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HOJA Nº 16. LEYES DE NEWTON (II)
1. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 3.815
km. Calcular:
a.
la velocidad de traslación del satélite,
b.
su periodo de revolución.
Datos. G =6´67·10-11 Nm2 kg-2, RT =6370 km, MT= 5´98·1024kg.
Solución
Si el satelite gira en torno a la Tierra lo hace gracias a la fuerza de atracción
gravitatoria que será la que da lugar al cambio de dirección de su velocidad, es decir
la que origina la fuerza centrípeta, por tanto podemos afirmar que
Fuerza gravitatoria Tierra-satélite = fuerza centrípeta sobre el satélite
‫ܩ‬
M es la masa del planeta Tierra
‫݉· ܯ‬
‫ݒ‬ଶ
=
݉
·
‫ݎ‬ଶ
‫ݎ‬
m es la masa del satélite
r es el radio de la órbita (ojo se mide desde el centro del planeta)
Sustituimos, simplificamos r (aparece dividiendo en ambos térmnos) y eliminamos m
(aparece multiplicando en ambos miembros de la igualdad).
6´67 · 10 ିଵଵ
5´98 · 10ଶସ
3
(3815 + 6370) · 10
= ‫ݒ‬2
el radio de la órbita viene dado por la suma de la altura y el radio del planeta,
expresado en metros (Sistema Internacional)
Operamos y tenemos que v = 6258 m/s = 22528 km/h
El periodo de revolución es el tiempo que tarda en dar una vuelta al planeta, esta
distancia es la longitud de la circunferenica de radio (3815+6370) km
ܶ=
2.
2 · ߨ · (3815 + 6370)
= ૛, ૡ૝ࢎ
22528
Un vehículo de 1200 kg entra en una curva de 70 m de
radio a 60 km/h. Sabiendo el agarre máximo de las ruedas con el
asfalto es de 4000 N, ¿conseguirá dar la curva o se saldrá de la
carretera?
Solución
En estos ejercicios mejor trbajar en el S.I. de unidades
v= 60 Km/h = 16,7 m/s
Froz,máx= 4000 N
La fuerza necesaria para que gire el coche es la fuerza centrípeta
‫ݒ‬ଶ
16,7ଶ
‫ܨ‬௖ ൌ ݉ = 1200
ൌ Ͷ͹ͺ Ͳܰ
‫ݎ‬
70
Esta fuerza centrípeta la debe ejercer el suelo a través del rozamiento, como el coche
necesita 4780 N y el rozamiento no puede valer más de 4000 N pues el coche se
saldrá de la curva.
Por curiosidad vaoms a seguir trabajando este ejercicio:
¿Cual es la máxima velocidad con la que podría haber tomado la curva? Aquella a la
que la fuerza centrípeta sea de 4000 N
‫ܨ‬௖ = 1200
‫ =ݒ‬ඨ
‫ݒ‬ଶ
ൌ ͶͲͲͲܰ
70
4000 · 70
݉
= 15,27 ൌ ͷͶǡͻ ͹‫ ݉ܭ‬Ȁ݄
1200
‫ݏ‬
O también para tomar la curva a 70 km/h ¿cual debiera ser el radio de ésta?
1200
16,7ଶ
ൌ ͶͲͲͲܰ
‫ݎ‬
16,7ଶ
‫ ݎ‬ൌ ͳʹͲͲ
ൌ ͺ ͵ǡ͸͹݉
4000
3. Calcular la fuerza de retroceso
retroceso que se ejerce sobre el hombro de un tirador cuando dispara
con su escopeta un proyectil de 10 g, que tarda 0,5 segundos en abandonar el cañón a 600
m/s.
La relación entre impulso y cantidad de movimiento
Fm·t=Δ(m·v)
De donde podemos deducir
deduci que
Fm 
 (mv) 102 ·600

 12 N
t
0,5
4. Si la masa de un ciclista y la de su máquina es de 80 kg, calcular la velocidad mínima que
debe tener para realizar el "rizo de la muerte" de radio 7 m.
Solución
La fuerza centripeta en ese momento la obtiene solo del
peso por tanto velocidad debe ser tal que ambas se igualen.
Es decir:
Como ves no necesitas la masa.
5. Un bloque cuya masa es de 10 Kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal.
¿Qué fuerza horizontal constante F es necesaria para comunicarle una velocidad de 4 m/s en
2 s, partiendo del reposo, si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es
constante es igual a 0.2 N?.
Solución
Si le queremos comunicar una velocidad de 4 m/s partiendo del reposo en 2 s
necesitamos una aceleración que calculamos por cinemática
a
v f  vi 4  0

 2m / s 2
t
2
Ya sabemos la aceleración ahora apliquemos la 2ª ley de Newton
F  m·a  10·2  20 N
En total sobre el cuerpo debe actuar una fuerza de 20 N, y esa fuerza total se
consigue entre la fuerza aplicada y la fuerza de rozamiento (que siempre se empeña
en oponerse al movimiento), si empujamos hacia la derecha ella empuja a la izquierda
F  F  ·m·g ; F  F  ·m·g ; F  20  0.1·10·9,8  29,8 N
Estamos en un suelo horizontal por tanto N es igual al peso del cuerpo. Necesitamos
una fuerza de 29,8 N para mantener el cuerpo con una aceleración de 2 m/s2
6.
Un hombre arrastra una caja por el suelo mediante una cuerda que forma un ángulo de 30
grados con la horizontal. ¿Con qué fuerza tendría que tirar el hombre si la caja, cuya masa es
500 kg, se mueve con velocidad constante y el coeficiente de rozamiento dinámico es de 0.4?.
Solución
En primer lugasr dibujamos el diagrama de fuerzas que
actúan sobre el cuerpo para poder aplicar las leyes de
Newton
Hemos descompuesto la fuerza F en sus componentes
cartesianas pra trabajar en los ejes X (horizontal) e Y
(vertical). Trabajamos los vectores por componentes.
Ahora aplicamos la 2ª Ley de Newton por componentes
Vertical: no hay movimiento (equilibrio)
F  0  N  Fy  P
Por tanto N = P-Fy = mg-F·sen(30) = 4900 - 0,5·F
Horizontal v=constante, equilibrio (a=0)
F  m  a  0  Fx  Fr  Fx  ·N
En esta ecuación sustituimos N y solo nos queda despejar F
0 = F·cos(30)- 0,4·(4900 - 0.5·F) F = 1838,6 N
7. Una caja de 200 Kg se deposita sobre un plano inclinado 30º sobre la horizontal. Determinar
con que aceleración desciende la caja si
a. no hay rozamiento
b. hay un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,2
Solución
Para comenzar dibuyjo el diagrama de fuerzas sobre el cuerpo
en el primer caso no hay rozamiento por lo que Fr es cero. El
cuerpo se desliza sobrfe el plano, no se separa de éste por lo
que en la dirección perpendicular la resultante de las fuerzas
debe ser 0 según la 1ª ley de Newton
ƩF = 0 = N - Pn ; N = Pn = m·g·cos α
A lo largo del plano el cuerpo se mueve con aceleración
ƩF = m·a = Pt ; m·a = m·g·sen α
a = g·seng = 4,9 m/s2
Si existe rozamiento tendremos que usar la componente N para calcularlo y replantear
las leyes de Newton (admitimos que el cuerpo desciende, y cojemos sentido positivo
hacia la parte baja del plano)
Fr = μ·N = μ·m·g·cos α
ƩF = m·a = Pt - Fr ; m·a = m·g·sen α - μ·m·g·cos α
a = g·sen α - μ·g·cos α = 4,9 - 3,4 = 1,5 m/s2
Si hubieramos obtenido una aceleración negativa significaría que el rozamiento es
mayor que la fuerza que empuja al cuerpo hacia abajo y deduciríamos que el cuerpo
no se desliza.
8. Partiendo del reposo, una esfera de 10 g cae libremente, sin rozamientos, bajo la acción de la
gravedad, hasta alcanzar una velocidad de 10 m/s. En ese instante comienza a actuar una
fuerza constante hacia arriba que consigue detener la esfera en 5 segundos. ¿Cuánto vale esta
fuerza?
a) La fuerza debe ser capaz de neutralizar el peso y darle una
aceleración a la esfera
a
v 0   10 

; a  2 m / s2
t
5
Aplicamos la segunda ley de Newton
ƩF = m·a = F - P; F = m·a+P ; F = 0,01·2 + 0,01·9,8 = 0,118 N
También puede resolverse por variación de la cantidad de movimiento e impulso
mecánico
pi = m·vi = 0,01·(-10) = - 0,1 Kg·m/s (hacia abajo signo negativo)
pf = m·vf = 0,01·0 = 0 Kg·m/s
variación de la cantidad de movimiento △p = 0 - (-0,1) = 0.1 kg·m/s
esta variación es igual al impulso mecánico I = ƩF·△t
ƩF = 0,1/5 = 0,02 N = Fap - P ; Fap = P + 0,02 = 0,01*9,8 + 0,02 = 0,118 N
9. Determinar la fuerza F necesaria para mover el sistema de la figura, considerando nulos los
rozamientos, si la aceleración adquirida por el sistema es de 5 m/s ². ¿Qué tensión soporta
cada cuerda?
Solución
Según la 2ª Ley de Newton F = m·a
La masa total del sistema es de 5 + 12+ 15 = 32 Kg
luego la fuerza para mover el sistema es F = 32·5 = 160 N
- La tensión en la cuerda entre sujeta los bloques de 15 y 12 kg
aislemos el primer bloque y vemos que sobre el actúan dos fuerzas
una hacia la derecha de 160 N y otra hacia la izquierda, la tensión
de la cuerda, pero ambas juntas hacen que el bloque se mueva con a = 5 m/s2
Apliquemos la 2ª Ley de Newton
m·a = F - T1 ;
15·5 = 160 - T1, por tanto T1 = 160 - 5·15 = 85 N
Esta fuerza es también la que ejerce la cuerda sobre el segundo bloque
Sobre el bloque del centro actúan dos fuerzas T1 hacia la derecha y
T2 hacia la izquierda, pero el bloque se mueve con a = 5 m/s2
m·a = T1 - T2
12·5 = 85 - T2 ; T2 = 85 - 12·5 = 25 N
Esta fuerza es la tensión de la cuerda que tira del último bloque.
10.
Por una polea pasa una cuerda inextensible y con masa despreciable de cuyos extremos
cuelgan dos cuerpos iguales con una masa de 7´8 kg cada uno. Inicialmente ambos pesos
están a la misma altura.
a. ¿Que sobrecarga hay que poner en uno de ellos para que se desnivelen
8m en 2s?
b. ¿Cuánto vale la tensión de la cuerda?
Solución
a) Primero miramos cada pesa por separado teniendo en cuenta que la fuerza entre
las masas es la tensión de la cuerda (la cuerda tira de ambas masas) y planteamos la
2º Ley de Newton en cada caso: para la masa que sube
T  PB  mB  a
Para la masa que baja
T   PA  x g     mA  x   a
x = sobrecarga
Tenemos un sistema de ecuaciones, pero 3 incógnitas.
Vamso por pasos: eliminamos T teniendo en cuenta que ambas cuerpos pesan lo
mismo PA  PB y queda
x·g   m A  mB  x   a
(O bien eliminando T por igualación en el sistema de ecuaciones)
Aquí sólo nos queda averiguar la aceleración con que se mueven las masas, lo
haremos por cinemática: para desnivelarse 8m una masa debe subir 4m y la otra
bajarlos. Por lo tanto la masa A baja 4m en 2s con aceleración a partiendo del reposo.
Planteamos las ecuaciones de cinemática para calcular el valor de a
1
y  a t2
2
1
4  a  22 ; a  2 m s 2
2
g x   m A  mB  x   a
9´8  x   7´8  7´8  x   2 ; x  4 kg
b) La tensión la calculamos a partir de cualquiera de las ecuaciones iniciales
T  PB  mB  a ; T  7´8  9´8  7´8  2 ; T  92´04 N
11. Tenemos dos masas unidas por una cuerda que pasa por una polea y sobre un plano inclinado
30º sobre la horizontal según se ve en la figura. Si la masa A es de 30 kg y sin rozamiento,
calcular:
a. El valor del peso x para que el sistema se mueva con
movimiento uniforme
b. La tensión de la cuerda
Solución
En estos ejercicios el método es muy simple: aplicamos la 1ª Ley de Newton a cada
masa por separado, tieniendo en cuenta que que los dos bloques se mueven con la
misma aceleración al estar enlazados por una cuerda que ejerce una fuerza T
(tensión) sobre cada cuerpo unido a ella..
Las masas se deben mover con movimiento uniforme, es decir, están en equilibrio,
según la 1ª ley de Newton la fuerza total sobre el cuerpo debe ser 0
T xg 0
(Equilibrio => M. uniforme)
En el plano inclinado ten en cuenta las componentes de las fuerzas
para facilitar el trabajo al plantear la condici'on de equilibrio
N  m g cos   0
T  m g sen   0
  30
m  30 kg
T  30 10  0´5  0
T  150 N
T xg 0
150  x 10 ; x  15 kg
12. Sobre dos bloques de 10 kg y 5 kg en contacto y sobre una superficie horizontal se ejerce una
fuerza de 150 N desde la izquierda (sobre el bloque de 10 Kg). Calcular todas las fuerzas
entre los bloques:
a. En caso de que no exista rozamiento
b. Si la fuerza es aplicada desde la derecha (sin rozamiento)
a) Son sistemas compuestos por varios cuerpos, pues nos fijamos en cada cuerpo por
separado para aplicar las leyes de Newton. El cuerpo A (representado por un punto)
se mueve con la aceleración con que se mueva todo el conjunto
F  FB A  m A  a
FA B  mB  a
La aceleración se puede calcular directamente teniendo en cuenta que la fuerza
aplicada mueve a ambos bloques, una masa total de 15 Kg
F   mA  mB   a
150 = (10+5)a ; a =10 m/s2
FA B  5 10  50 N
;
FB A  50 N
b) Aplicamos los mismos razonamientos anteriores, solo cambia el signo de la fuerza
aplicada que ahora es negativa al venir desde la derecha:
 F   mA  mB   a
-150 = (10+5)a ; a = -10 m/s2
FB A    10 10   100 N
; FA B  100 N
Trabaja estos ejercicios (por que están muy bien explicados) y los del libro resueltos,
que también están bastante claritos. Por supuesto no olvides trabajarte también los
que no están resueltos teneindo en cuenta que debes ser capaz de...
Calcular la fuerza de atracción entre dos masas
Determinar condiciones de equilibrio, descomponer y componer fuerzas
Calcular aceleraciones a partir de las fuerzas sobre un cuerpo
Calcular fuerzas de rozamientos
Determinar características de movimientos en planos inclinados
Determinar tensiones de cuerdas
Deducir velocidades en choques
Por supuesto todo ello comprendiendo que principios teóricos aplicas: leyes de
Newton, ley de conservación de la cantidad de movimiento, impulso, ley de
gravitación universal.