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Cuadriláteros
1
CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tiene las parejas de lados opuestos paralelos.
ROMBO: Es un paralelogramo con todos sus lados congruentes
RECTÁNGULO: Es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos.
CUADRADO: Es un rectángulo con sus cuatro lados congruentes.
TRAPECIO: Un cuadrilátero es un trapecio si tiene uno y solo un par de lados paralelos.
Los lados paralelos del trapecio se llaman bases.
TRAPECIO ISÓSCELES: Un trapecio es isósceles si tiene los lados no paralelos
congruentes.
TEOREMA.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º
HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero
TESIS: m  DAB   m  ABC   m  BCD   m  CDA  360º
1. definición de diagonal.
1. Se traza la diagonal AC
2. m     m     m  CDA  180º
4. m    m    m  CDA  m     m    m  ABC   360º
2. En  ADC la suma de los ángulos
interiores es 180º
3. En  ABC la suma de los ángulos
interiores es 180º
4. Suma de 2 y 3
5. m(
5. De 4. Adición de ángulos.
3. m     m     m  ABC   180º
BCD)+m(
DAB)+m(
CDA)+m(
ABC) = 360º
TEOREMA:
En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
TESIS: AB  DC y AD  BC
1. ABCD es un paralelogramo
2. AB DC; AD BC
3. Se traza la diagonal AC .
1 4
4.
3 2
5.
1. De hipótesis
2. De 1. Definición de paralelogramo
3. Definición de diagonal
4. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas.
5. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas
Cuadriláteros
2
6. AC  AC
7.  ADC   ABC
6. Propiedad reflexiva
7. De 4, 5, 6. A – L – A
8. De 7. Lados correspondientes en triángulos
congruentes.
9. De 7. Lados correspondientes en triángulos
congruentes.
8. AD  BC
9. AB  DC
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si en un cuadrilátero los dos pares de lados opuestos son congruentes, entonces el
cuadrilátero es un paralelogramo.
HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero
AB  DC y AD  BC
TESIS: ABCD es un paralelogramo
1. Se traza la diagonal AC .
1. Definición de diagonal
2. AD  BC; DC  AB
2. De hipótesis
3. AC  AC
4.  ADC   ABC
3 2
5.
3. Propiedad reflexiva
6. AD BC
7.
4 1
8. AB DC
9. ABCD es un paralelogramo.
4. De 2 y 3. L – L – L
5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
6. De 5. Por formar ángulos alternos internos
congruentes
7. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
8. De 7.Por formar ángulos alternos internos
congruentes.
9. De 6 y 8. Definición de paralelogramo
TEOREMA
En un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
TESIS:
1. DC  AB y AD  BC
2. AC  AC
3.  ADC   ABC
4.
ADC 
ABC
DAB  BCD y
ADC  ABC
1. De hipótesis. En un paralelogramo los lados opuestos
son congruentes
2. Propiedad reflexiva.
3. De 1 y 2. L – L – L
4. De 3. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
Para demostrar la otra parte trace la diagonal DB .
Cuadriláteros
3
TEOREMA:
Si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un
paralelogramo.
HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero
A C y D B
TESIS: ABCD es un paralelogramo
1. m(
2. m(
3. m(
A) = m( C)
B) = m( D)
A)+m( B)+m(
C)+m(
D) = 360º
4. 2m( A)+2m( B) = 360º
5. 2m( A)+m( B) = 360º
6. m( A)+m( B) = 180º
7. AD BC
8. 2m( A)+2m( D) = 360º
9. 2m( A)+m( D) = 360º
10. m( A)+m( D) = 180º
11. AB DC
12. ABCD es un paralelogramo
1. De hipótesis
2. De hipótesis
3. De hip. La suma de los ángulos
interiores de un cuadrilátero es 360°
4. Sustitución de 1 y 2 en 3
5. De 4 factorización
6. De 5. Transposición de términos
7. De 6. Si los ángulos consecutivos
interiores son suplementarios se
tienen rectas paralelas.
8. De sustituir 1 y 2 en 3
9. Factor común
10. Álgebra
11. De 10. Si los ángulos
consecutivos interiores son
suplementarios se tienen rectas
paralelas.
13. De 7 y 11. Definición de
paralelogramo.
TEOREMA
Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos congruentes y paralelos entonces el cuadrilátero
es un paralelogramo.
HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero
DC  AB; DC AB
TESIS: ABCD es un paralelogramo.
1. DC  AB
1. De hipótesis
2. DC AB
DCA  CAB
3.
2. De hipótesis
4. AC  AC
5. ABC  ADC
6.
DAC 
ACB
3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas
4. Propiedad reflexiva
5. De 1, 3, 4. L – A – L
6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en
Cuadriláteros
4
7. AD BC
8. ABCD es un paralelogramo.
triángulos congruentes.
7. De 6. Por formar ángulos alternos internos
congruentes
8. De 2 y 7. Por tener los lados opuestos paralelos.
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
En un paralelogramo dos lados opuestos son paralelos y congruentes.
La demostración se deja como tarea.
TEOREMA
Si en un cuadrilátero las diagonales se bisecan, entonces es un paralelogramo.
HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero
AP  PC y DP  PB
TESIS: ABCD es un paralelogramo
1. DP  PB y AP  PC
DPC  APB
2.
3. DPC  APB
4.
DCP 
PAB
5. DC
AB
6. DC  AB
7. ABCD es un paralelogramo
1. De hipótesis.
2. Opuestos por el vértice
3. De 1 y 2. L – A – L
4. De 3. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
5. De 4. Por formar ángulos alternos internos
congruentes.
6. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
7. De 5 y 6. Por tener dos lados opuestos congruentes y
paralelos.
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
En un paralelogramo las diagonales se bisecan.
La demostración se deja como tarea.
COROLARIOS DE TEOREMAS ANTERIORES:
1. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.
2. Los segmentos de un par de rectas paralelas comprendidas entre un segundo par de
rectas paralelas son congruentes
3. Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su longitud
4. Las diagonales de un rectángulo son congruentes
5. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos de los
vértices.
NOTA: El reciproco no se cumple
Cuadriláteros
5
EJERCICIOS RESUELTOS
1)
CD BA
Hallar x, y.
2)
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
DM  MC
DC  2 AD
TESIS: AM  MB
1. AD 
1. De hipótesis
DC
2
2. M es punto medio de DC
DC
2
4. DM  MC  AD
5.  ADM es isósceles.
3. DM  MC 
6. m(
) = m(
4. De 1 y 3. Ley transitiva
5. De 4. Definición de triangulo isósceles.
6. De 5. En un triangulo a lados congruentes
se oponen ángulos congruentes.
7. De hipótesis. los lados opuestos de un
paralelogramo son congruentes
8. De 4 y 7. Propiedad transitiva.
)
7. AD  BC
8. MC  BC
9.  MCB es isósceles.
10. m( ) = m( )
11. m( D)+m( C) = 180º
12. m(
) + m(
13. 2m( )+m(
14. m( ) + m(
) + m(
2. De hipótesis. Definición de punto medio
3. De hipótesis y de 2
D) = 180º
D) = 180º
) + m( C) = 180º
9. De 8. Definición de triangulo isósceles.
10. De 9. La misma razón de 7.
11. Por ser ángulos consecutivos en un
paralelogramo
12. En el  ADM los ángulos interiores suman
180º
13. Sustitución de 6 en 12
14. En el  MCB la suma de los ángulos
interiores es 180°
Cuadriláteros
6
15. 2m( )+m( C) = 180º
16. 2m( )+m( D)+2m( )+m( C) =
360º
17. 2m( )+2m( )+180º = 360º
18. 2m( )+m( ) = 180º
19. m( )+m( ) = 90º
20. m( )+m( AMB)+m(
21. 90º+m( AMB) = 180º
22. m( AMB) = 90º
) = 180º
23. AM  MB
15. Sustitución de 10 en 14
16. Adición de 13 y 15
17. Sustitución de 11 en 16
18. De 17. Factor común y transposición de
términos
19. De 18. Algebra
20. Por formar un par lineal
21. Sustitución de 19 en 20
22. De 21. Transposición de términos
23. De 22. Definición de perpendicularidad.
3)
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
DM  AC y BN  AC
TESIS: DMBN es un paralelogramo.
1. AD CB
2. DAC  BCA
3. DMA y CNB son rectángulos
4. AD  BC
5. DMA  CNB
6. DM  BN
7. DM  AC y BN  AC
8. DM
BN
9. DMBN es un paralelogramo.
1. De hipótesis. Definición de paralelogramo
2. Por ser alternos internos entre paralelas
3. De Hipótesis. Definición de triangulo
rectángulo
4. De hipótesis. Lados opuestos de un
paralelogramo son congruentes.
5. De 3, 2, 4. Por tener congruentes la
hipotenusa y un ángulo agudo.
6. De 5. Lados correspondientes en
triángulos congruentes.
7. De hipótesis.
8. De 7. Por ser perpendiculares a la misma
recta.
9. De 6 y 8. Por tener dos lados opuestos
paralelos y congruentes.
4)
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo.
DM y BN son bisectrices
TESIS: DMBN es un paralelogramo
1. m (
ADC) = m (
ABC)
2. m (
ADM) = m (
NBC)
1. De Hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un
paralelogramo
2. De hipótesis. Definición de bisectriz. Por ser
mitades de ángulos congruentes y de 1
Cuadriláteros
3.
7
NCB  MAD
4. AD  BC
AMD  BNC
6. DM  BN
5.
7. AM  NC
8. AB DC y AB  DC
9.
MAB  DCN
10. AMB  CND
11. MB  DN
12. DMNB es un paralelogramo.
3. Por ser alternos internos entre paralelas
( AD BC )
4. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo
5. De 2, 3, 4. A – L – A
6. De 5. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes
7. De 5. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes
8. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo.
9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas
10. De 8, 9,7. L – A – L
11. De 10. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
12. De 6 y 7. Por tener los lados opuestos
congruentes.
SECANTE
Una secante es una recta que corta en puntos diferentes a varias rectas paralelas.
TEOREMA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL PARALELISMO (T.F.P)
Si tres o más rectas paralelas, determinan segmentos congruentes en una secante, entonces
determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante.
HIPÓTESIS:
m n s
AB  BC
TESIS: DE  EF
1. Por D se traza una paralela a r1, que corta 1. Postulado de la paralela.
a n en G. O sea DG AB
2. AD BG
3. ABGD es un paralelogramo
4. AB  DG
5. Por E se traza una paralela a r1, que corta
a s en H. O sea EH
2. De hipótesis.
3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo
4. De 3. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo.
5. Postulado de la paralela
BC
6. BE CF
7 BCHE es un paralelogramo
6. De hipótesis.
7. De 5 y 6. Definición de paralelogramo
Cuadriláteros
8
8. BC  EH
8. De 7. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo
9. De hipótesis
9. AB  BC
10. EH  DG
11. ABG 
DGE
12.
ABG 
10. De 4, 9, 5. Propiedad transitiva.
11. De 3. AB DE . Por ser ángulos
correspondientes entre paralelas.
12. De hipótesis. Por ser ángulos
correspondientes entre paralelas
13. De 7. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo.
14. De 13. Por ser ángulos correspondientes
entre paralelas
15. De 11, 12, 14. Propiedad transitiva
16. De 1 y 5. Propiedad transitiva del
paralelismo
17. De 16. Por ser ángulos correspondientes
entre paralelas.
18. De 17, 15 y 10. A – L – A
19. De 18. Por ser lados correspondientes de
triángulos congruentes
BCH
13. BC EH
14.
BCH 
EHF
15.
EHF 
DGE
16. DG r1 EH
17.
GDE

HEF
18. DGE  EHF
19. DE  EF
CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento dado en 5 partes congruentes.
TEOREMA: TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIANGULO
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer
lado y tiene por medida la mitad de ese lado.
HIPÓTESIS: M es punto medio de AC
N es punto medio de BC
1) MN AB
TESIS:
1. En MN existe un punto Q, tal
2) MN 
AB
2
1. Construcción
que MN  NQ y unimos B con Q
2. CN  NB
2. De hipótesis. Definición de punto medio
Cuadriláteros
9
3.
CNM 
QNB
4. CMN  BQN
5.
C 
NBQ
3. Por ser opuestos por el vértice
4. De 2, 1,3. L – A – L
5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
6. Por formar ángulos alternos internos
congruentes.
7. De 6 y de hipótesis. A – M – C
6. BQ AC
7. BQ AM
8.
CM  BQ
8. De 4. Lados correspondientes en triángulos
congruentes
9. De hipótesis. Definición de punto medio
9. CM  MA
10. BQ  MA
11. ABQM es un paralelogramo
10. De 8 y 9. Propiedad transitiva
12. MQ AB
11. De 7 y 10. Lados opuestos paralelos y
congruentes.
12. De 11. Definición de paralelogramo
13. MN
13. De hipótesis M – N – Q
AB
14. MQ  AB
14. De 11. Por ser lados opuestos de un
paralelogramo
15. De 4. Lados correspondientes en triángulos
congruentes.
15. MN  NQ
MQ
2
AB
17. MN 
2
16. De 15. N es punto medio de MQ .
16. MN 
17. Sustitución de 14 en 16.
TEOREMA
Una recta paralela a un lado de un triángulo y que pasa por el punto medio de un lado, pasa
por el punto medio del otro lado.
HIPÓTESIS: MN AB
M es punto medio de AC
TESIS: N es punto medio de BC
1. Por N se traza una paralela a AM ,
corta a AB en D.
2. MN AD
3. ADNM es un paralelogramo
4. CM  MA  ND
5.
B 
MNC
6.
C 
DNB
1. Construcción
2. De hipótesis, de 1. A – D – B
3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo
4. De hipótesis y de 2. Lados opuestos de
un paralelogramo son  s
5. De hipótesis. Por ser ángulos
correspondientes formados por rectas
paralelas
6. De 1. Por ser ángulos correspondientes
Cuadriláteros
10
7. MNC  DBN
8. CN  NB
9. N punto medio de BC .
formados por rectas paralelas
7. De 4, 5, 6. L – A – A
8. De 7. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
9. De 8. Definición de punto medio.
DEFINICIÓN:
El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio se llama
base media.
TEOREMA DE LA BASE MEDIA
La base media de un trapecio es paralela a los lados paralelos y tiene por medida la
semisuma de las medidas de las bases del trapecio.
HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con
DC AB
E y F son puntos medios de los lados no paralelos
1.EF AB DC
TESIS:
1. DF corta a AB en P
2.
DFC 
BFP
3.
C 
FBP
4. CF  FB
5. DCF  PBF
6. DF  FP
7. F es punto medio de DP
8. E es punto medio de AD
9. EF
AP
10. EF
AB
2.EF 
AB  DC
2
1. Construcción
2. Por ser opuestos por el vértice
3. De hipótesis. Por ser alternos internos entre paralelas
4. De hipótesis. F es punto medio de CF
5. De 2, 3 y 4. A – L – A
6. De 5. Lados correspondientes en triángulos
congruentes.
7. De 6. Definición de punto medio
8. De hipótesis.
9. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en el triángulo
ADP.
10. De 9 y 1. A – B – P
11. AB DC
11. De hipótesis
12. EF
AB DC
AP
13. EF 
2
AB  BP
14. EF 
2
12. De 10 y 11. Propiedad transitiva
15. BP  DC
15. De 5. Lados correspondientes en triángulos
congruentes
13. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en un
triángulo.
14. De 13. Adicion de segmentos
Cuadriláteros
11
16. EF 
AB  DC
2
16. Sustitución de 15 en 14.
TEOREMA (Extensión del teorema de la paralela media)
Si por el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio se traza una paralela a las bases,
esta paralela pasa por el punto medio del otro lado no paralelo.
HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC
AB
M es punto medio de AD
MN AB DC
C–N–B
TESIS: N es punto medio de BC .
1. De hipótesis
1. M es punto medio de AD
2. De 1. Definición de punto medio
2. AM  MD
3. De hipótesis
3. MN AB DC
4. De 3 y 2. Por el teorema fundamental del
4. BN  NC
paralelismo
5. De hipótesis y 1.
5. N es punto medio de BC
TEOREMA
En un trapecio isósceles los ángulos de la base son congruentes.
HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio isósceles con
AD  BC
TESIS:
A
B
1. Se trazan DH  AB y CE  AB
1. Construcción auxiliar
2. DH CE
2.De1, por ser perpendiculares a la misma recta.
3. DC AB  DC HE
4. DHEC es un paralelogramo
3.De hipótesis, definición de trapecio
4.De 3 y 2, definición de paralelogramo
5.De 4, en un paralelogramo los lados opuestos son
congruentes
6.De hipótesis
7.De 1, definición de triangulo rectángulo
8.De 7, 6 y 5, cateto-hipotenusa
9.De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
5. DH  CE
6. AD  BC
7. DHA y CEB son rectángulos
8. DHA  CEB
9.
A
B
Cuadriláteros
12
TEOREMA
El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los vértices. O de
otra forma: La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa.
HIPÓTESIS: Triangulo ABC es rectángulo
M es el punto medio de la hipotenusa CB
TESIS: 1)AM  MB  MC
BC
2)AM 
2
1. Por M se traza una paralela a AB , que
corta a AC en N
1. Construcción
6. AM  MC
2. De 1. Si por el punto medio de un lado
de un triángulo se traza una paralela a un
lado, cortara al otro lado en su punto
medio.
3. De hipótesis y de 1. Por ser
correspondientes entre paralelas
4. De 3. Definición de altura.
5. De 1 y 4. Una mediana es altura.
6. De 5. Definición de triangulo isósceles.
7. MC  MB
7. De hipótesis. Definición de punto medio.
2. N es punto medio de AC
3. m(
CNM) = m(
CAB) = 90º
4. MN es altura
5.  CMA es isósceles.
8. AM  MC  MB 
BC
2
8. De 6 y 7. Propiedad transitiva y M es
punto medio.
TEOREMA
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto G, llamado baricentro. Demostrar que G
está a 2/3 de cada vértice.
HIPÓTESIS: AM y BN son medianas que se cortan en G
2
AM
3
TESIS:
2
BG  BN
3
AG 
1. M y N son puntos medios de BC y AC
2. NM
AB; NM 
AB
2
3. Sean P y Q los puntos medios de
AG y BG respectivamente.
1. De hipótesis. Definición de mediana
2. De 1. Teorema de la paralela media en
ABC
3. Todo segmento tiene un punto medio
Cuadriláteros
13
4. PQ AB; NM 
5.
AB
2
4. De 3. Teorema de la paralela media en
triangulo AGB
NM PQ
5. De 2 y 4. Propiedad transitiva
NM  PQ
7. PG  AP
6. De 5. Por tener dos lados opuestos
paralelos y congruentes.
7. De 6. Las diagonales de un paralelogramo
se cortan en su punto medio
8. De 3. Definición de punto medio
8. AP  PG  GM
9. De 7 y 8. Propiedad transitiva
5. NPQM es un paralelogramo
6. PG  GM
9. AP  PG  GM 
10. AP  PG 
11. AG 
1
AM
3
10. De 9. Definición de fracción
2
AM
3
11. De 10. Aritmética.
2
AM
3
12. De 11. Adición de segmentos.
De la misma forma se demuestra que BG = 2/3 BN
RESUMEN DE CUADRILÁTEROS
Paralelogramos
1. Lados opuestos congruentes
2. Ángulos opuestos congruentes
3. Ángulos consecutivos suplementarios
4. Las diagonales se bisecan
Cuadrado
1. Diagonales congruentes
2. Diagonales perpendiculares
3. Las diagonales son bisectrices
4. Las diagonales se bisecan
Rectángulo
1. Las diagonales se bisecan
2. Las diagonales son congruentes
Rombo
1. Diagonales se bisecan
2. Diagonales son perpendiculares
3. Diagonales son bisectrices
Cuadriláteros
14
Trapecio isósceles
1. Los lados no paralelos son congruentes
2. Los ángulos de las bases son congruentes
3. Al trazar las alturas se generan triángulos rectángulos congruentes.
EJERCICIOS RESUELTOS DE CUADRILÁTEROS
1)
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA  CB
E, D, F son puntos medios.
TESIS: DECF es un rombo
1.
A B
1. De hipótesis, en un triángulo isósceles los ángulos de la
base son congruentes
2. AD  DB
3. CA  CB
4.
AE  BF
5. AED  BDF
6. DE  DF
7. DE BC CF
8. DF AC CE
9. DECF es un
paralelogramo
10. DE  CF
11. DF  CE
12. DF  CE  CF  DE
13. DECF es un rombo
2. De hipótesis, definición de punto medio
3. De hipótesis.
4. De 3 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos
congruentes
5. De 4, 2 y 1 L - A – L
6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
7. Teorema de la paralela media en un triángulo.
8. Teorema de la paralela media en un triángulo.
9. De 7 y 8, por tener los lados opuestos paralelos
10. De 9, por ser lados opuestos de un paralelogramo
11. De 9, por ser lados opuestos de un paralelogramo
12. De 6, 10 y 11, por la propiedad transitiva de la congruencia
13. De 9 y 12, definición de rombo.
2) Demostrar que un paralelogramo al unir dos vértices opuestos con los puntos medios de
sus lados opuestos, determinan segmentos que trisecan la diagonal.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
M es punto medio de DC
N es punto medio de AB
A – P – M; C – Q – N
TESIS: DP  PQ  QB
Cuadriláteros
15
1. DC AB
1. De hipótesis definición de paralelogramo
2. MC AN
2. De 1 y de hipótesis D – M – C y A – N – B
3. De hipótesis, por ser lados opuestos de un
paralelogramo
3. DC  AB
DC
2
AB
5. AN 
2
DC
6. AN 
2
7. MC  AN
4. MC 
8. ANCM es un paralelogramo
9. MA CN
4. De hipótesis, definición de punto medio.
5. De hipótesis, definición de punto medio.
6. Sustitución de 3 en 5.
7. De 4 y 6. Propiedad transitiva
8. De 7 y 2, por tener dos lados opuestos congruentes
y paralelos.
9. De 8. Por ser lados opuestos de un paralelogramo
10. De 9 y de hipótesis A – P – M; C – Q – N
11. En CQD : P es punto medio 11. De hipótesis y de 10. Si por el punto medio de un
lado de un triángulo se traza una paralela a un lado del
de DQ
triángulo, pasa por el punto medio del otro lado.
12. De 11, definición de punto medio.
12. DP  PQ
10. MP CQ
Continuar con la demostración, pero ya analizando el triángulo PBA.
3) Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un
punto llamado incentro.
HIPÓTESIS: BE y AD son bisectrices y se cortan
en I.
TESIS: I es un punto de la bisectriz de
ACB
Cuadriláteros
16
1. IP  IR
1. De hipótesis, un punto de la bisectriz de un ángulo
2. IR  IQ
2. De hipótesis, un punto de la bisectriz de un ángulo
equidista de los lados del ángulo
3. IP  IQ
4. I es un punto de la
bisectriz de
equidista de los lados del ángulo
3. De 1 y 2, propiedad transitiva
4. De 3, por equidistar de los lados del ángulo.
ACB
4)
1. DM AB EH
2. DEHM es un trapecio
3. CHB es un triángulo rectángulo
CB
2
CB
5. DE 
2
4. HM 
6. HM  DE
7. DEHM es un trapecio isósceles
1. De hipótesis, teorema de la paralela media
2. De 1, definición de trapecio
3. De hipótesis, definición de altura y de triangulo
rectángulo
4. De 3, en un triángulo rectángulo la mediana a la
hipotenusa mide la mitad de esta
5. De hipótesis, teorema de la paralela media
6. De 4 y 5, propiedad transitiva
7. De 6 y 2, definición de trapecio isósceles.
Cuadriláteros
17
PROPOSICIONES DE VERDADERO – FALSO:
1. Un triángulo isósceles tiene sus tres ángulos agudos. (
)
2. Una recta que biseca el ángulo externo opuesto a la base de un triángulo isósceles es
paralela a la base. (
)
3. La mediana de un triángulo es perpendicular a la base. (
)
4. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios
5. Dos rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas (
)
6. Si se cortan dos rectas mediante una transversal se forman exactamente cuatro parejas
de ángulos alternos internos. (
)
7. En un triángulo rectángulo en el cual la medida de uno de sus ángulos agudos es 30º, la
medida de la hipotenusa es igual a la mitad de la medida del lado opuesto al ángulo de
30º (
)
8. Cuando se cortan dos rectas paralelas mediante una transversal, los dos ángulos
interiores del mismo lado de la transversal son complementarios. (
)
9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. (
)
10. Un paralelogramo equilátero es siempre un cuadrado. (
)
11. Las diagonales de un paralelogramo son congruentes. (
)
12. Las diagonales de un rectángulo son congruentes, (
)
13. Un rectángulo es un paralelogramo. (
)
14. Un paralelogramo es un rectángulo (
)
15. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un
cuadrado. (
)
16. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles forman ángulos congruentes con las
bases. (
)
17. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se
bisecan mutuamente. (
)
18. La base media de un trapecio biseca a las diagonales (
)
19. Los segmentos que unen los puntos medios consecutivos de los lados de un rectángulo
forman un rombo. ( )
20. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un rectángulo son paralelas. (
)
21. Las bisectrices de los ángulos consecutivos interiores de un paralelogramo son
perpendiculares.( )
1.
2.
3.
4.
EJERCICIOS
AC es una diagonal del rombo ABCD. Si m ( B) = 120º, hallar m ( BAC).
En un paralelogramo ABCD, m( A) = 2 m ( B). Hallar m( A )
En el triángulo ABC. AD  DB (A – D – B), m( C) = 90º, m ( B) = 30º. AC = 35 cm.
Hallar BD y la mediana CD
ABCD es un trapecio. E y F son puntos medios de los lados no paralelos.
Cuadriláteros
18
5.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
DE es bisectriz de ADC
BF es bisectriz de ABC
TESIS: DE FB
6. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es
isósceles.
7. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares,
entonces el paralelogramo es un rombo.
8. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son
perpendiculares.
9.
HIPÓTESIS: SRQT es un paralelogramo
QL es la bisectriz de TQR
SM es la bisectriz de
TSR
TESIS: SLQM es un paralelogramo.
10.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo y las diagonales
se cortan en E.
TESIS: E es el punto medio de FG
11. Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se obtiene
un paralelogramo.
12. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un rectángulo
forman un rombo.
13.
Cuadriláteros
19
14. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados paralelos de un
trapecio, biseca a la base media del trapecio.
15.
HIPÓTESIS: M y N son puntos medios de las bases del
trapecio. E y F son los puntos medios de los lados no
paralelos. P y Q son los puntos medios de las diagonales.
1)EP  QF
TESIS: 2)ES  SF
3)S es punto medio de PQ
16.
HIPÓTESIS: Triangulo ABC es isósceles con CA  CB
D, E, F son puntos medios
TESIS: CDEF es un rombo
17.
HIPÓTESIS; ELMN es un cuadrilátero
A, B, C, D son puntos medios de los lados del
Cuadrilátero.
TESIS: CA y DB se bisecan mutuamente.
18.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
P es el punto medio de AD
Q es el punto medio de BC
TESIS: AR  RS  SC
19. Demostrar que si cada diagonal de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero,
entonces el cuadrilátero es un rombo.
20.
Cuadriláteros
20
21
22.
HIPÓTESIS: G es el punto medio de AC ; H es el punto
medio de medio de BC . AH  HR y BG  GS
TESIS:
1)S  C  R
2)CR  CS
AYUDA: Trazar BR y AS
23. En el trapecio isósceles ABCD. AD  BC . Las diagonales se cortan en P. Demostrar que
el triángulo APB es isósceles.
24. En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de
BD . AB CD . CH es perpendicular a AB con A – H – B. Demostrar que MHBN es un
paralelogramo.
25.
HIPÓTESIS:
CD es mediana
E y F son puntos medios
TESIS: M es punto medio de CD y EF
AYUDA: Trazar los segmentos DF y ED.
Cuadriláteros
21
26.
ABCD es un rectángulo. F es punto medio de AD y E es
punto medio de DC , se traza la diagonal DB que corta a
FE en G. Demostrar que G es punto medio de FE
AYUDA: Trazar la diagonal AC
27.
ABCD es un rombo de lado 20 centímetros. Se traza AN  AD ,
AN corta a la diagonal DB en M y al lado BC en N, si
5MN  3 AM , hallar BN.
28.
ABCD es un paralelogramo, hallar el valor del
ángulo alfa
Cuadriláteros
22
29. En el triángulo ABC, D es el punto medio de AC ,
E  B y AB  10 . Calcular la
longitud de ED
Algunos ejercicios tomados de los siguientes textos:
 Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
 Geometría Euclidiana de Hemmerling
 Curso de Geometría. Reunión de profesores
 Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
 Geometría de Edwin E. Moise
 De Internet
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.
Cuadriláteros
23
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CUADRILÁTEROS

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
DE es bisectriz de ADC
BF es bisectriz de ABC
A–E–B;D–F–C
TESIS: DE FB
m( ADC )
2
m( ABC )
2. m( 2) 
2
3.m( ADC)=m( ABC)
m( ADC )
4. m( 2) 
2
5. m( 1) = m( 2)
6. C  A
7. 3  4
1. m( 1) 
8. DC AB
1. De hipótesis. Definición de bisectriz
2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo
4. Sustitución de 3 en 2.
5. De 1 y 4. Propiedad transitiva.
6. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo
7. De 5 y 6. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes el
tercer ángulo del primero es congruente al tercer ángulo del
segundo.
8. De hipótesis. Los lados opuestos de un paralelogramo son
paralelos
9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas
10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.
11. De 10. Por formar ángulos correspondientes congruentes
9. 4  5
10. 3  5
11. DE FB
 Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es
isósceles.
HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB
A B
TESIS: ABCD es un trapecio isósceles
1. Se trazan las alturas DH y 1. Construcción auxiliar
CE
2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta AB
2. DH CH
3.
4.
5.
6.
7.
DC HE
HECD es un paralelogramo
DH  CE
A 
B
 DHA   CEB
3. De hipótesis. DC AB
4. De 2 y 3. Definición de paralelogramo.
5. De 4. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.
6. De hipótesis.
7. De 1, 5 y 6. Por ser triángulos rectángulos con un
cateto y un ángulo agudo congruentes.
Cuadriláteros
8. AD  BC
9. ABCD es
isósceles
24
un
8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos  s
trapecio 9. De 8 y de hipótesis. Definición de trapecio isósceles.
 Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son
perpendiculares.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
AE es bisectriz de DAB
BE es bisectriz de ABC
TESIS: AE  EB
1.
1. De hipótesis. Definición de bisectriz
m( DAB )
m( 1) 
 2  m( 1)  m( DAB)
2
2
m( ABC )
m( 2) 
 2  m( 2)  m( ABC )
2
3. m( DAB) + m( ABC) = 180°
4. 2 m( 1) + 2 m( 2) = 180°
5. m( 1) + m( 2) = 90°
6. m( E) = 90°
7. AE  EB
2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3. De hipótesis. Los ángulos consecutivos en
un paralelogramo son suplementarios
4. Sustitución de 1 y 2 en 3
5. De 2. Algebra
6. De 5. Los ángulos interiores de un triángulo
suman 180°
7. De 6. Definición de perpendicularidad

1. M es punto medio de AD y N es punto
1. De hipótesis
medio de BC
2. MN es la base media del trapecio
2. De hipótesis. Definición de base media
3. MN
3. De 2. La base media es paralela a las
bases
4. De 3 y M – P – Q – N
DC
4. MP DC
Cuadriláteros
25
5. En ADC : P es punto medio de AC
5. De 4 y 1. Si por el punto medio de un lado
de un triángulo se traza una paralela a u n
lado, esa paralela pasa por el punto medio
del otro lado.
Continuar con la demostración y demostrar que Q es el punto medio de la diagonal DB.

HIPÓTESIS: ELNM es un cuadrilátero
A, B, C, D son los puntos medios de los lados
del cuadrilátero.
TESIS: AC y DB se bisecan mutuamente.
1. Se traza la diagonal EN
2. D es punto medio EM y C es punto medio de
MN
3. DC es paralela media en el  EMN
EN
; DC EN
2
5. A es punto medio de EL y B es punto medio de
LN
6. AB es paralela media en el  ELN
4. DC 
EN
; AB EN
2
8. DC  AB y DC AB
9. ABCD es un paralelogramo
7. AB 
10. AC y DB se bisecan
1. Construcción auxiliar
2. De hipótesis
3. De 2. Definición de la paralela
media en un triángulo.
4. De 3. Teorema de la paralela media
5. De hipótesis.
6. De 5. Definición de la paralela media
en un triángulo.
7. De 6. Teorema de la paralela media
8. De 4 y 7. Propiedad transitiva
9. De 8. Por tener un par de lados
congruentes y paralelos.
10. De 9. Las diagonales de un paralelogramo
se bisecan.
Cuadriláteros
26
HIPÓTESIS: BT es altura
A–P–B
PR  AC y PS  BC
TESIS: PR + PS = BT
1. Se traza PQ  BT
2. AC  BT
3. PQ AC
4. PR  AC
5. BT  AC  QT  AC
6. PR QT
7. RPQT es un paralelogramo
8. PR  QT
9. BT = BQ + QT
10. BT = BQ + PR
11.  PQB y  PSB son rectángulos
12.
A 
13.
QPB 
ABC
A
14. QPB 
ABC
15. PB  PB
16.  PQB   PSB
17. BQ = PS
18. BT = PS + PR
1. Construcción auxiliar.
2. De hipótesis. Definición de altura.
3. De 1 y 2. Por ser perpendiculares a la misma
recta
4. De hipótesis
5. De hipótesis. Definición de altura
6. De 4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma
recta
7. De 3 y 6. Definición de paralelogramo
8. De 7. Los lados opuestos de un
son
congruentes
9. Suma de segmentos
10. Sustitución de 8 en 9.
11. De 1 y de hipótesis. Definición de triangulo
rectángulo.
12. De Hipótesis. Los ángulos de la base de un
triángulo isósceles son congruentes.
13. De 3. Por ser ángulos correspondientes entre
paralelas.
14. De 12 y 13. Propiedad transitiva
15. Propiedad reflexiva
16. De 11, 14, 15. Por ser triángulos rectángulos
con un ángulo agudo y la hipotenusa
congruentes.
17. De 16. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
18. Sustitución de 17 en 10.
Cuadriláteros
27
Solución del ejercicio 23
En el trapecio isósceles ABCD. AD  BC . Las diagonales se
cortan en P. Demostrar que el triángulo APB es isósceles.
1.
DAB  CBA
2. AD  BC
3. AB  AB
4. DAB  CBA
5.
1 2
6. APB es isósceles
1. De hipótesis. Los ángulos de la base de un trapecio isósceles
son congruentes
2. De hipótesis.
3. Propiedad reflexiva
4. De 1, 2, 3. L – A – L
5. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
6. De 5. Por tener dos ángulos congruentes
 En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de
BD . AB CD . CH  AB ; con A – H – B. Demostrar que MHBN es un paralelogramo.
1. AHC es un triángulo
rectángulo
1. HM es la mediana sobre la hipotenusa
2. HM  MA  MC
2. De 1. En un triángulo rectángulo la mediana sobre la
hipotenusa mide la mitad de esta.
3. De 2. Definición de triangulo isósceles.
4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triángulo
isósceles.
5. Leer el ejercicio anterior
6. De 5. Por ser ángulos de la base de un triángulo
isósceles
7. De 4 y 6. Propiedad transitiva.
8. De 7. Por formar ángulos correspondientes congruentes.
3.  AMH es isósceles
4.
MAH  MHA
5.  APB es isósceles.
6.
MAH  PBA
 PBA
8. HM BN
9. AC  BD
7.
MHA
10. BN  AM
11. BN  AM  HM  BN
9. De hipótesis. Las diagonales de un trapecio isósceles son
congruentes.
10. De 9 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos
congruentes.
11. De 10 y 2. Propiedad transitiva
Cuadriláteros
12. MHBN es un
paralelogramo.
28
12. De 11 y 8. Por tener un par de lados congruentes y
paralelos.
 Se da un triángulo ABC, con P punto medio de AB , N punto medio de BC y M punto
medio de CA . Demostrar 1) APNM es un paralelogramo. 2) PBNM es un paralelogramo
3) CMPN es un paralelogramo. AYUDA: Utilizar varias veces el teorema de la paralela
media en un triángulo y la definición de paralelogramo.
 Sea un triángulo ABC, rectángulo en A, K es el centro de la circunferencia inscrita en el
triángulo. Demostrar que la hipotenusa es el lado del cuadrado inscrito en la
circunferencia que pasa por los puntos B, C, K.
Se trazan los diámetros CE y BD , como las diagonales
de un cuadrado se bisecan y son perpendiculares,
vamos a demostrar que estos diámetros son
perpendiculares.
K es el incentro, es decir el punto donde se cortan las
bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo,
por consiguiente KC y KD son bisectrices.
m( ACB)  m( ABC )  90º Porque los ángulos agudos
de un triángulo rectángulo son complementarios,
entonces se tiene que m( KCB)  m( KBC )  45º ,
porque KC y KD son bisectrices.
Como los ángulos interiores de todo triangulo suman 180º entonces en el triángulo CKB el
ángulo K mide 135º y por lo tanto el arco CDEB mide 270º y por resta de arcos el arco
CKB mide 90º y por lo tanto el ángulo COB mide 90º por ser un ángulo central. Entonces
tenemos que las diagonales CE y BD se bisecan y son perpendiculares, por lo tanto CB
es el lado de un cuadrado.
 El triángulo ABC es isósceles con BA = BC, se traza la altura AH . Desde un punto P de
la base AC , se trazan los segmentos PG y PF perpendiculares a los lados congruentes
del triángulo, B – G – C y B – F – A. Demostrar que AH  PG  PF
HIPÓTESIS: Triangulo ABC isósceles con BA = BC
AH es altura
PG  BC y PF  BA
B – G – C y B – F – A.
TESIS: AH  PG  PF
1.Se traza DP  AH
2. PDHG es un paralelogramo
3. PG = DH
1. Construcción auxiliar
2. De hipótesis y de 1, ¿Por qué?
3. De 2, ¿Por qué?
Cuadriláteros
4. AH  AD  DH
5. AH  AD  PG
6.El triángulo AHC es rectángulo
7.El complemento de
HCA es HAC
8. El triángulo PFA es rectángulo
9.El complemento de
FAP es FPA
10. HCA  FAP
11. HAC  FPA
12.El triángulo PDA es rectángulo
13. AP  AP
14. PDA  PFA
15. PF  AD
16. AH  PG  PF
29
4. Suma de segmentos
5. Sustitución de 3 en 4
6. De hipótesis, definición de altura y triangulo rectángulo
7. De 6, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios
8. De hipótesis, definición triangulo rectángulo
9. De 8, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
complementarios
10. De hipótesis, ¿Por qué?
11. De 7, 9 y 10, por tener el mismo complemento
12. De 1, definición de triangulo rectángulo
13. ¿Cuál es la razón?
14. De 13, 11 y 8, ¿Por qué?
15. De 14, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes.
16. Sustitución de 15 en 5

ABCD es un paralelogramo, en el cual DF  7 y FC  3
EFB  BFC , E es el punto medio de DA , D – F – C
encontrar EF
Solución:
ABFD es un trapecio ¿Por qué? , se traza la base media que corta a FB en G
tenemos que EG  EF  8.5
AB  10
DF  AB 7  10
EG 

 8.5
2
2
DC  AB
ABF  
EG  AB
EGF  ABF  
Por lo tanto el triángulo EGF es isósceles y por lo tanto
Cuadriláteros
30
El triángulo ABC es isósceles con CA  CB . Se toma un punto cualquiera D sobre la base
AB, se traza la altura AG . Demostrar que DE  DF  AG
ABC es isósceles
HIPÓTESIS:
AG es una altura
D es un punto de AB
DF  CB; DE  CA
TESIS: DE  DF  AG
1. DF
1. De hipótesis. Por ser perpendiculares a la
AG
2.Por D se traza una perpendicular a AG
que la corta en H
3. DH FG
4.DFGH es un paralelogramo
5. DF  HG
6.Los triángulos AED y DHA son
rectángulos
7. B  CAB
misma recta BC
2.Construccion auxiliar
3.Por ser perpendiculares a la misma recta AG
4.De 3 y 1, definición de paralelogramo
5.De 4, por ser lados opuestos de un paralelogramo
6. De hipótesis, definición de triangulo rectángulo
HDA  CAB
10. AD  AD
7.De hipótesis, por ser ángulos de la base de un
triángulo isósceles
8.De 3, por ser ángulos correspondientes entre
paralelas
9.De 7 y 8, propiedad reflexiva
10.Propiedad reflexiva
11. AED  DHA
11.De 9 y 6, por tener congruentes la hipotenusa y
8.
B  HDA
9.
Cuadriláteros
31
un ángulo agudo
12.De 11, por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes
13.Suma de segmentos
14.Sustitucion de 12 y 5 en 13
12. DE  AH
13. AG  AH  HG
14. AG  DE  DF
Demostrar que en un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es también la bisectriz
del ángulo formado por la altura y la mediana relativa a la hipotenusa.
HIPÓTESIS:
Triangulo ABC rectángulo en A
AM mediana sobre la hipotenusa
AD bisectriz del ángulo recto
AH altura sobre la hipotenusa
TESIS: AD es bisectriz de
BC
2
BC
2. MB 
2
3. AM  MB
HAM
1. En un triángulo rectángulo, la mediana sobre la
hipotenusa mide la mitad de esta
1. AM 
2. De hipótesis, por definición de mediana M es punto
medio
9. 4  B
10. 1  4
11. m( 1)  m( 2)  m( 3)  m( 4)
3. De 1 y 2, propiedad transitiva
4. De 3, definición de triangulo isósceles
5. De 4, los ángulos de la base de un triángulo isósceles
son congruentes
6. De hipótesis, definición de altura.
7. De 6, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
son complementarios
8. De hipótesis, los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios
9. De 8 y 9, por tener el mismo complemento
10. De 5 y 9, propiedad transitiva
11. De hipótesis, definición de bisectriz
12. m( 2)  m( 3)
12. De 11 y 10, propiedad cancelativa de las igualdades
4.Triangulo AMB es isósceles
5. 1 
B
6.Triangulo AHC es rectángulo
7.El complemento de
4 es
8. El complemento de
B es
13. AD es bisectriz de
C
HAM
C
13. De 12, definición de bisectriz
Cuadriláteros
32
SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS PARES
2. En un paralelogramo ABCD, m( A) = 2 m ( B). Hallar m( A)
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
m( A)  2m( B)
Hallar la medida del ángulo A
1. m( A)  2m( B)
6. 2m( B)  m( B)  2m( B)  m( B)  360
1. De hipótesis
2. De hipótesis, los ángulos opuestos de
un paralelogramo son congruentes
3. Sustitución de 1 en 2
4. De hipótesis, los ángulos opuestos de
un paralelogramo son congruentes
5. La suma de los ángulos interiores de
un paralelogramo es de 360°
6. Sustitución de 1, 2 y 4 en 5
7. 6m( B)  360  m( B)  60
7. De 6, algebra
8. m( A)  2m( B)  2(60)  120
8. Sustitución de 7 en 1
2. m( C )  m( A)
3. m( C )  2m( B)
4. m( D)  m( B)
5. m( A)  m( B)  m( C )  m( D)  360
4.
ABCD es un trapecio. E y F son puntos medios de los lados no paralelos.
Hallar EF, si DC  10 y AB  14
EF es la base media del trapecio, por lo tanto
AB  DC 14  10
EF 

 12
2
2
Hallar ER, si DC  10 y AB  14
ER es la paralela media del triángulo ADC, por lo tanto
DC 10
ER 
 5
2
2
Cuadriláteros
33
Hallar DC, si EF  24 y AB  30
EF es la base media del trapecio, por lo tanto
AB  DC
EF 
 2 EF  AB  DC  2 EF  AB  DC
2
 2(24)  30  DC  48  30  DC
DC  18
Hallar RS, si EF  24 y DC  20
RS  EF  ER  SF
ER es la paralela media del ADC , por lo tanto
DC 20
ER 

 10
2
2
SF es la paralela media del BCD , por lo tanto
DC 20
SF 

 10
2
2
RS  EF  ER  SF  24  10  10  4
Hallar AB, si ER  5 y RF  7
EF  ER  RF  5  7  12
Hallamos DC
ER es la paralela media del ADC , por lo tanto
DC
DC
ER 
5
 DC  10
2
2
EF es la base media del trapecio, por lo tanto
AB  DC
AB  10
EF 
 12 
 24  AB  10  24  10  AB
2
2
AB  14
Hallar SF, si ER  5 y RF  7
ER es la paralela media del ADC , por lo tanto
DC
DC
ER 
5
 DC  10
2
2
SF es la paralela media del BDC , por lo tanto
DC 10
SF 
 5
2
2
Cuadriláteros
34
6. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es
isósceles.
HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB
A B
TESIS: ABCD es un trapecio isósceles
1. Se trazan las alturas DH y
CE
2. DH CH
3. DC HE
4. HECD es un paralelogramo
5. DH  CE
6.
A 
B
7.  DHA   CEB
1. Construcción auxiliar
2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta AB
3. De hipótesis. DC AB
4. De 2 y 3. Definición de paralelogramo.
5. De 4. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.
6. De hipótesis.
7. De 1, 5 y 6. Por ser triángulos rectángulos con un
cateto y un ángulo agudo congruentes.
8. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son
perpendiculares.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
AE es bisectriz del DAB
BE es bisectriz del CBA
TESIS: AE  EB
m( DAB )
 2  m( 1)  m( DAB)
2
m( ABC )
2 m( 2) 
 2  m( 2)  m( ABC )
2
1. m( 1) 
3. m(
DAB) + m(
ABC) = 180°
4. 2 m( 1) + 2 m( 2) = 180°
5. m( 1) + m( 2) = 90°
6. m(
E) = 90°
7. AE  EB
1. De hipótesis. Definición de bisectriz
2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3. De hipótesis. Los ángulos consecutivos
en un paralelogramo son suplementarios
4. Sustitución de 1 y 2 en 3
5. De 2. Algebra
6. De 5. Los ángulos interiores de un
triángulo suman 180°
7. De 6. Definición de perpendicularidad
Cuadriláteros
35
10.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo y las
diagonales se cortan en E.
TESIS: E es el punto medio de FG
6. FE  EG
1. De hipótesis. Los lados opuestos de un paralelogramo
son paralelos
2. De 1, por ser ángulos alternos internos entre paralelas
3. Por ser ángulos opuestos por el vértice
4. De hipótesis, las diagonales de un paralelogramo se
bisecan
5. De 2, 3 y 4, A – L – A
6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
7. E es el punto medio de FG
7. De 6, definición de punto medio
1. DC
AB
2. 1  2
3. 3  4
4. DE  BE
5. DEF  BEG
Cuadriláteros
36
12. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un rectángulo
forman un rombo.
HIPÓTESIS: ABCD es un rectángulo
E, F, G y H son puntos medios
TESIS: EFGH es un rombo.
1. AB  DC
2. AE  EB  CG  GD
3. AD  BC
4. AH  HD  CF  FB
5. HAE  FBE  FCG  GDH
6. EF  FG  GH  HE
7. EFGH es un rombo
1. De hipótesis, por ser lados opuestos de un
rectángulo
2. De hipótesis y 1, por ser mitades de segmentos
congruentes
3. De hipótesis, por ser lados opuestos de un
rectángulo
4. De hipótesis y 3, por ser mitades de segmentos
congruentes
5. De hipótesis, por ser triángulos rectángulos con
los catetos congruentes
6. De 5, por ser hipotenusas de triángulos
rectángulos congruentes
7. De 6, por ser un cuadrilátero con todos sus lados
congruentes
Cuadriláteros
37
14. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados paralelos de un
trapecio, biseca a la base media del trapecio.
HIPÓTESIS: AB DC
EF es la base media del trapecio ABCD
M es punto medio de DC
N es punto medio de AB
1. EF
AB DC
2. EP AN
DM
3. E es punto medio de AD
4. P es punto medio de MN
TESIS: EP  PF
1. De hipótesis, definición de base media de un trapecio
2. De 1 y de hipótesis.
3. De hipótesis, definición de base media de un trapecio
4. De 3 y 2, si por el punto medio de un lado no paralelo de
un trapecio se traza una paralela a las bases, esta paralela
pasa por el punto medio del otro lado no paralelo, porque
ANMD es un trapecio.
5. EP es la base media del
trapecio ANMD
5. De 3 y 4, definición de base media de un trapecio
6. EP 
6. La base media de un trapecio es igual a la semisuma de
las bases
AN  DM
2
7. F es punto medio de BC
7. De hipótesis, definición de base media de un trapecio
8. FP es la base media del
trapecio NBCM
8. De 7 y 4, definición de base media de un trapecio
9. FP 
9. La base media de un trapecio es igual a la semisuma de
las bases
NB  MC
2
10. AN  NB y DM  MC
AN  DM
11. FP 
2
12. EP  PF
10. De hipótesis, definición de punto medio
11. Sustitución de 10 en 9
12. De 11 y 6, propiedad transitiva
Cuadriláteros
38
16.
HIPÓTESIS: Triangulo ABC es isósceles con CA  CB
D, E, F son puntos medios
TESIS: CDEF es un rombo
1. CA  CB
2. CD  CF
CB
2
CB
4. CF 
2
3. DE 
5. CF  DE
CA
2
CA
7. CD 
2
6. EF 
8. CD  EF
9. CD  CF  DE  EF
10. CDEF es un rombo
1. De hipótesis
2. De hipótesis y de 1, por ser mitades de segmentos
congruentes
3. De hipótesis, si se unen los puntos medios de dos lados de
un triángulo, se obtiene un segmento paralelo al tercer lado y su
medida es la mitad de este lado
4. De hipótesis, definición de punto medio de un segmento
5. De 3 y 4, por medir lo mismo
6. De hipótesis, si se unen los puntos medios de dos lados de
un triángulo, se obtiene un segmento paralelo al tercer lado y su
medida es la mitad de este lado
7. De hipótesis, definición de punto medio de un segmento
8. De 6 y 7, por medir lo mismo
9. De 2, 5 y 8, propiedad transitiva
10. De 9, por ser un cuadrilátero con todos sus lados
congruentes
Cuadriláteros
39
18. Demostrar que un paralelogramo al unir dos vértices opuestos con los puntos medios de
sus lados opuestos, determinan segmentos que trisecan la diagonal.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
M es punto medio de DC
N es punto medio de AB
A – P – M; C – Q – N
1. DC AB
2. MC AN
3. DC  AB
DC
2
AB
5. AN 
2
DC
6. AN 
2
7. MC  AN
4. MC 
8. ANCM es un paralelogramo
9. MA CN
TESIS: DP  PQ  QB
1. De hipótesis definición de paralelogramo
2. De 1 y de hipótesis D – M – C y A – N – B
3. De hipótesis, por ser lados opuestos de un
paralelogramo
4. De hipótesis, definición de punto medio.
5. De hipótesis, definición de punto medio.
6. Sustitución de 3 en 5.
7. De 4 y 6. Propiedad transitiva
8. De 7 y 2, por tener dos lados opuestos congruentes
y paralelos.
9. De 8. Por ser lados opuestos de un paralelogramo
10. De 9 y de hipótesis A – P – M; C – Q – N
11. En CQD : P es punto medio 11. De hipótesis y de 10. Si por el punto medio de un
lado de un triángulo se traza una paralela a un lado del
de DQ
triángulo, pasa por el punto medio del otro lado.
12. De 11, definición de punto medio.
12. DP  PQ
10. MP CQ
Cuadriláteros
40
20.
1. Los triángulos DMC, DMA, AMB, BMC, son triángulos rectángulos
2. MS , MP, MQ, MR son medianas
3. MS 
DC
2
4. MP 
DA
2
5. MQ 
BA
2
6. MR 
BC
2
DA BA BC DC



7. MP  MQ  MR  MS 
2
2
2
2
1. De hipótesis,
definición de
triángulos
rectángulos.
2. De hipótesis,
definición de la
mediana de un
triangulo
3. De 1 y 2, en un
triángulo
rectángulo, la
mediana sobre la
hipotenusa mide
la mitad de esta.
4. De 1 y 2, en un
triángulo
rectángulo, la
mediana sobre la
hipotenusa mide
la mitad de esta.
5. De 1 y 2, en un
triángulo
rectángulo, la
mediana sobre la
hipotenusa mide
la mitad de esta.
6. De 1 y 2, en un
triángulo
rectángulo, la
mediana sobre la
hipotenusa mide
la mitad de esta
7. Suma de 3, 4, 5
y6
Cuadriláteros
41
DA  BA  BC  DC
8.
2
 2( MP  MQ  MR  MS )  DA  BA  BC  DC
MP  MQ  MR  MS 
8. De 7.
22.
HIPÓTESIS: G es el punto medio de AC ; H es el
punto medio de medio de BC . AH  HR y
BG  GS
TESIS:
1)S  C  R
2)CR  CS
1. Se trazan los segmentos AS y BR
1. Construcción auxiliar
2. G es el punto medio de AC
3. BG  GS
2. De hipótesis
3. De hipótesis
4. G es punto medio de BS
4. De 3, definición de punto medio
5. De 2 y 4, si las diagonales de un cuadrilátero, el
cuadrilátero es un paralelogramo
6. De 5, los lados opuestos de un paralelogramo
son congruentes
7. De hipótesis
8. De hipótesis
9. De 8, definición de punto medio
10. De 7 y 9, La misma razón de 5
11. De 10, la misma razón de 6
12. De 11 y 6, propiedad transitiva
13. De 5, los lados opuestos de un paralelogramo
son paralelos
14. De 13, por ser ángulos alternos internos entre
paralelas.
15. De 10, los lados opuestos de un paralelogramo
son paralelos
16. De 15, por ser ángulos alternos internos entre
paralelas.
5. ABCS es un paralelogramo
6. CS  AB
7. H es el punto medio de medio de BC
8. AH  HR
9. H es punto medio de AR
10. ABRC es un paralelogramo
11. AB  CR
12. CS  CR
13. AB CS
14. 1 
CAB
15. AB CR
16.
2  CBA
17.
m( CAB)  m( CBA)  m( 3)  180 17. Suma de los ángulos interiores del ABC
18. m( 1)  m( 2)  m( 3)  180
18. Sustitución de 14 y 16 en 17
19. S  C  R (colineales)
19. De 18, porque se forma un ángulo llano
Cuadriláteros
42
24. En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de
BD . AB CD . CH es perpendicular a AB con A – H – B. Demostrar que MHBN es un
paralelogramo.
HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio isósceles
M es punto medio de AC
N es punto medio de BD
AB CD
CH  AB
A H  B
TESIS: MHBN es un paralelogramo
1. CHA es rectángulo
2. M es punto medio de AC
1. De hipótesis, definición de triangulo rectángulo
2. De hipótesis
3. HM es mediana sobre la hipotenusa
3. De 1 y 2, definición de mediana
AC
2
AC
5. HM 
2
6. HM  AM
7. AMH es isósceles
4. AM 
4. De 2, definición de punto medio
5. De 3, 2 y 1, en un triángulo rectángulo la
mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta
15. m( DBA)  m( CBA)  m( 4)
6. De 4 y 5, por medir lo mismo
7. De 6, definición de triangulo isósceles
8. De 7. Por ser los ángulos de la base de un
triángulo isósceles
9. De hipótesis, por ser los ángulos de la base de
un trapecio isósceles
10. De hipótesis, por ser los lados no paralelos de
un trapecio isósceles
11. Propiedad reflexiva
12. De hipótesis. Las diagonales de un trapecio
isósceles son congruentes
13. De 10, 11 y 12, teorema L – L – L
14. De 13, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
15. Resta de ángulos
16. m( 1)  m( DAB)  m( 3)
16. Resta de ángulos
17. m( 1)  m( CBA)  m( 4)
17. Sustitución de 9 y 14 en 16
18. m( DBA)  m( 1)
18. De 15 y 17, propiedad transitiva
19. m( DBA)  m( 2)
19. Sustitución de 8 en 18.
8. 1 
9.
2
DAB  CBA
10. AD  BC
11. DC  DC
12. AC  BD
13. ADC  BDC
14.
3
4
Cuadriláteros
20. NB HM
21. NB  AM
22. NB  HM
23. MHBN es un paralelogramo
43
20. De 19, por formar ángulos correspondientes
congruentes.
21. De hipótesis y de 12, por ser mitades de
segmentos congruentes
22. De 21 y 6, propiedad transitiva
23. De 22 y 20, por tener dos lados opuestos
paralelos y congruentes.
26.
ABCD es un rectángulo. F es punto medio de
AD y E es punto medio de DC , se traza la
diagonal DB que corta a FE en G. Demostrar
que G es punto medio de FE
1. PD  PB
2. PA  PC
3. AC  BD
4. PD  PB  PA  PC
5. DPA es isósceles
6. 1 
7. FE
8.
2
AC
DFE  1
9. DFE  2
10. DGF es isósceles
11. GD  GF
12. DPC es isósceles
13.
EDG  3
14.
4 3
15.
4  EDG
1. De hipótesis, las diagonales de un rectángulo se
bisecan
2. La misma razón de 1
3. Las diagonales de un rectángulo son congruentes
4. De 1, 2 y 3, por ser mitades de segmentos
congruentes
5. De 4, definición de triangulo isósceles
6. De 5, por ser los ángulos de la base de un
triangulo isósceles
7. Teorema de la paralela media en ADC , porque
E y F son puntos medios de dos lados del triangulo
8. De 7, por ser ángulos correspondientes entre
paralelas
9. De 8 y 6, propiedad transitiva
10. De 9, por tener dos ángulos congruentes
11. De 9 y 10, en un triángulo isósceles a los
ángulos congruentes se oponen lados congruentes
12. De 4, definición de triangulo isósceles
13. De 12, por ser los ángulos de la base de un
triangulo isósceles
14. De 7, por ser ángulos correspondientes entre
paralelas
15. De 13 y 14, propiedad transitiva
Cuadriláteros
16. DGE es isósceles
17. GD  GE
18. GF  GE
19. G es punto medio de FE
44
16. De 15, por tener dos ángulos congruentes
17. De 15 y 16, en un triángulo isósceles a los
ángulos congruentes se oponen lados congruentes
18. De 17 y 11, propiedad distributiva
19. De 18, definición de punto medio de un
segmento
28.
ABCD es un paralelogramo, hallar el valor del
ángulo alfa
1. AB DC
2. 41  m( FDC )  83  180
3. m( FDC )  56
4. m( FDC )  m( EFB)  56
5. m(
 )  180  56  124
1. Los lados opuestos de un paralelogramos son
paralelos
2. Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son
suplementarios
3. De 2, algebra
4. De 1. Por ser ángulos correspondientes entre
paralelas
5. Por ser suplementarios
Otra manera de resolverlo:
m( A)  41 Porque en un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes
m(  )  83  41  124 porque  es un ángulo exterior del AFD