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2
Números enteros
ACTIVIDADES INICIALES
2.I.
En los océanos hay oscuridad absoluta por debajo de los 500 metros de profundidad, y
existen ciudades como Cáceres que están a 500 metros de altitud. ¿Cómo puedes
expresar estos números para diferenciarlos?
Utilizamos los números enteros negativos para las medidas de profundidad y expresamos
como números enteros positivos las medidas de altura.
2.II.
¿Por qué se siente dolor de cabeza y de oídos al bucear? Investiga cuál es la máxima
profundidad a la que ha llegado a bucear un ser humano.
A medida que te sumerges aumenta la presión que el agua ejerce sobre ti, lo que provoca
dolores de cabeza y de oídos.
Con bombona de oxígeno, el récord Guinness está en –318,25 metros de profundidad en 2010.
2.III.
Algunos de los seres vivos que habitan en las profundidades marinas utilizan
mecanismos de luminiscencia. ¿Para qué crees que los usan?
Si quieres ver algún ejemplo de estos seres extraños y misteriosos, observa el vídeo:
www.e-sm.net/1esoz07
Los mecanismos de luminiscencia son utilizados para reconocerse entre miembros de la misma
especie y para reconocer a su pareja. También son usados como señuelo para atraer posibles
presas o para confundir a los depredadores y huir.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
2.1.
2.2.
18
Expresa con un número entero las siguientes informaciones.
a)
El avión está volando a 9500 metros de altura.
b)
La temperatura mínima de ayer fue de 3 ºC bajo cero.
c)
El garaje está en el segundo sótano.
d)
El buceador está nadando a 20 metros de profundidad.
e)
Sergio debe 25 euros.
f)
Pitágoras nació en el año 570 a. C.
a)
b)
+9500
–3
c)
d)
–2
–20
e)
f)
–25
–570
c)
0
Expresa cada enunciado con un número entero.
a)
La latitud del Ecuador.
b)
Nuestra ciudad está al nivel del mar.
c)
Me he gastado toda la paga.
a)
0
Unidad 2 | Números enteros
b)
0
2.3.
Indica el significado de los números –2, 0 y +4 en las siguientes situaciones.
a)
En un ascensor.
b)
En un termómetro.
c)
En una cuenta bancaria.
a)
–2; el ascensor está en el segundo sótano.
0; el ascensor está en la planta baja.
+4; el ascensor está en la cuarta planta.
–2; hace 2 ºC bajo cero.
0; la temperatura es de 0 ºC.
+4; la temperatura es de 4 ºC.
–2; debemos 2 euros al banco.
0; no tenemos nada ahorrado.
+4; he ahorrado 4 euros.
b)
c)
2.4.
Representa en una recta los siguientes números.
a)
–1
b)
+3
–5
2.5.
c)
–1
0
1
+7
d)
3
–5
7
¿Qué números están representados en esta recta? ¿Cuál es su valor absoluto? ¿Y su
opuesto?
0
–5
–2
–3
0
+1
–5 , |–5| = 5, op(–5) = +5
–3 , |–3| = 3, op(–3) = +3
–2 , |–2| = 2, op(–2) = +2
2.6.
2.7.
2.8.
+3
+5
+1 , |+1| = 1, op(+1) = –1
+3 , |+3| = 3, op(+3) = –3
+5 , |+5| = 5, op(+5) = –5
Calcula el valor absoluto de estos números.
a)
−9
b)
a)
9
b)
+5
5
c)
c)
−3
3
d)
d)
0
0
Halla el opuesto de cada uno de los siguientes números.
a)
–4
a)
b)
op(–4) = +4
op(+8) = –8
b)
+8
c)
–15
c)
d)
op(+15) = –15
op(–(–3)) = –3
d) –(–3)
Calcula el opuesto del opuesto de –2.
op[op(–2)] = op(+2) = –2
También se podría haber resuelto diciendo que el opuesto del opuesto es el mismo número.
2.9.
Actividad resuelta
Unidad 2 | Números enteros
19
2.10. Ordena de menor a mayor estos números enteros positivos.
+12
+5
+8
+11
+5 < +8 < +11 < +12
2.11. Ordena de mayor a menor los siguientes números enteros negativos.
–5
–1
–2
–25
–1 > –3 > –5 > –25
2.12. Copia en tu cuaderno y completa con los signos < o > estas expresiones.
a)
+4
+1
c)
0
b)
–1
–6
d)
–8
c)
d)
0 < +3
–8 < +2
a) +4 > +1
b) –1 > –6
+3
e)
–2
0
f)
+5
–9
e)
f)
–2 < 0
+5 > –9
+2
2.13. Determina los números enteros a tales que:
|a| ≤ 4
|a| > 4
|a| > 4  a es un número entero mayor que 4 o menor que –4.
|a| ≤ 4  a es un número entero entre –4 y 4.
2.14. Escribe, entre las siguientes temperaturas, otra que cumpla la condición indicada.
c)
–1 °C <
< 1 °C
d)
–8 °C >
> –13 °C
–11 °C < −7 ºC < –5 °C
c)
–1 °C < 0 ºC < 1 °C
21 °C < 30 ºC < 35 °C
d)
–8 °C > −10 ºC > –13 °C
a)
–11 °C <
b)
21 °C <
a)
b)
< –5 °C
< 35 °C
2.15. Javier tiene un termómetro en la terraza y a la sombra. Cada cuatro horas apunta la
temperatura en ºC y obtiene estos valores durante un día:
–4
0
3
6
2
a)
Indica las temperaturas máxima y mínima.
b)
¿Cuál es la máxima variación de la temperatura?
a)
b)
Máxima: 6 ºC. Mínima: –4 ºC
6 – (–4) = +10 ºC
–2
2.16. Actividad interactiva
2.17. Efectúa estas operaciones.
20
a)
(+9) + (+3)
c)
(–8) + (–2)
b)
(–10) + (–5)
d)
(–1) + (–4)
a)
b)
(+9) + (+3) = +12
(–10) + (–5) = –15
c)
d)
(–8) + (–2) = –10
(–1) + (–4) = –5
Unidad 2 | Números enteros
2.18. Realiza las siguientes sumas.
a)
(+8) + (–3)
c)
(–7) + (4)
b)
(–6) + (1)
d)
(+2) + (–5)
c)
d)
(–7) + (4) = –3
(+2) + (–5) = –3
= +9
c)
(–2) +
= –3
+ (–4) = +1
d)
(+3) +
= –4
a) (+8) + (–3) = +5
b) (–6) + (1) = –5
2.19. Completa los números que faltan.
a)
b)
(+6) +
a)
(+6) + +3 = +9
c)
(–2) +
( −1)
b)
+5 + (–4) = +1
d)
(+3) +
( −7 )
= –3
= –4
2.20. Halla el resultado de estas sumas.
a)
(+10) + (+5) + (–3)
c)
(–13) + (+8) + (+7) + (–1)
b)
(+9) + (–3) + (–12)
d)
(+6) + (–4) + (–3) + (+8)
a)
b)
c)
d)
(+10) + (+5) + (–3) = +15 + (–3) = +12
(+9) + (–3) + (–12) = (+9) + (–15) = –6
(–13) + (+8) + (+7) + (–1) = [(+8) + (+7)] + [(–13) + (–1)] = (+15) + (–14) = +1
(+6) + (–4) + (–3) + (+8) = [(+6) + (+8)] + [(–4) + (–3)] = (+14) + (–7) = +7
2.21. Comprueba si se cumplen estas igualdades.
a)
op((+4) + (+3)) = op(+4) + op(+3)
b)
op((–5) + (–8)) = op(–5) + op(–8)
c)
op((–7) + (+8)) = op(–7) + op(+8)
a)
b)
c)
op[(+4) + (+3)] = op(+7) = –7, op(+4) + op(+3)= –4 + (–3) = –7
op[(–5) + (–8)] = op(–13) = +13, op(–5) + op(–8) = +5 + 8 = +13
op[(–7) + (+8)] = op(+1) = –1, op(–7) + op(+8) = +7 + (–8) = –1
2.22. Actividad resuelta
2.23. Halla el resultado de estas operaciones.
a)
(–2) – (+8)
e)
(+3) – (–9)
b)
(+6) – (+7)
f)
(+16) – (–2)
c)
(–19) – (–20)
g)
(–8) – (+17)
d)
(–10) – (–4)
h)
(+5) – (+19)
a)
(–2) – (+8) = (–2) + (–8) = –10
b)
(+6) – (+7) = (+6) + (–7) = –1
c)
(–19) – (–20)= (–19) + (+20) = +1
d)
(–10) – (–4) = (–10) + (+4) = –6
e)
(+3) – (–9) = (+3) + (+9) = +12
f)
(+16) – (–2) = (+16) + (+2) = +18
g)
(–8) – (+17) = (–8) + (–17) = –25
h)
(+5) – (+19) = (+5) + (–19) = –14
Unidad 2 | Números enteros
21
2.24. Expresa la resta (+34) – (+47) como suma de dos números. ¿Cuál es su valor?
(+34) + (–47) = –13
2.25. Averigua los números que faltan en estas igualdades.
a)
(–5) – (–6) = (–5) +
=
d)
(+8) –
= (+8) + (–6) =
b)
(+3) – (–8) = (+3) +
=
e)
–(+2) – (+5) =
c)
(–12) –
a)
(–5) – (–6) = –5 + +6 = +1
d)
(+8) – +6 = (+8) + (–6) = +2
b)
(+3) – (–8) = +3 + +8 = +11
e)
–(+2) – (+5) = −2 + (–5) = −7
c)
(–12) – −6 = –12 + (+6) = −6
+ (–5) =
= (–12) + (–6) =
2.26. Resuelve estas operaciones gráficamente sobre la recta numérica:
a)
(–5) – (+2)
c)
(+4) – (+5) + (+2)
b)
(+4) – (–6)
d)
(+8) – (+3) – (–2)
a)
c)
–5
–7
–2
+4
+2
–5
0
–1
1
0
+1
+4
–5
b)
d)
+4
0
+8
+2
+4
0
+10
+5
+6
+7 +8
–3
2.27. En una resta de dos números enteros, uno de ellos es +15, y la diferencia es –2.
¿Cuál es el otro?
Para que al restar a +15 un número entero dé un resultado negativo, ese número ha de ser
positivo. Y para que la diferencia en valor absoluto sea 2, su valor absoluto debe ser dos
unidades mayor que el valor absoluto de +15.
Por tanto, el número es +17.
Comprobación: +15 – (+17) = –2
2.28. Calcula el resultado de las siguientes sumas y restas combinadas.
22
a)
8 – (15 + 9 – 12)
d)
–12 – [–13 – 5 – (–4)]
b)
27 + (–17) + (–5) – (–25)
e)
(+8 – 3) – (–9 + (–6))
c)
–16 – 34 + (–18) – 8
a)
b)
c)
d)
e)
8 – (15 + 9 – 12) = 8 – 15 – 9 + 12 = –7 – 9 + 12 = –16 + 12 = –4
27 + (–17) + (–5) – (–25) = 27 + (–17) + (–5) + 25 = 10 + (–5) + 25 = 5 + 25 = 30
–16 – 34 + (–18) – 8 = –50 + (–18) – 8 = –68 – 8 = –76
–12 – [–13 – 5 – (–4)] = –12 + 13 + 5 + (–4) = 1 + 5 + (–4) = 6 + (–4) = 2
(+8 – 3) – [–9 + (–6)] = +8 – 3 + 9 – (–6) = 5 + 9 + 6 = 14 + 6 = 20
Unidad 2 | Números enteros
2.29. Encuentra el valor de n en cada expresión.
a)
b)
2+3–n=1
5 + 1 – n = 10
c)
d)
4–n+2=8
–3 + n – 4 = –5
a)
2+3–n=15–n=1n=4
c)
4 – n + 2 = 8  6 – n = 8  n = –2
b)
5 + 1 – n = 10  6 – n = 10  n = –4
d)
–3 + n – 4 = –5  –7 + n = –5  n = 2
2.30. Un avión vuela a 3500 metros y un submarino está sumergido a 40 metros.
¿Qué altura en metros los separa?
3500 – (–40) = 3500 + 40 = 3540 m de altura los separan.
2.31.
En una estación de esquí, el termómetro marcaba –15 °C a las 6.00; al mediodía, la temperatura
había subido 10 grados, y a las 19.00 había bajado 5 grados respecto al mediodía. ¿Cuál era la
temperatura a esa hora?
(–15) + 10 – 5 = –5 – 5 = –10 ºC es la temperatura a las 19.00.
2.32. El emperador romano Octavio Augusto nació el 23 de septiembre de 63 a. C. y murió el 19
de agosto de 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?
Para saber los años que vivió, se resta al año de la muerte el año del nacimiento, teniendo en
cuenta que por ser antes de Cristo debe ser negativo:
14 – (–63) = 14 + 63 = 77 años
Hay que tener en cuenta que no hubo año 0, por lo que realmente vivió 76 años.
2.33. Actividad interactiva
2.34. Actividad resuelta
2.35. Calcula el resultado de estas multiplicaciones.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
(+8) · (+3)
(–9) · (–2)
(+5) · (–4)
(+8) · (+3) = +(8 · 3) = +24
(–9) · (–2) = +(9 · 2) = +18
(+5) · (–4) = –(5 · 4) = –20
d)
e)
f)
d)
e)
f)
(–6) · (+7)
(–20) · 5
15 · (–20)
(–6) · (+7) = –(6 · 7) = –42
(–20) · 5 = –(20 · 5) = –100
15 · (–20) = –(15 · 20) = –300
2.36. Realiza las siguientes operaciones.
a)
10 · (–8) · (–3)
d)
(–10) · (–10) · 8
b)
12 · (–8) · (–4)
e)
–175 · (–25) · 4
c)
10 · 9 · (–4)
f)
–5 · (–9) · (–20)
a)
b)
c)
10 · (–8) · (–3) = +(10 · 8 · 3) = 240
12 · (–8) · (–4) = +(12 · 8 · 4) = 384
10 · 9 · (–4) = –(10 · 9 · 4) = –360
d)
e)
f)
(–10) · (–10) · 8 = +(10 · 10 · 8) = 800
–175 · (–25) · 4 = +(175 · 25 · 4) = 17 500
–5 · (–9) · (–20) = –(5 · 9 · 20) = –900
2.37. Averigua los números que faltan.
= –24
c)
b)
· (+5) = +30
d)
a)
(–4) · 6 = –24
c)
b)
6 · (+5) = +30
d)
a)
(–4) ·
· (+2) = +6
(–10) ·
= 90
3 · (+2) = +6
(–10) ·
( −9 )
= 90
Unidad 2 | Números enteros
23
2.38. Un barco hundido a unos 200 metros de profundidad se reflota a una velocidad de 2
metros por minuto.
¿A qué profundidad estará al cabo de una hora?
1 hora = 60 minutos; por tanto, en una hora asciende 60 · 2 = 120 metros.
Profundidad a la que se encuentra: –200 + 120 = –80 m bajo el nivel del mar.
2.39.
Actividad resuelta
2.40. Obtén el resultado de las siguientes divisiones.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
(+27) : (+3)
(–10) : (+5)
(+48) : (–8)
(+27) : (+3) = +(27 : 3) = +9
(–10) : (+5) = –(10 : 5) = –2
(+48) : (–8) = –(48 : 8) = –6
d)
e)
f)
d)
e)
f)
(–63) : (–9)
(+140) : (–7)
(–84) : (–4)
(–63) : (–9) = +(63 : 9) = +7
(+140) : (–7) = –(140 : 7) = –20
(–84) : (–4) = +(84 : 4) = 21
2.41. Averigua los números que faltan en estas igualdades.
2.42.
a)
(+49) : (+7) =
e)
b)
(–30) :
= +5
f)
c)
(–35) :
= –5
g)
: (–8) = +4
(+42) : (–6) =
: (+6) = –1
d)
: (–2) = +4
h)
a)
(+49) : (+7) = +7
e)
−32 : (–8) = +4
b)
(–30) : ( −6) = +5
f)
(+42) : (–6) = −7
c)
(–35) : 7 = –5
g) −6 : (+6) = –1
d)
−8 : (–2) = +4
h) (–50) : 10 = –5
(–50) :
= –5
En una división exacta, el dividendo es +12, y el cociente, –4. ¿Cuál es el divisor?
El divisor es un número tal que al dividir +12 entre él debe dar –4. Por tanto, debe ser un
número negativo.
El divisor es –3.
Comprobación: (+12) : (–3) = –4
2.43. Escribe cada uno de estos números como cociente de otros dos números enteros.
a)
b)
a)
b)
–5
8
–5 = (+25) : (–5)
+8 = (–16) : (+2)
c)
d)
c)
d)
–2
9
–2 = (–8) : (+4)
+9 = (+18) : (+2)
e)
f)
e)
f)
–100
11
–100 = (+700) : (–7)
+11 = (–121) : (–11)
2.44. Una casa de campo tiene un depósito de riego de
9000 litros. Se abren al mismo tiempo un grifo que
vierte en el depósito 28 litros por minuto y un tubo
de riego por el que salen 40 litros por minuto.
¿Al cabo de cuánto tiempo quedará vacío el
depósito?
Litros que se gastan por minuto: 40 – 28 = 12.
Tiempo que tardaría en vaciarse: 9000 : 12 = 750 minutos = 12 horas y 30 minutos.
24
Unidad 2 | Números enteros
2.45. Actividad interactiva
2.46. Actividad resuelta
2.47. Halla el resultado de dos formas distintas.
a)
3 · ((–7) + (–10))
c)
((–6) + 2) · (–3)
b)
(–5) · (12 + (–4))
d)
((–3) + (–5)) · (–2)
a)
Aplicando la propiedad distributiva:
(+3) · [(–7) + (–10)] = (+3) · (–7) + (+3) · (–10) = (–21) + (–30) = –51
Primero la suma y luego la multiplicación: (+3) · [(–7) + (–10)] = (+3) · (–17) = –51
Aplicando la propiedad distributiva:
(–5) · [(+12) + (–4)] = (–5) · (+12) + (– 5) · (–4) = (–60) + (+20) = –40
Primero la suma y luego la multiplicación: (–5) · [(+12) + (–4)] = (–5) · (+8) = –40
Aplicando la propiedad distributiva:
[(–6) + 2] · (–3) = (–6) · (–3) + 2 · (–3) = 18 + (–6) = 12
Primero la suma y luego la multiplicación: [(–6) + 2] · (–3) = (–4) · (–3) = 12
Aplicando la propiedad distributiva:
[(–3) + (–5)] · (–2) = (–3) · (–2) + (–5) · (–2) = 6 + 10 = 16
Primero la suma y luego la multiplicación: [(–3) + (–5)] · (–2) = –8 · (–2) = 16
b)
c)
d)
2.48. Obtén el resultado utilizando la propiedad distributiva.
a)
(–9) · (8 + (–9))
c)
4 · ((–5) + 9 + (–6))
b)
2 · ((–10) + 3)
d)
((–9) + 7 + (–2)) · (–8)
a)
b)
c)
d)
(–9) · (8 + (–9)) = (–9) · 8 + (–9) · (–9) = (–72) + 81 = 9
2 · ((–10) + 3) = 2 · (–10) + 2 · 3 = (–20) + 6 = –14
4 · ((–5) + 9 + (–6)) = 4 · (–5) + 4 · 9 + 4 · (–6) = (–20) + 36 + (–24) = –8
((–9) + 7 + (–2)) · (–8) = (–9) · (–8) + 7 · (–8) + (–2) · (–8) = 72 + (–56) + 16 = +32
2.49. Copia en tu cuaderno y completa.
a)
(–5) · (9 + (–4)) = (–5) ·
b)
· (5 + (–7)) = –10 +
= –25
c)
9 · 8 = 9 · (5 +
=
d)
3 · ((–6) +
a)
(–5) · (9 + (–4)) = (–5) · 5 = –25
b)
−2 · (5 + (–7)) = –10 + 14 = 4
c)
9 · 8 = 9 · (5 + 3 ) = 45 + 27
d)
3 · ((–6) + ( −9) ) = 3 · ( −6) + 3 · (–9) = −45
)=
)=3·
+ (+27)
+ 3 · (–9) =
2.50. Escribe –28 como producto de –4 por una suma de dos sumandos.
Respuesta abierta. Por ejemplo: (–4) · [9 + (–2)] = (–36) + (+8) = –28
2.51. Escribe 64 como producto de –8 por una suma de tres sumandos.
Respuesta abierta.
Por ejemplo: (–8) · [(–4) + (+2) + (–6)] = (–8) · (–4) + (–8) · (+2) + (–8) · (–6) = 32 + (–16) + 48 = 64
Unidad 2 | Números enteros
25
2.52. Comprueba si se cumple la propiedad distributiva en el caso de un número entero por
una resta. ¿Puedes explicarlo?
Como toda resta de dos números enteros se puede escribir como una suma con solo cambiar
uno de los números por su opuesto, la propiedad distributiva se puede aplicar también a la
resta.
2 · ((–5) – (+3)) = 2 · (–5) – 2 · 3 = –10 – 6 = –16
2 · ((–5) – 3) = 2 · (–8) = –16
2.53. Actividad resuelta
2.54. Extrae factor común en cada una de estas operaciones y obtén el resultado.
a)
(–5) · 7 + (–5) · (–12)
e)
(–7) · 2 + 7 · (–21)
b)
(–2) · 7 + (–2) · (–3)
f)
(–2) · 7 + (–2) · (–3)
c)
5 · 9 + 5 · (–11)
g)
3 · (–3) + 5 · (–6)
d)
(–9) · (–12) + (–9) · 13
h)
(–9) · (–2) + 5 · 3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(–5) · 7 + (–5) · (–12) = (–5) · (7 + (–12)) = (–5) · (–5) = 25
(–2) · 7 + (–2) · (–3) = (–2) · (7 + (–3)) = (–2) · 4 = –8
5 · 9 + 5 · (–11) = 5 · (9 + (–11)) = 5 · (–2) = –10
(–9) · (–12) + (–9) · 13 = (–9) · ((–12) + 13)) = (–9) · 1 = –9
7 · 2 + 7 · (–21) = 7 · (2 + (–21)) = 7 · (–19) = –133
(–2) · 7 + (–2) · (–3) = (–2) · (7 + (–3)) = (–2) · 4 = –8
3 · (–3) + 5 · (–6) = (–3) · (3 + 5 · 2) = (–3) · (3 + 10) = (–3) · 13 = –39
(–9) · (–2) + 5 · 3 = 3 · ((–3) · (–2) + 5) = 3 · (6 + 5) = 3 · 11 = 33
2.55. Copia en tu cuaderno y completa las siguientes expresiones. Calcula el resultado.
a)
(–5) · 8 + (–5) · (–7) = (–5) · (
b)
(–45) + 5 · (+11) = 5 · (
c)
24 + 2 · (–7) =
a)
(–5) · 8 + (–5) · (–7) = (–5) · ( 8 + ( −7) ) = –5
b)
(–45) + 5 · (+11) = 5 · ( −9 + 11) = 10
c)
24 + 2 · (–7) = 2 · [12 + (–7)] = 10
+
)
+ 11)
· (12 + (–7))
2.56. Extrae factor común y resuelve estas sumas.
a)
5 · (–3) + (–6) · 4 + (–3) · (–7)
b)
(–5) · 2 + (–3) · 4 + 2 · 13
c)
(–4) · (–5) + 2 · (–3) + 4 · (–7)
d)
6 · (–5) + (–4) · 3 + (–9) · 4
a)
5 · (–3) + (–6) · 4 + (–3) · (–7) = 5 · (–3) + (–3) · 2 · 4 + (–3) · (–7) = (–3) · [5 + 2 · 4 + (–7)] =
= (–3) · 6 = –18
(–5) · 2 + (–3) · 4 + 2 · 13 = (–5) · 2 + (–3) · 2 · 2 + 2 · 13 = 2 · [(–5) + (–3) · 2 + 13] = 2 · 2 = 4
(–4) · (–5) + 2 · (–3) + 4 · (–7) = 2 · (–2) · (–5) + 2 · (–3) + 2 · 2 · (–7) =
= 2 · ((–2) · (–5) + (–3) + 2 · (–7)) = 2 · (10 –3 – 14) = 2 · (–7) = –14
6 · (–5) + (–4) · 3 + (–9) · 4 = 3 · 2 · (–5) + 2 · (–2) · 3 + 3 · (–3) · 2 · 2 =
= 2 · 3 · ((–5) + (–2) + (–3) · 2) = 6 · ((–5) – 2 – 6) = 6 · (–13) = –78
b)
c)
d)
26
Unidad 2 | Números enteros
2.57. Realiza los siguientes cálculos.
a)
32 + (–12) : 6
e)
25 : (60 : 12) + 15
b)
(–18) : 6 + 5 · (–10)
f)
(9 – 3) · (36 : 6)
c)
7+3·4+6–5
g)
3 · (–5) – (–10) + 8
d)
(–8) · 9 – 15 · (–3)
h)
(–1) – (–2) · (–3) · (–4)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
32 + (–12) : 6 = 32 + (–2) = 30
(–18) : 6 + 5 · (–10) = (–3) + (–50) = –53
7 + 3 · 4 + 6 – 5 = 7 + 12 + 6 – 5 = 19 + 6 – 5 = 25 – 5 = 20
(–8) · 9 – 15 · (–3) = –72 – (–45) = –72 + (+45) = –27
25 : (60 : 12) + 15 = 25 : 5 + 15 = 5 + 15 = 20
(9 – 3) · (36 : 6) = 6 · 6 = 36
3 · (–5) – (–10) + 8 = (–15) + 10 + 8 = –5 + 8 = 3
(–1) – (–2) · (–3) · (–4) = (–1) – (–24) = 23
2.58. *Resuelve las siguientes operaciones.
a)
27 : (–3) · 2 – (–4)
e)
(–7 + 5) · (–4) – (–7)
b)
7 + 15 : 3 – (15 – 6 · 2)
f)* –4 · (8 – 2) : (–3) · 9
c)
(–4) · 10 : 2 + 14 : (–7)
g)
(–7 – 5) : (–2) · 3 · (–9)
d)
9 + (12 : 4 – 2) – 10
h)
–4 · (–3 + 5) : 2 · 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
27 : (–3) · 2 – (–4) = (–9) · 2 + (+4) = –18 + 4 = –14
7 + 15 : 3 – (15 – 6 · 2) = 7 + 5 – (15 –12) = 12 – 3 = 9
(–4) · 10 : 2 + 14 : (–7) = –40 : 2 + (–2) = –20 + (–2) = –22
9 + (12 : 4 – 2) – 10 = 9 + (3 – 2) – 10 = 9 + 1 – 10 = 0
(–7 + 5) · (–4) – (–7) = (–2) · (–4) + 7 = 8 + 7 = 15
–4 · (8 – 2) : (–3) · 9 = –4 · 6 : (–3) · 9 = –24 : (–3) · 9 = 8 · 9 = 72
(–7 – 5) : (–2) · 3 · (–9) = –12 : (–2) · 3 · (–9) = 6 · 3 · (–9) = 18 · (–9) = –162
–4 · (–3 + 5) : 2 · 5 = –4 · 2 : 2 · 5 = –8 : 2 · 5 = –4 · 5 = 20
2.59. Obtén el resultado de estas operaciones.
a)
–9 · (–6 – 4) : (–2) · 4
e)
[((–12) – (–3)) · 8] + 24 : [((–2) + (–6)) : 2]
b)
18 : 9 + 5 – ((–15) · 3 + 12 · 4)
f)
[(3 – 4) + (–2)] · 4 + 9 : (–3) · 6
c)
(–6) · (4 – (–2)) + (–8 + (–3) · 2)
g)
–5 · (–5) + [2 – (4 + 6 – (–11))]
d)
(–35) : (5 + 2) + (–4) · 9 – (7 – 2 · 5)
h)
(–3) · 2 – [(–5 + (–7) – (–12)) – (–3)]
a)
b)
c)
d)
–9 · (–6 – 4) : (–2) · 4 = –9 · (–10) : (–2) · 4 = 90 : (–2) · 4 = –45 · 4 = –180
18 : 9 + 5 – [(–15) · 3 + 12 · 4] = 18 : 9 + 5 – [–45 + 48] = 18 : 9 + 5 – 3 = 2 + 5 – 3 = 4
(–6) · (4 – (–2)) + (–8 + (–3) · 2) = (–6) · (4 + 2) + (–8 + (–6)) = –6 · 6 + (–14) = –36 + (–14) = –50
(–35) : (5 + 2) + (–4) · 9 – (7 – 2 · 5) = (–35) : 7 + (–4) · 9 – (7 – 10) =
= (–35) : 7 + (–4) · 9 – (–3) = –5 + (–36) + 3 = –41 + 3 = –38
[((–12) – (–3)) · 8] + 24 : [((–2) + (–6)) : 2] = [(–9) · 8] + 24 : [(–8) : 2] = –72 + 24 : (–4) =
= –72 + (–6)= –78
[(3 –4) + (–2)] · 4 + 9 : (–3) · 6 = [(–1) + (–2)] · 4 + (–3) · 6 = (–3) · 4 + (–18) =
= (–12) + (–18) = –30
–5 · (–5) + [2 – (4 + 6 – (–11))] = 25 + (2 – (10 + 11)) = 25 + 2 – (21) = 27 – 21 = 6
(–3) · 2 – [(–5 + (–7) – (–12)) – (–3)] = –6 – ((–12 + 12) + 3) = –6 – 3 = –9
e)
f)
g)
h)
Unidad 2 | Números enteros
27
2.60. Completa el número que falta para que se cumpla la igualdad:
a)
[(–3) + 10 : (–2)] +
b)
4 · (–3) – (6 :
c)
(–2) ·
a)
[(–3) + 10 : (–2)] + 8 = 0
b)
4 · (–3) – (6 :
c)
(–2) · 4 + [(–6) : 3 + 4] = –6
=0
) = –10
d)
4 + [5 + (–12) :
] · 3 = 22
e)
(–5) · [(–4) –
d)
4 + [5 + (–12) : −12 ] · 3 = 22
e)
(–5) · [(–4) – 2 · (–7 + 1)] = –40
· (–7 + 1)] = –40
+ [(–6) : 3 + 4] = –6
( −3 )
) = –10
2.61. Actividades interactivas
EJERCICIOS
Números enteros. Valor absoluto
2.62. Expresa con números enteros:
a)
La temperatura mínima es de 5 ºC bajo cero.
b)
El monte Aconcagua mide 7010 metros.
c)
Euclides nació en el año 300 antes de Cristo.
d)
La profundidad de la fosa de Tonga, en el océano Índico, es de 10 882 metros.
e)
El suelo del pozo de una mina está a 518 metros de profundidad.
f)
La longitud de Greenwich es 0.
a)
b)
c)
–5
+7010
–300
d)
e)
f)
–10 882
–518
0
2.63. ¿Qué números representan las letras en esta recta?
B
D
A
E
–2
F
C
A = –4, B = –8, C = +1, D = –6, E = –3, F = 0
2.64. Representa en una recta todos los números enteros cuyo valor absoluto sea mayor que 2
y menor que 7.
2 < |x| < 7  x = –6, –5, –4, –3, 3, 4, 5, 6
–7 –6 –5 –4 –3 –2
28
Unidad 2 | Números enteros
0
+2 +3 +4 +5 +6 +7
2.65. Escribe los números enteros que tengan por valor absoluto cada uno de estos números.
a)
3
a)
b)
b)
7
c)
12
d)
3  –3, +3
c)
12  –12, +12
7  –7, +7
d)
00
0
2.66. Halla el resultado de estas operaciones en valor absoluto.
a)
(–2) · ((–7) + 9)
c)
6 – 3 · (–7)
b)
12 : (–3) + 8
d)
((–9) – 3) : 4
a)
(–2) · [(–7) + 9] = (–2) · 2 = –4  −4 = 4
b)
12 : (–3) + 8 = (–4) + 8 = + 4  +4 = 4
c)
6 – 3 · (–7) = 6 + 21 = 27  +27 = 27
d)
[(–9) –3] : 4 = (–12) : 4 = –3  −3 = 3
2.67. Halla el opuesto de cada uno de los siguientes números.
a)
+5
d)
+1001
b)
–10
e)
0
c)
–16
f)
–(–3)
a)
b)
c)
op(+5) = –5
op(–10) = +10
op(–16) = +16
d)
e)
f)
op(+1001) = –1001
op(0) = 0
op(–(–3)) = op(+3) = –3
c)
7 = op(op(
d)
op(
c)
7 = op(op( 7 ))
d)
op( −2 ) = –(–2)
2.68. Escribe el número que falta.
a)
b)
a)
b)
(–4) = op(
)
= op(op(–2))
(–4) = op( 4 )
−2 = op(op(–2))
))
) = –(–2)
2.69. Al representar dos números en la recta numérica, la distancia entre ellos es 8. Halla qué
números son si:
a)
Los dos son opuestos.
b)
Los dos tienen el mismo valor absoluto.
a)
Si los dos números son opuestos, están a la misma distancia del cero y, por tanto, para
que la distancia entre ellos sea 8, deben ser el –4 y el 4.
+4 = 4
–4 = 4
–4
0
1
+4
8
b)
Dos números enteros tienen el mismo valor absoluto si son números enteros opuestos, por
lo que estamos en el mismo caso que en el apartado a.
Unidad 2 | Números enteros
29
Ordenación
2.70. Indica los números que faltan en la tabla.
Anterior
13
–6
–13
Número
14
–5
Siguiente
15
–10
–8
Anterior
13
–6
–13
–11
–10
Número
14
–5
–12
–10
–9
Siguiente
15
–4
–11
–9
–8
2.71. Enumera todos los números enteros comprendidos entre estos pares.
a)
–5 y 0
c)
–3 y +1
b)
+2 y –2
d)
–7 y –4
c)
d)
–2, –1, 0
–6, –5
a) –4, –3, –2, –1, 0
b) –1, 0, 1
2.72. Ordena estos números de mayor a menor.
a)
–3, +5, –2, 0, –4
c)
+10, –5, –4, –6, +11, +3
b)
+6, 0, –3, –1, +5, +3
d)
–1, +2, +1, –6, +4, –7
a)
b)
+5 > 0 > –2 > –3 > –4
+6 > +5 > +3 > 0 > –1 > –3
c)
d)
+11 > +10 > +3 > –4 > –5 > –6
+4 > +2 > +1 > –1 > –6 > –7
2.73. Ordena estos números de menor a mayor.
a)
+7, –5, –3, +4, 0
c)
+1, +4, –4, 0, +5
b)
+8, +6, –2, –4, –9
d)
–1, +5, –6, +1, +7
a)
b)
–5 < –3 < 0 < +4 < +7
–9 < –4 < –2 < +6 < +8
c)
d)
–4 < 0 < +1 < +4 < +5
–6 < –1 < +1 < +5 < +7
2.74. Escribe el signo adecuado (<, > o =) entre los siguientes pares de números.
a)
–2
–7
b)
–9
+7
c)
+2
–4
d)
+5
a)
–2 > –7
b)
–9 < +7
c)
+2 > –4
d)
+5 < +6
+6
2.75. Anota todos los números enteros cuyo valor absoluto sea menor que cada uno de los
siguientes.
30
a)
2
a)
b)
c)
d)
+1, 0, –1
–4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4
–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6
–11, –10, –9, –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10, +11
Unidad 2 | Números enteros
b)
5
c)
7
d)
12
2.76. ¿Qué número entero cumple estas dos condiciones?
Es mayor que –2 y menor que 1.
No coincide con su opuesto.
Si es mayor que –2 y menor que 1, puede ser –1 ó 0.
Como 0 coincide con su opuesto, el número que cumple las dos condiciones es –1.
2.77. Escribe todos los números enteros que faltan.
a)
–4 <
< +4
c)
–1 <
b)
–10 <
<0
d)
0<
a)
b)
c)
d)
–4 < –3 < –2 < –1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4
–10 < –9 < –8 < –7 < –6 < –5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0
–1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5
0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5 < +6 < +7
< +5
< +7
Operaciones con números enteros
2.78. Realiza las siguientes sumas.
a)
10 + (–4) + (–2)
c)
(–3) + 15 + (–2) + 25
b)
(–5) + (–3) + 10
d)
(–6) + 8 + (–25) + (–3)
a)
b)
c)
d)
10 + (–4) + (–2) = 10 + (–6) = 4
(–5) + (–3) + 10 = –8 + 10 = 2
(–3) + 15 + (–2) + 25 = (–3) + (–2) + 15 + 25 = –5 + 40 = 35
(–6) + 8 + (–25) + (–3) = 8 + (–6) + (–25) + (–3) = 8 + (–34) = –26
2.79. Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala.
Resta
12 – (–8)
(–15) – (–4)
–9
8–
En forma de suma
12 + 8
Resultado
20
+4
12 + (–
)
+7
15
Resta
En forma de suma
Resultado
12 – (–8)
12 + 8
20
(–15) – (–4)
−15 + 4
−11
12 – 9
12 + (– 9 )
3
8 +7
15
8–
( −7 )
Unidad 2 | Números enteros
31
2.80. Realiza las siguientes sumas y restas con números enteros.
a)
17 – (–15)
d)
–(–12) – (–8)
b)
16 – (–3)
e)
8 + (–12)
c)
(–1) + (–3)
f)
(–24) – 16
a)
b)
c)
17 – (–15) = 17 + 15 = 32
16 – (–3) = 16 + 3 = 19
(–1) + (–3) = –4
d)
e)
f)
–(–12) – (–8) = 12 + 8 = 20
8 + (–12) = –4
(–24) – 16 = (–24) + (–16) = –40
2.81. Obtén el resultado de las siguientes operaciones.
a)
(–7) + 15 + 3
d)
(–4) + (–2) + 6
b)
(–8) – (–10)
e)
9 + (–18) + (–2)
c)
25 + (–4) + (–6)
f)
–(–4) – 3 + (–8)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(–7) + 15 + 3 = (–7) + 18 = 11
(–8) – (–10) = (–8) + 10 = 2
25 + (–4) + (–6) = 25 + (–10) = 15
(–4) + (–2) + 6 = –6 + 6 = 0
9 + (–18) + (–2) = 9 + (–20) = –11
–(–4) – 3 + (–8) = 4 + (–3) + (–8) = 4 + (–11) = –7
2.82. Sin efectuar las multiplicaciones, averigua si el resultado es un número positivo o
negativo.
a)
(–12) · 18 · (–34)
c)
(–75) · 25 · (–12)
b)
(–42) · 23 · 18
d)
43 · (–6) · 15
a)
b)
(–) · (+) · (–) = (–) · (–) = +
(–) · (+) · (+) = (–) · (+) = –
c)
d)
(–) · (+) · (–) = (–) · (–) = +
(+) · (–) · (+) = (–) · (+) = –
2.83. Calcula el resultado de estas operaciones.
a)
(–8) · 4
c)
12 · (–5)
b)
(–11) · (–9)
d)
(–7) · (–3)
a)
b)
(–8) · 4 = –32
(–11) · (–9) = 99
c)
d)
12 · (–5) = –60
(–7) · (–3) = 21
2.84. Realiza las siguientes divisiones.
32
a)
(–12) : (–4)
c)
45 : (–3)
b)
(–28) : 7
d)
(–6) : 6
a)
b)
–12 : (–4) = 3
(–28) : 7 = –4
c)
d)
45: (–3) = –15
(–6) : 6 = –1
Unidad 2 | Números enteros
2.85. Completa la siguiente tabla:
a
–15
18
112
–35
b
3
–6
–16
–7
a+b
a–b
a·b
a:b
a
–15
18
112
–35
b
3
–6
–16
–7
a+b
–12
12
96
–42
a–b
–18
24
128
–28
a·b
–45
–108
–1792
245
a:b
–5
–3
–7
5
2.86. Halla el número que falta.
)=0
c)
7 + (–1) = op(
d)
3 + op(op(
(–6) – op( 6 ) = 0
c)
7 + (–1) = op( −6 )
op( −15 ) – 15 = 0
d)
3 + op(op( −3 )) = 0
a)
(–6) – op(
b)
op(
a)
b)
) – 15 = 0
)
)) = 0
2.87. Calcula:
a)
El triple del opuesto de –8.
b)
La mitad del opuesto de 44.
c)
El opuesto de 5 · (–8).
a)
op(–8) = +8  El triple del opuesto de –8 es +24.
b)
op(44) = –44  La mitad del opuesto de 44 es –22.
c)
op(5 · (–8)) = 40  El opuesto de –40 es 40.
2.88. Halla los números que faltan.
c)
(–5) · (–9) =
d)
7·
(–3) · 8 = −24
c)
(–5) · (–9) = 45
(–16) · 3 = –48
d)
7·
a)
(–3) · 8 =
b)
(–16) ·
a)
b)
= –48
= –42
( −6 )
= –42
2.89. Halla los resultados de estas multiplicaciones y divisiones.
a)
4 · (–15)
c)
(–13) · (–2) · 3
b)
(–32) : (–16)
d)
55 : (–11) : (–5)
a)
b)
4 · (–15) = –60
(–32) : (–16) = 2
c)
d)
(–13) · (–2) · 3 = 78
55 : (–11) : 5 = –1
Unidad 2 | Números enteros
33
2.90. Averigua los números que faltan.
a)
(–9) +
= –2
c)
39 :
b)
· (–10) = 60
d)
4–
a)
(–9) + 7 = –2
c)
39 :
( −3 )
d)
4–
( −1)
b)
−6 · (–10) = 60
= –13
=5
= –13
=5
2.91. Escribe cada uno de los siguientes números como diferencia de dos números enteros,
de dos formas distintas.
a)
21
c)
14
b)
–12
d)
–34
c)
d)
14 = +20 – (+6) = 18 – (+4)
–34 = –37 – (–3) = –30 – (+4)
Respuesta abierta. Por ejemplo:
a) 21 = (+22) – (+1) = +24 – (+3)
b) –12 = –11 – (+1) = –10 – (+2)
2.92. Expresa estos números como producto de un número entero negativo por otro número
entero, de dos formas distintas.
a)
–14
b)
20
c)
–48
En algún caso hay más de una solución:
a) –14 = (–2) · (+7) = (+2) · (–7)
b) 20 = (–2) · (–10) = (–4) · (–5)
c) –48 = (–24) · (+2) = (–4) · (+12)
2.93. ¿Cuál es el número que al sumarle 15 da como resultado –12?
El número es el que se obtiene restando a –12 el sumando conocido, 15: –12 – 15 = –27.
Comprobación: 15 + (–27) = –12
2.94. El producto de un número entero negativo por otro número es igual a –48. El valor
absoluto del primer número es mayor que 6.
¿Cuáles son los números?
Si el producto de los números es negativo y uno de ellos es negativo, el otro ha de ser positivo.
Por tanto, hay que buscar dos parejas de números (uno positivo y otro negativo) cuyo producto
sea –48.
El valor absoluto del número negativo ha de ser mayor que 6 y dividir a 48: 8, 12, 16, 24 y 48.
Entonces, el número negativo puede ser: –8, –12, –16, –24 y –48.
Los números que multiplicados por cada uno de los anteriores dan como resultado –48 son: +6,
+4, +3, +2, +1.
Entonces, los números pueden ser: –8 y 6, –12 y 4, –16 y 3, –24 y 2, –48 y 1.
2.95. Escribe tres números enteros distintos tales que el primero multiplicado por la suma de
los otros dos sea igual al opuesto del primero.
Para que al multiplicar un número por otro dé el opuesto del primero, el segundo número tiene
que ser (–1), es decir, la suma de los otros dos debe ser (–1).
Pueden ser:
+5, +2 y (–3)  5 · [2 + (–3)] = 5 · (–1) = –5
–9, –7 y 6  –9 · [(–7) + 6] = –9 · (–1) = 9
34
Unidad 2 | Números enteros
Propiedad distributiva
2.96. Calcula de dos formas distintas.
a)
(–8) · (6 + (–9))
b)
12 · ((–4) + 2)
a)
Forma 1: primero la suma y luego la multiplicación.
(–8) · (6 + (–9)) = (–8) · (–3) = 24
Forma 2: propiedad distributiva.
(–8) · (6 + (–9)) = (–8) · 6 + (–8) · (–9) = –48 + 72 = 24
b)
Forma 1: primero la suma y luego la multiplicación.
12 · ((–4) + 2) = 12 · (–2) = –24
Forma 2: propiedad distributiva.
12 · ((–4) + 2) = 12 · (–4) + 12 · 2 = –48 + 24 = –24
c)
Forma 1: primero la suma y luego la multiplicación.
(–6) · ((–8) + 3) = (–6) · (–5) = 30
Forma 2: propiedad distributiva.
(–6) · ((–8) + 3) = (–6) · (–8) + (–6) · (3) = 48 – 18 = 30
Forma 1: primero la suma y luego la multiplicación.
9 · ((–6) + 8) = 9 · 2 = 18
Forma 2: propiedad distributiva.
9 · ((–6) + 8) = 9 · (–6) + 9 · 8 = –54 + 72 = 18
d)
c)
(–6) · ((–8) + 3)
d)
9 · ((–6) + 8)
2.97. Aplica la propiedad distributiva y calcula.
a)
12 · ((–13) + 9))
b)
5 · (7 + (–2))
c)
7 · (6 + (–4) + (–2))
d)
(–3) · ((–8) + 15 + (–3))
a)
b)
c)
d)
12 · (–13 + 9) = 12 · (–13) + 12 · 9 = –156 + 108 = –48
5 · (7 + (–2)) = 5 · 7 + 5 · (–2) = 35 – 10 = 25
7 · (6 + (–4) + (–2)) = 7 · 6 + 7 · (–4) + 7 · (–2) = 42 + (–28) + (–14) = 42 + (–42) = 0
(–3) · ((–8) + 15 + (–3)) = (–3) · (–8) + (–3) · 15 + (–3) · (–3) = 24 + (–45) + 9 = 33 + (–45) = –12
2.98. Copia y completa los números que faltan.
) = 28 + (– 20) =
a)
4 · (7 +
b)
(–5) · ((–13) + 9) = 65 +
=
c)
· (7 + (–3)) = (–14) + 6 =
a)
4 · (7 + ( −5) ) = 28 + (–20) = 8
b)
(–5) · ((–13) + 9) = 65 + ( −45) = 20
c)
−2 · (7 + (–3)) = (–14) + 6 = −8
Unidad 2 | Números enteros
35
2.99. Calcula, extrayendo primero factor común.
a)
6 · (–3) + 6 · 8
c)
(–4) · 2 + 4 · (–1)
b)
3 · (–5) + (–3) · 7
a)
b)
c)
d)
6 · (–3) + 6 · 8 = 6 · [(–3) + 8] = 6 · 5 = 30
(–3) · (–5) + (–3) · 7 = (–3) · [(–5) + 7] = (–3) · 2 = –6
(–4) · 2 + 4 · (–1) = 4 · (–2) + 4 · (–1) = 4 · [(–2) + (–1)] = 4 · (–3) = –12
9 · (–8) + (–9) · 7 = 9 · (–8) + 9 · (–7) = 9 · [(–8) + (–7)] = 9 · (–15) = –135
d)
9 · (–8) + (–9) · 7
2.100. Extrae factor común en estas sumas y halla el resultado.
a)
4 · (–8) + 4 · 3 + 4 · (–2)
c)
3 · 7 + 3 · (–9) + 6
b)
(–2) · 5 + (–2) · (–11) + 2 · (–7)
d)
5 · (–4) + (–5) · 1 + 5 · 8
a)
b)
4 · (–8) + 4 · 3 + 4 · (–2) = 4 · [(–8) + 3 + (–2)] = 4 · [(–10) + 3] = 4 · (–7) = –28
(–2) · 5 + (–2) · (–11) + 2 · (–7) = (–2) · 5 + (–2) · (–11) + (–2) · 7 = (–2) · [5 + (–11) + 7] =
= (–2) · (1) = –2
3 · 7 + 3 · (–9) + 6 = 3 · 7 + 3 · (–9) + 3 · 2 = 3 · [7 + (–9) +2] = 3 · [9 + (–9)] = 3 · 0 = 0
5 · (–4) + (–5) · 1 + 5 · 8 = 5 · (–4) + 5 · (–1) + 5 · 8 = 5 · [(–4) + (–1) + 8] = 5 · [–5 + 8] =
= 5 · 3 = 15
c)
d)
2.101. Transforma en productos estas sumas.
a)
(–15) + 18
c)
(–16) + (–32) + 4
b)
7 + (–14) + 28
d)
10 + (–8) + 12
a)
b)
c)
d)
(–15) + 18 = 3 · (–5) + 3 · 6 = 3 · (–5 + 6) = 3 · 1
7 + (–14) + 28 = 7 · 1 + 7 · (–2) + 7· 4 = 7 · [1 + (–2) + 4] = 7 · [5 + (–2)] = 7 · 3
(–16) + (–32) + 4 = 4 · (–4) + 4 · (–8) + 4 · 1 = 4 · [(–4) + (–8) + 1] = 4 · (–12 + 1) = 4 · (–11)
10 + (–8) + 12 = 2 · 5 + 2 · (–4) + 2 · 6 = 2 · [5 + (–4) + 6] = 2 · (1 + 6) = 2 · 7
Operaciones combinadas
2.102. Realiza las siguientes operaciones.
a) 9 : (–3) + 8 · (–5) + 36
f)
63 : (–3) – 9 · (–7) + 1
b) (–12) · 4 – (–32) : 8 – (–5)
g)
(–7) · (12 : (–2) + 3) – 10
c) 65 : (–5) · 2 + 28 : (–7)
h)
(12 – 3 · 5) + 10 : (–2)
d) (–4) – 32 : (–8) + 2 · (–6)
i)
18 : (–9) + (–3) · (–2) + 5
e) 15 – (–40) : 10 + 15 : (–5) · 2
36
a)
9 : (–3) + 8 · (–5) + 36 = –3 + (–40) + 36 = –43 + 36 = –7
b)
(–12) · 4 – (–32) : 8 – (–5) = (–48) – (–4) – (–5) = (–48) + 4 + 5 = (–48) + 9 = –39
c)
65 : (–5) · 2 + 28 : (–7) = (–13) · 2 + (–4) = (–26) + (–4) = –30
d)
(–4) – 32 : (–8) + 2 · (–6) = –4 + 4 + (–12) = –12
e)
15 – (–40) : 10 + 15 : (–5) · 2 = 15 – (–4) + (–3) · 2 = 15 + 4 + (–6) = 19 + (–6) = 13
f)
63 : (–3) – 9 · (–7) + 1 = –21 + 63 + 1 = 43
g)
(–7) · (12 : (–2) + 3) – 10 = (–7) · (–6 + 3) – 10 = (–7) · (–3) – 10 = 21 – 10 = 11
h)
(12 – 3 · 5) + 10 : (–2) = (12 – 15) + (–5) = –3 – 5 = –8
i)
18 : (–9) + (–3) · (–2) + 5 = –2 + 6 + 5 = 9
Unidad 2 | Números enteros
2.103. Calcula el resultado de estas operaciones.
a)
((–14) + 18) : (–2) + 7
b)
3 – (18 – 4) + (–5) · (–6)
c)
(–5) · (7 + 6) – 48 : (–8)
d)
(–18) – 3 · (5 · 2 – 6)
e)
(–24) : (–2) + 7 · ((–1) + 3 · (–4))
f)
3 · [7 – (4 – 9) · 2] + 10
g)
8 – [8 : (–3 + 1) · 2 + 5] · (–3) + 5
h)
(–2) · (–5) – [(–3 + (–8) : (–2)) – (–4)]
a)
((–14) + 18) : (–2) + 7 = 4 : (–2) + 7 = –2 + 7 = 5
b)
3 – (18 – 4) + (–5) · (–6) = 3 – 14 + (–5) · (–6) = 3 – 14 + 30 = 33 – 14 = 19
c)
(–5) · (7 + 6) – 48 : (–8) = (–5) · 13 – 48 : (–8) = (–65) – (–6) = (–65) + 6 = –59
d)
(–18) – 3 · (5 · 2 – 6) = (–18) – 3 · (10 – 6) = (–18) – 3 · 4 = –18 – 12 = –30
e)
(–24) : (–2) + 7 · (–1 + 3 · (–4)) = (–24) : (–2) + 7 · (–1 + (–12)) = (–24) : (–2) + 7 · (–13) =
= 12 + (–91) = –79
f)
3 · [7 – (4 – 9) · 2] + 10 = 3 · (7 – (–5) · 2) + 10 = 3 · (7 – (–10)) + 10 = 3 · (17) + 10 =
= 51 + 10 = 61
g)
8 – [8 : (–3 + 1) · 2 + 5] · (–3) + 5 = 8 – [8 : (–2) · 2 + 5] · (–3) + 5 =
= 8 – [(–4) · 2 + 5] · (–3) + 5 = 8 – ((–8) + 5) · (–3) + 5 = 8 – (–3) · (–3) + 5 = 8 – 9 + 5 = 4
h)
(–2) · (–5) – [(–3 + (–8) : (–2)) – (–4)] = 10 – [(–3 + 4) – (–4)] = 10 – (1 + 4) = 10 – 5 = 5
2.104. Expresa cada uno de los siguientes números como producto de un entero negativo por
una diferencia de enteros.
a)
–16
b)
48
c)
–30
Respuesta abierta. Por ejemplo:
a) –16 = –4 · [–2 – (–6)]
b) 48 = –6 · [–9 – (–1)]
c) –30 = –3 · [–2 – (–12)]
2.105. Los dos miembros de estas igualdades se diferencian en unos paréntesis. Indica cuáles
son correctas y cuáles no.
a)
21 – (12 – 8) = 21 – 12 – 8
b)
((–13) + 9) – 5 = (–13) + 9 – 5
c)
–(8 – 6) + 10 = (–8) –6 + 10
a)
b)
c)
No es correcta. 21 – (12 – 8) = 21 – 4 = 17, y 21 – 12 – 8 = 21 – 20 = 1.
Es correcta. [(–13) + 9] – 5 = –4 – 5 = –9, y –13 + 9 – 5 = –18 + 9 = –9.
No es correcta. –(8 – 6) + 10 = –2 + 10 = 8, y –8 – 6 + 10 = –14 + 10 = –4.
2.106. *Pon paréntesis para que la igualdad sea cierta.
a)
(–5) · 7 + 2 = –45
c)
4 · 5 – 2 · 3 = 36
b)
(–12) : 9 – 3 = –2
d)* (–2) + 1 : (–4) + 3 = 1
a)
b)
(–5) · (7 + 2) = –45
(–12) : (9 – 3) = –2
c)
d)
4 · (5 – 2) · 3 = 36
[(–2) + 1] : [(–4) + 3] = 1
Unidad 2 | Números enteros
37
PROBLEMAS
2.107. Hace dos años, una empresa obtuvo unos beneficios por valor de 250 000 euros. El año
pasado tuvo 55 000 euros de pérdidas.
¿Cuál ha sido el resultado global de la empresa en los dos últimos años?
Beneficios:
+200 000 €
Pérdidas:
–55 000 €
Balance = beneficios + pérdidas = 200 000 + (–55 000) = 145 000 €
En los dos últimos años, la empresa ha obtenido un beneficio de 145 000 euros.
2.108. Dos submarinos navegan a 120 y 300 metros de profundidad.
¿Qué desnivel en metros los separa?
Desnivel: –120 – (–300) = –120 + 300 = 180 metros
2.109. Roma fue fundada en el año 753 a. C. y el final del Imperio romano en Occidente tuvo
lugar en el año 476 d. C.
¿Cuántos años transcurrieron desde la fundación de Roma hasta el final del Imperio?
753 antes de Cristo: –753
476 después de Cristo: +476
Han transcurrido: 476 – (–753) = 476 + 753 = 1229 años.
Un año menos si se tiene en cuenta que no hubo año cero.
2.110.La latitud de Madrid es de unos 40º N, y la de Buenos Aires, de unos 58º S.
¿Cuál es, en valor absoluto, la diferencia entre las latitudes de las dos ciudades?
Expresando las latitudes con los enteros correspondientes resulta:
Latitud de Madrid:
+40
Latitud de Buenos Aires: –58
El valor absoluto de la diferencia es: |+40 – (–58)| = |40 + 58| = |98| = 98.
2.111. Un grupo de amigos, con un monitor, hicieron el fin de semana descenso de cañones
por el siguiente itinerario.
a)
Expresa el recorrido con números enteros.
b)
Calcula cuántos metros descendieron en total.
a)
R-1: –5, R-2: –6, R-3: –6, R-4: –7, R-5: –3
En total hicieron: –5 + (–6) + (–6) + (–7) + (–3) = –27 metros.
El descenso fue de 27 metros.
b)
38
Unidad 2 | Números enteros
2.112. Daniel ha ido al hospital a visitar a un amigo. Ha subido al ascensor y ha pulsado la
planta en la que se encuentra este, pero antes de llegar hace el siguiente recorrido:
1.º Sube 5 pisos.
2.º Baja 7 pisos.
3.º Sube 10 pisos.
4.º Sube 4 pisos.
5.º Baja 3 pisos.
¿En qué planta se encuentra su amigo?
Sustituyendo las paradas por los enteros correspondientes resulta: +5, –7, +10, +4, –3.
La suma de todos ellos es la planta en la que se encuentra su amigo:
5 + (–7) + 10 + 4 + (–3) = 19 + (–10) = 9
Su amigo está en la novena planta.
2.113. En una estación de esquí, la temperatura desciende 2 grados cada hora a partir de las
0.00 y hasta las 8.00.
¿Qué temperatura hay a las 8.00 si a las 0.00 era de 4 ºC?
Temperatura que ha descendido: 8 · (–2 ºC) = –16 ºC
Temperatura a las 8.00: 4 ºC + (–16 ºC) = –12 ºC
2.114. El grifo de una fuente estaba estropeado y se perdían 3 litros de agua cada hora. Cuando
lo arreglaron se habían perdido 72 litros.
¿Cuántas horas permaneció estropeado?
Había perdido 72 litros  –72
Perdía 3 litros a la hora  –3
Estuvo estropeado: (–72) : (–3) = +24 horas.
2.115. La temperatura en una mañana de invierno era de –3 ºC. Al mediodía, la temperatura era
igual al opuesto del doble de la temperatura de la mañana.
a)
¿Cuál era la temperatura al mediodía?
b)
Calcula la diferencia entre la temperatura al mediodía y la de la mañana.
a)
El doble de la temperatura de la mañana es: 2 × (–3) = –6º.
El opuesto del número anterior es +6º.
Entonces, la temperatura al mediodía era de 6 ºC.
La diferencia entre la temperatura del mediodía y la de la mañana es: 6 – (–3) = 6 + 3 = 9 ºC.
b)
2.116. Alicia está contestando un test con 20 preguntas. Por cada respuesta correcta obtiene 6
puntos, pero por cada una que responde mal pierde 4.
Si Alicia ha contestado bien a 14 preguntas, ¿cuántos puntos ha obtenido?
Por las preguntas bien contestadas obtiene 14 · 6 = 84 puntos.
Por las preguntas mal contestadas (20 – 14 = 6 preguntas) le quitan 6 · 4 = 24 puntos.
En total obtiene 84 – 24 = 60 puntos.
Unidad 2 | Números enteros
39
2.117. Una familia recibe el extracto del banco con los gastos y los ingresos del mes.
Ingres
o
nómin
a
Hipote
ca
700 €
Comun
idad
50 €
Agua
25 €
Luz
40 €
Teléfon
o 60
€
2500
€
Expresa mediante una única operación lo que ahorra en un año.
Como te piden los gastos en un año y te ofrecen los datos de un mes, habrá que multiplicar por 12.
12 · (2500 – 700 – 50 – 25 – 40 – 60) = 12 · 1625 = 19 500 euros ahorran en un año.
También se podría haber hecho multiplicando cada concepto por 12:
2500 · 12 – 700 · 12 – 50 · 12 – 25 · 12 – 40 · 12 – 60 · 12 = 19 500 euros.
De esta forma se comprueba la propiedad distributiva.
40
Unidad 2 | Números enteros
AMPLIACIÓN
2.118. Deduce los signos de los números enteros x, y, z si sabemos que:
i)
x · z e y · z son del mismo signo.
ii)
x y x · y · z son de signo distinto.
iii)
x e y · z son de signo distinto.
a)
+–+
c)
++–
b)
+++
d)
+– –
De la condición i, x e y tienen igual signo.
De la condición ii, junto con la a se deduce que x y z son de distinto signo.
De la condición iii, y tiene que ser positivo.
Por lo que la respuesta correcta es la c.
2.119. Hay dos parejas de enteros a y b tales que el producto (a – 3) · (b + 5) es –1.
La suma de los cuatro números que constituyen estas dos parejas es:
a)
–4
c)
0
b)
–2
d)
2
Las únicas parejas de números enteros cuyo producto es (–1) son: (–1) · 1 y 1 · (–1); por
tanto, (a – 3) = ± 1  a = 4 o a = 2. Igualmente, (b + 5) = ± 1  b = –4 o b = –6.
La suma de los cuatro valores es 4 + 2 + (–4) + (–6) = –4.
2.120. Al colocar los nueve enteros –7, –5, –3, –2, 0, 2, 3, 5 y 7 en las casillas de esta tabla de
forma que los productos de cada fila y cada columna sean los indicados, ¿cuál es el
número que ocupa la casilla con asterisco?
a)
2
b)
45
45
45
–98
45
45
45
0
45
45
45*
–20
0
105
–7
–75
c)
La única forma posible de completar la tabla es:
2
–7
7
–2
0
–3
5
3
–5
–20
0
105
5
d)
–5
–98
0
–75
2.121. Si multiplicamos tres números de este cuadrado, uno de cada fila y de cada
columna, ¿cuál es el mayor producto posible?
a)
72
b)
96
c)
105
d)
162
1
4
7
2
5
8
3
6
9
Todos los productos posibles son:
1 · 5 · 9 = 45; 1 · 6 · 8 = 48; 2 · 4 · 9 = 72; 2 · 6 · 7 = 84; 3 · 5 · 7 = 105; 3 · 4 · 8 = 96
El mayor producto es 105.
Unidad 2 | Números enteros
41
AUTOEVALUACIÓN
2.A1. Expresa estas cantidades con números enteros.
a) La altura del Everest es de 8848 m.
b) María debe 52 euros.
c) Euclides nació en el año 300 a. C.
a)
b)
c)
+8848
–52
–300
2.A2. Sustituye las letras por los números que representan, e indica su valor absoluto.
A
E
–1
C
D
B
IAI = I–3I = 3, IBI = I+3I = 3, ICI = 0 = 0, IDI = I+2I = 2, IEI = I–2I = 2
2.A3. El anterior de un número es –7.
a) ¿Cuál es su opuesto?
b) ¿Y su valor absoluto?
El anterior de –7 es –8.
a) El opuesto de –8 es +8.
b) El valor absoluto de –8 es |–8| = 8.
2.A4. Calcula el resultado de estas sumas y restas.
a)
18 – 22 – 5
c)
–12 – (–10) + 6
b) –10 + 15 – 35
d)
5 – (–9) – 9
a) 18 – 22 – 5 = 18 + (–22) + (–5) = 18 + (–27) = –9
b) –10 + 15 – 35 = –10 + 15 + (–35) = –10 + (–20) = –30
c) –12 – (–10) + 6 = –12 + 10 + 6 = –12 + 16 = 4
d) 5 – (–9) – 9 = 5 + 9 – 9 = 5 + 0 = 5
2.A5. Halla el resultado de estas multiplicaciones y divisiones.
a) (–3) · (–5) · 7
b) (–8) · (–3) · (–10)
42
c)
102 : (–6)
d)
(–305) : (–5)
a)
b)
c)
d)
(–3) · (–5) · 7 = 15 · 7 = 105
(–8) · (–3) · (–10) = 24 · (–10) = –240
102 : (–6) = –17
(–305) : (–5) = 61
Unidad 2 | Números enteros
2.A6. Aplica la propiedad distributiva y calcula estos productos.
a)
7 · (–5 + 10)
b)
(–4) · ((–3) + 8)
a)
b)
7 · (–5 + 10) = 7 · (–5) + 7 · 10 = –35 + 70 = 35
(–4) · [(–3) + 8] = (–4) · (–3) + (–4) · 8 = 12 + (–32) = –20
2.A7. Extrae factor común y opera.
a)
9 + 21
b)
(–24) + 6
c)
20 + (–15)
d)
(–4) – 14
a)
b)
c)
d)
9 + 21 = 3 · (3 + 7) = 3 · 10 = 30
(–24) + 6 = (–4) · 6 + 6 = [(–4) + 1] · 6 = (–3) · 6 = –18
20 + (–15) = 4 · 5 + 5 · (–3) = 5 · [4 + (–3)] = 5 · 1 = 5
(–4) – 14 = 2 · (–2) + 2 · (–7) = 2 · [–2 + (–7)] = 2 · (–9) = –18
2.A8. Efectúa estas operaciones.
a)
18 : (–6) – (–42) : 7
b)
5 · (12 – 9) + 24 : (–3)
c)
(–7) + 44 : (–11) – (32 + 5 · (–6))
a)
b)
c)
18 : (–6) – (–42) : 7 = –3 – (–6) = –3 + 6 = 3
5 · (12 – 9) + 24 : (–3) = 5 · 3 + 24 : (–3) = 15 + (–8) = 7
(–7) + 44 : (–11) – (32 + 5 · (–6)) = –7 – 4 – (32 + (–30)) = –11 – 2 = –13
Unidad 2 | Números enteros
43
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Interpreta un mapa > Las curvas de nivel
2.1.
*Relaciona cada uno de estos perfiles con sus curvas de nivel.
a→2
2.2.
b→4
c→5
d→3
e→1
En el plano puedes ver las curvas de nivel de la isla de Tenerife, con sus
correspondientes alturas.
OCÉANO
ATLÁNTICO
Santa Cruz
de Tenerife
H
Teide
(3.718m)
Espigón de
la Caleta
Altitud en metros
3000
2000
1500
1000
700
400
200
0
–200
–500
–1000
–2000
–3000
–4000
–5000
Como ya sabrás, en esta isla se encuentra el pico más alto de España, el Teide.
a)
Como puedes ver en el mapa, unas veces las curvas de nivel están muy próximas y
otras hay mucha separación entre ellas. ¿Qué nos indica la separación entre las
curvas de nivel?
b)
¿Serías capaz de dibujar un perfil aproximado de la isla a partir de las curvas de
nivel?
a)
Si las curvas están muy juntas, indica que hay un gran desnivel.
b)
Teide 3 718 m
OCÉNO
ATLÁNTICO
(OESTE)
44
Unidad 2 | Números enteros
OCÉNO
ATLÁNTICO
(ESTE)
2.3.
Juan tiene una empresa de turismo de aventura en Tenerife. Organiza excursiones al
Teide y actividades de submarinismo hasta 60 metros de profundidad.
a)
¿Cuántos metros de desnivel hay desde el hotel de un turista, que está en el punto
H, hasta la cima del Teide?
b)
¿Y desde el hotel hasta las profundidades del Espigón de la Caleta, que está a 35
metros bajo el nivel del mar?
c)
¿Y desde las profundidades del Espigón de la Caleta hasta la cima del Teide?
a)
b)
c)
Como el hotel está en la playa, podemos suponer que está a nivel del mar.
El desnivel es de 3718 – 0 = 3718 metros.
0 – (–35) = 35 metros
3718 – (–35) = 3753 metros
Unidad 2 | Números enteros
45
Relaciona los datos > Los husos horarios
Zonas con hora
de Greenwich
180° O 165° O 150° O
Zonas en las que se restan horas
con respecto a Greenwich
135° O
120° O
105° O
90° O
75° O
Zonas en las que se suman horas
con respecto a Greenwich
60° O
45° O
30° O
0°
15° E
30° E
45° E
60° E
75° E
90° E
Madrid
Nueva York
San Francisco
15° O
Zonas en las que se suma o resta
1/2 hora a la de su huso horario
105° E
Límite de zona horaria
Línea internacional de cambio
de fecha
120° E
135° E
150° E 165° E 180° E
Beijing
Montevideo
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Meridiano
de Greenwich
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
+10
+11
+12
2.1. ¿Cuántos husos horarios hay en España? ¿Por qué crees que son necesarios?
Dos, uno para Canarias y otro para el resto. Canarias está muy al oeste de la Península.
2.2. Sitúa en el mapa las ciudades de Tokio y México D. F.
a)
Averigua qué hora es en Tokio y en la ciudad de México cuando para ti son las 15.00.
b)
¿Qué hora es en México D. F. cuando en Tokio son las 22.00? ¿Y cuando en Tokio son las
10.00?
c)
¿Cómo lo calculas? ¿Podrías hacerlo sólo sumando?
a)
La hora de Tokio se obtiene sumando 9 horas a la de nuestro huso horario, y la de México,
restando 6 horas. Pero como en nuestro horario de verano, en España llevamos dos horas
de adelanto (en invierno, solo una), tendremos:
Tokio: 15 – 2 + 9 = 22
México: 15 – 2 – 6 = 7
En Tokio son las 22.00, y en México, las 7.00.
Entre Tokio y México hay una diferencia de 15 horas.
Si en Tokio son las 22.00, en México son las 7.00
Si en Tokio son las 10.00, en México son las 19.00 del día anterior.
Para pasar de la hora de Tokio a la de México se resta 15 o se suma 9 (cambiando de día).
Para pasar de la hora de México a la de Tokio se suma 15 o se resta 9 (cambiando de día).
b)
c)
46
Unidad 2 | Números enteros
Aprende a pensar > Temperaturas
En esta tabla aparecen las temperaturas máximas y mínimas absolutas registradas el último
año en varias ciudades.
Máxima
absoluta
37 ºC
25 ºC
40 ºC
34 ºC
33 ºC
Ciudad
Kabul
La Paz
Madrid
Quito
Tallín
2.3.
Mínima
absoluta
–26 ºC
–3 ºC
–10 ºC
6 ºC
–32 ºC
¿Sabes en que país está cada una de esas ciudades? Búscalas en un atlas.
Kabul (AFGANISTÁN)
La Paz (BOLIVIA)
Madrid (ESPAÑA)
Quito (ECUADOR)
Tallín (ESTONIA)
2.4.
¿Cuál es la diferencia entre la temperatura mínima y la máxima en cada ciudad?
Kabul, 37 – (–26) = 63 ºC
La Paz, 28 ºC
Madrid, 50 ºC
Quito, 28 ºC
Tallín, 65 ºC
La mayor diferencia la tiene Tallín.
2.5.
¿En qué mes del año crees que se alcanzó la temperatura máxima en cada ciudad?
En el hemisferio norte, el mes más caluroso suele ser julio, y en el sur, enero. Como Quito está
muy cerca del Ecuador, las temperaturas no varían apenas de unas estaciones a otras. La Paz
está en el hemisferio sur, y las otras ciudades, en el norte.
2.6.
Elabora un gráfico siguiendo este ejemplo:
40
Máxima
Mínima
20
0
–20
–40
Kabul
40
20
0
–20
–40
2.7.
Máxima
Mínima
Kabul
La Paz
Madrid
Quito
Tallin
¿Crees que la temperatura global está aumentando? Debate el cambio climático en
http://matemáticas20.aprenderapensar.net/.
Respuesta abierta
Unidad 2 | Números enteros
47
Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: M.ª Ángeles Anaya, Isabel de los Santos, José Luis González, Carlos Ramón Laca, M.ª Paz Bujanda,
Serafín Mansilla
Edición: Rafaela Arévalo, Eva Béjar
Corrección: Ricardo Ramírez
Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Félix Moreno, José Santos, Estudio “Haciendo el león”
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetación: SAFEKAT S. L.
Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez
Coordinación editorial: Josefina Arévalo
Dirección del proyecto: Aída Moya
(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección
en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.
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