencia, el ángulo central tiene su vértice en el centro de la misma y sus lados
son dos radios. Para medir ese ángulo podemos utilizar:

El grado es la medida de cada uno de los ángulos que resultan al dividir el ángulo recto
en 90 partes iguales. Su símbolo es º. El sistema de medida se llama sistema
sexagesimal, y a parte del grado se utilizan las unidades minutos (‘) y segundos (‘’)
1º=60’

1’=60’’
1º=3600’’
El radián es la medida del ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene la
misma longitud que el radio. Su símbolo es rad.
Existe una relación entre grados y radianes:
360º  2 radianes
 Ejemplo: Expresa las siguientes medidas de ángulos en radianes
a) 180º
Siempre se dejan las medidas en función de 
b) 90º
 Ejemplo: Expresa las siguientes medidas de ángulos en grados
a)
2
rad
5

b)
5
rad
7.10 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo  en un triángulo rectángulo son:
seno de  
longitud del cateto opuesto a 
longitud de la hipotenusa
cos eno de  
longitud del cateto contiguo a 
longitud de la hipotenusa
tan gente de  
longitud del cateto opuesto a 
longitud del cateto contiguo a 
h
sen  
y
h
x
x
cos  
x
h
tan  
y
x
Hay más razones trigonométricas (cosecante, secante, cotangente,…) pero este curso no las
vamos a ver.
En las calculadoras, el seno suele aparecer como sin, y a la tangente la podemos escribir tan,
tag o tg.
 Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los siguientes triángulos rectángulos
(ES MUY IMPORTANTE QUE SEA TRIÁNGULO RECTÁNGULO)
a)
5
3
α
4
b)
β
17
15
α
8
7.11 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
En este curso vamos a estudiar tres relaciones entre las razones trigonométricas.
Dado un ángulo cualquiera  se verifica:
sen 2  cos 2   1
tan  
sen 
cos 
Ecuación fundamental de la trigonometría
1  tan 2  
1
cos 2 
Sabiendo estas relaciones, dada una razón trigonométrica de un ángulo es posible calcular las
otras dos razones.
 Ejemplo: Sea  un ángulo agudo, sabiendo que sen  =0’35, calcula las otras dos
razones.
De la relación fundamental de la trigonometría podemos deducir que:
 1  sen   1
1  cos   1
La tangente puede tomar cualquier valor real.
 Ejemplo: Si tan   1'29 , calcula las otras dos razones sabiendo que  es agudo.
7.12 CÁLCULO DEL ÁNGULO CONOCIDA LA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Para calcular el ángulo se utilizan funciones inversas a las razones trigonométricas.
Dichas funciones son arcoseno, arcocoseno y arcotangente, ya que los ángulos son la medida de
los arcos en una circunferencia.
sen  0'24 
cos   0'79 
 es el arco cuyo seno vale 0’24
 es el arco cuyo coseno vale -0’79
Para calcular  se escribe:




 arcsen 0'24

 arccos( 0'79)

En las calculadoras son las mismas teclas de sin, cos, tan pero en su segunda función, así que
hay que darle primero a SHIFT, INV o 2nd Función
 Ejemplo: Calcula los ángulos de las siguientes razones:
a)
b)
c)
d)
e)
sen α = 0’72
tan α = 2’39
cos α = 0’31
sen α = – 0’70
cos α = – 0’28
7.13 PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA
 Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente
triángulo rectángulo.
6

10

8
 Ejemplo: Desde la ventana de su casa Juan ve un perro que está a 30m de su edificio. Si
lo ve con un ángulo de 50º, ¿a cuántos metros está la ventana del suelo?
 Ejemplo: En lo alto de un árbol hay un nido con un pájaro. Marta está a 40m del árbol y
ve el nido con un ángulo de 60º, ¿qué altura tiene el árbol?
 Ejemplo: Una escalera está apoyada en la pared con un ángulo de 25º. Si la altura a la
que se apoya la escalera es de 3’2m, ¿qué longitud tiene la escalera?
 Ejemplo: Luis abre un compás formando un ángulo de 56º. Si la distancia entre las
ramas es de 9’2cm, ¿cuánto mide cada rama? (Suponemos las ramas iguales)
 Ejemplo: En un castillo, al bajar el puente, éste se queda atascado a una altura de 2’5m
formando un ángulo con la horizontal de 30º ¿cuánto mide el puente?
 Ejemplo: Isabel está mirando un cartel en un edificio con un ángulo de 40º. Decide
acercarse 18 metros y ahora lo ve con un ángulo de 65º. ¿A qué altura está el cartel? ¿A
qué distancia inicial estaba Isabel del edificio del cartel?