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 En tiempos atrás la mayoría de las personas creían que en caída libre los objetos más
pesados, como una bala de cañón, caían con una aceleración mayor que los objetos más
ligeros como una pluma. Desde luego cuando se lanzaban simultáneamente desde una
misma altura, sí caían a diferentes velocidades pero no era por su peso, la diferencia de
las velocidades se debe a la resistencia del aire.
En la caída libre hay dos fuerzas que actúan sobre un objeto: el peso = mg, con una
dirección positiva ya que esta orientada hacia abajo y la resistencia del aire = –kv, es una
fuerza, llamada amortiguación viscosa que actúa en dirección opuesta la suma de estas
dos fuerzas nos da la fuerza neta, ( fuerza neta = el peso + resistencia del aire) .
 También tenemos que la velocidad instantánea esta relacionada con
la aceleración a mediante a= dv/dt, la Segunda Ley de Newton se convierte en
F= ma y esto es = m* dv/dt al igualar la fuerza neta de esta forma con
la segunda ley de Newton se obtiene una ecuación diferencial de primer orden
para la v(t) de un cuerpo en tiempo t.
SEGUNDA LEY DE NEWTON = FUERZA NETA
Para un movimiento de alta velocidad a través del aire , como el paracaidista que se
mueve en la figura cayendo antes de que su paracaídas se abra, la resistencia del aire es
más cercana a la velocidad instantánea v(t) exponencial. Determine una ecuación
diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo cayendo con una masa m si la resistencia
del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.
1.
Identificación de las variables responsables
del cambio que se produzca en el sistema
DATOS:
 Cuerpo cayendo con una masa (m).
 Aceleración con que cae el cuerpo
 La gravedad
 Resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad
¿ Determinar una ecuación diferencial para la velocidad v(t)?.
2. FORMULACIÓN DE UN CONJUNTO DE PREMISAS
RAZONABLES O HIPÓTESIS
3. REPRESENTACIÓN DE LA ECUACIÓN
Al igualar la fuerza neta de esta forma con la segunda ley de Newton se obtiene una
ecuación diferencial de primer orden para la v(t) de un cuerpo en tiempo t.
Entonces tenemos:
Segunda ley de Newton= F= ma = m*dv/dt
Fuerza neta= el peso + resistencia del aire = mg – kv²
La ecuación diferencial quedaría:
dv
m
 mg  kv
dt
4. Resolución de la ecuación diferencial mediante
separación de variables
dv
m  mg  kv
dt
Ecuación Diferencial de primer
Orden.
mdv
 dt
2
mg  kv
1
* mdv
mg
 dt
2
mg kv

mg mg
1
* mdv
mg
 dt
2
mg kv

mg mg
Se multiplica por 1/mg en el núm.
Y denom. de la parte derecha de
La ecuación.
1
* dv
g
 dt
2
kv
1
mg
1
* dv
g
 dt
2
kv
1
mg
1
1
g
dv
 dt
2
kv
1
mg
Reduciendo términos
Reduciendo términos
1
g
dv
 kv


1  
mg 

 dt
Reescribiendo término

kv
1
1 

mg

2
k v 
mg 
2
kv
mg
Sea u 
du 
2
k
* 1 dv
mg
k
mg 1
k g
mg
du
1
1 u
 tanh
c
2
2
1 u
a
a
dv
 kv 

1 
 mg 


2
2
 dt
k
dv
mg
mg
kg

12  

kv
mg




2
 dt
m 1
kv
1
 tanh
c t c
kg 1
mg
tanh
1
kv
kg
t
c
m
mg
du
1
1 u

tanh
c
2
2
1 u
a
a
mg

kg
m* g
k *g
1
g
g 2
1


g
g
g
mg

kg
m
kg
 kg

kv

 tanh 
t  c 
mg
 m

v
 kg

mg
tanh 
t  c 
k
 m

Por tanto la velocidad con respecto al tiempo es:
 kg

mg
v(t ) 
tanh 
t  c 
k
 m
