Download PARTE 1
Document related concepts
Transcript
Universidad Nacional de Río Cuarto FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES INGRESO 2010 AREA MATEMÁTICA AUTORES DEL MATERIAL PATRICIA BARBERIS CLAUDIA DENNER MARIA HERRERA ELSA MOSCHETTI ANA ROSSO NORA ZON Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática A LOS ESTUDIANTES Estas notas para el Curso de Ingreso se hicieron usando material ya existente con el agregado de nuevos aportes a sugerencia de distintos profesores que trabajan en materias de primer año de las carreras de nuestra Facultad. Los conceptos que aquí se introducen, en su gran mayoría, ya los has estudiado en la escuela de nivel Medio, son herramientas que deben ser manejadas con soltura por todas aquellas personas que se acerquen a estudiar algunas de las carreras de esta Facultad, hemos elaborado este compendio para facilitar el estudio. IMPORTANTE PARA TU PREPARACIÓN COMO INGRESANTE Te recomendamos que repases a conciencia los temas que están en este material y que trabajes con todo detalle las actividades. Las dudas que te vayan surgiendo tanto de la lectura del material como de la resolución de los ejercicios, es conveniente que las anotes para que durante el desarrollo de las Actividades presenciales del Curso de Ingreso las puedas consultar y sean trabajadas en forma conjunta con el docente y los demás compañeros. Aquí te transcribimos la opinión del Dr. Cristian Sánchez, profesor de la Universidad Nacional de Córdoba. FAMAF, quien ha escrito Estudiar Matemática es una actividad a la que, en general, (siempre hay excepciones) los ingresantes no están acostumbrados. En la escuela ocurren dos posibilidades con los estudiantes: a) La Matemática les resulta fácil. b) La Matemática les resulta odiosa. En el caso (a) no se estudia porque no hace falta y en el caso (b) no se estudia por miles de razones. El resultado es similar en ambos casos. Así las cosas, lo primero que debemos aprender no es la Matemática sino a estudiarla y ese debiera ser el objetivo número uno durante este cursillo y tal vez extenderse mucho más allá. Por supuesto hay tantas maneras de estudiar como de bañarse y a nadie le gusta que le digan que hay que jabonar primero. Sin embargo mi escasa experiencia me indica que hay al menos dos reglas de oro (o de hierro) que quiero compartir con ustedes. I) Nadie maneja un tema a menos que sea capaz de explicárselo a otra persona. Esta regla es sumamente útil como herramienta para evaluar nuestro conocimiento. La segunda regla está muy relacionada con la primera y es muy importante si uno estudia solo. II) El tiempo de escritura debe ser por lo menos el doble del de lectura. Ésta es crucial pues al escribir uno siempre piensa que esto será leído (al menos por uno mismo) y entonces debe entender y explicar los pasos del razonamiento sin aceptar ninguno hasta tenerlo claro. Estas sencillas (o triviales) ideas nos hacen vislumbrar que el tiempo necesario para esta actividad debe ser abundante y la concentración y dedicación necesaria también. Por suerte frente a la Matemática todos somos iguales y todos estamos como el David de Miguel Ángel. El avanzar con éxito depende sólo de nosotros y es un desafío apasionante. Área Matemática Ingreso 2010 2 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Sólo me resta decir que estudiar Matemática, Astronomía, Física o Computación es una formidable aventura en más de un sentido y para lograrlo son necesarias cinco cosas: paciencia, perseverancia, paciencia, entusiasmo y paciencia. Cristián U. Sánchez Que tengan el mayor de los éxitos en la carrera que están iniciando. Río Cuarto, octubre de 2009. Área Matemática Ingreso 2010 3 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática PARTE I LENGUAJES MATEMÁTICOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS En este módulo recordamos distintos lenguajes que se utilizan en diferentes situaciones matemáticas. Luego te encontrarás con los ya conocidos conjuntos numéricos y sus propiedades. También repasamos algunos sistemas de medición, sus relaciones y la notación científica con la que seguramente has trabajado en asignaturas como Física, Química y Biología. 1. LENGUAJES MATEMÁTICOS En Matemática se emplean distintos lenguajes tales como: Coloquial, es el que se utiliza para expresar una idea en forma oral o escrita. Simbólico, es el que permite expresar con símbolos, en forma precisa las ideas dadas en lenguaje coloquial. Tiene la ventaja de ser sintético y claro para las demostraciones y razonamientos. Gráfico, es el que ayuda a aclarar e interpretar algunos conceptos y situaciones. Con el fin de ejemplificar los lenguajes utilizados en Matemática recordemos que, cualquier colección de objetos o individuos se denomina conjunto. Un conjunto está formado por objetos, que se llaman elementos. En el contexto de la Matemática, el término conjunto no tiene una definición, sino que es un concepto primitivo, se llama así por ser el origen de todos los demás conceptos que se generan a partir de él. En esta parte, nuestro objetivo es estudiar aquellos conjuntos que están relacionados con el campo de la Matemática, en particular los conjuntos numéricos. Algunos conjuntos, dados en lenguaje coloquial son: El conjunto de los números enteros. El conjunto de los números naturales mayores que 6 y menores que 10. El conjunto de los números enteros positivos y múltiplos de 3. Cuando usamos el lenguaje simbólico, utilizamos letras mayúsculas para designar los conjuntos y letras minúsculas para designar los elementos. Para simbolizar cuando un objeto es elemento de un conjunto: se escribe a A y se lee "a pertenece a A" o "a es un elemento de A". Para simbolizar cuando un objeto no es elemento de un conjunto se escribe aA y se lee "a no pertenece a A" o "a no es un elemento de A". Los símbolos N, Z, Q y IR servirán para denotar los siguientes conjuntos: : el conjunto de los números naturales Z: el conjunto de los números enteros Q: el conjunto de los números racionales Área Matemática Ingreso 2010 4 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática IR: el conjunto de los números reales Definir un conjunto es describir de manera precisa, sin ambigüedades, cuáles son sus elementos. Existen distintas maneras de definir un conjunto. La forma más simple es por extensión o enumeración, es decir, listando todos los elementos del conjunto separándolos por comas y encerrando todo entre llaves. Otra forma de describir un conjunto es por comprensión, es decir enunciando una propiedad que cumplen sólo los elementos que lo forman. Un conjunto sin elementos se denomina conjunto vacío, se lo denota con el símbolo o . Ejemplo 1: Definimos los siguientes conjuntos por extensión y por comprensión a) A lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo A x / x es un día de la semana B 1, 3 , 5, 7, 9 b) B x / x N, x es impar y 1 x 9 c) C 1, 2, 3 ,4, 5, ..., n,... C x / x N Comentarios El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y los elementos que están repetidos se nombran una sola vez. En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran algunos y se usan los puntos suspensivos (…) para sugerir los elementos faltantes. Sin embargo esta forma de nombrarlos es a veces ambigua, ya que no puede saberse con anticipación los elementos que son omitidos. Por ejemplo, dado el siguiente conjunto, B 3, 5, 7, ,, B podría ser el conjunto de los números impares, o podría ser el conjunto de los números primos mayores que 2. Ejemplo 2: En cada uno de los siguientes incisos se escribe en lenguaje simbólico los conjuntos dados en lenguaje coloquial. a) El conjunto formado por todos los números naturales impares, mayores o iguales que 3. En lenguaje simbólico es: B x / x N, x 2n 1 x 3 El conjunto B tiene infinitos de elementos, entonces no se puede definir por extensión. b) El conjunto formado por los números naturales, comprendidos entre 2 y 26 incluyendo el 2 y 26 y que son potencias de 2. En lenguaje simbólico es: C x / x N, x 2 n , n 1,2,...,6 El conjunto C es finito, entonces también lo podemos definir por extensión, esto es Área Matemática Ingreso 2010 5 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática C 2, 4, 8, 16 , 32, 64 c) El conjunto formado por los números naturales que sean pares e impares a la vez. Este conjunto no tiene elementos y se simboliza A x N / x 2n y x 2n 1 , n N d) El conjunto de los números reales menores que cero y mayores que cero. En símbolos: B x IR / x 0 y x 0 En los ejemplos dados anteriormente se ha usado el lenguaje coloquial y el lenguaje simbólico. Ahora haremos referencia al uso del lenguaje gráfico de conjuntos. Este lenguaje es de suma importancia en la Matemática ya que la gráfica de una situación ayuda a la comprensión del problema. Los conjuntos se representan gráficamente usando diagramas de Venn. En este tipo de diagramas un conjunto se representa con una curva cerrada, y sus elementos con puntos en el interior. Por ejemplo, al conjunto A 1, 2, 3 lo podemos representar con diagramas de Venn así: A .1 .3 .2 Cuando trabajamos con conjuntos, es necesario el uso de frases tales como: “para todo x del conjunto S…” o bien “existe un elemento x de S, tal que…”. Estas expresiones se pueden escribir en símbolos de la siguiente manera: x S , tal que…. x S , tal que…. Los símbolos , se denominan cuantificadores. Ejemplo 3: a) Si decimos “Todos los números naturales son positivos” Es claro que hemos enunciado una proposición general y relativa a todos los números naturales. Otra expresión de esta proposición es: “Cualquier número natural es positivo” En lenguaje simbólico ambas expresiones coloquiales se expresan: x , x es positivo b) Si decimos "Existe un número entero que es impar" Este enunciado, también puede expresarse como: "Hay al menos un número entero que es impar" Que en símbolos ambas expresiones se simbolizan como: x Z, x es impar. Área Matemática Ingreso 2010 6 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Un problema de interés es la negación de los cuantificadores. Por ejemplo, dada la siguiente expresión coloquial: "Todo número entero es impar" que en símbolos se escribe x Z , x es impar En lenguaje coloquial su negación se expresa como: “No todos los números enteros son impares” También podemos decir: “Existen enteros que no son impares” Ambas expresiones se traducen en símbolos así: x Z, x no es impar Ejemplo 4: Analicemos los distintos cambios de lenguaje en las siguientes situaciones a) Lenguaje simbólico 5x+1 5(x + 1) 4 (3x+1) Lenguaje coloquial quíntuple de un número más uno quíntuple de, un número más uno cuádruple de la suma entre el triple de un número y uno b) Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico El cuadrado de la suma entre a y b (a + b)2 El duplo del cuadrado de un número 2x2 +5 aumentado en 5. La suma de dos números pares 2n + (2n+2) consecutivos ¿Cómo se puede decidir si un enunciado matemático es verdadero o falso?, ¿cómo es posible explicar la decisión tomada? En algunos casos la tarea es sencilla, por ejemplo, dado el enunciado 6 es un número par para decidir cual es su valor de verdad basta con recordar propiedades de los números naturales pares como: Los números naturales pares al dividirlos por 2 dan resto cero. Un número natural par es un múltiplo de 2. Por lo tanto, como al dividir 6 por 2 se obtiene cociente 3 y resto cero y además 6 es múltiplo de 2 ya que 6 = 2.3, es posible concluir que el enunciado es verdadero y las propiedades utilizadas justifican la decisión tomada. Podemos proceder de manera similar para determinar el valor de verdad de: 3 es un número par Área Matemática Ingreso 2010 7 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática En este caso, como el resto que se obtiene al dividir 3 por 2 es 1, se concluye que el enunciado es falso. Sin embargo, en Matemática se trabaja también con enunciados como: 1.2.3.4.- x IR tal que x 2 1 0 x IR tal que 2 x 2 x 1 x IR , x 2 0 x IR , x 2 5 ¿Cómo trabajar en estos casos? 1.- Para determinar si la proposición es verdadera debemos encontrar algún número real que verifique la igualdad x 2 1 0 o equivalentemente x 2 1 , como no hay ningún número real que elevado al cuadrado dé por resultado un número negativo no existen valores que verifiquen la ecuación dada. Se puede concluir, entonces, que el valor de verdad del enunciado es falso. 2.- Nuevamente, para determinar el valor de verdad, se debe determinar si existe algún número real que verifique la igualdad 2 x 2 x 1 o equivalentemente 2 x 2 x 1 0 . Si se resuelve la ecuación 2 x 2 x 1 0 se obtienen dos 1 soluciones x y x 1 . ¿Cuál es entonces el valor de verdad del enunciado? 2 3.- Para decidir si la desigualdad x 2 0 se cumple para todo número real, se puede analizar los posibles signos de x en el producto x. x ; si x es positivo, el producto resultará positivo y si x es negativo, el producto también resultará positivo, además, si x=0 resulta también que x 2 = 0, luego cualquiera sea x se verifica la desigualdad y por lo tanto el valor de verdad del enunciado es verdadero. 4.- Para verificar si la desigualdad x 2 5 se cumple para todo número real, debemos resolver la inecuación x 2 5 , despejando resulta x 3 . ¿Qué significa este resultado?, ¿cuál es el valor de verdad del enunciado? En este caso es posible determinar el valor de verdad sin necesidad de resolver la inecuación x 2 5 , notemos que si se reemplaza x por 4 la desigualdad no se verifica y por lo tanto el enunciado que estamos analizando resulta falso, el número 4 recibe el nombre de contraejemplo, es decir un ejemplo que muestra que el enunciado no es verdadero La tarea de determinación y justificación del valor de verdad de los enunciados matemáticos es muy importante y requiere tanto de la lectura cuidadosa del enunciado como del manejo de propiedades. 2. CONJUNTOS NUMÉRICOS Todos sabemos que los Números Naturales () adquieren distintos significados en función de los contextos en que son presentados; por ejemplo se utilizan para contar, cuando contamos los alumnos que hoy asistieron a clase, o para establecer un orden, cuando decimos que Japón es la cuarta potencia mundial. También en el mundo actual Área Matemática Ingreso 2010 8 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática están presentes a través de la “tecla” o “botón” cuando se los usa como indicadores de acciones. Como este conjunto está en las acciones cotidianas y además es importante para la labor matemática haremos un repaso de sus propiedades. Algunas propiedades del conjunto de números naturales: Tiene primer elemento, el cual es el 1. No tiene último elemento. Todo número natural tiene un sucesor. Un número natural y su sucesor se llaman consecutivos. Es un conjunto infinito. Todo número excepto el primero (uno) tiene antecesor. Entre dos números naturales consecutivos no hay ningún número natural. A cada conjunto que tiene esta propiedad se lo llama conjunto discreto. Su representación en la recta es 1 2 3 4 Los números naturales no alcanzan para resolver todas las situaciones que hacen referencia a cantidades. Así por ejemplo, si hay que indicar con un número que Aristóteles nació 384 años antes de Cristo, se escribe -384 o si queremos hallar el número que sumado a 6 sea igual a 4, la respuesta es -2. Ambas situaciones dan resultados que no pertenecen al conjunto de los números naturales. Definimos así un nuevo conjunto formado por los números naturales, 1, 2, 3, , sus opuestos, ,3, 2, 1 , y el cero. Este conjunto es el de los Números Enteros (Z). Y su representación en la recta es: -2 -1 0 1 2 Detallamos a continuación algunas propiedades del conjunto de los números enteros Todos los números enteros tienen un único antecesor y un único sucesor. Es un conjunto infinito que no tiene ni primer ni último elemento. Es un conjunto discreto. Se puede observar que si se suman, restan y multiplican dos números enteros se obtiene un número entero, lo cual se expresa diciendo que el conjunto de los números enteros es cerrado para la suma, la resta y el producto. Los números naturales ¿serán cerrados con respecto a estas operaciones? Dos relaciones importantes en este conjunto son: Una relación de orden, que indicaremos con , de la siguiente manera: a < b si y solo si a - b es un número negativo Área Matemática Ingreso 2010 9 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Una relación de divisibilidad con la cual construimos un nuevo objeto de estudio matemático denominado: Teoría de Números Enteros o Aritmética. Su punto de partida es la siguiente definición Si a y b son dos números enteros, diremos que “a divide a b” si y sólo si existe un número entero c tal que b a c En tal caso, utilizaremos la notación ab. A menudo nos referiremos a la situación anterior empleando las expresiones alternativas “a es divisor o factor de b” o “b es un múltiplo de a”. Observemos además que en la relación anterior los roles de a y c son idénticos, por lo que también se dice que c es un divisor de b Por ejemplo, 15 es un divisor de 135 pues 135 15 9 ; por otro lado se puede decir que 135 es un múltiplo de 15 y es un múltiplo de 9. Usando estos conceptos intenta responder a) ¿El producto de dos múltiplos de 5 es un múltiplo de 5 ? b) ¿Por qué 44 55 77 es múltiplo de 11? c) ¿El resultado de sumar dos múltiplos de 5 es siempre un múltiplo de 10 ? ¿Qué condiciones deben cumplir dos múltiplos de 5 para que su suma sea múltiplo de 10 ? Si bien ampliamos el conjunto original de los números naturales, N, al conjunto de los números enteros, Z, éstos no son suficientes para dar respuesta a situaciones como la siguiente: Hallar el número que multiplicado por 5 dé como resultado 2 ¿Estás de acuerdo que la respuesta no es un número entero? Para obtener el resultado debemos hallar un número “ n ” tal que 5 n 2 , entonces la solución es n = 2/5, así el valor de n es una fracción la cual no pertenece al conjunto de los números enteros (Z). Este tipo de números también aparecen cuando medimos longitudes, capacidades, volúmenes, áreas, tiempos, etc, utilizando una unidad de medida. Cuando medimos establecemos cuántas veces cabe la unidad en aquello que queremos medir. Pero sea cual fuera esa unidad, no siempre ésta cabe una cantidad entera de veces, y debemos fraccionarla. Las fracciones se representan como cocientes entre dos números enteros, llamados numerador y denominador respectivamente, siendo el denominador distinto de 0 (para que el cociente este definido). Las fracciones irreducibles son aquellas cuyos elementos no tienen divisores en común, es decir, el numerador y denominador no son ambos divisibles por un mismo número entero, excepto 1 y −1. Por ejemplo 1 / 3 , 10/ 9 el numerador no es múltiplo del denominador o viceversa. Las fracciones irreducibles tienen la propiedad que toda fracción Área Matemática Ingreso 2010 10 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática equivalente a ella se obtiene multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por un mismo entero no nulo. 10 es una fracción irreducible y algunas de sus fracciones 9 10 (20) 30 equivalentes son: . (9) 18 27 Por ejemplo Recuerda: todas las fracciones equivalentes representan el mismo número. Resumiendo: el conjunto de los Números Racionales (Q) está formado por expresiones de a la forma , con a, b Z , b 0 . Además, observa que todo número entero es un número b m m Q . racional, o sea si m Z entonces m y 1 1 La representación de estos números en la recta real es: - 1 0 1 4 4 2 4 3 4 4 1 4 Repasemos ahora algunas características del conjunto de los números racionales: No tiene ni primer ni último elemento. El conjunto de los racionales es infinito. No se puede hablar del sucesor de un número racional porque entre dos números racionales siempre hay otro número racional. De esta propiedad se deduce que: “Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales”. El conjunto de los números racionales conserva la propiedad de ser cerrado para las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. La única operación no permitida es la división por cero. Relación entre expresiones fraccionarias y decimales Recordemos ahora la relación que existe entre las expresiones fraccionarias y las expresiones decimales. Sabemos que siempre es posible expresar a los números racionales en notación decimal; distinguimos dos casos: Las fracciones equivalentes a una fracción con denominador 1, 10, 100 u otra potencia de 10 tienen una expresión decimal finita, y se denominan fracciones decimales o números decimales exactos. 1 7 28 0,5 ; 0,28 . Por ejemplo, 2 25 100 Las fracciones que no son equivalentes a una expresión cuyo denominador es potencia de 10 tienen una expresión decimal infinita periódica. Esto significa que en la parte decimal existe una secuencia de uno o más números que se repite indefinidamente. A dicha secuencia se la denomina período. Estos números se llaman números decimales periódicos. Área Matemática Ingreso 2010 11 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática 1 0,33333 0,3 y su período es 3. 3 3549 13 0,1313 0,13 ; 3,58484 3,5 84 . Otros ejemplos: 99 990 Por ejemplo, Esto nos lleva a la siguiente conclusión: Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto o como un número decimal periódico. a , si realizamos la división de a por b b obtenemos la expresión decimal de dicho número racional. Ahora bien, dada la expresión decimal, ¿podremos encontrar siempre una fracción que la represente? En estas circunstancias debemos analizar dos casos. Además, sabemos que dada una fracción Si el número es decimal exacto es fácil encontrar su expresión fraccionaria equivalente. 5 1 154 77 13 0,5 Ejemplos ; 1,54 ; 1,3 10 2 100 50 10 Si el número es decimal periódico procedemos de la siguiente manera: Sea el número x = 0,315315315..... para encontrar su expresión fraccionaria multiplicamos a x por una potencia de 10 de manera que un período sea entero, es decir, quede delante de la coma. Para el ejemplo dado 1000 . x = 315,315315315…. Restando miembro a miembro las siguientes igualdades: 1000 . x = 315,315315315… _ x = 0,315315315… 999 . x = 315 315 . Esta es la fracción que representa la 999 expresión decimal dada. Notar que cuando tenemos la expresión decimal 3 1 x 0,3333 0,3 , la podemos transformar en x , ambas expresiones 9 3 representan al mismo valor. Para hacer cálculos con expresiones periódicas se utiliza una aproximación, es decir se consideran sólo algunos decimales del valor exacto, por ejemplo x 0,3333 0,3 . Despejando el valor de x resulta x Analicemos ahora la siguiente situación, se desea determinar La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado igual a uno Área Matemática Ingreso 2010 12 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática 1 Aplicando el Teorema de Pitágoras, la diagonal de un cuadrado de lado 1 es un número x tal que x 2 12 12 2 , de donde x 2 , como buscamos una longitud nos quedamos con x 2 . Por otro lado sabemos que 2 1,41421356237310 . No es difícil probar que este número no puede ser representado como el cociente de dos números enteros, por lo tanto no es un número racional. Podemos así construir un nuevo conjunto numérico a partir de expresiones decimales infinitas no periódicas, llamado Números Irracionales (I). El conjunto formado por los números racionales y los números irracionales es el conjunto de los Números Reales (IR). En el siguiente Diagrama de Venn se muestran las relaciones entre los distintos conjuntos de números. IR I I Q Z N A partir de este esquema podemos introducir algunos conceptos tales como: El conjunto que contiene todos aquellos elementos posibles dentro de la temática que se está tratando se llama Conjunto Universal. En general es denotado por U . En los conjuntos de números considerados, el conjunto universal es el conjunto de los números reales, o sea U IR. Dados A y B dos conjuntos de U, se dice que el conjunto A es un subconjunto B si y sólo sí todo elemento de A es también elemento de B, esta relación se denomina Inclusión. Lo denotamos con A B . Expresado en símbolos resulta: A B x A x B Área Matemática Ingreso 2010 13 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática En el esquema anterior podemos establecer las siguientes relaciones entre conjuntos, N Z , Z Q , Q IR y I IR . Dados A y B dos conjuntos de U, la unión de A con B, es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A o pertenecen a B, y la denotamos como A B , en símbolos escribimos: A B x U / x A x B Con esta operación entre conjuntos podemos definir a los números reales como IR Q I . Dados A un conjunto de U, el complemento del conjunto A , es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a U y que no pertenecen a A . Lo denotamos por A C . La definición en símbolos es: AC x U / x A En el caso de los conjuntos numéricos, hemos considerado U IR, luego se verifica que IC= Q y QC = I. Dados A y B dos conjuntos de U, la intersección de A y B , es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B simultáneamente. A esta operación la denotamos como A B . En símbolos resulta: A B x U / x A x B Observamos que Z N = Z , Z N = N y Q I = . Propiedades de las Operaciones entre los números reales A continuación recordemos algunas propiedades de las operaciones entre números reales (suma, resta, multiplicación, división, potencia y radicación). Propiedad Conmutativa De la suma: a b b a, a, b IR. Del producto: a.b b.a, a , b IR. Recordemos que , puede leerse para cualquier a o para todo a. Propiedad Asociativa De la suma: (a b) c a (b c), a ,b , c IR. Del producto: (a.b).c a.(b.c), a ,b , c IR. Existencia de inverso De la suma: x IR, x IR / x x 0 inverso aditivo, al número cero se lo llama elemento neutro de la suma. 1 1 IR / x. 1 inverso multiplicativo, al Del producto: x IR, x 0 x x número uno se lo llama elemento neutro del producto. Área Matemática Ingreso 2010 14 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Propiedad Distributiva Del producto con respecto a la suma: a.(b c) a.b a.c, a ,b , c IR. Del producto con respecto a la resta: a.(b c) a.b a.c, a ,b , c IR. De la potencia con respecto al producto: (a.b) n a n .b n , a , b IR, n N. n an a De la potencia con respecto a la división: , a , b IR, con b 0 , b bn n N. De la radicación con respecto al producto: Si n N y n es impar, entonces n a.b n a .n b n Si n N y n es par, entonces a.b n a .n b a , b IR . a , b IR 0 . De la radicación con respecto a la división: a na Si n N y n es impar, entonces n a , b IR b 0 . b nb a na Si n N y n es par, entonces n a , b IR a 0, b 0 . b nb Recuerda la siguiente equivalencia, útil a la hora de operar m an n a m a IR 0 , m, n IN. Propiedad del producto y cociente de potencias de igual base: a n .a m a n m a IR y m, n N. an a n m a IR, con a 0 y, m, n N. am Te sugerimos que pruebes esta última propiedad, recordando para ello que 1 a n n a IR con a 0 y n N. a Propiedad de potencia de potencia: a m n a m.n a IR y m, n N. Pero… ¿qué sucede con el 0 y con el 1 en la suma, el producto y la potencia respectivamente? a 0 0 a a, a IR. a.1 1.a a , a IR. a1 a , a IR . a 0 1 , a IR, a 0 . Área Matemática Ingreso 2010 15 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática 1a 1 , a IR. 0a 0 , a 0 , a IR. ¿Por qué a debe ser a positivo? a, b IR, se verifica: a b 0 si y sólo si a 0 o b 0 . Además, recordemos algunas propiedades donde los números 0 y 1 juegan un rol importante ya sea por ser el resultado de cierta operación o por la atención que hay que poner cuando se opera con ellos. Todo número real multiplicado por 0 (cero) da como resultado 0. Todo número real dividido por la unidad (1) da por resultado el mismo número. La raíz de cualquier índice del número 0 es cero. La raíz de cualquier índice del número 1 es uno. Te proponemos que escribas las cuatro últimas propiedades en lenguaje simbólico o matemático. Algunas otras propiedades Es importante notar que la potenciación y la radicación no son distributivas con respecto a la suma y la resta. Por ejemplo: 3 52 32 5 2 ya que 3 52 8 2 64 34 32 5 2 9 25 . 3 53 33 53 . Verifícalo. Repasemos las siguientes identidades. Diferencia de cuadrados: La diferencia entre los cuadrados de dos números es igual al producto entre la diferencia y la suma de estos números. Así por ejemplo 32 5 2 3 53 5 ; 8212 820 2 821 820821 820 En general a 2 b 2 a ba b . Cuadrado de un binomio: El cuadrado de una suma de dos números es igual al cuadrado del primer término. más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. En símbolos escribimos: a b2 a 2 2ab b 2 o a b2 a 2 2ab b 2 Por ejemplo: a) 2 52 2 2 2 2 5 52 . b) 3 52 3 52 32 2 3 5 52 32 2 3 5 52 . Estas identidades surgen fácilmente aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta, y suelen ser muy útiles a la hora de realizar ciertos cálculos. Área Matemática Ingreso 2010 16 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Ejemplo 5: Con la siguiente situación queremos mostrar la importancia del uso de las propiedades para simplificar un cálculo hasta obtener una expresión más simple o reducida conservando su valor. 3 2 5(32) 1 2 9 50 3 2 5 32 9 50 3 2 5 25 9 522 3 2 5 24.2 9 522 3 2 5 24 2 9 52 2 3 2 5.22. 2 9.5 2 3 2 20. 2 45 2 (3 20 45) 2 (62) 2 ¿Es posible obtener un resultado exacto usando la calculadora? Justifica tu respuesta. Racionalización de denominadores: Es el procedimiento que nos permite escribir expresiones equivalentes sin utilizar raíces en el denominador. Consideremos dos casos: El denominador sea un único término con raíz de la forma n a p , en cuyo caso se multiplica numerador y denominador por la misma raíz de índice n, la misma base a y un nuevo exponente m tal que m + p = n Ejemplo 6: Dada la expresión 2 3 5 3. x 2 3 3 5 x2 2 3 3 5 x2 5 x3 5 x3 2 , x 0 racionalizamos de la siguiente forma: 2 3 5 x3 3 5 x5 2 3 5 x3 3x El denominador tenga un binomio, donde uno o los dos términos son raíces cuadradas, en cuyo caso se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador con el fin de que surja una diferencia de cuadrados. Recordemos que si a y b son números reales se dice que el conjugado de (a + b) es (a – b). Ejemplo 7: 3 1 3 1 3 1 3 3 3 2 3 1 3 12 3 2 3 3 3 3 3 3 1 3 2 2 Relación de Orden La relación de orden definida para los números enteros y/o racionales, también es válida para los números reales. Recordemos la definición: Área Matemática Ingreso 2010 17 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática a < b sí y sólo sí a - b es un número negativo Propiedades de la relación de orden Si a , b IR, se cumple una y sólo una de las tres afirmaciones siguientes: a b, a b , a b , Si a b entonces a c b c . Si a b y c > 0 entonces ac bc . Si a b y c < 0 entonces ac bc . Para la resolución de los ejercicios es importante que tengas en cuenta el significado de las propiedades mencionadas. Observa que cuando se suma un número cualquiera o multiplicas por un número positivo a ambos miembros de una desigualdad, la misma no varía. Mientras que si se multiplica por un número negativo, la desigualdad se invierte. Ejemplo 8: 2 15 2 7 15 7 2 15 2.7 15.7 2 15 2. 7 15. 7 INTERVALOS Entre los conjuntos de números que usaremos más a menudo se encuentran los Intervalos. En forma general los podemos definir como un subconjunto de los números reales. Existen distintos tipos de intervalos, como se muestra a continuación: Consideremos dos números reales fijos a y b, con a < b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto de los números reales x que están entre a y b, sin tener en cuenta los extremos. Se lo denota como (a,b). Los números reales x del intervalo abierto (a,b) son aquellos para los que a < x < b. Usando la notación de conjuntos queda ( a,b ) x IR : a x b . Esta igualdad se lee: el intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de los números reales x tales que x es mayor que a y menor que b. Gráficamente se lo representa en la recta numérica ó recta real de la siguiente forma: ( ) a b Si a = b entonces (a,b) = (a,a), luego el intervalo no tiene ningún elemento o sea (a,b)=Ø. Un intervalo cerrado de extremos a y b, es el conjunto de los números reales x que están entre a y b, incluyendo los extremos. Lo denotamos como [a,b]. Los números reales x del intervalo cerrado [a,b] son aquellos para los que a x b. Usando la notación de conjuntos es: a,b x IR : a x b Esta igualdad se lee: el intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de los Área Matemática Ingreso 2010 18 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática números reales x tales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Gráficamente se lo representa en la recta numérica de la siguiente forma: [ ] a b Si a = b entonces [a,b] tiene un sólo elemento y se escribe [a,b] = {a} = {b}. La diferencia entre un intervalo abierto y uno cerrado es que el primero no contiene los valores extremos y el segundo si. Además de intervalos abiertos y cerrados podemos considerar los intervalos semi-abiertos. Se llama intervalo abierto a la derecha de extremos a y b al conjunto de los números reales x tales que a x b y se escribe [a, b) . Es decir [a, b) x IR : a x b. Se lee: el intervalo abierto a la derecha de extremos a y b es el conjunto de los números reales x tales que son mayores o iguales que a y menores que b. Gráficamente se lo representa en la recta numérica de la siguiente forma: [ ) a b Se llama intervalo abierto a la izquierda de extremos a y b al conjunto de los números reales x tales que a x b y se escribe (a, b] . Es decir, (a, b] x IR : a x b. Se lee: el intervalo abierto a la izquierda de extremos a y b es el conjunto de los números reales x tales que son mayores que a y menores o iguales que b. Gráficamente se lo representa en la recta numérica de la siguiente forma: ( ] a b Ejemplo 9: Analicemos los siguientes intervalos, la forma de expresarlos y su representación gráfica en la recta real. a) Al conjunto B x IR : 3 x 3 podemos escribirlo como B 3, 3 y lo representamos: ( -3 ) 3 0 b) Al conjunto C x IR : 4 x 3 lo escribimos como C 4,3 y lo representamos de la siguiente manera. [ ] -4 3 0 c) Si E x IR : 3 x 3 entonces E 3,3 y lo representamos: ( -3 Área Matemática ] 0 Ingreso 2010 3 19 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática ¿Los siguientes conjuntos son Intervalos? F x IR : x a, a IR H x IR : x a, a IR G x IR : x a, a IR K x IR : x a, a IR Sí, también son intervalos, a los que llamaremos Intervalos Infinitos, luego F x IR : x a x IR : a x (a,) y su representación gráfica es: ( a El símbolo + ∞ se lee “mas infinito” y - se lee “menos infinito”. No son números, son solamente símbolos convencionales para indicar que se consideran todos los números hacia la derecha (o hacia la izquierda) de un punto fijo a . Intenta escribir y representar gráficamente en la recta real los demás conjuntos dados en el párrafo anterior. Un conjunto de números reales no necesita ser obligatoriamente un intervalo. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de los números naturales, se ve que tiene infinitos elementos aislados y no es un intervalo. Dentro de los subconjuntos de la recta hay gran variedad de posibilidades, conjuntos con un número finito de puntos, combinaciones de intervalos, etc. A continuación mostramos intervalos infinitos y sus distintas representaciones a) E x IR : x 3 podemos escribirlo como E , 3 y representarlo ] -3 0 3 b) G x IR : 3 x podemos escribirlo como G 3, y representarlo ( -3 0 Ejemplo 10: Dados los siguientes conjuntos de números reales: B x IR : 1 x 3 ; C x IR : 2 x 5 ; D x IR : 2 x 0, Determinar cuáles son los números que están: a) en B o en C. b) en B o en C o en D, c) en B y C al mismo tiempo d) los que están en los tres simultáneamente. Solución Primero reconozcamos gráficamente cada conjunto para luego responder Área Matemática Ingreso 2010 20 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática B x : 1 x 3 (1,3) ( -1 ) C x : 2 x 5 [2,5] 0 D x : 2 x 0 (2,0] 3 0 ( ] -2 0 [ ] 2 5 a) Elementos que están en B o en C, se escribe B C , para este caso resulta B C (1, 5] b) Elementos que están en B o en C o en D, se escribe B C D , en este ejemplo B C D (2, 5] c) Elementos que están en B y C al mismo tiempo, se escribe B C , en este ejemplo resulta, B C [2, 3) d) Elementos que están en los tres conjuntos simultáneamente, es decir en B y C y D, se escribe B C D y, en este ejemplo resulta, B C D B C D = 2, 3 2, 0 = ACTIVIDADES 1) Expresa en lenguaje simbólico los siguientes enunciados: a) Un número par. b) Un número par siguiente a 2n. c) Tres números pares consecutivos. d) El triple de un número impar. e) El cuadrado de la suma de dos números. f) La suma de los cubos de dos números. g) La diferencia de un número y su cuadrado. h) El cuadrado de un número más el doble del mismo número. 2) Expresa en lenguaje coloquial o natural x2 a) 2x b) 2 x d) a2 + b2 e) x 2 2 c) x 2 f) 2.(x2 – y2) 3) Determina el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados, donde IR es el conjunto universal. Área Matemática Ingreso 2010 21 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales x, x 2 x a) Departamento de Matemática b) x, 2 x x c) x, x 3 x 4) Sea A = {1; 2; 3; 4} el conjunto universal. Determina el valor de verdad de cada enunciado. x, x 3 6 a) c) x, 2 x 2 x 15 b) x, x 3 6 5) En el siguiente gráfico a cada región le asociamos su área. Al cuadrado externo se le asocia el área 1 y las divisiones de los lados se realizan en partes iguales. a) ¿Qué número corresponde al área de la región sombreada? Escribe el procedimiento que has realizado. b) ¿El número que le corresponde a esta área será racional? ¿Por qué? Rta.: 145 324 6) Realiza los siguientes cálculos 1 1 2 5 3 5 3 5 a) 3 4 2 b) 2 5 c) 3 2 4 1 3 3 3 2 4 4 5 d) 1 5 2 2 2 1 1 3 7 13 5 2 e) 2 1 3 5 5 1 3 3 2 2 2 f) 1 2 5 1 6 3 2 3 4 3 g) (5 + 2.(−4))2: (−3) − (5 ・ (−4) + (−6)) − (−1)2 Área Matemática Ingreso 2010 22 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales 1 3 1 1 5 2 4 5 3 3 1 1 4 j) 31 1 1 6 5 2 1 6 1 1 i) 2 2 3 5 18 6 h) 3 4 3 3 1 5 5 m) 2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 2 1 5 4 1 4 n) 11 2 3 2 8 Rtas: a) 9/2 h) 31/20 k) (3-2 + 2-1) 1 l) b) 1/9 i) -1/5 Departamento de Matemática c) – 33/8 j) 40/31 1 3 1 d) – 4/25 k)11/18 e) 27/14 l) 3/4 f) – 53/6 m) 1/2 g) 22 n) 6/25 7) Dados los siguientes pares de números indica la relación <, > ó = existente entre ellos. 2 1 1 10 2 a) 1 c) 0 ,33 e) 0 ,2 b) 3 3 10 3 5 2 3 2 3 d) 1,25 f) g) 4 3 4 3 4 8) Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales y represéntalos en una recta numérica: 9/4 ; - 2/3 ; - 6/5 ; 7/3 ; - 7/4 9) a) Representa gráficamente en la recta numérica los siguientes conjuntos: i. los números enteros entre −5,3 y 10,5, ii. los números naturales entre −5,3 y 10,5, iii. los números reales entre −5,3 y 10,5. b) ¿cómo puedes representar los números racionales entre −5,3 y 10,5? c) ¿Qué puedes notar en la representación de los conjuntos anteriores? 10) Determina, sin hacer la división de numerador por denominador, cuáles de los siguientes números racionales tienen una representación decimal finita y cuáles no. Área Matemática Ingreso 2010 23 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática 37/5 ; 19/3 ; 57/6 ; 270/75 ; 28/700 ; 521/124 11) Para cada uno de los siguientes números, determina si son naturales, enteros, racionales o reales y ubícalos en una sola recta numérica: −5 4 5 4,3 3 4 4 0,025 2,7172 -3 - 12 π 16 16 4 25 36 3 0,999…. 12) Escribe al menos 10 números racionales que estén comprendidos entre: a) 0 y 1 b) 1/2 y 3/5 c) 2 y 5 Ayuda: Recuerda que entre dos números racionales siempre hay otro número racional, por ejemplo el punto medio entre ellos que se obtiene realizando la suma de los dos números y dividiendo dicha suma por el número 2. 13) Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones. Representa la solución en la recta real. 1 1 x4 0 d) 0 a) 3x 3 0 b) 3 x 5 x c) 1 x 2 x 2 14) Indica si las siguientes afirmaciones son correctas o no, realizando los cálculos correspondientes: a) 2 2 3 2 2 3 es un número irracional. b) ( 2 − 3)2 · ( 2 + 3)2 es un número entero. c) ( 3 9 )2 − ( 3 8 )2 = 3 9 3 8 3 9 3 8 d) 3 2 7 5 3 49 25 15) Indica si las igualdades siguientes son correctas. Si no lo son, escribe correctamente a qué es igual el miembro izquierdo de la igualdad, si es posible. a) ab a b b) (a + b)2 = a2 + b2 c) 42 4 d) 3 6 36 4 9 49 e) 81 4 81 4 f) 5 g) 2 h) (-a)0 = -a Área Matemática Ingreso 2010 85 = −8 24 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales i) 4 2 2 3 3 0 Departamento de Matemática j) 23 = 32 16) Utilizando las propiedades adecuadas, establece si la expresión de la izquierda es menor, mayor o igual a la expresión de la derecha, según corresponda. Detalla las propiedades que has utilizado para establecer las relaciones solicitadas. a) 2 4 8 b) . 1 5 625 4 32 1/ 3 4 4 c) . 3 3 5 d) 5 1 e) 3 2 g) . 2 5 17) Sabiendo que a 1 2 625 . 2/3 1 17 7 1 4 3 1 5 2 3 . 5 5 determina 1 a a 18) Calcula los números: (5−2 + 12−2)1/2 y (5-2)1/2 + (12-2)1/2 ¿Son iguales o distintos? 19) Resuelve e indica las propiedades y/o definiciones que has utilizado a) 272/3 d) 493/2 b) 82/3 e) (0,125)- 1/3 c) 320,4 f) 32- 3/5 20) Encuentra una expresión equivalente de modo que no queden raíces cuadradas en el denominador: 4 62 2 a) b) c) 5 3 6 2 2 3 21) Escribe los siguientes conjuntos en forma de intervalos y luego represéntalos sobre la recta real: a) A= x IR/ 3 x 4,5 b) B= x IR / 1 x 6 c) C = x IR / 4,5 x 1,5 d) D x IR / 0 x 2,5 22) Escribe en lenguaje simbólico y grafica sobre la recta real los intervalos a) A = (-∞; -3] b) B = [4; +∞) c) C = (-6; +∞) 23) Dados los intervalos A = [-1; 3] y B = (-2; 2) ; U=IR a) Área Matemática Encuentra los conjuntos A B, A B , A C , B C A , A C B Ingreso 2010 25 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales b) Área Matemática Departamento de Matemática Representa gráficamente los conjuntos anteriores. Ingreso 2010 26 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática PARTE II MEDIDAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA Para lograr una comunicación seria, verdadera y duradera entre los pueblos, se impone el uso de un sistema de medida acordado a nivel mundial, que recibe el nombre de SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI). En nuestro país, ese sistema se llama SIMELA, que significa Sistema Métrico Legal Argentino. Este sistema acepta y toma las unidades, múltiplos y submúltiplos del Sistema Internacional de Unidades 1. UNIDADES DE MEDIDA ¿Qué significa medir? Medir es comparar un objeto con otro ya fijado anteriormente como unidad. ¿Qué medimos? Dado un objeto le medimos, entre otras cosas, su ancho, su alto, su peso, su temperatura, su volumen, etc. Es decir, sólo medimos una característica si existe algún instrumento de medición. Estas características se llaman magnitudes. Para expresar correctamente una medida debemos indicar: el número y la unidad de magnitud. Por ejemplo para especificar el contenido de líquido en una botella escribimos 970 cm3 y para informar el contenido de un paquete de cereal escribimos 250 gramos. Prefijos La utilización del sistema decimal permitió establecer un sistema de prefijos útil para todo tipo de unidades. En las siguientes tablas especificamos los prefijos y su relación con la unidad. Prefijo Kilo Hecto Deca Símbolo Relación con la unidad K 1000 veces H 100 veces Da 10 veces Unidad principal 1 Deci Centi Mili d 1 / 10 parte c 1 / 100 parte m 1 / 1000 parte Aplicando los prefijos a las distintas medidas resulta: Medidas de longitud Kilo metro Hecto metro Deca metro Símbolo Medidas de capacidad Km Kilo litro Hm Hecto litro Dam Deca litro Símbolo Medidas de masa Kl Kilo gramo Hl Hecto gramo Dal Deca gramo Símbolo Kg Hg Dag Área Matemática metro Unidad principal m litro Unidad principal l gramo Unidad principal g Ingreso 2010 Deci metro Centi metro Mili metro dm Deci litro cm Centi litro mm Mili litro Dl Deci gramo cl Centi gramo ml Mili gramo dg cg mg 27 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Las magnitudes más utilizadas son: Longitud Es una magnitud física que expresa la distancia entre dos puntos. Su unidad en el Sistema Internacional es el metro. Capacidad Es una magnitud propia de los cuerpos. Se refiere a la medida del interior del recipiente y su unidad en el Sistema Internacional es el litro. Masa Es la magnitud que caracteriza la cantidad de materia de un objeto. Su unidad en el Sistema Internacional es el gramo. ¿Masa o Peso? Cada uno de los cuerpos que nos rodean está formado por una determinada cantidad de materia que conocemos con el nombre de masa del cuerpo. La masa de un cuerpo es constante. En cambio el peso de un cuerpo es la fuerza de atracción que ejerce el centro de la Tierra sobre dicho cuerpo. Dicha fuerza depende de la altura sobre el nivel del mar y la latitud en que se encuentra el cuerpo. Por lo tanto el peso de un cuerpo varía según su ubicación con respecto al centro de la Tierra, o sea el peso es una magnitud vectorial. El peso de un cuerpo se mide en: kg (kilogramo fuerza), g (gramo fuerza), mg (miligramo fuerza). Los conceptos de peso y masa, a pesar de medir diferentes características de un objeto se suelen confundir o tomar como sinónimos. En general, esto se debe al hecho de que una masa de 1kg a 45° de latitud y a nivel del mar pesa 1 kg . Una situación que nos permite diferenciar entre "peso" y "masa" es la de un astronauta en el espacio. ¿Cuál es su peso y su masa? Superficie Es una magnitud que está relacionada con el área que ocupa un determinado objeto. Su unidad en el Sistema Internacional es el metro cuadrado. Para relacionar al metro cuadrado con otras medidas (más grandes o más chicas) que también indican área. Utilizamos las siguientes relaciones: Km2 1.000.000 m2 hm2 dam2 m2 2 10.000 m 100 m2 1 dm2 Cm2 1 0,01 m2 100 1 0,0001 m2 10.000 mm2 0,000001m 2 Es importante tener presente que cuando indicamos la medida de una superficie estamos hablando de su área, por lo que las medidas de superficie tienen un equivalente con las mediadas agrarias. Área Matemática Ingreso 2010 28 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Relación con las medidas agrarias Hm 2 Dam 2 m2 Hectárea (ha) Área (a) Centiárea (ca) Volumen Es la magnitud que ocupa un cuerpo en el espacio y su unidad en el Sistema Internacional es el metro cúbico. La tabla siguiente indica las medidas de volumen más usadas habitualmente. m3 1 dm3 1.10-3m3 cm3 1.10-6 m3 mm3 1.10-9 m3 El volumen y la capacidad tienen íntima relación, pues son magnitudes propias de los cuerpos. La capacidad es la magnitud del interior del recipiente y está relacionada con el lugar que ocupa dicho recipiente en el espacio, su volumen. En la tabla siguiente se indican las equivalencias entre las medidas de volumen, capacidad y masa. Capacidad 1 kl 1l 1 ml Volumen 1 m3 1 dm 3 o 1000 cm 3 1cm 3 Masa 1T 1 kg 1g Ejemplo 12: a) Se sabe que el tamaño del virus del resfrío común es 0,0000000022 m. ¿Cuántos mm. tiene? Solución Para encontrar la respuesta, primero debemos recordar cuantos mm hay en un 1m y luego haciendo una regla de tres simple encontramos que el tamaño del virus del resfrío tiene 0,0000022 mm. b) Si una solución contiene 40 g de nitrato de potasio por litro. ¿Cuántos mililitros de esa solución son necesarios para obtener 8 g?. Solución Para obtener la respuesta, primero observamos que las unidades de los datos y la unidad de lo que se pide son diferentes; luego recordamos cuantos ml hay en un litro y Área Matemática Ingreso 2010 29 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática finalmente con una regla de tres simple, sabemos que se necesitan 200 ml de esa solución para obtener 8g de nitrato de potasio. 2. MEDIDAS MUY GRANDES O MUY PEQUEÑAS: NOTACIÓN CIENTÍFICA Para empezar a entender los términos “muy grandes o muy pequeños” queremos compartir con ustedes una reflexión de Paenza en su libro: Matemática ¿estás ahí? “¿Números grandes? Si. Grandes. Difíciles de imaginar. Uno escucha que las deudas externas se manejan en miles de millones de dólares, que las estrellas en el cielo están a años luz de la Tierra, que la molécula de ADN contiene tres mil millones de nucleótidos, que la superficie del sol tiene una temperatura de seis mil grados centígrados, etc. Estoy seguro de que cada uno que esté leyendo este párrafo tiene sus propios ejemplos para agregar. Lo que yo hago frente a estas magnitudes es compararlas, contrastarlas con algo que me sea más fácil representar.” Para tratar cantidades muy grandes o muy pequeñas, es común utilizar la notación con potencias de 10. Veamos algunos ejemplos: ¿Cuánto mide el diámetro aproximado de un glóbulo blanco? En los textos de Ciencias Biológicas aparece ese dato a través de la siguiente escritura: 1,2 .10-2 mm, lo que equivale a decir que mide 0,012 mm. La superficie de Argentina es de 4.106 Km2, debido a que 106 representa un millón, se nos está informando que la superficie es de aproximadamente 4 millones de Km2. El tamaño del virus del resfrío común es 2,2 . 10-9 m o sea, 0,0000000022 m. A esta forma de expresar los números se la denomina notación científica, cuya definición formal la podemos sintetizar así: Escribir un número en notación científica es expresarlo como producto de una potencia de 10 por otro número cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10. Ejemplo 13: a) La masa del electrón es 0,0000000000000000000000000000009108 kg, valor que se puede expresar en forma equivalente como 9,108 . 10-31 kg, en notación científica. b) A continuación se presentan dos números cualesquiera y su equivalencia utilizando la notación científica i) 647,35 = 6,4735 .102 ii) 0,000000008940 = 8,94 . 10-9 Comentario sobre el uso de la calculadora científica: Si un número no entra en el visor en notación decimal, se lo presenta en notación científica, pero no mostrando la potencia 10, sino sólo el exponente. Por ejemplo: 8000000 . 500000 = 4.1012. ATENCIÓN: la calculadora mostrará 412 Área Matemática Ingreso 2010 30 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática ACTIVIDADES 1) Expresa en notación científica los siguientes números: a) 324000000 b) 98 .107 c) 0,000574 d) 0,0031 x 10-12 e) La longitud de la línea del Ecuador que es 4000000000 m. f) El tamaño del virus del resfrío común es 0,0000000022 m. g) La distancia del Sol a Plutón es aproximadamente 5895000000 km. 2) Calcula el radio en metros de una molécula si su volumen es de 32 Å3 (1 Amstrong = 10-8 cm). 3) a) El frasco de solución fisiológica dice que 20 gotas equivalen a 1 cm 3. ¿Cuántos cm3 tiene cada gota? ¿Y cuántos ml? b) El tamaño del virus del resfrío común es 0,0000000022 m. ¿Cuántos mm. tiene? 4) El medidor de agua de un laboratorio de química marca 128 m3, ¿cuánto litros son? 5) Responde Verdadero (V) o Falso (F) y justifica su respuesta. a) 5432 dg = 54,32 dag c) 1 litro de aceite pesa 1 kg b) 6534dm3 = 65,34 dam3 d) 1 litro de aceite ocupa 1 dm3 e) El porcentaje que representa la capacidad de una botella de 750 cm3 con respecto a otra de 1 litro es del 25 %. f) Un cajón de 8 kg fue llenado con 10 pipetas de 28 g cada una, luego su peso aumenta en un 35 % g) Dos cuerpos con igual volumen tienen igual capacidad. 6) Si un mol de agua tiene 6,02.1023 moléculas y pesa 18 gr. ¿Cuánto pesa una molécula de agua? Área Matemática Ingreso 2010 31 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática PARTE III EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES En esta unidad recordaremos qué es una expresión algebraica y la importancia de determinar su dominio. Además, hallaremos expresiones idénticas a una dada y luego definiremos cuando tales expresiones idénticas se pueden considerar expresiones algebraicas equivalentes. Por último, abordaremos el tema de ecuaciones y determinaremos el conjunto solución. 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Recuerda que una expresión algebraica es una combinación finita de variables y números con operadores matemáticos, como por ejemplo, la resta, el producto, la división y la potencia. Es decir, en una expresión algebraica están indicadas operaciones entre números y letras. Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas: Q(x) = 3 + 2 x5 – 5x2 P(x)= x2 +2 R(x) = 2 x7 – 3x4 + x T(x)=1 Estas expresiones son polinomios de grados 5, 2, 7 y 0 respectivamente. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas, que no son polinomios, pues sus potencias no son números naturales son: 3 x 2 3 x 8 ; x 1 1 . A las expresiones que resultan de un cociente de polinomios las llamamos expresiones algebraicas racionales. Por ejemplo: 2 5x2 , 10 x (3-x)-( 2x-1) 3 x x Otras expresiones algebraicas que no son polinómicas ni racionales son: 2 5x-3 5 10 x ; x 5 2x - 3 Cuando trabajamos con expresiones algebraicas debemos tener en cuenta su dominio, es decir en que conjunto de números reales podemos realizar las operaciones indicadas. A continuación vamos a determinar el dominio de algunas expresiones algebraicas, para mostrar como se debe trabajar en estos casos y te sirvan de guía para encontrar la solución de las actividades propuestas. Ejemplo 1: ¿Cuál es el dominio de la siguiente expresión algebraica? 1 x 4 2 Área Matemática Ingreso 2010 32 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Solución En esta expresión racional la operación principal es la división, y como no podemos dividir por cero, entonces analizamos cuando el denominador de la expresión es cero, es decir: 2 2 2 x 4 0 x 4 x 4 Entonces los valores x=2 y x=-2 no pueden estar en el dominio, (sino dividiríamos por cero), es decir, el dominio de la expresión racional dada es el conjunto formado por todos los números reales excepto (-2) y 2. En símbolos: 1 = IR-{2,-2}= (- ∞, Dom 2 x 4 Ejemplo 2: ¿Cuál es el dominio de la siguiente expresión algebraica? x2 10 x25 2 2x 50 Solución Al igual que en el Ejemplo 1, en esta expresión racional la operación principal es la división, tanto el numerador como el denominador son polinomios que tienen como dominio IR. Como no podemos dividir por cero, entonces analizamos cuando el denominador de la expresión es cero, es decir: 50 2 2 2 2 2 x 50 0 2 x 50 x x 25 2 Entonces los valores x=5 y x=-5 no pueden estar en el dominio, (por que sino dividiríamos por cero), luego el dominio de la expresión racional es el conjunto de todos los números reales, excepto el -5 y el 5. En símbolos: x2 10 x25 IR -{5,-5}= (- ∞, Dom 2 x 50 2 Ejemplo 3: Encontremos el dominio de la siguiente expresión algebraica. 2 x 1 32 x 4 x 3 Solución Esta expresión es un cociente entre un polinomio (en el numerador) y una raíz de orden impar en el denominador, ambos poseen como dominio a los números reales. El problema se presenta nuevamente cuando el denominador es cero. Esto nos lleva a buscar los valores de x que lo anulan, es decir: x24x30 Para encontrar los ceros de esta ecuación podemos aplicar la fórmula: 2 b b 4 ac x i 2 a Área Matemática Ingreso 2010 33 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática En este caso como a= 1, b= 4 y c = 3, resulta 2 4 4 4 1 3 4 4 4 2 x i 2 1 2 2 3y x 1 Obtenemos así los valores x , que son los valores que debemos excluir 1 2 del dominio, entonces: 2 1 x = IR - {-3,-1} = (- ∞, Dom -3, -1, + ∞) 3 2 4 x 3 x Ejemplo 4: Dada la expresión algebraica x 1 , hallemos su dominio. x 1 Solución Una vez más la operación principal es la división y está definida si el denominador x 1 es distinto de cero. Pero en esta ocasión, el numerador es una raíz de índice par, que está definida si el radicando (x+1) es mayor o igual que cero. Entonces para determinar el conjunto dominio planteamos las siguientes condiciones: denominador no nulo, esto es: los valores de x, que verifiquen que: x 1 0 x 1 0 Para analizar la primera condición planteamos: x 1 0 x = 1. Entonces debemos excluir del dominio el valor de x que anula al denominador, es decir, excluimos del dominio al valor x = 1. De la segunda condición resulta: x 1 0 x -1. x 1 Ahora bien, para determinar el dominio de debemos tener en cuenta los valores x 1 dados por las dos condiciones planteadas, en este caso: Todos los números reales mayores o iguales a (-1) y distintos de 1. A este conjunto lo podemos escribir de distintas formas, entre ellas: x 1 = :x 1 x 1 IR 1 1 , 1 , 1 1 , Dom xIR x 1 Expresiones Algebraicas Equivalentes El manejo de expresiones algebraicas y la destreza para transformarlas en expresiones equivalentes es muy importante cuando queremos estudiar y trabajar con objetos matemáticos, por lo tanto resulta fundamental practicar con ellas. En la unidad anterior vimos algunas identidades que son muy utilizadas para operar con expresiones algebraicas, por ejemplo, el cuadrado de un binomio, la diferencia de cuadrados y la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma (o resta). También ya definimos cuando dos números fraccionarios son equivalentes, por ejemplo Área Matemática Ingreso 2010 34 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática 12 4 2 1 ; aquí se ha simplificado la fracción original hasta llegar a otra 144 482412 expresión del mismo número, la cual es una fracción irreducible. En esta sección haremos hincapié en el trabajo con expresiones algebraicas fraccionarias como las vistas en los Ejemplos 1, 2, 3 y 4. Buscamos una expresión más simple que facilite los cálculos, es decir, simplificar la expresión cuando sea posible. A continuación analizaremos algunos ejemplos mostrando como se opera para encontrar expresiones algebraicas equivalentes a las dadas. Ejemplo 5: Si es posible, escribe la expresión algebraica irreducible de la expresión 2x x 2 . x Solución En primer lugar calculemos el dominio de la expresión. Como es un cociente de polinomios (expresión racional), debemos ver que no se anule el denominador, es decir plantear que el denominador sea distinto de cero, en este caso: x 0. Como el único valor que anula el denominador es x = 0, entonces 2 2 x x IR { 0 } Dom x Buscamos ahora expresiones equivalentes de la expresión dada, en esta ocasión, si sacamos 2 2 x x x(2 x ) factor común x en el numerador resulta . x x ¿Podemos simplificar x del numerador y del denominador en la expresión anterior? 2x x2 Si, pues x = 0 Dom x . 2 2 x x x 2 x ) 2xx2 ( 2 x 2x. Entonces . Luego x x x La expresión del segundo término es más simple que la del primer término. Además, 2x x2 cualquier valor x perteneciente al Dom x = IR-{0} verifica la igualdad. Esto significa que las expresiones 2x x2 2x x2 x y (2+x) son equivalentes en Dom x = IR-{0} Observación 2x 3 x 2 podemos factorizarla de la siguiente forma Si tenemos la siguiente expresión x 2 x 3 x 2 x 2 2 x 1 x x Área Matemática Ingreso 2010 35 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática En la expresión anterior ¿podemos simplificar una x del numerador con la del denominador para todo valor de x IR? No, si x=0 no es posible hacer esa simplificación. ¿Por qué? x2 Ejemplo 6: Encontremos la expresión algebraica irreducible de la expresión 2 . x 4 Solución x2 Calculemos primero el dominio de la expresión 2 , como es también un x 4 cociente de polinomios, debemos ver que el denominador no se anule, es decir, plantear que el denominador sea distinto de cero, esto es: x2 - 4 0. Los valores que anulan el denominador son x = -2 y x = 2, entonces x 2 = IR{2, 2} Dom 2 x 4 Buscamos ahora expresiones equivalentes a la dada, aquí podemos factorizar usando diferencia de cuadrados, entonces el denominador resulta x 2 x 2 2 x x 2 2 x 4 ¿Podemos simplificar (x-2) en el numerador y en el denominador de la expresión anterior? 1 x 2 x 2 x 2 2 . Luego 2 Si, pues x =2 , entonces x x 4 x 2 x 2 2 x 4 x2 1 2 x IR { 2 ,2 } , en Dom 2 . 2 x 4 x2 x 4 x2 1 Esto significa que las expresiones son equivalentes en y 2 x2 x 4 2 x IR { 2 ,2 } Dom 2 . x 4 Ejemplo 7: En caso de ser posible, determinemos la expresión algebraica irreducible a la expresión dada en el Ejemplo 2. Solución 2 2 x 10 x 25 x 5 2 2 2 x 502 x 25 binomio, lo reemplazamos por su identidad. En el denominador sacamos factor común 2 y queda una diferencia de cuadrados. 2 2 2 x 10 x 25 x 5 x 5 2 2 2 x 5 ( x 5 ) 2 x 50 2 x 25 cuadrados del denominador por su identidad. Como es posible cancelar (x+5) del numerador y del denominador resulta Área Matemática Ingreso 2010 36 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática 2 x 10 x 25 x 5 x 5 2 2 x 50 2 x 5 ( x 5 )2 ( x 5 ) 2 2 x 10 x 25 x 5 x210 x25 De esta manera . Entonces es equivalente a la 2 2 ( x 5 ) 2 x 502 2x 50 x 5 x210 x25 expresión algebraica irreducible en el Dom 2 = IR - 5, 5 2( x 5) 2x 50 Ejemplo 8: Dada la expresión x2 x , hallemos su dominio y su expresión irreducible. x2 1 Solución Como en los casos anteriores determinaremos el dominio de la expresión racional. Tenemos nuevamente un cociente de polinomios, entonces el dominio son todos los números reales que no hacen cero el denominador. Esto nos lleva a plantear la siguiente condición: x2 1 0 , en este caso podemos usar una identidad conocida y escribimos 2 0 x 1 ( x 1 )( x 1 ) , ahora es fácil establecer en que valores se anulará el denominador de la expresión; esto es x 1 y x 1 , entonces x2 x Dom x2 1 IR-{-1, 1} Ahora tratemos de escribir expresiones equivalentes a la expresión dada: 2 x x x ( x 1 ) x 2 x x 1 x 1 x 1 1 (En el numerador hemos sacado factor común x y en el denominador hemos factorizado usando diferencia de cuadrados). Ya que es posible cancelar (x-1) del numerador y del denominador, pues x2 x x2 x x 1 . x2 1 entonces 2 x 1 x1 La expresión del segundo miembro es más simple que la del primer miembro. Además, x2 x cualquier valor de x perteneciente al Dom x2 1 IR-{-1, 1} verifica la igualdad. x x2 x y son equivalentes en el dominio IR-{-1,1}. 2 x 1 x 1 x x2 x Además, es la menor expresión equivalente de 2 . x 1 x 1 Las expresiones Área Matemática Ingreso 2010 37 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Ejemplo 9: Dada la expresión expresión equivalente. Departamento de Matemática x33 x2x3 . Encontremos su dominio y su menor x24 x3 Solución Para encontrar el dominio, en este caso consideramos x2 4x30, Esta ecuación ya se resolvió en el Ejemplo 3, obteniendo las soluciones x1 3 y x2 1 , entonces: 3 2 x 3 x x 3 IR-{-3,-1} Dom 2 x 4 x 3 En segundo lugar, reducimos la expresión dada, usando identidades algebraicas 3 2 3 2 x 3 x x 3 ( x 3 x ) ( x 3 ) 2 x 1 )( x 3 ) x 4 x 3 ( 3 2 2 ( x 3 x ) ( x 3 )x ( x 3 ) ( x 3 ) ( x 1 )( x 3 ) ( x 1 )( x 3 ) 2 2 x ( x 3 ) ( x 3 )( x 1 )( x 3 ) ( x 1 )( x 3 ) ( x 1 )( x 3 ) 2 2 ( x 1 )( x 3 ) ( x 1 ) ( x 1 )( x 3 ) ( x 1 ) 2 ( x 1 ) ( x 1 )( x 1 ) ( x 1 ) ( x 1 ) (x 1 )( x 1 ) x 1 (x 1 ) Escribe al lado de cada igualdad las propiedades que has usado. Así la menor expresión equivalente de x33 x2x3 x24x3 es x 1 , en el dominio IR-{-3,-1} Aclaración: Es importante tener en cuenta que: Cualquiera de las identidades obtenidas anteriormente, en cada paso, son expresiones equivalentes a la original con dominio IR-{-3,-1}. La expresión (x-1) es la irreducible. Ejemplo 10: Dada la expresión 4x2 25 , determinemos una expresión algebraica 2x 5 equivalente e irreducible. Área Matemática Ingreso 2010 38 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Solución Para dar la respuesta, primero determinemos el dominio de la expresión algebraica y luego encontremos una expresión equivalente. La expresión dada es un cociente. El dominio del polinomio del numerador es el conjunto IR. Entonces, para determinar el dominio de la expresión dada hay que analizar el denominador, debemos pedir que no se anule. Además, debemos ver cuando una raíz de índice par tiene como resultado un número real; esto sucede cuando el radicando es positivo o cero. A estas condiciones las planteamos de la siguiente forma: 2x 50 y 2x ≥ 0, luego resulta que si 2x ≥ 0, entonces x ≥ 0. Hagamos el análisis de esas dos condiciones: Para que se cumpla la primera, buscamos el o los valores que verifican 2x 50para excluirlos del dominio. Luego, 2 2x 50 2x 5 x 5 5 5 5 x , es decir que x 2 2 2 2 x 25 4 5 Dom 2 x 5 2 Para que la raíz cuadrada este definida en IR, es necesario que el radicando sea positivo, o sea que 2x ≥ 0, es decir x ≥ 0. Teniendo en cuenta los requerimientos establecidos resulta: 2 4 x 25 5 5 Dom 0 , , 2 2 5 x 2 Como ya hemos determinado el Dominio de la expresión algebraica, ahora hallemos una expresión equivalente irreducible. Para ello podemos operar de la siguiente manera, (no hay una única forma de hacerlo) 2 2 2 4 x 25 ( 2 x ) 5 ( 2 x 5 )( 2 x 5 )2 x 5 ( 2 x 5 )( 2 x 5 ).( 2 x 5 ) 2 2 2 x 52 x 5 2 x 52 x 5 2 x 5 ( 2 x 5 )( 2 x 5 ).( 2 x 5 ) ( 2 x 5 ).( 2 x 5 ) 2 x 5 Trata de justificar por qué es posible simplificar en la última igualdad. x 5 ).( 2 x 5 )es la expresión equivalente irreducible de Luego, (2 4x2 25 2x 5 en 5 5 , , . En símbolos es: 0 2 2 Área Matemática Ingreso 2010 39 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales (2 x 5 ).( 2 x 5 )= Departamento de Matemática 5 5 x IR / x 0 , , 2 2 2x 5 4x2 25 2. ECUACIONES En esta sección resolveremos ecuaciones, empleando expresiones equivalentes. A continuación veremos tres ejemplos que ilustran la forma de operar en estos casos. Ejemplo 11: Encontremos el conjunto solución de la ecuación 2 2 2 x 6 x2 x 1 . 2 x 9x x 9 3 Solución También, como en el caso de las expresiones algebraicas, en primer lugar tenemos que determinar el dominio de la ecuación, es decir, el conjunto de números reales para los cuales podemos realizar todas las operaciones indicadas. Esta expresión estará definida para todo número real que no anule ningún denominador, algebraicamente esto es, Dom = x IR / x 2 9 0 3x 9 0 x0 Para caracterizar los números que están en el conjunto dominio procedemos de la siguiente manera: 2 x 9 0 x 3 9 3 x 9 0 x 3 3 x=0 Con este procedimiento hemos determinado los valores para los cuales la ecuación no está definida, luego el dominio de la ecuación es IR-{-3, 3, 0} Una vez que sabemos en qué conjunto se encuentra/n la/s solución/es, transformamos convenientemente las expresiones de la ecuación para hallar el conjunto solución, es decir el conjunto de números reales que satisfacen la ecuación. En este caso, una posibilidad es tomar el primer miembro y una vez obtenida una expresión equivalente, igualarla con el segundo miembro. Área Matemática Ingreso 2010 40 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales 2x 2 6x x 9 2 Departamento de Matemática 2x 2 2x 2 6x 2x 2 3 2 x 2 6 x 2 x 2 x 3 3x 9 ( x 3)( x 3) 3( x 3) 3( x 3)( x 3) 18 x 2 x 3 2 x(3 x )(3 x ) 2 x(3 x ) 3( x 3)( x 3) 3( x 3)( x 3) 3( x 3) 2 x( x 3) 2 x 3( x 3) 3 Así se ha obtenido una expresión reducida del primer miembro de la ecuación, ahora la igualamos con el segundo miembro para resolverla: 2 x1 2 3 3 2 2 x 3 x x , obteniendo dos soluciones. 3x 2 2 Por último, debemos verificar que estas soluciones pertenezcan al conjunto dominio de la ecuación. Como el dominio de la ecuación es IR {3, 0, 3} y las soluciones halladas pertenecen a él, podemos concluir que el conjunto solución de la ecuación es 3 3 S , . 2 2 Observa que el conjunto Solución de la ecuación está contenido en el conjunto Dominio de la ecuación. Ejemplo 12: Hallemos los valores que hacen cierta la ecuación 2 2 x 3 x 3 x 3 Solución El primer paso es determinar el dominio de la ecuación. En este caso es: IR-{3}, ya que es fácil ver que en 3 se anulan los denominadores de la ecuación. Se resuelve ahora la ecuación: 2 2 x 3 x 3 x 3 2 2 0 x 3 x 3x 3 0 x 3 La solución obtenida es x 3 . ¿Será solución de la ecuación? No, pues x=3 no pertenece al conjunto dominio de la ecuación. Entonces, la ecuación no tiene solución, es decir, no hay ningún valor real que verifique la igualdad dada. En este caso decimos que el conjunto solución es vacío y lo expresamos de la siguiente forma: Ejemplo 13: Encuentra los valores de x que verifican x 2x 5 x 21 x Solución El primer paso es determinar el dominio de la ecuación. En este caso es: IR Se resuelve ahora la ecuación: Área Matemática Ingreso 2010 41 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática x 2x 5 x 21 x ¿Podemos cancelar x 2 de ambos miembros? Si, (piensa porque es posible) x 5 1 x 2x 6 x3 El conjunto solución es S 3,2. ¿Por qué x 2 es también solución? Ejemplo 14: Determinemos el o los valores x que verifican 2 x 6 x 9 3 x 9 2 6 x 2 x 18 18 Solución Como antes, primero determinamos el dominio de la ecuación, que en este caso resulta ser el conjunto IR-{-3,3}. (Como ejercicio puedes verificarlo). Resolvemos ahora la ecuación. Una forma de hacerlo es transformar convenientemente de manera conjunta los dos miembros: x 2 6x 9 3x 9 2 18 6 x 2 x 18 ( x 3) 2 2( x 9) 2 3( x 3) 6(3 x ) ( x 3) 2 ( x 3) 2( x 3)( x 3) 2(3 x ) ( x 3) ( x 3) 2( x 3) 2(3 x ) ( x 3) ( x 3) 2( x 3) 2( 3 x ) ( x 3) ( x 3) 2( x 3) 2( x 3) 11 Observar que para realizar los pasos anteriores hemos tenido en cuenta que x es distinto de -3. ¿Dónde lo hemos hecho? Hemos transformado la ecuación, obteniendo una igualdad. Esto nos dice que cualquiera sea el valor de x obtendremos una igualdad, lo que nos hace pensar que el conjunto solución es IR, pero como 3 y -3 no pertenecen al dominio, el conjunto solución es: S = IR-{-3, 3} En los tres últimos ejemplos hemos visto que la solución de una ecuación puede ser un conjunto finito (número determinado de soluciones), el conjunto vacío (no tiene solución en IR) o un conjunto infinito (infinitas soluciones). Área Matemática Ingreso 2010 42 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática ACTIVIDADES 1) Encuentra el Dominio para las siguientes expresiones algebraicas 3 3 3x2 12 x33 x2x3 a) 4 b) c) 2 d) ( x 2) 2 x 4 x 16 x24x3 x2 9 e) (x3)(x4) f) x2 3 x 3 ( x 1) 2 g) x 1 h) 2 x 4 x 2) Halla la expresión irreducible para las siguientes expresiones algebraicas: x 2 3x2 12 x2 6x9 a) b) 4 c) x 16 2x2 18 x 2 x2 9 x2 3 d) 2 e) x x12 x 3 3) En cada caso, encuentra expresiones equivalentes, indicando el dominio donde son equivalentes x2 2y2 3 z 2 x x 1 x2 x a) b) c) 2 yz xz 4xy x 3x 3 9x 2x 2 5 3 2 4 3 2 x 7x33 x2 x x 6 x 4 x 2 x 2 x x d) 5 e) f) 4 2 2 2xx2xx3 x 2 x x 2 x 2 x x 4) Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. Expresa el conjunto solución y represéntalo en la recta real. 2 x 1 x 3 13 x 1 a) Rta. S- 3 2 7 1 Rta. S2, b) ( 3x – 1 ) (x + 4 ) = 2 ( 3x – 1 ) 3 2 x 2 ) 10 4 x 6 , - 12 c) ( Rta. S 12 1 25 8 d) Rta. S x 3 8 2x4 4 7 e) Rta. S x 9 2 x 2x8 1 f) Rta. S3, 5 4x7 3 2 9 2 g) 2 Rta. S 9 2 x 4 x2 x 5 x 12 2 x 3 x 3x1 3x2 h) Rta. S = x2 x1 Área Matemática Ingreso 2010 43 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales i) 18 Rta. S 6 2 x 63 32 6 3 Rta. S 7, 7 36 j) x 2 10 x 2 10 3 Área Matemática Departamento de Matemática Ingreso 2010 44 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática PARTE IV FUNCION Esta es la última unidad de este ingreso y es por ello que te proponemos un trabajo más autónomo. El tema que repasaremos es Funciones. Con el fin de cumplir el objetivo propuesto te sugerimos que usando los conceptos previamente trabajados en este material, más lo que recuerdes de la escuela media, intentes resolver las actividades que te presentamos. Bien sabemos que en tu paso por la escuela media has estudiado muchos conceptos matemáticos; entre ellos el de función. Es nuestra pretensión que al iniciar este recorrido puedas reflexionar sobre dicho concepto. El siguiente esquema muestra una manera de nombrar distintas representaciones del concepto de función: Lenguaje coloquial o verbal Gráfico Tabla de valores Función Fórmula o expresión algebraica Diagrama de Venn Dibujo de una situación Las siguientes actividades tienen por finalidad que recuerdes el concepto de función Actividad 1: Construye un ejemplo para cada una de las representaciones del concepto de función planteadas anteriormente. Actividad 2: Indica si las siguientes relaciones f entre los conjuntos A y B representan una función. Justifica tu respuesta. b) a) f 1 2 3 f a a b b c c d A 2 3 4 B A c) A = {a, b, c, d}, B = {e, m, p, q} Área Matemática 1 B d) A = {1, 2, 3, 4}, B = {v, w, u} Ingreso 2010 45 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales x a b c d f(x) e m p q Departamento de Matemática x 1 2 3 2 4 f(x) v w u v w e) y B x A f) y B x A g) A = B= IN f: “…es el doble de…..” h) A = B = IN f: “...es la mitad de…” Ahora bien, ¿qué has tenido en cuenta para determinar si la relación es función? ¿Qué características debe cumplir una relación entre conjuntos para ser función? Recordemos, la noción de función involucra tres cosas: 1. Un conjunto A llamado Dominio. 2. Un conjunto B que se llama Codominio o Conjunto de llegada. 3. Una regla de asignación que a cada elemento del conjunto A le haga corresponder un elemento, y solamente uno, del conjunto B. Actividad 3: Dados los siguientes gráficos de funciones: Área Matemática Ingreso 2010 46 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Área Matemática Ingreso 2010 Departamento de Matemática 47 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática a) Encuentra una regla de asignación para cada una de ellas. Ayuda: ¿Qué comportamiento poseen los puntos y el conjunto de cada una de las gráficas? b) Determina el conjunto dominio e imagen de cada función. Actividad 4: Recuerda que dos funciones son iguales cuando tienen el mismo dominio e igual valor de asignación para cada x perteneciente al dominio. ¿Te animas a responder cuándo dos funciones son distintas? Luego de conseguir la respuesta, te pedimos que grafiques tres funciones distintas cuyos gráficos pasen por los puntos (1,1/2) y (0,1). Actividad 5: Ahora te pedimos que: a) Muestres una función con dominio e imagen en IR que asigne 3 a todo x>0. b) Expreses una función cuyo dominio esté formado por objetos geométricos y cuya imagen sea numérica. Actividad 6: Grafica la función y = 50 – x en el caso en que: a) El Dominio y la Imagen sean los Números Reales. b) Esté asociada al problema siguiente: para alambrar un campo rectangular se necesitan 100m de alambre. ¿Cómo variará el largo del campo en función del ancho? ¿El gráfico obtenido representa la misma función? Si es así explica por qué; en caso contrario ¿De qué depende la diferencia? Veamos ahora, como las funciones nos permiten construir un modelo para representar y analizar algunas situaciones de la vida cotidiana. Actividad 7: En un negocio de material fotográfico se ofrece un precio especial para el revelado de fotografías: cobra un precio fijo de $ 10,00 para revelar un rollo, más $ 0,50 por cada fotografía. ¿Cómo variará el costo de revelar un rollo según el número de fotografías? Intenta escribir una regla de asignación que describa esta situación. Actividad 8: Busca o sugiere situaciones problemáticas que tengan por expresiones y 2 x 4 e y 3 , respectivamente, dejando bien claro los dominios. Revisa con cuidado cuáles son los elementos que tomas como variables y qué rol ocupan. Ayuda: Puedes pensar, por ejemplo para la primera expresión, en una situación que relacione precios con productos. Actividad 9: El departamento de marketing de la empresa importadora “La Marítima” hizo un estudio de la variación del precio de las latas de caviar de 200 g. que comercializó su competidora “La Rioplatense” a lo largo de su fructífera existencia. Para que el nuevo gerente de comercialización comprenda cabalmente la evolución del precio del producto, confeccionaron el siguiente gráfico: Área Matemática Ingreso 2010 48 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Este gráfico le permitió al gerente dar respuesta a los siguientes interrogantes considerados como básicos para su nuevo emprendimiento. ¿Puedes tú también dar respuesta a éstas preguntas? a) ¿Cuánto tiempo duró la investigación? b) ¿Cuál fue el precio del caviar a los doce meses de iniciado el estudio? c) ¿En qué momento el precio fue de $ 15? d) ¿En qué períodos el precio del caviar fue en aumento? e) ¿Cuál fue el precio más alto que alcanzó el caviar en el período estudiado?, ¿en qué momento se observó? f) ¿Cuándo se dio el precio más bajo?, ¿cuál fue dicho valor? g) ¿Entre qué valores varió el precio en el período analizado? h) ¿Si el estudio se inició en Abril de 1994, ¿cuándo terminó? Actividad 10: Una vez que Claudia se durmió, Yoly se conectó a Internet. Entró en la página de la Bolsa de Comercio y bajó a su computadora un gráfico donde se mostraba la cotización del dólar durante un mes, en una etapa de suma inestabilidad económica en nuestro país. Área Matemática Ingreso 2010 49 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Yoly quiso mirar detenidamente la evolución en períodos de 10 días y tratar de determinar cómo se comportaba el dólar a medida que iban transcurriendo los días. Es claro que en los primeros diez días la relación que permite observar la evolución se x puede expresar por la fórmula y 2, donde x representa el día transcurrido e y el 10 valor del dólar en ese día. Realicemos un esfuerzo y tratemos de pensar ¿Qué relaciones habrá encontrado Yoly en los dos períodos siguientes?. Expresa dichas relaciones por fórmulas. Observación: La variable tiempo está medida en días. Hacia la formalización de la noción de función Como se trató de ejemplificar en las actividades anteriores, muchas experiencias de la vida diaria involucran a dos variables de modo tal que el valor de una de ellas depende del valor de la otra. Así también, las ventas de un producto dependen de su precio, en un día dado la temperatura tiene una relación definida con la hora, la distancia recorrida por un móvil depende de su velocidad. Tales ejemplos pueden multiplicarse indefinidamente y todos ellos vinculan cantidades que corresponden a dos conjuntos específicos. Se trata de una relación funcional. Retomemos la pregunta planteada anteriormente: “¿Qué característica deberá cumplir una relación entre conjuntos para ser función?” Respondemos esto con la siguiente definición: Definición: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Una relación de A en B es una función si cada elemento del conjunto A está relacionado con un único elemento del conjunto B. Al conjunto A se lo suele llamar dominio o conjunto de partida y a B codominio o conjunto de llegada. Notación funcional: Para indicar que la función f relaciona el conjunto A con el conjunto B escribimos: f : AB y si f asigna al elemento a A, el elemento b B, escribimos: f ( a ) = b. Esto puede leerse, b es la imagen de a por la función f, o bien, a es la preimagen de b por la función f. Cuando la ley de asignación de una función se da mediante una ecuación de la forma y f (x) (por ejemplo y x 2 ), con frecuencia nos referimos a x como la variable independiente y a y como la variable dependiente. Estas expresiones se deben a que, para una función dada, a x le podemos dar valores más o menos arbitrarios mientras que el valor correspondiente de y depende del valor que le hemos dado a x. Nos interesaremos por aquellas funciones en las que ambas variables son números reales. A este tipo de funciones las llamamos funciones reales (o sea, con valores reales) de una variable real. Área Matemática Ingreso 2010 50 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Dominio e Imagen La ley de asignación es el corazón de una función, pero ésta no queda determinada por completo sino cuando se da su dominio. Recuerda que el dominio de una función f, Dom( f ), es el conjunto de valores a los cuales se les puede determinar su imagen. Así, una correspondencia puede ser o no una función según cómo se elija el dominio o conjunto de partida. Piensa la siguiente situación: Actividad 11: Sea f : IR IR la correspondencia que a cada número real le asigna su raíz cuadrada positiva ( si existe), o sea f(x) x . a) Esta correspondencia no es una función de IR en IR. Analiza por qué. b) ¿Cómo debería tomarse el conjunto de partida para que la correspondencia resulte función? c) ¿Existe un único conjunto de partida que cumpla la condición requerida anteriormente? d) Calcula la imagen de 4 por la función f. e) Calcula la preimagen de 1,6 por la función f. La imagen o recorrido de una función f, Im( f ) , es el conjunto de valores que toma f (x ) cuando x pertenece al dominio . La siguiente actividad te muestra cómo el dominio y la ley de asignación determinan el conjunto imagen Actividad 12: 2x2 x2 a) Calcula h(1) y h(3) b) ¿Es posible calcular h(0)?, ¿por qué? c) Halla Dom(h).(Ayuda: Recuerda los procedimientos que has utilizado para determinar el Dominio de las Expresiones Algebraicas.) Dada h(x) Actividad 13: 2 Sea la ley de asignación dada por la ecuación: f (x) x . Si Dom(f) = IR, es decir, a x le damos cualquier valor real, entonces f es una función e e Im(f) = IR + . Analiza por qué. ¿Conoces otra notación para el conjunto Im(f)? ¿Cuál? ¿Cómo graficar una función? Comencemos recordando cómo podemos representar puntos del plano en un sistema de coordenadas cartesianas. Para ello traza en el plano dos rectas perpendiculares. Estas rectas reciben el nombre de ejes coordenados. Al eje horizontal se lo denomina eje de abscisas y al vertical eje de ordenadas Área Matemática Ingreso 2010 51 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Sobre cada uno de los ejes coordenados se puede representar a los números reales y fijar qué escala se va a utilizar en cada uno de los ejes. Por ejemplo, si en los dos ejes se tomará como unidad el 1, habría que decidir qué punto corresponde al 1 en cada eje. Si, en cambio, las unidades aumentaran de 100 en 100 habría que decidir qué punto representa el 100 en cada eje, para luego poder representar otros valores. También podría ocurrir que necesitemos utilizar dos escalas diferentes en cada eje, en ese caso, habría que indicar sobre los mismos qué número va a representar a la unidad en cada recta. Ahora bien, marca un punto cualquiera a sobre el eje horizontal y otro b sobre el eje vertical. Por a traza una recta vertical y por b una horizontal. Estas rectas se cortan en un punto P el cual representa al par ordenado (a , b). P(a,b) b a Recíprocamente, considera ahora un punto P en el plano cartesiano. Explica cómo procederías para obtener los valores de a (abscisa de P) sobre el eje horizontal y b (ordenada de P) sobre el eje vertical. En consecuencia, a cada punto P del plano se le puede asignar un par de números reales (a , b) y a cada par ordenado (a , b) le corresponde un punto P del plano. El punto P suele denotarse por P ( a , b ) , P = ( a , b ) o simplemente, ( a , b ) y con IR 2 se denota el conjunto de todos los pares ordenados de números reales ó puntos del plano. Esto es: IR 2 x, y / x, y IR El gráfico de una función f : A IR con A IR, en lenguaje simbólico, es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma ( x , f ( x ) ) , esto es 2 ( x ,y ) IR : x A ,y f ( x ) Graf ( f ) = Utilizando este procedimiento obtiene en forma gráfica y en lenguaje simbólico el gráfico de la función: 2 f : IR IR , definida por f(x)x 3 Área Matemática Ingreso 2010 52 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática ¡MAS ACTIVIDADES! Actividad 14: Con una hoja de cartón se construye una caja sin tapa de base cuadrada de 5 cm de lado. . 5cm x a) Expresa el volumen de la caja en función de su altura e indica el dominio de tal función. b) Realiza el gráfico de la función c) Expresa algebraicamente el conjunto que representa dicho gráfico Actividad 15: Indica si las siguientes relaciones f entre los conjuntos A y B representan una función. Justifica tu respuesta. En caso de que lo sea, indica su Dominio e Imagen a) b) f a b f d a e b e f c c d f A B A B 1,2,3,4 c) Aa,b,c,dy B i) x a b a c f(x) 1 2 3 4 ii) x a b c d f(x) 1 4 2 3 iii) x a b c d f(x) 4 2 2 3 Actividad 16: Analiza si cada una de las siguientes gráficas representa una función que tenga al conjunto A indicado como dominio. Área Matemática Ingreso 2010 53 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Actividad 17: Para cada relación propuesta a continuación indica: i) La variable dependiente y la variable independiente ii) El dominio y la imagen a) Precio de un paquete de galletitas en función del peso. b) Cantidad de harina necesaria para una receta en función de las porciones que se quiere hacer. c) Variación de la temperatura en una ciudad en función del tiempo. Actividad 18: Halla el dominio e imagen de las funciones cuyas gráficas se dan a continuación: Área Matemática Ingreso 2010 54 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Actividad 19: x2 1 y g (x) = x – 1? Justifica. x 1 Ayuda: es posible encontrar expresiones algebraicas equivalentes. ¿Son iguales las gráficas de las funciones f (x) = Actividad 20: Dada la siguiente función. ¿Qué valores no pertenecen a su dominio? Entonces, ¿cuál es el conjunto dominio? ¿Qué valores no pertenecen a su imagen? Entonces, ¿cuál es el conjunto imagen? En que subconjunto del dominio la función es positiva? Justifica tu respuesta. En que subconjunto del dominio la función es negativa? Justifica tu respuesta. En algún elemento del dominio la función se anula. Justifica tu respuesta. Actividad 21: 3 )x 2y g(t)t2 2t, calcula: Dadas f(x a) f(2), f(-3), f(1/2), f(a-1). b) i) g(0), g(-5), g(a), g( ), g(t+h). ii)¿Puedes expresar coloquialmente que significa determinar g(-5) ? c) ¿Para qué valores de t es g(t)= - 6 ? Expresa coloquialmente el significado de los valores hallados. Actividad 22: Dada h(u) u2 a) Calcula h(-2) y h(6). b) ¿Es posible calcular h(-3)?, ¿por qué? c) Halla Dom(h). d) Determina la preimagen de 10. Actividad 23: Halla el dominio de las siguientes funciones. Justifica tu respuesta 1 2 a) y x 2 e) y x 2 1 b) y x f) y x21 1 1 c) y x2 4 g) y 3 x 2 x 5 Área Matemática Ingreso 2010 55 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales d) y 2x3 x1 e) y 2 x 2x3 Actividad 24: Dada h(u ) Departamento de Matemática x h) y 2 x 2x3 x i) y x32 1 2u 4 a) Determina analíticamente el conjunto Dom(h). b) Calcula h(9), h(u+1). 1 c) Determina la preimagen por h de . 2 Actividad 25: 2 1 )f( x ). Si f(x)x x prueba que f(x Actividad 26: La siguiente gráfica es la representación de una función y f (x) a) Indica dos valores de x que estén en el Dom(f) y dos que no lo estén. b) Indica dos valores de y que pertenezcan a Im(f) y dos que no pertenezcan. c) ¿De cuántos números es imagen el 3? d) Determina f ( 0 ) y f ( - 6 ). e) ¿Es f ( 2 ) positiva ó negativa ? ¿y f ( 8 )? f) ¿Cuáles son los ceros de la función f ? (Investiga lo que esto significa). g) ¿En qué punto la función corta al eje de ordenadas? h) ¿Para qué números x se cumple que f (x) > 0? f) ¿Cuál es el dominio de f? ¿y su imagen? Actividad 27: Álvaro va cada tarde al instituto, pasa primero por la panadería, luego se detiene en la siguiente esquina a esperar a un compañero. Por fin, después de las clases, vuelve a casa. Aquí tienes la gráfica de su recorrido. Área Matemática Ingreso 2010 56 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática a) ¿Qué distancia hay de la casa al instituto? ¿Y a la panadería? b) ¿Cuánto demora en la panadería? c) ¿Tiene que esperar mucho a su compañero? d) ¿Cuánto duran las clases? e) Si las clases comienzan a las 4 de la tarde, ¿dónde estaba a las 3 h. 32 minutos, 3h. 36 minutos y a las 3 h. 54 minutos? f) ¿Durante cuánto tiempo estuvo a 500 metros de su casa? ¿Y a 600 metros? Actividad 28: Traza la gráfica de una función con: e Im ( f ) = x R : 3 x 8 ,x 5 y R : 1 y 2 ,y 0 Dom ( f ) = ¿Cuáles son los puntos en el rectángulo determinado por -3 x y pueden estar en la gráfica ?. Actividad 29: Expresa el área y el perímetro de un triángulo isósceles como funciones de la altura, sabiendo que la base mide 6 cm. Área Matemática Ingreso 2010 57 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática PARTE V TRIGONOMETRÍA La trigonometría es una rama de la Matemática, que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. En esta unidad trabajaremos con razones trigonométricas y resolución de triángulos, cuyo manejo nos permitirá resolver problemas asociados no sólo con la Matemática sino también con la Geología, Biología, Química y Física. 1. Ángulos Recordemos que un ángulo plano es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen en común llamado vértice, tal como se indica en la Figura 1. Los ángulos en general se denota con letras griegas o letras mayúsculas. Figura 1 Se dice que un ángulo está orientado con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales si: su vértice es el origen del sistema de ejes cartesianos el lado inicial del ángulo coincide con el semieje positivo del eje de las abscisas. En el plano cartesiano podemos considerar 4 sectores llamados cuadrantes en los cuales localizamos el lado terminal. En la siguiente figura se muestra un ángulo, en los distintos cuadrantes, cuyo lado inicial es el semieje positivo de las abscisas.. (a) (b) (c) (d) Figura 2 2. Sistemas de Medición Para medir la amplitud de los ángulos, algunos de los sistemas más utilizados son el Sistema Sexagesimal, el Sistema Circular o Radial y el Sistema Centesimal. Recordaremos como se trabaja con los dos primeros. 2.1 Sistema Sexagesimal El Sistema Sexagesimal, es el que divide a la circunferencia en 360 partes iguales llamadas grados sexagesimales luego: el grado sexagesimal que es la unidad en este sistema , se lo define como : Área Matemática Ingreso 2010 58 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales 1o 1 giro 360 el grado se lo divide en 60 partes iguales, y cada una de ellas se llama minuto sexagesimal , se lo define como : 1´ Departamento de Matemática 1o 60 el minuto sexagesimal se divide en 60 partes iguales, y a cada una de ellas se llama segundo sexagesimal, se lo define como: 1´´ 1´ 60 En la Figura 3 se muestran los ángulos, generados en función de los ejes coordenados, medidos en el sistema sexagesimal, inscriptos en una circunferencia. Figura 3 Ejemplo 1: Un ángulo ̂ , puede ser representado de dos maneras diferentes en el sistema sexagesimal, así ˆ 124.86 o o ˆ 124 o 51´ 36´´ , la primera representación es en grados sexagesimales con fracción decimal y la segunda en grados, minutos y segundos sexagesimales. Puedes utilizar tu calculadora para obtener la equivalencia o también puedes verificarlo utilizando reglas de tres simples, como se indica a continuación: Grados a Minutos o ´ 1 60 0.86 o x Minutos a Segundos ´ ´´ 1 60 0.86 60 o 1o ´ 51 .6´ 0.6´ x 0.6´ 60 ´´ 1´ 36 ´´ ¿Te animas a expresar al ángulo ˆ 34 o 23´42´´ en forma decimal, sin utilizar la calculadora? Área Matemática Ingreso 2010 59 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Para trabajar con tu calculadora en el sistema sexagesimal debes trabajar en MODO DEG. y para trabajar el sistema radial, la calculadora debe estar en MODO RAD. 2.2 Sistema Radial o Circular Los ángulos en el Sistema Radial se miden en radianes los cuales son números reales, siendo la unidad de medida el radian. Cabe aclarar que este sistema no tiene subunidades. Un radian es la medida del ángulo con vértice en el centro de una circunferencia cuyos lados determinan sobre la circunferencia un arco de longitud igual al radio. Luego la medida de un ángulo en el sistema radial se obtiene a partir de la siguiente relación: ˆ longitudAr co radio Basados en el hecho que el arco que cubre a la circunferencia de radio “r” tiene longitud 2r , la medida en el sistema radial de un ángulo de giro completo es ˆ 2 r ˆ 2 6.28 rad. 2 o sea r Notar que: la medida del ángulo en el sistema radial es un número real. la medida del ángulo es independiente del radio de la circunferencia. 2.3 Equivalencia entre los sistemas sexagesimal y radial En virtud de que el ángulo de giro completo en el sistema sexagesimal es de 360º y en el sistema radial es 2 rad, es que podemos establecer la siguiente relación: 360º equivalen a 2π (1) A partir de ésta equivalencia se determina que un ángulo de 90º, cuyo el arco cubre la cuarta parte de la circunferencia es / 2 rad o sea aproximadamente 1.57rad. En este punto nos podemos hacer las siguientes preguntas ¿cuántos radianes representarán un ángulo de 1º? o bien ¿cuántos grados representan un ángulo de un radian? Para dar la respuesta trabajaremos utilizando la equivalencia (1), de la siguiente manera: Grados a Radianes 360 o 2rad 1o 2rad 1o x 0.017 rad 360 o Radianes a Grados 2 rad 360 o 1rad 360 o 1rad x 57.295 o 2 r La ventaja de medir a los ángulos en radianes es que ésta es una unidad más conveniente por la escala. Nota la diferencia de escala para un mismo ángulo representado en cada sistema de medición. Por ejemplo sea ̂ 90o 1.57 rad. Área Matemática Ingreso 2010 60 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Ejemplo 2: Determina a) ¿A cuántos radianes equivale un ángulo de 120o? b) ¿A cuántos grados equivale un ángulo de 1.38 rad ? Solución: Recordemos que 360º equivalen a 2π rad y usando regla de tres simple se tiene: a) 360 o 2rad 120 o 2rad 2 2 rad , luego ˆ o bien ˆ 2.094 3 3 360 o 2 Es importante destacar que la representación ˆ es exacta en cambio ˆ 2.094 es 3 120 o x aproximada. ¿Puedes decir por qué ocurre esto? b) Operando de manera análoga se tiene: 2rad 360 o 1.38rad x 1.38rad 360 o 248 .4 o , luego ˆ 248 .4 o o bien ˆ 248 o 24´ 2rad 3. Razones Trigonométricas Supongamos que ACB es un triángulo rectángulo en C y ̂ el ángulo agudo formado por los lados AB y BC, luego a los lados del triángulo asociados al ángulo ̂ , se los llama: “hipotenusa” (lado c), lado opuesto al ángulo recto; el cateto opuesto (lado a) y “el cateto adyacente” (lado b). Ver Figura 4. A b c C a Figura 4 B Veamos como intervienen los elementos de este de triángulo, para definir las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente asociadas al ángulo ˆ , las cuales, como se verá más adelante dependen sólo del valor del ángulo agudo considerado. El seno (abreviado como sen) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, sen̂ El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, coŝ Cateto Opuesto AC b Hipotenusa AB c Cateto Adyacente BC a Hipotenusa AB c La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, Área Matemática Ingreso 2010 61 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales tg ̂ Departamento de Matemática Cateto Opuesto AC b Cateto Adyacente BC a Actividad 1: a) Dibuja 4 triángulos rectángulos semejantes con un ángulo agudo común que mide 42 . b) Determina en cada triángulo, respecto del ángulo dado, las razones entre cada uno de los catetos y la hipotenusa y entre los dos catetos. c) Discute sobre los resultados obtenidos. ¿Cómo resultaron las razones encontradas para los 4 triángulos que construiste? Observa que estas razones no dependen de las medidas de los lados del triángulo sino que sólo dependen del ángulo agudo considerado. Las razones trigonométricas seno y coseno, definidas, asumen valores entre 0 y 1 dado que la hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los otros dos catetos; en tanto que la razón tangente puede asumir cualquier número real. ¿Puedes decir por qué? Una característica muy importante de estas razones trigonométricas es que ellas sólo dependen del valor del ángulo ̂ , ello debido a que si los triángulos rectángulos tienen un ángulo en común, son semejantes y por lo tanto sus lados son proporcionales, es decir, las relaciones entre los lados no varían. En los triángulos de la siguiente figura puedes apreciar ésta característica. Figura 5 Así, se puede asegurar que cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo tiene asociado una única razón trigonométrica. Dicho en otras palabras, es posible definir una función que asigne a cada ángulo interior de un triángulo rectángulo un único valor dado por la razón trigonométrica. Y como hemos definido tres razones trigonométricas, podemos definir tres funciones trigonométricas relacionadas con ellas, que son las funciones seno, coseno y tangente. Esta idea nos permite resolver situaciones como: dado un ángulo agudo podemos encontrar una única razón trigonométrica asociada a él. O dada una razón trigonométrica podemos encontrar un único ángulo agudo asociada a ella. La pregunta es ¿cómo encontramos el ángulo asociado a una determinada razón trigonométrica?. Esto se puede hacer definiendo una regla de asignación (función) a la que denominaremos “arco”, la cual permite determinar el ángulo cuya razón trigonométrica es Área Matemática Ingreso 2010 62 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática un valor conocido. Luego para las tres razones trigonométricas se pueden definir las reglas “arcoseno”, “arcocoseno” y “arcotangente”, estas funciones en la mayoría de las calculadoras aparecen con los nombres sen 1 , cos 1 y tan 1 respectivamente. Supongamos que se tiene un número x entre 0 y 1 y queremos asociar un ángulo ̂ cuyo seno sea el número x, entonces al valor del ángulo lo denotaremos por arcsenx ̂ , valor al que podrás acceder utilizando tu calculadora. Para aclarar ideas planteamos la siguiente situación. Ejemplo 3: Utilizando la calculadora, encuentra el ángulo agudo cuyo seno es 0.85 . Solución: Aquí deseamos encontrar el ángulo tal que se verifique que el sen ˆ 0.85 . Para determinar el valor del ángulo aplicamos el arcsen al número x 0.85 o sea arcsen0.85 y obtenemos, ˆ 64.68 o es decir hemos obtenido un ángulo cuyo seno es 0.85 . Con la calculadora la puedes obtener haciendo sen1 0.85 64.68 o . También se pueden definir otras razones trigonométricas llamadas razones trigonométricas recíprocas, ellas son: secante, cosecante y cotangente, las que se definen de la siguiente manera La cosecante (abreviado como cosec) es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, cot secˆ La secante (abreviado como sec) es la razón entre es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente, secˆ Hipotenusa AB c 1 Cateto Opuesto AC b senˆ Hipotenusa AB c 1 Cateto Adyacente BC a cosˆ La cotangente (abreviado como cotan o cotg) es la razón entre el cateto adyacente y el opuesto, cotg ˆ Cateto Adyacente BC a 1 Cateto Opuesto AC b tg ˆ 4. Resolución de Problemas con triángulos Para resolver situaciones relacionadas con distintas ciencias es necesario recurrir a algunas herramientas de la matemática entre ellas, la geometría y la trigonometría. A continuación se detallan algunos resultados y conceptos que ayudan a la resolución de dichos problemas. Área Matemática Ingreso 2010 63 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática 4.1 Resolución de Problemas con triángulos rectángulos Cuando se trata de triángulos rectángulos, el ángulo recto es un dato, entonces necesitamos conocer sólo dos elementos aparte de ese ángulo. Éstos pueden ser dos lados o bien un lado y un ángulo. Para resolver este tipo de problemas nos ayudará recordar: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180o (en consecuencia la suma de los ángulos agudos de una triángulo rectángulo es 90o). El teorema de Pitágoras. Las definiciones de las razones trigonométricas de los ángulos agudos. La forma de determinar el valor de un ángulo cuando es conocida una de las razones trigonométricas. ¿Recuerdas el Teorema de Pitágoras? “En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. El cual se puede expresar, basado en la Figura 4, de la siguiente manera: c 2 a 2 b 2 , de donde c a 2 b 2 ¿Te animas a escribir la expresión para obtener cada uno de los catetos del triángulo rectángulo? Ejemplo 4: Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3 m. Solución: Para determinar las razones trigonométricas nos falta conocer la longitud del otro cateto del triángulo, al que denotaremos a. Para determinarla utilizamos el Teorema de Pitágoras, luego a c 2 b 2 25 9 16 4 , entonces la longitud del cateto es a 4m . Como deseamos determinar las razones trigonométricas asociadas al ángulo agudo menor, debemos decidir cual es el ángulo menor, para ello recordemos la siguiente propiedad: “dados dos ángulos cualesquiera interiores a un triángulo, al menor ángulo se le opone el menor lado” Así la situación planteada queda esquematizada en la Figura 6. A b=3 c=5 C Área Matemática a =4 B Figura 6 Ingreso 2010 64 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Si llamamos ̂ al ángulo agudo menor del triángulo rectángulo entonces la longitud del cateto opuesto a él es b 3m . Luego las razones trigonométricas son: 3 4 3 5 5 4 sen̂ ; coŝ ; tg ̂ ; cos ecˆ ; secˆ ; cot g ˆ 5 4 3 5 3 4 Ejemplo 5: Sabiendo que la torre Eiffel mide 300 metros de altura, ¿cuánto hay que alejarse para que su extremo se vea desde el suelo, 36 o por encima de la horizontal. Solución: 1. En primer lugar hacemos un gráfico que represente la situación, así tenemos C Bˆ 36º CA = 300m (altura de la torre) A B 2. Ahora dado que tg 36 o encontramos que AB 300 m , despejando se tiene que AB AB 300 m , de donde tg 36 o 300 412.939 m 0.7265 Luego para ver a la torre desde un ángulo de 36 o nos debemos alejar un poco más de 4 cuadras. 4.2 Resolución de Problemas con triángulos oblicuángulos Cuando se desea resolver triángulos oblicuángulos, como el que se muestra en la Figura 7 deberemos recurrir a resultados tales como el Teorema del Seno y el Teorema del Coseno. Figura 7 Teorema del seno En todo triángulo ABC los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Es decir dado el triángulo ABC como el de la Figura 7, tenemos: Área Matemática Ingreso 2010 65 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática senˆ sen ˆ senˆ otra manera de expresarlo a b c a b c senˆ sen ˆ senˆ Teorema del Coseno (Generalización del Teorema de Pitágoras) En todo triángulo ABC, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos. Basados en el triángulo ABC de la Figura 7, podemos escribir. a 2 b 2 c 2 2.b.c. coŝ c 2 a 2 b 2 2.a.b. coŝ b 2 a 2 c 2 2.a.c. cos ̂ Ejemplo 6: a) Para sostener un globo aerostático se utilizaron dos cuerdas c1 y c 2 , como se muestra en la figura, ¿qué longitud deben tener cada una de ellas? Globo c2 c1 110 o 30 o 10m Solución: Debemos encontrar la longitud de las dos cuerdas c1 y c 2 que sostienen al globo. En función de los datos y del triángulo formado, utilizaremos el Teorema del Seno. Recordemos que los ángulos interiores a un triángulo suman 180 o , luego el valor del otro ángulo es 40 o y como conocemos el tamaño del lado del triángulo opuesto a dicho ángulo, aplicamos el Teorema del Seno y obtenemos: sen 110 o sen 40 o sen 110 o 10 9.397 14.61 y despejando se obtiene c1 c1 10 0.643 sen 40 o Para determinar c 2 , planteamos la siguiente expresión sen 40 o sen 30 o sen 30 o 10 5.0 7.78 y despejando se obtiene c 2 o 0.643 10 c2 sen 40 Luego las cuerdas que sostienen al globo miden 14.61m y 7.78m. Área Matemática Ingreso 2010 66 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática b) Para construir un túnel en una montaña se localiza una piedra saliente C y se miden ambos extremos según se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud del túnel? C 55 o b A a c AC=240m CB=650m B Solución: Observando la figura vemos que el triángulo que se forma no es rectángulo. Por otro lado tenemos como información la longitud de dos lados y el tamaño del ángulo formado por ellos, lo que nos permite utilizar el Teorema del Coseno. Nuestros datos son: BC a 650 m , AC b 240 m y ˆ 55 o y aplicando la expresión : c 2 a 2 b 2 2.a.b. coŝ c 2 650 2 240 2 2 650 .240 cos 55 o 422500 57600 2 650 240 0.57358 301143 .04 De donde la longitud del túnel es kilómetros tiene el túnel? 301143 .04 548.77m . ¿Podrías decir cuántos Actividades 1) Utiliza tu calculadora para expresar: a) en grados los siguientes ángulos. ˆ 115 o 20´12´ ´ ; ˆ 208 o12´8´´ ; ˆ 317 o 24´18´´ b) en grados minutos y segundos los siguientes ángulos ; ˆ 265 .78 o ˆ 124.357 o ; ˆ 16.37 o 2) Expresa en: a) radianes los siguientes ángulos expresados en grados ˆ 11.18 o ; ˆ 107 .46 o ; ˆ 219 .43 o b) grados los siguientes ángulos expresados en radianes ˆ 32.67rad ˆ 243,13rad ˆ 135 .6rad 3) Utilizando tu calculadora encuentra: a) el seno, coseno y tangente de los ángulos indicados en los incisos a) y b) del Ejercicio 1. Área Matemática Ingreso 2010 67 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática b) los ángulos que verifican las siguientes igualdades: sen 1 / 4 ; cos 1 / 12 ; tg 3 . 4) El techo de un quincho forma un ángulo de 30 o con la horizontal y sabiendo que el quincho tiene 14 metros de fondo. Determina: a) la longitud del techo b) la altura que alcanza el techo. 5) Necesitamos alcanzar una lámpara que se encuentra en una pared de 4m de altura y contamos con una escalera de 5.8 m de largo a) ¿Cuál es el ángulo de inclinación que le debemos dar a la escalera? b) ¿A qué distancia de la pared debemos colocar el pie de la escalera? 6) Desde un acantilado que está a 80 m sobre el nivel del mar, se puede observar un bote cuando el ángulo de depresión es de 20 o . Determina a que distancia está el bote de la base del acantilado. 7) Suponte que una rampa de un edificio público tiene 32m de longitud y 23m de base. a) Dibuja el triángulo. b) ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la rampa? c) ¿Cuál es su altura? 8) Calcula los elementos desconocidos de los triángulos rectángulos que se presentan a continuación i) C ii) A Bˆ 30º CB = 10 cm iii) B AB = 5m 20º Aˆ 20o BC=4m AC=12m B A A B C C 9) Una persona desea calcular la altura del Obelisco. Estando parado a 57m del mismo, mide con el clinómetro un ángulo de 49° formado entre la horizontal y una línea imaginaria hasta el punto más alto del Obelisco. Sabiendo que la altura del piso hasta sus ojos es de 1.59 m, ¿cuál es la altura aproximada del Obelisco? Graficar la situación de manera aproximada. 10) Resolver los siguientes triángulos, usando las medidas indicadas en los mismos. 93° 75° 20 m. 7 m. 16 m. 35° Área Matemática Ingreso 2010 68 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática 11) Para determinar la distancia de la casa A a la casa B , un topógrafo B camina A1500 metros desde la casa A hasta el punto C. Utiliza un teodolito para medir el ángulo ACB, que resulta ser de 80°, y después camina hacia la casa B, una distancia de 1800 metros, ¿cuál es la distancia entre las casas? A B C BIBLIOGRAFÍA Aquí te presentamos una lista de libros que se utilizan en el Nivel Medio y que te servirán de guía para repasar, profundizar, ver otros ejemplos y resolver ejercicios de los temas de Matemática vistos en estas actividades de Ingreso a la Universidad. “Matemática 7”, “Matemática 8” y “Matemática 9”- Editorial Puerto de Palos. “Matemática 1 Polimodal” y “Matemática 2 Polimodal” - Editorial Puerto de Palos. “Matemática I Polimodal”- Kaczor, Schaposchnik, Franco, Cicala y Díaz. Editorial Santillana. “Matemática 7” - Andrés, Latorre y Machinnas - Editorial Santillana. “Matemática 8”, “Matemática 9”- Kacsor, Piñeiro y Serrano - Editorial Santillana. Carpeta de Matemática 1 Polimodal - Abdala, Real y Turano - Editorial AIQUE. “Matemática 9” – Fernández Moreno y Ottolenghi-Viterbi –Serie Convergencias. Editorial Kapelusz. “Matemática 7”, “Matemática 8” y “Matemática 9” - Englebert, Pedemonti y Semino - AZ editora S.A. “Matemática 9” – Ferraris y Tasso – Editorial Brujas. “Funciones 1” Polimodal - Altman, Comparatore y Kurzrok. Editorial Longseller S.A. “Matemática 9” – López y Pellet – Serie de Tramas – A-Z editora S.A. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS A continuación se muestra un listado de bibliografía en la que se fundamentó la presentación de los contenidos y las actividades propuestas. Matemáticas: contenidos, actividades y recursos. Guías Praxis para el profesorado. Azcarate Giménez, C. y otro. (1999). Editorial Praxis S.A.España. Matemática: temas de su Didáctica. Cap. 3. Camuyrano, M. y otros. (1998). Programa Prociencia CONICET. Buenos Aires. Función de Gala. Carnelli, G. (1997). Editorial El Hacedor. Buenos Aires. Matemática: una mirada funcional Gysin, L. Y otros (1999).. A-Z Editora. Buenos Aires Área Matemática Ingreso 2010 69 Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales Departamento de Matemática Ideas y actividades para enseñar Álgebra Grupo Azarquiel (1993).. Editorial Síntesis S.A. Madrid. Curso de Ingreso. Años: 2003-2004-2005 Aguirre, N; Bastán, M; Etchegaray, S; Moschetti, E; Peparelli, S, Denner, C. Curso de Ingreso Año 2007-2008 Etchegaray S, Colombo S, Konic P, Denner C. Fac.de Cs.Exactas. Área Matemática. “Matemática para hacer I” (2007). 1º Edición. Ed. Aular Taller.Bs. As. Notas de Clase y Trabajos Prácticos de la asignatura Matemática Básica (Código 1900) (Año 2009) Elsa Moschetti. Dpto. de Matemática Facultad de Ciencias Exactas Fco. Qca y Naturales. UNRC. http://dmat.exa.unrc.edu.ar/ Matemática I. Pablo J. Kaczor; Ruth A. Schaposchnik; Eleonora Franco; Rosa A. Cicala ; Bibiana H. Díaz. (1999) Editorial. Ediciones Santillana. Una puerta abierta a la Matemática Trigonometría. Liliana Ferraris; María Alejandra March (2008). Editorial comunicarte. Matemática Guías teórico-prácticas. Irene Marchetti de De Simone; Margarita García de Turner (1995). A-Z editora. Área Matemática Ingreso 2010 70