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Congruencia de triángulos.
1
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma.
DEFINICIÓN:
Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo
que sus ángulos.
Si ABC  DEF , entonces:
AB  FD; AC  DE; BC  FE
A  D; B  F ; C  E
Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa.
Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los
teoremas se da el siguiente postulado
POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO –
LADO (L – A – L)
Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son
respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro.
Si
AB  DF ; BC  FE; B  F
Entonces ABC  DEF
DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que
se deduce fácilmente de lo demostrado antes.
TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR)
Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.
AB  DE; BC  EF  ABC  DEF
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA
En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA  CB
TESIS:
CAB  CBA
RAZÓN
1. En CA se toma un punto D y en CB se
toma un punto E, tal que CD  CE
AFIRMACIÓN
1. Postulado de construcción de segmentos
2. Dos puntos determinan un segmento
2. Trazamos DB y AE
3. CA  CB
4. CD  CE
5. C  C
6.  CAE  CBD
3. De hipótesis
4. De 1. Construcción.
5. Propiedad reflexiva
6. L – A – L. De 3, 4, 5
7. De 6. Ángulos correspondientes en
7. CAE  CBD
triángulos congruentes.
8. De 1
8. CD  CE
9. CA + AD = CB + BE
9. De 8. Adición de segmentos
10. CA + AD = CA + BE
10. Sustitución de 3 en 9
11. De 10. La ley cancelativa
11. AD  BE
12. De 6. Partes correspondientes de
12. CDB  CEA; DB  AE
triángulos congruentes
13. De 11 y 12. L – A – L
13. ABD  EAB
14. De 13. Ángulos correspondientes en
14. EAB  DBA
triángulos congruentes.
15. CAB  CBA
15. De 14 y 7. Resta de ángulos.
NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triángulo son
congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes.
COROLARIO:
En un triángulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo.
HIPÓTESIS: ABC es un triángulo equilátero
TESIS:
A
B
C
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA
En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y
pertenece a la mediatriz de la base.
HIPÓTESIS: CD es la bisectriz de ACB
ABC es isósceles con CA  CB
A–D–B
TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.
1. CA  CB
2. 1  2
3. CD  CD
4. CDA  CDB
5. AD  DB
6. D punto medio de AB
7. CD es mediana
8.
CDA 
9. m (
CDB
CDA) + m (
CDB) = 180º
10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º
11. 2m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º
12. CD  AB
13. CD es altura
14. CD es mediatriz
1. De hipótesis.
2. De hipótesis. Definición de bisectriz.
3. Propiedad reflexiva
4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L
5. De 4. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
6. De 5. Definición de punto medio
7. De 6. Definición de mediana
8. De 4, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
9. De hipótesis A – D – B. Forman un par
lineal
10. Sustitución de 8 en 9.
11. De 10. Propiedad de los Reales
12. De 11. Definición de perpendicularidad
13. De 12. Definición de altura
14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.
NOTA: Se demuestra también que si en un triángulo, una altura es mediana o bisectriz
entonces el triángulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior.
Demuéstrelo.
TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A)
Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente
congruentes, entonces los triángulos son congruentes.
HIPÓTESIS:
A  P; AB  PQ; B  Q
TESIS: ABC  PQR
NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L)
Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son
congruentes.
AB  DE
HIPÓTESIS: AC  DF
BC  EF
TESIS: ABC  DEF
1. En el semiplano de borde AB que no
contiene a C, se traza AP , tal que
BAP  D y AP  DF
1. Postulado de construcción de ángulos y
segmentos.
2. Trazamos PB
2. Dos puntos determinan un segmento
3. AB  DE
4. APB  DEF
3. De hipótesis.
4. De 3 y 1. L – A – L
5. De 4. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva
7. De 6 y definición de triangulo Isósceles
8. De 7. En un triángulo isósceles a los lados
congruentes se oponen ángulos
congruentes.
9. De hipótesis y de 1
10. De 9. Definición de triangulo isósceles.
11. De 10. En un triángulo isósceles a los
lados congruentes se oponen ángulos
congruentes.
12. Adición de ángulos.
13. Adición de ángulos
14. Sustitución de 8 y 11 en 13
15. De 12 y 14. Ley transitiva
16. De 15, 6, 9. L – A – L
17. De 4 y 16. Propiedad transitiva
5. PB  EF
6. PB  EF  BC
7. PBC es isósceles
8.
BCP  BPC
9. AP  DF  AC
10. CAP es isósceles
11.
ACP  APC
12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP)
13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC)
14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP)
15. m ( ACB) = m( APB)
16. ABC  APB
17. ABC  DEF
Congruencia de triángulos.
5
EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
 Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son
congruentes.
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con AB  AC
BD y CE son bisectrices
TESIS: BD  CE
1. m  ACB   m  ABC 
m  ACB 
2
m  ABC 
ECB  
2
DBC   m  ECB 
1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados
congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.
2. m  DBC  
2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3. m 
3. De hipótesis. Definición de bisectriz
4. m 
5. BC  BC
6. ECB  DBC
7. BD  CE
4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes.
5. Propiedad reflexiva.
6. De 1, 4, 5. A – L – A
7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos
congruentes.
 Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) AC  BD 2) AD  BC
HIPÓTESIS: K es punto medio de AB
K es punto medio de CD
TESIS: AC  BD y AD  BC
1. K es punto medio de AB
1. De hipótesis
2. AK  KB
3. K es punto medio de DC
4. CK  KD
5. AKC  DKB
6. AKC  DKB
2. De 1. Definición de punto medio
7. AC  BD
3. De hipótesis.
4. De 3. Definición de punto medio.
5. Por ser opuestos por el vértice.
6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L
7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes.
NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.
Congruencia de triángulos.
6

HIPÓTESIS: ABC es equilátero.
AE  BF  CD
TESIS: EFD es equilátero.
1.
1. De hipótesis. Un triángulo
equilátero es equiángulo.
2. De hipótesis.
3. De hipótesis. Definición de
triángulo equilátero.
4. De 3. Adición de segmentos
5. Sustitución de 2 en 4
6. De 5. Ley cancelativa
7. De 6, 2, 1. L – A – L
8. De7. Por ser lados
correspondientes en triángulos
congruentes.
9. De 8. Definición de triángulo
equilátero
A B  C
2. AE  BF  CD
3. AB = BC = CA
4. AE+EB=BF+FC=CD+DA
5. AE+EB=AE+FC=AE+DA
6. EB = FC = DA
7. AED  EBF  FCD
8. DE  EF  FD
9.
DEF
es equilátero.

HIPÓTESIS: DE  AE
DE  EC; AE  EB
D A
D – F – H – B; A – G – H – C
TESIS:
1)CEG  BEF
2)CFH  BGH
1.
D A
2. DE  AE
1. De hipótesis.
2. De hipótesis.
3. AEG = DEF
4. DEF  EAG
5. DFE  EGA
3. De hipótesis. Son ángulos rectos.
4. De 1,2, 3, A – L – A
5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
6. EFH  EGH
7. FEG  FEG
8. EF  EG
9. CEG  BEF
10. C  B
11. HFC  HGB
12. EC  EB
13. FC  GB
14. FHC  BGH
7
6. De 5. Por tener el mismo suplemento
7. Propiedad reflexiva
8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes
9. De 6, 7, 8. A – L – A
10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
11. Tienen el mismo suplemento
12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes
13. De 12 y 8. Resta de segmentos
14. De 10, 11, 13. A – L –A

HIPÓTESIS: AB  EF
DB  LF
AC y EH son medianas
AC  EH
TESIS: LEF  ABD
1. LF  DB
1. De hipótesis.
2. AC y EH son medianas
3. H y C son puntos medios
2. De hipótesis
3. De 2. Definición de mediana
4. De 3. Definición de punto medio
4. LH  HF y DC  CB
5. m( HF ) 
m( DB)
m( LF )
y m(CB) 
2
2
5. De 4. Definición de punto medio.
6. HF  CB
6. De 1 y 5. Propiedad transitiva
7. EH  AC; EF  AB
8. EHF  ACB
7. De hipótesis
8. De 6 y 7. L – L – L
9. De 8. Ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
10. De 1, 7, 9. L – A – L
9.
F B
10.
ABD  LEF
Congruencia de triángulos.
8

HIPÓTESIS: CA  CB
DA  DB
C–E–D;A–E–B
TESIS: AB  CD
1. AC  BC
2. ABC es isósceles.
3.
1
2
4. AD  BD
5. ADB es isósceles.
6.
3
4
7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3)
8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4)
9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3)
10. m ( CAD) = m ( CBD)
11. CAD  CBD
12.
ACD  DCB
13. CE es bisectriz
14. CE es altura
15. CE  AB
16. CD  AB
1. De hipótesis.
2. De 1. Definición de triangulo isósceles.
3. De 2. Los ángulos de la base de un triángulo
isósceles son congruentes
4. De hipótesis.
5. De 4. Definición de triangulo isósceles.
6. De 5. En un triángulo isósceles a los lados
congruentes se oponen ángulos congruentes.
7. Adición de ángulos.
8. Adición de ángulos
9. Sustitución de 3 y 6 en 8
10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.
11. De 10 y de hipótesis. L – A – L
12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
13. De 12. Definición de bisectriz
14. De 13 y 2. En un triángulo isósceles la bisectriz del
ángulo opuesto a la base es también altura.
15. De 14. Definición de altura.
16. De 15 y de hipótesis C – E – D
Congruencia de triángulos.
9

HIPÓTESIS: AB  AF
AC  AE
A – B – C; A – F – E
TESIS: 1)BE  CF
2)AD es bisectriz de
1.
2.
3.
4.
5.
AB  AF
A A
AC  AE
ABE  ACF
BE  CF
6. BC  AC  AB
7. FE  AE  AF
8. FE  AC  AB
9. BC  FE
10. ABE  AFC
11. CBD es el
suplemento de ABE
12. DFE es el
suplemento de AFC
13. CBD  DFE
14. C  E
15. BDC  DFE
16. DB  DF
17. AD  AD
18. BAD  FAD
19. BAD  FAD
20. AD es bisectriz de
CAE
CAE
1. De hipótesis
2. Propiedad reflexiva
3. De hipótesis
4. De 1, 2, 3. L – A – L
5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
6. Resta de segmentos
7. Resta de segmentos.
8. Sustitución de 1 y 3 en 7.
9. De 6 y 8. Propiedad transitiva.
10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos
suplementarios
12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos
suplementarios
13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento.
14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
15. De 14, 9, 13. A – L – A
16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
17. Propiedad reflexiva.
18. De1, 16, 17. L – L – L
19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
20. De 19. Definición de bisectriz.
Congruencia de triángulos.
10
PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO
1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente
congruentes a dos ángulos y el lado del otro. (
)
2. Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo
rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. (
)
3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente
congruentes a dos lados y un ángulo del otro. (
)
4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. (
)
5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados
congruentes, son congruentes. (
)
6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. (
)
7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un
lado del otro. (
)
8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. (
)
9. Si los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes s los lados
congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. (
)
10. La altura de un triángulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. (
)
11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos
correspondientes son congruentes. (
)
12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados
correspondientes son congruentes. (
)
13. Ningún par de ángulos de un triángulo escaleno son congruentes. (
)
14. Los lados de un triángulo son rectas. (
)
15. Existe un triángulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. (
)
16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. (
)
17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. (
)
18. La mediana trazada a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base. (
)
19. Un triángulo equilátero es equiángulo. (
)
20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. (
)
21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. (
)
22. La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al lado opuesto al ángulo. (
)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura se tiene que:
AG  GE  ED  FG  GB  BC .
Demostrar que: D  C
Congruencia de triángulos.
11
2.
HIPÓTESIS: CD es altura. AD  DB
TESIS: 1) ACD  BCD
2) CA  CB
3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes
son congruentes.
4.
HIPÓTESIS:
TESIS:
E  B; ADE  ACB; B – C – D – E
EAD  BAC
5.
HIPÓTESIS: AB  AD; AE es bisectriz de
A–C–E
TESIS:
1) BC  CD
2) BCE  DCE
6.
HIPÓTESIS: ABC es equilátero
AE  BF  CD
TESIS: EFD es equilátero.
BAD
Congruencia de triángulos.
12
7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA  CB . D es el punto medio de AC y E es el punto
medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD.
8.
HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C;
D–F–H–B
ED  EA
DE  EC
AE  EB
D A
TESIS:
1)CEG  BEF
2)CFH  BGH
9.
HIPÓTESIS: AI  IC  CD  BI  IH  HF
TESIS: EH  EC
10.
HIPÓTESIS: B es punto medio de AC
AD  CE; BD  BE
TESIS:
1) E  D
2)APC es isosceles.
Congruencia de triángulos.
13
11.
AB  AF
HIPÓTESIS: BD  DF
BAC  FAE
TESIS:
1) AC  AE
2) BC  FE
12. Demostrar que en un triángulo isósceles:
A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB  AC . R es un punto que pertenece al lado
AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC  DB .En base con esta información se
puede demostrar que AR  AD ? Justificar la respuesta.
14.
HIPÓTESIS:
TESIS:
AE  BC
AC  BE
1) DEA  DCB
2)ABD es isosceles
15.
HIPÓTESIS:
TESIS:
1
2
3 4
A–E–CyD–E–B
1) AE  EC
2) DE  AC
Congruencia de triángulos.
14
16.
HIPÓTESIS: AB  AF ; DB  DF ; 1 
TESIS:
2
1) B  F
2) DC  DE
SUGERENCIA: Trazar AD
17.
OED 
HIPÓTESIS:
ODE
A C
AE  DC
TESIS:
1) BF  BH
2)OF  OH
18.
HIPÓTESIS: AF  AB; FE  BC; DF  DB
TESIS:
1) EAD  CAD
2) ED  CD
19.
HIPÓTESIS:
TESIS:
EAD  CAD
AF  AB
1) DF  DB
2) EF  CB
Congruencia de triángulos.
15
20.
HIPÓTESIS: AR  SC; AB  CD; BS  DR
TESIS:
1) BSA  DRS
2) PR  PS
21.
HIPÓTESIS: BD es mediana
AE  BF ; CF  BF
TESIS: AE  CF
22.
HIPÓTESIS:
AC  AE
CF y EB son medianas
TESIS: AD  CE
23.
HIPÓTESIS:
AB  BC; DC  BC
ABD  DCA
TESIS: ABC  DCB
24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de
un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes.
25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC
se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC  AB
26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo
equilátero forman otro triángulo equilátero.
Congruencia de triángulos.
16
27.
HIPÓTESIS: TR  TS ; PR  PS
TESIS:
TRP  TSP
28.
HIPÓTESIS: A – B – C – D
1 2
AB  CD
TESIS:
A D
29.
HIPÓTESIS:
TESIS:
AB  AC
BD  CE
1)ACD  ABE
2)BDC  CEB
30.
HIPÓTESIS:
 
CE biseca a BF
TESIS:
C E
Congruencia de triángulos.
17
31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB  AC , se toma un punto E sobre AB y se
toma un punto F sobre AC de tal manera que AE  AF . Se traza la altura AH , se traza
el triángulo EHF. Demostrar que EHA  FHA y que EFH  FEH
SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En la figura se tiene que:
AG  GE  ED  FG  GB  BC .
Demostrar que: D  C
1. AG  GE  ED  FG  GB  BC
2. AD  AG  GE  ED
3. FC  FG  GB  BC
4. FC  AG  GE  ED
5. AD  FC
6. AGB  FGE
7. GA  GE  GB  GF
8. AGB  FGE
9.
F A
10. FE  AB
11. FEC  ABD
12.
D C
1. De hipótesis
2 Suma de segmentos
3 Suma de segmentos
Sustitución de 1 en 3
5 De 2 y 4, propiedad transitiva
6. Ángulos opuestos por el vértice
7 De 1
8 De 7 y 6 por teorema L – A – L
9. De 8, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
10. De 8 por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
11. De 10, 9 y 5, L – A – L
12. De 11, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
18
2.
HIPÓTESIS: CD es altura. AD  DB
TESIS: 1) ACD  BCD
2) CA  CB
1. AD  DB
2. D es punto medio de
AB
3. CD es mediana
4. CD es altura
5. ABC es isósceles
6. CD es bisectriz
7. ACD  BCD
8. CA  CB
1. De hipótesis
2. De 1, definición de punto medio
3. De 2, definición de mediana
4. De hipótesis
5. De 3 y 4, por ser una mediana también altura
6. De 5, 3 y 4, en un triángulo isósceles la altura sobre la base
es también bisectriz.
7. De 6, definición de bisectriz
8. De 5, definición de triangulo isósceles.
Congruencia de triángulos.
19
3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes
son congruentes.
HIPÓTESIS ABC es isósceles
AD y BE son medianas
TESIS AD  BE
1. ABC es isósceles
2. CA  CB
3. AD es mediana
4. D es punto medio de
1. De hipótesis
2. De 1, definición de triangulo isósceles
3. De hipótesis
4. De 3, definición de mediana
CB
5. BE es mediana
5. De hipótesis
6. E es punto medio de
6. De 5, definición de mediana
CA
7. AE  BD
7. De 6, 4 y 2, por ser mitades de segmentos congruentes
8.
EAB  DBA
9. AB  AB
10. ABE  ABD
11. AD  BE
8. De 1, los ángulos de la base de un triángulo isósceles son
congruentes
9. Propiedad reflexiva
10. De 9, 8 y 7 L – A – L
11. De 10, por ser lados correspondientes de triángulos
congruentes
Congruencia de triángulos.
20
4.
HIPÓTESIS:
TESIS:
E  B; ADE  ACB; B – C – D – E
EAD  BAC
Este ejercicio se demuestra utilizando el teorema L – A – A, que se demostrará en la
siguiente unidad.
1. De hipótesis
1. E  B
2. De 1, por tener dos ángulos congruentes
2. ABE es isósceles
3. De 2, definición de triangulo isósceles
3. AB  AE
4. ADE  ACB
5. ABC  ADE
6.
EAD  BAC
4. De hipótesis
5. De 3, 1 y 4 L – A – A
6. De 5, por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
Congruencia de triángulos.
21
5.
HIPÓTESIS: AB  AD; AE es bisectriz de
A–C–E
TESIS:
1. AB  AD
2. AE es la bisectriz de
3. 1  2
BAD
1) BC  CD
2) BCE  DCE
BAD
4. AC  AC
5. ACB  ACD
6.
ACB  ACD
7.
8.
9.
BCE es el suplemento de ACB
DCE es el suplemento de ACD
BCE  DCE
1. De hipótesis
2. De hipótesis
3. De 2, definición de bisectriz
4. Propiedad reflexiva
5. De 1, 3 y 4, L – A – L
6. De 5, por ser ángulos correspondientes
en triángulos congruentes
7. Definición de ángulos suplementarios
8. Definición de ángulos suplementarios
9. De 7 y 8, por tener el mismo suplemento
Congruencia de triángulos.
6.
22
HIPÓTESIS: ABC es equilátero.
AE  BF  CD
TESIS: EFD es equilátero
1.
A B  C
2. AE  BF  CD
3. AB = BC = CA
4. AE+EB=BF+FC=CD+DA
5. AE+EB=AE+FC=AE+DA
6. EB = FC = DA
7. AED  EBF  FCD
8. DE  EF  FD
9.
DEF
es equilátero.
1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo.
2. De hipótesis.
3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero.
4. De 3. Adición de segmentos
5. Sustitución de 2 en 4
6. De 5. Ley cancelativa
7. De 6, 2, 1. L – A – L
8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes.
9. De 8. Definición de triángulo equilátero
Congruencia de triángulos.
23
7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA  CB . D es el punto medio de AC y E es el punto
medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es
congruente con el triángulo BCD
HIPÓTESIS ABC isósceles, con CA  CB
D y E son puntos medios.
TESIS ACE  BCD
1. CA  CB
2. C  C
3. D es punto medio de CA y E es punto
medio de CB
4. CD  CE
5. ACE  BCD
1. De hipótesis
2. Propiedad reflexiva
3. De hipótesis
4. De 1 y 3, por ser mitades de segmentos
congruentes
5. De 1, 2 y 4 L – A – L
Congruencia de triángulos.
24
8.
HIPÓTESIS: DE  AE
DE  EC; AE  EB
D A
D – F – H – B; A – G – H – C
TESIS:
1)CEG  BEF
2)CFH  BGH
1.
D A
2. DE  AE
1. De hipótesis.
2. De hipótesis.
3. AEG = DEF
4. DEF  EAG
5. DFE  EGA
3. De hipótesis. Son ángulos rectos.
4. De 1,2, 3, A – L – A
5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
25
9.
HIPÓTESIS: AI  IC  CD  BI  IH  HF
TESIS: EH  EC
En este ejercicio también emplearemos el
teorema L – A – A que se demostrará en la
próxima unidad.
1. AI  IC  CD  BI  IH  HF
2. AD  AI  IC  CD
3. BF  BI  IH  HF
4. BF  AI  IC  CD
5. AD  BF
6. BIC  AIH
7. IB  IH  IA  IC
8. BIC  AIH
9.
B A
10. AH  BC
11. AHD  BCF
12.
D F
HEF  CED
14. FH  DC
15. ECD  EHF
13.
16. EH  EC
1. De hipótesis
2 Suma de segmentos
3 Suma de segmentos
Sustitución de 1 en 3
5 De 2 y 4, propiedad transitiva
6. Ángulos opuestos por el vértice
7 De 1
8 De 7 y 6 por teorema L – A – L
9. De 8, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
10. De 8 por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
11. De 10, 9 y 5, L – A – L
12. De 11, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
13. Por ser ángulos opuestos por el vértice
14. De hipótesis
15. De 14, 13 y 12, por teorema L – A – A
16. De 15, por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
26
10.
HIPÓTESIS: B es punto medio de AC
AD  CE; BD  BE
TESIS:
1) E  D
2)APC es isosceles.
1. B es punto medio de AC
1. De hipótesis
2. AB  BC
2. De 1, definición de punto medio
3. AD  CE; BD
4. BCE  ABD
5.
D E
6.
C A
 BE
7. APC es isósceles
3. De hipótesis
4. De 2 y 3, por el teorema L – L – L
5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
6. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
7. De 6, por tener dos ángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
27
11.
AB  AF
HIPÓTESIS: BD  DF
BAC  FAE
TESIS:
1. AB  AF
1. De hipótesis
2. BD  DF
2. De hipótesis
3. AD  AD
4. ADB  ADF
5. B  F
6. BAC  FAE
7. ABC  AFE
3. De hipótesis
1) AC  AE
2) BC  FE
8. AC  AE
4. De 1, 2 y 3, teorema L – L – L
5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
6. De hipótesis
7. De 6, 5 y 1, por el teorema A – L – A
8. De 7, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes
9. BC  FE
9. De 7, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
28
12. Demostrar que en un triángulo isósceles:
A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
De este ejercicio vamos a hacer el numeral c.
HIPÓTESIS: Triangulo ABC isósceles, con CA  CB
BE
AD es bisectriz del ángulo CAB
BE es bisectriz del ángulo CBA
TESIS: AD  BE
4. AD es la bisectriz de CAB
5. 3  4
6. m( EAB)  m( 3)  m( 4)
1. De hipótesis, por ser los ángulos de la base
de un triangulo isósceles
2. De hipótesis.
3. De 2, definición de bisectriz de un ángulo
4. De hipótesis
5. De 4, definición de bisectriz de un ángulo
6. Suma de ángulos
7. m( DBA)  m( 1)  m( 2)
7. Suma de ángulos
8. m( 4)  m( 3)  m( 1)  m( 2)
8. De 1, 6 y 7, propiedad transitiva
9. 2m( 4)  2m( 2)
9. De 3,5 y 8, suma de ángulos
10. m( 4)  m( 2)
10. De 9, propiedad cancelativa
1.
EAB  DBA
2. BE es la bisectriz de
3. 1  2
11. AB  AB
12. ABE  ABD
13. AD  BE
CBA
11. Propiedad reflexiva
12. De 11, 10 y 1, teorema A – L – A
13. De 12, por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
29
13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB  AC . R es un punto que pertenece al lado
AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC  DB .En base con esta información se
puede demostrar que AR  AD ? Justificar la respuesta.
Para demostrar que AR  AD ? deberíamos demostrar primero que el triángulo ARC es
congruente con el triángulo ADB y el teorema L – L – A no lo hemos demostrado y
además veremos más adelante que este teorema no se cumple siempre. Para que este
teorema se cumpla es necesario que los lados opuestos a los ángulos congruentes sean
los lados mayores en los triángulos. El teorema L – L – A si se cumple en los triángulos
rectángulos.
Congruencia de triángulos.
30
14.
HIPÓTESIS:
TESIS:
AE  BC
AC  BE
1) DEA  DCB
2)ABD es isosceles
1. AE  BC
1. De hipótesis
2. AC  BE
2. De hipótesis
3. AB  AB
4. AEB  BCA
3. Propiedad reflexiva
4. De 1, 2 y 3, por el teorema L – L – L
5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
6. Por ser ángulos opuestos por el vértice
7. De 1, 5 y 6, por el teorema L – A – A
8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
9. Resta de segmentos
10. Resta de segmentos
11. Sustitución de 2 y 8 en 10
12. De 11 y 9, propiedad transitiva
13. De 12, definición de triangulo isósceles
5.
DEA  DCB
6. EDA  CDB
7. EDA  CDB
8. DE  DC
9. DA  AC  DC
10. DB  BE  DE
11. DB  AC  DC
12. DA  DB
13. ABD es isósceles
Congruencia de triángulos.
31
15.
HIPÓTESIS:
1
2
3 4
A–E–CyD–E–B
TESIS:
1. 1  2
2. 3  4
3. DB  DB
4. DBA  DBC
5. DA  DC
6. ADC es isósceles
7. DE es bisectriz de
ADC
8. DE es mediana
9. E es punto medio de AC
10. AE  EC
11. DE es altura
12. DE  AC
1) AE  EC
2) DE  AC
1. De hipótesis
2. De hipótesis
3. Propiedad reflexiva
4. De 1, 2 y 3, por el teorema A – L – A
5. De 4, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
6. De 5, definición de triangulo isósceles
7. De 1, definición de bisectriz de un ángulo
8. De 7 y 6, la bisectriz del ángulo opuesto a la base de
un triángulo isósceles es también mediana
9. De 8, definición de mediana
10. De 9, definición de punto medio
11. De 6 y 8, en un triángulo isósceles la mediana sobre
la base es también altura
12. De 11, definición de altura en un triangulo
Congruencia de triángulos.
32
16.
HIPÓTESIS: AB  AF ; DB  DF ; 1 
TESIS:
2
1) B  F
2) DC  DE
SUGERENCIA: Trazar AD
1. AB  AF
1. De hipótesis
2. DB  DF
2. De hipótesis
3. AD  AD
4. ADB  ADF
5. B  F
6. 1  2
7. ABC  AFE
3. Propiedad reflexiva
4. De 1, 2 y 3, por el teorema L – L – L
5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
6. De hipótesis
7. De 6, 5 y 1, por el teorema A – L – A
8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
9. Resta de segmentos
10. Resta de segmentos
11. Sustitución de 2 y 8 en 10
12. De 9 y 11, propiedad transitiva
8. BC  EF
9. DC  DB  BC
10. DE  DF  EF
11. DE  DB  BC
12. DC  DE
Congruencia de triángulos.
33
17.
OED  ODE
HIPÓTESIS:
A C
AE  DC
TESIS:
A C
OED  ODE
3. AE  DC
4. AD  AE  ED
5. EC  DC  ED
6. EC  AE  ED
7. AD  EC
8. FAD  HCE
1.
2.
9. FA  HC
10. ABC es isósceles
BA  BC
BF  BA  FA
BH  BC  HC
BH  BA  FA
BF  BH
EOD es isósceles
17. OE  OD
11.
12.
13.
14.
15.
16.
18. FD  HE
19.
20.
21.
22.
OF  FD  OD
OH  HE  OE
OH  FD  OD
OF  OH
1) BF  BH
2)OF  OH
1. De hipótesis
2. De hipótesis
3. De hipótesis
4. Suma de segmentos
5. Suma de segmentos
6. Sustitución de 3 en 5
7. De 4 y 6, propiedad transitiva
8. De 7, 2 y 1, por el teorema A – L – A
9. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
10. De 1, por tener dos ángulos congruentes
11. De 10, definición de triangulo isósceles
12. Resta de segmentos
13. Resta de segmentos
14. Sustitución de 11 y 9 en 13
15. De 12 y 14, propiedad transitiva
16. De 2, por tener dos ángulos congruentes
17. Definición de triangulo isósceles
18. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
19. Resta de segmentos
20. Resta de segmentos
21. Sustitución de 18 y 17 en 20
22. De 21 y 19, propiedad transitiva
Congruencia de triángulos.
34
18.
HIPÓTESIS: AF  AB; FE  BC; DF  DB
TESIS:
1) EAD  CAD
2) ED  CD
1. AF  AB
1. De hipótesis
2. DF  DB
2. De hipótesis
3. AD  AD
4. ADF  ADB
3. Propiedad reflexiva
4. De 1, 2 y 3 por el teorema L – L – L
5. De 4, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
6. De 4, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
7. Definición de ángulos suplementarios
8. Definición de ángulos suplementarios
9. De 6, 7 y 8 por tener el mismo suplemento
10. De hipótesis
11. De 10, 9 y 2, por el teorema L – A – L
12. De 11, por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes
5.
EAD  CAD
6.
1 2
7. El suplemento de
8. El suplemento de
9. 3  4
10. FE  BC
11. FED  BCD
12. ED  CD
3 es 1
4 es 2
19. Para demostrarlo analizar el ejercicio 18.
Congruencia de triángulos.
35
20.
AR  SC
HIPÓTESIS: AB  CD
BS  DR
1) BSA  DRS
TESIS:
2) PR  PS
1. AR  SC
1. De hipótesis
2. AB  CD
2. De hipótesis
3. BS  DR
4. AS  AR  RS
5. CR  SC  RS
6. CR  AR  RS
3. De hipótesis
4. Suma de segmentos
5. Suma de segmentos
6. Sustitución de 1 en 5
7. De 4 y 6, propiedad transitiva
8. De 2, 3 y 7, teorema L – L – L
9. De 8, por ser ángulos correspondientes de triángulos
congruentes
10. De 9, por tener dos ángulos congruentes
11. De 10, definición de triangulo isósceles.
7. AS  CR
8. ABS  CDR
9.
BSA  DRS
10. RPS es isósceles
11. PR  PS
Congruencia de triángulos.
36
21.
HIPÓTESIS:
BD es mediana
AE  BF y CF  BF
TESIS: AE  CF
1. BD es mediana
2. D es punto medio de
AC
3. AD  DC
4.
AED  DFC
5. 1  2
6. AED  CFD
7. AE  CF
1. De hipótesis
2. De 1, definición de median en un triangulo
3. De 2, definición de punto medio
4. De hipótesis, por ser ángulos rectos por definición de
perpendicularidad.
5. Por ser ángulos opuestos por el vértice
6. De 5, 4 y 3, por el teorema L – A – A
7. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
Congruencia de triángulos.
37
22.
AC  AE
HIPÓTESIS: CF , EB y AD se cortan en G
EB y CF son medianas
TESIS: AD  CE
1. AC  AE
2. ACE es isósceles
1. De hipótesis
2. De 1, definición de triángulos isósceles
3. CF y EB son
medianas
3. De hipótesis
4. AD es mediana
5. AD es altura
6. AD  CE
4. De 3 y de hipótesis, las 3 medianas de un triángulo se cortan en
un punto llamado baricentro o centro de gravedad.
5. De 2 y 4, en un triángulo isósceles la mediana sobre la base es
también altura
6. De 5, definición de altura de un triangulo
Congruencia de triángulos.
38
23.
HIPÓTESIS:
AB  BC; DC  BC
ABD  DCA
TESIS: ABC  DCB
ABD  DCA
2. DCA y ABC son rectos
1.
3. El complemento de
4. El complemento de
5. ACB  DBC
6. DCB  ABC
7. BC  BC
8. DCB  ABC
ACB es DCA
DBC es ABD
1. De hipótesis
2. De hipótesis, por definición de
perpendicularidad
3. De 2, definición de ángulos complementarios
4. De 2, definición de ángulos complementarios
5. De 1, 3 y 4, por tener el mismo complemento
6. De 2, por ser ángulos rectos.
7. Propiedad reflexiva
8. De 7, 6 y 5, por el teorema A – L – A
Congruencia de triángulos.
39
24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de
un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA  CB
D, E y F son puntos medios
TESIS: DF  EF
2. F es punto medio de AB
1. De hipótesis, por ser ángulos opuestos a los lados
congruentes de un triángulo isósceles
2. De hipótesis
3. AF  FB
3. De 2, definición de punto medio de un segmento
4. CA  CB
4. De hipótesis
5. De 4 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos
congruentes
6. De 5, 3 y 1, por el teorema L – A – L
7. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
1.
A B
5. DA  EB
6. DAF  EBF
7. DF  EF
Congruencia de triángulos.
40
25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC
se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC  AB
HIPÓTESIS:
M es punto medio de AC
BM  MC
TESIS: EC  AB
1. M es punto medio de AC
1. De hipótesis
2. AM  MC
3. 1  2
2. De 1, definición de punto medio
3. Por ser ángulos opuestos por el vértice
4. De hipótesis
5. De 2, 3 y 4, por el teorema L – A – L
6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes
4. BM  ME
5. MEC  MAB
6. EC  AB
Congruencia de triángulos.
41
26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo
equilátero forman otro triángulo equilátero.
HIPÓTESIS:
ABC es equilátero
D, E y F son puntos medios de los lados del triángulo
TESIS DEF es equilátero
1. AB  BC  CA
2. AF  FB  BE  EC  CD  DA
3.
A B  C
4. DFA  DEC  EFB
5. DF  DE  EF
6. DEF es equilátero
1. De hipótesis, definición de triángulo equilátero
2. De 1 y de hipótesis, definición de punto medio,
por ser mitades de segmentos congruentes
3. Por ser ángulos opuestos a lados congruentes
en un triangulo
4. De 2 y 3, por el teorema L – A – L
5. De 4, por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes
6. De 5, definición de triángulo equilátero
Congruencia de triángulos.
42
27.
HIPÓTESIS
TESIS
1. RTS es isósceles
TR  TS
PR  PS
TRP  TSP
5. m( TRP)  m( TRS )  m( 1)
1. De hipótesis, definición de triangulo isósceles
2. De 1, por ser ángulos de la base de un triángulo
isósceles
3. De hipótesis, definición de triangulo isósceles
4. De 3, por ser ángulos de la base de un triángulo
isósceles
5. Resta de ángulos
6. m( TSP)  m( TSR)  m( 2)
6. Resta de ángulos
2.
TRS  TSR
3. RPS es isósceles
4.
1 2
7. m( TSP)  m( TRS )  m( 1)
8.
TRP  TSP
7. Sustitución de 2 y 4 en 6
8. De 5 y 7, propiedad transitiva
Congruencia de triángulos.
43
28.
A B C  D
HIPÓTESIS
1 2
AB  CD
TESIS
1. 1  2
2. BEC es isósceles
3. EB  EC
3 es el suplemento de 1
4 es el suplemento de 2
3 4
7. AB  CD
8. ABE  DEC
4.
5.
6.
9.
A D
A D
1. De hipótesis
2. De 1, por tener dos ángulos congruentes
3. De 2, en un triángulo a ángulos congruentes se oponen
lados congruentes
4. De hipótesis, definición de ángulos suplementarios
5. De hipótesis, definición de ángulos suplementarios
6. De 1, 4 y 5, por tener el mismo suplemento
7. De hipótesis
8. De 7, 6, y 3, por el teorema L – A – L
9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
Congruencia de triángulos.
44
29.
HIPÓTESIS AB  AC
BD  CE
TESIS 1)ACD  ABE
2)BDC  CEB
1. AD  AB  BD
2. AE  AC  CE
1. Suma de segmentos
2. Suma de segmentos
3. De hipótesis
3. AB  AC
4. BD  CE
5. AE  AB  BD
6. AD  AE
7. A  A
8. ACD  ABE
9. ABC es isósceles
10.
1 2
11. El suplemento de
12. El suplemento de
13. DBC  ECB
14. BC  BC
15. BDC  CEB
DBC es 1
ECB es 2
4. De hipótesis
5. Sustitución de 3 y 4 en 2
6. De 1 y 5, propiedad transitiva
7. Propiedad reflexiva
8. De 7, 6 y 3, por teorema L – A – L
9. De 3, definición de triangulo isósceles
10. De 9, por ser los ángulos de la base de un
triangulo isósceles
11. Definición de ángulos suplementarios
12. Definición de ángulos suplementarios
13. De 10, 11 y 12, por tener el mismo suplemento
14. Propiedad reflexiva
15. De 14, 13 y 4, por teorema L – A – L
Congruencia de triángulos.
45
30.
HIPÓTESIS:
 
CE biseca a BF
TESIS:
1.   
2. El suplemento de
3. El suplemento de
4. CBD  EFD
5. BD  DF
6. CDB  FDE
7. BDC  DFE
8.
C E
CBD es 
EFD es 
C E
1. De hipótesis
2. Definición de ángulos suplementarios
3. Definición de ángulos suplementarios
4. De 1, 2 y 3, por tener el mismo suplemento
5. De hipótesis, CE biseca a BF
6. Por ser ángulos opuestos por el vértice
7. De 4, 5 y 6, por el teorema A – L – A
8. De 7, por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes
Congruencia de triángulos.
46
31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB  AC , se toma un punto E sobre AB y se
toma un punto F sobre AC de tal manera que AE  AF . Se traza la altura AH , se traza
el triángulo EHF. Demostrar que EHA  FHA y que EFH  FEH
HIPÓTESIS ABC es isósceles
AB  AC
AE  AF
AH es altura
TESIS 1) EHA 
FHA
2) EFH  FEH
1. AE  AF
1. De hipótesis
2. AH  AH
2. Propiedad reflexiva
3. AH es altura
3. De hipótesis
4. De hipótesis, en un triángulo isósceles la altura sobre la base
también es bisectriz del ángulo opuesto a la base del triangulo
5. De 4, definición de bisectriz de un ángulo
6. De 5, 1 y 2, por L –A – L
7. De 6, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
8. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
9. De 8, definición de triangulo isósceles
10. De 9, por ser los ángulos de la base de un triángulo isósceles
4. AH es bisectriz
5. 1  2
6. AEH  AFH
7. EHA  FHA
8. EH  HF
9. EHF es isósceles
10. EFH  FEH
Congruencia de triángulos.
47
Algunos de estos ejercicios fueron tomados y modificados de los siguientes textos:
 Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
 Geometría Euclidiana de Hemmerling
 Curso de Geometría. Reunión de profesores
 Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
 Geometría de Edwin E. Moise
 De Internet
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.