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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
Resumen de la unidad
En esta unidad, los estudiantes aplicarán las funciones trigonométricas a la resolución de
problemas con triángulos y explorarán las propiedades e inversa de las funciones
trigonométricas. Desarrollarán y aplicarán definiciones de la función de seno y coseno,
desarrollarán identidades fundamentales y resolverán problemas del mundo real.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su
conocimiento sobre las propiedades e inversas de las funciones trigonométricas para
interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas
Geometría
G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos.
G.FG.11.5.2 Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de suma y diferencia,
doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente y cotangente; los cuales utiliza para simplificar
expresiones trigonométricas y resolver triángulos.
G.FG.11.5.3 Conoce los dominios restringidos de las funciones de seno, coseno y tangente, para poder
definir sus inversas.
 Calcula los valores de las funciones trigonométricas inversas.
 Define y traza la gráfica de las funciones trigonométricas inversas con dominios restringidos
adecuadamente.
G.FG.11.5.4 Resuelve triángulos rectángulos y usa los resultados para resolver problemas concretos.
G.FG.11.5.5 Desarrolla la Ley de Seno y la Ley de Coseno y las utiliza para hallar las medidas
desconocidas de los lados y los ángulos en el triángulo.
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Matemáticas
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Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
 Las funciones trigonométricas resuelven
los triángulos.
 Las identidades pitagóricas
trigonométricas simplifican las
expresiones y resuelven los triángulos.
 Las gráficas trigonométricas y sus inversas
nos permiten tomar decisiones
informadas.
 Las medidas indirectas se basan en las
propiedades de los triángulos rectángulos.
 ¿Por qué usarías funciones
trigonométricas para resolver triángulos?
 ¿Por qué son útiles las identidades
trigonométricas pitagóricas?
 ¿Cómo puedes comparar las gráficas de
funciones de seno, coseno y tangente y su
inversa?
 ¿Cómo se usan los triángulos rectángulos
para tomar medidas indirectas?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
 Conocer los dominios restringidos de la
función de seno, coseno y tangente para
definir sus inversas
 La definición de la función de seno y
coseno
 Las identidades trigonométricas
pitagóricas fundamentales de suma y
resta, ángulos dobles, y funciones de
secante, cosecante, tangente y cotangente
 Los dominios restringidos de la función de
seno, coseno y tangente para definir sus
inversas
 La gráfica de las funciones trigonométricas
inversas con dominios restringidos
 La ley de cosenos (c2 = a2 + b2 – 2ab cos C)
 La ley de senos
 Desarrollar y aplicar la definición de las
funciones seno y coseno para resolver
triángulos.
 Desarrollar las identidades pitagóricas
trigonométricas de suma y resta, doble
ángulos, funciones de secante, cosecante,
tangente y cotangente, que se utilizan
para simplificar expresiones
trigonométricas y resolver triángulos.
 Calcular los valores de las funciones
trigonométricas inversas.
 Definir y trazar la gráfica de las funciones
trigonométricas inversas con dominios
restringidos adecuadamente.
 Resolver triángulos rectángulos y usa los
resultados para resolver problemas
concretos.
 Desarrollar la ley de seno y la ley de
coseno y utilizarlas para hallar las medidas
desconocidas de los lados y los ángulos en
el triángulo.
Vocabulario de contenido
 ángulos dobles, dominios restringidos,
funciones trigonométricas inversas,
identidades trigonométricas pitagóricas,
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ley de cosenos, ley de senos
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Tareas de desempeño
Otra evidencia
Recorrido trigonométrico1
Los estudiantes demostrarán su conocimiento
de las leyes de seno y coseno creando un
recorrido trigonométrico.
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. Demuestra la identidad trigonométrica:
senθsecθ = (1 - cos²θ) / (senθcosθ).
2. ¿Cuál NO es una identidad?
a.
1 + cos²θ = sen²θ
b.
csc²θ – 1 = cot²θ
c.
1 + tan²θ = sec²θ
d.
1-sen²θ = cos²θ
3. Escribe una oración compuesta que
equivalga a cada ecuación. Pista: tu
primera respuesta debe tener la forma x =
____y |y| ≤ ____.3
a.
y=sen -1 x
b.
y=cos -1 x
c.
y=tan -1 x
4. Usando las ecuaciones a continuación crea
una gráfica con el dominio restringido de
(-1, 1) y una gráfica con el dominio
restringido de todos los números reales.
a.
y=Sen -1 x
b.
y=Cos -1 x
Instrucciones:
Tu tarea es crear un recorrido trigonométrico.
Utiliza tu área inmediata* para crear un
problema en el que haya que hallar una altura
o distancia inaccesible. Tu problema debe ser
tridimensional e incluir un triángulo
rectángulo, así como el uso de las leyes de
seno y coseno. Entrega el problema y su
solución completa.
Los estudiantes intercambian sus problemas
para dar una caminata trigonométrica en que
tomen medidas y resuelvan los problemas
diseñados por los otros.
*Nota: el maestro puede especificar o limitar
el área en que los estudiantes pueden crear
su recorrido trigonométrico.
1 Fuente: http://www.mrsantowski.com/MCR3U/Assignments/M11SB555.pdf
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Evalúa el trabajo de los estudiantes en la
rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador
- Rúbrica de tarea de desempeño).
Laberinto de triángulo2
Los estudiantes demostrarán su comprensión
de la ley de senos y la ley de cosenos por
medio de la siguiente tarea en que trabajan
como arquitectos paisajistas que han recibido
la tarea de diseñar un laberinto al aire libre
para un parque de diversiones.
Tarea:
El parque de diversiones quiere añadir un
laberinto hecho de arbustos por el cual la
gente pueda pasear. Han encontrado
ejemplos de laberintos en otros parques que
están formados por ángulos rectos
únicamente, y otros de naturaleza circular.
Para ser originales, les gustaría crear su
primer laberinto compuesto completamente
de formas triangulares sin ángulos rectos.
Tú, el arquitecto paisajista, debes inventar un
c.
y=Tan -1 x
Diario
1. Comenzando por cos2x + sen2x=1 y usando
tu conocimiento de las identidades por
cociente y recíproca, deriva una identidad
equivalente en términos de la tan x y la
sec x. Muestra todo el proceso.4
2. Traza una gráfica para demostrar que y =
sin -1 x es una relación y no una función.
Explica por qué no es una función.5
Boletos de entrada/salida
1. Reescribe en términos de cosθ y
simplifica: sen²θcot²θsecθ
2. Sea P(x, y) un punto en el cuadrante uno
del círculo unitario, x2 + y2 = 1. Traza el
segmento de línea OP. Sea θ el ángulo
formado por OP y la porción positiva del
eje de x. Ahora traza la perpendicular de P
para que se encuentre con el eje de x en el
punto M.6
a.
Establece la razón de OP/MP en
términos de θ. Establece la razón de
2 Fuente: www.curriculumframer.com
3 Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect07.pdf
4 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
5 Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect07.pdf
6 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
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plan para hacer un laberinto interesante de 1
acre que esté compuesto de secciones
triangulares. Los triángulos estarán bordeados
de arbustos altos, y el interior de los
triángulos estará cubierto de agua para que la
gente no intente saltar por encima de los
arbustos. Propón un diseño para esta
atracción con medidas de todos los lados y
ángulos, así como el área interior de los
triángulos. Puedes tener algunos ángulos con
las mismas dimensiones, pero asegúrate de
que el diseño tenga por lo menos cinco tipos
diferentes de triángulos, la variedad suficiente
para ser interesantes.
OP/OM en términos de θ.
b.
Establece las coordenadas del
punto P en términos de θ.
c.
Sustituye tus coordenadas en la
ecuación del círculo unitario para
demostrar una de las identidades
pitagóricas.
d.
Ahora escoge P en otro
cuadrante y repite el proceso. ¿Sigue
siendo cierta la identidad?
Procedimiento:
1. Haz un boceto de tu plan. Antes de
finalizarlo, asegúrate de que los caminos
que la gente escoja sean variados e
interesantes. Algunos deben llevar a
callejones sin salida.
2. Una vez hayas terminado tu diseño,
crea una versión final de tu plan con todas
las medidas rotuladas, haz varias copias y
traza los caminos potenciales que puede
tomar la gente por el laberinto, tanto
largos como cortos. Estima cuán largos
son estos caminos posibles, y estima
cuánto tiempo se tomaría recorrerlos a un
paso relajado.
3. Para hacerle la vida más fácil al
Departamento de Terrenos, informa la
longitud total de verjas de arbustos a las
que hay que darle mantenimiento, así
como el volumen total de agua en las
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piscinas que tendrán que mantener.
Escribe un párrafo que describa las
características del plan de forma tal que
sirva para "venderle" tu propuesta al
comité del parque.
4. Incluye todos los cálculos que
respalden tu propuesta en un apéndice
adjunto al final.
5. Opcional (puntos de bono) - Da la milla
extra y crea una maqueta de tu plan para
asegurarte de que el comité entienda tu
visión del laberinto.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la
rúbrica de evaluación (ver anejo: 11.5 Tarea
de desempeño - Rúbrica del Laberinto de
triángulos).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Actividades de aprendizaje
 Funciones trigonométricas uno a uno7: Los estudiantes utilizarán el estudio previo de las
funciones inversas para comprender que las funciones trigonométricas no tienen inversa a
menos que restrinjamos su dominio. Primero, pídeles a los estudiantes que tracen la
gráfica de y = sen x. ¿Cómo sabemos que se trata de una función? A continuación,
pregúntales: ¿es una función uno a uno? ¿Tiene una función inversa?*8 Haz que los
7 Fuente: www.curriculumframer.com
8 *Nota importante: No todos los libros de texto son uniformes en cuanto al uso del término inversa. Algunos libros utilizan el
término inversa con el sentido de "función inversa" y señalarán que la inversa no existe si al intercambiar las variables de x y de y
se cra una relación que no es una función. Otros libros utilizan el término inversa para describir la relación creada por el
intercambio de variables, aun cuando no se trata de una función, con lo cual cabe preguntarse "¿es la inversa una función?”.
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estudiantes tracen la gráfica de la relación x = sen y. Obviamente no es una función. Reta a
los estudiantes a hallar la porción mayor del sen x que sea uno a uno. Primero, pídeles que
lo trabajen solos y después compara sus respuestas. ¿Cuán larga es? ¿Hay solo una
respuesta posible? ¿Todo intervalo en x posee la calidad de ser uno a uno? Pídeles que
hagan lo mismo para el coseno y el seno en parejas. Discútanlo como clase.
 Tres funciones trigonométricas inversas9: Explícales las funciones trigonométricas inversas
para funciones de seno, coseno y tangente, y su dominio y recorrido. Usa esta actividad
para darle seguimiento a las funciones trigonométricas uno a uno. Refiérete a la discusión
anterior de las funciones trigonométricas inversas de seno, coseno y tangente y haz
hincapié en la diferencia entre x = sen (hallar todos los ángulos y para los cuales el seno de
y = x no sea una función), y y = arcosen x (hallar el ángulo entre -π/2 y π/2 para el cual el
seno de y = x).*10 Muéstrales a los estudiantes ambas convenciones para la escritura de
funciones trigonométricas inversas: el uso de "arco-" y el uso del índice superior "-1". Haz
hincapié en que no se trata de un exponente, y contrástalo con colocar sen x entre
paréntesis con el exponente afuera como la forma correcta de elevar el seno a la potencia
negativo uno. Modela ejemplos y pídeles a los estudiantes que practiquen usando los
ejemplos para comprobar su habilidad para usar las funciones trigonométricas inversas
básicas (seno, coseno y tangente inversos). No les pidas que hallen la inversa de la
cosecante, secante y cotangente; esto se discutirá en la próxima actividad.
 Funciones trigonométricas inversas11: En esta actividad, los estudiantes usarán su
comprensión de la función trigonométrica inversa de seno, coseno y tangente para crear
Comprueba la terminología del libro de texto que están usando tus estudiantes y guarda la coherencia terminológica con el libro
para minimizar la confusión. En este documento, se utilizará el acercamiento anterior; así, el término inversa se refiere a que se
trata de una función.
9 Fuente: www.curriculumframer.com
10 *Nota importante: En relación con la nota anterior sobre la falta de uniformidad en el uso del término "inversa", algunos
libros diferencian entre "Arcsen x" y "arcsen x", donde uno es la función y el otro es la no función que equivale a la relación x =
sen y. Nuevamente, modifica tus explicaciones en clase para reflejar la convención usada en tu texto. En este documento,
usaremos la convención de no poner mayúscula para diferenciar el uso, y arcsen x se referirá a la función con recorrido
restringido, o "ángulo principal".
11 Fuente: http://www.mde.k12.ms.usACADIDCurriculumFramermath_pagesgrade_hsm.html
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
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funciones inversas de cosecante, secante y cotangente. Primero, pídeles que explique en
sus propias palabras lo que significa "seno inverso de x". Recopila las ideas de los
estudiantes y discútelas. A continuación, rétalos a crear funciones inversas basadas en y =
csc x, y = cot x usando lo que han aprendido en actividades previas. Haz que compartan y
discutan sus respuestas. Luego, rétalos a explicar por qué estas inversas son menos
importantes y algunos libros no las incluyen. En concreto, diles que no necesitan una
función cosecante inversa para hallar la cosecante inversa de 5/3, por ejemplo, y pídeles
que averigüen por qué. Dales tiempo para que lo discutan en parejas.
 Tengo...quién tiene12: Haz una lista de preguntas y respuestas del tema que quieras
repasar. Haz dos columnas; la primera lleva "Tengo" de título y la segunda lleva "Quién
tiene". La primera columna es para las respuestas y la segunda es para las preguntas (las
repuestas son de la pregunta en la línea anterior). Para un ejemplo de esto con identidades
trigonométricas básicas, ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Tengo, quién tiene. A
continuación, crea tarjetas por cada pregunta y respuesta que hayas preparado; sin
embargo, la tarjeta debe tener la respuesta de la próxima pregunta de la lista. En el
ejemplo con identidades trigonométricas fundamentales, la tarjeta número dos dice:
"Tengo cos A. ¿Quién tiene sen2A + cos2A?”. La tercera tarjeta dice "Tengo 1. ¿Quién tiene
1/sen A?" La respuesta a la pregunta en la tarjeta dos se halla en la tarjeta tres. Repárteles
las tarjetas a los estudiantes al azar. Quédate con la primera tarjeta de la lista para que tú
empieces y termines el ejercicio. Lee la primera tarjeta. El estudiante que tenga la
respuesta a la primera pregunta entonces lee su tarjeta. El estudiante que tenga la
respuesta a esa pregunta entonces lee su tarjeta, y así sucesivamente hasta que todos
hayan leído la suya.
 Rompecabezas de identidades trigonométricas13: Los estudiantes acomodan los
dieciséis cuadrados para formar un cuadrado mayor en que todos los lados se pareen para
formar identidades trigonométricas. (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje Rompecabezas trigonométrico).
 Identidades trigonométricas14: Utiliza una técnica de delegación gradual de la
12 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/ihave.html
13 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/trgcutup.html
14 Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
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responsabilidad para modelar problemas y pedirles a los estudiantes que hagan problemas
de práctica y crítica inmediata de su trabajo con la Identidad trigonométrica fundamental
(ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Identidades trigonométricas).
 Identidades de ángulo doble15: Los estudiantes toman nota de las identidades de
ángulo doble y se les guía paso a paso con una serie de ejemplos. Pídeles que resuelvan
algunos problemas de práctica por su cuenta; durante ese tiempo, date la vuelta por el
salón para responder a sus preguntas (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje Identidades de ángulo doble).
Ejemplos para planes de la lección
 Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica16: En esta lección, se les guía
paso a paso a los estudiantes para cambiar el dominio de las ecuaciones trigonométricas y
se les dan problemas guiados de práctica (ver anejo: 11.5 Ejemplo para plan de lección Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica).
 Desarrollar ley de cosenos17: Primero, para repasar LAL y LLL, se les darán a los
estudiantes varios datos sobre triángulos y se les pedirá que los tracen con regla y
transportador. Compararán triángulos entre sí para ver con cuáles conjuntos de datos se
obtiene un solo triángulo, así como ver que con ciertos ejemplos de LLL no se obtiene
triángulo. Los estudiantes desarrollarán la ley de cosenos como extensión lógica de la
fórmula pitagórica y nuestra definición de razón de coseno. A continuación, explorarán los
escenarios donde resulte útil, y verán qué sucede cuando intentan aplicarlo a uno de los
ejemplos de LLL imposibles de la actividad anterior (ver anejo: 11.5 Ejemplo para plan de
lección - Desarrollo de la ley de cosenos).
 Funciones trigonométricas inversas18: Se introduce a los estudiantes a la inversa de
funciones trigonométricas con representación tanto gráfica como simbólica. A
continuación, el maestro guía paso a paso a los estudiantes en el uso de las definiciones de
15 Ibídem.
16 Ibídem.
17 Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/template_233.html
18 Fuente: http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%2040-%20Inverse%20Trig%20Functions.pdf
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inversa para evaluar y trazar gráficas. Provee problemas adicionales de asignación. Para
más información y materiales, dirigirse a:
http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%2040-%20Inverse
%20Trig%20Functions.pdf.
 Las leyes de seno y coseno ¡simplificadas!19: Esta actividad está diseñada para expandir
el conocimiento de trigonometría usando la ley de senos y la ley de cosenos. Los
estudiantes elaborarán una herramienta de trigonometría de triángulos para ayudarlos a
visualizar las leyes de trigonometría. A continuación los estudiantes reconstruirán los
triángulos por su cuenta, intercambiarán las construcciones con otros grupos y hallarán las
soluciones. Corroborarán sus soluciones usando un transportador y una regla de
centímetros como herramientas de medir. Necesitarán un pedazo de cartulina de color
claro, marcadores rojo/azul/negro, transportador, regla y tijeras. Los estudiantes ya deben
conocer el teorema de Pitágoras, así como las relaciones trigonométricas de seno, coseno y
tangente con respecto a un triángulo rectángulo.
Instrucciones:
1. En esta actividad se les pide a los estudiantes que hagan su propio triángulo no
rectángulo y lo completen con un código de colores y razones trigonométricas escritas
en su triángulo. Esto les servirá como herramienta instructiva para que la utilicen
cuando estén aprendiendo por primera vez sobre la ley de senos y la ley de cosenos.
o Usando un escalímetro, los estudiantes trazan una línea por el lado diagonal
de una cartulina. Se forman así dos triángulos rectángulos congruentes. Recorta
por la línea diagonal. Deja un triángulo de lado para usarlo después.
o Usando un escalímetro, traza una línea por el triángulo rectángulo hasta el
lado opuesto, dividiendo así el ángulo recto de forma tal que ya no mida 90˚. Los
estudiantes deberán tener ahora un triángulo no rectángulo.
o Usando un marcador rojo, pídeles que rotulen un ángulo “ángulo A”. A
continuación, haz que cada estudiante coloree el opuesto del ángulo A con el
marcador rojo. Completa el mismo proceso para rotular el ángulo B, y luego el
lado opuesto con un marcador azul. A continuación, rotula el ángulo C y el lado
opuesto con un marcador negro.
o Rotula cada ángulo con una letra mayúscula, y el lado opuesto de ese ángulo
con la misma letra y color, pero en minúscula.
19 Fuente: http://www.uen.org/Lessonplan/preview?LPid=19845
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
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Pídeles que volteen el triángulo y dupliquen las marcas en el dorso.
Pídeles que escriban la fórmula de la ley de senos en el centro de un lado del
triángulo, y que en el otro lado del triángulo escriban las tres fórmulas de la ley de
cosenos.
2. Provéeles triángulos con la medida de un ángulo dada, su lado opuesto (en cm) y otra
medida que escojas. Los estudiantes deberán utilizar la ley de senos y la ley de cosenos
para solucionar los triángulos.
3. En parejas o grupos pequeños, los estudiantes dibujarán unos seis triángulos, lo
suficientemente grandes como para que ocupen toda la página. Infórmales que deben
dibujar estos triángulos con cuidado y precisión usando un escalímetro.
o Los estudiantes medirán tres de las 6 partes de cada triángulo y anotarán las
medidas a la derecha del dibujo.
o A continuación, intercambiarán su papel con otro compañero o grupo. En el
nuevo papel, los estudiantes deberán hallar las partes que faltan de cada
triángulo usando el conocimiento de trigonometría que posean. Pídeles a los
estudiantes que muestren todos los pasos del proceso y no dejes que usen las
herramientas de medir como muletilla.
o
o
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
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oUna vez los grupos hayan terminado, devuélvanle el papel al propietario original.
o Usando un transportador y una regla de centímetros, pídele al propietario
original que corrija las respuestas.
Recursos adicionales
 http://profjserrano.wordpress.com/
 http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/trigoecu.pdf
 http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/trigodef.pdf
 http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
 http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
 Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
 Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
 Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos
apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en
todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela
secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de
estudio.
 Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
 El matemático del rey de Juan Carlos Arce
 La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de
Marcus Du Sautoy
 Trigonometric Delights de Eli Maor
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