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Operaciones con números
enteros Z
Rosemary Torrico Bascopé
Contenido
• Introducción
• Conjuntos de números
• Propiedades de los Z respecto a la suma y multiplicación
• Divisores de un número
• Propiedades de la división de números enteros
• Divisibilidad
• Números primos y compuestos
• Descomposición de un número en sus factores primos.
Los números enteros
• Introducción
– Entre las necesidades de los antiguos primitivos
que descubrieron los números naturales y las del
hombre actual existen diferencias radicales.
• El hombre antiguo vivía sometido a la naturaleza
• El hombre de hoy en día vive gobernado por sus
creaciones
Los números enteros
• El hombre descubrió que para medir ciertas magnitudes,
es conveniente considerar su variación en un sentido y
otro, por encima y por debajo de un origen prefijado.
– Por ejemplo: en los edificios se tienen pisos por encima y
por debajo del nivel del suelo. Si los numeramos, el piso
que se encuentra en el nivel del suelo sera el 0, el
primero sobre este nivel sera 1, el segundo 2, etc. el
primero debajo del nivel del suelo -1…
– Aplicaciones
1.
2.
3.
4.
Temperatura
Utilidades de una empresa
Crecimiento de un país
Altura
CONJUNTOS DE NÚMEROS
NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS CARDINALES
NÚMEROS NATURALES
…-6 -5 -4 -3 -2 -1
NÚMEROS NEGATIVOS
0
1 2 3 4 5 6…
NÚMEROS POSITIVOS
Conjunto de Números Naturales N
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
• El conjunto de los Números Naturales surgió
de la necesidad de contar.
• Se caracteriza porque:
– Tiene un número ilimitado de elementos
– Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el
1, un antecesor.
– El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno
(+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).
Conjunto de los Números Cardinales
N* = N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}
• Los números cardinales expresan cantidad de
personas, animales o cosas.
• Al Conjunto de los Números Naturales se le
agrega el 0 (cero) y se forma el Conjunto de
los Números Cardinales.
Conjunto de los Números Enteros
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
• Con los números naturales no es posible
realizar restas donde a un número menor hay
que restarle uno mayor.
– En la vida cotidiana nos encontramos con
operaciones de este tipo. Por ejemplo, se tiene la
necesidad de representar: el dinero adeudado,
temperatura bajo cero, profundidades con
respecto al nivel del mar, etc.
Conjunto Z como Recta numérica
Enteros negativos
… -5
-4
-3
-2
-1
Z-
Enteros positivos
0
1
2
+
3
Z =N
-
Z = Z  0  Z
Z = Enteros
+
Z = Enteros positivos
Z = Enteros negativos
N = Naturales
+
4
5
…
Números enteros
• Los números enteros pueden representarse en la recta
de la siguiente manera:
• En esta representación se observa:
– Que los números naturales son mayores que los enteros
negativos.
• Ejemplo: 3 > -3 tres es mayor que tres negativo
– Generalizando: si un número natural a es menor que otro b,
entonces –a es mayor que –b.
• Ejemplo: 2 < 5  -2 >-5
Conjunto de los Números Racionales
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
• Se llama número racional a todo número que puede
representarse como el cociente de dos enteros, con
denominador distinto de cero.
Q = { a / b tal que a y b  Z; y b ≠ 0 }
• En la práctica se utilizan número
racional y fracción como sinónimos
Conjunto de Números Irracionales (I
= Q* )
• Los números irracionales son números que poseen
infinitas cifras decimales no periódicas, por lo tanto
no pueden ser expresados como fracciones.
• A él pertenecen todos los números decimales
infinitos puros, es decir aquellos números que no
pueden transformarse en una fracción.
– Ejemplos: las raíces inexactas, el número Pi, 1,4142135....etc
Propiedades de los números Z
• Conserva las propiedades de los números N y
además tiene la existencia de un opuesto.
• Cualquier número entero tiene su opuesto,
que sumando con él da 0.
a + (-a) = 0
a – b = a + (-b)
Propiedades de los Z respecto a la suma y multiplicación
Propiedad
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro
Elemento simétrico
Distributiva del
producto respecto
de la suma
Suma
Multiplicación
(a + b) + c = a + (b +
c)
(a  b)  c = a  (b  c)
a+b=b+a
ab=ba
Es el 0, porque
a+0=a
Es el 1, porque
a1=a
El opuesto de a es –a
a + (-a) = 0
No tiene
a  (b + c) = a  b + a  c
Para multiplicar enteros
• Se considera el signo por lo que es necesario conocer la
regla de signos.
• Se utiliza la regla de signos:
(+)  (+) = +
(+)  (–) = –
(–)  (+) = –
(–)  (–) = +
Se observa que:
• El producto de signos iguales es positivo (+)
• El producto de signos diferentes es negativo (–)
Expresiones con Signos de agrupación
• Si un signo de agrupación va precedido del
signo menos, se lo puede eliminar de 2
maneras:
– Cambiando el signo de todos los sumandos que
haya dentro.
• Ej. -2 + 8 – (4 -13 + 6) = -2 + 8 – 4 + 13 - 6
– Efectuando previamente las operaciones que
aparecen dentro del paréntesis.
• Ej. -2 + 8 – (4 - 13 + 6) = -2 + 8 – ( -3) = -2 + 8 + 3
Operaciones compuestas
•
Las operaciones compuestas se realizan según el
siguiente orden
1.
Paréntesis, si los hubiese
•
Si aparecen varios, unos dentro de otros, se comienza
efectuando los de dentro.
2.
Multiplicaciones y divisiones
3.
Sumas y restas
Ej. Calcular: (-7)  [4  (3 - 8) – 5 (8 - 5) ]
Solución: (-7)  [4  (3 - 8) – 5 (8 - 5) ] = (-7)  [4 ( -5) – 5 3 ] =
= (-7)  [-20 – 15 ] = (-7)  [- 35 ] = +245
División de números Z
a|b
Si a y b son dos enteros cualesquiera, b > 0,
entonces existe un par único de enteros, q y r,
tales que:
a  qb  r
donde
0  r  b.
Si r = 0 decimos que “b divide a a ”, o que “la
división es exacta”.
Términos de la
división
Dividendo
Residuo
27 4
3 6
Divisor
Cociente
– La división es exacta si tiene residuo cero.
– La división es inexacta si tiene residuo diferente
de cero.
División de números Z
• La regla de signos para la división es la misma
que para la multiplicación.
Ejemplos:
-6 / 3 = -2
15 / -3 = -5
-8 / -4 = 2
(+) / (+) = +
(+) / (–) = –
(–) / (+) = –
(–) / (–) = +
Propiedades de la División de números
enteros
• La división no es conmutativa
a/b≠b/a
Ej. 9 / 3 ≠ 3 / 9
es decir 9 dividido entre 3 es distinto de 3 dividido entre 9
• La división no es asociativa.
(a / b) / c ≠ a / (b / c)
Ej. (32 / 4) / 2 ≠ 32 / (4 / 2)
8 /2
32 / 2
4
≠
16
Divisores de un número
– Si a y b son dos números naturales distintos de
cero, se dice que a es divisor de b si existe un
número natural c tal que:
ac=b
Ejemplos:
3 es divisor de 12 porque: 3  4 = 12
5 es divisor de 75 porque: 5  15 = 75
Propiedades de la División de Números
Enteros
1. La división no es
conmutativa
2. La división no es asociativa.
a/b≠b/a
Ej. 9 / 3 ≠ 3 / 9
(a / b) / c ≠ a / (b / c)
Ej. (32 / 4) / 2 ≠ 32 / (4 / 2)
8 /2
32 / 2
4
≠
16
3. Todo número es divisor de si
mismo
a/a=1
Propiedades de la División de Números
Enteros
4. El número 1 es divisor de todo
número natural
5. Si a es divisor de b entonces b
no es divisor de a.
6. Si a es divisor de b y b es
divisor de c entonces a es
divisor de c.
7. Si un número divide a otros
dos, también divide a su suma
a/1=a
b/a≠a/b
b/a  c/b c/a
b / a  c / a  (b+c) / a
Divisibilidad
Se dice que un número natural a es divisible por otro
número natural b si el residuo de la división a entre
b es cero.
– El residuo de la división a entre b es cero.
Ejemplos:
15 es divisible por 1, 3, 5 y 15 porque dividen de
forma exacta a 15.
Criterios de divisibilidad
Divisible por 2
Un número es divisible por 2
cuando el número es par.
Divisible por 5
Un número es divisible por 2
cuando el dígito unidad de
número es 5 ó 0.
Divisible por 9
Un número es divisible por 9 si
la suma de sus cifras es
múltiplo de 9.
Divisible por 3
Un número es divisible por 3 si
la suma de sus cifras es
múltiplo de 3
Divisible por 6
Un número es divisible por 6
cuando es divisible por 2 y por
3.
Divisible por 10
Un número es divisible por 10
cuando el dígito unidad de
número es 0.
Números Primos
• Un número es primo, si y solo si tiene dos
divisores, el mismo número y el 1.
Ejemplo:
2, 3, 5, 11 son números primos
• Curiosidades
– Los números primos se utilizan en la codificación
de mensajes secretos y en las telecomunicaciones.
– Todo número puede obtenerse a partir de la suma
de números primos.
Números compuestos
• Un número es compuesto si y solo si tiene otros divisores
distintos del mismo número y de 1.
Ejemplo:
4, 6, 8, 10,12 son números compuestos
• 0 no es un número primo ni compuesto porque no tiene
un número finito de divisores.
• 1 no es un número primo ni compuesto porque no tiene
dos divisores distintos.
Ejercicio
• Calcular si el número 113 es un número
primo.
Sugerencia: dividir 113 con los números primos
inferiores a él cuyo cuadrado no sea mayor al
número
Solución:
El número cuyo cuadrado menor más próximo a 113 es 10, entonces
basta con comprobar si 2, 3, 5, 7 son divisores de 113.
113 no es divisible por 2, 3, 5 tampoco por 7. Luego 113 es un número
primo.
Descomposición de un número en sus factores
primos
• Se puede descomponer un número
compuesto como producto de sus factores
primos de dos formas.
– Mediante un diagrama de árbol
– Aplicando criterios de divisibilidad
• Todo número compuesto se puede expresar
como producto de números primos de una
sola manera, excepto por el orden sus
factores.
Descomposición de un número en sus
factores primos
Aplicando criterios de divisibilidad
•
•
•
Escribir el número a la izquierda de una línea
vertical y a la derecha menor número primo
por el cual sea divisible dicho número.
Escribir debajo del número propuesto el
cociente entre el número dado y el divisor
primo elegido
Repetir el procedimiento hasta obtener el
número 1 como cociente.
28 2
14 2
77
1
Diagrama de árbol
• Por cada número generamos 2 ramas que son la
descomposición del número en 2 factores, continuamos
así hasta obtener solo números primos.
Números
compuestos
28
2
14
2
7
28 = 2 2 7
Números
primos
Bibliografía
• Matemáticas B, Pedro Antonio Gutierrez
Figueroa, Ed. La hoguera, 2001.
• Dominando las Matemáticas, AritmeticaII, L.
Galdos,2005.
• Matemáticas 6, Ediciones Santillana, 2000