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Desigualdades geométricas
1
DESIGUALDADES GEOMETRICAS
Al hablar de desigualdades de segmentos y ángulos se está hablando de sus medidas.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
 TRICOTOMIA
x, y Re se cumple uno y solo uno de los siguientes casos:
1) x < y
2) x = y
3) x > y
 PROPIEDAD TRANSITIVA
Si x < y y < z entonces x < z
 PROPIEDAD ADITIVA
a) Si x < y entonces x + c < y + c
b) Si x < y a < b entonces x + a < y + b
 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
Si a < b y c > 0 entonces ac < bc
 Si a = b + c; a, b, c R+ a > b y a > c
EJERCICIO
HIPOTESIS: PS y RQ se bisecan
TESIS: m(RQT )
1. RMP
SMQ
2. M es punto medio de RQ y PS
3.
RM
MQ
PM
MS
m(R )
1. Por ser opuestos por el vértice
2. De hipótesis
3. De 2. Definición de punto medio
SMQ
4. RMP
5. m(R ) m(RQS )
6.
4. De 1 y 3. L – A – L
5. De 4. Ángulos correspondientes de
triángulos
6. Postulado de adición de ángulos
m(RQT ) m(RQS ) m(SQT )
7. De 6. Propiedades de las desigualdades.
7. m RQT
m(RQS )
8. m RQT
m R
8. Sustitución de 5 en7
ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO
Es un ángulo adyacente a un ángulo interior de un triangulo que forma un par lineal con
este y por lo tanto son suplementarios.
Desigualdades geométricas
2
TEOREMA
Un ángulo exterior de un triangulo es mayor que un ángulo interior no adyacente a él.
HIPOTESIS: CBD es un ángulo exterior
A–B–D
TESIS:
1. Por el punto medio M de CB , se traza
AF , tal que AM
2. CM MB
MF
3. CMA FMB
4. CMA
FMB
5. m(C ) m(MBF )
6. m(CBD)
7. m(CBD)
8. m(CBD)
m(MBF ) m(FBD)
m(MBF )
m(C )
1)m(CBD ) m(C )
2)m(CBD ) m(CAB )
1. Postulado de construcción de
segmentos congruentes.
2. De 1. Definición de punto medio
3. Opuestos por el vértice.
4. De 1, 2, 3. L – A – L
5. De 4. Por ser ángulos correspondientes
en triángulos congruentes.
6. Adición de ángulos.
7. De 6. Propiedad de las desigualdades.
8. Sustitución de 5 en 7.
METODO INDIRECTO DE DEMOSTRACION. REDUCCION AL ABSURDO.
Hasta ahora los métodos usados para demostrar teoremas han sido directos.
En algunas ocasiones es necesario utilizar un método indirecto para llegar a la tesis.
Este método consiste en considerar todas las conclusiones posibles. Cada una de estas
conclusiones deben ser investigadas de acuerdo con la hipótesis. Si puede demostrarse
que todas las conclusiones posibles, excepto una, conducen a una contradicción,
entonces podemos concluir que la conclusión restante debe ser la correcta.
En este método se niega la tesis y se sigue un razonamiento lógico hasta llegar a una
contradicción.
TEOREMA DE CONGRUENCIA LADO ANGULO ANGULO (L – A – A)
HIPOTESIS:
AC
DF ; A D; B E
TESIS:
ABC
DEF
Se demuestra por reducción al absurdo o método indirecto.
Se niega la tesis, o sea que ABC no es congruente con DEF, entonces suponemos
AB no es congruente con DE , por lo tanto se pueden presentar dos casos:
1) AB < DE
2) AB > DE.
Desigualdades geométricas
3
Primer caso
1. AB < DE
2. En DE existe un punto P, tal que AB
3. De hipótesis.
3. AC DF
4. A D
5. ABC
DFP
6. m B
m(FPD)
7. m(FPD)
4. De hipótesis
5. De 2, 3, 4. L – A – L
6. De 5 por ser ángulos
correspondientes en triángulos
congruentes.
7. Por ser un ángulo exterior del
m(E )
8. m(B) m(E )
9. m(B) m(E )
10. m(B) m(E ) y m(B)
DP
1. Suposición
2. Construcción
FPE
m(E )
8. Sustitución de 6 en 7.
9. De hipótesis.
10. De 8 y 9. CONTRADICCION!
Esta contradicción se origino al supone que AB < DE. Por lo tanto la negación de la
tesis, ABC no es congruente con DEF , es falsa, entonces ABC
DEF
CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS
TEOREMA
Si dos triángulos rectángulos tienen respectivamente congruentes un cateto y un ángulo
agudo, entonces son congruentes.
TEOREMA
Si dos triángulos rectángulos tienen sus hipotenusas congruentes y un ángulo agudo
congruente entonces son congruentes.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia de un punto a una recta es el segmento perpendicular trazado del punto a
la recta.
PQ es la distancia del
punto P a la recta.
Desigualdades geométricas
4
TEOREMA
Un punto cualquiera de la bisectriz de un
ángulo equidista de los lados del ángulo.
(La distancia de un punto a una recta es
la longitud del segmento perpendicular
trazado desde el punto a la recta.)

HIPOTESIS: LP es la bisectriz de
 ELN
PA LE y PB LN
TESIS: PA = PB
1. PBL y PAL son triángulos rectángulos.
2. BLP ALP
3. LP LP
4. PBL
PAL
5. PA = PB
1. De hipótesis. Definición de triangulo
Rectángulo
2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3. Propiedad reflexiva
4. De 1, 2 y 3. Por ser triángulos
rectángulos, con la hipotenusa un ángulo
agudo congruentes.
5. De 4. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes
TEOREMA
Si dos lados de un triangulo, no son congruentes, los ángulos opuestos a ellos tampoco
son congruentes y a mayor lado se opone mayor ángulo.
HIPOTESIS: CA > CB
TESIS: m 

1. En CB existe un punto P, tal
que CA CP
2. ACP es isósceles.
3. m(CAP ) m(P )
4. m(CAP )
5. m(CAP )
m( ) m(BAP )
m( )
m 
1. Postulado de construcción de
segmentos congruentes
2. De 1. Definición de triangulo isósceles.
3. De 2. En un triangulo isósceles a los
lados congruentes se oponen ángulos
congruentes
4. Adición de ángulos
5. De 4. Propiedad de las desigualdades.
Desigualdades geométricas
6.
7.
8.
9.
m(P ) m( )
m( ) m(P )
m( ) m(P )
m( ) m( )
5
6. Sustitución de 3 en 5.
7. es un ángulo exterior en
8. De 6 y 7.
9. De 8.
m( )
ABP
TEOREMA. (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si dos ángulos de un triangulo no son congruentes, los lados opuestos a ellos no son
congruentes y a mayor ángulo se opone mayor lado.
HIPOTESIS: m 
m 
TESIS: CA > CB
Se demuestra por el método indirecto o reducción al absurdo. Se niega la tesis: CA
no es mayor que CB, entonces quedan dos casos AC = CB o AC < CB (ley de la
tricotomia)
1. AC = CB
1. Negación de la tesis.
2. De 1. Definición de triangulo isósceles.
2. ABC es isósceles
3. De 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen
3. m(  ) = m(  )
ángulos congruentes.
4. De hipótesis
4. m(  ) > m(  )
5. CONTRADICCION!
5. De 3 y 4. Por la ley de la tricotomia.
6. AC < BC
6. Negación de la tesis.
7. De 6. En un triangulo a lado mayor se opone ángulo
7. m(  ) > m(  )
mayor.
8. De hipótesis.
8. m(  ) < m(  )
9. CONTRADICCION!
9. De 7 y 8. Ley de la tricotomia.
10. Luego CA > CB
10. De 5 y 9.
COROLARIOS DEL TEOREMA ANTERIOR:
1. La medida de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es mayor que la medida de
cualquiera de sus catetos.
2. El segmento mas corto que une un punto con una recta es el segmento
perpendicular a ella.
EJEMPLO
Se da el triangulo rectángulo ABC, con el ángulo recto en A, se traza la bisectriz de
 ACB que corta a AB en D. Demostrar que DB > DA. (Trazar DE BC )
HIPOTESIS:
ABC rectángulo en A
CD es bisectriz del ángulo ACB
TESIS: DB > DA
1. Se traza DE
BC
1. Construcción auxiliar.
Desigualdades geométricas
2. CD es bisectriz de ACB
3. 1 2
4. AD DE
5. DEB es rectángulo.
6. DB > DE
7. DB > DA
6
2. De hipótesis
3. De 2. Definición de bisectriz
4. De 2. Un punto de la bisectriz equidista de los lados
del ángulo.
5. De 1. Definición de triangulo rectángulo.
6. De 5. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es
mayor que un cateto.
7. Sustitución de 4 en 6.
NOTA: El caso de congruencia de triángulos L – L – A no se da en todos los casos, por
ejemplo:
El caso L – L – A; solo se da cuando el ángulo congruente es el mayor ángulo del
triangulo.
TEOREMA. UNICO CASO DE CONGRUENCIA L – L – A
Si dos triángulos tienen respectivamente dos lados congruentes y un ángulo
congruente, pero estos ángulos son opuestos a los lados de mayor longitud, entonces
son congruentes los triángulos.
HIPOTESIS:
AC DF ; BC EF
B E
AC AB; AC BC
DF DE; DF EF
TESIS: ABC
DEF
La demostración se hace por el método indirecto
Se niega la tesis o sea que ABC no es congruente al DEF
1. Negación de la tesis
1. AB DE
2. AB > DE o AB < DE
2. De 1. Ley de la tricotomia
3. AB > DE
3. De 2

4. Existe un punto Q en ED , tal que 4. De 3. Postulado de construcción de
segmentos congruentes.
EQ
AB
5. CB FE
6.  B  E
7. ABC
QEF
8. AC
9. DF
QF
AC
10. DF QF
5. De hipótesis.
6. De hipótesis
7. De 4, 5, 6. L – A – L
8. De 7. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
9. De hipótesis.
10. De 8 y 9. Propiedad transitiva
Desigualdades geométricas
7
11. De 10. Definición de triangulo isósceles.
12. De 11. Los ángulos de la base de un
triangulo isósceles son congruentes.
13. De hipótesis.
14. Sustitución de 10 en 13.
15. De 14. En QEF , a lado mayor se opone
ángulo mayor
16. Sustitución de 12 en 15
11. QDF es isósceles.
12. FDQ Q
13. DF > EF
14. QF > EF
15. FDQ Q
16. m E
m FDQ
17. m FDQ
m E
17. Por ser FDQ un ángulo exterior en
18. ¡CONTRADICCION!
FDE
18. De 17. Porque la suposición de que el
triangulo ABC no es congruente con el
triangulo DEF es falsa.
Analizar el caso AB < DE para llegar a una contradicción.
TEOREMA
Si la hipotenusa y un cateto de un triangulo rectángulo son respectivamente
congruentes a la hipotenusa y un cateto de otro triangulo rectángulo, entonces los
triángulos son congruentes.
RESUMEN DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS:
1. Cateto – Cateto
2. Cateto – Angulo agudo
3. Hipotenusa – Angulo agudo
4. Hipotenusa – Cateto
TEOREMA: LA DESIGUALDAD TRIANGULAR.
La suma de las medidas de dos lados de un triangulo es mayor que la medida del tercer
lado.
HIPOTESIS: ABC cualquiera
TESIS: AC + CB > AB

1. En AC existe un punto P tal que
CP
1. Construcción.
CB y unimos B con P.
2. AP = AC + CP
2. Adición de segmentos.
Desigualdades geométricas
8
3. AP = AC + CB
4. m(P ) m(PBC )
5. m(PBA)
6. m(PBA)
m(PBC ) m(CBA)
m(PBC )
7. m(PBA)
8. AP > AB
m(P )
9. AC + CP > AB)
10. AC + CB > AB
3. Sustitución de 1 en 2
4. A lados iguales se oponen ángulos
congruentes.
5. Adición de ángulos
6. De 5. Propiedad de las
desigualdades.
7. Sustitución de 4 en 6
8. En el PAB a mayor ángulo se
opone mayor lado.
9. De 8. Adicion de segmentos.
10. Sustitución de 1 en 9.
TEOREMA DE LA ENVOLVENTE
HIPOTESIS: ABC cualquiera. O es un punto en el
interior del triángulo
TESIS: AC CB

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
La BO corta a AC en D
AD + DO > AO
DC + CB > BD
AD + DO + DC + CB > AO + BD
AC + CB + DO > AO + BD
AC + CB + DO > AO + OB + DO
AC + CB > AO + OB
AO OB
1. De hipótesis. O es un punto interior
2. Desigualdad triangular en ADO
3. Desigualdad triangular en DCB
4. De 2 y 3. Suma de desigualdades.
5. De 4. Adición de segmentos
6. De 5. Adicion de segmentos
7. De 6. Ley cancelativa.
TEOREMA
Si dos lados de un triangulo son respectivamente congruentes a dos lados de otro
triangulo y el ángulo incluido en el primer triangulo es mayor que el ángulo incluido en
el segundo triangulo, entonces al tercer lado del primero es mayor que el tercer lado del
segundo triangulo.
HIPOTESIS: AC DF ;CB FE
m(ACB ) m(F )
TESIS: AB > DE
Desigualdades geométricas
9

1. Trazamos CK , tal que ACK
F

2. En CK existe un punto G, tal que
CG FE
3. AC DF
4. ACG
DFE
5. Trazamos la bisectriz de GCB que corta
a AB en H y trazamos GH .
6. GCH HCB
7. GC
FE
8. FE CB
9. GC CB
10. CH CH
11. CGH
CHB
12. GH HB
13. AG
DE
14. AH + HG > AG
15. AH + HB > AG
16. AB > AG
17. AB > DE
1. Construcción
2. Postulado de construcción de
segmentos congruentes
3. De hipótesis
4. De 1, 2, 3. L – A – L
5. Construcción
6. De 5. Definición de bisectriz
7. De 1
8. De hipótesis
9. De 7 y 8. Propiedad transitiva
10. Propiedad reflexiva
11. De 6, 9, 10. L – A – L
12. De 11. Por ser lados correspondientes
en triángulos congruentes.
13. De 4. Lados correspondientes en
triángulos congruentes.
14. Desigualdad triangular en AGH
15. Sustitución de 12 en 14
16. De 15. Adición de segmentos
17. Sustitución de 13 en 16.
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el tercer lado del
primero es mayor que el tercer lado del segundo, entonces la medida del ángulo
opuesto al tercer lado del primero es mayor que la medida del ángulo opuesto al tercer
lado del segundo.
AC DF
HIPOTESIS: BC
EF
AB
DE
TESIS: m(C )
1. m(C ) no es mayor que
m(F )
2. m(C ) = m(F ) o m(C )
es menor que m(F )
3. m(C ) m(F )
1. Negación de la tesis
2. De 1. Ley de la tricotomia
3. De 2 Suposición
m(F )
Desigualdades geométricas
4. AC DF y BC
5.
ABC
DEF
10
EF
4. De hipótesis
5. De 3 y 4. L – A – L
6. De 5. Lados correspondientes en triángulos s
6. AB DE
7. AB > DE
7. De hipótesis.
8. CONTRADICCION!
8. De 6 y 7
9. De 2. Suposición
9. m(C ) m(F )
10. AB < DE
10. De 9 y 4. Teorema anterior.
11. AB > DE
11. De hipótesis
12. CONTRADICCION!
12. De 10 y 11. Ley de la tricotomia.
Luego las suposiciones son falsas y por lo tanto se cumple que m(C ) m(F )
EJERCICIOS RESUELTOS
1).Si desde un punto A que no pertenece a la recta l, se traza una perpendicular a la
recta y dos segmentos oblicuos, es mayor, el que está más alejado del pie de la
perpendicular.
HIPOTESIS: AP
TESIS: AC
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
m(APB) 90º
m(1) 90º
2 es agudo
m(2) m(3)
m(1) m(2)
m(1) m(3)
AC > AB

l; PC
PB
AB
1. De hipótesis. Definición de perpendicular
2. De 1 y por ser 1 un ángulo exterior en el triangulo APB
3. De 2. Por ser el suplemento de un ángulo obtuso.
4. Por ser 2 un ángulo exterior en triangulo CBA
5. Por ser 1 obtuso y 2 agudo
6. De 4 y 5. Propiedad transitiva
7. De 6. En el CBA a mayor ángulo se opone mayor lado.
2)
HIPOTESIS: O es un punto interior del triangulo ABC
a b c
TESIS:
2
2)a b c m n r
1)m n r
1.
2.
3.
4.
m+n>c
m+r>a
n+r>b
2m + 2n + 2r > a + b + c
1. Desigualdad triangular en AOB
2. Desigualdad triangular en BOC
3. Desigualdad triangular en COA
4. De 1, 2, 3. Propiedad de adición de
Desigualdades geométricas
5. 2(m + n + r) > a + b + c
6. m
n r
a b c
2
11
las desigualdades
5. De 4. Factor común
6. De 5. Transposición de términos.
Para la segunda parte de la demostración se sigue el proceso del ejemplo 2 y se llega a
lo siguiente:
b+a>n+m
c+a>m+r
b+c>r+n
y sumando las tres desigualdades se tiene:
2a + 2b + 2c > 2m + 2n + 2r de donde 2(a + b + c) > 2(m + n + r)
a + b + c > m + n + r.
3)
1. m (  ADB) > m (  DEB)
2. m (  DEB) > m(  C)
3. m (  ADB) > m(  C)
1. Por ser  ADB un ángulo exterior
en DEB
2. Por ser  DEB un ángulo exterior
en AEC
3. De 1, 2. Propiedad transitiva.
4) Demostrar que en cualquier triangulo la suma de dos ángulos interiores en menor
que 180º
HIPOTESIS:
ABC cualquiera
m( ) m( ) 180º
TESIS: m( ) m( ) 180º
m( ) m( ) 180º
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
es un ángulo exterior
m(  ) > m(  )
m(  ) + m(  γ) = 180º
m(  ) = 180º - m(  γ)
180º - m (  γ) > m(  )
180º > m(  ) + m(  γ)
m(  ) + m(  γ) < 180º
1. Definición de ángulo exterior
2. De 1. Por ser DEB un ángulo exterior
3. Por ser suplementarios.
4. De 3. Transposición de términos
5. Sustitución de 4 en 2
6. De 5. Transposición de términos
7. De 6.
Desigualdades geométricas
12
8. m(  ) > m(  )
9. 180º - m(  γ) > m(  )
10. 180º > m(  ) + m(  γ)
11.  es un ángulo exterior en
∆ABC
12. m(  ) > m(  )
8. De 1. Por ser un ángulo exterior
9. Sustitución de 4 en 8.
10. De 9. Transposición de términos.
11. Definición de ángulo exterior
12. De 11. Un ángulo exterior es mayor que
cualquier ángulo interior no adyacente a el.
13. Por ser suplementarios.
14. De 13. Transposición de términos
15. Sustitución de 14 en 12
16. De 15. Transposición de términos.
13. m(  ) + m(  ) = 180º
14.m(  ) = 180º - m(  )
15.180º - m(  ) > m(  )
16.180º > m(  ) + m(  )
5) En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que FC
demostrar que FB > CD
1. AB > AC
2. m (  ACB) > m (  ABC)
3. FC
DB
4. BC BC
5. FB > CD
DB . Si AB > AC,
1. De hipótesis
2. De 1. Si un triangulo tiene dos lados desiguales al
mayor se opone el ángulo mayor
3. De hipótesis
4. Propiedad reflexiva
5. De 2, 3, 4. Si dos triángulos tienen dos lados
congruentes y el ángulo incluido en el primero es
mayor que el incluido en el segundo, entonces el
tercer lado del primero es mayor que el tercero del
segundo.
6) Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que
su semiperimetro y menor que su perímetro.
HIPOTESIS: CH ; AH 1; AH 2 son alturas del triangulo
TESIS:
AB
BC CA
2
AH1 CH
BH 2
AB
BC CA
Desigualdades geométricas
13
1. De hipótesis.
Definición de altura y
de triangulo rectángulo
2. De 1. En un
triangulo rectángulo la
hipotenusa es mayor
que cualquier cateto.
1. CH1 A; BHC ; AH 2 B son rectángulos
AC
AH1
2. BC
CH
AB BH 2
3. AB BC AC
4. AH1
H1B
AH1 CH
3. De 2. Propiedad de
la adición de las
desigualdades
4. Teorema de la
desigualdad triangular.
BH 2
AB
AH1 H1C AC
CH HB BC
CH HA AC
BH 2 CH 2 BC
BH 2 AH 2 AB
5.
2 AH1
6.
2CH
H1B
2 AB 2 BC 2 AC
2 AH1 2CH 2 BH 2
7. 2 AH1
8. AH1
9.
2 BH 2
AB
CH
CH
BH2
BH 2
BC CA
2
BC
H1C
AB
HB
AC
2 AB
HA
(CH 2
2 BC
2 AB 2BC 2 AC BC
AB
AH 2 )
2 AC
AB AC
BC CA
2
AH1 CH
5. De 4.Propiedad de
las desigualdades
6. De 5. Adición de
segmentos
7. De 6. transposición
de términos
8. De 7. Aritmética
9. De 9. Lo mismo
escrito de otra manera
BH 2
EJERCICIOS DE DESIGUALDADES
1.

AC EC
HIPOTESIS:
E D C B
TESIS: 1) CE > CD
2) AE > AD
Desigualdades geométricas
14
2.
3. Se da un
ABC y la mediana AM . Demostrar que AM

Sugerencia: en AM existe un punto P, tal que AM
AB AC
2
MP
4. Demostrar que un triangulo cualquiera, la suma de las tres alturas es menor que el
perímetro del triangulo.
5.
HIPOTESIS: CD
CB
1) AC DC
2)m(ADC ) m(A)
TESIS:
3)m(1) m(A)
4) AD BD
6.
AD
AB
HIPOTESIS: CD
CD
CB
TESIS: m(DAB)
AD
m(DCB)
7.
DA DB
HIPOTESIS: A D C
AD
AB
TESIS: m(  A) > m(  C)
Desigualdades geométricas
15
8.
HIPOTESIS:
ABC cualquiera
TESIS: m(ADB )
m(C )
9.
HIPOTESIS:
ADB es isosceles con DA DB
DB > AB
A–D–C
TESIS: Triángulo ABC es un triangulo escaleno.
10.
11.
12.
HIPOTESIS: Triángulo ABC cualquiera
El punto O es un punto en el interior del
triangulo.
a b c
TESIS:
2
2)m n r a b c
1)m n r
Desigualdades geométricas
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13. Demostrar el siguiente teorema:
Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La
distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado
desde el punto a la recta).
14. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que
su semiperimetro y menor que su perímetro.
15. En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que FC
demostrar que FB > CD.
DB . Si AB > AC,
16. Utilizar la demostración por reducción al absurdo o método indirecto de
demostración para demostrar que si una mediana de un triangulo no es
perpendicular al lado que corta, entonces al menos dos lados del triangulo no son
congruentes.
17. En el ABC, AC > AB. Demostrar que si D es un punto cualquiera entre B y C,
entonces AC > AD.
18. Demostrar que si dos alturas de un triangulo son congruentes, el triangulo es
isósceles.
19. Demostrar que si AM es una mediana
del triangulo ABC, entonces los segmentos

desde B y C, perpendiculares a AM , son congruentes.
20. Escribir el reciproco de cada uno de los siguientes enunciados y decidir si cada
enunciado y cada reciproco es verdadero o falso:
A. Si dos ángulos son congruentes, entonces son rectos.
B. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.
C. Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los
extremos del segmento.
D. Si dos ángulos son agudos, entonces son complementarios.
E. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes.
¿Será verdadero el reciproco de todo enunciado verdadero?
Ejercicios tomados de los siguientes textos:
 Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
 Geometría Euclidiana de Hemmerling
 Curso de Geometría. Reunión de profesores
 Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
 Geometría de Edwin E. Moise
Desigualdades geométricas
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Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.
EJERCICIOS RESUELTOS DE DESIGUALDADES
 Demostrar utilizando el método indirecto de demostración o reducción al absurdo:
HIPOTESIS: BC
BA
DC ≠ DA
TESIS: BD no es bisectriz de  CBA
1. BD es bisectriz de  CBA
2.  1
2
3. BD
BD
BA
4. BC
5.
BDC
1. Negación de la tesis. Suposición.
2. De 1. Definición de bisectriz
3. Propiedad reflexiva
4. De hipótesis
5. De 2, 3, 4. L – A – L
6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos
6. DC DA
congruentes.
7. DC ≠ DA
7. De hipótesis.
8. CONTRADICCION
8. De 6 y 7. Ley de la tricotomia
Por lo tanto la suposición 1 es falsa y por consiguiente es verdad que BD no es
bisectriz.
BDA

HIPOTESIS: AB
BD
DC
TESIS: AD > DC
1. ABD es isósceles
2. 2 3
3. BDC es isósceles
4. 4 5
5. m(  4) > m(  2)
1. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles
2. De 1. Por ser ángulos de la base de un triangulo
isósceles
3. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles.
4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo
isósceles
5. Por ser un ángulo exterior del triangulo ABD
Desigualdades geométricas
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6. m(  5) > m(  2)
7. En ADC: AD > DC
6. Sustitución de 4 en 5.
7. De 6. En un triangulo a mayor ángulo se opone mayor
lado

HIPOTESIS: AD AB
CD CB
CD > AD
TESIS: m (  DAB) > m (  DCB)
1. CD > AD
2. m(  1) > m(  2)
3. AD AB y CD CB
4. CB > AB
5. m(  3) > m(  4)
6. m(  1) + m(  3) > m(  2) + m(  4)
7. m(  DAB) > m(  DCB)
1. De hipótesis
2. De 1. En el ADC a mayor lado se
opone mayor ángulo.
3. De hipótesis.
4. Sustitución de 3 en 1.
5. De 4. En el ABC a mayor lado se opone
mayor ángulo.
6. De 2 y 5. Suma de desigualdades.
7. De 6. Suma de ángulos.

1. m(  ADB) > m(  DEB)
2. m(  DEB) > m(  C)
3. m(  ADB) > m(  C)
1. Por ser un ángulo exterior en el
2. Por ser un ángulo exterior en el
3. De 1 y 2. Propiedad transitiva.
DEB
ACE