Download PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS

PR O P IE DA DES DE L OS Á N G UL OS DET ER M I NA D OS P OR D OS RE CT AS PA RAL ELAS
Y U N A S E CA NT E.
RECORDAMOS:
T
Región externa
R
Región interna
S
 Ángulos correspondientes: están en el mismo semiplano respecto a la transversal, uno es interior y el otro
exterior y son no adyacentes.
T
Axioma: los ángulos correspondientes entre paralelas son
congruentes, es decir, tienen igual amplitud.
R
S
- Recordemos que un axioma es una propiedad no demostrable.
- Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una secante, determinan ángulos correspondientes
congruentes, entonces las rectas son paralelas
 Ángulos alternos: están en distinto semiplano respecto a la transversal y son no adyacentes.
 alternos internos:
 alternos externos:
T
T
R
R
S
S
PROPIEDAD: Los ángulos alternos (internos o externos) entre paralelas son congruentes, es decir, tienen igual
amplitud.
 Ángulos conjugados: están en el mismo semiplano respecto a la transversal y son no adyacentes.
 conjugados internos
 conjugados externos:
T
T
R
R
S
S
PROPIEDAD: Los ángulos conjugados (internos o externos) entre paralelas son suplementarios, es
decir, la suma de sus amplitudes es 180°.
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Para aplicar:
1 - Se sabe que A // B y 
1̂  = 120°. Calcula la medida de los ángulos 2, 3 y 4 justificando la
respuesta en cada caso.
4
A
3
1
B
2
2- Se tienen las siguientes rectas A, B y S
rectas A y B? Justifica la respuesta.
y se sabe que
1̂  2̂ ¿Qué puede asegurarse de las
S
A
B
3
4
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2
Con los datos de la figura del ejercicio 1 y sabiendo que 
1̂  = 3x + 20° y
3̂  = 2x + 52° Halla el valor de x, y de cada uno de los ángulos marcados en la figura.
Con los datos de la figura del ejercicio 1 y sabiendo que 
2̂  = 4x - 20° y
3̂  = 3x +25° Halla el valor de x, y de cada uno de los ángulos marcados en la figura.
POLÍGONOS
Se llama polígono a una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.
POLÍGONOS CONVEXOS
Un polígono convexo es una figura en la que todos los ángulos interiores miden menos de 180° y todas sus
diagonales son interiores.
Un polígono es convexo solo si cualquier segmento entre dos puntos que estén dentro del mismo está dentro, es
decir, el segmento no corta los lados.
En un polígono convexo, todos los vértices "apuntan" hacia el exterior del polígono.
Todos los triángulos son polígonos convexos. Todos los polígonos regulares son convexos.
POLÍGONOS CÓNCAVOS
Un polígono cóncavo es una figura en la que al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180°.
En un polígono cóncavo al menos una de sus diagonales es exterior al polígono. Los polígonos estrellados son
polígonos cóncavos.
En todo polígono cóncavo hay al menos dos vértices que al ser unidos por un segmento, este corta uno o más
lados.
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Los polígonos de tres lados (triángulos) son los únicos polígonos que no pueden ser cóncavos, dado que ninguno
de sus tres ángulos puede superar los 180°.
POLÍGONO IRREGULAR
En geometría, se le llama polígono irregular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores no son congruentes
entre sí. Los polígonos irregulares no tienen todos sus lados iguales. Sus vértices no están inscritos en una
circunferencia. Estos polígonos irregulares tienen la ventaja de que no se necesita un compás para construirlos
como es el caso de los polígonos regulares, sólo se necesita una regla para conectar los puntos.
POLÍGONO REGULAR
En geometría, se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes
entre sí. Los polígonos regulares tienen todos sus lados iguales. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados
se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente, para polígonos de más lados se añade el término
regular (pentágono regular, hexágono regular, etc.)
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS REGULARES
1° Propiedad: El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula:
(n-2) . 180° / n
Ejemplo: el ángulo interior de un octágono (8 lados) es:
(8-2) . 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°
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2° Propiedad: el ángulo exterior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula:
360° / n
Ejemplo: el ángulo interior de un octágono (8 lados) es:
360° / 8 = 45°
3° Propiedad: todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales (líneas que van de un vértice a otro,
pero que no son lados).
El número de diagonales es: n.(n - 3) / 2
Ejemplos:


un cuadrado tiene 4.(4-3)/2 = 4 . 1/2 = 2 diagonales
un octágono tiene 8.(8-3)/2 = 8 . 5/2 = 20 diagonales
C UAD R ILÁ TE R OS
Los polígonos limitados por cuatro lados y que además forman entre sí cuatro ángulos, se denominan
“Cuadriláteros”.
Clasificación
1. Paralelogramos
El paralelogramo es un cuadrilátero tal que sus lados opuestos son paralelos
En todo paralelogramo:
 Los lados opuestos son ............
 Los ángulos opuestos son ..........
 Las diagonales se cortan en su punto medio.
1.1
Rectángulo
Se llama rectángulo al paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos congruentes
Siendo el rectángulo un paralelogramo especial cumple todas las propiedades de los paralelogramos en
general, y una que le es característica:
Las diagonales del rectángulo son congruentes
1.2
Rombo
Se llama rombo al paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes.
Siendo el rectángulo un paralelogramo especial cumple todas las propiedades de los paralelogramos en
general, y una que le es característica:
 Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisectrices
de los ángulos cuyos vértices unen.
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1.3
Cuadrado
Se llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus cuatros ángulos y sus cuatro lados congruentes
Por ser el cuadrado un paralelogramo tiene las propiedades de los paralelogramos en general, es decir:
 Sus diagonales se cortan en su punto medio.
Por ser el cuadrado un caso particular del rectángulo, tiene las
propiedades especiales de este último, es decir:
 Sus diagonales son congruentes.
Por ser el cuadrado un caso particular del rombo tiene las propiedades
especiales de este último, es decir:
 Sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.
2. Trapecio:
Se llama trapecio al cuadrilátero que tiene por lo menos un par de lados ............................
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno rectángulo
3. Romboide:
Se llama así al cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos congruentes.
La diagonal del romboide que une los vértices en que concurren los pares de lados congruentes se llama
diagonal principal.
En todo romboide:
 La diagonal principal del romboide es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une, y corta
perpendicularmente a la otra diagonal en el punto medio.
Los ángulos interiores y exteriores de cualquier cuadrilátero convexo suman 360°.
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Para Aplicar:
1-
Marca con una cruz, las propiedades que cumplen las diagonales:
Trapecio Romboide
Rombo
Paralelogramo
Rectángulo
Cuadrado
Son congruentes
Son perpendiculares
Una de ellas corta a la otra en
punto medio
Cortan mutuamente en el
punto medio
2-
Completa con TODO, ALGÚN o NINGÚN:
......................paralelogramo es rombo
.................... cuadrado es rectángulo
.....................rombo es cuadrado
.....................cuadrilátero es convexo
3-
Relaciona mediante una flecha con la figura correspondiente:
Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos
CUADRADO
Cuadrilátero con un solo par de lados paralelos
PARALELOGRAMO
Cuadrilátero con diagonales congruentes
RECTÁNGULO
Rectángulo no rombo
TRAPECIO
Rombo no rectángulo
4-
5-
Dibuja los cuadriláteros que tienen sus diagonales perpendiculares.
Calcula la longitud de las diagonales del romboide.
do  ao  1 cm
ao  1/3 de ac
oc  12 cm
12
6-
Calcula la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros.
b
c
s
rstu trapecio isósceles
t
36°
r
u
û  x  16
t̂  x  30
DES I G UAL DAD T R IA N G UL A R
En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor
a la longitud del lado restante.
a
a+b>c
b
b+c>a
c+a>b
c
ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO
En todo triángulo, la suma de las amplitudes de los ángulos interiores es igual a 180°
b
â  b̂  ĉ  180
Si ab  bc  ĉ  â
a
Si b̂  ĉ  ac  ab
c
 En todo triángulo, la suma de las amplitudes de los ángulos exteriores es igual a 360°.
 En todo triángulo, cada ángulo exterior es suplementario con el ángulo interior correspondiente.
 En todo triángulo, la amplitud de un ángulo exterior es igual a la suma de las amplitudes de los ángulos
interiores no adyacentes a él.
 α̂  β̂  γ̂  360
 â  α̂  180
b̂  β̂  180
ĉ  γ̂  180
 α̂  b̂  ĉ
β̂  â  ĉ
γ̂  â  b̂
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