Download Descarga - Prof. Oscar Dorta

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
UEN “Edoardo Crema”
Dpto. Matemática y Física
Prof. Oscar Dorta
Cuarto Año
GUIA #1
Definición1: Todo punto de una recta la divide en dos semirrectas. Dos puntos están situados en una misma
semirrecta si, y sólo si, están en un mismo lado de la recta con respecto al punto de división. Dos puntos
están en diferentes semirrectas si están a distintos lados del punto de división.
Definición2: El punto que divide una recta en dos semirrectas es conocido como origen de las semirrectas.
Definición3: Dos semirrectas son complementarias si, y sólo si, están situadas en una misma recta y su
único punto común es su origen.
Definición4: Un ángulo es una figura geométrica formada por dos semirrectas con un origen común.
Definición5: Los ángulos siempre se denotarán con el símbolo ∠ y los tres puntos que lo conforman,
quedando el punto origen entre los otros dos puntos.
Definición6: Un ángulo se llama llano si, y sólo si, sus lados son semirrectas complementarias.
Definición7: Todo ángulo admite una medida entre 0° y 180°. Esta la denotaremos como medida angular y los
reconoceremos porque colocaremos el ángulo entre paréntesis con la letra 𝑚. Por ejemplo al ángulo ∠𝐴𝑂𝐵, su medida
angular se denotará por 𝑚(∠𝐴𝑂𝐵).
Definición 8: Dos rectas serán perpendiculares si el ángulo conformado entre ellas posee una medida angular de 90°.
Definición 9: Un ángulo se llama recto si sus lados están situado sobre rectas perpendiculares. Su medida angular
posee 90°. Un ángulo se llama agudo si su medida angular es mayor que 0° y menor a 90°. Un ángulo se llama obtuso
si su medida angular es mayor a 90° pero menor a 180°.
Definición 10: Dos ángulos se llaman congruentes si, y sólo si, tiene la misma medida angular.
Definición 11: Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice, si cada lado de uno es una semirrecta complementaria
de un lado del otro. Todo ángulo complementario, son congruentes.
Definición 12: Siempre podemos decir que un ángulo está conformado por la suma de dos ángulos menores a él primero
diciendo que:
𝑚(∢𝐴𝐵𝐶 ) = 𝑚(∢𝐴𝐵𝑂) + 𝑚(∢𝑂𝐵𝐶)
Definición 13: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas angulares es igual a 90. Dos ángulos son
suplementarios si la suma de sus medidas angulares es igual a 180°.
Definición 14: Un triángulo es una figura geométrica formada por tres puntos A, B y C, no situados en la misma recta y
̅̅̅̅ , 𝐴𝐶
̅̅̅̅ y 𝐵𝐶
̅̅̅̅ . A los puntos se les conocerá como vértices y a los segmentos lados.
tres segmentos de la recta tal que 𝐴𝐵
Definición 15: Dos segmentos serán congruentes si poseen la misma distancia.
Definición 16: Un triángulo se llama equilátero si, y sólo si, todos sus lados son congruentes. Un triángulo se llama
Isósceles si posee al menos dos lados congruentes. Un triángulo se llama escaleno si, y sólo si, ninguno de sus lados
es congruente con otro.
Definición 17: Un triángulo se llama rectángulo si, y sólo si, uno de sus ángulos es recto. Un triángulo se llama
obtusángulo si, y sólo si, uno de sus ángulos es obtuso. Un triángulo se llama acutángulo si, y sólo si, todos sus
ángulos son agudos.
Definición 18: Entendemos por lado opuesto a un ángulo de un triángulo, al segmento que no es lado de dicho ángulo.
Definición 19: La mediana de un triángulo será el segmento trazado desde el vértice de un ángulo hasta el punto medio
del lado opuesto.
Definición 20: La altura de un triángulo es la recta trazada desde el vértice de un ángulo del triángulo, perpendicular
hasta el lado opuesto.
Definición 21: La bisectriz será la recta que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes.
Definición 22: La mediatriz será la recta trazada desde el vértice de un ángulo del triángulo, perpendicular hasta el
punto medio del lado opuesto.
Definición 23: El punto de intersección de las tres medianas lo conocemos como baricentro. El punto de intersección de
las tres alturas de un triángulo lo conocemos como ortocentro. El punto de intersección de las tres bisectrices lo
conocemos como incentro. El punto de intersección de las tres mediatrices lo conocemos como circuncentro.
Definición 24: El baricentro será el punto de equilibrio del triángulo. El incentro será el punto central de la circunferencia
que toca cada segmento del triángulo. El circuncentro será el punto central de la circunferencia que toca cada vértice del
triángulo.
Definición 25: En un triángulo equilátero, tanto la mediatriz, como bisectriz, como mediana y altura, son rectas
coincidentes.
Definición 26: Dos triángulos ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐷𝐸𝐹 son triángulos congruentes si, y sólo si, cada uno de los segmentos y
ángulos del ∆𝐴𝐵𝐶 es congruente con cada uno segmentos y ángulos del ∆𝐷𝐸𝐹. Siendo que:
̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐸
̅̅̅̅ , 𝐵𝐶
̅̅̅̅ ≅ 𝐸𝐹
̅̅̅̅ , 𝐴𝐶
̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐹
̅̅̅̅
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹 ⟺ ∢𝐴𝐵𝐶 ≅ ∢𝐷𝐸𝐹 , ∢𝐵𝐶𝐴 ≅ ∢𝐷𝐸𝐹 , ∢𝐶𝐴𝐵 ≅ ∢𝐹𝐷𝐸 , 𝐴𝐵
Definición 27: La suma de las medidas angulares internos de un triángulo es igual a 180°
Definición 28: En todo triángulo hay, por lo menos dos ángulos agudos.
Teorema 29: La suma de las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
Definición 30: Se llama ángulo exterior de un triángulo a cualquier ángulo suplementario de un triángulo.
Definición 31: Cualquier ángulo exterior de un triángulo tiene una medida angular igual a la suma de las medidas de los
ángulos internos no adyacentes a él.
Postulado 1 (Criterio LAL de Congruencia de Triángulos): Dos triángulos son congruentes si, y sólo si, tienen dos
lados congruentes entre sí, y el ángulo formado por dichos lados.
Postulado 2 (Criterio ALA de Congruencia de Triángulos): Dos triángulos son congruentes si, y sólo si, un lado
congruente entre si y los ángulos adyacentes a dicho lado.
Postulado 3 (Criterio LLL de Congruencia de Triángulos): Dos triángulos son congruentes sí, y sólo si, los tres lados
son congruentes entre sí.
Definición 32: El lado opuesto de un ángulo recto de un triángulo rectángulo recibe el nombre de hipotenusa. Los lados
restantes de catetos.
Corolario 1: Dos triángulos rectángulos son congruentes sí, y sólo si, tienen congruentes la hipotenusa y un ángulo
agudo.
Corolario 2: Dos triángulos rectángulos son congruentes sí, y sólo si, tienen congruentes un cateto y un ángulo agudo.
Teorema 1 (Teorema del Triángulo Isósceles): Un triángulo es isósceles si, y sólo si, dos de sus ángulos son
congruentes.
Corolario 3: Los lados opuestos a los ángulos congruentes de un triángulo isósceles serán congruentes entre sí.
Teorema 2 (Teorema de la Charnela): En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
Corolario 4: En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado.
Definición 33: En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del tercero.
Teorema 4 (Teorema de Pitágoras): En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado siempre será igual a la
suma de los cuadrados de los catetos. Esto es, siendo "𝑐" la hipotenusa y "𝑎, 𝑏" los catetos:
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 2
Definición 34: Dos rectas serán paralelas sí, y sólo si, siendo coplanares no tienen ningún punto en común o poseen
todos los puntos comunes.
Teorema 5: Por un punto exterior a una recta, existe una y sólo una paralela a dicha recta que pase por dicho punto.
Definición 35 (Ángulos Correspondientes): Un par de ángulos son CORRESPONDIENTES si uno es un ángulo
interior y el otro es exterior, si no tienen el mismo vértice y si están en el mismo semiplano de arista.
Corolario 5: Pueden considerarse un par de ángulos alternos internos y el opuesto por el vértice a uno de ellos
Teorema 6 (Teorema de Thales): Si dos rectas cualesquiera son cortadas
por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas
son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.
Definición 36: Dos triángulos son Homotéticos si comparten un punto en
común en los lados del triángulos, siendo que la intersección de los puntos
internos de los lados formen otro triángulo, donde el segmento en cuestión
es paralelo al segmento restante.
Definición 37: Dos triángulos son Semejantes entre sí siempre que
mantengan la proporcionalidad de los lados a través del teorema de Thales.
Corolario 6: Sea ∆𝐴𝐵𝐶 semejante al ∆𝐷𝐸𝐹, lo denotaremos como ∆𝐴𝐵𝐶 ∼ ∆𝐷𝐸𝐹
Postulado 4 (Criterio AAA de Semejanza de Triángulos): Dos triángulos son semejantes entre sí, si los ángulos
correspondientes son congruentes.
Postulado 5 (Criterio LLL de Semejanza de Triángulos): Dos triángulos son semejantes entre sí, si los lados
correspondientes son proporcionales.
Postulado 6 (Criterio LAL de Semejanza de Triángulos): Dos triángulos son semejantes entre sí, si entre los dos
triángulos dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos entre ellos son congruentes.
Corolario 7: Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes.
Definición 38: Al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto dado, se llaman circunferencia.
Definición 39: Al punto central de una circunferencia se le conoce como centro y la distancia entre dicho punto y
cualquier punto de la circunferencia se llama radio.
Definición 40: El segmento que une dos puntos de una circunferencia se llama cuerda. Toda cuerda que pasa por el
centro de la circunferencia se llama diámetro.
Definición 41: Una recta que pasa por un punto de la circunferencia se llama tangente sí, y sólo sí, dicha recta es
perpendicular al radio que une el centro con dicho punto.
Corolario 8: Toda recta tangente a una circunferencia tiene un único punto en común con la circunferencia, a saber, el
punto de tangencia.
Definición 42: Sea ∡𝐴𝑂𝐵 un ángulo con el punto “O” en el centro de la circunferencia y los puntos “A” y “B”, puntos de la
circunferencia, se llama ángulo interno a la circunferencia.
Definición 43: Si el ángulo interno de una circunferencia no es llano, al ángulo se le llama arco menor de la
circunferencia y los puntos restantes se definen como arco mayor, de extremos “A” y “B” de la circunferencia.
̂
Corolario 9: A toda arco de circunferencia con extremos A y B, lo denotaremos como 𝐴𝐵
Corolario 10: Si el ángulo interno de una circunferencia es llano, dicho ángulo es diámetro de la circunferencia y divide a
dicha circunferencia en dos semicircunferencias.
̂ ) de un arco de una circunferencia se define de la siguiente forma:
Definición 44: La medida angular 𝑚(𝐴𝐵
̂ es una semicircunferencia, 𝑚(𝐴𝐵
̂ ) = 180°
a. Si el arco 𝐴𝐵
̂ es un arco menor, 𝑚(𝐴𝐵
̂ ) = 𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)
b. Si 𝐴𝐵
̂ es un arco mayor, 𝑚(𝐴𝐵
̂ ) = 360° − 𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)
c. Si 𝐴𝐵
̂ , entonces
Teorema 7 (Teorema de la adición de arcos): Si C es un punto del arco 𝐴𝐵
̂
̂ ) = 𝑚(𝐴𝐶
̂ ) + 𝑚(𝐶𝐵)
𝑚(𝐴𝐵