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MÉTODO ABN. DR. D. JAIME
MARTÍNEZ MONTERO.
INICIACIÓN AL ÁLGEBRA EN LA
EDUCACIÓN PRIMARIA.
CONTENIDOS OFICIALES:
A. Empleo de letras para simbolizar números inicialmente desconocidos y números sin
concretar.
B. Utilidad de la simbolización para expresar cantidades en distintos contextos.
C. Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa.
D. Búsqueda y expresión de propiedades, relaciones y regularidades en secuencias
numéricas.
E. Obtención de valores numéricos en fórmulas sencillas.
Los cinco apartados anteriores se pueden subsumir en dos: A/ el constituido por las
letras A, B y C, que se ocuparía específicamente del lenguaje algebraico; y B/ el
constituido por las letras D y E, que trataría del valor numérico que tomarían las
expresiones algebraicas.
El apartado de LENGUAJE ALGEBRAICO se va a descomponer en cinco
contenidos, que secuencialmente contemplado son los que siguen:
1. Conceptualización básica, en la que se reconoce la convención de representar
cualquier número por una letra.
2. Transformaciones que puede sufrir ese número, al hacerlo mayor o menor
respecto a él mismo.
3. Transformaciones que sufre un número cualquiera cuando se le añade o sustrae
un número conocido.
4. Transformaciones con repetición del número desconocido.
5. Planteamiento y resolución de operaciones con más de un número cualquiera,
ambos representados con letras.
El apartado VALOR NUMÉRICO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS se
descompone en tres contenidos, que secuencialmente contemplados son como siguen:
1. La incógnita es un número natural que aparece sólo en uno de los términos.
2. La incógnita es un número natural que aparece en los dos términos.
3. La incógnita puede ser un número entero o un número racional que aparece en
los dos términos.
A/ LENGUAJE ALGEBRAICO.
COMPETENCIAS A ALCANZAR (Los números de
identificación se corresponden con los expresados en el
apartado “Secuencias de Presentación”:
BÁSICAS: 1, 2.1, 2.2, 3.1, 3.2, 4.1, 4.2.
El alumno debe saber:
 Representar cualquier número por una letra.
 Diferenciar entre la letra que identifica a un número cualquiera y la que
representa a un número determinado, pero que desconocemos. Esa letra la
llamamos incógnita.
 Expresar las iteraciones o particiones que se hacen con el número que se
representa con una letra.
 Traducir a expresiones algebraicas las sumas o restas en las que interviene
el número que se representa con una letra.
DE SUFICIENCIA: 2.3, 2.4, 4.3, 5.1, 5.2, 5.3.
El alumno debe saber, además de todo lo anterior:
 Expresar algebráicamente la potenciación del número que se representa
con una letra.
 Saber desdoblar una expresión algebraica que contenga un número que se
representa con una letra en otra que contenga dos o más de dos términos.
 Saber expresar algebraicamente la adición y sustracción de números
diferentes representados por letras.
 Saber expresar algebraicamente el producto y la división de números
diferentes representados por letras.
DE MAESTRÍA: 2.4, 4.4, 5.4.
El alumno debe saber, además de todo lo anterior:
 Expresar algebráicamente la radicación del número que se representa con
una letra.
 Expresar algebraicamente números consecutivos representados por letras.
 Saber expresar algebraicamente la adición y sustracción de números
diferentes representados por letras con exponentes.
 Saber expresar algebraicamente el producto y la división de números
diferentes representados por letras con exponentes.
SECUENCIAS DE PRESENTACIÓN:
1. Conceptualización básica.
En la que se reconoce la convención de representar cualquier número por una
letra, distinguiendo entre la letra que representa cualquier número y la que
representa un número determinado que se desconoce y que se quiere averiguar
(incógnita).
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS.
Hay que poner al alumno ante la dificultad de tener que representar un número que no
es ninguno y a la vez puede ser cualquiera. No puede escribir ninguna cifra, puesto que
solo vale para el número que representa. Ante la imposibilidad de representarlo con las
cifras de las grafías, se explica la convención de representarlos por letras.
Hay que hacerle ver al alumno que la letra representa a todo el número, sea este lo
grande que sea. El número lo podemos representar por la letra “a”, sea de una cifra, de
dos o de cuatro.
El tercer aspecto a incidir es la distinción entre representar a un número cualquiera y
representar a un número que desconozco, pero que quiero averiguar qué número es. En
este segundo caso, lo llamamos incógnita y lo representamos con unas letras especiales.
Normalmente las últimas del alfabeto.
2. Transformaciones que puede sufrir ese número, al hacerlo mayor
o menor respecto a él mismo.
En el paso anterior se sabe escribir cualquier número con una letra, y distinguir la
representación del número cualquiera del número desconocido y preciso que
queremos averiguar. En este punto se trata de saber representar ese número cuando
se itera, se hace más pequeño, se multiplica por sí mismo o se extrae de él una
determinada raíz.
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS.
Conviene subdividir este contenido en cuatro pasos diferentes, según el tipo de
transformación que sufra el número en cuestión.
2.1.
Productos de ese número: a, 2a, 8a.
Se le plantea al alumno la alternativa de representar a a a, o bien 3a. Cómo
cuando la iteración del número es muy pequeña, (aa) podría ser indiferente escribir
“2a” o bien “aa”. Pero, ¿y si es “aaaaaaaaaaa”?
2.2.
Divisiones de ese número: a/2; a/4, a/7.
Este paso supone dos dificultades que, explicadas separadamente, allanan mucho
la dificultad de la comprensión del proceso.
-La primera es que el alumno ha de asimilar la expresión a/2 con el formato de
la división “a : 2”. Aquí tiene un sentido de proceso, de algo que se tiene que hacer,
de un resultado que se ha de obtener.
-La segunda es que el alumno asimile la expresión a/2 al resultado de esa
división. En definitiva, que la manera de expresar la mitad de un número es idéntica
a la de expresar la operación que lleva a hallar la mitad de ese número.
Un ejemplo más. Si el número es conocido (16), podemos decir su mitad en cifras:
8. Pero si es desconocido no se puede hacer tal cosa, sino que se expresa en forma
de fracción. Y esa fracción vale tanto para expresar la división que se ha de hacer
como el resultado de la misma.
2.3.
Potencia de ese número: a2, a5.
Se han de realizar ejercicios que hagan que los alumnos discriminen sin ningún
tipo de duda la simple iteración de un número (aaa) del producto repetido por él
mismo (a * a * a). Los alumnos tienden a confundirlos, igual que cuando aprenden a
multiplicar suelen contestar a la pregunta sobre cuántas son tres por tres diciendo
que son seis.
2.4.
Raíz de ese número:
El planteamiento más sencillo es el que representa la radicación como la búsqueda
de un producto en el que los dos factores son iguales.
3. Número desconocido y número conocido.
Hace referencia a las transformaciones que sufre un número cualquiera,
representado por una letra, cuando se le añade o sustrae un número conocido. Respecto
al paso anterior, añade la dificultad de combinar en una misma expresión números
conocidos con números desconocidos. Para la mente de un alumno no es tan sencillo
concebir que se puede sumar un número que no conocemos con otro que sí, y que el
resultado sea una expresión que deja las cosas como están.
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS.
Conviene subdividir este paso en dos más pequeños. El referido a la suma y el
correspondiente a la resta o sustracción.
3.1.
Suma de un número conocido a otro desconocido:
3.2.
Sustracciones: a - 4; 8 – a; a/3 -7.
Se puede facilitar la comprensión del proceso dando valores numéricos a las letras.
4. Operaciones con repetición del número desconocido.
Hace referencia al planteamiento de operaciones en las que el número representado
por la letra aparece en más de un término. La nueva dificultad radica en que hasta ahora
el número representado por la letra sólo aparecía una vez y, cuando era el caso, en uno
de los términos de la expresión. De acuerdo con el nivel exigido en este curso, las
operaciones se reducen a las de suma y resta.
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS.
Este paso conviene subdividirlo en cuatro más pequeños.
4.1.
Sumas y restas. Planteamiento: a + 2a; 14a – a; a/2 + a; etc.
En primer lugar, el alumno ha de saber realizar el planteamiento o traducción a
expresión algebraica. Se ha de insistir en que ciertas acciones de la vida diaria tienen
su traducción a signos concretos, y aplicar aquí los verbos de acción que antes se
empleaban en los problemas: quitar, perder, encontrar, añadir, etc.
4.2.
Reducción: a + 2a = ___ ; b + 2b + 3b = ____; 7a - 4a = ______;
Con estos tipos de ejercicios se ha de iniciar a los alumnos en las operaciones con
los coeficientes, sin que se altere la parte literal.
4.3.
Desdoblamiento: 3a = 2a + a, o bien 4a = 6a – 4a, etc.
Los ejercicios correspondientes a 4.2 son de composición. Los de este punto lo son
de descomposición. Son los inversos a los anteriores, y se trata de introducir un
criterio de flexibilidad en la consideración de cada término. Así, “3a” se ha de ver
como a + a + a, y como 5a - 2a, y como 2a + a, etc.
4.4.
El número y su consecutivo: b + b + 1 + b + 2.
En este caso se trata de una aplicación concreta de los anteriores conocimientos a la
estructura de la numeración.
5. Dos números diferentes desconocidos.
Se hace referencia al planteamiento y resolución de operaciones con más de un
número cualquiera, ambos representados con letras. Hasta ahora los alumnos han
trabajado con solo una cantidad, que se podía repetir, partir, reunir con otros números o
con ella misma, etc. Pero siempre la misma cantidad. En este tramo final, se generaliza
lo que se sabe hacer con una cantidad a dos o más cantidades.
SUGERENCIAS METODLÓGICAS.
Por las diferencias existentes entre ellas, se señalan cuatro niveles de dificultad: las
estructuras aditivas; el producto; la división; por último, la potenciación.
5.1. Suma y resta: a + b; a - b; 2b + 3c; b/2 + c.
Es algo similar a lo que ya se ha trabajado en 3.1 y 4.1, solo que en lugar de repetir
la misma cantidad (letra) se utiliza otra cantidad (letra). Se ha de hacer ver a los
niños que el proceso que se sigue es idéntico al que ya se ha mostrado, y que sólo se
pueden obtener resultados concretos cuando a acada letra se le asigna un valor
numérico determinado.
5.2. Producto: a x b = ab; b x 2c = 2bc.
Valen las recomendaciones anteriores, aunque es conveniente diferenciar, en la
obtención del producto, cuando las letras van sin coeficiente y cuando las letras sí lo
llevan.
5.3. División: b : c = b/c; 3b : c = 3b/c; 5d : 3b = 5d/3b.
Es de aplicación lo que se ha señalado en el punto anterior respecto a la
multiplicación. Se ha de comenzar por divisiones entre letras que no tengan
coeficiente y después con letras que tengan coeficientes.
5.4. Potenciación: b2 + c3; e3 x a = e3a.
Se ha de diferenciar expresamente entre suma y resta, en la que sólo cabe escribir las
expresiones sin cambios (3b2 + c3 = 3b2 + c3), del producto y de la división, donde sí
hay transformación (e3 * a = e3a; 3b4 : 4d = 3b4 / 4d).
MODELOS DE PREGUNTAS PARA LA EVALUACIÓN:
1. Conceptualización básica.
“Estás intentando averiguar cuánto dinero te va a dar tu padre de paga para este
carnaval. Aún no sabes cuánto va a ser, pero, ¿cómo lo llamarías, a ó x?”
2. Transformaciones que puede sufrir ese número, al
hacerlo mayor o menor respecto a él mismo.
2.1. “La letra C es el número de bombones que tiene una caja. ¿Qué significa el
número 3 en la expresión 3C?
a) La caja tiene tres bombones.
b) A la caja le han añadido tres bombones.
c) Hay tres cajas de bombones.
d) Tres niños se comen la caja de bombones.
2.2. “Hay “h” folios y se han repartido a partes iguales entre cuatro clases.
¿Cuántos folios le han dado a cada clase?
a) h + 4.
b) h/4.
c) h + h + h + h
d) 4h.”
2.3. “¿A qué es igual la expresión d4?
a) d + d + d + d
b) d * d *d *d.
c) d d d d
d) 4d.”
2.4. “D es el número de baldosas que se necesitan para solar una superficie
cuadrada. Ese cuadrado tiene c baldosas en cada lado. ¿Qué expresión de las
que siguen es verdadera?
a) c * c = 2cD
b) Raíz cuadrada de c = D.
c) Raíz cuadrada de c2 = D
d) Raíz cuadrada de D igual a c”.
3. Número desconocido y número conocido.
3.1. ¿Qué expresión algebraica se corresponde con la siguiente afirmación: “A
la tercera parte del dinero (d) que tienes se le añaden tres euros:
a) 3d + 3.
b) d – 3 + 3.
c) d/3 + 3.
d) 3/d + 3”.
3.2. ¿Qué expresión algebraica se corresponde con la siguiente afirmación: “Me
queda la quinta parte del dinero que tenía, y encima tengo que pagar cinco euros:
a) “5 – d –5.
b) d/5 – 5.
c) d5 – 5.
d) 5/d – 5”.
4.
Operaciones con repetición del número desconocido.
4.1. “¿Cuántas personas caben en el cine?, le preguntaron al portero. Y éste
dijo: El doble de las que hay dentro más 20 personas. ¿Qué expresión
algebraica se corresponde con la pregunta?
a) c + 2c + 20.
b) 20 + c + c.
c) 20c + c + 2
d) 22 + c.
4.2. “¿Qué expresión es igual a esta: b + 5b – 2b, pero escrita de forma
diferente?
a) b + 5b – 2b.
b) 6b – 2b.
c) 3b + b.
d) 4b.
4.3. “¿Qué expresión es igual a esta: 5b + 8?
a) 7b – 2b.
b) 7b + 6b.
c) 3b + 8 + 2b.
d) 8 + 5 + b.
4.4. ¿Qué expresión de las siguientes representa a tres números consecutivos
alternos (como 4, 6 y 8, por ejemplo)?
a) n + n + 1 + n + 2.
b) 2n + 2 + 2
c) n + n + 2 + n + 4.
d) n + 2n + 4n”.
5. Dos números diferentes desconocidos.
5.1. El doble de un número más el triple de otro distinto es igual al número d.
¿Qué expresión algebraica se corresponde con lo anterior?
a) 2b + 3c = d.
b) 2 + 3 = 5d.
c) 2b + 3b = d.
d) 2b + 3c = 5d.
5.2. ¿Cuál es la solución de este producto: 2b * 3h?
a) 6 + b + h.
b) 6b + h.
c) 5bh.
d) 6bh.
5.3. ¿Cuál es el cociente de esta división: 3h : 2c?
a) 3h – 2c.
b) 3h / 2c
c) 1hc
d) 3hc / 2.
RECURSOS PARA LA PIZARRA DIGITAL:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/topic_t_2.html
MÉTODO ABN.
DR. D. JAIME MARTÍNEZ MONTERO.
VALOR NUMÉRICO DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS. Iniciación a la resolución de
ecuaciones en Educación Primaria.
COMPETENCIAS A ALCANZAR (Los números de
identificación se corresponden con los expresados en el
apartado “Secuencias de Presentación”):
BÁSICAS: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5.
El alumno debe saber:
 Interpretar el signo igual como el revelador del número desconocido.
 Descubrir el valor de la incógnita cuando esta aparece en un término con
coeficiente, y en el otro término está el valor numérico de la anterior
expresión.
 Descubrir el valor de la incógnita cuando a ésta se le añade o se le sustrae
un número determinado, que aparece en un término de la expresión, y en el
otro término está el valor numérico de lo anterior.
DE SUFICIENCIA: 1.6, 2.1, 2.2, 3.1, 3.2, 3.3.
El alumno debe saber, además de todo lo anterior:
 Descubrir el valor de la incógnita cuando tiene coeficiente y a ésta se le
añade o se le sustrae un número determinado, que aparece en un término
de la expresión, y en el otro término está el valor numérico de lo anterior.
 Realizar la compensación o sustitución de la misma incógnita que aparecen
con coeficientes distintos en cada uno de los términos de la expresión.
 Realizar la compensación o transposición de los números que aparecen
sumando o restando en cada término de la expresión.
 Saber hallar el valor de la incógnita cuando ésta tiene un coeficiente
fraccionario.
 Saber hallar el valor de la incógnita cuando ésta tiene un coeficiente
fraccionario y, además, tiene un número o números que se le añaden.
 Saber hallar el valor de la incógnita cuando ésta tiene un coeficiente
fraccionario y, además, tiene un número o números que se le detraen.
DE MAESTRÍA: 3.4, 3.5.
El alumno debe saber, además de todo lo anterior:
 Simplificar la expresión algebraica cuando en uno o en los dos términos
aparece la incógnita con coeficiente fraccionario y con coeficiente no
fraccionario.
 Simplificar la expresión algebraica cuando en uno o en los dos términos
aparece la incógnita con múltiplo de coeficiente fraccionario y con
coeficiente no fraccionario.
SECUENCIAS DE PRESENTACIÓN.
1. La incógnita es un número natural que aparece sólo en
uno de los términos.
Supone el suelo a partir del cual se construye el proceso matemático de las
ecuaciones. El signo igual tiene aquí el significado de decir el valor de lo
desconocido. A partir de él, se inicia el proceso de construcción añadiendo
obstáculos que hay que eliminar.
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS.
El contenido se subdivide en seis etapas, en función de los pasos requeridos para
hallar la solución. Sin necesidad de ocuparse de la etapa inicial, los etapas dos, tres,
cuatro y cinco son para la resolución de la ecuación en un solo paso, mientras que
la etapa seis recoge la resolución de la ecuación que requiere de dos pasos, y no de
uno solo como hasta ahora. Son los que siguen:
1.1. El signo igual o el signo de la verdad : x = 6.
Es el punto de partida. Cuando a un lado del signo aparece la incógnita y al otro su
valor, se llega a la solución de la ecuación. Por ello, se ha de procurar que el alumno
establezca como objetivo de la resolución intervenir en los términos de modo tal que
deje la incógnita sola y en uno de los términos, y los números en el otro, porque a partir
de ahí será cuando podrá establecerse la solución.
1.2. El valor numérico de la incógnita repetida: Si x = 6, entonces 2x = __.
La forma de asegurar la comprensión del paso anterior es que, establecido el valor de
la incógnita, el alumno halle el valor de esa misma incógnita, pero iterada. El
enunciado “Si x vale 6, ¿cuánto valdrá 3x?” reflejaría el contenido de este paso.
1.3.En un término aparece más de una incógnita, y en el otro su equivalencia
en números: 2x = 4
Es el inverso del paso anterior. Se debe establecer la correspondencia entre el
coeficiente de la incógnita y el número encerrado y repetido que está dentro del que
figura como solución. Así, si 3x = 9, el alumno debe encontrar el número que, repetido
tres veces, es igual a 9.
Además de la solución anterior, que no es más que realizar la división entre el
número del segundo término y el coeficiente de la incógnita, se puede practicar otra:
que el alumno haga tentativas con números hasta que dé con el que satisface la
condición.
1.4.Aparece la incógnita en uno de los términos, a la que se le suma un
número.: x + 3 = 8.
Para la mejor comprensión de este paso, se han de utilizar referentes muy cercanos
al niño. Por ejemplo, la incógnita es el dinero que hay en la hucha, y queremos
saber a cuánto asciende si añadiéndole tres euros juntamos en total ocho. O cuantos
amigos había si, después de llegar tres más se han juntado ocho.
Hay que hacer resaltar que cuando el proceso va a la inversa (desde el 8 hasta la
incógnita), la operación que se emplea es la contraria de la que figura. En el
ejemplo que se pone, hay que retirar lo que se ha sumado para averiguar el valor de
la incógnita.
1.5.Aparece la incógnita en uno de los términos, a la que se le sustrae un
número: x – 3 = 7.
Es el caso inverso al anterior. Se trata de que el alumno experimente la necesidad
de reponer lo quitado para poder establecer el valor de la incógnita. Con referentes
cercanos al niño, se puede utilizar el ejemplo de la caja de bombones. ¿Cuántos
había si después de comerme tres quedan todavía siete?
1.6. Aparece más de una incógnita en uno de los términos, a las que se les suma y/o
se les sustrae un número: 2x + 3 = 15;
3x – 4 = 8
En esta nueva etapa se funden las destrezas de resolución de todas las anteriores. Por
ello se necesitan dos pasos para poder resolverlas: la eliminación del número que
acompaña a la incógnita en el término en que aparece esta (etapas cuatro y cinco), y
hallar la correspondencia que existe entre el coeficiente de la incógnita y el valor
numérico recogido en el otro término.
2. La incógnita es un número natural, y aparece en los dos
términos.
Es un punto del proceso trascendental, pues supone la fundamentación y la
operativización de la transposición de números e incógnitas entre los dos términos.
Por ello, son dos los pasos que se emplean: el dedicado a la transposición de la
incógnita, y el dedicado a la transposición de los números.
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS.
Se debe apostar por un proceso razonado y constructivo, del que se desprenda la
regla de funcionamiento, y no por el aprendizaje memorístico de la regla y su
aplicación mecánica y ciega. Por ello, el trabajo conceptual fuerte se ha de
desarrollar en el primer paso, siendo el segundo la aplicación del primero a otra
realidad numérica.
2.1. Introducción de la compensación de las incógnitas: 2x = x + 8 ; 2x + 4 = 3x.
Como la solución de la ecuación pasa por retrotraerla a la situación en la que queda la
incógnita solo en uno de los términos, se ha de poner la atención en el proceso de
eliminación de la “x” de uno de los términos. Se recomienda la secuencia siguiente,
centrada en referentes bien conocidos por los alumnos. Se parte de la siguiente
situación: ¿Cuántas sardinas tendrá una lata, si dos latas contienen las mismas que
contiene una lata y, además, ocho sardinas?. 2x = x + 8
a) Determinar en primer lugar en qué término dejamos la incógnita y en cuál el
valor numérico. En este caso, la “x” quedará a la izquierda y el número a la
derecha.
b) Mostrar por medio de dibujos la situación real que refleja la ecuación. Dos
rectángulos a un lado simulan las dos latas, y un rectángulo y ocho trazos
verticales representan el segundo término. Cuando se hace así, intuitivamente
los alumnos se dan cuenta que tiene que eliminar una lata a cada lado de la
igualdad, y lo que queda es la solución.
c) Repetir la situación anterior con más ejemplos, hasta que se adquiera destreza
en la eliminación de la incógnita de una de las partes.
d) Extraer la regla: lo que se haga en uno de los términos (eliminar una “x”) se ha
de hacer en el otro. Se ha de insistir en esta regla, cuya aplicación tiene como
consecuencia el cambio de signos. Pero no se debe sustituir el proceso anterior
por la regla del cambio de los signos.
2.2. Compensación o transposición de los números: 2x + 4 = 4x – 4;
Este nuevo paso añade complejidades nuevas, pero no dificultades. La sistemática a
seguir debe ser la que permite retrotraer la situación al paso 2.1, y posteriormente a los
pasos del apartado 1. Siempre utilizando referentes cercanos y bien conocidos por los
alumnos, es recomendable seguir el siguiente proceso:
a) Determinar en qué término se va a dejar la incógnita y en qué término quedará
su valor numérico. En el segundo ejemplo, la “x” quedará a la derecha y su
valor numérico a la izquierda.
b) Se elimina el -4 del término de la derecha. Para ello hay que sumar cuatro a
ambos términos. La ecuación queda: 2x + 8 = 4x.
c) Se ha llegado a la situación recogida en 2.1. Se eliminan dos ”x” de cada
término. La ecuación queda: 8 = 4x.
d) Se ha llegado a la situación trabajada en 1.3. Se halla el valor numérico de la
incógnita. x = 2.
3. La incógnita puede ser un número entero o un número
racional que aparece en los dos términos.
La dificultad que añade esta nueva etapa es la de averiguar el valor de la incógnita
cuando esta va acompañada de un coeficiente fraccionario. Por ello, se ha de trabajar
en primer lugar dicho valor cuando en un término solo aparezca la “x” y en el otro su
valor numérico. La segunda dificultad que aparece, y que no se había recogido hasta
este momento, es que convertir el coeficiente fraccionario en un número natural o
entero tiene unas repercusiones en los miembros de cada uno de los términos, estén
ligados o no a la incógnita.
Por lo anterior, el proceso de aprendizaje de esta dificultad, y el entrenamiento para
alcanzar destreza en la misma, se desarrolla a través de cinco pasos.
SUGERENCIAS METODOLÓGICAS.
Los distintos pasos se van desplegando conforme la incógnita aparezca sola a un lado
del signo igual y su valor numérico al otro; según aparezca en un solo término, pero
acompañada de números, de la incógnita entera o de ambos; y según aparezcan
incógnitas en ambos términos. Se ha incluido un último paso para el entrenamiento
específico en la conversión de la incógnita que aparece como múltiplo de fracción.
3.1. Introducción de la fracción de la incógnita y de su conversión en unidad.
x/2 = 6
El alumno debe saber el significado de la expresión que recoge la incógnita (A.2.2).
La situación nueva que se plantea es establecer el valor de la incógnita, conociendo el
de una de sus partes. Si se utiliza como referente la caja de bombones, si media caja
tiene seis bombones, ¿cuántos bombones tendrá la caja entera? Además de la visión
intuitiva de la solución, hay que recordar al alumno el sentido de las fracciones como
operadores, que han debido trabajar suficientemente en Primaria.
3.2. Fracción de la incógnita más un número, en uno de los términos.: x/2 + 8 = 14.
x/3 – 6 = 5
Este es el paso clave en la comprensión del proceso. Para que la fracción de la
incógnita deje de ser tal, hay que multiplicarla por dos. Pero como lo que se haga en un
término hay que hacerlo en todo el término y también en el otro término, toda la
ecuación se ha de multiplicar por dos, en el primer ejemplo, y por tres en el segundo.
Hecho esto, ambas ecuaciones quedarían asÍ. x + 16 = 28; x – 18 = 5. Tales ecuaciones
retrotraen a la situación reflejada en los apartados 1.3, 1.4, 1.5 y 1.6.
3.3. Fracción de la incógnita más la incógnita, en uno de los términos:
Este paso se añade para que el alumno perciba claramente cómo la conversión de la
fracción afecta a la incógnita que no aparece fraccionada, y verifique que tras la
transformación ambas conservan las mismas proporciones: el segundo miembro del
primer término sigue siendo el doble del primer miembro.: x + 2x = 12.
3.4. Fracción de la incógnita, más la incógnita, en ambos términos.
El paso nuevo supone generalizar el tratamiento que se ha hecho en el paso anterior
sólo en el primer término también al segundo. No se precisan de ulteriores
explicaciones.
3.5. Múltiplo de fracción de la incógnita, más la incógnita, en ambos términos.
2x/3 + x + 2 = 3x – 8.
No hay dificultad añadida. Se trata de hacer notar al alumno, de forma específica,
que, en situación de una sola fracción, la conversión de la misma no afecta en absoluto
al numerador, esté la incógnita del mismo sola o iterada.
MODELOS DE PREGUNTAS PARA LA EVALUACIÓN.
1.La incógnita es un número natural que aparece sólo en uno
de los términos.
1.4.Aparece la incógnita en uno de los términos, a la que se le suma un
número.: x + 3 = 8.
“Cuántos años tiene mi hermano? Cuando pasen tres, habrá cumplido ocho.”
“¿Cuántos litros había dentro de una garrafa de ocho litros? Le hemos añadido
tres y se ha llenado”.
1.5.Aparece la incógnita en uno de los términos, a la que se le sustrae un
número: x – 3 = 7.
“Crea tres problemas diferentes que se puedan solucionar con la expresión
anterior”.
“Después de gastarme 12 €, me quedan 16. ¿Cuánto dinero tenía?” Señala la
expresión algebraica que se corresponde con el anterior planteamiento:
a) 16 – 12 = x; b) x – 12 = 16; c) x – 16 = 12; d) 12 – x = 16.
1.6. Aparece más de una incógnita en uno de los términos, a las que se les suma y/o
se les sustrae un número: 2x + 3 = 15;
3x – 4 = 8
¿Cuál de los siguientes problemas se corresponde con la expresión 2x + 3 = 15?”
a) No sé el dinero que tengo, pero si me dan tres euros más reúno quince.
b) ¿Cuántos litros caben en una garrafa? Si le quitas quince, quedan tres litros en
cada una de ellas.
c) Tenemos dos garrafas llenas de vino. Dice mi padre: “Al vino de las garrafas le
faltan tres litros para que juntemos quince”.
d) Esa expresión quiere decir que si a la edad de tu hermano le sumas dos años, y
luego otros tres más, el resultado será de quince años.
2. La incógnita es un número natural, y aparece en los dos
miembros.
2.1. Introducción de la compensación de las incógnitas: 2x = x + 8 ; 2x + 4 = 3x.
Halla el valor de incógnitas de las siguientes expresiones:
a) x + 4 = 2x; b) 3x +5 = 4x; c) 2x + 8 = 4x; d) 3x +6 = 5x ;
2.2. Compensación o transposición de los términos numéricos: 2x + 4 = 4x – 4;
Inventa un problema que se soluciones con la anterior expresión, y halla el
resultado.
Fíjate en la expresión 2x + 4 = 4x –4. ¿Qué problema encaja en esa expresión?
a) ¿Cuántos años tiene mi hermano? Si al doble de su edad le sumas cuatro años,
tendrá los mismos que si a los que tenía hace cuatro años los multiplicaras por
cuatro.
b) ¿Cuántos años tiene mi hermano? Si al doble de su edad le sumas cuatro años,
tendrá los mismos que si dentro de cuatro años le quitas cuatro.
c) ¿Cuántos años tiene mi hermano? Si al doble de su edad le sumas cuatro años,
tendrá los mismos que si al cuádruple de su edad le quitas cuatro.
d) ¿Cuántos años tiene mi hermano? Si a dos le añades cuatro años, es lo mismo
que si a cuatro le quitas otros cuatro.
3. La incógnita puede ser un número entero o un número
racional que aparece en los dos términos.
3.2. Fracción de la incógnita más un número, en uno de los términos.: x/2 + 8 = 14.
x/3 – 6 = 5
Escribe un problema que tenga que ver con el dinero que un niño tiene en la hucha.
Escribe un problema en el que la “x” sean los años de tu hermanita.
¿De qué número se trata? Si a su mitad le añadimos ocho, entonces obtendremos el
número catorce.
En la expresión anterior, y sin resolver la ecuación de nuevo, ¿de qué número se
trataría si el resultado fuera dieciséis en lugar de catorce? ¿Y si fuera veinte?
3.3. Fracción de la incógnita más la incógnita, en uno de los términos:
¿Cuánto vale un kilo de aceitunas, si el kilo y medio vale seis euros?
Respecto a la expresión anterior, ¿está bien este enunciado de problema?: “Al número
seis le quito un número y me queda la mitad del número que he quitado. ¿De qué
número se trata?
3.4. Fracción de la incógnita, más la incógnita, en ambos términos.
Si la “x” fuera el número de bombones que tiene una cajita, ¿cómo formularías el
problema que, al resolverlo, nos dijera cuántos bombones tiene esa cajita?
3.5. Múltiplo de fracción de la incógnita, más la incógnita, en ambos términos.
2x/3 + x + 2 = 3x – 8.
Si la “x” fuera un número, ¿cómo formularías el problema que, al resolverlo, nos dijera
de qué número se trata?
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